Izračunajte krivuljni integral 1. vrste vzdolž krožnice. Krivulja je podana v pravokotnih pravokotnih koordinatah

Teoretični minimum

Krivuljne in površinske integrale pogosto najdemo v fiziki. Na voljo so v dveh vrstah, od katerih je prva obravnavana tukaj. to
vrsta integralov je zgrajena glede na splošna shema, s katerim so uvedeni določeni, dvojni in trojni integrali. Na kratko se spomnimo te sheme.
Obstaja nek predmet, nad katerim se izvaja integracija (enodimenzionalno, dvodimenzionalno ali tridimenzionalno). Ta predmet je razbit na majhne dele,
v vsakem delu je izbrana točka. Na vsaki od teh točk se vrednost integranda izračuna in pomnoži z mero dela, ki
pripada dano točko(dolžina segmenta, površina ali prostornina delne regije). Nato se vsi takšni zmnožki seštejejo in omejitev je izpolnjena
prehod na lomljenje predmeta na neskončno majhne dele. Dobljeno mejo imenujemo integral.

1. Definicija krivuljnega integrala prve vrste

Oglejmo si funkcijo, definirano na krivulji. Predpostavlja se, da je krivulja popravljiva. Spomnimo se, kaj to v grobem pomeni,
da lahko lomljeno črto s poljubno majhnimi členi vpišemo v krivuljo in je v limiti neskončna veliko število povezave, naj ostane dolžina prekinjene črte
dokončno. Krivulja je razdeljena na delne loke dolžine in na vsakem od lokov je izbrana točka. Delo se sestavlja
seštevanje se izvede po vseh delnih lokih . Nato se prehod do meje izvede s težnjo dolžine največje
od delnih lokov do nič. Limita je krivočrtni integral prve vrste
.
Pomembna lastnost tega integrala, ki neposredno izhaja iz njegove definicije, je njegova neodvisnost od smeri integracije, tj.
.

2. Definicija površinskega integrala prve vrste

Razmislite o funkciji, definirani na gladki ali delno gladki površini. Površina je razdeljena na delna območja
s področji se v vsakem takem območju izbere točka. Delo se sestavlja , se izvede seštevanje
na vseh delnih območjih . Nato se prehod do meje izvede s težnjo premera največjega od vseh delnih
območij na nič. Limita je površinski integral prve vrste
.

3. Izračun krivočrtnega integrala prve vrste

Metoda za izračun krivuljnega integrala prve vrste je razvidna že iz njegovega formalnega zapisa, dejansko pa sledi neposredno iz
definicije. Integral se reducira na določeno; zapisati morate le diferencial loka krivulje, po kateri se izvaja integracija.
Začnimo z preprost primer integracija vzdolž ravninske krivulje, podane z eksplicitno enačbo. V tem primeru diferencial obloka
.
Nato se v integrandu izvede sprememba spremenljivke in integral dobi obliko
,
kjer segment ustreza spremembi spremenljivke vzdolž tistega dela krivulje, vzdolž katerega se izvaja integracija.

Zelo pogosto je krivulja določena parametrično, tj. enačbe oblike Nato diferencial obloka
.
Ta formula je zelo preprosto utemeljena. V bistvu je to Pitagorov izrek. Diferencial loka je pravzaprav dolžina neskončno majhnega dela krivulje.
Če je krivulja gladka, potem lahko njen infinitezimalni del štejemo za pravočrtnega. Za premico imamo relacijo
.
Da bi ga lahko izvedli za majhen lok krivulje, bi se morali premakniti od končnih prirastkov do diferencialov:
.
Če je krivulja določena parametrično, se razlike preprosto izračunajo:
itd.
Skladno s tem se po spremembi spremenljivk v integrandu linijski integral izračuna na naslednji način:
,
kjer del krivulje, po katerem se izvaja integracija, ustreza segmentu spremembe parametra.

Situacija je nekoliko bolj zapletena v primeru, ko je krivulja podana v krivuljnih koordinatah. To vprašanje se običajno obravnava v okviru diferenciala
geometrija. Navedimo formulo za izračun integrala vzdolž podane krivulje polarne koordinate enačba:
.
Utemeljimo razliko loka v polarnih koordinatah. Podrobna razprava o konstrukciji mreže polarni sistem koordinate
cm. Izberimo majhen lok krivulje, ki se nahaja glede na koordinatne črte, kot je prikazano na sl. 1. Zaradi majhnosti vseh predstavljenih
loki, lahko ponovno uporabite Pitagorov izrek in zapišete:
.
Zato sledi želeni izraz za diferencial loka.

