Shifrat gjeometrike quhen të ngjashme nëse. Abstrakt: Ngjashmëria e figurave

Përkufizimi i transformimit të ngjashmërisë është i njëjtë si në plan ashtu edhe në hapësirë. Shndërrimi i një figure në figurë quhet shndërrim ngjashmërie nëse gjatë këtij transformimi distancat ndërmjet pikave ndryshojnë (rriten ose zvogëlohen) me të njëjtin numër herë. Kjo do të thotë se nëse pika arbitrare A dhe B të figurës F me këtë shndërrim shkojnë në pikat e figurës ku .

Numri k quhet koeficienti i ngjashmërisë Kur transformimi i ngjashmërisë është një lëvizje.

Homoteiteti është një transformim i ngjashmërisë.

Konsideroni vetitë e transformimit të ngjashmërisë.

1. Gjatë një transformimi të ngjashmërisë, tre pika A, B dhe C, të shtrira në të njëjtën drejtëz, shndërrohen në tre pika Lie që gjithashtu shtrihen në të njëjtën drejtëz. Për më tepër, nëse pika B shtrihet midis pikave A dhe C, atëherë pika ndodhet midis pikave

2. Shndërrimi i ngjashmërisë i shndërron drejtëzat në drejtëza, gjysmëdrejtëzat në gjysmëdrejtëza, segmentet në segmente, rrafshet në rrafshe.

3. Transformimi i ngjashmërisë ruan këndet ndërmjet gjysmëdrejtëzave.

4. Jo çdo transformim i ngjashmërisë është homoteti.

Në figurën 226, figura është marrë nga figura F me homoteti, dhe figura është marrë nga figura me simetri rreth drejtëzës. Konvertimi i F në F? është një transformim ngjashmërie, pasi ruan marrëdhëniet e distancave midis pikave përkatëse, por ky transformim nuk është një homoteti.

Për homotetinë në hapësirë, teorema e mëposhtme është e vërtetë:

Një transformim homotetik në hapësirë transformon çdo rrafsh që nuk kalon nëpër qendrën e homotetikës në plan paralel ose në veten tuaj.

Figura 227 tregon dy kuba homotetikë me një koeficient homotetie të barabartë me 2. Rrafshi ABCD shkon në rrafshin paralel ABCD. E njëjta gjë mund të thuhet për rrafshet e fytyrave të tjera të kubit.

78. Shifra të ngjashme.

Dy figura F quhen të ngjashme nëse shndërrohen në njëra-tjetrën nga një transformim ngjashmërie. Për të treguar ngjashmërinë e figurave, përdoret simboli. Hyrja thotë: "Figura është e ngjashme me figurën F."

Nga vetitë e transformimit të ngjashmërisë del se shumëkëndësha të ngjashëm këndet përkatëse janë të barabarta dhe brinjët përkatëse janë proporcionale.

Shënimi supozon se kulmet e kombinuara nga transformimi i ngjashmërisë janë në vendet përkatëse, d.m.th. A shkon në - në

Për trekëndësha të ngjashëm barazitë janë të vërteta

Dy trekëndësha janë të ngjashëm nëse këndet përkatëse janë të barabarta dhe brinjët përkatëse janë proporcionale. Le të formulojmë kriteret e ngjashmërisë për trekëndëshat.

ABSTRAKT

Me temën: "Ngjashmëria e figurave"

E përfunduar:

student

Kontrolluar:

1. Transformimi i ngjashmërisë

2. Vetitë e shndërrimit të ngjashmërisë

3. Ngjashmëria e figurave

4. Shenja e ngjashmërisë së trekëndëshave në dy kënde

5. Shenja e ngjashmërisë së trekëndëshave në dy brinjë dhe këndit ndërmjet tyre

6. Shenja e ngjashmërisë së trekëndëshave në tri brinjë

7. Ngjashmëria e trekëndëshave kënddrejtë

8. Kënde të gdhendura në një rreth

9. Proporcionaliteti i segmenteve të kordave dhe sekanteve të një rrethi

10. Probleme me temën “Ngjashmëria e figurave”

1. TRANSFORMIMI I ngjashmërisë

Shndërrimi i një figure F në një figurë F" quhet transformim ngjashmërie nëse, gjatë këtij transformimi, distancat midis pikave ndryshojnë me të njëjtin numër herë (Fig. 1). Kjo do të thotë se nëse pikat arbitrare X, Y të figura F, gjatë një transformimi të ngjashmërisë, shndërrohet në pika X", Y"figura F", pastaj X"Y" = k-XY, dhe numri k është i njëjtë për të gjitha pikat X, Y. Numri k quhet koeficienti i ngjashmërisë. Për k = l, transformimi i ngjashmërisë është padyshim një lëvizje.

