F x shembuj zgjidhjesh. Llogaritësi online

>>Matematika: Çfarë do të thotë shënimi y = f(x) në matematikë?

Çfarë do të thotë shënimi y = f(x) në matematikë?

Kur studiojmë çdo proces real, zakonisht i kushtojmë vëmendje dy sasive të përfshira në proces (më shumë procese komplekse nuk përfshihen dy sasi, por tre, katër, etj., por ne nuk po shqyrtojmë ende procese të tilla): njëra prej tyre ndryshon sikur në vetvete, pavarësisht nga çdo gjë (një ndryshore të tillë e shënuam me shkronjën x), dhe një sasi tjetër merr vlera që varen nga vlerat e zgjedhura të ndryshores x (një variabël të tillë të varur e shënuam me shkronjën y). Modeli matematik i një procesi real është pikërisht regjistrimi në gjuhën matematikore i varësisë së y nga x, d.m.th. lidhjet ndërmjet ndryshoreve x dhe y. Le t'ju kujtojmë edhe një herë se deri më tani kemi studiuar modelet e mëposhtme matematikore: y = b, y = kx, y = kx + m, y = x 2.

A kanë ndonjë gjë të përbashkët këto modele matematikore? Hani! Struktura e tyre është e njëjtë: y = f(x).

Kjo hyrje duhet kuptuar si më poshtë: ekziston një shprehje f(x) me ndryshoren x, me ndihmën e së cilës gjenden vlerat e ndryshores y.

Matematikanët preferojnë shënimin y = f(x) për një arsye. Le të, për shembull, f(x) = x 2, d.m.th. ne po flasim për O funksionet y = x 2. Supozoni se duhet të zgjedhim disa vlera argumentesh dhe vlera funksioni përkatëse. Deri tani kemi shkruar kështu:

nëse x = 1, atëherë y = I 2 = 1;
nëse x = - 3, atëherë y = (- 3) 2 = 9, etj.

Nëse përdorim shënimin f(x) = x 2, atëherë shënimi bëhet më ekonomik:

f(1) = 1 2 =1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.

Pra, u njohëm me një fragment tjetër gjuha matematikore: shprehja “vlera e funksionit y = x 2 në pikën x = 2 është 4” shkruhet më e shkurtër:

"nëse y = f(x), ku f(x) = x 2, atëherë f(2) = 4."

Dhe këtu është një shembull i përkthimit të kundërt:

Nëse y = f(x), ku f(x) = x 2, atëherë f(- 3) = 9. Me fjalë të tjera, vlera e funksionit y = x 2 në pikën x = - 3 është 9.

Shembulli 1. Jepet një funksion y = f(x), ku f(x) = x 3. Llogaritni:

a) f(1); b) f(- 4); c) f(o); d) f(2a);
e) f(a-1); e) f(3x); g) f(-x).

Zgjidhje. Në të gjitha rastet, plani i veprimit është i njëjtë: duhet të zëvendësoni në shprehjen f(x) me x vlerën e argumentit që tregohet në kllapa dhe të kryeni llogaritjet dhe transformimet e duhura. Ne kemi:

Komentoni. Sigurisht, në vend të shkronjës f, mund të përdorni çdo shkronjë tjetër (kryesisht nga Alfabeti latin): g(x), h(x), s(x), etj.

Shembulli 2. Janë dhënë dy funksione: y = f(x), ku f(x) = x 2 dhe y = g (x), ku g (x) = x 3. Vërtetoni se:

a) f(-x) = f(x); b) g(-x)= -g(x).

Zgjidhje a) Meqenëse f(x) = x 2, atëherë f(- x) = (- x) 2 = x 2. Pra, f(x) = x 2, f(- x) = x 2, që do të thotë f(- x) = f (x)

b) Meqenëse g(x) = x 3, atëherë g(- x) = -x 3, d.m.th. g(-x) = -g(x).

Përdorimi modeli matematik i formës y = f(x) rezulton i përshtatshëm në shumë raste, veçanërisht kur përshkruhet procesi real formula të ndryshme në intervale të ndryshme ndryshimi në variablin e pavarur.

Duke përdorur grafikun e ndërtuar në figurën 68, do të përshkruajmë disa veti të funksionit y - f(x) - një përshkrim i tillë i vetive zakonisht quhet leximi i grafikut.

Leximi i një grafiku është një lloj kalimi nga modeli gjeometrik(nga një model grafik) në një model verbal (në një përshkrim të vetive të një funksioni). A
ndërtimi i një grafiku është një kalim nga një model analitik (ai është paraqitur në kushtin e shembullit 4) në një model gjeometrik.

Pra, le të fillojmë të lexojmë grafikun e funksionit y = f(x) (shih Fig. 68).

1. Ndryshorja e pavarur x kalon nëpër të gjitha vlerat nga - 4 në 4. Me fjalë të tjera, për secilën vlerë të x nga intervali [- 4, 4], mund të llogaritet vlera e funksionit f(x). Ata thonë këtë: [-4, 4] është fusha e përkufizimit të funksionit.

Pse, gjatë zgjidhjes së shembullit 4, thamë se f(5) nuk mund të gjendet? Po, sepse vlera x = 5 nuk i përket fushës së përcaktimit të funksionit.

2. y max = -2 (funksioni e arrin këtë vlerë në x = -4); Në Nanb. = 2 (funksioni e arrin këtë vlerë në çdo pikë të gjysmë-intervalit (0, 4].

