Spomnimo se osnovnih podatkov iz trigonometrije, ki so potrebni za nadaljevanje.

Trigonometrične funkcije se na začetku obravnavajo kot funkcije kota, saj številčna vrednost vsak od njih (če je smiseln) je določen z določitvijo kota. Korespondenca ena proti ena med loki kroga in središčni koti vam omogoča, da trigonometrične funkcije obravnavate kot ločne funkcije. Torej, na primer, argument funkcije sinφ imamo možnost, da si ga poljubno interpretiramo kot kot ali kot lok. Tako na začetku argument trigonometrične funkcije deluje kot geometrijski predmet - kot ali lok. Vendar pa je tako v matematiki sami kot v njenih aplikacijah treba trigonometrične funkcije obravnavati kot funkcije numerični argument. Celo v šolska matematika Argument trigonometrične funkcije ni vedno obravnavan kot. Torej, na primer, harmonično nihajno gibanje je podana z enačbo: s = greh pri. Tukaj je argument t čas, ne kot (koeficient a je število, ki označuje frekvenco nihanja).

Postopek merjenja kotov (ali lokov) vsakemu kotu (loku) dodeli določeno število kot njegovo mero. Kot rezultat merjenja kota (loka) lahko dobite kaj realno število, saj lahko upoštevamo usmerjene kote (loke) poljubne velikosti. Z izbiro določene merske enote za kote (loke) lahko vsakemu kotu (loku) pridružite število, ki ga meri, in obratno, vsakemu številu lahko pridružite kot (lok), merjen z danim številom. To omogoča, da se argument trigonometrične funkcije interpretira kot število. Vzemimo trigonometrično funkcijo, na primer sinus. Naj bo x poljubno realno število, to število popolnoma ustreza določen kot(lok), merjen s številom x, dobljeni kot (lok) pa ustreza zelo specifični vrednosti sinusa, sin x. Na koncu dobimo ujemanje med števili: vsako realno število x ustreza natančno definiranemu realnemu številu y = sin x. Zato lahko sin x interpretiramo kot funkcijo numerični argument. Z revidiranjem trigonometrične funkcije kot funkciji numeričnega argumenta je bilo dogovorjeno, da se kot merska enota vzamejo loki in koti radian. Na podlagi te konvencije je treba simbole sin x, cos x, tgx in ctg x razlagati kot sinus, kosinus, tangens in kotangens kota (loka), katerega radianska mera je izražena s številom x. na primer greh 2 je ločni sinus, merjen v dveh radianih *.

* (Upoštevajte, da se v nekaterih priročnikih radianska mera zelo neuspešno imenuje abstraktna, v nasprotju s stopnjo. Med obema merilnima metodama nobene temeljne razlike, so izbrane samo različne merske enote. Na žalost to vprašanje še danes včasih sproži psevdoznanstvene, škodljive »metodološke« prazne besede.)

Izbira merske enote za loke in kote nima temeljnega pomena. Radianska izbira ni narekovano nujnost. Radian se izkaže le za najbolj priročno enoto, saj pri merjenju radiana formule matematična analiza, povezane s trigonometričnimi funkcijami, imajo najpreprostejšo obliko *.

* (To poenostavitev je razloženo z dejstvom, da v radianski meri kot mersko enoto kotov vzamemo na primer stopinjo. Naj sta t in x meri v stopinjah oziroma radianih podani kot, potem imamo:

Zakon ujemanja med vrednostmi argumenta in trigonometrične funkcije ni določen z neposredno indikacijo matematične operacije(formula), ki mora biti izvedena na argumentu in geometrijsko *. Da pa lahko govorimo o funkciji, je nujen zakon korespondence, na podlagi katerega vsak sprejemljiva vrednost argument ustreza določeni vrednosti funkcije, vendar ne bistveno kako je ta zakon vzpostavljen.

* (S pomočjo elementarna matematika nemogoče je sestaviti formule, ki izražajo vrednosti trigonometričnih funkcij z uporabo algebraične operacije nad argumentom. Formule znane iz višja matematika, ki izraža vrednosti trigonometričnih funkcij neposredno skozi vrednost argumenta,

Funkciji sin x in cos x sta smiselni za vse realne vrednosti x, zato je njuna definicijska domena množica vseh realna števila.

Funkcija tg x je definirana za vse realne vrednosti x, drugačen odštevila v obliki π / 2 + kπ.

Funkcija ctg x je definirana za vse realne vrednosti x, drugačen odštevila oblike kπ.

Torej, argument trigonometrične funkcije lahko po lastni presoji interpretiramo kot kot, ali kot lok ali, končno, kot število. Ko argument imenujemo lok (ali kot), lahko z njim ne mislimo na sam lok (ali kot), temveč na število, ki ga meri. Z ohranjanjem geometrijske terminologije si dovolimo namesto na primer naslednje fraze: "sinus števila π / 2" reči: "sinus loka π / 2".

