Buxheti i komunës institucioni arsimor
"Siverskaya mesatare shkolla e mesme nr. 3"
në matematikë.
E mbaroi punën
Nxënës i klasës 8-1
Emelin Pavel
Mbikëqyrës shkencor
mësues matematike
Tupitsyna Natalya Alekseevna
Fshati Siversky
2014
Matematika është e gjitha e përshkuar me bukuri dhe harmoni,
Thjesht duhet ta shihni këtë bukuri.
B. Mandelbrot
Hyrje________________________________________________3-4 fq.
Kapitulli 1.historia e shfaqjes së fraktaleve._______5-6pp.
Kapitulli 2. Klasifikimi i fraktaleve ______6-10pp.
Fraktale gjeometrike
Fraktale algjebrike
Fraktale stokastike
Kapitulli 3. "Gjeometria fraktale e natyrës"______11-13fq.
Kapitulli 4. Zbatimi i fraktaleve_________________13-15fq.
Kapitulli 5 Punë praktike________________16-24fq.
Përfundim________________________________25.faqe
Lista e referencave dhe burimeve të internetit________26 faqe.
Hyrje
Matematikë,
nëse e shikoni saktë,
pasqyron jo vetëm të vërtetën,
por edhe bukuri të pakrahasueshme.
Bertrand Russell
Fjala "fraktal" është diçka për të cilën shumë njerëz flasin këto ditë, nga shkencëtarët tek nxënësit e shkollave të mesme. Ajo shfaqet në kopertinat e shumë teksteve të matematikës, revista shkencore dhe kuti me kompjuter software. Imazhet me ngjyra të fraktaleve mund të gjenden kudo sot: nga kartolinat, bluzat e deri te fotografitë në desktopin e një kompjuteri personal. Pra, cilat janë këto forma me ngjyra që shohim përreth?
Matematika - shkenca e lashtë. Shumica e njerëzve u dukej se gjeometria në natyrë ishte e kufizuar në të tilla figura të thjeshta, si vija, rrethi, shumëkëndëshi, sfera, etj. Siç doli, shumë sistemet natyrore janë aq komplekse saqë përdorimi i vetëm objekteve të njohura të gjeometrisë së zakonshme për t'i modeluar duket i pashpresë. Si, për shembull, mund të ndërtoni një model të një vargu malor ose një kurore peme për sa i përket gjeometrisë? Si ta përshkruani atë diversitet diversiteti biologjik që vëzhgojmë në botën e bimëve dhe kafshëve? Si të imagjinoni kompleksitetin e sistemit të qarkullimit të gjakut, i përbërë nga shumë kapilarë dhe enë dhe dërgon gjak në çdo qelizë trupin e njeriut? Imagjinoni strukturën e mushkërive dhe veshkave, që të kujton në strukturën e pemëve me një kurorë të degëzuar?
Fraktalet janë mjete të përshtatshme për të eksploruar këto pyetje. Shpesh ajo që shohim në natyrë na intrigon me përsëritjen e pafund të të njëjtit model, të rritur ose pakësuar disa herë. Për shembull, një pemë ka degë. Në këto degë ka degë më të vogla etj. Teorikisht, elementi i degëzimit përsëritet pafundësisht, duke u bërë gjithnjë e më i vogël. E njëjta gjë mund të shihet kur shikoni fotografinë. terren malor. Mundohuni të zmadhoni pak më afër vargmalit malor --- do t'i shihni përsëri malet. Kështu manifestohet vetia e vetëngjashmërisë, karakteristikë e fraktaleve.
Studimi i fraktaleve hap mundësi të mrekullueshme, si në studimin e një numri të pafund aplikimesh, ashtu edhe në fushën e matematikës. Aplikimet e fraktaleve janë shumë të gjera! Në fund të fundit, këto objekte janë aq të bukura sa përdoren nga stilistë, artistë, me ndihmën e tyre vizatohen shumë elementë në grafikë: pemë, re, male, etj. Por fraktalet përdoren edhe si antena në shumë telefona celularë.
Për shumë kaologë (shkencëtarë që studiojnë fraktale dhe kaos) kjo nuk është e lehtë zonë e re njohuritë që ndërthurin matematikën, fizikën teorike, artin dhe teknologjinë kompjuterike janë një revolucion. Ky është zbulimi i një lloji të ri gjeometrie, gjeometria që përshkruan botën përreth nesh dhe që mund të shihet jo vetëm në tekstet shkollore, por edhe në natyrë dhe kudo në universin e pakufishëm..
Në punën time vendosa të “prek” botën e bukurisë dhe vendosa për veten time...
Qëllimi i punës: krijimi i objekteve, imazhet e të cilave janë shumë të ngjashme me ato natyrore.
Metodat e kërkimit: analiza krahasuese, sintezë, modelim.
Detyrat:
njohja me konceptin, historinë e origjinës dhe kërkimin e B. Mandelbrot,
G. Koch, V. Sierpinsky dhe të tjerë;
njohja me lloje të ndryshme të grupeve fraktale;
duke studiuar literaturën shkencore popullore për këtë çështje, duke u njohur me
hipoteza shkencore;
gjetja e konfirmimit të teorisë së fraktalitetit të botës përreth;
studimi i përdorimit të fraktaleve në shkencat e tjera dhe në praktikë;
kryerja e një eksperimenti për të krijuar imazhet tuaja fraktale.
Pyetje Themelore punon:
Për të treguar se matematika nuk është një lëndë e thatë dhe pa shpirt, ajo mund të shprehë botën shpirtërore të një personi individualisht dhe në tërësi.
Lënda e hulumtimit: Gjeometria fraktale.
Objekti i studimit: fraktale në matematikë dhe në botën reale.
Hipoteza: Çdo gjë që ekziston në botën reale është një fraktal.
Metodat e kërkimit: analitike, kërkimore.
Rëndësia Tema e deklaruar përcaktohet, para së gjithash, nga lënda e hulumtimit, e cila është gjeometria fraktale.
Rezultatet e pritshme: Gjatë punës, do të jem në gjendje të zgjeroj njohuritë e mia në fushën e matematikës, të shoh bukurinë e gjeometrisë fraktal dhe të filloj punën për krijimin e fraktaleve të mia.
Rezultati i punës do të jetë krijimi prezantim kompjuterik, buletin dhe broshurë.
Kapitulli 1. Historia
B 
kur Mandelbrot
Koncepti i "fraktalit" u shpik nga Benoit Mandelbrot. Fjala vjen nga latinishtja "fractus", që do të thotë "i thyer, i thyer".
Fraktal (lat. fractus - i grimcuar, i thyer, i thyer) është një term që nënkupton një figurë gjeometrike komplekse që ka vetinë e vetëngjashmërisë, pra e përbërë nga disa pjesë, secila prej të cilave është e ngjashme me të gjithë figurën.
Objektet matematikore të cilave u referohet karakterizohen nga veti jashtëzakonisht interesante. Në gjeometrinë e zakonshme, një vijë ka një dimension, një sipërfaqe ka dy dimensione dhe një figurë hapësinore ka tre dimensione. Fraktalet nuk janë vija apo sipërfaqe, por, nëse mund ta imagjinoni, diçka në mes. Ndërsa madhësia rritet, vëllimi i fraktalit gjithashtu rritet, por dimensioni i tij (eksponenti) nuk është një vlerë e tërë, por një pjesë e pjesshme, dhe për këtë arsye kufiri i figurës fraktal nuk është një vijë: në zmadhim të lartë bëhet e qartë se është e paqartë dhe përbëhet nga spirale dhe kaçurrela, që përsëriten në shkallë të ulët të zmadhimit të vetë figurës. Kjo rregullsi gjeometrike quhet pandryshueshmëri e shkallës ose vetëngjashmëri. Kjo është ajo që përcakton dimensionin thyesor të figurave fraktale.
Para ardhjes së gjeometrisë fraktal, shkenca merrej me sistemet e përfshira në tre dimensione hapësinore. Falë Ajnshtajnit, u bë e qartë se hapësira tre-dimensionale është vetëm një model i realitetit, dhe jo vetë realiteti. Në fakt, bota jonë ndodhet në një vazhdimësi hapësinor-kohë katër-dimensionale.
Falë Mandelbrot, u bë e qartë se si duket hapësira katërdimensionale, e thënë në mënyrë figurative, fytyra fraktale e Kaosit. Benoit Mandelbrot zbuloi se dimensioni i katërt përfshin jo vetëm tre dimensionet e para, por edhe (kjo është shumë e rëndësishme!) intervalet ndërmjet tyre.
Gjeometria rekursive (ose fraktale) po zëvendëson gjeometrinë Euklidiane. Shkenca e re mund të përshkruajë natyrën e vërtetë trupat dhe dukuritë. Gjeometria Euklidiane merrej vetëm me objekte artificiale, imagjinare që i përkisnin tre dimensioneve. Vetëm dimensioni i katërt mund t'i kthejë ato në realitet.
Lëng, gaz, të ngurta- tre të njohur gjendjen fizike substancë që ekziston në botën tredimensionale. Por cili është dimensioni i një reje tymi, një reje, ose më saktë, kufijtë e tyre, të gërryer vazhdimisht nga lëvizja e turbullt e ajrit?
Në thelb, fraktalet klasifikohen në tre grupe:
Fraktale algjebrike
Fraktale stokastike
Fraktale gjeometrike
Le të hedhim një vështrim më të afërt në secilën prej tyre.
Kapitulli 2. Klasifikimi i fraktaleve
Fraktale gjeometrike
Benoit Mandelbrot propozoi një model fraktal, i cili tashmë është bërë klasik dhe përdoret shpesh për të demonstruar si një shembull tipik të vetë fraktalit, ashtu edhe për të demonstruar bukurinë e fraktaleve, i cili gjithashtu tërheq studiues, artistë dhe njerëz thjesht të interesuar.
Këtu filloi historia e fraktaleve. Ky lloj fraktali fitohet nëpërmjet konstruksioneve të thjeshta gjeometrike. Zakonisht, kur ndërtojnë këto fraktale, ata e bëjnë këtë: ata marrin një "farë" - një aksiomë - një grup segmentesh mbi bazën e të cilave do të ndërtohet fraktali. Më pas, një grup rregullash zbatohet për këtë "farë", e cila e shndërron atë në një lloj figure gjeometrike. Më pas, i njëjti grup rregullash zbatohet përsëri për secilën pjesë të kësaj figure. Me çdo hap, figura do të bëhet gjithnjë e më komplekse, dhe nëse e zbatojmë (të paktën në mendjen tonë) numër i pafund transformimet - marrim një fraktal gjeometrik.
