Si të gjeni sistemin themelor të zgjidhjeve të një sistemi ekuacionesh. Sistemi i zgjidhjes themelore

Le M 0 - shumë zgjidhje sistem homogjen (4) ekuacionet lineare.

Përkufizimi 6.12. Vektorët Me 1 ,Me 2 , …, me f, të cilat janë zgjidhje të një sistemi homogjen ekuacionesh lineare quhen grup themelor i zgjidhjeve(shkurtuar FNR), nëse

1) vektorë Me 1 ,Me 2 , …, me f linearisht i pavarur (d.m.th., asnjëri prej tyre nuk mund të shprehet në termat e të tjerëve);

2) çdo zgjidhje tjetër për një sistem homogjen ekuacionesh lineare mund të shprehet në terma zgjidhjesh Me 1 ,Me 2 , …, me f.

Vini re se nëse Me 1 ,Me 2 , …, me f– ndonjë f.n.r., pastaj shprehja k 1× Me 1 + k 2× Me 2 + … + k fq× me f ju mund të përshkruani të gjithë grupin M 0 zgjidhje për sistemin (4), kështu quhet pamje e përgjithshme e zgjidhjes së sistemit (4).

Teorema 6.6.Çdo sistem homogjen i papërcaktuar ekuacionesh lineare ka një grup themelor zgjidhjesh.

Mënyra për të gjetur grupin themelor të zgjidhjeve është si më poshtë:

Gjeni një zgjidhje të përgjithshme për një sistem homogjen ekuacionesh lineare;

nderto ( n – r) zgjidhjet e pjesshme të këtij sistemi, ndërsa vlerat e të panjohurave të lira duhet të formojnë një matricë identiteti;

Shkruaj formë e përgjithshme zgjidhjet e përfshira në M 0 .

Shembulli 6.5. Gjeni një grup themelor zgjidhjesh sistemin e ardhshëm:

Zgjidhje. Le të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme për këtë sistem.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Ka pesë të panjohura në këtë sistem ( n= 5), nga të cilat ka dy të panjohura kryesore ( r= 2), ka tre të panjohura të lira ( n – r), domethënë grupi i zgjidhjeve themelore përmban tre vektorë zgjidhjeje. Le t'i ndërtojmë ato. Ne kemi x 1 dhe x 3 - të panjohurat kryesore, x 2 , x 4 , x 5 – të panjohurat e lira

Vlerat e të panjohurave të lira x 2 , x 4 , x 5 formojnë matricën e identitetit E rendit të tretë. Kuptova se vektorët Me 1 ,Me 2 , Me 3 forma f.n.r. të këtij sistemi. Atëherë grupi i tretësirave të këtij sistemi homogjen do të jetë M 0 = {k 1× Me 1 + k 2× Me 2 + k 3× Me 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Le të zbulojmë tani kushtet për ekzistencën e zgjidhjeve jozero të një sistemi homogjen të ekuacioneve lineare, me fjalë të tjera, kushtet për ekzistencën e një grupi themelor zgjidhjesh.

Një sistem homogjen ekuacionesh lineare ka zgjidhje jo zero, domethënë është e pasigurt nëse

1) renditja e matricës kryesore të sistemit më pak numër i panjohur;

2) në një sistem homogjen ekuacionesh lineare, numri i ekuacioneve është më i vogël se numri i të panjohurave;

3) nëse në një sistem homogjen ekuacionesh lineare numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave dhe përcaktuesin e matricës kryesore e barabartë me zero(dmth | A| = 0).

Shembulli 6.6. Në çfarë vlere parametri a sistemi homogjen i ekuacioneve lineare ka zgjidhje jo zero?

Zgjidhje. Le të përpilojmë matricën kryesore të këtij sistemi dhe të gjejmë përcaktorin e tij: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Përcaktori i kësaj matrice është i barabartë me zero në a = –4.

Përgjigju: –4.

