Ravna črta, pravokotna na množico točk enake faze, se imenuje. Presek nevzporednih premic

Črte, določene s splošnimi enačbami: in

Dane premice so vzporedne, če in samo če

Ravne črte na ravnini, podane v obliki:
in
so pravokotni samo takrat, ko
(pri
). Te premice so vzporedne, če in samo če so njihovi nakloni enaki, tj.

Premice, definirane s svojimi kanoničnimi enačbami:
in
medsebojno pravokotna, če in samo če
Te premice so vzporedne, če je izpolnjen naslednji pogoj:

2.7. Presek nevzporednih premic

Če sta na ravnini podani dve premici:
in
, nato pa po izjavi 2 koordinate
presečišča teh črt je mogoče izračunati z uporabo formul:

Predavanje 10. Premica v prostoru

Splošna enačba premice

smerni vektor naravnost

Kanonična enačba premice

Parametrične enačbe premice

Enačba premice, ki poteka skozi 2 podani točki

in ležijo v isti ravnini

Premica in ravnina v prostoru

L- leži v ravnini

3.
če

Predavanje 11. Krivulje drugega reda

Krivulja drugega reda je geometrično mesto točk, določenih z enačbo: . Odvisno od vrste te krivulje se lahko enačba reducira na eno od kanoničnih, kar definira krivuljo, ki pripada enemu od razredov.

Klasifikacija krivulj drugega reda

Nedegenerirana Degenerirana

Hiperbola

Parabola

Pika (0;0)

Par sekajočih se črt

Par sovpadajočih črt

Par vzporednih črt

Kanonična enačba

Kanonična enačba
oz

Kanonična enačba

Znak degeneracije krivulje: enačbo lahko predstavimo kot produkt dveh faktorjev.

Krivulja drugega reda, podana s kanonično enačbo
, se imenuje elipsa. a, b – polose elipse. če
, To a- velika pol os, b- pomožna os.

Konstrukcija elipse, podane s kanonično enačbo
. Naj ima enačba elipse obliko
. Konstruirajmo ravne črtex= 6 in y= 3 . Presečišča teh premic s koordinatnimi osemi pripadajo elipsi. Povežimo jih z gladko krivuljo in dobimo želeni graf. Običajno je elipsa definirana kot geometrijsko mesto točk, vsota razdalj od katerih do žarišč elipse je konstantna vrednost in enaka 2. a. Goriščne koordinate iz enačbe elipse najdemo z uporabo formul
če je v enačbi
. če
, potem imajo žarišča koordinate
(elipsa je usmerjena navpično).

Optična lastnost elipse je, da če točkovni vir svetlobe postavimo v eno žarišče elipse, se bo njegova slika pojavila v drugem žarišču.

Ekscentričnost elipse je stopnja njenega raztezka - razmerje med razdaljo med središčem elipse in goriščem ter njeno veliko pol osjo, izračunano po formuli . Za elipso v splošni primer>1, če je , se elipsa spremeni v krog. Za elipso, podano z enačbo
ekscentričnost
, žarišča pa so na točkah
.

Obseg – poseben primer elipsa, podana z enačbo
, Kje R– polmer kroga. Krožnica ima 0, njegova žarišča pa sovpadajo s središčem (izhodiščem).

Hiperbola

Hiperbola – krivulja, definirana s kanonično enačbo
oz
.a, b sta polosi hiperbole. Polos, blizu katere je v enačbi znak "+", se imenuje realna. Neposredno
- asimptote hiperbole (graf teži k njim, vendar jih nikoli ne doseže).

Konstrukcija hiperbole

Konstrukcija hiperbole, podana z enačbo začnemo z odlaganjem dolžinskega segmenta vzdolž osi Ox a enote, vzdolž osi Oy pa – dolžina b enote. Gradnja ravnih linij
in
. Hiperbola se bo dotikala nastalega pravokotnika v dveh točkah
. Narišimo ravne črte
- asimptote hiperbole. Vzemimo še nekaj točk, da natančneje določimo obliko krivulje (več točk, bolje je). Vrsta krivulje (na primer, vzame se hiperbola, podana z enačbo
) je prikazano na sliki. Če enačba vsebuje hiperbole
spremenimo predznaka x in y, potem dobimo njeno konjugirano hiperbolo
, ki ima enake asimptote.

Tako kot elipso lahko tudi hiperbolo definiramo kot geometrijsko mesto točk, katerih razlika v oddaljenosti od žarišč je konstantna. Žarišča hiperbole imajo koordinate
, Kje
(vrednote a, b so vzeti iz enačbe hiperbole). Hiperbola, konjugirana z dano, bo imela žarišča v točkah
.

Optična lastnost hiperbole je, da če svetlobni vir postavimo v eno žarišče hiperbole, bo iz točke v neskončnosti viden, kot da bi bil v drugem žarišču.