Fraktalet e kësaj klase janë më vizuale, sepse vetë-ngjashmëria është menjëherë e dukshme në to në çdo shkallë vëzhgimi. Në rastin dydimensional, fraktale të tilla mund të merren duke specifikuar një vijë të thyer të quajtur gjenerator. Në një hap të algoritmit, secili nga segmentet që përbëjnë polivijën zëvendësohet me një poliline gjenerator, në shkallën e duhur. Si rezultat i përsëritjes së pafund të kësaj procedure (ose, më saktë, kur shkon në kufi), fitohet një kurbë fraktal. Pavarësisht kompleksitetit të dukshëm të kurbës që rezulton, pamja e përgjithshme e saj përcaktohet vetëm nga forma e gjeneratorit. Shembuj të kthesave të tilla janë: kurba Koch (Fig. 7), kurba Peano (Fig. 8), kurba Minkowski.
Në fillim të shekullit të njëzetë, matematikanët kërkonin kthesa që nuk kanë një tangjente në asnjë pikë. Kjo do të thoshte që kurba ndryshoi papritmas drejtimin e saj, dhe, për më tepër, me një kolosale shpejtësi të lartë(derivati është i barabartë me pafundësinë). Kërkimi për këto kthesa nuk u shkaktua vetëm nga interesi boshe i matematikanëve. Fakti është se në fillim të shekullit të njëzetë pati një zhvillim shumë të shpejtë mekanika kuantike. Studiuesi M. Brown skicoi trajektoren e grimcave të pezulluara në ujë dhe e shpjegoi këtë fenomen si më poshtë: atomet e lëngshme që lëvizin rastësisht godasin grimcat pezull dhe në këtë mënyrë i vënë ato në lëvizje. Pas këtij shpjegimi Lëvizja Browniane Shkencëtarët u përballën me detyrën për të gjetur një kurbë që do në mënyrën më të mirë të mundshme tregoi lëvizjen e grimcave Brownian. Për ta bërë këtë, kurba duhej të plotësonte vetitë e mëposhtme: të mos kishte një tangjente në asnjë pikë. Matematikani Koch propozoi një kurbë të tillë.
TE 
Kurba Koch është një fraktal tipik gjeometrik. Procesi i ndërtimit të tij është si më poshtë: marr segment njësi, ndajeni në tre pjesë të barabarta dhe zëvendësoni interval mesatar një trekëndësh barabrinjës pa këtë segment. Si rezultat, formohet një vijë e thyer, e përbërë nga katër lidhje me gjatësi 1/3. Në hapin tjetër, ne përsërisim operacionin për secilën nga katër lidhjet që rezultojnë, etj...
Kurba e kufirit është Kurba Koch.
Flokë dëbore Koch. Duke kryer një transformim të ngjashëm në anët e një trekëndëshi barabrinjës, mund të merrni një imazh fraktal të një flok dëbore Koch.
T 
Një tjetër përfaqësues i thjeshtë i një fraktali gjeometrik është Sheshi Sierpinski.Është ndërtuar mjaft thjeshtë: Sheshi ndahet me vija të drejta paralele me brinjët e tij në 9 katrorë të barabartë. Sheshi qendror hiqet nga sheshi. Rezultati është një grup i përbërë nga 8 katrorët e mbetur të "rangut të parë". Duke bërë saktësisht të njëjtën gjë me secilin prej katrorëve të rangut të parë, marrim një grup të përbërë nga 64 katrorë të rendit të dytë. Duke vazhduar këtë proces pafundësisht, marrim një sekuencë të pafundme ose katror Sierpinski. 
Fraktale algjebrike
Kjo është më grup i madh fraktale. Fraktalet algjebrike marrin emrin e tyre sepse janë ndërtuar duke përdorur thjeshtë formulat algjebrike.
Ato merren duke përdorur procese jolineare në n-hapësira dimensionale. Dihet se sistemet dinamike jolineare kanë disa gjendje të qëndrueshme. Gjendja në të cilën sistemi dinamik gjendet pas një numri të caktuar përsëritjesh varet nga gjendja e tij fillestare. Prandaj, çdo gjendje e qëndrueshme (ose, siç thonë ata, tërheqës) ka një rajon të caktuar të gjendjeve fillestare, nga të cilat sistemi do të bjerë domosdoshmërisht në gjendjet përfundimtare në shqyrtim. Kështu, hapësirë fazore sistemi është i ndarë në zonat e tërheqjes tërheqës. Nëse hapësira e fazës është dydimensionale, atëherë duke ngjyrosur zonat e tërheqjes me ngjyra të ndryshme, mund të merret portret i fazës së ngjyrave ky sistem (proces iterativ). Duke ndryshuar algoritmin e përzgjedhjes së ngjyrave, mund të merrni modele komplekse fraktal me modele të çuditshme shumëngjyrësh. Ajo që ishte e papritur për matematikanët ishte aftësia për të gjeneruar struktura shumë komplekse duke përdorur algoritme primitive.
Si shembull, merrni parasysh grupin Mandelbrot. Ata e ndërtojnë atë duke përdorur numra kompleksë.
Një pjesë e kufirit të grupit Mandelbrot, zmadhuar 200 herë.
Seti Mandelbrot përmban pika që, gjatëe pafundme numri i përsëritjeve nuk shkon në pafundësi (pikat që janë të zeza). Pikat që i përkasin kufirit të grupit(këtu lindin strukturat komplekse) shkojnë në pafundësi në një numër të kufizuar përsëritjesh, dhe pikat që ndodhen jashtë grupit shkojnë në pafundësi pas disa përsëritjesh (sfondi i bardhë).
P 
Një shembull i një fraktali tjetër algjebrik është grupi Julia. Ekzistojnë 2 lloje të këtij fraktali.Çuditërisht, grupet Julia janë formuar duke përdorur të njëjtën formulë si grupi Mandelbrot. Seti Julia u shpik nga matematikani francez Gaston Julia, pas të cilit grupi u emërua.
DHE 
fakt interesant, disa fraktale algjebrike ngjajnë jashtëzakonisht shumë me imazhet e kafshëve, bimëve dhe objekteve të tjera biologjike, si rezultat i të cilave ato quhen biomorfe.
Fraktale stokastike
Një klasë tjetër e njohur e fraktaleve janë fraktale stokastike, të cilat fitohen nëse disa nga parametrat e tij ndryshohen rastësisht në një proces iterativ. Në këtë rast, objektet që rezultojnë janë shumë të ngjashme me ato natyrore - pemët asimetrike, vijat bregdetare të thyer, etj.
Një përfaqësues tipik i këtij grupi fraktalesh është "plazma".
D 
Për ta ndërtuar atë, merrni një drejtkëndësh dhe caktoni një ngjyrë për secilin nga qoshet e tij. Më pas, pika qendrore e drejtkëndëshit gjendet dhe pikturohet me një ngjyrë të barabartë me mesataren aritmetike të ngjyrave në qoshet e drejtkëndëshit plus një numër të rastësishëm. Sa më i madh të jetë numri i rastësishëm, aq më i "rreckosur" do të jetë vizatimi. Nëse supozojmë se ngjyra e pikës është lartësia mbi nivelin e detit, marrim një varg malesh në vend të plazmës. Është mbi këtë parim që malet janë modeluar në shumicën e programeve. Duke përdorur një algoritëm të ngjashëm me plazmën, ndërtohet një hartë lartësie, aplikohen filtra të ndryshëm, aplikohet një teksturë dhe malet fotorealiste janë gati.
E 
Nëse e shikojmë këtë fraktal në prerje tërthore, do të shohim se ky fraktal është vëllimor, dhe ka një "vrazhdësi", pikërisht për shkak të kësaj "vrazhdësie" ka një aplikim shumë të rëndësishëm të këtij fraktali.
Le të themi se duhet të përshkruani formën e një mali. Shifrat e zakonshme nga gjeometria Euklidiane nuk do të ndihmojnë këtu, sepse ato nuk marrin parasysh topografinë e sipërfaqes. Por kur kombinoni gjeometrinë konvencionale me gjeometrinë fraktal, mund të merrni vetë "vrazhdësinë" e një mali. Duhet të aplikojmë plazmën në një kon të rregullt dhe do të marrim lehtësimin e një mali. Operacione të tilla mund të kryhen me shumë objekte të tjera në natyrë, falë fraktaleve stokastike, mund të përshkruhet vetë natyra;
Tani le të flasim për fraktale gjeometrike.
.
Kapitulli 3 "Gjeometria fraktale e natyrës"
" Pse gjeometria shpesh quhet "e ftohtë" dhe "e thatë"? Një arsye është se ajo nuk mund të përshkruajë formën e një reje, mali, bregdeti apo peme. Retë nuk janë sfera, malet nuk janë kone, vijat bregdetare nuk janë rrathë, lëvorja e pemëve. nuk është e qetë, rrufeja nuk udhëton në një vijë të drejtë Në përgjithësi, unë argumentoj se shumë objekte në Natyrë janë aq të parregullta dhe të fragmentuara sa në krahasim me Euklidin - një term që në këtë vepër nënkupton të gjithë gjeometrinë standarde - Natyra nuk ka thjesht kompleksitet më të madh. , por kompleksiteti në një nivel krejtësisht të ndryshëm Numri i shkallëve të ndryshme të gjatësisë së objekteve natyrore është, për të gjitha qëllimet praktike, i pafund."
(Benoit Mandelbrot "Gjeometria Fraktale e Natyrës" ).
TE 
Bukuria e fraktaleve është e dyfishtë: ajo kënaq syrin, siç dëshmohet nga ekspozita e imazheve fraktale që ka bërë xhiron e botës. organizuar nga një grup Matematikanët e Bremenit nën udhëheqjen e Peitgen dhe Richter. Më vonë, ekspozitat e kësaj ekspozite madhështore u kapën në ilustrime për librin e të njëjtëve autorë, "Bukuria e Fraktaleve". Por ka një aspekt tjetër, më abstrakt apo sublim, i bukurisë së fraktaleve, i hapur, sipas R. Feynman-it, vetëm ndaj vështrimit mendor të një teoricieni, fraktalet janë të bukura me një bukuri të vështirë problem matematikor. Benoit Mandelbrot u vuri në dukje bashkëkohësve të tij (dhe, me sa duket, pasardhësve të tij) një boshllëk të bezdisshëm në Elementet e Euklidit, përmes të cilit, pa e vënë re lëshimin, pothuajse dy mijëvjeçarë njerëzimi kuptuan gjeometrinë e botës përreth dhe mësuan ashpërsinë matematikore të paraqitjes. Sigurisht, të dy aspektet e bukurisë së fraktaleve janë të ndërlidhura ngushtë dhe nuk përjashtojnë, por plotësojnë njëra-tjetrën, megjithëse secila prej tyre është e vetë-mjaftueshme.