S čisto teoretična točka Z vizualne perspektive je dovolj, da preprosto razumemo, da je treba krivuljni integral prve vrste reducirati na njegov poseben primer -
na določen integral. Dejansko s spremembo, ki jo narekuje parametrizacija krivulje, po kateri se izračuna integral, ugotovimo
preslikava ena proti ena med delom dane krivulje in segmentom spremembe parametra. In to je redukcija na integral
vzdolž ravne črte, ki sovpada z koordinatna os- določen integral.

4. Izračun površinskega integrala prve vrste

Po prejšnji točki mora biti jasno, da je eden od glavnih delov izračuna površinskega integrala prve vrste pisanje površinskega elementa,
nad katerim se izvaja integracija. Spet začnimo s preprostim primerom površine, definirane z eksplicitno enačbo. Potem
.
V integrandu se izvede zamenjava, površinski integral pa se zmanjša na dvojnik:
,
kjer je območje ravnine, v katero je projiciran del površine, po katerem se izvaja integracija.

Pogosto pa je površine nemogoče definirati z eksplicitno enačbo, potem pa je definirana parametrično, tj. enačbe oblike
.
Element površine je v tem primeru zapisan bolj zapleteno:
.
Površinski integral lahko zapišemo takole:
,
kjer je območje spremembe parametrov, ki ustreza delu površine, na katerem se izvaja integracija.

5. Fizikalni pomen krivuljnih in površinskih integralov prve vrste

Obravnavani integrali so zelo preprosti in jasni fizični pomen. Naj obstaja neka krivulja, katere linearna gostota ni
konstanta in je funkcija točke . Poiščimo maso te krivulje. Razčlenimo krivuljo na veliko majhnih elementov,
znotraj katerega se njegova gostota lahko šteje za približno konstantno. Če je dolžina majhnega dela krivulje enaka , potem je njegova masa
, kjer je katera koli točka izbranega dela krivulje (katera koli, saj je gostota znotraj
ta kos se približno domneva, da je konstanten). V skladu s tem dobimo maso celotne krivulje s seštevanjem mas njenih posameznih delov:
.
Da bi bila enakost točna, je treba iti do meje razdelitve krivulje na neskončno majhne dele, vendar je to krivočrtni integral prve vrste.

Vprašanje celotnega naboja krivulje se reši podobno, če je znana linearna gostota naboja .

Te argumente je mogoče zlahka prenesti na primer neenakomerno nabite površine z površinska gostota napolniti . Potem
površinski naboj je površinski integral prve vrste
.

Opomba. Okorno formulo za površinski element, definiran parametrično, si je težko zapomniti. Drug izraz dobimo v diferencialni geometriji,
uporablja t.i prvi kvadratna oblika površine.

Primeri izračunov krivočrtni integrali prve vrste

Primer 1. Integral vzdolž premice.
Izračunaj integral

vzdolž črte, ki poteka skozi točke in .

Najprej zapišemo enačbo premice, vzdolž katere poteka integracija: . Poiščimo izraz za:
.
Izračunamo integral:

Primer 2. Integral vzdolž krivulje v ravnini.
Izračunaj integral

po loku parabole od točke do točke.

Nastavitvene točke in vam omogočajo, da izrazite spremenljivko iz enačbe parabole: .

Izračunamo integral:
.

Vendar pa je bilo mogoče izvesti izračune na drug način, pri čemer je bilo izkoriščeno dejstvo, da je krivulja podana z enačbo, razrešeno glede na spremenljivko.
Če vzamemo spremenljivko kot parameter, bo to vodilo do majhna sprememba izrazi za diferencial loka:
.
V skladu s tem se bo integral nekoliko spremenil:
.
Ta integral je enostavno izračunati tako, da spremenljivko nadomestimo z diferencialom. Rezultat je enak integral kot pri prvi metodi izračuna.

Primer 3. Integral vzdolž krivulje v ravnini (z uporabo parametrizacije).
Izračunaj integral

vzdolž zgornje polovice kroga .

Eno od spremenljivk seveda lahko izrazite iz enačbe kroga, ostale izračune pa nato izvedete na standarden način. Lahko pa uporabite tudi
specifikacija parametrične krivulje. Kot veste, lahko krog definiramo z enačbami. Zgornji polkrog
ustreza spremembi parametra znotraj . Izračunajmo diferencial loka:
.
torej

Primer 4. Integral vzdolž krivulje na ravnini, določeni v polarnih koordinatah.
Izračunaj integral

vzdolž desnega režnja lemniskate .