Ekscentričnost hiperbole je stopnja njenega raztezka. Za hiperbolo (na splošno >1), podano z enačbo
ekscentričnost
, žarišča pa so na točkah
.

Parabola

Parabola je krivulja drugega reda, ki jo definira kanonična enačba oblike
oz
, Kje str– parameter parabole. Odvisno od vrste enačbe in vrednosti parametra so lahko veje parabole usmerjene:

Parabolo lahko definiramo kot geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od točke
- osredotočenost - in neposredno
- ravnateljice.

Optična lastnost parabole je, da če točkovni vir svetlobe postavimo v žarišče parabole, bo iz njega izšel vzporedni snop žarkov.

Redukcija enačb krivulj drugega reda na kanonično obliko.

Splošna enačba krivulje je in sprejemamo (za poenostavitev izračunov) B = 0. Obstajata dve metodi za transformacijo enačbe splošni pogled na kanonično:

Izbira celotnega kvadrata

Spremenljiva zamenjava

Za to enačbo je priročno uvesti zamenjavo v obliki:

, Kje x’ in l’ – nove spremenljivke.

Če A in C nista enaka 0, potem
- nov center krivulja drugega reda in x’ in l’ - nove osi.

1. Krivulja drugega reda je podana z enačbo
. Ugotovite, čemu ustreza.

Ta enačba ustreza krogu s premaknjenim središčem, ki ima kanonično enačbo, kjer je ( x 0 ;l 0) so koordinate središča kroga, R pa njegov polmer. Uporabimo izbirno metodo polni kvadrat najti kanonično obliko enačbe.

Torej ta enačba ustreza krogu s polmerom 2 enoti. s središčem v točki (2;0).

Zmanjšajte enačbo na kanonična oblika in narišite krivuljo:

Uporabimo metodo zamenjave spremenljivke. Imamo:

Rezultat je kanonična enačba elipse s središčem v točki (1;-2). Gradimo ga po zgoraj opisanem algoritmu.

Uporabljamo metodo izolacije celotnega kvadrata in zamenjave spremenljivke.

Rezultat je enačba parabole s središčem v točki (-2;2)

Doslej smo delali geometrijska optika in proučeval širjenje svetlobnih žarkov. Hkrati smo menili, da je pojem žarka intuitivno jasen in ga nismo definirali. Osnovne zakone geometrijske optike smo oblikovali kot postulate.
Zdaj pa se lotimo posla valovna optika, pri katerem se svetloba obravnava kot elektromagnetno valovanje. V okviru valovne optike je pojem žarka že mogoče strogo opredeliti. Osnovni postulat valovna teorija je Huygensovo načelo; zakoni geometrijske optike se izkažejo za njene posledice.

Valovite površine in žarki.

Predstavljajte si majhno žarnico, ki pogosto občasno utripa. Vsak blisk ustvari divergentno svetlobni val v obliki krogle, ki se širi (s središčem na žarnici). Ustavimo čas in poglejmo v vesolju zaustavljene svetlobne krogle, ki jih tvorijo bliski v različnih prejšnjih časovnih trenutkih.

Te krogle so tako imenovane valovne površine. Upoštevajte, da so žarki, ki prihajajo iz žarnice, pravokotni na valovne površine.

Da podamo strogo definicijo valovne površine, se najprej spomnimo, kaj je faza nihanja. Naj količina izvaja harmonična nihanja po zakonu:

Torej, faza je količina, ki je argument kosinusa. Faza, kot vidimo, narašča linearno s časom. Fazna vrednost pri je enaka in se imenuje
začetna faza.

Spomnimo se tudi, da valovanje predstavlja širjenje nihanja v prostoru. V primeru mehanskih valov bodo to nihanja delcev elastični medij, v primeru elektromagnetnega valovanja - nihanje vektorjev napetosti električno polje in indukcijo magnetnega polja.

Ne glede na to, katera valovanja obravnavamo, lahko rečemo, da se v vsaki točki prostora, ki jo zajame valovni proces, pojavijo nihanja določene velikosti; taka količina je niz koordinat nihajočega delca v primeru mehanskega valovanja ali niz koordinat vektorjev, ki opisujejo električno in magnetno polje v elektromagnetnem valovanju.

Faze nihanj na dveh različnih točkah v prostoru, na splošno, imajo drugačen pomen. Zanimivi so nizi točk, v katerih je faza enaka. Izkazalo se je, da niz točk, v katerih poteka faza nihanj ta trenutekčas ima fiksno vrednost in tvori dvodimenzionalno površino v prostoru.

Opredelitev. valovna površina - to je množica vseh točk v prostoru, v katerih ima faza nihanj v danem trenutku časa enako vrednost.

V kratkem, valovna površina je površina konstantne faze. Vsaka fazna vrednost ima svojo valovno površino. Niz različnih faznih vrednosti ustreza družini valovnih površin.