Gjeometria fraktale e natyrës sipas Mandelbrot është një gjeometri reale që plotëson përkufizimin e gjeometrisë të propozuar në Programin Erlangen nga F. Klein. Fakti është se para ardhjes së gjeometrisë jo-Euklidiane N.I. Lobachevsky - L. Bolyai, kishte vetëm një gjeometri - ajo që u parashtrua në "Parimet", dhe pyetja se çfarë është gjeometria dhe cila nga gjeometritë është gjeometria e botës reale nuk u ngrit dhe nuk mundi. lindin. Por me ardhjen e një gjeometrie tjetër, u ngrit pyetja se çfarë është gjeometria në përgjithësi dhe cila nga gjeometritë e shumta korrespondon me botën reale. Sipas F. Klein, gjeometria merret me studimin e vetive të tilla të objekteve që janë të pandryshueshme nën shndërrime: Euklidiane - invariante të grupit të lëvizjeve (transformime që nuk ndryshojnë distancën midis asnjë dy pikash, d.m.th. përfaqësojnë një mbivendosje. transferimet paralele dhe rrotullime me ose pa ndryshim në orientim), gjeometria Lobachevsky-Bolyai - invariante të grupit Lorentz. Gjeometria fraktale merret me studimin e invarianteve të grupit të shndërrimeve të vetë-afinës, d.m.th. vetitë e shprehura me ligjet e pushtetit.
Për sa i përket korrespodencës me botën reale, gjeometria fraktal përshkruan një klasë shumë të gjerë procesesh dhe fenomenesh natyrore, dhe për këtë arsye ne, duke ndjekur B. Mandelbrot, mund të flasim me të drejtë për gjeometrinë fraktale të natyrës. Objektet e reja - fraktalë kanë veti të pazakonta. Gjatësitë, sipërfaqet dhe vëllimet e disa fraktaleve janë zero, ndërsa të tjerat kthehen në pafundësi.
Natyra shpesh krijon fraktale të mahnitshme dhe të bukura, me gjeometri ideale dhe harmoni të tillë që thjesht ngrihesh nga admirimi. Dhe këtu janë shembujt e tyre:
Predha deti
Rrufeja admirojnë me bukurinë e tyre. Fraktalet e krijuara nga rrufeja nuk janë arbitrare apo të rregullta
Forma fraktale nëngrupi i lulelakrës(Brassica cauliflora). Kjo lloj i veçantëështë një fraktal veçanërisht simetrik.
P 
fierështë gjithashtu shembull i mirë fraktal midis florës.
Pallua të gjithë njihen për pendën e tyre shumëngjyrëshe, në të cilën fshihen fraktale të forta.
Akull, modele të ngrira në dritare edhe këto janë fraktale
RRETH 
t imazh i zmadhuar fletë, deri në degë pemësh- fraktale mund të gjenden në çdo gjë
Fraktalet janë kudo dhe kudo në natyrën përreth nesh. I gjithë Universi është ndërtuar sipas ligjeve të mahnitshme harmonike me saktësi matematikore. A është e mundur pas kësaj të mendohet se planeti ynë është një bashkim i rastësishëm i grimcave? Vështirë.
Kapitulli 4. Zbatimi i fraktaleve
Fraktalet po gjejnë gjithnjë e më shumë aplikim më të madh në shkencë. Arsyeja kryesore për këtë është se ata përshkruajnë botën reale ndonjëherë edhe më mirë se fizika apo matematika tradicionale. Këtu janë disa shembuj:
RRETH 
ditët e aplikimeve më të fuqishme të fraktaleve qëndrojnë në grafika kompjuterike
. Ky është kompresimi i imazhit fraktal. Fizika dhe mekanika moderne sapo kanë filluar të studiojnë sjelljen e objekteve fraktale.
Përparësitë e algoritmeve të kompresimit të imazhit fraktal janë madhësia shumë e vogël e skedarit të paketuar dhe koha e shkurtër e rikuperimit të imazhit. Imazhet e mbushura me fraktale mund të shkallëzohen pa shfaqjen e pikselimit (cilësi e dobët e imazhit - katrorë të mëdhenj). Por procesi i kompresimit zgjat shumë dhe ndonjëherë zgjat me orë të tëra. Algoritmi i paketimit me humbje fractal ju lejon të vendosni nivelin e kompresimit, të ngjashëm me formatin jpeg. Algoritmi bazohet në kërkimin e pjesëve të mëdha të një imazhi që janë të ngjashme me disa pjesë të vogla. Dhe vetëm cila pjesë është e ngjashme me të cilën është shkruar në skedarin e daljes. Gjatë ngjeshjes, zakonisht përdoret një rrjet katror (pjesët janë katrorë), gjë që çon në një këndvështrim të lehtë kur rivendosja e një rrjeti gjashtëkëndor nuk e ka këtë pengesë.
Iterated ka zhvilluar një format të ri imazhi, "Sting", i cili kombinon kompresimin fractal dhe "valë" (siç është jpeg) pa humbje. Formati i ri ju lejon të krijoni imazhe me mundësinë e shkallëzimit të mëvonshëm me cilësi të lartë, dhe vëllimi i skedarëve grafikë është 15-20% e vëllimit të imazheve të pakompresuara.
Në mekanikë dhe fizikë Fraktalet përdoren për shkak të vetive të tyre unike për të përsëritur skicat e shumë objekteve natyrore. Fraktalet ju lejojnë të përafroni pemët, sipërfaqet malore dhe çarjet me saktësi më të lartë se përafrimi duke përdorur grupe segmentesh ose poligonesh (me të njëjtën sasi të dhënash të ruajtura). Modelet fraktale, si objektet natyrore, kanë një "vrazhdësi" dhe kjo veti ruhet sado e madhe të jetë zmadhimi i modelit. Prania e një mase uniforme në fraktale lejon që dikush të aplikojë integrimin, teorinë e potencialit dhe t'i përdorë ato në vend të objekteve standarde në ekuacionet e studiuara tashmë.
T 
Gjeometria fraktale përdoret gjithashtu për projektimi i pajisjeve të antenës. Kjo u përdor fillimisht nga inxhinieri amerikan Nathan Cohen, i cili më pas jetonte në qendër të Bostonit, ku instalimi i antenave të jashtme në ndërtesa ishte i ndaluar. Cohen preu një formë të kurbës Koch nga letër alumini dhe më pas e ngjiti atë në një copë letre dhe më pas e lidhi me marrësin. Doli se një antenë e tillë nuk funksionon më keq se një e zakonshme. Dhe megjithëse parimet fizike Antena të tilla ende nuk janë studiuar; Aktualisht, kompania amerikane “Fractal Antenna System” ka zhvilluar një lloj të ri antene. Tani mund të ndaloni përdorimin e antenave të jashtme të spikatura në telefonat celularë. E ashtuquajtura antenë fraktal është e vendosur direkt në tabelën kryesore brenda pajisjes.
Ekzistojnë gjithashtu shumë hipoteza në lidhje me përdorimin e fraktaleve - për shembull, sistemet limfatike dhe të qarkullimit të gjakut, mushkëritë dhe shumë më tepër gjithashtu kanë veti fraktale.
Kapitulli 5. Punë praktike.
Së pari, le të shohim fraktalet "Gjerdan", "Fitorja" dhe "Sheshi".
Së pari - "gjerdan"(Fig. 7). Iniciatori i këtij fraktali është një rreth. Ky rreth përbëhet nga një numër i caktuar i rrathëve të njëjtë, por me madhësi më të vogla, dhe ai vetë është një nga disa rrathë që janë të njëjtë, por me madhësi më të mëdha. Pra, procesi i edukimit është i pafund dhe ai mund të kryhet si në një ashtu edhe brenda ana e kundërt. ato. figura mund të zmadhohet duke marrë vetëm një hark të vogël, ose mund të zvogëlohet duke marrë parasysh ndërtimin e tij nga ato më të vogla.
oriz. 7.
"Gjerdan" fraktal
Fraktali i dytë është "Fitorja"(Fig. 8). Ai e mori këtë emër sepse duket si shkronja latine "V", domethënë "fitore". Ky fraktal përbëhet nga një numër i caktuar "v" të vegjël që përbëjnë një "V" të madhe dhe në gjysmën e majtë, në të cilën të voglat vendosen në mënyrë që gjysmat e majta të tyre të formojnë një vijë të drejtë, anën e djathtëështë ndërtuar në të njëjtën mënyrë. Secila prej këtyre “v”-ve është ndërtuar në të njëjtën mënyrë dhe vazhdon këtë ad infinitum.
Fig.8. Fraktal "Fitorja"
Fraktali i tretë është "Sheshi" (Fig. 9). Secila anë e saj përbëhet nga një rresht qelizash, në formë katrore, anët e të cilave përfaqësojnë edhe rreshta qelizash, etj.
Fig. 9. "Katrori" fraktal
Fraktali u emërua "Trëndafili" (Fig. 10), për shkak të ngjashmërisë së jashtme me këtë lule. Ndërtimi i një fraktal përfshin ndërtimin e një serie rrathësh koncentrikë, rrezja e të cilave ndryshon në proporcion me një raport të caktuar (në në këtë rast R m / R b = ¾ = 0,75.). Pas kësaj, një gjashtëkëndësh i rregullt është gdhendur në secilin rreth, ana e të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit të përshkruar rreth tij.
Oriz. 11. Fraktal "Trëndafil *"
Më pas, i drejtohemi një pesëkëndëshi të rregullt, në të cilin vizatojmë diagonalet e tij. Pastaj, në pesëkëndëshin që rezulton në kryqëzimin e segmenteve përkatëse, ne përsëri tërheqim diagonale. Le të vazhdojmë këtë proces deri në pafundësi dhe marrim fraktalin “Pentagram” (Fig. 12).
Le të prezantojmë një element krijimtarie dhe fraktali ynë do të marrë formën e një objekti më vizual (Fig. 13).
R 
është. 12. Fraktal “Pentagram”.
Oriz. 13. Fraktal "Pentagram *"
Oriz. 14 fraktal "Vrimë e zezë"
Eksperimenti nr. 1 "Pema"
Tani që kuptova se çfarë është një fraktal dhe si ta ndërtoj atë, u përpoqa të krijoj imazhet e mia fractal. Në Adobe Photoshop, kam krijuar një nënprogram ose veprim të vogël, e veçanta e këtij veprimi është se përsërit veprimet që bëj unë, dhe kështu marr një fraktal.
Për të filluar, unë krijova një sfond për fraktalin tonë të ardhshëm me një rezolucion prej 600 me 600. Më pas vizatova 3 rreshta mbi këtë sfond - bazën e fraktalit tonë të ardhshëm.
ME Hapi tjetër është të shkruani skenarin.
dubliko shtresën ( shtresa > dublikatë) dhe ndryshoni llojin e përzierjes në " Ekrani" .