Geometrijska terminologija je priročna, ker nas spominja na ustrezne geometrične slike.

Eden od najpomembnejše lastnosti trigonometričnih funkcij je njihova periodičnost. Funkciji sin x in cos x imata periodo 2π. To pomeni, da za katero koli vrednost x veljajo enakosti:

sin x = sin (x + 2π) = sin (x + 4π) = ... = sin (x + 2kπ);

cos x = cos (x + 2π) = cos (x + 4π) = ... = cos (x + 2kπ),

Kje k- poljubno celo število.

Strogo gledano imata funkciji sin x in cos x neskončen niz obdobja:

±2π, ±4π, ±6π, ... ±2kπ,

število 2tr, ki je najmanjša pozitivna perioda, običajno imenujemo preprosto perioda.

Lastnost periodičnosti ima naslednjo geometrijsko razlago: pomen trigonometričnih funkcij greh x in cos x se ne spremeni, če loku x dodamo (ali odštejemo) celo število krogov. Če funkcija greh x oz cos x ima katero koli lastnost za vrednost argumenta x = a, potem ima enako lastnost za katero koli od vrednosti a + 2kπ.

Tudi funkciji tg x in ctg x sta periodični (najmanjša pozitivna) številka π.

Pri preučevanju lastnosti periodična funkcija dovolj je, da ga obravnavamo v nekem intervalu, ki je po velikosti enak obdobju.

Naštejmo glavne lastnosti trigonometričnih funkcij.

1°. sin funkcija x na segmentu (jaz in jaz negativne četrtine) poveča. Vrednosti sinusa na koncih segmenta, to je pri x = π / 2 in pri x = - π / 2, so enake 1 oziroma -1.

2°. Karkoli je realno število k, glede na absolutna vrednost ne več kot 1, na segmentu - π / 2 ≤x≤ π / 2 je en sam lok x = x 1, katerega sinus je enak k. Z drugimi besedami, na segmentu sinus ima za eno samo vrednost argumenta x = x 1 poljubno nastavljeno vrednost, ki ne presega 1 v absolutni vrednosti.

Pravzaprav glede na dano vrednost sinus je možen v I in I negativnih četrtinah trigonometrični krog(vedno bomo predpostavili, da je polmer trigonometrične krožnice enak 1) zgradimo ustrezen lok. Dovolj je, da na navpični premer narišemo segment velikosti k (gor za k>0 in dol za k

Lastnosti 1° in 2° sta običajno združeni v obliki naslednjega pogojnega stavka.

Na segmentu - π / 2 ≤x≤ π / 2 se sinus poveča od -1 do 1.

Uporaba podobnega geometrijskega razmišljanja ali uporaba formule oddaja greh(π - x) = sin x, je enostavno ugotoviti, da se v segmentu π / 2 ≤x≤ 3π / 2 (to je v II in III četrtini) sinus zmanjša od 1 do -1. Segmenti - π/2 ≤x≤ π/2 in π/2 ≤x≤ 3π/2 skupaj tvorita poln krog, tj. pokrivajo celotno periodo sinusa. Nadaljnje preučevanje sinusa postane nepotrebno in trdimo lahko, da se na katerem koli segmentu [- π / 2 +2kπ, π / 2 +2kπ] sinus poveča od -1 do 1 in na katerem koli segmentu [π / 2 +2kπ, 3π / 2 +2kπ] sinus se zmanjša od 1 do -1. Sinusni graf je prikazan na sliki 11.

Študija kosinusa poteka na podoben način. Glavne lastnosti kosinusa so:

Funkcija cos x na segmentu (tj. v 1. in 2. četrtini) se zmanjša z 1 na -1. V segmentu [π, 2π] (tj. v četrtini III in IV) se kosinus poveča od -1 do 1. Zaradi periodičnosti se kosinus zmanjša od 1 do -1 na segmentih in poveča od -1 do 1 na segmentih [(2k-1)π, 2kπ] (slika 12).

Upoštevajte funkcijo y = tan x v intervalu (- π / 2, π / 2).

Mejne vrednosti ±π/2 je treba izključiti, ker tg(±π/2) ne obstaja.

1°. V intervalu (- π / 2, π / 2) funkcija tg x poveča.

2°. Karkoli že je realno število k, v intervalu - - π / 2

Preprosto je preveriti obstoj in edinstvenost loka x 1 iz geometrijska konstrukcija, prikazano na sliki 13.