Sčasoma se faza na vsaki točki spremeni in valovna površina, ki ustreza fiksni vrednosti faze, se premika v prostoru. Zato lahko širjenje valov obravnavamo kot gibanje valovnih površin! Tako imamo na voljo priročne geometrijske podobe za opis fizikalnih valovnih procesov.

Na primer, če je točkovni vir svetlobe v prozornem homogeno okolje, potem so valovne površine koncentrične krogle z skupno središče v viru. Širjenje svetlobe se kaže kot širjenje teh krogel. To smo že videli zgoraj v situaciji z žarnico.

Samo ena valovna ploskev lahko prehaja skozi vsako točko v prostoru v določenem času. Pravzaprav, če predpostavimo, da dve valovni površini potekata skozi točko, ustreza različne pomene faze in , potem takoj dobimo protislovje: faza nihanj v točki bo hkrati enaka tema dvema različnima številoma.

Ker ena sama valovna ploskev poteka skozi točko, je tudi smer pravokotnice na valovno ploskev v dani točki enolično določena.

Opredelitev. žarek - to je črta v prostoru, ki je v vsaki točki pravokotna na valovno površino, ki poteka skozi to točko.

Z drugimi besedami, žarek je skupna pravokotna na družino valovnih površin. Smer žarka je smer širjenja valovanja. Vzdolž žarkov se valovna energija prenaša iz ene točke v prostoru v drugo.

Ko se valovanje širi, se meja premakne in ločuje območje prostora, ki ga je zajel proces valovanja, in območje, ki še ni moteno. Ta meja se imenuje valovna fronta. torej valovna fronta je množica vseh doseženih točk v prostoru oscilacijski proces v danem trenutku. Valovna fronta je poseben primer valovne površine; to je tako rekoč "prva" valovna površina.

Do najbolj enostavne vrste geometrijske površine vključujejo kroglo in ravnino. V skladu s tem imamo dva pomembna primera valovnih procesov z valovnimi ploskvami te oblike - to so sferični in ravni valovi.

Sferični val.

Val se imenuje sferične, če so njegove valovne površine krogle (slika 1).

Valovne površine so prikazane z modro pikčasto črto, zelene radialne puščice pa so žarki, pravokotni na valovne površine.

Razmislite o transparentnem homogenem mediju, fizične lastnosti ki so enake v vseh smereh. Točkovni vir svetlobe, postavljen v tak medij, oddaja sferične valove. To je jasno -
navsezadnje bo svetloba potovala v vse smeri z enako hitrostjo, zato bo vsaka valovna površina krogla.

no in svetlobni žarki, kot smo opazili, se v tem primeru izkažejo za navadne premočrtne geometrijski žarki začenši pri izviru. Ne pozabite na zakon premočrtno širjenje Sveta: v prosojnem homogenem mediju so svetlobni žarki ravne črte? V geometrijski optiki smo jo oblikovali kot postulat. Zdaj vidimo (za primer točkovnega vira), kako ta zakon sledi iz konceptov valovna narava Sveta.

V temi " Elektromagnetni valovi"uvedli smo koncept gostote toka sevanja:

Tukaj je energija, ki se skozi čas prenaša skozi površino, ki se nahaja pravokotno na žarke. Tako je gostota toka sevanja energija, ki jo valovanje prenese vzdolž žarkov skozi enoto površine na enoto časa.

V našem primeru je energija enakomerno porazdeljena po površini krogle, katere polmer se povečuje s širjenjem valovanja. Površina krogle je enaka: , zato za gostoto toka sevanja dobimo:

Kot vidimo, Gostota sevalnega toka v sferičnem valu je obratno sorazmerna s kvadratom razdalje do vira.

Ker je energija sorazmerna s kvadratom amplitude vibracij elektromagnetno polje, pridemo do zaključka, da amplituda nihanj v sferičnem valu je obratno sorazmerna z razdaljo do vira.

Ravni val.

Val se imenuje stanovanje, če so njegove valovne površine ravnine (slika 2).

Prikazano v modri pikčasti črti vzporedne ravnine, ki so valovne površine. Žarki - zelene puščice - se spet izkažejo za ravne črte.

Ravni val je ena najpomembnejših idealizacij valovne teorije; matematično je opisano najbolj preprosto. To idealizacijo lahko uporabimo na primer, ko smo pri zadostni dolga razdalja od vira. Takrat lahko v bližini opazovalne točke zanemarimo ukrivljenost sferične valovne ploskve in valovanje smatramo za približno ravno.

V prihodnosti bomo pri izpeljavi zakonov odboja in loma iz Huygensovega principa uporabljali ravne valove. Toda najprej se posvetimo samemu Huygensovemu principu.

Huygensovo načelo.

Zgoraj smo rekli, da si je širjenje valov priročno predstavljati kot gibanje valovnih površin. Toda po kakšnih pravilih se gibljejo valovne površine? Z drugimi besedami, kako ob poznavanju položaja valovne površine v danem trenutku določiti njen položaj v naslednjem trenutku?