Le të F - kjo shifër dhe O - pika fikse (Fig. 2). Le të vizatojmë një rreze OX përmes një pike arbitrare X të figurës F dhe të vizatojmë një segment OX mbi të të barabartë me k OX, ku k është numër pozitiv. Shndërrimi i figurës F, në të cilën secila pikë e saj X shkon në pikën X”, e ndërtuar në mënyrën e treguar, quhet homoteti në lidhje me qendrën O. Numri k quhet koeficient homotetie, figurat F dhe F" quhen homotetike.

Teorema 1. Homoteiteti është një transformim ngjashmërie

Dëshmi. Le të jetë O qendra homotetike, k koeficienti i homoteitetit, X dhe Y janë dy pika arbitrare të figurës (Fig. 3)

Fig.3 Fig.4

Me homoteti, pikat X dhe Y shkojnë në pikat X" dhe Y" në rrezet OX dhe OY, përkatësisht, dhe OX" = k·OX, OY" = k·OY. Kjo nënkupton barazitë vektoriale OX" = kOX, OY" = kOY.

Duke zbritur këto barazi terma për term, fitojmë: OY"-OX" = k (OY-OX).

Meqë OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, pastaj X"Y" = kХY. Kjo do të thotë /X"Y"/=k /XY/, d.m.th. X"Y" = kXY. Rrjedhimisht, homoteiteti është një transformim i ngjashmërisë. Teorema është vërtetuar.

Transformimi i ngjashmërisë përdoret gjerësisht në praktikë kur bëhen vizatime të pjesëve të makinerive, strukturave, planeve të vendndodhjes, etj. Këto imazhe janë transformime të ngjashme të imazheve imagjinare në madhësi të plotë. Koeficienti i ngjashmërisë quhet shkallë. Për shembull, nëse një pjesë e terrenit përshkruhet në një shkallë 1:100, kjo do të thotë që një centimetër në plan korrespondon me 1 m në tokë.

Detyrë. Figura 4 tregon një plan të pasurisë në një shkallë 1:1000. Përcaktoni dimensionet e pasurisë (gjatësia dhe gjerësia).

Zgjidhje. Gjatësia dhe gjerësia e pasurisë në plan janë 4 cm dhe 2,7 cm Duke qenë se plani është bërë në shkallë 1:1000, dimensionet e pasurisë janë përkatësisht 2,7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm =. 40 m.

2. VETITË E TRANSFORMIMIT TË ngjashmërisë

Ashtu si për lëvizjen, vërtetohet se gjatë një transformimi të ngjashmërisë, tre pika A, B, C, të shtrira në të njëjtën drejtëz, hyjnë në tre pika A 1, B 1, C 1, gjithashtu të shtrira në të njëjtën drejtëz. Për më tepër, nëse pika B shtrihet midis pikave A dhe C, atëherë pika B 1 shtrihet midis pikave A 1 dhe C 1. Nga kjo rrjedh se transformimi i ngjashmërisë i shndërron vijat në vija të drejta, gjysmëdrejtëzat në gjysmëdrejtëza dhe segmentet në segmente.

Le të vërtetojmë se transformimi i ngjashmërisë ruan këndet midis gjysmëdrejtëzave.

Në të vërtetë, le të shndërrohet këndi ABC nga një transformim ngjashmërie me koeficientin k në këndin A 1 B 1 C 1 (Fig. 5). Le t'ia nënshtrojmë këndin ABC një transformimi homotetik në lidhje me kulmin e tij B me koeficientin e homoteitetit k. Në këtë rast, pikat A dhe C do të kalojnë në pikat A 2 dhe C 2. Trekëndëshat A 2 BC 2 dhe A 1 B 1 C 1 janë të barabartë sipas kriterit të tretë. Nga barazia e trekëndëshave del se këndet A 2 BC 2 dhe A 1 B 1 C 1 janë të barabartë. Kjo do të thotë se këndet ABC dhe A 1 B 1 C 1 janë të barabarta, gjë që duhej vërtetuar.

3. Ngjashmëria e FIGURAVE

Dy figura quhen të ngjashme nëse shndërrohen në njëra-tjetrën nga një transformim ngjashmërie. Për të treguar ngjashmërinë e figurave, përdoret një ikonë e veçantë: ∞. Shënimi F∞F" lexohet kështu: "Figura F është e ngjashme me figurën F".