Torej, v intervalu (- π / 2, π / 2) tangenta narašča in ima z eno samo vrednostjo argumenta poljubno dano prava vrednost. Lastnosti 1° in 2° sta na kratko formulirani kot naslednja izjava:

v intervalu (- π / 2, π / 2) tangenta narašča od -∞ do ∞.

Ne glede na dano (kolikor želite) pozitivno število N, tangentne vrednosti so večje od N za vse vrednosti x, manjše od π/2 in dovolj blizu π/2. Simbolično je ta izjava napisana takole:

Za vrednosti x, večje od - π / 2 in dovolj blizu - π / 2 y vrednosti tg x

* (Pogosto pišejo tan π / 2 = ∞ in pravijo, da je vrednost tangensa π / 2 enaka ∞. Ta izjava v tečaju elementarne matematike lahko vodi le do smešnih protiznanstvenih idej. Simbol ∞ ni število in ne more biti vrednost funkcije. Točen pomen, v katerem je treba uporabiti simbole ±∞, je razloženo v besedilu.)

Nadaljnje preučevanje tangente je nepotrebno, ker je vrednost intervala (- π / 2, π / 2) enaka π, tj. polno obdobje tangenta Posledično se v katerem koli intervalu (- π / 2 + π, π / 2 + π) tangens poveča od -∞ do ∞, v točkah x = (2k+1)π / 2 pa je to smiselno. Graf tangente je predstavljen na sliki 14.

Funkcija ctg x v intervalu (0, π), kot tudi v vsakem od intervalov (kπ, (k+1)π) pada od ∞ do -∞, v točkah x = kπ pa kotangens nima pomena . Kotangensni graf je predstavljen na sliki 15.

Trigonometrične funkcije številskega argumenta. Lastnosti in grafi trigonometričnih funkcij.

Definicija 1: numerična funkcija, podana s formulo y=sin x imenujemo sinus.

Ta krivulja se imenuje - sinusni val.

Lastnosti funkcije y=sin x

2. Območje vrednosti funkcije: E(y)=[-1; 1]

3. Paritetna funkcija:

y=sin x – liho,.

4. Periodičnost: sin(x+2πn)=sin x, kjer je n celo število.

Ta funkcija po določenem obdobju sprejme iste vrednosti. Ta lastnost funkcije se imenuje pogostost. Interval je obdobje funkcije.

Za funkcijo y=sin x je perioda 2π.

Funkcija y=sin x je periodična, s periodo Т=2πn, n je celo število.

Vsaj pozitivno obdobje T=2π.

Matematično lahko to zapišemo na naslednji način: sin(x+2πn)=sin x, kjer je n celo število.

Definicija 2: Numerično funkcijo, podano s formulo y=cosx, imenujemo kosinus.

Lastnosti funkcije y=cos x

1. Funkcijska domena: D(y)=R

2. Območje vrednosti funkcije: E(y)=[-1;1]

3. Paritetna funkcija:

y=cos x – sodo.

4. Periodičnost: cos(x+2πn)=cos x, kjer je n celo število.

Funkcija y=cos x je periodična s periodo Т=2π.

Definicija 3: Numerično funkcijo, podano s formulo y=tan x, imenujemo tangens.

Lastnosti funkcije y=tg x

1. Domena funkcije: D(y) - vsa realna števila razen π/2+πk, k – celo število. Ker v teh točkah tangenta ni definirana.

2. Funkcijsko območje: E(y)=R.

3. Paritetna funkcija:

y=tg x – liho.

4. Periodičnost: tg(x+πk)=tg x, kjer je k celo število.

Funkcija y=tg x je periodična s periodo π.

Definicija 4: Numerično funkcijo, podano s formulo y=ctg x, imenujemo kotangens.

Lastnosti funkcije y=ctg x

1. Domena definicije funkcije: D(y) - vsa realna števila razen πk, k je celo število. Ker v teh točkah kotangens ni definiran.

V tej lekciji si bomo ogledali osnovne trigonometrične funkcije, njihove lastnosti in grafi, in tudi seznam glavne vrste trigonometrične enačbe in sistemi. Poleg tega navajamo splošne rešitve najenostavnejših trigonometričnih enačb in njihovi posebni primeri.

Ta lekcija vam bo pomagala pri pripravi na eno od vrst nalog B5 in C1.

Priprava na enotni državni izpit iz matematike

Eksperimentirajte

Lekcija 10. Trigonometrične funkcije. Trigonometrične enačbe in njihovi sistemi.

Teorija

Povzetek lekcije

Izraz "trigonometrična funkcija" smo že večkrat uporabili. V prvi lekciji te teme smo jih identificirali z uporabo pravokotni trikotnik in samski trigonometrični krog. Z uporabo teh metod podajanja trigonometričnih funkcij že lahko sklepamo, da zanje ena vrednost argumenta (ali kota) ustreza točno eni vrednosti funkcije, tj. imamo pravico imenovati funkcije sinus, kosinus, tangens in kotangens.

