Gjeni zgjidhjen e përgjithshme dhe shkruajeni në terma fsr. Sisteme homogjene ekuacionesh

Në shkollë, secili prej nesh studionte ekuacionet dhe, ka shumë të ngjarë, sistemet e ekuacioneve. Por jo shumë njerëz e dinë se ka disa mënyra për t'i zgjidhur ato. Sot do të analizojmë në detaje të gjitha metodat për zgjidhjen e një sistemi linear ekuacionet algjebrike, të cilat përbëhen nga më shumë se dy barazi.

Histori

Sot dihet se arti i zgjidhjes së ekuacioneve dhe sistemeve të tyre e ka origjinën në Babilonia e lashtë dhe Egjipti. Sidoqoftë, barazitë në formën e tyre të njohur u shfaqën pas shfaqjes së shenjës së barabartë "=", e cila u prezantua në 1556 nga matematikani anglez Record. Nga rruga, kjo shenjë u zgjodh për një arsye: do të thotë dy paralele e barabartë me segmentin. Dhe është e vërtetë shembulli më i mirë barazia nuk mund të shpiket.

Themeluesi i modernes emërtimet e shkronjave të panjohurat dhe shenjat e eksponentit është Matematikan francez Megjithatë, emërtimet e saj ishin dukshëm të ndryshme nga ato të sotme. Për shembull, katror datë e panjohur ai shënonte shkronjën Q (lat. "quadratus"), dhe kubin - shkronjën C (lat. "cubus"). Ky shënim duket i vështirë tani, por në atë kohë ishte mënyra më e kuptueshme për të shkruar sisteme të ekuacioneve algjebrike lineare.

Sidoqoftë, pengesa në metodat e zgjidhjes së asaj kohe ishte që matematikanët e konsideronin vetëm rrënjë pozitive. Ndoshta kjo për faktin se vlerat negative nuk kishte asnjë aplikim praktik. Në një mënyrë apo tjetër, por bëhu i pari që do të numërosh rrënjë negative Ishin matematikanët italianë Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano dhe Raphael Bombelli që e filluan atë në shekullin e 16-të. A pamje moderne, metoda kryesore e zgjidhjes (nëpërmjet diskriminuesit) u krijua vetëm në shekullin e 17-të falë punës së Dekartit dhe Njutonit.

Në mesin e shekullit të 18-të, matematikani zviceran Gabriel Cramer gjeti rruge e re në mënyrë që t'u jepet një zgjidhje sistemeve ekuacionet lineare më e lehtë. Kjo metodë u emërua më vonë pas tij dhe ne e përdorim edhe sot e kësaj dite. Por ne do të flasim për metodën e Cramer pak më vonë, por tani për tani le të diskutojmë ekuacionet lineare dhe metodat për zgjidhjen e tyre veçmas nga sistemi.

Ekuacionet lineare

Ekuacionet lineare janë ekuacionet më të thjeshta me një ndryshore (ndryshore). Ato klasifikohen si algjebrike. shkruhet në formë të përgjithshme si më poshtë: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Ne do të na duhet t'i përfaqësojmë ato në këtë formë kur të përpilojmë sistemet dhe matricat më vonë.

Sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare

Përkufizimi i këtij termi është: është një grup ekuacionesh që kanë madhësi të përbashkëta të panjohura dhe vendim të përbashkët. Si rregull, në shkollë të gjithë zgjidhën sisteme me dy ose edhe tre ekuacione. Por ka sisteme me katër ose më shumë komponentë. Le të kuptojmë së pari se si t'i shkruajmë ato në mënyrë që të jetë e përshtatshme për t'u zgjidhur në të ardhmen. Së pari, sistemet e ekuacioneve lineare algjebrike do të duken më mirë nëse të gjitha variablat shkruhen si x me nënshkrimin e duhur: 1,2,3, e kështu me radhë. Së dyti, të gjitha ekuacionet duhet të reduktohen në formë kanonike: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Pas gjithë këtyre hapave, ne mund të fillojmë të flasim se si të gjejmë zgjidhje për sistemet e ekuacioneve lineare. Matricat do të jenë shumë të dobishme për këtë.

Matricat

Një matricë është një tabelë që përbëhet nga rreshta dhe kolona, ​​dhe në kryqëzimin e tyre janë elementët e saj. Mund të jetë ose vlera specifike, ose variabla. Më shpesh, për të treguar elementë, nënshkrimet vendosen nën to (për shembull, një 11 ose një 23). Indeksi i parë nënkupton numrin e rreshtit, dhe i dyti - numrin e kolonës. Mbi matricat, si mbi çdo tjetër element matematik mund të kryeni operacione të ndryshme. Kështu, ju mund të:

2) Shumëzoni një matricë me çdo numër ose vektor.