Le të vërtetojmë se nëse figura F 1 është e ngjashme me figurën F 2, dhe figura F 2 është e ngjashme me figurën F 3, atëherë figurat F 1 dhe F 3 janë të ngjashme.

Le të jenë X 1 dhe Y 1 dy pika arbitrare të figurës F 1. Transformimi i ngjashmërisë që e shndërron figurën F 1 në F 2 i shndërron këto pika në pika X 2, Y 2, për të cilat X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1.

Transformimi i ngjashmërisë që e shndërron figurën F 2 në F 3 i shndërron pikat X 2, Y 2 në pikat X 3, Y 3, për të cilat X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2.

Nga barazitë

X 2 Y 2= kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

rrjedh se X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 . Kjo do të thotë se shndërrimi i figurës F 1 në F 3, i marrë duke kryer në mënyrë sekuenciale dy transformime të ngjashmërisë, është ngjashmëri. Rrjedhimisht, figurat F 1 dhe F 3 janë të ngjashme, gjë që duhej vërtetuar.

Në shënimin për ngjashmërinë e trekëndëshave: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - supozohet se kulmet e kombinuara nga transformimi i ngjashmërisë janë në vendet përkatëse, d.m.th. A shkon në A 1, B në B 1 dhe C në C. 1.

Nga vetitë e transformimit të ngjashmërisë del se për figurat e ngjashme këndet përkatëse janë të barabarta, kurse segmentet përkatëse janë proporcionale. Në veçanti, për trekëndëshat e ngjashëm ABC dhe A 1 B 1 C 1

A=A 1, B=B 1, C=C 1

4. RËNDËSIA E ngjashmërisë së trekëndëshave SIPAS DY KËNDËVE

Teorema 2. Nëse dy kënde të një trekëndëshi janë të barabartë me dy kënde të një trekëndëshi tjetër, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.

Dëshmi. Le të lëmë trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 A=A 1, B=B 1. Le të vërtetojmë se ДАВС~ДА 1 В 1 С 1.

Le . Le t'i nënshtrojmë trekëndëshin A 1 B 1 C 1 një transformimi ngjashmërie me një koeficient ngjashmërie k, për shembull, homoteti (Fig. 6). Në këtë rast marrim një trekëndësh A 2 B 2 C 2, e barabartë me një trekëndësh ABC. Në të vërtetë, meqenëse transformimi i ngjashmërisë ruan këndet, atëherë A 2 = A 1, B 2 = B 1. Kjo do të thotë se trekëndëshat ABC dhe A kanë 2 B 2 C 2 A = A 2 , B = B 2 . Më pas, A 2 B 2 = kA 1 B 1 =AB. Rrjedhimisht, trekëndëshat ABC dhe A 2 B 2 C 2 janë të barabartë sipas kriterit të dytë (nga ana dhe këndet ngjitur).

Meqenëse trekëndëshat A 1 B 1 C 1 dhe A 2 B 2 C 2 janë homotetikë dhe për rrjedhojë të ngjashëm, dhe trekëndëshat A 2 B 2 C 2 dhe ABC janë të barabartë dhe për rrjedhojë edhe të ngjashëm, atëherë trekëndëshat A 1 B 1 C 1 dhe ABC janë të ngjashëm . Teorema është vërtetuar.

Detyrë. Drejt, paralel me anën AB i trekëndëshit ABC pret anën e tij AC në pikën A 1 dhe brinjën BC në pikën B 1. Vërtetoni se Δ ABC ~ ΔA 1 B 1 C.

Zgjidhje (Fig. 7). Trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C kanë një kënd të përbashkët në kulmin C, dhe këndet CA 1 B 1 dhe CAB janë të barabartë me këndet përkatëse të paraleleve AB dhe A 1 B 1 me sekant AC. Prandaj, ДАВС~ДА 1 В 1 С në dy kënde.

5. RËNDËSIA E ngjashmërisë së trekëndëshave në dy anët dhe këndin ndërmjet tyre

Teorema 3. Nëse dy brinjët e një trekëndëshi janë proporcionale me dy brinjët e një trekëndëshi tjetër dhe këndet e formuara nga këto brinjë janë të barabarta, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm.

Vërtetim (i ngjashëm me vërtetimin e Teoremës 2). Le të lëmë trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 C=C 1 dhe AC=kA 1 C 1, BC=kB 1 C 1. Le të vërtetojmë se ДАВС~ДА 1 В 1 С 1.