Zgornja risba prikazuje lemniskato. Integracijo je treba izvesti vzdolž njegovega desnega režnja. Poiščimo diferencial loka za krivuljo :
.
Naslednji korak je določitev meja integracije po polarnem kotu. Jasno je, da mora biti neenakost izpolnjena in zato
.
Izračunamo integral:

Primer 5. Integral po krivulji v prostoru.
Izračunaj integral

vzdolž obrata vijačnice, ki ustreza mejam spremembe parametrov

Za primer, ko je domena integracije odsek neke krivulje, ki leži v ravnini. Splošni zapis za črtni integral je naslednji:

Kje f(x, l) je funkcija dveh spremenljivk in L- krivulja, vzdolž segmenta AB katera integracija poteka. Če je integrand enak ena, potem je premični integral enaka dolžini lok AB .

Kot vedno v integralni račun, krivočrtni integral razumemo kot mejo integralnih vsot nekaterih zelo majhnih delov nečesa zelo velikega. Kaj se povzame v primeru krivuljnih integralov?

Naj bo na ravnini segment AB nekaj krivulje L, in funkcijo dveh spremenljivk f(x, l) definirana na točkah krivulje L. Izvedimo naslednji algoritem s tem segmentom krivulje.

1. Razcepljena krivulja AB na dele s pikami (slike spodaj).
2. Prosto izberite točko v vsakem delu M.
3. Poiščite vrednost funkcije v izbranih točkah.
4. Vrednosti funkcij se pomnožijo z
   • dolžine delov v primeru krivocrtni integral prve vrste ;
   • projekcije delov na koordinatno os v primeru krivočrtni integral druge vrste .
5. Poišči vsoto vseh produktov.
6. Poiščite mejo najdene integralne vsote pod pogojem, da dolžina najdaljšega dela krivulje teži k nič.

Če omenjena meja obstaja, potem to limita integralne vsote in se imenuje krivočrtni integral funkcije f(x, l) vzdolž krivulje AB .

prve vrste

Primer krivočrtnega integrala
druga vrsta

Vstavimo naslednji zapis.

Mjaz ( ζ jaz ; η jaz)- točka s koordinatami, izbranimi na vsakem mestu.

fjaz ( ζ jaz ; η jaz)- vrednost funkcije f(x, l) na izbrani točki.

Δ sjaz- dolžina dela segmenta krivulje (v primeru krivulnega integrala prve vrste).

Δ xjaz- projekcija dela segmenta krivulje na os Ox(v primeru krivuljnega integrala druge vrste).

d= maxΔ s jaz- dolžina najdaljšega dela segmenta krivulje.

Krivočrtni integrali prve vrste

Na podlagi zgornjega o limitu integralnih vsot se črtni integral prve vrste zapiše takole:

.

Linijski integral prve vrste ima vse lastnosti, ki jih ima določen integral. Vendar obstaja ena pomembna razlika. Pri določenem integralu, ko se meje integracije zamenjajo, se predznak spremeni v nasprotno:

Pri krivuljnem integralu prve vrste ni pomembno, katera točka krivulje AB (A oz B) velja za začetek segmenta, kateri pa za konec, tj

.

Krivočrtni integrali druge vrste

Na podlagi povedanega o limiti integralnih vsot se krivočrtni integral druge vrste zapiše takole:

.

Pri krivuljnem integralu druge vrste, ko zamenjamo začetek in konec segmenta krivulje, se predznak integrala spremeni:

.

Pri sestavljanju integralne vsote krivuljnega integrala druge vrste vrednosti funkcije fjaz ( ζ jaz ; η jaz) lahko tudi pomnožimo s projekcijo delov segmenta krivulje na os Oj. Nato dobimo integral

.

V praksi se običajno uporablja unija krivuljnih integralov druge vrste, torej dveh funkcij f = p(x, l) in f = Q(x, l) in integrali

,

in vsota teh integralov

klical splošni krivuljni integral druge vrste .

Izračun krivuljnih integralov prve vrste

Izračun krivuljnih integralov prve vrste se zmanjša na izračun določenih integralov. Razmislimo o dveh primerih.

Naj bo na ravnini podana krivulja l = l(x) in segment krivulje AB ustreza spremembi spremenljivke x od a prej b. Nato na točkah krivulje funkcija integranda f(x, l) = f(x, l(x)) ("Y" mora biti izražen z "X") in diferencial loka in črtni integral je mogoče izračunati s formulo

.

Če je integral lažje integrirati čez l, potem moramo iz enačbe krivulje izraziti x = x(l) (»x« do »y«), kjer izračunamo integral s formulo

.