3. y = 0 nëse 1 = -2 dhe nëse x = 0; në këto pika grafiku i funksionit y = f(x) pret boshtin x.

4. y > 0 nëse x є (-2, 0) ose nëse x є (0, 4]; në këto intervale grafiku i funksionit y = f(x) ndodhet mbi boshtin x.

5. y< 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. Funksioni rritet në intervalin [-4, -1], zvogëlohet në intervalin [-1, 0] dhe është konstant (as nuk rritet as zvogëlohet) në gjysmëintervalin (0.4).

Ndërsa mësojmë vetitë e reja të funksioneve, procesi i leximit të një grafiku do të bëhet më i pasur, kuptimplotë dhe interesant.

Le të diskutojmë një nga këto prona të reja. Grafiku i funksionit të diskutuar në shembullin 4 përbëhet nga tre degë (nga tre "copë"). Degët e para dhe të dyta (segmenti i drejtëz y = x + 2 dhe një pjesë e parabolës) "bashkohen" me sukses: segmenti përfundon në pikën (-1; 1), dhe seksioni i parabolës fillon në të njëjtën pikë. Por degët e dyta dhe të treta janë "bashkuar" më pak me sukses: dega e tretë ("copë" e vijës horizontale) fillon jo në pikën (0; 0), por në pikën (0; 4). Matematikanët thonë këtë: "funksioni y = f(x) i nënshtrohet një ndërprerjeje në x = 0 (ose në pikën x = 0)." Nëse një funksion nuk ka pika ndërprerjeje, atëherë ai quhet i vazhdueshëm. Pra, të gjitha funksionet që takuam në paragrafët e mëparshëm (y = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) janë të vazhdueshme.

Shembulli 5. Funksioni është dhënë. Duhet të ndërtoni dhe lexoni grafikun e tij.

Zgjidhje. Siç mund ta shihni, funksioni këtu është i përcaktuar mjaftueshëm shprehje komplekse. Por matematika është një shkencë e vetme dhe integrale, seksionet e saj janë të lidhura ngushtë me njëra-tjetrën. Le të përdorim atë që mësuam në kapitullin 5 dhe të zvogëlojmë thyesa algjebrike

e vlefshme vetëm nën kufizimin Prandaj, mund ta riformulojmë problemin si më poshtë: në vend të funksionit y = x 2
do të shqyrtojmë funksionin y = x 2, ku Le të vazhdojmë plan koordinativ xOy parabola y = x 2 .
Drejtëza x = 2 e pret atë në pikën (2; 4). Por sipas kushtit, kjo do të thotë që pikën (2; 4) të parabolës duhet ta përjashtojmë nga shqyrtimi, për çka këtë pikë e shënojmë me një rreth të lehtë në vizatim.

Kështu, ndërtohet grafiku i funksionit - kjo është një parabolë y = x 2 me një pikë "të shpuar" (2; 4) (Fig. 69).

Le të kalojmë në përshkrimin e vetive të funksionit y = f (x), d.m.th., duke lexuar grafikun e tij:

1. Ndryshorja e pavarur x merr çdo vlerë përveç x = 2. Kjo do të thotë se domeni i përkufizimit të funksionit përbëhet nga dy rrezet e hapura(- 0 o, 2) dhe

2. y max = 0 (arritet me x = 0), y max _ nuk ekziston.

3. Funksioni nuk është i vazhdueshëm ai pëson një ndërprerje në x = 2 (në pikën x = 2).

4. y = 0 nëse x = 0.

5. y > 0 nëse x є (-oo, 0), nëse x є (0, 2) dhe nëse x є (B,+oo).
6. Funksioni zvogëlohet në rreze (- co, 0], rritet në gjysmëintervalin .

Planifikimi kalendar-tematik në matematikë, video në matematikë online, Matematika në shkollë shkarko

A. V. Pogorelov, Gjeometria për klasat 7-11, Libër mësuesi për institucionet arsimore

Udhëzimet

Shembull Problemi 3: Një bllok 1 kg rrëshqet nga maja rrafsh i pjerrët në 5 sekonda, shtegu është 10 metra. Përcaktoni forcën e fërkimit nëse këndi i pjerrësisë së rrafshit është 45°. Konsideroni gjithashtu rastin kur blloku iu nënshtrua një force shtesë prej 2 N të aplikuar përgjatë këndit të prirjes në drejtim të lëvizjes.

Gjeni nxitimin e trupit në mënyrë të ngjashme me shembujt 1 dhe 2: a = 2*10/5^2 = 0,8 m/s2. Llogaritni forcën e fërkimit në rastin e parë: Ftr = 1*9.8*sin(45о)-1*0.8 = 7.53 N. Përcaktoni forcën e fërkimit në rastin e dytë: Ftr = 1*9.8*sin(45о) +2-1 *0,8= 9,53 N.

Rasti 6. Trupi lëviz përgjatë sipërfaqe e pjerrët në mënyrë të barabartë. Kjo do të thotë se sipas ligjit të dytë të Njutonit, sistemi është në ekuilibër. Nëse rrëshqitja është spontane, lëvizja e trupit i bindet ekuacionit: mg*sinα = Ftr.

Nëse një forcë shtesë (F) aplikohet në trup, duke parandaluar lëvizje e përshpejtuar në mënyrë uniforme, shprehja për lëvizje ka formën: mg*sinα–Ftr-F = 0. Nga këtu gjeni forcën e fërkimit: Ftr = mg*sinα-F.