7. Aritmetika n-dimensionale hapësirë ​​vektoriale

Konceptet Bazë

Në seksionet e mëparshme ne kemi hasur tashmë konceptin e një grupi numrash realë të vendosur në në një rend të caktuar. Kjo është një matricë rreshtash (ose matricë kolone) dhe një zgjidhje për një sistem ekuacionesh lineare me n i panjohur. Ky informacion mund të përmblidhet.

Përkufizimi 7.1. n-vektor aritmetik dimensional quhet një grup i porositur i n numra realë.

Do të thotë A= (a 1 , a 2 , …, a n), ku a iО R, i = 1, 2, …, n– pamje e përgjithshme e vektorit. Numri n thirrur dimension vektorët dhe numrat a i quhen të tijat koordinatat.

Për shembull: A= (1, –8, 7, 4, ) – vektor pesëdimensional.

Të vendosur të gjithë n-vektorët dimensionale zakonisht shënohen si Rn.

Përkufizimi 7.2. Dy vektorë A= (a 1 , a 2 , …, a n) Dhe b= (b 1 , b 2 , …, b n) të të njëjtit dimension të barabartë nëse dhe vetëm nëse koordinatat e tyre përkatëse janë të barabarta, p.sh. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , ..., a n= b n.

Përkufizimi 7.3.Shuma dy n-vektorët dimensionale A= (a 1 , a 2 , …, a n) Dhe b= (b 1 , b 2 , …, b n) quhet vektor a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a n+b n).

Përkufizimi 7.4. Puna numër real k te vektori A= (a 1 , a 2 , …, a n) quhet vektor k× A = (k× a 1, k×a 2,…, k×a n)

Përkufizimi 7.5. Vektor O= (0, 0, ..., 0) quhet zero(ose vektor zero).

Është e lehtë të kontrollosh nëse veprimet (operacionet) e shtimit të vektorëve dhe shumëzimit të tyre me numër real kanë vetitë e mëposhtme: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Përkufizimi 7.6. Një tufë me Rn me veprimet e mbledhjes së vektorëve dhe shumëzimit të tyre me një numër real të dhënë në të quhet hapësirë ​​vektoriale aritmetike n-dimensionale.

Sistemet homogjene të linjës ekuacionet algjebrike

Si pjesë e mësimeve Metoda Gaussian Dhe Sisteme/sisteme të papajtueshme me një zgjidhje të përbashkët kemi konsideruar sistemet johomogjene të ekuacioneve lineare, Ku anëtar i lirë(që zakonisht është në të djathtë) të paktën një nga ekuacionet ishte ndryshe nga zero.
Dhe tani, pas një ngrohjeje të mirë me renditja e matricës, ne do të vazhdojmë të lustrojmë teknikën transformimet elementare në sistemi homogjen i ekuacioneve lineare.
Bazuar në paragrafët e parë, materiali mund të duket i mërzitshëm dhe mediokër, por kjo përshtypje është mashtruese. Përveç zhvillimit të mëtejshëm të teknikave teknike, do të ketë shumë informacione të reja, ndaj ju lutemi përpiquni të mos lini pas dore shembujt në këtë artikull.

Çfarë është një sistem homogjen ekuacionesh lineare?

Përgjigja sugjeron vetë. Një sistem ekuacionesh lineare është homogjen nëse termi i lirë të gjithë ekuacioni i sistemit është zero. Për shembull:

Është absolutisht e qartë se një sistem homogjen është gjithmonë konsistent dmth ka gjithmone nje zgjidhje. Dhe, para së gjithash, ajo që ju bie në sy është e ashtuquajtura i parëndësishëm zgjidhje . Trivial, për ata që nuk e kuptojnë fare kuptimin e mbiemrit, do të thotë pa shfaqje. Jo akademikisht, sigurisht, por në mënyrë të kuptueshme =) ...Pse të rrahim rreth shkurret, le të zbulojmë nëse ky sistem ka ndonjë zgjidhje tjetër:

Shembulli 1

Zgjidhje: për të zgjidhur një sistem homogjen është e nevojshme të shkruhet matrica e sistemit dhe me ndihmën e shndërrimeve elementare ta sjellë në pamje me shkallë. Ju lutemi vini re se këtu nuk ka nevojë të shkruani shiritin vertikal dhe kolonën zero anëtarë të lirë- në fund të fundit, pavarësisht se çfarë bëni me zerat, ato do të mbeten zero:

(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Rreshti i parë iu shtua rreshtit të tretë, shumëzuar me –3.