Primer 1.

Kje AB- odsek ravne črte med točkami A(1; −1) in B(2; 1) .

rešitev. Naredimo enačbo premice AB, z uporabo formule (enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki A(x1 ; l 1 ) in B(x2 ; l 2 ) ):

Iz enačbe premice izrazimo l skozi x :

Takrat in zdaj lahko izračunamo integral, saj imamo le še "X":

Naj bo podana krivulja v prostoru

Nato je treba na točkah krivulje funkcijo izraziti s parametrom t() in diferencial obloka , zato lahko krivuljni integral izračunamo s formulo

Podobno, če je na ravnini podana krivulja

,

potem se krivočrtni integral izračuna po formuli

.

Primer 2. Izračunajte črtni integral

Kje L- del krožnice

ki se nahaja v prvem oktantu.

rešitev. Ta krivulja je četrtina krožnice, ki se nahaja v ravnini z= 3. Ustreza vrednostim parametrov. Ker

potem diferencial obloka

Izrazimo funkcijo integranda skozi parameter t :

Zdaj, ko imamo vse izraženo s parametrom t, lahko zmanjšamo izračun tega krivuljnega integrala na določen integral:

Izračun krivuljnih integralov druge vrste

Tako kot pri krivuljnih integralih prve vrste se tudi izračun integralov druge vrste reducira na izračun določenih integralov.

Krivulja je podana v pravokotnih pravokotnih koordinatah

Naj bo krivulja na ravnini podana z enačbo funkcije "Y", izraženo z "X": l = l(x) in lok krivulje AB ustreza spremembi x od a prej b. Nato izraz od »y« do »x« nadomestimo v integrand in določimo diferencial tega izraza od »y« glede na »x«: . Zdaj, ko je vse izraženo z "x", se črtni integral druge vrste izračuna kot določen integral:

Krivuljni integral druge vrste se izračuna podobno, če je krivulja podana z enačbo funkcije "x", izraženo skozi "y": x = x(l) , . V tem primeru je formula za izračun integrala naslednja:

Primer 3. Izračunajte črtni integral

, Če

A) L- ravni segment O.A., Kje O(0; 0) , A(1; −1) ;

b) L- lok parabole l = x² od O(0; 0) do A(1; −1) .

a) Izračunajmo krivočrtni integral po odseku premice (na sliki modre barve). Zapišimo enačbo ravne črte in izrazimo »Y« skozi »X«:

.

Dobimo dy = dx. Rešimo ta krivočrtni integral:

b) če L- lok parabole l = x², dobimo dy = 2xdx. Izračunamo integral:

V pravkar rešenem primeru smo v dveh primerih dobili enak rezultat. In to ni naključje, ampak rezultat vzorca, saj ta integral izpolnjuje pogoje naslednjega izreka.

Izrek. Če funkcije p(x,l) , Q(x,l) in njihovi delni odvodi so zvezni v regiji D funkcije in v točkah v tem območju so parcialni odvodi enaki, potem krivočrtni integral ni odvisen od poti integracije vzdolž premice L ki se nahaja na območju D .

Krivulja je podana v parametrični obliki

Naj bo podana krivulja v prostoru

.

in v integrande, ki jih nadomestimo

izražanje teh funkcij prek parametra t. Dobimo formulo za izračun krivuljnega integrala:

Primer 4. Izračunajte črtni integral

,

če L- del elipse

izpolnjevanje pogoja l ≥ 0 .

rešitev. Ta krivulja je del elipse, ki se nahaja v ravnini z= 2. Ustreza vrednosti parametra.

krivočrtni integral lahko predstavimo v obliki določenega integrala in ga izračunamo:

Če je podan krivuljski integral in L je sklenjena črta, potem se tak integral imenuje zaprtozančni integral in ga je lažje izračunati z uporabo Greenova formula .

Več primerov izračunavanja premičnih integralov

Primer 5. Izračunajte črtni integral

Kje L- odsek ravne črte med točkama njegovega presečišča s koordinatnimi osmi.

rešitev. Določimo točke presečišča premice s koordinatnimi osemi. Zamenjava ravne črte v enačbo l= 0, dobimo ,. Nadomeščanje x= 0, dobimo ,. Torej, točka presečišča z osjo Ox - A(2; 0) , z osjo Oj - B(0; −3) .

Iz enačbe premice izrazimo l :

.

, .

Zdaj lahko črtni integral predstavimo kot določen integral in ga začnemo računati:

V integrandu izberemo faktor in ga premaknemo izven predznaka integrala. V dobljenem integrandu, ki ga uporabimo pripisovanje diferencialnemu predznaku in končno ga dobimo.