Burimet:

• formula e rrëshqitjes

Në lëvizje relative dy trupa, midis tyre lind fërkimi. Mund të ndodhë edhe kur lëviz në gaz ose medium i lëngshëm. Fërkimi mund të pengojë dhe nxisë lëvizje normale. Si rezultat i këtij fenomeni, një forcë vepron mbi trupat që ndërveprojnë.

Udhëzimet

Shumica rast i përgjithshëm po shqyrton forcë, kur njëri prej trupave është i fiksuar dhe në qetësi, dhe tjetri rrëshqet përgjatë sipërfaqes së tij. Nga ana e trupit përgjatë së cilës trupi lëvizës rrëshqet, forca e reagimit mbështetës e drejtuar pingul me rrafshin rrëshqitës vepron në këtë të fundit. Kjo forcë është shkronja N. Një trup mund të jetë gjithashtu në qetësi në lidhje me një trup të palëvizshëm. Pastaj forca fërkimi, duke vepruar mbi të Ftrfërkimi. Varet nga materialet e sipërfaqeve të fërkimit, shkalla e lustrimit të tyre dhe një sërë faktorësh të tjerë.

Në rastin e lëvizjes së trupit në raport me sipërfaqen e një trupi të palëvizshëm, forca fërkimi rrëshqitja bëhet e barabartë me prodhimin e koeficientit fërkimi në forcë reagimet mbështetëse: Ftr = ?N.

Nëse sipërfaqja është horizontale, atëherë forca e reagimit mbështetës është e barabartë në modul me forcën e gravitetit në trup, domethënë N = mg, ku m është masa e trupit rrëshqitës, g është nxitimi i lirë, i barabartë me përafërsisht 9.8 m/(s^2) në Tokë. Prandaj, Ftr = ?mg.

Tani le të veprojë në trup një forcë konstante F>Ftr = ?N paralel me sipërfaqen e trupave kontaktues. Kur një trup rrëshqet, përbërësi që rezulton i forcës në drejtimin horizontal do të jetë i barabartë me F-Ftr. Pastaj, sipas ligjit të dytë të Njutonit, nxitimi i trupit do të lidhet me forcën që rezulton sipas formulës: a = (F-Ftr)/m. Prandaj, Ftr = F-ma. Përshpejtimi i një trupi mund të gjendet nga konsideratat kinematike.

Një rast i veçantë i konsideruar shpesh i forcës fërkimi kur një trup rrëshqet nga një plan fiks. Lëreni? - këndi i prirjes së rrafshit dhe lëreni trupin të rrëshqasë në mënyrë të barabartë, domethënë pa . Atëherë ekuacionet e lëvizjes së trupit do të duken kështu: N = mg*cos?, mg*sin? = Ftr = ?N. Pastaj nga ekuacioni i parë i lëvizjes forcë fërkimi mund të shprehet si Ftr = ?mg*cos? Nëse trupi lëviz përgjatë një rrafshi të pjerrët me a, atëherë ekuacioni i dytë do të ketë formën: mg*sin?-Ftr = ma. Atëherë Ftr = mg*sin?-ma.

Video mbi temën

Nëse forca e drejtuar paralelisht me sipërfaqen në të cilën ndodhet trupi tejkalon forcën statike të fërkimit, atëherë lëvizja do të fillojë. Ajo do të vazhdojë për aq kohë sa forca lëvizëse tejkalon forcën e fërkimit rrëshqitës, e cila varet nga koeficienti i fërkimit. Ju mund ta llogaritni vetë këtë koeficient.

Do t'ju duhet

• Dinamometër, peshore, raportor ose raportor

Udhëzimet

Gjeni masën e trupit në kilogramë dhe vendoseni në një sipërfaqe të sheshtë. Ngjitni një dinamometër në të dhe filloni të lëvizni trupin tuaj. Bëni këtë në mënyrë të tillë që leximet e dinamometrit të stabilizohen, duke ruajtur një shpejtësi konstante. Në këtë rast, forca tërheqëse e matur me dinamometri do të jetë e barabartë, nga njëra anë, me forcën tërheqëse, e cila tregohet nga dinamometri dhe nga ana tjetër, forca e shumëzuar me rrëshqitjen.

Matjet e marra do të na lejojnë të gjejmë këtë koeficient nga ekuacioni. Për ta bërë këtë, pjesëtoni forcën tërheqëse me peshën e trupit dhe numrin 9,81 (nxitimi gravitacional) μ=F/(m g). Koeficienti që rezulton do të jetë i njëjtë për të gjitha sipërfaqet e të njëjtit lloj si ato në të cilat është bërë matja. Për shembull, nëse një trup lëvizte në një dërrasë druri, atëherë ky rezultat do të jetë i vlefshëm për të gjithë trupat prej druri që lëvizin duke rrëshqitur në pemë, duke marrë parasysh cilësinë e përpunimit të tij (nëse sipërfaqet janë të përafërta, vlera e rrëshqitjes koeficienti i fërkimit do të ndryshojë).

Ju mund të matni koeficientin e fërkimit të rrëshqitjes në një mënyrë tjetër. Për ta bërë këtë, vendoseni trupin në një plan që mund të ndryshojë këndin e tij në lidhje me horizontin. Mund të jetë një tabelë e zakonshme. Më pas filloni me kujdes nga njëra anë. Në momentin kur trupi fillon të lëvizë, duke rrëshqitur poshtë një aeroplan si një sajë poshtë një kodre, gjeni këndin e prirjes së tij në lidhje me horizontin. Është e rëndësishme që trupi të mos lëvizë me nxitim. Në këtë rast, këndi i matur do të jetë jashtëzakonisht i vogël, në të cilin trupi do të fillojë të lëvizë nën . Koeficienti i fërkimit të rrëshqitjes do të jetë i barabartë me tangjenten e këtij këndi μ=tg(α).