Odgovor na to vprašanje daje Huygensov princip - glavni postulat valovne teorije. Huygensovo načelo enako velja tako za mehanske kot elektromagnetne valove.

Da bi bolje razumeli Huygensovo idejo, si poglejmo primer. Vrzimo pest kamenja v vodo. Vsak kamen bo proizvedel krožni val s središčem na točki, kjer kamen pade. Ti krožni valovi, ki se med seboj prekrivajo, bodo ustvarili celoten vzorec valov na površini vode. Pomembno je, da bodo vsi krožni valovi in valovni vzorec, ki ga ustvarijo, obstajali tudi potem, ko bodo kamni potoneli na dno. to je neposredni vzrok začetnih krožnih valov ne služijo kamni sami, ampak lokalne motnje površino vode na tistih mestih, kjer je padlo kamenje. Lokalne motnje same so viri razhajajočih se krožnih valov in nastajajočega valovnega vzorca, pri čemer ni več tako pomembno, kaj točno je vsako od teh motenj povzročilo - ali je bil to kamen, plovec ali kakšen drug predmet. Za opis poznejšega procesa valovanja je pomembno le, da so na določenih točkah na površini vode nastali krožni valovi.

Huygensova ključna zamisel je bila, da lokalne motnje lahko povzročijo ne samo tuji predmeti, kot je kamen ali plovec, ampak tudi val, ki se širi v vesolju!

Huygensovo načelo. Vsaka točka v prostoru, ki je vključena v valovni proces, sam postane vir sferičnih valov.

Ti sferični valovi, ki se širijo v vse smeri od vsake točke valovne motnje, se imenujejo sekundarni valovi. Nadaljnji razvoj valovnega procesa je sestavljen iz superpozicije sekundarnih valov, ki jih oddajajo vse točke, do katerih je valovni proces že uspel doseči.

Huygensovo načelo daje recept za konstruiranje valovne površine v določenem trenutku glede na njen znani položaj v določenem trenutku (slika 3).

Vsako točko prvotne valovne ploskve namreč obravnavamo kot vir sekundarnih valov. V tem času bodo sekundarni valovi prepotovali razdaljo , kjer je hitrost valovanja. Iz vsake točke stare valovne ploskve zgradimo krogle polmera ; nova valovna površina bo tangentna na vse te krogle. Pravijo tudi, da valovna površina v vsakem trenutku služi ovojnica družina sekundarnih valov.

Seveda pa za konstrukcijo valovne ploskve nismo dolžni vzeti sekundarnih valov, ki jih oddajajo točke, ki nujno ležijo na eni od prejšnjih valovnih ploskev. Želena valovna ploskev bo ovojnica družine sekundarnih valov, ki jih oddajajo točke katere koli površine, vključene v nihajni proces.

Na osnovi Huygensovega principa lahko izpeljemo zakone odboja in loma svetlobe, ki smo jih prej obravnavali le kot posplošitev eksperimentalnih dejstev.

Izpeljava odbojnega zakona.

Predpostavimo, da na vmesnik med dvema medijema pade ravninski val(slika 4). Popravimo dve točki te površine.

Dva vpadna žarka in prideta do teh točk; ravnina, pravokotna na te žarke, je valovna površina vpadnega vala.

V točki je narisana normala na zrcalno površino. Kot se spomnite, je vpadni kot.

Odbiti žarki in izhajajo iz točk I. Ravnina, pravokotna na te žarke, je valovna površina odbitega vala. Označimo zdaj odbojni kot; to želimo dokazati.

Vse točke segmenta služijo kot viri sekundarnih valov. Najprej valovna površina doseže točko. Potem, ko se vpadni val premika, so druge točke vključene v nihajni proces tega segmenta, in ne nazadnje - pika.

Skladno s tem se emisija sekundarnih valov začne najprej na točki; sferični val s središčem pri ima na sl. 4 največji radij. Ko se točki približamo, se polmeri sferičnih sekundarnih valov, ki jih oddajajo vmesne točke, zmanjšajo na nič - navsezadnje bo sekundarni val oddan tem kasneje, čim bližje je točki njegov izvor.

Valovna površina odbitega vala je ravnina, ki se dotika vseh teh sfer. Na naši planimetrični risbi je tangentni segment, narisan iz točke na velik krog s središčem v in polmerom .

Upoštevajte, da je polmer razdalja, ki jo prepotuje sekundarni val s središčem pri , medtem ko se valovna površina premika do točke. Recimo to malo drugače: čas gibanja sekundarnega vala od točke do točke je enak času gibanja vpadnega vala od točke do točke. Toda hitrosti gibanja vpadnih in sekundarnih valov sovpadajo - navsezadnje se to dogaja v istem mediju! Ker torej hitrosti in časi sovpadajo, so razdalje enake: .