V tej lekciji je čas, da poskusimo abstrahirati prej obravnavane metode izračuna vrednosti trigonometričnih funkcij. Danes bomo prešli na običajno algebrski pristop pri delu s funkcijami si bomo ogledali njihove lastnosti in risali grafe.

Kar se tiče lastnosti trigonometričnih funkcij, torej Posebna pozornost je treba opozoriti:

Domen definicije in obseg vrednosti, saj za sinus in kosinus obstajajo omejitve glede območja vrednosti, za tangens in kotangens pa obstajajo omejitve glede območja definicije;

Periodičnost vseh trigonometričnih funkcij, ker Opazili smo že prisotnost najmanjšega neničelnega argumenta, katerega dodajanje ne spremeni vrednosti funkcije. Ta argument se imenuje perioda funkcije in je označen s črko . Za sinus/kosinus in tangens/kotangens sta ta obdobja različna.

Razmislite o funkciji:

1) Obseg opredelitve;

2) Razpon vrednosti ;

3) Funkcija je liha ;

Zgradimo graf funkcije. V tem primeru je priročno začeti konstrukcijo s sliko območja, ki omejuje graf od zgoraj s številko 1 in od spodaj s številko , ki je povezana z obsegom vrednosti funkcije. Poleg tega je za gradnjo koristno zapomniti vrednosti sinusov več osnovnih koti mize, na primer, da vam bo to omogočilo, da zgradite prvi polni "val" grafikona in ga nato ponovno narišete v desno in levo, pri čemer izkoristite dejstvo, da se bo slika ponavljala z odmikom za obdobje, tj. na .

Zdaj pa poglejmo funkcijo:

Glavne lastnosti te funkcije:

1) Obseg opredelitve;

2) Razpon vrednosti ;

3) Enakomerna funkcija To pomeni, da je graf funkcije simetričen glede na ordinato;

4) Funkcija ni monotona skozi celotno definicijsko področje;

Zgradimo graf funkcije. Tako kot pri konstruiranju sinusa je priročno začeti s sliko območja, ki omejuje graf na vrhu s številko 1 in na dnu s številko , ki je povezana z obsegom vrednosti funkcije. Na grafu bomo narisali tudi koordinate več točk, za katere si moramo zapomniti vrednosti kosinusov več glavnih kotov tabele, na primer, da lahko s pomočjo teh točk zgradimo prvi polni "val ” grafa in ga nato ponovno narišite v desno in levo, pri čemer izkoristite dejstvo, da se bo slika ponovila s premikom obdobja, tj. na .

Pojdimo k funkciji:

Glavne lastnosti te funkcije:

1) Domena razen , kjer . V prejšnjih lekcijah smo že pokazali, da ne obstaja. To izjavo je mogoče posplošiti z upoštevanjem tangentne dobe;

2) Razpon vrednosti, tj. tangentne vrednosti niso omejene;

3) Funkcija je liha ;

4) Funkcija monotono narašča znotraj svojih tako imenovanih tangentnih vej, ki jih bomo sedaj videli na sliki;

5) Funkcija je periodična s periodo

Zgradimo graf funkcije. V tem primeru je priročno začeti graditi s slike navpične asimptote grafike na točkah, ki niso vključene v območje definicije, tj. itd. Nato upodabljamo veje tangente znotraj vsakega od trakov, ki jih tvorijo asimptote, in jih pritiskamo na levo asimptoto in na desno. Hkrati ne pozabite, da se vsaka veja monotono povečuje. Vse veje prikazujemo na enak način, ker funkcija ima periodo enako . To je razvidno iz dejstva, da vsako vejo dobimo s premikom sosednje vzdolž abscisne osi.

In zaključimo s pogledom na funkcijo:

Glavne lastnosti te funkcije:

1) Domena razen , kjer . Iz tabele vrednosti trigonometričnih funkcij že vemo, da ne obstaja. To trditev je mogoče posplošiti z upoštevanjem kotangensne dobe;

2) Razpon vrednosti, tj. vrednosti kotangensa niso omejene;

3) Funkcija je liha ;

4) Funkcija monotono pada znotraj svojih vej, ki so podobne tangentnim vejam;

5) Funkcija je periodična s periodo

Zgradimo graf funkcije. V tem primeru, tako kot pri tangenti, je priročno začeti konstrukcijo z upodobitvijo navpičnih asimptot grafa v točkah, ki niso vključene v območje definicije, tj. itd. Nato upodabljamo veje kotangensa znotraj vsake od črt, ki jih tvorijo asimptote, in jih pritisnemo na levo asimptoto in na desno. Pri tem upoštevamo, da se vsaka veja monotono zmanjšuje. Vse veje upodabljamo podobno kot tangenta na enak način, ker funkcija ima periodo enako .