Video mbi temën

Forca reagimet mbështet i referohet forcave elastike, dhe është gjithmonë i drejtuar pingul me sipërfaqen. I reziston çdo force që bën që trupi të lëvizë pingul me mbështetësen. Për ta llogaritur atë, duhet të identifikoni dhe zbuloni vlerën numerike të të gjitha forcave që veprojnë në trupin që qëndron në mbështetëse.

Do t'ju duhet

• - peshore;
• - shpejtësimatës ose radar;
• - goniometër.

Udhëzimet

Përcaktoni peshën e trupit duke përdorur peshore ose ndonjë metodë tjetër. Nëse trupi është në një sipërfaqe horizontale (dhe nuk ka rëndësi nëse është në lëvizje apo në qetësi), atëherë forca e mbështetjes është e barabartë me forcën e gravitetit në trup. Për ta llogaritur, shumëzoni masën e trupit me nxitimin e gravitetit, i cili është i barabartë me 9,81 m/s² N=m g.

Kur një trup lëviz përgjatë një rrafshi të pjerrët të drejtuar në një kënd me horizontalen, forca e reagimit të tokës është në një kënd me forcën e gravitetit. Në të njëjtën kohë, ai kompenson vetëm atë përbërës të gravitetit që vepron pingul me planin e pjerrët. Për të llogaritur forcën e reagimit mbështetës, përdorni një raportor për të matur këndin në të cilin ndodhet rrafshi në horizontale. Llogaritni forcë reaksion mbështetës, duke shumëzuar masën trupore me nxitimin e gravitetit dhe kosinusin e këndit në të cilin ndodhet rrafshi në horizont N=m g Cos(α).

Nëse një trup lëviz përgjatë një sipërfaqeje që është pjesë e një rrethi me rreze R, për shembull, një urë, atëherë forca e reagimit mbështetës merr parasysh forcën në drejtim nga qendra e rrethit, me një nxitim të barabartë me ai centripetal, që vepron në trup. Për të llogaritur forcën e reagimit të mbështetjes në pikën e sipërme, zbritni katrorin e shpejtësisë nga nxitimi i gravitetit në rreze.

Shumëzojeni numrin që rezulton me masën e trupit në lëvizje N=m (g-v²/R). Shpejtësia duhet të matet në metra për sekondë dhe rrezja në metra. Me një shpejtësi të caktuar, vlera e nxitimit të drejtuar nga qendra e rrethit mund të bëhet e barabartë, madje edhe nxitimi i gravitetit, në të cilën pikë ngjitja e trupit në sipërfaqe do të zhduket, prandaj, për shembull, shoferët duhet të kontrolloni qartë shpejtësinë në pjesë të tilla të rrugës.

Nëse është e drejtuar poshtë dhe trajektorja e trupit është konkave, atëherë llogaritni forcën e reagimit mbështetës duke i shtuar nxitimit të rënies së lirë raportin e katrorit të shpejtësisë dhe rrezes së lakimit të trajektores dhe shumëzoni rezultatin që rezulton me masa e trupit N=m (g+v²/R).

Burimet:

• mbështetje e forcës

Lëvizja në kushte reale nuk mund të vazhdojë pafundësisht. Arsyeja për këtë është fërkimi. Ndodh kur një trup bie në kontakt me trupa të tjerë dhe është gjithmonë i drejtuar në kundërshtim me drejtimin e lëvizjes. Kjo do të thotë se forca fërkimi performon gjithmonë negative puna, të cilat duhet të merren parasysh kur bëhen llogaritjet.

Do t'ju duhet

• - matës shiriti ose distancues;
• - tabela për përcaktimin e koeficientit të fërkimit;
• - koncepti i energjisë kinetike;
• - peshore;
• - kalkulator.

Udhëzimet

Nëse një trup lëviz në mënyrë të njëtrajtshme dhe në vijë të drejtë, gjeni forcën që e bën atë të lëvizë. Ajo kompenson forcën fërkimi, pra numerikisht e barabartë me të, por me anën. Duke përdorur një matës shiriti ose gjetës të rrezes, matni distancën S me të cilën forca F lëvizi trupin. Pastaj punoni forca fërkimi do të jetë i barabartë me produktin forca në një distancë me një shenjë minus A=-F∙S.

Shembull. Makina lëviz përgjatë rrugës në mënyrë të barabartë dhe në vijë të drejtë. E cila puna forca fërkimi në një distancë prej 200 m, nëse shtytja e motorit është 800 N? Me një forcë uniforme drejtvizore, forca tërheqëse e motorit është e barabartë në madhësi me forcën fërkimi. Atëherë puna e tij do të jetë e barabartë me A=-F∙S =-800∙200=-160000 J ose -160 kJ.

Në këtë shembull, ne do të shqyrtojmë se si vlerësohet besueshmëria e ekuacionit të regresionit që rezulton. I njëjti test përdoret për të testuar hipotezën se koeficientët e regresionit janë njëkohësisht të barabartë me zero, a=0, b=0. Me fjalë të tjera, thelbi i llogaritjeve është t'i përgjigjet pyetjes: a mund të përdoret për analiza dhe parashikime të mëtejshme?

Për të përcaktuar nëse variancat në dy mostra janë të ngjashme apo të ndryshme, përdorni këtë T-test.