Le t'ia nënshtrojmë trekëndëshin A 1 B 1 C 1 një transformimi ngjashmërie me një koeficient ngjashmërie k, për shembull, homoteti (Fig. 8).

Në këtë rast, marrim një trekëndësh të caktuar A 2 B 2 C 2 të barabartë me trekëndëshin ABC. Në të vërtetë, meqenëse transformimi i ngjashmërisë ruan këndet, atëherë C 2 = = C 1 . Kjo do të thotë se trekëndëshat ABC dhe A kanë 2 B 2 C 2 C=C 2. Më pas, A 2 C 2 = kA 1 C 1 = AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 = BC. Rrjedhimisht, trekëndëshat ABC dhe A 2 B 2 C 2 janë të barabartë sipas kriterit të parë (dy brinjët dhe këndi ndërmjet tyre).

Detyrë. Në trekëndëshin ABC me kënd akut C vizatohen lartësitë AE dhe BD (Fig. 9). Vërtetoni se ΔABC~ΔEDC.

Zgjidhje. Trekëndëshat ABC dhe EDC kanë një kënd të përbashkët të kulmit C. Le të vërtetojmë proporcionalitetin e brinjëve të trekëndëshave ngjitur me këtë kënd. Kemi EC = AC cos γ, DC = BC cos γ. Kjo do të thotë, brinjët ngjitur me këndin C janë proporcionale për trekëndëshat. Kjo do të thotë ΔABC~ΔEDC në dy anët dhe këndi ndërmjet tyre.

6. RËNDËSIA E ngjashmërisë së trekëndëshave në tre anët

Teorema 4. Nëse brinjët e një trekëndëshi janë proporcionale me brinjët e një trekëndëshi tjetër, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.

Vërtetim (i ngjashëm me vërtetimin e Teoremës 2). Le të lëmë trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 AB = kA 1 B 1, AC = kA 1 C 1, BC = kB 1 C 1. Le të vërtetojmë se ДАВС~ДА 1 В 1 С 1.

Le t'i nënshtrojmë trekëndëshin A 1 B 1 C 1 një transformimi ngjashmërie me një koeficient ngjashmërie k, për shembull, homoteti (Fig. 10). Në këtë rast, marrim një trekëndësh të caktuar A 2 B 2 C 2 të barabartë me trekëndëshin ABC. Në të vërtetë, për trekëndëshat brinjët përkatëse janë të barabarta:

A 2 B 2 = kA 1 B 1 = AB, A 2 C 2 = kA 1 C 1 = AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 =BC.

Rrjedhimisht, trekëndëshat janë të barabartë sipas kriterit të tretë (në tre anët).

Detyrë. Vërtetoni se perimetrat e trekëndëshave të ngjashëm lidhen si brinjë përkatëse.

Zgjidhje. Le të jenë ABC dhe A 1 B 1 C 1 trekëndësha të ngjashëm. Atëherë brinjët e trekëndëshit A 1 B 1 C 1 janë proporcionale me brinjët e trekëndëshit ABC, d.m.th. A 1 B 1 =kAB, B 1 C 1 = kBC, A 1 C 1 =kAC. Duke shtuar këto barazi term pas termi, marrim:

A 1 B 1 + B 1 C 1 +A 1 C 1 =k(AB+BC+AC).

domethënë, perimetrat e trekëndëshave lidhen si brinjë përkatëse.

7. ngjashmëria e trekëndëshave drejtkëndësh

U trekëndësh kënddrejtë një kënd është i drejtë. Prandaj, sipas teoremës 2, që dy trekëndësha kënddrejtë të jenë të ngjashëm, mjafton që secili të ketë një kënd të barabartë akut.

Duke përdorur këtë test për ngjashmërinë e trekëndëshave kënddrejtë, do të vërtetojmë disa marrëdhënie në trekëndësha.

Le të jetë ABC një trekëndësh kënddrejtë me kënd të drejtë C. Vizato CD-në e lartësisë nga kulmi kënd i drejtë(Fig. 11).

Trekëndëshat ABC dhe CBD kanë kënd i përbashkët në kulmin B. Prandaj, ato janë të ngjashme: ΔABC~ΔCBD. Nga ngjashmëria e trekëndëshave rezulton se brinjët përkatëse janë proporcionale:

Kjo marrëdhënie zakonisht formulohet si më poshtë: një këmbë e një trekëndëshi kënddrejtë është mesatarja proporcionale midis hipotenuzës dhe projeksionit të kësaj kateje mbi hipotenuzë.