(2) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me –1.

Pjesëtimi i vijës së tretë me 3 nuk ka shumë kuptim.

Si rezultat i transformimeve elementare, fitohet një sistem homogjen ekuivalent , dhe, duke përdorur inversin e metodës Gaussian, është e lehtë të verifikohet se zgjidhja është unike.

Përgjigju:

Le të formulojmë një kriter të qartë: një sistem homogjen ekuacionesh lineare ka vetëm një zgjidhje e parëndësishme, Nëse renditja e matricës së sistemit(V në këtë rast 3) e barabartë me numrin e variablave (në këtë rast - 3 copë).

Le të ngrohemi dhe të akordojmë radion tonë me valën e transformimeve elementare:

Shembulli 2

Zgjidh një sistem homogjen ekuacionesh lineare

Nga artikulli Si të gjeni gradën e një matrice? mbaj mend teknikë racionale zvogëlimi paralel i numrave të matricës. Përndryshe, do t'ju duhet të prisni peshq të mëdhenj dhe shpesh kafshues. Mostra e përafërt plotësimi i detyrës në fund të orës së mësimit.

Zerot janë të mira dhe të përshtatshme, por në praktikë rasti është shumë më i zakonshëm kur rreshtat e matricës së sistemit varur në mënyrë lineare. Dhe pastaj pamja e pashmangshme zgjidhje e përgjithshme:

Shembulli 3

Zgjidh një sistem homogjen ekuacionesh lineare

Zgjidhje: le të shkruajmë matricën e sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi. Veprimi i parë synon jo vetëm marrjen e një vlere të vetme, por edhe zvogëlimin e numrave në kolonën e parë:

(1) Rreshtit të parë iu shtua një rresht i tretë, shumëzuar me –1. Rreshti i tretë iu shtua rreshtit të dytë, shumëzuar me –2. Në krye të majtë mora një njësi me një "minus", i cili shpesh është shumë më i përshtatshëm për transformime të mëtejshme.

(2) Dy rreshtat e parë janë të njëjtë, njëri prej tyre u fshi. Sinqerisht, Unë nuk e personalizova zgjidhjen - kështu doli. Nëse kryeni transformime në një mënyrë shabllon, atëherë varësia lineare rreshtat do të ishin zbuluar pak më vonë.

(3) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me 3.

(4) Shenja e rreshtit të parë u ndryshua.

Si rezultat i transformimeve elementare, u mor një sistem ekuivalent:

Algoritmi funksionon saktësisht njësoj si për sisteme heterogjene. Variablat "ulur në shkallë" janë ato kryesore, ndryshorja që nuk ka marrë "hap" është falas.

Le të shprehim variablat bazë përmes një ndryshoreje të lirë:

Përgjigju: vendim i përbashkët:

Zgjidhja e parëndësishme është përfshirë në formulë e përgjithshme, dhe është e panevojshme ta shkruajmë veçmas.

Kontrolli kryhet gjithashtu sipas skemës së zakonshme: zgjidhja e përgjithshme që rezulton duhet të zëvendësohet në ana e majteçdo ekuacion të sistemit dhe fitoni një zero ligjore për të gjitha zëvendësimet.

Do të ishte e mundur ta përfundonim këtë në heshtje dhe paqësi, por zgjidhja për një sistem homogjen ekuacionesh shpesh duhet të përfaqësohet V forma vektoriale duke përdorur sistemi themelor i zgjidhjeve. Ju lutemi harroni atë për momentin gjeometria analitike, pasi tani do të flasim për vektorët në kuptimin e përgjithshëm algjebrik, të cilin e hapa pak në artikullin rreth renditja e matricës. Nuk ka nevojë të fshihet terminologjia, gjithçka është mjaft e thjeshtë.