Pra, qëllimi i analizës është të merret një vlerësim, me ndihmën e të cilit mund të thuhet se në një nivel të caktuar α, ekuacioni i regresionit që rezulton është statistikisht i besueshëm. Për këtë përdoret koeficienti i përcaktimit R 2.
Testimi i rëndësisë së një modeli regresioni kryhet duke përdorur testin F Fisher, vlera e llogaritur e të cilit gjendet si raport i variancës së serisë origjinale të vëzhgimeve të treguesit që studiohet dhe vlerësimit të paanshëm të variancës së sekuencës së mbetur. për këtë model.
Nëse vlera e llogaritur me k 1 =(m) dhe k 2 =(n-m-1) shkallë lirie është më e madhe se vlera e tabelës në një nivel të caktuar rëndësie, atëherë modeli konsiderohet i rëndësishëm.

ku m është numri i faktorëve në model.
Rëndësia statistikore e regresionit linear të çiftuar vlerësohet duke përdorur algoritmin e mëposhtëm:
1. Parashtrohet një hipotezë zero se ekuacioni në tërësi është statistikisht i parëndësishëm: H 0: R 2 =0 në nivelin e rëndësisë α.
2. Më pas, përcaktoni vlerën aktuale të kriterit F:


ku m=1 për regresionin çift.
3. Vlera e tabelës përcaktohet nga tabelat e shpërndarjes së Fisher për një nivel të caktuar rëndësie, duke marrë parasysh që numri i shkallëve të lirisë për shumën totale të katrorëve (variancë më e madhe) është 1 dhe numri i shkallëve të lirisë për pjesën e mbetur. shuma e katrorëve (variancë më e vogël) në regresionin linear është n-2 (ose përmes funksionit Excel FRIST(probabilitet,1,n-2)).
Tabela F është vlera maksimale e mundshme e kriterit nën ndikimin e faktorëve të rastësishëm në shkallë të caktuar të lirisë dhe nivelit të rëndësisë α. Niveli i rëndësisë α është probabiliteti për të refuzuar hipotezën e saktë, me kusht që ajo të jetë e vërtetë. Zakonisht α merret si 0.05 ose 0.01.
4. Nëse vlera aktuale e F-testit është më e vogël se vlera e tabelës, atëherë ata thonë se nuk ka arsye për të hedhur poshtë hipotezën zero.
Përndryshe, hipoteza zero hidhet poshtë dhe me probabilitet (1-α) pranohet hipoteza alternative për rëndësinë statistikore të ekuacionit në tërësi.
Vlera e tabelës së kriterit me shkallë lirie k 1 =1 dhe k 2 =48, tabela F = 4

konkluzione: Meqenëse vlera aktuale e tabelës F > F, koeficienti i përcaktimit është statistikisht i rëndësishëm ( vlerësimi i ekuacionit të regresionit të gjetur është statistikisht i besueshëm) .

Analiza e variancës

Treguesit e cilësisë së ekuacionit të regresionit

Shembull. Bazuar në një total prej 25 ndërmarrjesh tregtare, studiohet marrëdhënia midis karakteristikave të mëposhtme: X - çmimi i produktit A, mijë rubla; Y është fitimi i një ndërmarrje tregtare, milion rubla. Gjatë vlerësimit të modelit të regresionit, janë marrë këto rezultate të ndërmjetme: ∑(y i -y x) 2 = 46000; ∑(y i -y mesatar) 2 = 138000. Cili tregues korrelacioni mund të përcaktohet nga këto të dhëna? Llogaritni vlerën e këtij treguesi bazuar në këtë rezultat dhe duke përdorur Testi F Fisher nxirrni përfundime për cilësinë e modelit të regresionit.
Zgjidhje. Nga këto të dhëna mund të përcaktojmë raportin empirik të korrelacionit: , ku ∑(y mesatar -y x) 2 = ∑(y i -y mesatar) 2 - ∑(y i -y x) 2 = 138000 - 46000 = 92,000.
η 2 = 92,000/138000 = 0,67, η = 0,816 (0,7< η < 0.9 - связь между X и Y высокая).

Testi F Fisher: n = 25, m = 1.
R 2 = 1 - 46000/138000 = 0,67, F = 0,67/(1-0,67)x(25 - 1 - 1) = 46. Tabela F (1; 23) = 4,27
Meqenëse vlera aktuale F > Ftable, vlerësimi i gjetur i ekuacionit të regresionit është statistikisht i besueshëm.

Pyetje: Cilat statistika përdoren për të testuar rëndësinë e një modeli regresioni?
Përgjigje: Për rëndësinë e të gjithë modelit në tërësi, përdoren statistikat F (testi Fisher).

Përkufizimi. Le të përcaktohet funksioni \(y = f(x) \) në një interval të caktuar që përmban pikën \(x_0\) brenda vetes. Le t'i japim argumentit një rritje \(\Delta x \) në mënyrë që të mos largohet nga ky interval. Le të gjejmë inkrementin përkatës të funksionit \(\Delta y \) (kur lëvizim nga pika \(x_0 \) në pikën \(x_0 + \Delta x \)) dhe të hartojmë relacionin \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Nëse ka një kufi për këtë raport në \(\Delta x \rightarrow 0\), atëherë kufiri i specifikuar quhet derivat i një funksioni\(y=f(x) \) në pikën \(x_0 \) dhe shënojmë \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simboli y përdoret shpesh për të treguar derivatin. Vini re se y" = f(x) është një funksion i ri, por i lidhur natyrshëm me funksionin y = f(x), i përcaktuar në të gjitha pikat x në të cilat ekziston kufiri i mësipërm. Ky funksion quhet kështu: derivat i funksionit y = f(x).