Ločeno je treba opozoriti, da imajo lahko trigonometrične funkcije s kompleksnimi argumenti nestandardno obdobje. To je približno o funkcijah obrazca:

Njihovo obdobje je enako. In še o funkcijah:

Njihovo obdobje je enako.

Kot lahko vidite, se za izračun novega obdobja standardno obdobje preprosto deli s faktorjem v argumentu. Ni odvisno od drugih modifikacij funkcije.

Podrobneje lahko razumete in razumete, od kod prihajajo te formule v lekciji o konstruiranju in preoblikovanju grafov funkcij.

Prišli smo do enega najpomembnejših delov teme “Trigonometrija”, ki ga bomo posvetili reševanju trigonometričnih enačb. Sposobnost reševanja takih enačb je pomembna na primer pri opisovanju nihajni procesi v fiziki. Predstavljajmo si, da ste prevozili nekaj krogov z gokartom v športnem avtomobilu; reševanje trigonometrične enačbe vam bo pomagalo ugotoviti, kako dolgo ste bili na dirki glede na položaj avtomobila na stezi.

Zapišimo najenostavnejšo trigonometrično enačbo:

Rešitev takšne enačbe so argumenti, katerih sinus je enak . Vemo pa že, da je zaradi periodičnosti sinusa takih argumentov neskončno veliko. Tako bo rešitev te enačbe itd. Enako velja za reševanje katere koli druge preproste trigonometrične enačbe neskončno število.

Trigonometrične enačbe so razdeljene na več glavnih vrst. Ločeno bi se morali ustaviti pri najpreprostejših, ker vse ostalo je odvisno od njih. Obstajajo štiri takšne enačbe (glede na število osnovnih trigonometričnih funkcij). Zanje so znane splošne rešitve;

Najenostavnejše trigonometrične enačbe in njihove splošne rešitve videti takole:

Upoštevajte, da morajo vrednosti sinusa in kosinusa upoštevati omejitve, ki so nam znane. Če na primer enačba nima rešitev in navedene formule ne bi smeli uporabiti.

Poleg tega navedene korenske formule vsebujejo parameter v obliki poljubnega celega števila. IN šolski kurikulum To je edini primer, ko rešitev enačbe brez parametra vsebuje parameter. To poljubno celo število kaže, da je mogoče zapisati neskončno število korenov katere koli od zgornjih enačb preprosto tako, da zamenjamo vsa cela števila po vrsti.

S podrobno izpeljavo teh formul se lahko seznanite s ponavljanjem poglavja »Trigonometrične enačbe« v programu algebre za 10. razred.

Ločeno je treba posvetiti pozornost reševanju posebnih primerov najpreprostejših enačb s sinusom in kosinusom. Te enačbe izgledajo takole:

Zanje ne bi smeli uporabljati formul iskanja splošne rešitve. Takšne enačbe je najprimerneje rešiti z uporabo trigonometričnega kroga, ki daje enostavnejši rezultat kot splošne formule za rešitev.

Na primer, rešitev enačbe je . Poskusite sami dobiti ta odgovor in rešite preostale navedene enačbe.

Poleg navedene najpogostejše vrste trigonometričnih enačb obstaja več standardnih. Navajamo jih ob upoštevanju tistih, ki smo jih že navedli:

1) Praživali, Na primer, ;

2) Posebni primeri najenostavnejših enačb, Na primer, ;

3) Enačbe s kompleksnim argumentom, na primer ;

4) Enačbe reducirane na najenostavnejše z izpeljavo skupni množitelj , Na primer, ;

5) Enačbe, reducirane na najpreprostejše s transformacijo trigonometričnih funkcij, Na primer, ;

6) Enačbe, reducirane na najpreprostejše s substitucijo, Na primer, ;

7) Homogene enačbe , Na primer, ;

8) Enačbe, ki jih je mogoče rešiti z uporabo lastnosti funkcij, na primer . Naj vas ne vznemirja dejstvo, da sta v tej enačbi dve spremenljivki;

Kot tudi enačbe, ki jih je mogoče rešiti z različne metode.

Poleg reševanja trigonometričnih enačb morate znati reševati njihove sisteme.

Najpogostejši tipi sistemov so:

1) V kateri je ena od enačb moč, na primer ;

2) Sistemi preprostih trigonometričnih enačb, na primer .

V današnji lekciji smo si ogledali osnovne trigonometrične funkcije, njihove lastnosti in grafe. Tudi srečala sva se splošne formule rešitve najpreprostejših trigonometričnih enačb, navedel glavne vrste takih enačb in njihove sisteme.