Krivulja AB, definirana s parametričnimi enačbami, se imenuje gladka, če imajo funkcije in zvezne odvode na odseku, in če na končnem številu točk na odseku ti odvodi ne obstajajo ali hkrati izginejo, potem se krivulja imenuje kosovno gladka. Naj bo AB ravna krivulja, gladka ali delno gladka. Naj bo f(M) funkcija, definirana na krivulji AB ali v neki domeni D, ki vsebuje to krivuljo. Razmislimo o razdelitvi krivulje A B na dele po točkah (slika 1). Na vsakem od lokov izberemo A^At+i poljubna točka Mk in naredite vsoto, kjer je Alt dolžina loka, in jo poimenujte integralna vsota za funkcijo f(M) po dolžini loka krivulje. Naj bo D / največja od dolžin delnih lokov, tj. Lastnosti krivuljnih integralov 1. vrste za prostorske krivulje Krivuljni integrali 2. vrste Izračun krivuljnega integrala Lastnosti Razmerje med definicijami. Če ima pri integralni vsoti (I). končna meja, ki ni odvisna niti od metode razdelitve krivulje AB na dele niti od izbire točk na vsakem od lokov razdelitve, potem se ta meja imenuje krivuljni integral \th vrste funkcije f( M) vzdolž krivulje AB (integral po dolžini loka krivulje) in je označen s simbolom. V tem primeru pravimo, da je funkcija /(M) integrabilna vzdolž krivulje ABU; krivulja A B se imenuje kontura integracija, A je začetna točka, B je končna točka integracije. Tako je po definiciji primer 1. Naj bo masa s spremenljivo linearno gostoto J(M) porazdeljena vzdolž neke gladke krivulje L. Poiščite maso m krivulje L. (2) Razdelimo krivuljo L na n poljubnih delov) in približno izračunajmo maso vsakega dela ob predpostavki, da je na vsakem delu gostota konstantna in enaka gostoti v kateri koli njegovi točki. , na primer na skrajni levi točki /(Af*). Takrat bo vsota ksh, kjer je D/d dolžina D-tega dela, približna vrednost mase m masa celotne krivulje L, tj. Toda meja na desni je krivuljni integral 1. vrste. Torej, 1.1. Obstoj krivuljnega integrala 1. vrste Vzemimo kot parameter na krivulji AB dolžino loka I, merjeno od začetne točke A (slika 2). Nato lahko krivuljo AB opišemo z enačbami (3), kjer je L dolžina krivulje AB. Enačbe (3) imenujemo naravne enačbe krivulje AB. Pri prehodu na naravne enačbe bo funkcija f(x) y), definirana na krivulji AB, reducirana na funkcijo spremenljivke I: / (x(1)) y(1)). Označimo z vrednostjo parametra I, ki ustreza točki Mku, prepišemo integralno vsoto (I) v obliki To je integralna vsota, ki ustreza določen integral Ker sta integralni vsoti (1) in (4) med seboj enaki, sta enaka tudi pripadajoča integrala. Tako (5) Izrek 1. Če je funkcija /(M) zvezna vzdolž gladke krivulje AB, potem obstaja krivočrtni integral (ker je pod temi pogoji v enačbi (5) na desni določen integral. 1.2. Lastnosti krivočrtnih integralov 1. vrste 1. Iz oblike integralne vsote (1) sledi, da je t.j. vrednost krivuljnega integrala 1. vrste ni odvisna od smeri integracije. 2. Linearnost. Če za vsako od funkcij /() obstaja krivuljasti integral vzdolž krivulje ABt, potem za funkcijo a/, kjer sta a in /3 poljubni konstanti, obstaja tudi krivočrtni integral vzdolž krivulje AB> in 3. Aditivnost . Če je krivulja AB sestavljena iz dveh delov in za funkcijo /(M) obstaja krivočrtni integral nad ABU, potem obstajajo integrali s 4. Če je 0 na krivulji AB, potem 5. Če je funkcija integrabilna na krivulji AB , potem funkcija || je tudi integrabilen na A B in hkrati b. Povprečna formula. Če je funkcija / zvezna vzdolž krivulje AB, potem je na tej krivulji točka Mc taka, da je L dolžina krivulje AB. 1.3. Izračun krivuljnega integrala 1. vrste Naj bo krivulja AB podana s parametričnimi enačbami, pri čemer točka A ustreza vrednosti t = to, točka B pa vrednosti. Predpostavimo, da so funkcije zvezne skupaj s svojimi odvodnicami in da je neenakost izpolnjena. Potem je diferencial loka krivulje izračunan po formuli. Zlasti, če je krivulja AB zvezna diferencibilen na [a, b] in točka A ustreza vrednosti x = a, točka B pa vrednost x = 6, potem, če vzamemo x kot parameter, dobimo 