Kuptimi gjeometrik i derivatitështë si më poshtë. Nëse është e mundur të vizatohet një tangjente në grafikun e funksionit y = f(x) në pikën me abshisë x=a, e cila nuk është paralele me boshtin y, atëherë f(a) shpreh pjerrësinë e tangjentes. :
\(k = f"(a)\)

Meqenëse \(k = tg(a) \), atëherë barazia \(f"(a) = tan(a) \) është e vërtetë.

Tani le të interpretojmë përkufizimin e derivatit nga pikëpamja e barazive të përafërta. Lëreni funksionin \(y = f(x)\) të ketë një derivat në një pikë specifike \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Kjo do të thotë se afër pikës x barazia e përafërt \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \përafërsisht f"(x) \), d.m.th. \(\Delta y \përafërsisht f"(x) \cdot\ Delta x\). Kuptimi kuptimplotë i barazisë së përafërt që rezulton është si vijon: rritja e funksionit është "pothuajse proporcionale" me rritjen e argumentit, dhe koeficienti i proporcionalitetit është vlera e derivatit në një pikë të caktuar x. Për shembull, për funksionin \(y = x^2\) barazia e përafërt \(\Delta y \përafërsisht 2x \cdot \Delta x \) është e vlefshme. Nëse analizojmë me kujdes përkufizimin e një derivati, do të zbulojmë se ai përmban një algoritëm për gjetjen e tij.

Le ta formulojmë.

Si gjendet derivati ​​i funksionit y = f(x)?

1. Rregulloni vlerën e \(x\), gjeni \(f(x)\)
2. Jepini argumentit \(x\) një rritje \(\Delta x\), shkoni në një pikë të re \(x+ \Delta x \), gjeni \(f(x+ \Delta x) \)
3. Gjeni shtimin e funksionit: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Krijo relacionin \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Llogaritni $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ky kufi është derivati ​​i funksionit në pikën x.

Nëse një funksion y = f(x) ka një derivat në një pikë x, atëherë ai quhet i diferencueshëm në një pikë x. Quhet procedura për gjetjen e derivatit të funksionit y = f(x). diferencimi funksionet y = f(x).

Le të diskutojmë pyetjen e mëposhtme: si lidhen me njëra-tjetrën vazhdimësia dhe diferencimi i një funksioni në një pikë?

Le të jetë funksioni y = f(x) i diferencueshëm në pikën x. Pastaj një tangjente mund të vizatohet në grafikun e funksionit në pikën M(x; f(x)), dhe, kujtojmë, koeficienti këndor i tangjentës është i barabartë me f "(x). Një graf i tillë nuk mund të "prishet" në pikën M, pra funksioni duhet të jetë i vazhdueshëm në pikën x.

Këto ishin argumente "praktike". Le të japim një arsyetim më rigoroz. Nëse funksioni y = f(x) është i diferencueshëm në pikën x, atëherë vlen barazia e përafërt \(\Delta y \përafërsisht f"(x) \cdot \Delta x\). Nëse në këtë barazi \(\Delta x \) tenton në zero, atëherë \(\Delta y \) do të priret në zero, dhe ky është kushti për vazhdimësinë e funksionit në një pikë.

Pra, nëse një funksion është i diferencueshëm në një pikë x, atëherë ai është i vazhdueshëm në atë pikë.

Deklarata e kundërt nuk është e vërtetë. Për shembull: funksioni y = |x| është e vazhdueshme kudo, veçanërisht në pikën x = 0, por tangjentja me grafikun e funksionit në "pikën e kryqëzimit" (0; 0) nuk ekziston. Nëse në një moment një tangjente nuk mund të vizatohet në grafikun e një funksioni, atëherë derivati ​​nuk ekziston në atë pikë.

Një shembull tjetër. Funksioni \(y=\sqrt(x)\) është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike, duke përfshirë pikën x = 0. Dhe tangjentja me grafikun e funksionit ekziston në çdo pikë, duke përfshirë pikën x = 0 Por në këtë pikë tangjentja përkon me boshtin y, d.m.th., është pingul me boshtin e abshisës, ekuacioni i tij ka formën x = 0. Një drejtëz e tillë nuk ka koeficient këndi, që do të thotë se \(f. "(0)\) nuk ekziston.

Pra, u njohëm me një veti të re të një funksioni - diferencibilitetin. Si mund të konkludohet nga grafiku i një funksioni se ai është i diferencueshëm?

Përgjigja në fakt është dhënë më lart. Nëse në një moment është e mundur të vizatoni një tangjente në grafikun e një funksioni që nuk është pingul me boshtin e abshisës, atëherë në këtë pikë funksioni është i diferencueshëm. Nëse në një moment tangjentja me grafikun e një funksioni nuk ekziston ose është pingul me boshtin e abshisës, atëherë në këtë pikë funksioni nuk është i diferencueshëm.