Trekëndëshat kënddrejtë ACD dhe CBD janë gjithashtu të ngjashëm. Ata kanë kënde akute të barabarta në kulmet A dhe C. Nga ngjashmëria e këtyre trekëndëshave rrjedh proporcionaliteti i brinjëve të tyre:

Kjo marrëdhënie zakonisht formulohet si më poshtë: lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë është proporcionaliteti mesatar midis projeksioneve të këmbëve I në hipotenuzë.

Le të provojmë pronë e radhës Përgjysmuesit e trekëndëshit: Përgjysmuesja e një trekëndëshi e ndan anën e kundërt në segmente proporcionale me dy brinjët e tjera.

Le të jetë CD përgjysmues i trekëndëshit ABC (Fig. 12). Nëse trekëndëshi ABC është dykëndësh me bazën AB, atëherë vetia e treguar e përgjysmuesit është e dukshme, pasi në këtë rast përgjysmues CD është edhe mediana.

Le të shqyrtojmë rast i përgjithshëm, kur AC≠BC. Le të hedhim pingulet AF dhe BE nga kulmet A dhe B në vijën CD.

Trekëndëshat kënddrejtë ACF dhe VSE janë të ngjashëm, pasi kanë kënde akute të barabarta në kulmin C. Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcionaliteti i brinjëve:

Trekëndëshat kënddrejtë ADF dhe BDE janë gjithashtu të ngjashëm. Këndet e tyre në kulmin D janë të barabartë me këndet vertikale. Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcionaliteti i brinjëve:

Duke krahasuar këtë barazi me atë të mëparshme, marrim:

domethënë, segmentet AD dhe BD janë proporcionale me brinjët AC dhe BC, gjë që duhej vërtetuar.

8. KËNDËT E PËRFSHIRË NË RRETH

Një kënd e ndan një rrafsh në dy pjesë. Secila nga pjesët quhet një kënd i rrafshët. Në figurën 13, një nga këndet e rrafshët me brinjët a dhe b është i hijezuar. Këndet e rrafshnaltës me brinjë të përbashkët quhen plotësuese.

Nëse një kënd i rrafshët është pjesë e një gjysmë rrafshi, atëherë quhet masa e shkallës së tij masë shkallë kënd i rregullt me të njëjtat anë. Nëse një kënd i rrafshët përmban një gjysmë rrafsh, atëherë masa e shkallës së tij merret të jetë 360° - α, ku α është masa e shkallës së një këndi shtesë të rrafshit (Fig. 14).

Oriz. 13 Fig.14

Një kënd qendror në një rreth është një kënd i rrafshët me një kulm në qendër. Pjesa e rrethit që ndodhet brenda këndit të rrafshët quhet hark i rrethit që i përgjigjet këtij këndi qendror (Fig. 15). Masa e shkallës së një harku të një rrethi është masa e shkallës së këndit qendror përkatës.

Oriz. 15 Fig. 16

Një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth dhe anët e të cilit kryqëzojnë këtë rreth quhet i brendashkruar në një rreth. Këndi BAC në figurën 16 është brendashkruar në një rreth. Kulmi i tij A shtrihet në rreth dhe brinjët e tij e ndërpresin rrethin në pikat B dhe C. Thuhet gjithashtu se këndi A mbështetet në kordën BC. Vija e drejtë BC e ndan rrethin në dy harqe. Quhet këndi qendror që i përgjigjet atij të këtyre harqeve që nuk përmban pikën A kënd qendror, që i korrespondon një këndi të dhënë të brendashkruar.

Teorema 5. Një kënd i brendashkruar në një rreth është e barabartë me gjysmën këndi qendror përkatës.

Dëshmi. Le të shqyrtojmë së pari rast i veçantë, kur njëra nga anët e këndit kalon nga qendra e rrethit (Fig. 17, a). Trekëndëshi AOB është dykëndësh sepse brinjët e tij OA dhe OB janë të barabarta në rreze. Prandaj, këndet A dhe B të trekëndëshit janë të barabartë. Dhe meqenëse shuma e tyre është e barabartë këndi i jashtëm trekëndëshi në kulmin O, atëherë këndi B i trekëndëshit është i barabartë me gjysmën e këndit AOC, që është ajo që duhej vërtetuar.

Rasti i përgjithshëm reduktohet në rastin e veçantë të konsideruar duke vizatuar diametrin ndihmës BD (Fig. 17, b, c). Në rastin e paraqitur në Figurën 17, b, ABC= CBD+ ABD= ½ COD + ½ AOD= ½ AOC.