1,4. Krivuljni integrali 1. vrste za prostorske krivulje Definicija krivuljnega integrala 1. vrste, formulirana zgoraj za ravninsko krivuljo, je dobesedno prenesena na primer, ko je funkcija f(M) podana vzdolž neke prostorske krivulje AB. Naj bo krivulja AB podana s parametričnimi enačbami Lastnosti krivuljnih integralov 1. vrste za prostorske krivulje Krivuljni integrali 2. vrste Izračun krivuljnega integrala Lastnosti Razmerje med Potem lahko krivuljni integral, vzet vzdolž te krivulje, reduciramo na določen integral z uporabo naslednjo formulo: Primer 2. Izračunajte krivočrtni integral, kjer je L kontura trikotnika z oglišči v točki* (slika 3). Z lastnostjo aditivnosti imamo Izračunajmo vsakega od integralov posebej. Ker imamo na segmentu OA: , potem imamo na segmentu AN, kjer in potem sl. Končno, torej Opomba. Pri izračunu integralov smo uporabili lastnost 1, po kateri. Krivočrtni integrali 2. vrste Naj bo A B gladka ali delno gladko usmerjena krivulja na ravnini xOy in naj bo vektorska funkcija definirana v neki domeni D, ki vsebuje krivuljo AB. Razdelimo krivuljo AB na dele s točkami, katerih koordinate označimo z (slika 4). Na vsakem od elementarnih lokov AkAk+\ vzamemo poljubno točko in seštejemo D/ dolžino največjega od lokov. Če ima vsota (1) končno mejo, ki ni odvisna niti od načina razdelitve krivulje AB niti od izbire točk rjk) na elementarnih lokih, potem se ta meja imenuje krivočrtni integral 2-mesta vektorja funkcija vzdolž krivulje AB in je označena s simbolom So po definiciji Izrek 2. Če so v neki domeni D, ki vsebuje krivuljo AB, funkcije zvezne, potem obstaja krivuljni integral 2-mesta. Naj bo vektor radij točke M(x, y). Potem lahko integrand v formuli (2) predstavimo v obliki pikasti izdelek vektorja F(M) in dr. Torej lahko integral 2. vrste vektorske funkcije vzdolž krivulje AB na kratko zapišemo takole: 2.1. Izračun krivuljnega integrala 2. vrste Naj bo krivulja AB določena s parametričnimi enačbami, kjer so funkcije zvezne skupaj z odpeljankami na segmentu, sprememba parametra t iz t0 v t\ pa ustreza gibanju a točko vzdolž krivulje AB od točke A do točke B. Če so v nekem območju D, ki vsebuje krivuljo AB, funkcije zvezne, potem se krivočrtni integral 2. vrste reducira na naslednji določeni integral: Tako je izračun krivočrtni integral 2. vrste lahko reduciramo tudi na izračun določenega integrala. O) Primer 1. Izračunaj integral vzdolž premice, ki povezuje točke 2) vzdolž parabole, ki povezuje iste točke) Enačba parametra premice, od koder So 2) Enačba premice AB: Torej torej Obravnavani primer maže, da vrednost ukrivljenega integrala 2. vrste je na splošno odvisno od oblike integracijske poti. 2.2. Lastnosti krivočrtnega integrala 2. vrste 1. Linearnost. Če obstajajo Lastnosti krivuljnih integralov 1. vrste za prostorske krivulje Krivuljni integrali 2. vrste Izračun krivuljnega integrala Lastnosti Povezava med potem za vsak realni a in /5 obstaja integral, kjer 2. Additenost. Če je krivulja AB razdeljena na dela AC in SB in obstaja krivuljni integral, potem obstajajo tudi integrali. Zadnja lastnost fizikalne interpretacije krivuljnega integrala 2. vrste deluje zaščitno polje F vzdolž določene poti: ko se spremeni smer gibanja po krivulji, delo polja sil vzdolž te krivulje spremeni predznak v nasprotno. 2.3. Razmerje med krivuljnimi integrali 1. in 2. vrste Razmislite o krivuljnem integralu 2. vrste, kjer je usmerjena krivulja AB (A -. Izhodišče, IN - končna točka) je podana z vektorsko enačbo (tukaj je I dolžina krivulje, merjena v smeri, v katero je usmerjena krivulja AB) (slika 6). Potem je dr ali kjer je r = m(1) - enotski vektor tangenta na krivuljo AB v točki M(1). Potem Upoštevajte, da je zadnji integral v tej formuli krivočrtni integral 1. vrste. Ko se usmeritev krivulje AB spremeni, se enotski vektor tangente r nadomesti z nasprotnim vektorjem (-r), kar povzroči spremembo njenega predznaka integrand in s tem predznak samega integrala.