Qëllimi i shërbimit. Llogaritësi në internet është krijuar për të gjetur një zgjidhje jo të parëndësishme dhe themelore për SLAE. Zgjidhja që rezulton ruhet në një skedar Word (shih shembullin e zgjidhjes).

Udhëzimet. Zgjidhni dimensionin e matricës:

Vetitë e sistemeve të ekuacioneve homogjene lineare

Teorema. Sistemi në rastin m=n ka zgjidhje jo e parëndësishme nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e këtij sistemi është e barabartë me zero.

Teorema. Çdo kombinim linear i zgjidhjeve të një sistemi është gjithashtu një zgjidhje për atë sistem.
Përkufizimi. Bashkësia e zgjidhjeve të një sistemi ekuacionesh homogjene lineare quhet sistemi themelor i zgjidhjeve, nëse ky grup përbëhet nga lineare vendime të pavarura dhe çdo zgjidhje e sistemit është një kombinim linear i këtyre zgjidhjeve.

Teorema. Nëse rangu r i matricës së sistemit është më i vogël se numri n i të panjohurave, atëherë ekziston një sistem themelor zgjidhjesh që përbëhet nga zgjidhje (n-r).

Algoritmi për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare homogjene

1. Gjetja e renditjes së matricës.
2. Ne zgjedhim minorin bazë. Dallojmë të panjohurat e varura (themelore) dhe të lira.
3. Ne kryqëzojmë ato ekuacione të sistemit, koeficientët e të cilëve nuk përfshihen në bazën minore, pasi janë pasoja të të tjerave (sipas teoremës mbi bazën minore).
4. Ne transferojmë termat e ekuacioneve që përmbajnë të panjohura të lira në anën e djathtë. Si rezultat, marrim një sistem r ekuacionesh me r të panjohura, ekuivalente me atë të dhënë, përcaktorja e të cilit është jozero.
5. Ne e zgjidhim sistemin që rezulton duke eliminuar të panjohurat. Ne gjejmë marrëdhënie që shprehin ndryshore të varura përmes atyre të lira.
6. Nëse rangu i matricës nuk është i barabartë me numrin e variablave, atëherë gjejmë zgjidhjen themelore të sistemit.
7. Në rastin rang = n kemi një zgjidhje të parëndësishme.

Shembull. Gjeni bazën e sistemit të vektorëve (a 1, a 2,...,a m), renditni dhe shprehni vektorët në bazë të bazës. Nëse a 1 =(0,0,1,-1), dhe 2 =(1,1,2,0), dhe 3 =(1,1,1,1), dhe 4 =(3,2,1 ,4) dhe 5 =(2,1,0,3).
Le të shkruajmë matricën kryesore të sistemit:

Matricat e dhëna

Gjeni: 1) aA - bB,

Zgjidhje: 1) E gjejmë në mënyrë sekuenciale, duke përdorur rregullat e shumëzimit të një matrice me një numër dhe mbledhjes së matricave..

2. Gjeni A*B nëse

Zgjidhje: Ne përdorim rregullin e shumëzimit të matricës

Përgjigje:

3. Për një matricë të dhënë, gjeni minorin M 31 dhe llogarisni përcaktorin.

Zgjidhje: Minor M 31 është përcaktor i matricës që merret nga A

pasi kemi kaluar rreshtin 3 dhe kolonën 1. Gjejmë

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Le të transformojmë matricën A pa ndryshuar përcaktorin e saj (le të bëjmë zero në rreshtin 1)

Tani ne llogarisim përcaktuesin e matricës A duke u zgjeruar përgjatë rreshtit 1

Përgjigje: M 31 = 0, detA = 0

Zgjidheni duke përdorur metodën e Gausit dhe metodën e Cramer.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Zgjidhje: Le të kontrollojmë

Ju mund të përdorni metodën e Cramer

Zgjidhja e sistemit: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Le të zbatojmë metodën Gaussian.