V praktičnem delu lekcije bomo preučili metode reševanja trigonometričnih enačb in njihovih sistemov.

polje 1.Reševanje posebnih primerov najenostavnejših trigonometričnih enačb.

Kot smo že povedali v glavnem delu lekcije, posebni primeri trigonometričnih enačb s sinusom in kosinusom oblike:

imeti več enostavne rešitve, kaj dajejo formule za splošne rešitve.

Za to se uporablja trigonometrični krog. Analizirajmo način njihovega reševanja na primeru enačbe.

Na trigonometričnem krogu upodabljamo točko, v kateri je vrednost kosinusa enaka nič, kar je tudi koordinata na abscisni osi. Kot lahko vidite, obstajata dve taki točki. Naša naloga je navesti, kaj kot je enak, ki ustreza tem točkam na krogu.

Začnemo šteti od pozitivne smeri abscisne osi (kosinusne osi) in pri nastavljanju kota pridemo do prve upodobljene točke, tj. ena rešitev bi bila ta vrednost kota. Še vedno pa smo zadovoljni s kotom, ki ustreza drugi točki. Kako priti vanj?

V tej lekciji si bomo ogledali osnovne trigonometrične funkcije, njihove lastnosti in grafi, in tudi seznam osnovne vrste trigonometričnih enačb in sistemov. Poleg tega navajamo splošne rešitve najenostavnejših trigonometričnih enačb in njihovi posebni primeri.

Ta lekcija vam bo pomagala pri pripravi na eno od vrst nalog B5 in C1.

Priprava na enotni državni izpit iz matematike

Eksperimentirajte

Lekcija 10. Trigonometrične funkcije. Trigonometrične enačbe in njihovi sistemi.

Teorija

Povzetek lekcije

Izraz "trigonometrična funkcija" smo že večkrat uporabili. V prvi lekciji te teme smo jih definirali s pravokotnim trikotnikom in enotskim trigonometričnim krogom. Z uporabo teh metod podajanja trigonometričnih funkcij že lahko sklepamo, da zanje ena vrednost argumenta (ali kota) ustreza točno eni vrednosti funkcije, tj. imamo pravico imenovati funkcije sinus, kosinus, tangens in kotangens.

V tej lekciji je čas, da poskusimo abstrahirati prej obravnavane metode izračuna vrednosti trigonometričnih funkcij. Danes bomo prešli na običajen algebrski pristop k delu s funkcijami, pogledali si bomo njihove lastnosti in upodabljali grafe.

Glede lastnosti trigonometričnih funkcij je treba posebno pozornost nameniti:

Domen definicije in obseg vrednosti, saj za sinus in kosinus obstajajo omejitve glede območja vrednosti, za tangens in kotangens pa obstajajo omejitve glede območja definicije;

Razmislite o funkciji:

1) Obseg opredelitve;

2) Razpon vrednosti ;

3) Funkcija je liha ;

Zgradimo graf funkcije. V tem primeru je priročno začeti konstrukcijo s sliko območja, ki omejuje graf od zgoraj s številko 1 in od spodaj s številko , ki je povezana z obsegom vrednosti funkcije. Poleg tega je za gradnjo koristno zapomniti vrednosti sinusov več glavnih kotov tabele, na primer, da vam bo to omogočilo, da sestavite prvi polni "val" grafa in ga nato ponovno narišete v desno in levo, pri čemer izkoristimo dejstvo, da se bo slika ponovila s premikom za piko, tj. na .

Zdaj pa poglejmo funkcijo:

Glavne lastnosti te funkcije:

1) Obseg opredelitve;

2) Razpon vrednosti ;

3) Enakomerna funkcija To pomeni, da je graf funkcije simetričen glede na ordinato;

4) Funkcija ni monotona skozi celotno definicijsko področje;

Pojdimo k funkciji:

Glavne lastnosti te funkcije:

1) Domena razen , kjer . V prejšnjih lekcijah smo že pokazali, da ne obstaja. To izjavo je mogoče posplošiti z upoštevanjem tangentne dobe;

2) Razpon vrednosti, tj. tangentne vrednosti niso omejene;

3) Funkcija je liha ;

4) Funkcija monotono narašča znotraj svojih tako imenovanih tangentnih vej, ki jih bomo sedaj videli na sliki;

5) Funkcija je periodična s periodo

Zgradimo graf funkcije. V tem primeru je priročno začeti konstrukcijo s prikazovanjem navpičnih asimptot grafa v točkah, ki niso vključene v definicijsko domeno, tj. itd. Nato upodabljamo veje tangente znotraj vsakega od trakov, ki jih tvorijo asimptote, in jih pritisnemo na levo asimptoto in na desno. Hkrati ne pozabite, da se vsaka veja monotono povečuje. Vse veje prikazujemo na enak način, ker funkcija ima periodo enako . To je razvidno iz dejstva, da vsako vejo dobimo s premikom sosednje vzdolž abscisne osi.