Problem krivulje mase. Naj bo v vsaki točki krivulje L: (AB) delno gladkega materiala določena njegova gostota. Določite maso krivulje.

Nadaljujmo enako kot pri določanju mase ravnega področja ( dvojni integral) in prostorsko telo (trojni integral).

1. Organiziramo razdelitev območja-loka L na elemente - elementarne loke tako da ti elementi nimajo skupnega notranje točke in
(stanje A )

2. Označimo "označene točke" M i na elementih particije in izračunamo vrednosti funkcije v njih

3. Sestavimo integralno vsoto
, Kje - dolžina loka (običajno sta uvedena enaka zapisa za lok in njegovo dolžino). To je približna vrednost za maso krivulje. Poenostavitev je v tem, da smo predpostavili, da je gostota loka konstantna pri vsakem elementu in vzeli končno število elementov.

Premik do predvidene meje
(stanje B ), dobimo kot limito integralnih vsot krivočrtni integral prve vrste:

.

Izrek o eksistenci 10 .

Naj funkcija
je zvezna na delno gladkem loku L 11. Potem obstaja linearni integral prve vrste kot limita integralnih vsot.

Komentiraj. Ta omejitev ni odvisna od

način izbire particije, če je izpolnjen pogoj A

izbira "označenih točk" na particijskih elementih,

način prečiščevanja particije, dokler je izpolnjen pogoj B

Lastnosti krivuljnega integrala prve vrste.

1. Linearnost a) lastnost superpozicije

b) lastnost homogenosti
.

Dokaz. Zapišimo integralne vsote za integrale na levih straneh enačb. Ker ima integralna vsota končno število členov, preidemo na integralne vsote za desne strani enačb. Nato preidemo do limite, s pomočjo izreka o limitnem prehodu v enakosti dobimo želeni rezultat.

2. Aditivnost.če
, to
=
+

Dokaz. Izberimo particijo regije L tako, da nobeden od particijskih elementov (na začetku in ob izpopolnjevanju particije) ne vsebuje tako elementov L ​​1 kot elementov L ​​2 hkrati. To lahko storimo z uporabo izreka o obstoju (opomba k izreku). Nato se dokaz izvede preko integralnih vsot, kot v 1. odstavku.

3.
.Tukaj – dolžina loka .

4. Če na lok neenakost je torej izpolnjena

Dokaz. Zapišimo neenakost za integralne vsote in preidimo na limito.

Upoštevajte, da je zlasti možno

5. Ocenjevalni izrek.

Če obstajajo konstante
, nekaj

Dokaz. Integracija neenakosti
(lastnost 4), dobimo
. Po lastnosti 1 konstante
lahko vzamemo izpod integralov. Z uporabo lastnosti 3 dobimo želeni rezultat.

6. Izrek o srednji vrednosti(vrednost integrala).

Obstaja točka
, Kaj

Dokaz. Od funkcije
neprekinjeno na zaprtem omejen nabor, potem obstaja spodnji rob
in zgornji rob
. Neenakost je izpolnjena. Če obe strani delimo z L, dobimo
. Toda številka
zaprt med spodnjo in zgornjo mejo funkcije. Od funkcije
zvezna na zaprti omejeni množici L, potem na neki točki
funkcija mora sprejeti to vrednost. torej
.

Predavanje 5 Krivočrtni integrali 1. in 2. vrste, njihove lastnosti..

Problem krivulje mase. Krivočrtni integral 1. vrste.

Problem krivulje mase. Naj bo v vsaki točki krivulje L: (AB) delno gladkega materiala določena njegova gostota. Določite maso krivulje.

Nadaljujmo enako kot pri določanju mase ravnega področja (dvojni integral) in prostorskega telesa ( trojni integral).

1. Razdelitev ločnega območja L razdelimo na elemente - elementarne loke tako, da ti elementi nimajo skupnih notranjih točk in( stanje A )

3. Konstruirajte integralno vsoto , kjer je dolžina loka (običajno je uveden enak zapis za lok in njegovo dolžino). to - približna vrednost masna krivulja. Poenostavitev je v tem, da smo predpostavili, da je gostota loka konstantna pri vsakem elementu in vzeli končno število elementov.