Le ta reduktojmë matricën e zgjeruar të sistemit në formë trekëndore.

Për lehtësinë e llogaritjes, le të ndërrojmë rreshtat:

Shumëzoni rreshtin e dytë me (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) dhe shtoni në të 3-tën:

Shumëzoni rreshtin e parë me (k = -2 / 2 = -1 ) dhe shtoni në të dytin:

Tani sistemi origjinal mund të shkruhet si:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Nga rreshti i 2 shprehemi

Nga rreshti i 1 shprehemi

Zgjidhja është e njëjtë.

Përgjigje: (2; -5; 3)

Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të sistemit dhe FSR

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Zgjidhje: Le të zbatojmë metodën Gaussian. Le ta reduktojmë matricën e zgjeruar të sistemit në formë trekëndore.

Shumëzoni rreshtin e parë me (-11). Le të shumëzojmë rreshtin e dytë me (13). Le të shtojmë rreshtin e dytë në rreshtin e parë:

Shumëzojeni rreshtin e dytë me (-5). Le të shumëzojmë rreshtin e 3-të me (11). Le të shtojmë rreshtin e tretë në rreshtin e dytë:

Shumëzoni rreshtin e tretë me (-7). Le të shumëzojmë rreshtin e 4-të me (5). Le të shtojmë rreshtin e 4-të në rreshtin e 3-të:

Ekuacioni i dytë është një kombinim linear i të tjerëve

Le të gjejmë gradën e matricës.

E mitura e theksuar ka rendit më të lartë(i të miturve të mundshëm) dhe është jozero (ajo e barabartë me produktin elementet në diagonalen e kundërt), pra renditja (A) = 2.

Ky minor është bazë. Ai përfshin koeficientët për të panjohurat x 1 , x 2 , që do të thotë se të panjohurat x 1 , x 2 janë të varura (bazë) dhe x 3 , x 4 , x 5 janë të lira.

Sistemi me koeficientët e kësaj matrice është i barabartë me sistemin origjinal dhe ka formën:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Duke përdorur metodën e eliminimit të të panjohurave, gjejmë vendim të përbashkët:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Gjejmë një sistem themelor zgjidhjesh (FSS), i cili përbëhet nga zgjidhje (n-r). Në rastin tonë, n=5, r=2, pra, sistemi themelor i zgjidhjeve përbëhet nga 3 zgjidhje, dhe këto zgjidhje duhet të jenë linearisht të pavarura.

Që rreshtat të jenë linearisht të pavarur, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së përbërë nga elementët e rreshtit të jetë i barabartë me numrin e rreshtave, domethënë 3.

Mjafton të jepni vlerat e të panjohurave të lira x 3, x 4, x 5 nga rreshtat e përcaktorit të rendit të tretë, jo zero dhe të llogaritni x 1, x 2.

Përcaktori më i thjeshtë jo zero është matrica e identitetit.

Por është më i përshtatshëm për të marrë këtu

Ne gjejmë duke përdorur zgjidhjen e përgjithshme:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

I Vendimi i FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

Zgjidhja II FSR: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -9 Þ

tretësirë ​​III FSR: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Jepen: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Gjeni: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Zgjidhje: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Përgjigje: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Një sistem homogjen është gjithmonë konsistent dhe ka një zgjidhje të parëndësishme
. Që të ekzistojë një zgjidhje jo e parëndësishme, është e nevojshme që rangu i matricës ishte më pak se numri i të panjohurave:

.

Sistemi themelor i zgjidhjeve sistem homogjen
quaj një sistem zgjidhjesh në formën e vektorëve kolonë
, të cilat i përgjigjen bazës kanonike, d.m.th. bazë në të cilën konstante arbitrare
vendosen në mënyrë alternative të barabartë me një, ndërsa pjesa tjetër vendosen në zero.

Atëherë zgjidhja e përgjithshme e sistemit homogjen ka formën:

Ku
- konstante arbitrare. Me fjalë të tjera, zgjidhja e përgjithshme është një kombinim linear i sistemit themelor të zgjidhjeve.