Rregullat e diferencimit

Operacioni i gjetjes së derivatit quhet diferencimi. Kur kryeni këtë operacion, shpesh duhet të punoni me koeficientët, shumat, produktet e funksioneve, si dhe "funksionet e funksioneve", domethënë funksionet komplekse. Bazuar në përkufizimin e derivatit, mund të nxjerrim rregulla diferencimi që e bëjnë këtë punë më të lehtë. Nëse C është një numër konstant dhe f=f(x), g=g(x) janë disa funksione të diferencueshme, atëherë sa vijon janë të vërteta rregullat e diferencimit:

Tabela e derivateve të disa funksioneve

Fjala "pushtet" është aq gjithëpërfshirëse saqë dhënia e një koncepti të qartë është një detyrë pothuajse e pamundur. Shumëllojshmëria nga forca e muskujve tek forca e mendjes nuk mbulon të gjithë spektrin e koncepteve të përfshira në të. Forca, e konsideruar si një sasi fizike, ka një kuptim dhe përkufizim të përcaktuar qartë. Formula e forcës specifikon një model matematikor: varësia e forcës nga parametrat bazë.

Historia e studimit të forcave përfshin përcaktimin e varësisë nga parametrat dhe vërtetimin eksperimental të varësisë.

Fuqia në fizikë

Forca është një masë e bashkëveprimit të trupave. Veprimi i ndërsjellë i trupave mbi njëri-tjetrin përshkruan plotësisht proceset që lidhen me ndryshimet në shpejtësinë ose deformimin e trupave.

Si një sasi fizike, forca ka një njësi matëse (në sistemin SI - Njuton) dhe një pajisje për matjen e saj - një dinamometër. Parimi i funksionimit të matësit të forcës bazohet në krahasimin e forcës që vepron në trup me forcën elastike të sustës së dinamometrit.

Forca prej 1 njutoni merret si forca nën ndikimin e së cilës një trup me peshë 1 kg e ndryshon shpejtësinë me 1 m në 1 sekondë.

Forca siç përcaktohet:

• drejtimi i veprimit;
• pika e aplikimit;
• modul, vlerë absolute.

Kur përshkruani ndërveprimin, sigurohuni që të tregoni këto parametra.

Llojet e ndërveprimeve natyrore: gravitacionale, elektromagnetike, të forta, të dobëta. Gravitacioni universal gravitacional me shumëllojshmërinë e tij - gravitetin) ekziston për shkak të ndikimit të fushave gravitacionale që rrethojnë çdo trup që ka masë. Studimi i fushave gravitacionale nuk ka përfunduar ende. Ende nuk është e mundur të gjendet burimi i fushës.

Një numër më i madh i forcave lindin për shkak të ndërveprimit elektromagnetik të atomeve që përbëjnë substancën.

Forca e presionit

Kur një trup ndërvepron me Tokën, ai ushtron presion në sipërfaqe. Forca e së cilës ka formën: P = mg, përcaktohet nga masa e trupit (m). Përshpejtimi për shkak të gravitetit (g) ka vlera të ndryshme në gjerësi të ndryshme të Tokës.

Forca vertikale e presionit është e barabartë në madhësi dhe e kundërt në drejtim me forcën elastike që lind në mbështetje. Formula e forcës ndryshon në varësi të lëvizjes së trupit.

Ndryshimi në peshën e trupit

Veprimi i një trupi në mbështetje për shkak të ndërveprimit me Tokën shpesh quhet peshë trupore. Është interesante se sasia e peshës trupore varet nga përshpejtimi i lëvizjes në drejtim vertikal. Në rastin kur drejtimi i nxitimit është i kundërt me nxitimin e gravitetit, vërehet një rritje në peshë. Nëse nxitimi i trupit përkon me drejtimin e rënies së lirë, atëherë pesha e trupit zvogëlohet. Për shembull, duke qenë në një ashensor në ngjitje, në fillim të ngjitjes një person ndjen një rritje në peshë për ca kohë. Nuk ka nevojë të thuhet se masa e tij ndryshon. Në të njëjtën kohë, ne ndajmë konceptet e "peshës së trupit" dhe "masës së saj".

Forca elastike

Kur forma e trupit ndryshon (deformimi i tij), shfaqet një forcë që tenton ta kthejë trupin në formën e tij origjinale. Kësaj force iu dha emri "forca elasticiteti". Ajo lind si rezultat i ndërveprimit elektrik të grimcave që përbëjnë trupin.

Le të shqyrtojmë deformimin më të thjeshtë: tensionin dhe ngjeshjen. Tensioni shoqërohet me një rritje të dimensioneve lineare të trupave, ngjeshje - me uljen e tyre. Sasia që karakterizon këto procese quhet zgjatim i trupit. Le ta shënojmë "x". Formula e forcës elastike lidhet drejtpërdrejt me zgjatjen. Çdo trup që i nënshtrohet deformimit ka parametrat e tij gjeometrikë dhe fizikë. Varësia e rezistencës elastike ndaj deformimit nga vetitë e trupit dhe materiali nga i cili është bërë përcaktohet nga koeficienti i elasticitetit, le ta quajmë ngurtësi (k).

Modeli matematik i ndërveprimit elastik përshkruhet nga ligji i Hukut.

Forca që lind gjatë deformimit të trupit drejtohet kundër drejtimit të zhvendosjes së pjesëve individuale të trupit dhe është drejtpërdrejt proporcionale me zgjatjen e tij:

• F y = -kx (në shënimin vektorial).

Shenja "-" tregon drejtimin e kundërt të deformimit dhe forcës.

Në formë skalare nuk ka asnjë shenjë negative. Forca elastike, formula e së cilës ka formën e mëposhtme F y = kx, përdoret vetëm për deformime elastike.

Ndërveprimi i fushës magnetike me rrymën

Efekti i një fushe magnetike në një rrymë të drejtpërdrejtë përshkruhet Në këtë rast, forca me të cilën fusha magnetike vepron në një përcjellës me rrymë të vendosur në të quhet forca Amper.