Le ta quajmë atë " fr1". Kopjo këtë shtresë (" fr1") 2 herë të tjera.
Tani duhet të kalojmë në shtresën e fundit (fr3) dhe bashkojeni dy herë me të mëparshmen ( Ctrl+E). Ulni ndriçimin e shtresës ( Imazhi > Rregullimet > Shkëlqimi/Kontrasti , vendosja e ndriçimit 50% ). Përsëri bashkoni me shtresën e mëparshme dhe shkurtoni skajet e të gjithë vizatimit për të hequr pjesët e padukshme.
Hapi i fundit ishte kopjimi i këtij imazhi dhe ngjitja e tij më e vogël dhe e rrotulluar. Kjo është ajo që ndodhi në rezultati përfundimtar.
konkluzioni
Kjo vepër është një hyrje në botën e fraktaleve. Ne kemi shqyrtuar vetëm pjesën më të vogël se çfarë janë fraktalet dhe mbi cilat parime janë ndërtuar.
Grafikat fraktale nuk janë vetëm një grup imazhesh që përsëriten vetë, por janë një model i strukturës dhe parimit të çdo gjëje ekzistuese. E gjithë jeta jonë përfaqësohet nga fraktale. E gjithë natyra rreth nesh përbëhet prej tyre. Është e pamundur të mos vërehet përdorimi i gjerë i fraktaleve në lojërat kompjuterike, ku relievet e terrenit shpesh janë imazhe fraktale të bazuara në modele tredimensionale të grupeve komplekse. Fraktalet lehtësojnë shumë vizatimin e grafikave kompjuterike me ndihmën e fraktaleve, krijohen shumë efekte speciale, fotografi të ndryshme përrallore dhe të pabesueshme, etj. Gjithashtu, pemët, retë, brigjet dhe e gjithë natyra tjetër vizatohen duke përdorur gjeometrinë fraktale. Grafikat fraktale janë të nevojshme kudo, dhe zhvillimi i "teknologjive fraktal" është një nga detyrat e rëndësishme sot.
Në të ardhmen, kam në plan të mësoj se si të ndërtoj fraktale algjebrike pasi të studioj më hollësisht numrat kompleksë. Unë gjithashtu dua të përpiqem të ndërtoj imazhet e mia fractal në gjuhën e programimit Pascal duke përdorur sythe.
Duhet të theksohet përdorimi i fraktaleve në teknologjive kompjuterike, përtej krijimit të imazheve të bukura në një ekran kompjuteri. Fraktalet në teknologjinë kompjuterike përdoren në fushat e mëposhtme:
1. Kompresimi i imazheve dhe informacionit
2. Fshehja e informacionit në imazh, zë,…
3. Kriptimi i të dhënave duke përdorur algoritme fraktale
4. Bërja e muzikës fraktal
5. Modelimi i sistemit
Jo të gjitha fushat mbulohen në punën tonë. njohuritë njerëzore, ku teoria e fraktaleve gjeti aplikimin e saj. Duam vetëm të themi se nuk ka kaluar më shumë se një e treta e një shekulli që nga lindja e teorisë, por gjatë kësaj kohe fraktale për shumë studiues u bënë një dritë e papritur e ndritshme gjatë natës, e cila ndriçoi fakte dhe modele të panjohura deri më tani në zona të veçanta të të dhënave. . Me ndihmën e teorisë së fraktaleve, ata filluan të shpjegojnë evolucionin e galaktikave dhe zhvillimin e qelizave, shfaqjen e maleve dhe formimin e reve, lëvizjen e çmimeve në bursë dhe zhvillimin e shoqërisë dhe familjes. Ndoshta, në fillim, ky pasion për fraktalet ishte edhe shumë intensiv dhe përpjekjet për të shpjeguar gjithçka duke përdorur teorinë e fraktaleve ishin të pajustifikuara. Por, pa dyshim, kjo teori ka të drejtë të ekzistojë, dhe na vjen keq që në kohët e fundit u harrua disi dhe mbeti fati i pak të zgjedhurve. Në përgatitjen e kësaj pune, ishte shumë interesante për ne që të gjenim aplikime të TEORISË në PRAKTIKË. Sepse shumë shpesh ka një ndjenjë që njohuri teorike qëndroni larg realitetit të jetës.
Kështu, koncepti i fraktaleve bëhet jo vetëm pjesë e shkencës "të pastër", por edhe një element i kulturës universale njerëzore. Shkenca fraktale është ende shumë e re dhe ka një të ardhme të madhe përpara. Bukuria e fraktaleve është larg të qenit i shterur dhe do të na japë akoma shumë kryevepra - ato që kënaqin syrin dhe ato që sjellin kënaqësi të vërtetë në mendje.
10. Referencat
Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktale dhe multifraktale. RHD 2001 .
Vitolin D. Aplikimi i fraktaleve në grafika e makinës. // Computerworld-Russia.-1995
Mandelbrot B. Komplete fraktale vetë-afinike, "Fraktalet në fizikë". M.: Mir 1988
Mandelbrot B. Gjeometria fraktale e natyrës. - M.: "Instituti i Kërkimeve Kompjuterike", 2002.
Morozov A.D. Hyrje në teorinë e fraktaleve. N. Novgorod: Shtëpia botuese Nizhny Novgorod. Universiteti 1999
Peitgen H.-O., Richter P. H. Bukuria e fraktaleve. - M.: "Mir", 1993.
Burimet e internetit
http://www.ghcube.com/fractals/determin.html
http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/
http://fractals.nsu.ru/animations.htm
http://www.cootey.com/fractals/index.html
http://fraktals.ucoz.ru/publ
http://sakva.narod.ru
http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/
http://www.cnam.fr/fractals/
http://www.softlab.ntua.gr/mandel/
http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html
E zbulova këtë fraktal kur po shikoja ndërhyrjen e valëve në sipërfaqen e një lumi. Vala lëviz drejt bregut, reflektohet dhe mbivendoset në vetvete. A ka rregull në modelet që krijojnë valët? Le të përpiqemi ta gjejmë atë. Le të marrim parasysh jo të gjithë valën, por vetëm vektorin e lëvizjes së saj. Le t'i bëjmë "brigjet" të lëmuara për të thjeshtuar eksperimentin.
Eksperimenti mund të kryhet në një copë letre të rregullt nga një fletore shkollore.
Ose duke përdorur zbatimin JavaScript të algoritmit.
Merrni një drejtkëndësh me brinjë q dhe p. Le të dërgojmë një rreze (vektor) nga cepi në cep. Rrezja lëviz në njërën anë të drejtkëndëshit, reflektohet dhe vazhdon të lëvizë në anën tjetër. Kjo vazhdon derisa rrezja të godasë një nga këndet e mbetura. Nëse madhësia e anës q dhe p janë numra relativisht të thjeshtë, atëherë fitohet një model (siç do të shohim më vonë - një fraktal).
Në foto mund të shohim qartë se si funksionon ky algoritëm.
Animacioni Gif:
Gjëja më e mahnitshme është se me anë të ndryshme të drejtkëndëshit marrim modele të ndryshme.
Pse i quaj këto modele fraktale? Siç e dini, një "fraktal" është një figurë gjeometrike që ka veti vetëngjashmërie. Një pjesë e figurës përsërit të gjithë figurën. Nëse rritni ndjeshëm dimensionet e anëve Q dhe P, është e qartë se këto modele kanë veti vetëngjashmërie.
Le të përpiqemi ta rrisim atë. Ne do ta rrisim atë në një mënyrë dinake. Le të marrim për shembull modelin 17x29. Modelet e mëposhtme do të jenë: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Njëra anë: F(n);
Ana e dytë: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Ashtu si numrat Fibonacci, vetëm me anëtarë të ndryshëm të parë dhe të dytë të sekuencës: F(0)=17, F(1)=29.
Nëse ana më e madhe është e barabartë, rezultati është modeli i mëposhtëm:
Nëse ana më e shkurtër është çift:
Nëse të dyja anët janë tek, marrim një model simetrik:
Në varësi të mënyrës se si fillon rrezja:
ose
Do të përpiqem të shpjegoj se çfarë ndodh në këto drejtkëndësha.
Le të ndajmë katrorin nga drejtkëndëshi dhe të shohim se çfarë ndodh në kufi.
Rrezja del në të njëjtën pikë nga hyri.
Në të njëjtën kohë, numri i katrorëve nëpër të cilët kalon rrezja është gjithmonë një numër çift.
Prandaj, nëse shkëputni një katror nga një drejtkëndësh, një pjesë e pandryshuar e fraktalit do të mbetet.
Nëse i ndani katrorët nga fraktali sa më shumë që të jetë e mundur, mund të arrini në "fillimin" e fraktalit.
A duket si një spirale Fibonacci?
Fraktalet mund të merren edhe nga numrat e Fibonaçit.
Në matematikë, numrat Fibonacci (seri Fibonacci, sekuenca Fibonacci) janë numrat:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Sipas përkufizimit, dy shifrat e para në sekuencën Fibonacci janë 0 dhe 1, dhe çdo numër i mëpasshëm është i barabartë me shumën e dy të mëparshmeve.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1
Le të shkojmë:
Siç mund ta shohim, sa më afër raporti i pamjes t'i afrohet raportit të artë, aq më i madh është detaji i fraktalit.
Në këtë rast, fraktali përsërit një pjesë të fraktalit, të rritur me .
Në vend të numrave Fibonacci, mund të përdorni madhësi të paarsyeshme të anëve:
Ne marrim të njëjtin fraktal.
Të njëjtat fraktale mund të merren në një katror nëse qëlloni rrezen në një kënd tjetër:
Çfarë mund të thoni në përfundim?
Kaosi është gjithashtu rregull. Me ligjet e veta. Ky urdhër nuk është studiuar, por është mjaft i përshtatshëm për t'u studiuar. Dhe e gjithë dëshira e shkencës është të zbulojë këto modele. Dhe në fund lidhni pjesët e enigmës për të parë pamjen e madhe.
Le të shohim sipërfaqen e lumit. Nëse hidhni një gur në të, dallgët do të vijnë. Rrethe që janë mjaft të përshtatshme për t'u studiuar. Shpejtësia, periudha, gjatësia e valës - e gjithë kjo mund të llogaritet. Por derisa vala të arrijë në breg, ajo nuk reflektohet dhe fillon të mbivendoset vetë. Kemi kaos (ndërhyrje), i cili tashmë është i vështirë për t'u studiuar.
Po sikur të lëvizim nga drejtimi i kundërt? Thjeshtoni sjelljen e valës sa më shumë që të jetë e mundur. Thjeshtoni, gjeni një model dhe më pas përpiquni ta përshkruani atë foto e plotëçfarë po ndodh.