Në rastin e paraqitur në Figurën 17, c,

ABC= CBD - ABD = ½ COD - ½ AOD = ½ AOC.

Teorema është plotësisht e vërtetuar.

9. PËRPËRPOSHTIM I SEGMENTEVE TË KORDIVE DHE SEKANTEVE TË NJË RRETHI

Nëse kordat AB dhe CD të një rrethi kryqëzohen në pikën S

ToAS·BS=CS·DS.

Le të vërtetojmë fillimisht se trekëndëshat ASD dhe CSB janë të ngjashëm (Fig. 19). Këndet e brendashkruara DCB dhe DAB janë të barabarta nga përfundimi i teoremës 5. Këndet ASD dhe BSC janë të barabartë si kënde vertikale. Nga barazia e këndeve të treguara rezulton se trekëndëshat ASZ dhe CSB janë të ngjashëm.

Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcioni

AS BS = CS DS, që është ajo që na duhej të vërtetonim

Fig.19 Fig.20

Nëse dy sekante janë tërhequr nga pika P në një rreth, duke e prerë rrethin në pikat A, B dhe C, D, përkatësisht, atëherë

Le të jenë pikat A dhe C pikat e prerjes së sekanteve me rrethin më afër pikës P (Fig. 20). Trekëndëshat PAD dhe PCB janë të ngjashëm. Ata kanë një kënd të përbashkët në kulmin P, dhe këndet në kulmet B dhe D janë të barabartë sipas vetive të këndeve të brendashkruara në një rreth. Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcioni

Prandaj PA·PB=PC·PD, që është ajo që duhej vërtetuar.

10. Probleme me temën “Ngjashmëria e figurave”

ABSTRAKT

Me temën: "Ngjashmëria e figurave"

E përfunduar:

student

Kontrolluar:

1. Transformimi i ngjashmërisë

2. Vetitë e shndërrimit të ngjashmërisë

3. Ngjashmëria e figurave

4. Shenja e ngjashmërisë së trekëndëshave në dy kënde

5. Shenja e ngjashmërisë së trekëndëshave në dy brinjë dhe këndit ndërmjet tyre

6. Shenja e ngjashmërisë së trekëndëshave në tri brinjë

7. Ngjashmëria e trekëndëshave kënddrejtë

8. Kënde të gdhendura në një rreth

9. Proporcionaliteti i segmenteve të kordave dhe sekanteve të një rrethi

10. Probleme me temën “Ngjashmëria e figurave”

1. TRANSFORMIMI I ngjashmërisë

Le të jetë F një figurë e dhënë dhe O një pikë fikse (Fig. 2). Le të vizatojmë një rreze OX përmes një pike arbitrare X të figurës F dhe të vizatojmë mbi të një segment OX" të barabartë me k·OX, ku k është një numër pozitiv. Shndërrimi i figurës F, në të cilën secila pikë e saj X shkon në pikën X", e ndërtuar në mënyrën e treguar, quhet homoteti në raport me qendrën O. Numri k quhet koeficient homotetik, figurat F dhe F" quhen homotetikë.

Teorema 1. Homoteiteti është një transformim ngjashmërie

Dëshmi. Le të jetë O qendra homotetike, k koeficienti i homoteitetit, X dhe Y janë dy pika arbitrare të figurës (Fig. 3)

Fig.3 Fig.4

Me homoteti, pikat X dhe Y shkojnë në pikat X" dhe Y" në rrezet OX dhe OY, përkatësisht, dhe OX" = k·OX, OY" = k·OY. Kjo nënkupton barazitë vektoriale OX" = kOX, OY" = kOY. Duke zbritur këto barazi terma për term, fitojmë: OY"-OX" = k (OY-OX). Meqë OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, pastaj X"Y" = kХY. Kjo do të thotë /X"Y"/=k /XY/, d.m.th. X"Y" = kXY. Rrjedhimisht, homoteiteti është një transformim i ngjashmërisë. Teorema është vërtetuar.

Detyrë. Figura 4 tregon një plan të pasurisë në një shkallë 1:1000. Përcaktoni dimensionet e pasurisë (gjatësia dhe gjerësia).

2. VETITË E TRANSFORMIMIT TË ngjashmërisë

Le të vërtetojmë se transformimi i ngjashmërisë ruan këndet midis gjysmëdrejtëzave.