Ndërveprimi i fushës magnetike me shkakton shfaqjen e forcës. Forca e amperit, formula e së cilës është F = IBlsinα, varet nga (B), gjatësia e pjesës aktive të përcjellësit (l), (I) në përcjellës dhe këndi ndërmjet drejtimit të rrymës dhe induksionit magnetik. .

Falë varësisë së fundit, mund të argumentohet se vektori i veprimit të fushës magnetike mund të ndryshojë kur përcjellësi rrotullohet ose ndryshon drejtimi i rrymës. Rregulli i dorës së majtë ju lejon të përcaktoni drejtimin e veprimit. Nëse dora e majtë është e pozicionuar në atë mënyrë që vektori i induksionit magnetik të hyjë në pëllëmbë, katër gishtat drejtohen përgjatë rrymës në përcjellës, atëherë gishti i madh i përkulur 90 ° do të tregojë drejtimin e fushës magnetike.

Njerëzimi ka gjetur aplikime për këtë efekt, për shembull, në motorët elektrikë. Rrotullimi i rotorit shkaktohet nga një fushë magnetike e krijuar nga një elektromagnet i fuqishëm. Formula e forcës ju lejon të gjykoni mundësinë e ndryshimit të fuqisë së motorit. Ndërsa forca e rrymës ose e fushës rritet, çift rrotullimi rritet, gjë që çon në një rritje të fuqisë së motorit.

Trajektoret e grimcave

Ndërveprimi i një fushe magnetike me një ngarkesë përdoret gjerësisht në spektrografët e masës në studimin e grimcave elementare.

Veprimi i fushës në këtë rast shkakton shfaqjen e një force të quajtur forca e Lorencit. Kur një grimcë e ngarkuar që lëviz me një shpejtësi të caktuar hyn në një fushë magnetike, formula e së cilës ka formën F = vBqsinα, bën që grimca të lëvizë në një rreth.

Në këtë model matematikor, v është moduli i shpejtësisë së një grimce ngarkesa elektrike e së cilës është q, B është induksioni magnetik i fushës, α është këndi midis drejtimeve të shpejtësisë dhe induksionit magnetik.

Grimca lëviz në një rreth (ose hark të një rrethi), pasi forca dhe shpejtësia drejtohen në një kënd prej 90 ° me njëra-tjetrën. Ndryshimi i drejtimit të shpejtësisë lineare shkakton shfaqjen e nxitimit.

Rregulli i dorës së majtë, i diskutuar më lart, ndodh gjithashtu kur studiohet forca e Lorencit: nëse dora e majtë është e pozicionuar në atë mënyrë që vektori i induksionit magnetik të hyjë në pëllëmbë, katër gishtat e shtrirë në një vijë drejtohen përgjatë shpejtësisë së një grimca e ngarkuar pozitivisht, pastaj e përkulur me 90 ° gishti i madh do të tregojë drejtimin e forcës.

Probleme me plazmën

Ndërveprimi i një fushe magnetike dhe materies përdoret në ciklotrone. Problemet që lidhen me studimin laboratorik të plazmës nuk lejojnë që ajo të mbahet në enë të mbyllura. Një gaz shumë i jonizuar mund të ekzistojë vetëm në temperatura të larta. Plazma mund të mbahet në një vend në hapësirë ​​duke përdorur fusha magnetike, duke e përdredhur gazin në formën e një unaze. Ato të kontrolluara mund të studiohen gjithashtu duke përdredhur plazmën me temperaturë të lartë në një kordon duke përdorur fusha magnetike.

Një shembull i efektit të një fushe magnetike në kushte natyrore në gazin jonizues është Aurora Borealis. Ky spektakël madhështor vërehet mbi Rrethin Arktik në një lartësi prej 100 km mbi sipërfaqen e tokës. Shkëlqimi misterioz shumëngjyrësh i gazit mund të shpjegohej vetëm në shekullin e 20-të. Fusha magnetike e tokës pranë poleve nuk mund ta pengojë erën diellore të hyjë në atmosferë. Rrezatimi më aktiv, i drejtuar përgjatë vijave të induksionit magnetik, shkakton jonizimin e atmosferës.

Dukuritë që lidhen me lëvizjen e ngarkesës

Historikisht, sasia kryesore që karakterizon rrjedhën e rrymës në një përcjellës quhet forca e rrymës. Është interesante që ky koncept nuk ka të bëjë fare me forcën në fizikë. Forca e rrymës, formula e së cilës përfshin ngarkesën që rrjedh për njësi të kohës përmes seksionit kryq të përcjellësit, ka formën:

• I = q/t, ku t është koha e rrjedhjes së ngarkesës q.

Në fakt, rryma është shuma e tarifës. Njësia e saj e matjes është Amper (A), në krahasim me N.

Përkufizimi i punës së forcës

Forca e ushtruar mbi një substancë shoqërohet me kryerjen e punës. Puna e një force është një sasi fizike numerikisht e barabartë me produktin e forcës dhe zhvendosjes së kaluar nën veprimin e saj dhe kosinusit të këndit midis drejtimeve të forcës dhe zhvendosjes.

Puna e kërkuar e forcës, formula e së cilës është A = FScosα, përfshin madhësinë e forcës.

Veprimi i një trupi shoqërohet me ndryshim të shpejtësisë së trupit ose deformim, që tregon ndryshime të njëkohshme të energjisë. Puna e bërë nga një forcë varet drejtpërdrejt nga madhësia.