Çfarë mund të thjeshtohet? Natyrisht, bëni sipërfaqen reflektuese të drejtë, pa kthesa. Më pas, në vend të vetë valës, përdorni vetëm vektorin e lëvizjes së valës. Në parim, kjo është e mjaftueshme për të ndërtuar një algoritëm të thjeshtë dhe për të simuluar procesin në një kompjuter. Dhe madje është mjaft e mjaftueshme për të bërë një "model" të sjelljes së valës në një copë letre të zakonshme me kuadrate.
Çfarë kemi si rezultat? Si rezultat, ne shohim se në proceset valore(të njëjtat valëzime në sipërfaqen e lumit) nuk kemi kaos, por një mbivendosje fraktalesh (struktura të ngjashme) njëra mbi tjetrën.
Le të shqyrtojmë një lloj tjetër valësh. Siç dihet, valë elektromagnetike përbëhet nga tre vektorë - vektori valor dhe ai elektrik dhe fushë magnetike. Siç mund ta shohim, nëse "kap" një valë të tillë zonë e mbyllur– aty ku kryqëzohen këta vektorë, marrim struktura të mbyllura mjaft të qarta. Ndoshta grimcat elementare– a janë këta të njëjtët fraktale?
Të gjithë fraktalet në drejtkëndësha nga 1 në 80 (6723x6723 px): 
Zonat e mbyllura në fraktale (6723x6723 px): 
Thjesht një fraktal i bukur (4078x2518 px): 
Përshëndetje të gjithëve! Emri im është Ribenek Valeria, Ulyanovsk dhe sot do të postoj disa nga artikujt e mi shkencorë në faqen e internetit të LCI.
Artikulli im i parë shkencor në këtë blog do t'i kushtohet fraktale. Unë do të them menjëherë se artikujt e mi janë krijuar për pothuajse çdo audiencë. ato. Shpresoj se do të jenë me interes si për nxënësit e shkollës ashtu edhe për studentët.
Kohët e fundit kam mësuar për objekte kaq interesante bota matematikore si fraktale. Por ato ekzistojnë jo vetëm në matematikë. Na rrethojnë kudo. Fraktalet janë të natyrshme. Unë do të flas për atë që janë fraktalet, për llojet e fraktaleve, për shembujt e këtyre objekteve dhe aplikimet e tyre në këtë artikull. Për të filluar, unë do t'ju tregoj shkurtimisht se çfarë është një fraktal.
Fraktal(latinisht fractus - i grimcuar, i thyer, i thyer) është një figurë gjeometrike komplekse që ka vetinë e vetëngjashmërisë, domethënë e përbërë nga disa pjesë, secila prej të cilave është e ngjashme me të gjithë figurën. Në më shumë në një kuptim të gjerë Fraktalet kuptohen si grupe pikash në hapësirën Euklidiane që kanë një dimension metrik të pjesshëm (në kuptimin e Minkowski ose Hausdorff), ose një dimension metrik të ndryshëm nga ai topologjik. Si shembull, unë do të fus një foto që përshkruan katër fraktale të ndryshme.
Do t'ju tregoj pak për historinë e fraktaleve. Konceptet e gjeometrisë fractal dhe fractal, të cilat u shfaqën në fund të viteve '70, janë vendosur fort midis matematikanëve dhe programuesve që nga mesi i viteve '80. Fjala "fraktal" u shpik nga Benoit Mandelbrot në 1975 për t'iu referuar strukturave të parregullta, por të ngjashme me të cilat ai ishte i shqetësuar. Lindja e gjeometrisë fraktal zakonisht shoqërohet me botimin e librit të Mandelbrot The Fractal Geometria of Nature në 1977. Punimet e tij përdorën rezultatet shkencore të shkencëtarëve të tjerë që punuan në periudhën 1875-1925 në të njëjtën fushë (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Por vetëm në kohën tonë ka qenë e mundur të kombinojmë punën e tyre në një sistem të vetëm.
Ka shumë shembuj të fraktaleve, sepse, siç thashë, ato na rrethojnë kudo. Sipas mendimit tim, edhe i gjithë Universi ynë është një fraktal i madh. Në fund të fundit, gjithçka në të, nga struktura e atomit në strukturën e vetë Universit, përsërit saktësisht njëra-tjetrën. Por ka, sigurisht, shembuj më specifikë të fraktaleve nga zona të ndryshme. Fraktalet, për shembull, janë të pranishëm në dinamikë komplekse. Aty shfaqen natyrshëm në studimin e jolineares sistemet dinamike. Rasti më i studiuar është kur sistemi dinamik specifikohet me përsëritje polinom ose holomorfike funksioni i një kompleksi variablash në një avion. Disa nga fraktalet më të famshme të këtij lloji janë grupi Julia, grupi Mandelbrot dhe pishinat Newton. Më poshtë, me radhë, fotografitë përshkruajnë secilin nga fraktalet e mësipërme.
Një shembull tjetër i fraktaleve janë kthesat fraktale. Është më mirë të shpjegohet se si të ndërtohet një fraktal duke përdorur shembullin e kurbave fraktal. Një nga këto kthesa është e ashtuquajtura Koch Snowflake. Ekziston një procedurë e thjeshtë për marrjen e kthesave fraktale në një plan. Le të përcaktojmë një vijë të thyer arbitrare me numër i fundëm lidhjet, të quajtura gjenerator. Tjetra, ne zëvendësojmë çdo segment në të me një gjenerator (më saktë, një vijë e thyer e ngjashme me një gjenerator). Në vijën e thyer që rezulton, ne përsëri zëvendësojmë çdo segment me një gjenerator. Duke vazhduar deri në pafundësi, në kufi marrim një kurbë fraktal. Më poshtë është Koch Snowflake (ose Kurba).
Ka gjithashtu një larmi të madhe kthesash fraktal. Më të famshmit prej tyre janë Flokë dëbore e përmendur tashmë Koch, si dhe kurba Levy, kurba Minkowski, vija e thyer e Dragoit, kurba e Pianos dhe pema e Pitagorës. Unë mendoj se mund të gjeni lehtësisht një imazh të këtyre fraktaleve dhe historisë së tyre në Wikipedia nëse dëshironi.
Shembulli i tretë ose lloji i fraktaleve janë fraktale stokastike. Fraktale të tilla përfshijnë trajektoren e lëvizjes Brownian në një aeroplan dhe në hapësirë, evolucionin Schramm-Löwner, lloje të ndryshme fraktalesh të rastësishme, domethënë fraktale të marra duke përdorur një procedurë rekursive në të cilën futet një parametër i rastësishëm në çdo hap.
Ekzistojnë gjithashtu fraktale thjesht matematikore. Këto janë, për shembull, grupi Cantor, sfungjeri Menger, trekëndëshi Sierpinski dhe të tjerët.
Por ndoshta fraktalet më interesante janë ato natyrale. Fraktale natyrale- këto janë objekte në natyrë që kanë veti fraktale. Dhe këtu lista është tashmë e madhe. Nuk do t'i rendis të gjitha, sepse ndoshta është e pamundur t'i rendit të gjitha, por do t'ju tregoj për disa. Për shembull, në natyrën e gjallë fraktale të tilla përfshijnë tonën sistemi i qarkullimit të gjakut dhe mushkëritë. Dhe gjithashtu kurorat dhe gjethet e pemëve. Këtu përfshihen edhe yjet e detit, iriqët e detit, koralet, guaskat e detit dhe disa bimë si lakra apo brokoli. Disa fraktale të tilla natyrore nga natyra e gjallë tregohen qartë më poshtë.
Nëse marrim parasysh natyrën e pajetë, atëherë atje shembuj interesantë shumë më tepër se në jetën reale. Vetëtima, fjolla dëbore, re, modele të njohura në dritare në ditët e acarta, kristale, vargmalet- të gjitha këto janë shembuj të fraktaleve natyrore nga natyra e pajetë.
Ne shikuam shembuj dhe lloje të fraktaleve. Sa i përket përdorimit të fraktaleve, ato përdoren në fusha të ndryshme të njohurive. Në fizikë, fraktalet lindin natyrshëm gjatë modelimit të proceseve jolineare, të tilla si rrjedha e lëngut turbulent, proceset komplekse të difuzionit-adsorbimit, flakët, retë, etj. Fraktalet përdoren kur modelohen materiale poroze, për shembull, në petrokimi. Në biologji, ato përdoren për të modeluar popullatat dhe për të përshkruar sistemet e organeve të brendshme (sistemi i enëve të gjakut). Pas krijimit të kurbës Koch, u propozua përdorimi i saj në llogaritjen e gjatësisë së vijës bregdetare. Fraktalet përdoren gjithashtu në mënyrë aktive në inxhinierinë radio, shkencën e informacionit dhe teknologjinë kompjuterike, telekomunikacionin dhe madje edhe ekonominë. Dhe, sigurisht, vizioni fraktal përdoret në mënyrë aktive në artin dhe arkitekturën moderne. Këtu është një shembull i modeleve fraktal:
Dhe kështu, me këtë mendoj të përfundoj historinë time për një fenomen kaq të pazakontë matematikor si një fraktal. Sot mësuam se çfarë është një fraktal, si u shfaq, për llojet dhe shembujt e fraktaleve. Unë gjithashtu fola për aplikimin e tyre dhe demonstrova vizualisht disa nga fraktale. Shpresoj se ju ka pëlqyer ky ekskursion i vogël në botën e objekteve fraktal të mahnitshme dhe magjepsëse.
shpeshherë zbulime brilante, e përsosur në shkencë, mund të ndryshojë rrënjësisht jetën tonë. Për shembull, shpikja e një vaksine mund të shpëtojë shumë njerëz, por krijimi i armëve të reja çon në vrasje. Fjalë për fjalë dje (në shkallën e historisë) njeriu "zbuti" energjinë elektrike, dhe sot ai nuk mund ta imagjinojë më jetën e tij pa të. Megjithatë, ka edhe zbulime që, siç thonë ata, mbeten në hije, pavarësisht se edhe ato kanë një ose një tjetër ndikim në jetën tonë. Një nga këto zbulime ishte fraktali. Shumica e njerëzve as që kanë dëgjuar kurrë për këtë koncept dhe nuk do të jenë në gjendje të shpjegojnë kuptimin e tij. Në këtë artikull ne do të përpiqemi të kuptojmë pyetjen se çfarë është një fraktal dhe të shqyrtojmë kuptimin e këtij termi nga këndvështrimi i shkencës dhe natyrës.