Izkazalo se je, da sta pravokotna trikotnika enaka v hipotenuzi in nogi. Zato sta enakovredna in ustrezna ostri koti: . Upoštevati je treba, da (ker sta oba enaka) in (oba sta enaka).
Torej, - odbojni kot enak kotu pade, kar je bilo tudi potrebno.

Poleg tega iz konstrukcije na sl. 4 je lahko videti, da je izpolnjena tudi druga trditev lomnega zakona: vpadni žarek, odbiti žarek in normala na odbojno površino ležijo v isti ravnini.

Izpeljava lomnega zakona.

Zdaj bomo pokazali, kako lomni zakon sledi Huygenovemu principu. Za določnost bomo predpostavili, da se ravno elektromagnetno valovanje širi v zraku in pade na mejo s prozornim medijem (slika 5). Kot običajno je vpadni kot kot med vpadnim žarkom in normalo na površino, lomni kot pa kot med lomljenim žarkom in normalo.

Točka je prva točka segmenta, ki jo doseže valovna površina vpadnega vala; na točki se oddajanje sekundarnih valov začne najzgodaj. Naj bo čas, ki ga od tega trenutka potrebuje vpadni val, da doseže točko, to je, da prepotuje segment.

Označimo hitrost svetlobe v zraku in naj bo hitrost svetlobe v mediju . Medtem ko vpadni val prepotuje razdaljo in doseže točko, se bo sekundarni val od točke razširil na daljavo.

Ker torej. Kot rezultat, valovna površina ne vzporedno valovna površina – pride do loma svetlobe! V okviru geometrijske optike ni bilo podane nobene razlage, zakaj je bil pojav loma sploh opazen. Razlog za lom je v valovni naravi svetlobe in postane razumljiv s stališča
Huygensovo načelo: bistvo je v tem, da je hitrost sekundarnih valov v mediju manjša od hitrosti svetlobe v zraku, kar vodi do rotacije valovne površine glede na prvotni položaj.

Od pravokotne trikotnike in zlahka je videti, da in (zaradi kratkosti označeno z ). Tako imamo:

Če te enačbe delimo eno z drugo, dobimo:

Izkazalo se je, da je razmerje med sinusom vpadnega kota in sinusom lomnega kota enako konstantna vrednost, neodvisno od vpadnega kota. Ta količina se imenuje lomni količnik medija:

Rezultat je dobro znani lomni zakon:

Opomba: fizični pomen lomni količnik (kot razmerje med hitrostjo svetlobe v vakuumu in mediju) je bil ponovno pojasnjen zaradi Huygensovega načela.

Iz sl. 5 je očitna tudi druga izjava lomnega zakona: vpadni žarek, lomljeni žarek in normala na vmesnik ležijo v isti ravnini.

Isto telo lahko hkrati sodeluje pri dveh ali več gibih. Preprost primer je gibanje žoge, vržene pod kotom na vodoravno ravnino. Predpostavimo lahko, da je žoga udeležena v dveh neodvisnih medsebojno pravokotnih gibanjih: enakomernem vodoravnem in enakomerno spremenljivem navpičnem. isto telo ( materialna točka) lahko sodeluje pri dveh (ali več) nihajnih gibanjih.

Spodaj dodajanje nihanj razumejo definicijo zakona rezultantnega nihanja, če nihajni sistem hkrati sodeluje v več oscilacijskih procesih. Obstajata dva omejujoča primera - seštevanje nihanj v eno smer in seštevanje medsebojnih pravokotne vibracije.

2.1. Seštevanje harmoničnih vibracij ene smeri

1. Seštevek dveh istosmernih nihanj(sosmerna nihanja)

lahko izvedete z uporabo metode vektorskega diagrama (slika 9) namesto dodajanja dveh enačb.

Slika 2.1 prikazuje vektorje amplitud A 1(t) in A 2 (t) dodana nihanja v poljubnem trenutku t, ko sta fazi teh nihanj vsakokrat enaki in . Dodajanje nihanj se zmanjša na definicijo . Izkoristimo dejstvo, da vektorski diagram vsota projekcij vektorjev, ki se seštevajo, je enaka projekciji vektorske vsote teh vektorjev.

Nastalo nihanje v vektorskem diagramu ustreza vektorju amplitude in fazi.

Slika 2.1 – Seštevanje sosmernih nihanj.

Vektorska velikost A(t) je mogoče najti z uporabo kosinusnega izreka:

Faza nastalega nihanja je podana s formulo:

Če frekvenci dodanih nihanj ω 1 in ω 2 nista enaki, sta tako faza φ(t) kot amplituda A(t) Nastala nihanja se bodo sčasoma spreminjala. Dodana nihanja imenujemo neskladen v tem primeru.

2. Dve harmonični vibraciji x 1 in x 2 se imenujeta skladen, če njihova fazna razlika ni odvisna od časa:

Ker pa morata biti za izpolnitev pogoja skladnosti teh dveh nihanj njuni ciklični frekvenci enaki.