3. Ngjashmëria e FIGURAVE

Le të vërtetojmë se nëse figura F 1 është e ngjashme me figurën F 2, dhe figura F 2 është e ngjashme me figurën F 3, atëherë figurat F 1 dhe F 3 janë të ngjashme.

Transformimi i ngjashmërisë që e shndërron figurën F 2 në F 3 i shndërron pikat X 2, Y 2 në pikat X 3, Y 3, për të cilat X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2.

Nga barazitë

X 2 Y 2= kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

A=A 1, B=B 1, C=C 1

4. RËNDËSIA E ngjashmërisë së trekëndëshave SIPAS DY KËNDËVE

Teorema 2. Nëse dy kënde të një trekëndëshi janë të barabartë me dy kënde të një trekëndëshi tjetër, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.

Dëshmi. Le të kenë trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1

Shembuj

Çdo homoteti është një ngjashmëri.
Çdo lëvizje (përfshirë ato identike) mund të konsiderohet gjithashtu si një transformim ngjashmërie me një koeficient k = 1 .

Shifrat e ngjashme në foto kanë të njëjtat ngjyra.

Përkufizime të ngjashme

Vetitë

NË hapësirat metrike ashtu si brenda n-hapësirat dimensionale Riemanniane, pseudo-Riemanniane dhe Finsler, ngjashmëria përkufizohet si një transformim që merr metrikën e hapësirës në vetvete deri në një faktor konstant.

Bashkësia e të gjitha ngjashmërive të hapësirës n-dimensionale Euklidiane, pseudo-Euklidiane, Riemanniane, pseudo-Riemanniane ose Finsler është r-grupi anëtar i shndërrimeve Lie, i quajtur grupi i shndërrimeve të ngjashme (homotetike) të hapësirës përkatëse. Në secilën nga hapësirat e llojeve të përcaktuara r- grupi anëtar i transformimeve të ngjashme të Gënjeshtrës përmban ( r− 1) -nëngrup normal i lëvizjeve të anëtarësuar.

Shihni gjithashtu

Fondacioni Wikimedia.

2010.

Shihni se çfarë janë "Figura të ngjashme" në fjalorë të tjerë: FIGURA TË NGJASHME - shifrat që kanë përkatëse elementet lineare janë proporcionale dhe këndet ndërmjet tyre janë të barabartë, d.m.th., kur të njëjtën formë kanë … madhësive të ndryshme

Dy figura homologjike quhen grup nëse largësitë e pikave përkatëse me qendrën janë proporcionale. Nga kjo është e qartë se figurat G. janë figura të ngjashme dhe të vendosura në mënyrë të ngjashme, ose të ngjashme dhe të vendosura anasjelltas. Qendra e homologjisë në këtë... ... Fjalor Enciklopedik F. Brockhaus dhe I.A. Efron

Teorema e Pitagorës është një nga teoremat themelore të gjeometrisë Euklidiane, duke vendosur marrëdhëniet midis brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë. Përmbajtja 1 Formulime 2 Dëshmi ... Wikipedia

Mburoja e Tinkturës Mbajtëse Mburoja Mbajtëse Mburojash (moto) ... Wikipedia

Sheela na Gig e famshme nga kisha në Kilpeck, Angli Sheela na Gig (anglisht: Sheela na Gig) imazhe skulpturore të grave të zhveshura, zakonisht të zmadhuara në ... Wikipedia

- ... Wikipedia

Për herë të dytë po planifikoja të shkoja në vendin e zezakëve, duke mos i kushtuar vëmendje faktit që klima e tij skëterrë gati më vrau në udhëtimin e parë. E ndërmora këtë rrugëtim me ndjenja shumë të përziera dhe nuk munda të shpëtoj nga jeta e kafshëve të ndryshme

Emër i zakonshëm me relativisht përmbajtje të qartë dhe vëllimi i përcaktuar relativisht qartë. P. janë, për shembull, " element kimik", "ligji", "graviteti", "astronomia", "poezia" etj. Ekziston një kufi i veçantë midis atyre emrave që mund të quhen P... Enciklopedi Filozofike

Këtu janë mbledhur përkufizimet e termave nga planimetria. Referencat për termat në këtë fjalor (në këtë faqe) janë me shkronja të pjerrëta. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Wikipedia