Rendi në kaos
Për të kuptuar se çfarë është një fraktal, duhet të fillojmë debrifingun nga pozicioni i matematikës, por para se të thellohemi në të, do të filozofojmë pak. Çdo person ka një kuriozitet të natyrshëm, falë të cilit ai mëson bota rreth nesh. Shpesh, në kërkimin e dijes, ai përpiqet të përdorë logjikën në gjykimet e tij. Kështu, duke analizuar proceset që ndodhin rreth tij, ai përpiqet të llogarisë marrëdhëniet dhe të nxjerrë modele të caktuara. Mendjet më të mëdha në planet janë të zënë me zgjidhjen e këtyre problemeve. Përafërsisht, shkencëtarët tanë po kërkojnë modele ku nuk ka asnjë dhe nuk duhet të ketë. E megjithatë, edhe në kaos ka një lidhje midis ngjarjeve të caktuara. Kjo lidhje është ajo që është fraktali. Si shembull, merrni parasysh një degë të thyer të shtrirë në rrugë. Nëse e shikojmë me vëmendje, do të shohim se me të gjitha degët dhe degët e saj ajo vetë duket si një pemë. Kjo ngjashmëri e një pjese të veçantë me një tërësi të vetme tregon të ashtuquajturin parim të vetëngjashmërisë rekursive. Fraktalet mund të gjenden kudo në natyrë, sepse shumë forma inorganike dhe organike formohen në mënyrë të ngjashme. Këto janë retë, predha deti, guaska kërmilli, kurorat e pemëve, madje edhe sistemi i qarkullimit të gjakut. Kjo listë mund të vazhdojë pafundësisht. Të gjitha këto forma të rastësishme përshkruhen lehtësisht nga një algoritëm fraktal. Tani kemi ardhur të shqyrtojmë se çfarë është një fraktal nga këndvështrimi i shkencave ekzakte.
Disa fakte të thata
Vetë fjala "fraktal" përkthehet nga latinishtja si "i pjesshëm", "i ndarë", "i fragmentuar" dhe për sa i përket përmbajtjes së këtij termi, nuk ka asnjë formulim si i tillë. Zakonisht interpretohet si një grup i vetë-ngjashëm, një pjesë e së tërës, e cila përsërit strukturën e saj në nivel mikro. Ky term u krijua në vitet shtatëdhjetë të shekullit të njëzetë nga Benoit Mandelbrot, i cili njihet si babai Sot, koncepti i fraktalit nënkupton një imazh grafik të një strukture të caktuar, e cila, kur të zmadhohet, do të jetë e ngjashme me vetveten. Sidoqoftë, baza matematikore për krijimin e kësaj teorie u hodh edhe para lindjes së vetë Mandelbrot, por ajo nuk mund të zhvillohej derisa u shfaqën kompjuterët elektronikë.
Sfondi historik, ose si filloi gjithçka
Në fund të shekujve 19 dhe 20, studimi i natyrës së fraktaleve ishte sporadik. Kjo shpjegohet me faktin se matematikanët preferonin të studionin objekte që mund të studiohen bazuar në teoritë e përgjithshme dhe metodat. Në 1872, matematikani gjerman K. Weierstrass ndërtoi një shembull të një funksioni të vazhdueshëm që nuk mund të diferencohet askund. Megjithatë, ky ndërtim doli të ishte krejtësisht abstrakt dhe i vështirë për t'u perceptuar. Më pas erdhi suedezi Helge von Koch, i cili në vitin 1904 ndërtoi një kurbë të vazhdueshme që nuk kishte tangjente askund. Është mjaft e lehtë për t'u vizatuar dhe rezulton të ketë veti fraktale. Një nga variantet e kësaj kurbë u emërua pas autorit të saj - "Floko dëbore Koch". Më tej, ideja e vetë-ngjashmërisë së figurave u zhvillua nga mentori i ardhshëm i B. Mandelbrot, francezi Paul Levy. Në vitin 1938, ai botoi artikullin "Kurbat dhe sipërfaqet planore dhe hapësinore të përbëra nga pjesë të ngjashme me të tërën". Në të ai përshkroi pamje e re- Kurba C e Levit. Të gjitha figurat e mësipërme klasifikohen në mënyrë konvencionale si fraktale gjeometrike.
Fraktale dinamike ose algjebrike
Kompleti Mandelbrot i përket kësaj klase. Studiuesit e parë në këtë drejtim ishin matematikanët francezë Pierre Fatou dhe Gaston Julia. Në vitin 1918, Julia botoi një punim të bazuar në studimin e përsëritjeve të racionales funksione komplekse. Këtu ai përshkroi një familje fraktalesh që janë të lidhura ngushtë me grupin Mandelbrot. Pavarësisht se këtë punë lavdëroi autorin midis matematikanëve, ajo u harrua shpejt. Dhe vetëm gjysmë shekulli më vonë, falë kompjuterëve, puna e Julia mori një jetë të dytë. Kompjuterët bënë të mundur të bënin të dukshme për çdo person bukurinë dhe pasurinë e botës së fraktaleve që matematikanët mund t'i "shikonin" duke i shfaqur ato përmes funksioneve. Mandelbrot ishte i pari që përdori një kompjuter për të kryer llogaritjet (një vëllim i tillë nuk mund të bëhet me dorë) që bëri të mundur ndërtimin e një imazhi të këtyre figurave.
Një person me imagjinatë hapësinore
Mandelbrot filloi të tijën karrierën shkencore në Qendrën Kërkimore IBM. Eksplorimi i mundësive të transferimit të të dhënave në distanca të gjata, shkencëtarët u përballën me faktin e humbjeve të mëdha që lindën për shkak të ndërhyrjes së zhurmës. Benoit po kërkonte mënyra për ta zgjidhur këtë problem. Duke parë rezultatet e matjes, ai vuri re një model të çuditshëm, domethënë: grafikët e zhurmës dukeshin të njëjta në shkallë të ndryshme kohore.
Një pamje e ngjashme u vërejt si për një periudhë një ditore ashtu edhe për shtatë ditë ose për një orë. Vetë Benoit Mandelbrot përsëriste shpesh se nuk punon me formula, por luan me fotografi. Ky shkencëtar ishte ndryshe të menduarit imagjinativ, ai përktheu çdo problem algjebrik në fushën gjeometrike, ku përgjigja e saktë është e dukshme. Pra, nuk është për t'u habitur që ai është i pasur dhe u bë babai i gjeometrisë fraktal. Në fund të fundit, ndërgjegjësimi për këtë figurë mund të vijë vetëm kur studioni vizatimet dhe mendoni për kuptimin e këtyre rrotullimeve të çuditshme që formojnë modelin. Modelet fraktale nuk kanë elemente identike, por ato janë të ngjashme në çdo shkallë.
Julia - Mandelbrot
Një nga vizatimet e para të kësaj figure ishte një interpretim grafik i grupit, i cili lindi nga puna e Gaston Julia dhe u zhvillua më tej nga Mandelbrot. Gaston u përpoq të imagjinonte se si duket një grup, i ndërtuar mbi bazën e një formule të thjeshtë që përsëritet përmes një cikli reagimet. Le të përpiqemi të shpjegojmë atë që është thënë në gjuhën njerëzore, si të thuash, në gishta. Për një specifik vlerë numerike duke përdorur formulën gjejmë vlerën e re. Ne e zëvendësojmë atë në formulë dhe gjejmë sa vijon. Rezultati është një i madh Për të përfaqësuar një grup të tillë, ju duhet të kryeni këtë operacion sasi e madhe herë: qindra, mijëra, miliona. Kjo është ajo që bëri Benoit. Ai përpunoi sekuencën dhe i transferoi rezultatet tek formë grafike. Më pas, ai ngjyrosi figurën që rezulton (secila ngjyrë korrespondon me një numër të caktuar përsëritjesh). Ky imazh grafik quhet "fraktali Mandelbrot".
L. Carpenter: art i krijuar nga natyra
Teoria fraktale u gjet shpejt aplikim praktik. Meqenëse është shumë e lidhur me vizualizimin e imazheve të ngjashme, artistët ishin të parët që adoptuan parimet dhe algoritmet për ndërtimin e këtyre formave të pazakonta. E para prej tyre ishte themeluesi i ardhshëm i Pixar, Lauren Carpenter. Ndërsa punonte për një prezantim të prototipave të avionëve, ai lindi me idenë e përdorimit të një imazhi të maleve si sfond. Sot, pothuajse çdo përdorues i kompjuterit mund të përballojë një detyrë të tillë, por në vitet shtatëdhjetë të shekullit të kaluar kompjuterët nuk ishin në gjendje të kryenin procese të tilla, sepse në atë kohë nuk kishte redaktorë grafikë apo aplikacione për grafikë tredimensionale. Dhe më pas Loren hasi në librin e Mandelbrot "Fractals: Form, Randomness and Dimension". Në të, Benoit dha shumë shembuj, duke treguar se fraktalet ekzistojnë në natyrë (fyva), ai përshkroi format e tyre të ndryshme dhe vërtetoi se ato përshkruhen lehtësisht me shprehje matematikore. Matematicieni e përmendi këtë analogji si një argument për dobinë e teorisë që po zhvillonte si përgjigje ndaj një breshëri kritikash nga kolegët e tij. Ata argumentuan se një fraktal është i drejtë foto e bukur, pa vlerë, duke qenë nënprodukt i punës makina elektronike. Carpenter vendosi ta provonte këtë metodë në praktikë. Pasi studioi me kujdes librin, animatori i ardhshëm filloi të kërkonte një mënyrë për të zbatuar gjeometrinë fraktal në grafikën kompjuterike. Atij iu deshën vetëm tre ditë për të bërë një imazh plotësisht realist të peizazhit malor në kompjuterin e tij. Dhe sot ky parim përdoret gjerësisht. Siç rezulton, krijimi i fraktaleve nuk kërkon shumë kohë dhe përpjekje.
Zgjidhja e marangozit
Parimi që përdori Lauren ishte i thjeshtë. Ai konsiston në ndarjen e më të mëdhenjve në elementë të vegjël, dhe atyre në të ngjashëm më të vegjël, e kështu me radhë. Carpenter, duke përdorur trekëndësha të mëdhenj, i ndau në 4 të vegjël e kështu me radhë, derisa pati një peizazh malor realist. Kështu, ai u bë artisti i parë që përdori një algoritëm fraktal në grafikën kompjuterike për të ndërtuar imazhin e kërkuar. Sot ky parim përdoret për të imituar forma të ndryshme realiste natyrore.
Vizualizimi i parë 3D duke përdorur një algoritëm fraktal
Brenda pak vitesh, Lauren zbatoi zhvillimet e tij në projekt në shkallë të gjerë- video e animuar Vol Libre, e shfaqur në Siggraph në 1980. Kjo video tronditi shumë dhe krijuesi i saj u ftua të punonte në Lucasfilm. Këtu animatori arriti të realizojë potencialin e tij të plotë, ai krijoi peizazhe tredimensionale (një planet të tërë) për filmin artistik "Star Trek". Çdo program modern ("Fractals") ose aplikacion për krijimin e grafikëve 3D (Terragen, Vue, Bryce) përdor të njëjtin algoritëm për modelimin e teksturave dhe sipërfaqeve.