3) Transpozoni: ktheni rreshtat e matricës në kolona dhe kolonat në rreshta.

4) Shumëzoni matricat nëse numri i rreshtave të njërës prej tyre është i barabartë me numrin e kolonave të tjetrës.

Le të diskutojmë të gjitha këto teknika më në detaje, pasi ato do të jenë të dobishme për ne në të ardhmen. Zbritja dhe shtimi i matricave është shumë i thjeshtë. Meqenëse marrim matricat të njëjtën madhësi, atëherë çdo element i njërës tabelë lidhet me secilin element të tjetrit. Kështu, ne i shtojmë (zbresim) këta dy elementë (është e rëndësishme që ato të qëndrojnë në të njëjtat vende në matricat e tyre). Kur shumëzoni një matricë me një numër ose vektor, ju thjesht shumëzoni çdo element të matricës me atë numër (ose vektor). Transpozimi është shumë proces interesant. Është shumë interesante ta shohësh ndonjëherë jeta reale, për shembull, kur ndryshoni orientimin e një tableti ose telefoni. Ikonat në desktop përfaqësojnë një matricë, dhe kur pozicioni ndryshon, ajo transpozohet dhe bëhet më e gjerë, por zvogëlohet në lartësi.

Le të shohim një proces tjetër si: Edhe pse nuk do të na duhet, prapë do të jetë e dobishme ta dimë atë. Ju mund të shumëzoni dy matrica vetëm nëse numri i kolonave në një tabelë është i barabartë me numrin e rreshtave në tjetrën. Tani le të marrim elementet e një rreshti të një matrice dhe elementet e kolonës përkatëse të një tjetre. Le t'i shumëzojmë me njëri-tjetrin dhe pastaj t'i mbledhim (d.m.th., prodhimi i elementeve a 11 dhe a 12 me b 12 dhe b 22 do të jetë i barabartë me: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Kështu, fitohet një element i tabelës dhe plotësohet më tej duke përdorur një metodë të ngjashme.

Tani mund të fillojmë të shqyrtojmë se si zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare.

Metoda e Gausit

Kjo temë fillon të trajtohet në shkollë. Ne e njohim mirë konceptin e "një sistemi me dy ekuacione lineare" dhe dimë t'i zgjidhim ato. Por çka nëse numri i ekuacioneve është më shumë se dy? Kjo do të na ndihmojë

Sigurisht, kjo metodë është e përshtatshme për t'u përdorur nëse bëni një matricë nga sistemi. Por ju nuk keni nevojë ta transformoni atë dhe ta zgjidhni atë në formën e tij të pastër.

Pra, si e zgjidh kjo metodë sistemin e ekuacioneve lineare Gaussian? Nga rruga, edhe pse kjo metodë është emëruar pas tij, ajo u zbulua në kohët e lashta. Gauss propozon si më poshtë: të kryhen operacione me ekuacione në mënyrë që përfundimisht të sjellë të gjithë grupin në pamje me shkallë. Kjo do të thotë, është e nevojshme që nga lart poshtë (nëse është rregulluar saktë) nga ekuacioni i parë në të fundit të panjohur të zvogëlohet. Me fjalë të tjera, ne duhet të sigurohemi që të marrim, le të themi, tre ekuacione: në të parën ka tre të panjohura, në të dytën ka dy, në të tretën ka një. Pastaj nga ekuacioni i fundit gjejmë të panjohurën e parë, e zëvendësojmë vlerën e saj në ekuacionin e dytë ose të parë dhe më pas gjejmë dy variablat e mbetur.

Metoda Cramer

Për të zotëruar këtë metodë, është jetike të keni aftësitë e mbledhjes dhe zbritjes së matricave, dhe gjithashtu duhet të jeni në gjendje të gjeni përcaktues. Prandaj, nëse i bëni të gjitha këto keq ose nuk dini fare se si, do t'ju duhet të mësoni dhe praktikoni.

Cili është thelbi i kësaj metode dhe si ta bëjmë atë në mënyrë që të merret një sistem ekuacionesh lineare Cramer? Gjithçka është shumë e thjeshtë. Ne duhet të ndërtojmë një matricë të koeficientëve numerikë (pothuajse gjithmonë) të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare. Për ta bërë këtë, ne thjesht marrim numrat përpara të panjohurave dhe i renditim në një tabelë sipas renditjes në të cilën janë shkruar në sistem. Nëse ka një shenjë "-" përpara numrit, atëherë shkruajmë një koeficient negativ. Pra, ne kemi përpiluar matricën e parë të koeficientëve për të panjohurat, duke mos përfshirë numrat pas shenjave të barabarta (natyrisht, ekuacioni duhet të reduktohet në formën kanonike, kur vetëm numri është në të djathtë, dhe të gjitha të panjohurat me koeficient janë në majtas). Pastaj ju duhet të krijoni disa matrica të tjera - një për secilën variabël. Për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë secilën kolonë me koeficientët në matricën e parë me radhë me një kolonë numrash pas shenjës së barabartë. Kështu, marrim disa matrica dhe më pas gjejmë përcaktuesit e tyre.