Këtu janë mbledhur përkufizimet e termave nga planimetria. Referencat për termat në këtë fjalor (në këtë faqe) janë me shkronja të pjerrëta. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

libra

Profetët dhe mrekullibërësit. Skica rreth misticizmit, V. E. Rozhnov. Moskë, 1977. Politizdat. E detyrueshme e pronarit. Gjendja eshte e mire. Spiritualizmi dhe astrologjia, teozofia dhe okultizmi - këto fjalë mund të gjenden vazhdimisht në faqet e revistave dhe gazetave...
Numri, forma, madhësia. Për klasat me fëmijë nga 4 deri në 5 vjeç. Një libër me një lojë dhe ngjitëse, Dorofeeva A.. Albumi "Llogaria. Forma. Magnitude" nga seria Shkolla e Shtatë Xhuxhëve, viti i pestë i studimit, është një udhëzues zhvillimi, ku çdo mësim zhvillohet në një mënyrë lozonjare dhe vazhdon t'u japë fëmijëve…

Gjeometria

Ngjashmëria e figurave

Vetitë e figurave të ngjashme

Teorema. Kur një figurë është e ngjashme me një figurë, dhe një figurë është e ngjashme me një figurë, atëherë shifrat dhe të ngjashme.
Nga vetitë e transformimit të ngjashmërisë del se për figurat e ngjashme këndet përkatëse janë të barabarta, kurse segmentet përkatëse janë proporcionale. Për shembull, në trekëndësha të ngjashëm ABC Dhe:
; ; ;
.

Shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave

Teorema 1. Nëse dy kënde të një trekëndëshi janë përkatësisht të barabartë me dy kënde të trekëndëshit të dytë, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.
Teorema 2. Nëse dy brinjët e një trekëndëshi janë proporcionale me dy brinjët e trekëndëshit të dytë dhe këndet e formuara nga këto brinjë janë të barabarta, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm.
Teorema 3. Nëse brinjët e një trekëndëshi janë proporcionale me brinjët e trekëndëshit të dytë, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.
Nga këto teorema rrjedhin fakte që janë të dobishme për zgjidhjen e problemeve.
1. Një vijë e drejtë paralele me një anë të një trekëndëshi dhe që kryqëzon dy brinjët e tjera të tij, shkëput një trekëndësh të ngjashëm me këtë.
Në foto.

2. Për trekëndëshat e ngjashëm, elementët përkatës (lartësitë, medianat, përgjysmuesit, etj.) lidhen si brinjë përkatëse.
3. Për trekëndëshat e ngjashëm, perimetrat lidhen si brinjë përkatëse.
4. Nëse RRETH- pika e prerjes së diagonaleve trapezoide ABCD, Kjo .
Në figurën në një trapez ABCD:.

5. Nëse vazhdimi i faqeve të trapezit ABCD kryqëzohen në një pikë K, pastaj (shih figurën) .
.

Ngjashmëria e trekëndëshave kënddrejtë

Teorema 1. Nëse trekëndëshat kënddrejtë kanë të barabartë kënd akut, atëherë ato janë të ngjashme.
Teorema 2. Nëse dy këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë janë proporcionale me dy këmbët e trekëndëshit të dytë kënddrejtë, atëherë këta trekëndësha janë të ngjashëm.
Teorema 3. Nëse këmbët dhe hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë janë proporcionale me këmbën dhe hipotenuzën e trekëndëshit të dytë kënddrejtë, atëherë trekëndëshat e tillë janë të ngjashëm.
Teorema 4. Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë e ndan trekëndëshin në dy trekëndësha kënddrejtë të ngjashëm me këtë.
Në foto .

Më poshtë vijon nga ngjashmëria e trekëndëshave kënddrejtë.
1. Këmba e një trekëndëshi kënddrejtë është proporcionaliteti mesatar ndërmjet hipotenuzës dhe projeksionit të kësaj kembeje mbi hipotenuzë:
; ,
ose
; .
2. Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë të tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë është proporcionaliteti mesatar midis projeksioneve të këmbëve në hipotenuzë:
, ose .
3. Vetia e përgjysmuesit të trekëndëshit:
përgjysmuesja e një trekëndëshi (arbitrare) ndahet anën e kundërt trekëndësh në segmente proporcionale me dy brinjët e tjera.
Në foto në B.P.- përgjysmues.
, ose .

Ngjashmëria e barabrinjës dhe trekëndëshat dykëndësh

1. Gjithçka trekëndëshat barabrinjës të ngjashme.
2. Nëse trekëndëshat dykëndësh kanë kënde të barabarta midis anëve, atëherë ato janë të ngjashme.
3. Nëse trekëndëshat dykëndësh kanë baza proporcionale dhe anësor, atëherë ato janë të ngjashme.