Amplituda nastalega nihanja, dobljena s seštevanjem sosmernih nihanj z enake frekvence(koherentna nihanja) je enako:

Začetno fazo nastalega nihanja je enostavno najti, če projicirate vektorje A 1 in A 2 naprej koordinatne osi OX in OU (glej sliko 9):

Torej, tudi nastalo nihanje, ki ga dobimo s seštevanjem dveh harmoničnih sosmernih nihanj z enakima frekvencama, je harmonično nihanje.

3. Preučimo odvisnost amplitude nastalega nihanja od razlike v začetnih fazah dodanih nihanj.

Če , kjer je n poljubno nenegativno celo število

(n = 0, 1, 2 ...), potem najmanj. Dodana nihanja v trenutku dodajanja so bila v protifaza. Ko je nastala amplituda enaka nič.

če , To , tj. nastala amplituda bo maksimum. V trenutku dodajanja so bila dodana nihanja v eni fazi, tj. bili v fazi. Če sta amplitudi dodanih nihanj enaki , to .

4. Seštevanje sosmernih nihanj z neenakimi, a podobnimi frekvencami.

Frekvenci dodanih nihanj nista enaki, temveč razlika v frekvencah veliko manj kot ω 1 in ω 2. Pogoj za bližino dodanih frekvenc je zapisan z relacijami.

Primer seštevanja sosmernih nihanj s podobnimi frekvencami je gibanje horizontale vzmetno nihalo, katerih togost vzmeti je nekoliko drugačna k 1 in k 2.

Naj bodo amplitude dodanih nihanj enake , začetne faze pa so enake nič. Takrat imajo enačbe dodanih nihanj obliko:

, .

Nastalo nihanje opisuje enačba:

Nastala enačba nihanja je odvisna od produkta dveh harmonične funkcije: ena – s frekvenco , drugo s frekvenco , kjer je ω blizu frekvenc dodanih nihanj (ω 1 ali ω 2). Nastalo nihanje lahko obravnavamo kot harmonično nihanje od spreminjanja do harmonični zakon amplituda. Ta nihajni proces se imenuje utripi. Strogo gledano, nastalo nihanje v splošnem primeru ni harmonično nihanje.

Absolutna vrednost kosinus je vzet, ker je amplituda pozitivna količina. Narava odvisnosti x res. med stepanjem je prikazano na sliki 2.2.

Slika 2.2 – Odvisnost pomika od časa med udarcem.

Amplituda utripov se počasi spreminja s frekvenco. Absolutna vrednost kosinusa se ponovi, če se njegov argument spremeni za π, kar pomeni, da se bo vrednost nastale amplitude ponovila po časovnem intervalu τ b, imenovanem obdobje utripov(Glejte sliko 12). Vrednost obdobja utripov je mogoče določiti iz naslednjega razmerja:

Vrednost je doba udarca.

Magnituda je obdobje nastalega nihanja (slika 2.4).

2.2. Seštevanje medsebojno pravokotnih vibracij

1. Model, na katerem je mogoče prikazati seštevanje medsebojno pravokotnih nihanj, je prikazan na sliki 2.3. Nihalo (materialna točka z maso m) lahko niha vzdolž osi OX in OU pod delovanjem dveh medsebojno pravokotno usmerjenih prožnostnih sil.

Slika 2.3

Zložena nihanja imajo obliko:

Frekvence nihanja so definirane kot , , kjer so , koeficienti togosti vzmeti.

2. Razmislite o primeru seštevanja dveh medsebojno pravokotna nihanja z enakimi frekvencami , kar ustreza stanju (enake vzmeti). Takrat bodo enačbe dodanih nihanj dobile obliko:

Ko je točka udeležena v dveh gibanjih hkrati, je lahko njena trajektorija različna in precej zapletena. Enačbo za trajektorijo nastalih nihanj na ravnini OXY pri seštevanju dveh medsebojno pravokotnih z enakimi frekvencami lahko določimo z izločitvijo izvirne enačbe za x in y čas t:

Vrsta trajektorije je določena z razliko v začetnih fazah dodanih nihanj, ki so odvisne od začetni pogoji(glej § 1.1.2). Razmislimo o možnih možnostih.

in če , kjer je n = 0, 1, 2…, tj. so dodana nihanja v fazi, potem bo enačba trajektorije imela obliko:

(Slika 2.3 a).


Slika 2.3.a	Slika 2.3 b

b) Če (n = 0, 1, 2 ...), tj. dodana nihanja so v protifazi, potem je enačba trajektorije zapisana takole:

(Slika 2.3b).

V obeh primerih (a, b) bo rezultujoče gibanje točke nihanje vzdolž premice, ki poteka skozi točko O. Frekvenca nastalega nihanja je enaka frekvenci dodanih nihanj ω 0, amplituda je določena z razmerjem.