Kështu, zgjidhjet bazë mund të merren nga zgjidhja e përgjithshme nëse të panjohurave të lira u jepet vlera e një me radhë, duke vendosur të gjitha të tjerat të barabarta me zero.

Shembull. Le të gjejmë një zgjidhje për sistemin

Le të pranojmë, atëherë marrim një zgjidhje në formën:

Le të ndërtojmë tani një sistem themelor zgjidhjesh:

.

Zgjidhja e përgjithshme do të shkruhet si:

Zgjidhjet e një sistemi ekuacionesh lineare homogjene kanë këto veti:

Me fjalë të tjera, çdo kombinim linear i zgjidhjeve në një sistem homogjen është përsëri një zgjidhje.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare ka interesuar matematikanët për disa shekuj. Rezultatet e para u morën në shekullin e 18-të. Në 1750, G. Kramer (1704–1752) botoi veprat e tij mbi përcaktuesit e matricave katrore dhe propozoi një algoritëm për gjetjen e matricës së kundërt. Në 1809, Gauss përshkroi një metodë të re zgjidhjeje të njohur si metoda e eliminimit.

Metoda e Gausit, ose metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave, konsiston në faktin se, duke përdorur transformimet elementare, një sistem ekuacionesh reduktohet në një sistem ekuivalent të një forme hapi (ose trekëndore). Sisteme të tilla bëjnë të mundur gjetjen sekuenciale të të gjitha të panjohurave në një rend të caktuar.

Le të supozojmë se në sistemin (1)
(që është gjithmonë e mundur).

(1)

Shumëzimi i ekuacionit të parë një nga një me të ashtuquajturat numra të përshtatshëm

dhe duke shtuar rezultatin e shumëzimit me ekuacionet përkatëse të sistemit, marrim sistem ekuivalent, në të cilin në të gjitha ekuacionet përveç të parës nuk do të ketë të panjohur X 1

(2)

Le të shumëzojmë tani ekuacionin e dytë të sistemit (2) me numra të përshtatshëm, duke supozuar se

,

dhe duke e shtuar me të poshtmet, eliminojmë variablin nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta.

Vazhdimi i këtij procesi, pas
hapi që marrim:

(3)

Nëse të paktën një nga numrat
nuk është e barabartë me zero, atëherë barazia përkatëse është kontradiktore dhe sistemi (1) është i paqëndrueshëm. Anasjelltas, për çdo sistem numrash të përbashkët
janë të barabarta me zero. Numri nuk është gjë tjetër veçse rangu i matricës së sistemit (1).

Kalimi nga sistemi (1) në (3) quhet drejt përpara Metoda e Gausit dhe gjetja e të panjohurave nga (3) - në të kundërt .

Koment : Është më i përshtatshëm për të kryer transformime jo me vetë ekuacionet, por me matricën e zgjeruar të sistemit (1).

Shembull. Le të gjejmë një zgjidhje për sistemin

.

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit:

.

Le të shtojmë të parën në rreshtat 2,3,4, të shumëzuar me (-2), (-3), (-2) përkatësisht:

.

Le të shkëmbejmë rreshtat 2 dhe 3, pastaj në matricën që rezulton shtojmë rreshtin 2 në rreshtin 4, shumëzuar me :

.

Shtoni në rreshtin 4 rreshti 3 shumëzuar me
:

.

Është e qartë se
Prandaj, sistemi është konsistent. Nga sistemi i ekuacioneve që rezulton

ne gjejmë zgjidhjen me zëvendësim të kundërt:

,
,
,
.

Shembulli 2. Gjeni një zgjidhje për sistemin:

.

Është e qartë se sistemi është i papajtueshëm, sepse
, A
.

Përparësitë e metodës Gauss :

Më pak punë intensive se metoda e Cramer.

Vendos në mënyrë të paqartë përputhshmërinë e sistemit dhe ju lejon të gjeni një zgjidhje.

Bën të mundur përcaktimin e renditjes së çdo matrice.