In zaključimo s pogledom na funkcijo:

Glavne lastnosti te funkcije:

1) Domena razen , kjer . Iz tabele vrednosti trigonometričnih funkcij že vemo, da ne obstaja. To trditev je mogoče posplošiti z upoštevanjem kotangensne dobe;

2) Razpon vrednosti, tj. vrednosti kotangensa niso omejene;

3) Funkcija je liha ;

4) Funkcija monotono pada znotraj svojih vej, ki so podobne tangentnim vejam;

5) Funkcija je periodična s periodo

Ločeno je treba opozoriti, da imajo lahko trigonometrične funkcije s kompleksnimi argumenti nestandardno obdobje. Govorimo o funkcijah oblike:

Njihovo obdobje je enako. In še o funkcijah:

Njihovo obdobje je enako.

Kot lahko vidite, se za izračun novega obdobja standardno obdobje preprosto deli s faktorjem v argumentu. Ni odvisno od drugih modifikacij funkcije.

Podrobneje lahko razumete in razumete, od kod prihajajo te formule v lekciji o konstruiranju in preoblikovanju grafov funkcij.

Prišli smo do enega najpomembnejših delov teme “Trigonometrija”, ki ga bomo posvetili reševanju trigonometričnih enačb. Sposobnost reševanja takšnih enačb je pomembna na primer pri opisovanju nihajnih procesov v fiziki. Predstavljajmo si, da ste vozili nekaj krogov v gokartu v športnem avtomobilu; reševanje trigonometrične enačbe vam bo pomagalo ugotoviti, kako dolgo ste bili na dirki glede na položaj avtomobila na stezi.

Zapišimo najenostavnejšo trigonometrično enačbo:

Najenostavnejše trigonometrične enačbe in njihove splošne rešitve videti takole:

Upoštevajte, da morajo vrednosti sinusa in kosinusa upoštevati omejitve, ki so nam znane. Če na primer enačba nima rešitev in navedene formule ne bi smeli uporabiti.

Poleg tega navedene korenske formule vsebujejo parameter v obliki poljubnega celega števila. V šolskem kurikulumu je to edini primer, ko rešitev enačbe brez parametra vsebuje parameter. To poljubno celo število kaže, da je mogoče zapisati neskončno število korenov katere koli od zgornjih enačb preprosto tako, da zamenjamo vsa cela števila po vrsti.

S podrobno izpeljavo teh formul se lahko seznanite s ponavljanjem poglavja »Trigonometrične enačbe« v programu algebre za 10. razred.

Ločeno je treba posvetiti pozornost reševanju posebnih primerov najpreprostejših enačb s sinusom in kosinusom. Te enačbe izgledajo takole:

Zanje ne bi smeli uporabljati formul za iskanje splošnih rešitev. Takšne enačbe je najprimerneje rešiti z uporabo trigonometričnega kroga, ki daje enostavnejši rezultat kot splošne formule za rešitev.

Na primer, rešitev enačbe je . Poskusite sami dobiti ta odgovor in rešite preostale navedene enačbe.

Poleg navedene najpogostejše vrste trigonometričnih enačb obstaja več standardnih. Navajamo jih ob upoštevanju tistih, ki smo jih že navedli:

1) Praživali, Na primer, ;

2) Posebni primeri najenostavnejših enačb, Na primer, ;

3) Enačbe s kompleksnim argumentom, na primer ;

4) Enačbe, zmanjšane na najpreprostejše z odvzemom skupnega faktorja, Na primer, ;

5) Enačbe, reducirane na najpreprostejše s transformacijo trigonometričnih funkcij, Na primer, ;

6) Enačbe, reducirane na najpreprostejše s substitucijo, Na primer, ;

7) Homogene enačbe, Na primer, ;

8) Enačbe, ki jih je mogoče rešiti z uporabo lastnosti funkcij, na primer . Naj vas ne vznemirja dejstvo, da sta v tej enačbi dve spremenljivki;

Pa tudi enačbe, ki se rešujejo z različnimi metodami.

Poleg reševanja trigonometričnih enačb morate znati reševati njihove sisteme.

Najpogostejši tipi sistemov so:

1) V kateri je ena od enačb moč, na primer ;

2) Sistemi preprostih trigonometričnih enačb, na primer .

V današnji lekciji smo si ogledali osnovne trigonometrične funkcije, njihove lastnosti in grafe. Seznanili smo se tudi s splošnimi formulami za reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb in navedli glavne vrste takih enačb in njihove sisteme.