Kraj dela: Mestna izobraževalna ustanova "Pokrovskaya Srednja šola okrožja Oktyabrsky"

Delovno mesto: učitelj fizike

Dodatne informacije: test je zasnovan glede na vsebino splošno izobraževalni program za 11. razred gimnazije

Možnost #1

Postopek zaznavanja predmetov s pomočjo radijskih valov se imenuje...

Postopek izolacije nizkofrekvenčnega signala se imenuje...

A. modulacija B. radar C. zaznavanje D. skeniranje

Ravna črta, pravokotna na množico točk enaka faza klical...

B. za odkrivanje predmetov;

A. žarek B. valovna fronta C. valovna površina

Valovna fronta je ...

A. zadnja valovna površina B. prva valovna površina

B. Katera koli valovna površina

A. žarek B. valovna fronta C. valovna površina

Kakšna formula se uporablja za določanje razdalje do predmeta med radarjem?

Test št. 3 »Elektromagnetni valovi. radio"

Možnost št. 2

Čemu je namenjen postopek odkrivanja?

A. za prenos signala dolge razdalje;

B. za odkrivanje predmetov;

B. Za poudarjanje nizkofrekvenčnega signala;

D. Za pretvorbo nizkofrekvenčnega signala.

Kako povečati frekvenco nihajnega kroga?

A. potrebno je zmanjšati kapacitivnost kondenzatorja in povečati induktivnost nihajnega kroga;

B. potrebno je povečati kapacitivnost kondenzatorja in zmanjšati induktivnost nihajnega kroga;

B. Zmanjšati je treba kapacitivnost kondenzatorja in induktivnost nihajnega kroga;

D. Treba je povečati tako kapacitivnost kondenzatorja kot induktivnost nihajnega kroga.

Postopek spreminjanja visokofrekvenčnih nihanj s pomočjo nizkofrekvenčnih nihanj imenujemo...

A. modulacija B. radar C. zaznavanje D. skeniranje

Elektromagnetno valovanje je ...

A. prečni B. vzdolžni C. Prečni in vzdolžni hkrati

A. modulacija B. radar C. zaznavanje D. skeniranje

A. R=2ct B. R=υt/2 C. R=ct/2 D. R=2υt

Oddaja zvočni signal izvajajo na dolge razdalje...

A. neposredni prenos zvočnega signala brez kakršnih koli transformacij;

B. z uporabo zaznanega signala;

B. Uporaba simuliranega signala.

A. žarek B. valovna fronta C. valovna površina

A. skeniranje B. radar C. Oddajanje D. Modulacija E. zaznavanje

Katero napravo lahko uporabimo za ustvarjanje elektromagnetnih valov?

A. radio B. TV C. Nihajni krog

D. Odprt nihajni krog

Množica točk iste faze se imenuje...

Valovna fronta je ...

Množica točk, ki jih je motnja dosegla v času t, se imenuje ...

A. žarek B. valovna fronta C. valovna površina

Ali modulirani signal prenaša informacije?

A. da, vendar tega ne zaznamo;

B. da, in to lahko neposredno zaznamo s svojimi slušnimi organi;

Kako deluje oddajni del radarja?

A. deluje nenehno B. se kadar koli spontano izklopi

B. Izklopi takoj po prenosu signala

Elektromagnetni valovi potujejo s hitrostjo, ki je enaka...

A. od katerega koli B. 3108 mm/s C. 3108 km/s D. 3108 m/s

Test št. 3 »Elektromagnetni valovi. radio"

Možnost št. 3

A. modulacija B. radar C. zaznavanje D. skeniranje

Čemu je namenjen postopek odkrivanja?

A. za prenos signalov na velike razdalje;

B. za odkrivanje predmetov;

B. Za poudarjanje nizkofrekvenčnega signala;

D. Za pretvorbo nizkofrekvenčnega signala.

Ali modulirani signal prenaša informacije?

A. da, vendar tega ne zaznamo;

B. da, in to lahko neposredno zaznamo s svojimi slušnimi organi;

Elektromagnetno valovanje je ...

A. prečni B. vzdolžni C. Prečni in vzdolžni hkrati

Postopek izolacije nizkofrekvenčnega signala se imenuje ....

A. modulacija B. radar C. zaznavanje D. skeniranje

Kakšna formula se uporablja za določanje razdalje do predmetov?

A. R=2ct B. R=υt/2 C. R=ct/2 D. R=2υt

Prenos zvočnih signalov na velike razdalje se izvaja ...

A. neposredni prenos zvočnega signala brez kakršnih koli transformacij;

B. z uporabo zaznanega signala;

B. Uporaba simuliranega signala.

Kako zmanjšati frekvenco nihajnega kroga?