Tom Beddard
Dikur një fizikant lazer dhe tani një artist dhe artist dixhital, Beddard krijoi një numër formash gjeometrike shumë intriguese, të cilat ai i quajti fraktale Fabergé. Nga pamja e jashtme, ato ngjajnë me vezë dekorative nga një argjendari rus, ato kanë të njëjtin model të shkëlqyeshëm dhe të ndërlikuar. Beddard përdori një metodë shabllon për të krijuar interpretimet e tij dixhitale të modeleve. Produktet që rezultojnë mahniten me bukurinë e tyre. Edhe pse shumë refuzojnë të krahasojnë produktin i bërë vetë Me program kompjuterik, megjithatë, duhet pranuar se format që rezultojnë janë jashtëzakonisht të bukura. Pika kryesore është se çdokush mund të ndërtojë një fraktal të tillë duke përdorur bibliotekën e softuerit WebGL. Kjo ju lejon të eksploroni struktura të ndryshme fraktale në kohë reale.
Fraktale në natyrë
Pak njerëz i kushtojnë vëmendje, por këta figura të mahnitshme janë të pranishme kudo. Natyra është krijuar nga vetvetja shifra të ngjashme, thjesht nuk e vëmë re. Mjafton të shikojmë lëkurën tonë ose një gjethe peme përmes një xham zmadhues dhe do të shohim fraktale. Ose merrni, për shembull, një ananas apo edhe bishtin e një palloi - ato përbëhen nga figura të ngjashme. Dhe varieteti i brokolit Romanescu është përgjithësisht i mrekullueshëm në pamjen e tij, sepse me të vërtetë mund të quhet një mrekulli e natyrës.
Pushim muzikor
Rezulton se fraktalet nuk janë vetëm forma gjeometrike, ato mund të jenë edhe tinguj. Kështu, muzikanti Jonathan Colton shkruan muzikë duke përdorur algoritme fraktale. Ai pretendon se korrespondon me harmoninë natyrore. Kompozitori publikon të gjitha veprat e tij nën një licencë CreativeCommons Attribution-Jocommercial, e cila parashikon shpërndarjen, kopjimin dhe transferimin falas të veprave te të tjerët.
Treguesi fraktal
Kjo teknikë ka gjetur një aplikim shumë të papritur. Mbi bazën e tij, u krijua një mjet për analizimin e tregut të bursës, dhe, si rezultat, ai filloi të përdoret në tregun Forex. Në ditët e sotme, treguesi fraktal gjendet në të gjitha platformat e tregtimit dhe përdoret në një teknikë tregtare të quajtur breakout çmimi. Kjo teknikë u zhvillua nga Bill Williams. Ndërsa autori komenton shpikjen e tij, këtë algoritëmështë një kombinim i disa "qirinjve", në të cilat ai qendror pasqyron pikën ekstreme maksimale ose, anasjelltas, minimale.
Si përfundim
Pra, ne shikuam se çfarë është një fraktal. Rezulton se në kaosin që na rrethon, ekzistojnë në të vërtetë forma perfekte. Natyra është arkitekti, ndërtuesi dhe inxhinieri ideal. Është rregulluar shumë logjikisht, dhe nëse nuk mund të gjejmë një model, kjo nuk do të thotë se nuk ekziston. Ndoshta duhet të shikojmë në një shkallë tjetër. Mund të themi me besim se fraktalet ende mbajnë shumë sekrete që nuk duhet t'i zbulojmë ende.
Çfarë kanë të përbashkët një pemë, një breg deti, një re apo enët e gjakut në dorën tonë? Në pamje të parë, mund të duket se të gjitha këto objekte nuk kanë asgjë të përbashkët. Sidoqoftë, në fakt, ekziston një veti e strukturës që është e natyrshme në të gjitha objektet e listuara: ato janë të ngjashme. Nga një degë, si nga një trung peme, dalin filiza më të vegjël, prej tyre edhe më të vegjël etj., domethënë një degë është e ngjashme me të gjithë pemën. Sistemi i qarkullimit të gjakut është i strukturuar në mënyrë të ngjashme: arteriolat largohen nga arteriet, dhe prej tyre kapilarët më të vegjël përmes të cilëve oksigjeni hyn në organe dhe inde. Le të shohim imazhe hapësinore bregdeti i detit: do të shohim gjire dhe gadishuj; Le ta shohim, por nga një këndvështrim shpendi: do të shohim gjire dhe pelerina; Tani le të imagjinojmë se jemi duke qëndruar në plazh dhe duke parë këmbët tona: gjithmonë do të ketë guralecë që dalin më tej në ujë se pjesa tjetër. Domethënë, vija bregdetare, kur zmadhohet, mbetet e ngjashme me vetveten. Matematikani amerikan (megjithëse u rrit në Francë) Benoit Mandelbrot e quajti këtë veti të objekteve fraktalitet, dhe vetë objekte të tilla - fraktale (nga latinishtja fractus - të thyera).
Ky koncept nuk ka një përkufizim të rreptë. Prandaj, fjala "fraktal" nuk është term matematikor. Në mënyrë tipike, një fraktal është një figurë gjeometrike që plotëson një ose më shumë nga vetitë e mëposhtme: Ka një strukturë komplekse në çdo rritje të shkallës (ndryshe nga, për shembull, një vijë e drejtë, çdo pjesë e së cilës është figura më e thjeshtë gjeometrike - një segment ). Është (përafërsisht) i ngjashëm me veten. Ka një dimension fraksional Hausdorff (fraktal), i cili është më i madh se ai topologjik. Mund të ndërtohet duke përdorur procedura rekursive.
Gjeometria dhe algjebra
Studimi i fraktaleve në kapërcyellin e shekujve 19 dhe 20 ishte më shumë episodik sesa sistematik, sepse më parë matematikanët studionin kryesisht objekte "të mira" që mund të studioheshin duke përdorur metoda dhe teori të përgjithshme. Në 1872, matematikani gjerman Karl Weierstrass ndërtoi një shembull të një funksioni të vazhdueshëm që nuk mund të diferencohet askund. Megjithatë, ndërtimi i saj ishte krejtësisht abstrakt dhe i vështirë për t'u kuptuar. Prandaj, në vitin 1904, suedezja Helge von Koch doli me një kurbë të vazhdueshme që nuk ka tangjente askund dhe është mjaft e lehtë për t'u tërhequr. Doli se ka vetitë e një fraktali. Një variant i kësaj kurbë quhet "flokë dëbore Koch".
Ideja e vetë-ngjashmërisë së figurave u zgjodh nga francezi Paul Pierre Levy, mentori i ardhshëm i Benoit Mandelbrot. Në vitin 1938, u botua artikulli i tij "Kurbat e planit dhe hapësinor dhe sipërfaqet që përbëhen nga pjesë të ngjashme me të gjithë", i cili përshkruante një fraktal tjetër - kurbën Levy C. Të gjitha këto fraktale të listuara më sipër mund të klasifikohen me kusht si një klasë fraktalesh konstruktive (gjeometrike).
Një klasë tjetër janë fraktale dinamike (algjebrike), të cilat përfshijnë grupin Mandelbrot. Kërkimet e para në këtë drejtim filluan në fillim të shekullit të 20-të dhe lidhen me emrat Matematikanët francezë Gaston Julia dhe Pierre Fatu. Në vitin 1918, u botua kujtimet e Julia-s gati dyqind faqe, kushtuar përsëritjeve të kompleksit funksionet racionale, i cili përshkruan grupet Julia, një familje e tërë fraktalesh të lidhura ngushtë me grupin Mandelbrot. Kjo vepër u vlerësua me çmim Akademia Franceze, megjithatë, nuk përmbante një ilustrim të vetëm, kështu që ishte e pamundur të vlerësohej bukuria e objekteve të hapura. Përkundër faktit se kjo punë e bëri Julia të famshme në mesin e matematikanëve të asaj kohe, ajo u harrua shpejt. Vëmendja u kthye përsëri tek ajo vetëm gjysmë shekulli më vonë me ardhjen e kompjuterëve: ishin ata që bënë të dukshëm pasurinë dhe bukurinë e botës së fraktaleve.
Dimensionet fraktale
Siç e dini, dimensioni (numri i dimensioneve) i një figure gjeometrike është numri i koordinatave të nevojshme për të përcaktuar pozicionin e një pike që shtrihet në këtë figurë.
Për shembull, pozicioni i një pike në një kurbë përcaktohet nga një koordinatë, në një sipërfaqe (jo domosdoshmërisht një plan) nga dy koordinata dhe në hapësirën tredimensionale nga tre koordinata.
Nga një më i përgjithshëm pikë matematikore Nga pikëpamja topologjike, mund të përcaktohet dimensioni në këtë mënyrë: një rritje në dimensionet lineare, të themi, me një faktor prej dy, për objektet njëdimensionale (nga pikëpamja topologjike) (segmenti) çon në një rritje. në madhësi (gjatësi) me një faktor dy, për ato dy-dimensionale (një katror) e njëjta rritje në dimensionet lineare çon në një rritje të madhësisë (sipërfaqes) me 4 herë, për tre-dimensionale (kub) - me 8 herë . Kjo do të thotë, dimensioni "real" (i ashtuquajturi Hausdorff) mund të llogaritet si raport i logaritmit të rritjes së "madhësive" të një objekti me logaritmin e rritjes së madhësisë së tij lineare. Kjo do të thotë, për një segment D=log (2)/log (2)=1, për një plan D=log (4)/log (2)=2, për një vëllim D=log (8)/log (2 )=3.
Tani le të llogarisim dimensionin e lakores Koch, për të ndërtuar të cilën një segment njësi ndahet në tre pjesë të barabarta dhe intervali i mesit zëvendësohet me një trekëndësh barabrinjës pa këtë segment. Kur dimensionet lineare të segmentit minimal rriten tre herë, gjatësia e kurbës Koch rritet me log (4)/log (3) ~ 1,26. Kjo do të thotë, dimensioni i kurbës Koch është i pjesshëm!