V praktičnem delu lekcije bomo preučili metode reševanja trigonometričnih enačb in njihovih sistemov.

polje 1.Reševanje posebnih primerov najenostavnejših trigonometričnih enačb.

Kot smo že povedali v glavnem delu lekcije, posebni primeri trigonometričnih enačb s sinusom in kosinusom oblike:

imajo enostavnejše rešitve od tistih, ki jih dajejo splošne formule rešitev.

Za to se uporablja trigonometrični krog. Analizirajmo način njihovega reševanja na primeru enačbe.

Na trigonometričnem krogu upodabljamo točko, v kateri je vrednost kosinusa enaka nič, kar je tudi koordinata na abscisni osi. Kot lahko vidite, obstajata dve taki točki. Naša naloga je pokazati, čemur je enak kot, ki ustreza tem točkam na krogu.

Grafiranje trigonometričnih funkcij v 11. razredu

Najprej učiteljica matematike kvalifikacijska kategorija MAOU "Gimnazija št. 37", Kazan

Spiridonova L.V.

Trigonometrične funkcije številskega argumenta
y=sin(x)+m in y=cos(x)+m
Risanje grafov funkcij oblike y=sin(x+t) in y=cos(x+t)
Risanje grafov funkcij oblike y=A · greh(x) in y=A · cos(x)
Primeri

Trigonometrične funkcije numerični argument.

y=sin(x)

y=cos(x)

Grafiranje funkcije y = sinx .

Lastnosti funkcije y = greh ( x ) .

vsa realna števila ( R )

2. Območje sprememb (Območje vrednot) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Funkcija y = greh ( x) čudno, ker greh(-x ) = - sin x

π .

sin(x+2 π ) = sin(x).

5. Neprekinjeno delovanje

Padajoče: [ π /2; 3 π /2 ] .

6. Povečanje: [ - π /2; π /2 ] .

Grafiranje funkcije y = cos x .

Graf funkcije y = cos x pridobljeno s prenosom

graf funkcije y = greh x levo od π /2.

Lastnosti funkcije y = co s ( x ) .

1. Domena definicije funkcije je množica

vsa realna števila ( R )

2. Območje spremembe (Območje vrednosti), E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Funkcija y = cos (X) celo, ker cos(- X ) = cos (X)

Funkcija je periodična z glavno periodo 2 π .

cos( X + 2 π ) = cos (X) .

5. Neprekinjeno delovanje

Padajoče: [ 0 ; π ] .

6. Povečanje: [ π ; 2 π ] .

Gradnja

grafi funkcije obrazca

y = greh ( x ) +m

y = cos (X) + m.

0 ali navzdol, če je m " width="640"

Vzporedni prenos grafa vzdolž osi Oy

Graf funkcije y=f(x) + m Izkazalo se je vzporedni prenos funkcijska grafika y=f(x) , zgoraj m enote če m 0 ,

ali navzdol, če m .

0 y m 1 x" width="640"

Pretvorba: y= greh ( x ) +m

Shift y= greh ( x ) vzdolž osi l gor če m 0

0 y m 1 x" width="640"

Pretvorba: y= cos ( x ) +m

Shift y= cos ( x ) vzdolž osi l gor , Če m 0

Pretvorba: y=greh ( x ) +m

Shift y= greh ( x ) vzdolž osi l dol, če m 0

Pretvorba: y=cos ( x ) +m

Shift y= cos ( x ) vzdolž osi l dol, če m 0

Gradnja

grafi funkcije obrazca

y = greh ( x + t )

y = cos ( X +t )

0 in desno, če je t 0." width="640"

Vzporedni prenos grafa vzdolž osi Ox

Graf funkcije y = f(x + t) dobimo z vzporednim prenosom grafa funkcije y=f(x) vzdolž osi X na |t| merilne enote levo, če t 0

in prav , če t 0.

0 y 1 x t" width="640"

Pretvorba: y = sin(x + t)

premik y= f(x) vzdolž osi X levo, če t 0

0 y 1 x t" width="640"

Pretvorba: y= cos(x + t)

premik y= f(x) vzdolž osi X levo, če t 0

Pretvorba: y=sin(x+t)

premik y= f(x) vzdolž osi X prav, če t 0

Pretvorba: y= cos(x + t)

premik y= f(x) vzdolž osi X prav, če t 0

1 in 0 a 1" width="640"

Risanje grafov funkcij oblike y = A · greh ( x ) in y= A · cos ( x ) , pri a 1 in 0 A 1

1 in stiskanje na os Ox s koeficientom 0 A." width="640"

Stiskanje in raztezanje vzdolž osi Ox

Graf funkcije y=A · f(x ) dobimo z raztezanjem grafa funkcije y= f(x) s koeficientom A vzdolž osi Ox, če A 1 in stiskanje na os Ox s koeficientom 0 A .