A. potrebno je zmanjšati kapacitivnost kondenzatorja in povečati induktivnost nihajnega kroga;

B. potrebno je povečati kapacitivnost kondenzatorja in zmanjšati induktivnost nihajnega kroga;

B. Zmanjšati je treba kapacitivnost kondenzatorja in induktivnost nihajnega kroga;

D. Treba je povečati tako kapacitivnost kondenzatorja kot induktivnost nihajnega kroga.

Postopek zaznavanja predmetov s pomočjo radijskih valov se imenuje...

A. skeniranje B. radar C. Oddajanje D. Modulacija E. zaznavanje

Katero napravo lahko uporabimo za ustvarjanje elektromagnetnih valov?

A. radio B. TV C. Nihajni krog

D. Odprt nihajni krog

Množica točk iste faze se imenuje...

A. žarek B. valovna površina C. valovna fronta

Ravna črta, pravokotna na množico točk enake faze, se imenuje ...

A. žarek B. valovna fronta C. valovna površina

Elektromagnetni valovi potujejo s hitrostjo, ki je enaka...

A. od katerega koli B. 3108 mm/s C. 3108 km/s D. 3108 m/s

Valovna fronta je ...

A. zadnja valovna površina B. katera koli valovna površina

B. Površina prvega vala

Množica točk, ki jih je motnja dosegla v času t, se imenuje ...

A. žarek B. valovna fronta C. valovna površina

Kako deluje sprejemni del radarja?

A. deluje nenehno B. se kadar koli spontano izklopi

V. se vklopi takoj po prenosu signala

Test št. 3 »Elektromagnetni valovi. radio"

Možnost št. 4

Postopek zaznavanja predmetov s pomočjo radijskih valov se imenuje...

A. skeniranje B. radar C. Oddajanje D. Modulacija E. zaznavanje

Množica točk iste faze se imenuje...

A. žarek B. valovna površina C. valovna fronta

Katero napravo lahko uporabimo za ustvarjanje elektromagnetnih valov?

A. radio B. TV C. Nihajni krog

D. Odprt nihajni krog

Postopek spreminjanja visokofrekvenčnih nihanj s pomočjo nizkofrekvenčnih nihanj imenujemo...

A. modulacija B. radar C. zaznavanje D. skeniranje

Kako deluje oddajni del radarja?

A. deluje nenehno B. se kadar koli spontano izklopi

B. Izklopi takoj po prenosu signala

Kakšna formula se uporablja za določanje razdalje do predmetov?

A. R=2ct B. R=υt/2 C. R=ct/2 D. R=2υt

Postopek izolacije nizkofrekvenčnega signala se imenuje ....

A. modulacija B. radar C. zaznavanje D. skeniranje

Ali zaznani signal nosi informacijo?

A. da, vendar tega ne zaznamo;

B. da, in to lahko neposredno zaznamo s svojimi slušnimi organi;

Prenos zvočnih signalov na velike razdalje se izvaja ...

A. neposredni prenos zvočnega signala brez kakršnih koli transformacij;

B. z uporabo zaznanega signala;

B. Uporaba simuliranega signala.

Kako zmanjšati nihajno dobo nihajnega kroga?

A. potrebno je zmanjšati kapacitivnost kondenzatorja in povečati induktivnost nihajnega kroga;

B. potrebno je povečati kapacitivnost kondenzatorja in zmanjšati induktivnost nihajnega kroga;

B. Zmanjšati je treba kapacitivnost kondenzatorja in induktivnost nihajnega kroga;

D. Treba je povečati tako kapacitivnost kondenzatorja kot induktivnost nihajnega kroga.

Ravna črta, pravokotna na množico točk enake faze, se imenuje ...

A. žarek B. valovna fronta C. valovna površina

Čemu je namenjen postopek modulacije?

A. za prenos signalov na velike razdalje;

B. za odkrivanje predmetov;

B. Za poudarjanje nizkofrekvenčnega signala;

D. Za pretvorbo nizkofrekvenčnega signala.

Elektromagnetno valovanje je ...

A. prečni B. vzdolžni C. Prečni in vzdolžni hkrati

Valovna fronta je ...

A. zadnja valovna površina B. katera koli valovna površina

B. Površina prvega vala

Množica točk, ki jih je motnja dosegla v času t, se imenuje ...

A. žarek B. valovna fronta C. valovna površina

Elektromagnetni valovi potujejo s hitrostjo, ki je enaka...

A. od katerega koli B. 3108 mm/s C. 3108 km/s D. 3108 m/s

Bibliografija:

Fizika: Učbenik. za 11. razred Splošna izobrazba ustanove / G. Ya. Myakishev, B. B. Bukhovtsev. - 15. izd. - M .: Izobraževanje, 2015.-381 str.

Fizika. Problemska knjiga. 10-11 razredi: Priročnik za splošno izobraževanje. ustanove / Rymkevich A.P. - 12. izd., stereotip. - M .: Bustard, 2008. - 192 str.

Neodvisni in testne pole. Fizika. Kirik, L. A. P.-M.: Ilexa, 2005.