Premik do predvidene meje (stanje B ), dobimo kot limito integralnih vsot krivočrtni integral prve vrste:

.

Izrek o eksistenci.

Naj bo funkcija zvezna na delno gladkem loku L. Potem obstaja premični integral prve vrste kot limita integralnih vsot.

Komentiraj. Ta omejitev ni odvisna od

Lastnosti krivuljnega integrala prve vrste.

1. Linearnost
a) lastnost superpozicije

b) lastnost homogenosti .

Dokaz. Zapišimo integralne vsote za integrale na levih straneh enačb. Ker ima integralna vsota končno število členov, preidemo na integralne vsote za desne strani enačb. Nato preidemo do limite, s pomočjo izreka o limitnem prehodu v enakosti dobimo želeni rezultat.

2. Aditivnost.
če , to = +

3. Tukaj je dolžina loka.

4. Če je na loku neenakost izpolnjena, potem

Dokaz. Zapišimo neenakost za integralne vsote in preidimo na limito.

Upoštevajte, da je zlasti možno

5. Ocenjevalni izrek.

Če obstajajo konstante, potem

Dokaz. Integracija neenakosti (lastnost 4), dobimo . Z lastnostjo 1 lahko konstante odstranimo iz integralov. Z uporabo lastnosti 3 dobimo želeni rezultat.

6. Izrek o srednji vrednosti(vrednost integrala).

Obstaja točka , Kaj

Dokaz. Ker je funkcija zvezna na zaprti omejeni množici, potem njena infimuma obstaja in zgornji rob . Neenakost je izpolnjena. Če obe strani delimo z L, dobimo . Toda številka zaprt med spodnjo in zgornjo mejo funkcije. Ker je funkcija zvezna na zaprti omejeni množici L, mora funkcija na neki točki prevzeti to vrednost. torej .

Izračun krivočrtnega integrala prve vrste.

Parametrizirajmo lok L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Naj t 0 ustreza točki A in t 1 ustreza točki B. Potem se premični integral prve vrste reducira na določen integral ( - iz 1. semestra poznana formula za izračun diferenciala dolžine loka):

Primer. Izračunajte maso enega obrata homogene (z gostoto enako k) vijačnice: .

Krivočrtni integral 2. vrste.

Problem dela sile.

1. Organiziramo razdelitev regijskega loka AB na elemente - elementarne loke tako, da ti elementi nimajo skupnih notranjih točk in ( stanje A )

2. Označimo "označene točke" M i na elementih particije in izračunamo vrednosti funkcije v njih

3. Sestavimo integralno vsoto , kjer je vektor usmerjen vzdolž tetive, ki zajema -lok .

4. Prehod na zagotovljeno mejo (stanje B ), dobimo krivočrtni integral druge vrste kot limit integralnih vsot (in dela sile):

. Pogosto označeno

Izrek o eksistenci.

Naj bo vektorska funkcija zvezna na delno gladkem loku L. Potem obstaja krivočrtni integral druge vrste kot limita integralnih vsot.

.

Komentiraj. Ta omejitev ni odvisna od

Metoda izbire particije, če je izpolnjen pogoj A

Izbira "označenih točk" na particijskih elementih,

Metoda za izboljšanje particije, če je izpolnjen pogoj B

Lastnosti krivočrtnega integrala 2. vrste.

1. Linearnost
a) lastnost superpozicije

b) lastnost homogenosti .

Dokaz. Zapišimo integralne vsote za integrale na levih straneh enačb. Ker je število členov v integralni vsoti končno, z uporabo lastnosti skalarnega produkta preidemo na integralne vsote za desne strani enačb. Nato preidemo do limite, s pomočjo izreka o limitnem prehodu v enakosti dobimo želeni rezultat.

2. Aditivnost.
če , to = + .

Dokaz. Izberimo particijo regije L tako, da nobeden od elementov particije (na začetku in ob izpopolnjevanju particije) ne vsebuje hkrati elementa L 1 in elementa L 2 . To lahko storimo z uporabo izreka o obstoju (opomba k izreku). Nato se dokaz izvede preko integralnih vsot, kot v 1. odstavku.

3. Orientabilnost.

= -

Dokaz. Arc integral –L, tj. V negativno smer prečkanje loka je meja integralnih vsot, v členih katerih obstaja (). Odvzem "minusa" iz skalarnega produkta in iz vsote končno število pogoji, s prehodom na mejo, dobimo zahtevani rezultat.