Shkenca dhe arti
Në vitin 1982, u botua libri i Mandelbrot "Gjeometria Fraktale e Natyrës", në të cilin autori mblodhi dhe sistemoi pothuajse të gjitha informacionet rreth fraktaleve të disponueshme në atë kohë dhe e prezantoi atë në një mënyrë të lehtë dhe të arritshme. Mandelbrot e vuri theksin kryesor në prezantimin e tij jo tek formulat e rënda dhe ndërtimet matematikore, por tek intuita gjeometrike e lexuesve. Falë ilustrimeve të marra duke përdorur një kompjuter dhe tregime historike, me të cilat autori holloi me mjeshtëri përbërësin shkencor të monografisë, libri u bë bestseller dhe fraktalet u bënë të njohura për publikun e gjerë. Suksesi i tyre në mesin e jo-matematicienëve është kryesisht për shkak të faktit se, me ndihmën e shumë dizajne të thjeshta dhe formula që edhe një nxënës i shkollës së mesme mund t'i kuptojë, imazhet që rezultojnë janë të mahnitshme në kompleksitet dhe bukuri. Kur kompjuterët personalë u bënë mjaft të fuqishëm, madje u shfaq një drejtim i tërë në art - piktura fraktal, dhe pothuajse çdo pronar kompjuteri mund ta bënte atë. Tani në internet mund të gjeni lehtësisht shumë faqe të dedikuara për këtë temë.
Skema për marrjen e kurbës Koch
Lufta dhe Paqja
Siç u përmend më lart, një nga objektet natyrore që ka veti fraktale është vija bregdetare. Ka një histori interesante të lidhur me të, ose më saktë, me një përpjekje për të matur gjatësinë e saj, e cila ishte baza artikull shkencor Mandelbrot, dhe përshkruhet gjithashtu në librin e tij "Gjeometria Fraktale e Natyrës". Bëhet fjalë për rreth një eksperimenti të kryer nga Lewis Richardson, një matematikan, fizikant dhe meteorolog shumë i talentuar dhe i çuditshëm. Një nga drejtimet e kërkimit të tij ishte një përpjekje për të gjetur një përshkrim matematikor të shkaqeve dhe gjasave të një konflikti të armatosur midis dy vendeve. Ndër parametrat që ai mori parasysh ishte gjatësia e kufirit të përbashkët të dy vendeve ndërluftuese. Kur mblodhi të dhëna për eksperimente numerike, ai zbuloi se burime të ndryshme të dhënat për kufirin e përbashkët të Spanjës dhe Portugalisë ndryshojnë shumë. Kjo e çoi atë në zbulimin e mëposhtëm: gjatësia e kufijve të një vendi varet nga sunduesi me të cilin i masim ato. Sa më e vogël të jetë shkalla, aq më i gjatë është kufiri. Kjo për faktin se me zmadhim më të madh bëhet e mundur të merren parasysh gjithnjë e më shumë kthesa të reja të bregdetit, të cilat më parë ishin injoruar për shkak të trashësisë së matjeve. Dhe nëse, me çdo rritje të shkallës, zbulohen kthesat e linjave të pa llogaritura më parë, atëherë rezulton se gjatësia e kufijve është e pafundme! Vërtetë, kjo nuk ndodh në të vërtetë - saktësia e matjeve tona ka një kufi të fundëm. Ky paradoks quhet efekti Richardson.
Fraktale konstruktive (gjeometrike).
Algoritmi për ndërtimin e një fraktali konstruktiv në rast i përgjithshëm keshtu eshte. Para së gjithash, na duhen dy forma gjeometrike të përshtatshme, le t'i quajmë ato bazë dhe fragment. Në fazën e parë, përshkruhet baza e fraktalit të ardhshëm. Pastaj disa nga pjesët e tij zëvendësohen me një fragment të marrë në një shkallë të përshtatshme - ky është përsëritja e parë e konstruksionit. Pastaj figura që rezulton ndryshon disa pjesë në figura të ngjashme me fragmentin, etj. Nëse e vazhdojmë këtë proces deri në pafundësi, atëherë në kufi do të marrim një fraktal.
Le të shikojmë këtë proces duke përdorur kurbën Koch si shembull (shih shiritin anësor në faqen e mëparshme). Ju mund të merrni çdo kurbë si bazë për kurbën Koch (për "flokë dëbore Koch" është një trekëndësh). Por ne do të kufizohemi në rastin më të thjeshtë - një segment. Fragmenti është një vijë e thyer, e paraqitur në krye në figurë. Pas përsëritjes së parë të algoritmit, në këtë rast segmenti origjinal do të përkojë me fragmentin, atëherë secili prej segmenteve përbërës të tij do të zëvendësohet vetë nga një vijë e thyer e ngjashme me fragmentin, etj. Figura tregon katër hapat e parë të kësaj procesi.
Në gjuhën e matematikës: fraktale dinamike (algjebrike).
Fraktale të këtij lloji lindin kur studiohen sistemet dinamike jolineare (prandaj emri). Sjellja e një sistemi të tillë mund të përshkruhet nga një funksion kompleks jolinear (polinom) f (z). Le të marrim një pikë fillestare z0 në plan kompleks(shih shiritin anësor). Tani merrni parasysh një sekuencë të tillë të pafundme numrash në planin kompleks, secili prej të cilëve është marrë nga ai i mëparshmi: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). Në varësi të pikës fillestare z0, një sekuencë e tillë mund të sillet ndryshe: priren në pafundësi si n -> ∞; konvergojnë në disa pika fundore; të marrë në mënyrë ciklike një seri vlerash fikse; Opsione më komplekse janë gjithashtu të mundshme.
Numrat kompleks
Një numër kompleks është një numër i përbërë nga dy pjesë - reale dhe imagjinare, domethënë shuma formale x + iy (x dhe y këtu - numra realë). unë jam i ashtuquajturi njësi imagjinare, pra një numër që plotëson ekuacionin i^ 2 = -1. Përcaktohen veprimet themelore matematikore në numrat kompleks: mbledhje, shumëzim, pjesëtim, zbritje (vetëm operacioni i krahasimit nuk është i përcaktuar). Për të shfaqur numrat kompleks, shpesh përdoret një paraqitje gjeometrike - në aeroplan (quhet kompleks), pjesa reale vizatohet përgjatë boshtit të abshisës, dhe pjesa imagjinare vizatohet përgjatë boshtit të ordinatave, dhe pika me do të korrespondojë me numri kompleks Koordinatat karteziane x dhe y.
Kështu, çdo pikë z e planit kompleks ka sjelljen e vet gjatë përsëritjeve të funksionit f (z), dhe i gjithë rrafshi ndahet në pjesë. Për më tepër, pikat që shtrihen në kufijtë e këtyre pjesëve kanë pronën e mëposhtme: me një zhvendosje arbitrare të vogël, natyra e sjelljes së tyre ndryshon ndjeshëm (pika të tilla quhen pika bifurkacioni). Pra, rezulton se grupet e pikave që kanë një lloj sjelljeje specifike, si dhe grupet e pikave të bifurkacionit, shpesh kanë veti fraktale. Këto janë grupet Julia për funksionin f (z).
Familja e Dragoit
Duke ndryshuar bazën dhe fragmentin, mund të merrni një shumëllojshmëri mahnitëse fraktalesh konstruktive.
Për më tepër, operacione të ngjashme mund të kryhen në hapësirë tredimensionale. Shembuj të fraktaleve vëllimore përfshijnë "sfungjerin Menger", "piramidën Sierpinski" dhe të tjerë.
Familja e dragoit konsiderohet gjithashtu të jetë një fraktal konstruktiv. Ndonjëherë ata quhen me emrin e zbuluesve të tyre "dragonë Heavey-Harter" (në formën e tyre ngjajnë me dragonjtë kinezë). Ka disa mënyra për të ndërtuar këtë kurbë. Më e thjeshta dhe më vizuale prej tyre është kjo: ju duhet të merrni një rrip letre mjaft të gjatë (sa më e hollë të jetë letra, aq më mirë) dhe ta përkulni në gjysmë. Pastaj përkuleni përsëri në gjysmë në të njëjtin drejtim si herën e parë. Pas disa përsëritjeve (zakonisht pas pesë ose gjashtë palosjeve, shiriti bëhet shumë i trashë për t'u përkulur më tej), ju duhet ta përkulni shiritin prapa dhe të përpiqeni të krijoni kënde 90˚ në palosjet. Pastaj në profil do të merrni kurbën e një dragoi. Sigurisht, kjo do të jetë vetëm një përafrim, si të gjitha përpjekjet tona për të përshkruar objekte fraktale. Kompjuteri lejon që të përshkruhen shumë hapa të tjerë të këtij procesi dhe rezultati është një figurë shumë e bukur.
Kompleti Mandelbrot është ndërtuar disi ndryshe. Konsideroni funksionin fc (z) = z 2 +c, ku c është një numër kompleks. Le të ndërtojmë një sekuencë të këtij funksioni me z0=0, në varësi të parametrit c, ai mund të divergjojë në pafundësi ose të mbetet i kufizuar. Për më tepër, të gjitha vlerat e c për të cilat kjo sekuencë është e kufizuar formojnë grupin Mandelbrot. Ai u studiua në detaje nga vetë Mandelbrot dhe matematikanë të tjerë, të cilët zbuluan shumë veti interesante të këtij grupi.
Mund të shihet se përkufizimet e grupeve Julia dhe Mandelbrot janë të ngjashme me njëri-tjetrin. Në fakt, këto dy grupe janë të lidhura ngushtë. Gjegjësisht, grupi Mandelbrot janë të gjitha vlerat e parametrit kompleks c për të cilin është lidhur grupi Julia fc (z) (një grup quhet i lidhur nëse nuk mund të ndahet në dy pjesë të shkëputura, me disa kushte shtesë).
Fraktale dhe jeta
Në ditët e sotme, teoria e fraktaleve përdoret gjerësisht në fusha të ndryshme veprimtaria njerëzore. Përveç një objekti thjesht shkencor për kërkime dhe pikturës fraktal të përmendur tashmë, fraktalet përdoren në teorinë e informacionit për të kompresuar të dhënat grafike (vetia e vetëngjashmërisë së fraktaleve përdoret kryesisht këtu - në fund të fundit, për të kujtuar një fragment të vogël të një fotografie dhe transformimet me të cilat mund të merrni pjesët e mbetura, kërkohet shumë më pak memorie sesa për ruajtjen e të gjithë skedarit). Duke shtuar shqetësime të rastësishme në formulat që përcaktojnë një fraktal, mund të merrni fraktale stokastike që përcjellin në mënyrë shumë të besueshme disa objekte reale - elemente relievi, sipërfaqen e rezervuarëve, disa bimë, të cilat përdoren me sukses në fizikë, gjeografi dhe grafikë kompjuterike për të arritur më shumë. ngjashmëria e objekteve të simuluara me reale. Në radio elektronike, në dekadën e fundit, filluan të prodhohen antena me formë fraktal. Duke zënë pak hapësirë, ato sigurojnë marrjen e sinjalit me cilësi të lartë. Ekonomistët përdorin fraktale për të përshkruar kurbat e luhatjeve të monedhës (kjo veti u zbulua nga Mandelbrot më shumë se 30 vjet më parë). Kjo përfundon këtë ekskursion të shkurtër në botën mahnitëse të bukur dhe të larmishme të fraktaleve.