Pasi të kemi gjetur përcaktuesit, është një çështje e vogël. Ne kemi një matricë fillestare, dhe ka disa matrica rezultuese që korrespondojnë me variabla të ndryshëm. Për të marrë zgjidhje për sistemin, ne ndajmë përcaktuesin e tabelës që rezulton me përcaktuesin e tabelës fillestare. Numri që rezulton është vlera e njërit prej variablave. Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë të gjitha të panjohurat.

Metoda të tjera

Ekzistojnë disa metoda të tjera për marrjen e zgjidhjeve të sistemeve të ekuacioneve lineare. Për shembull, e ashtuquajtura metoda Gauss-Jordan, e cila përdoret për të gjetur zgjidhje për sistemin ekuacionet kuadratike dhe shoqërohet gjithashtu me përdorimin e matricave. Ekziston edhe metoda Jacobi për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare. Është më e lehtë për t'u përshtatur me një kompjuter dhe përdoret në kompjuter.

Raste komplekse

Kompleksiteti zakonisht lind kur numri i ekuacioneve më pak numër variablave. Atëherë mund të themi me siguri se ose sistemi është i paqëndrueshëm (d.m.th., nuk ka rrënjë), ose numri i zgjidhjeve të tij priret në pafundësi. Nëse kemi rastin e dytë, atëherë duhet të shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të sistemit të ekuacioneve lineare. Ai do të përmbajë të paktën një variabël.

konkluzioni

Këtu kemi ardhur në fund. Le të përmbledhim: ne kuptuam se çfarë është një sistem dhe një matricë dhe mësuam të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme për një sistem ekuacionesh lineare. Përveç kësaj, ne kemi shqyrtuar opsione të tjera. Zbuluam se si të zgjidhim një sistem ekuacionesh lineare: metodën e Gausit dhe folëm raste të vështira dhe mënyra të tjera për të gjetur zgjidhje.

Në fakt, kjo temë është shumë më e gjerë dhe nëse doni ta kuptoni më mirë, ju rekomandojmë të lexoni literaturë më të specializuar.

Ekuacioni linear quhet homogjene, nëse anëtari i tij i lirë e barabartë me zero, dhe heterogjene ndryshe. Sistemi i përbërë nga ekuacionet homogjene, quhet homogjen dhe ka formën e përgjithshme:

Është e qartë se çdo sistem homogjen është konsistent dhe ka një zgjidhje zero (të parëndësishme). Prandaj, kur aplikohet në sisteme homogjene të ekuacioneve lineare, shpesh duhet të kërkohet një përgjigje për pyetjen e ekzistencës së zgjidhjeve jozero. Përgjigja për këtë pyetje mund të formulohet si teorema e mëposhtme.

Teorema . Një sistem homogjen ekuacionesh lineare ka një zgjidhje jozero nëse dhe vetëm nëse rangu i tij është më i vogël se numri i të panjohurave .

Dëshmi: Le të supozojmë se një sistem rangu i të cilit është i barabartë ka një zgjidhje jo zero. Është e qartë se nuk e kalon. Në rast se sistemi ka vetëm vendim. Meqenëse një sistem ekuacionesh lineare homogjene ka gjithmonë një zgjidhje zero, atëherë zgjidhja zero do të jetë kjo zgjidhje unike. Kështu, zgjidhjet jo zero janë të mundshme vetëm për .

Përfundimi 1 : Një sistem homogjen ekuacionesh, në të cilin numri i ekuacioneve është më i vogël se numri i të panjohurave, ka gjithmonë një zgjidhje jo zero.

Dëshmi: Nëse një sistem ekuacionesh ka , atëherë rangu i sistemit nuk e kalon numrin e ekuacioneve, d.m.th. . Kështu, kushti është i kënaqur dhe, për rrjedhojë, sistemi ka një zgjidhje jo zero.

Përfundimi 2 : Një sistem homogjen ekuacionesh me të panjohura ka një zgjidhje jozero nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e tij është zero.

Dëshmi: Le të supozojmë se një sistem ekuacionesh homogjene lineare, matrica e të cilit me përcaktorin , ka një zgjidhje jozero. Pastaj, sipas teoremës së provuar, dhe kjo do të thotë se matrica është njëjës, d.m.th. .

Sistemi homogjen i ekuacioneve algjebrike lineare.

Një sistem m ekuacionesh lineare me n ndryshore quhet sistem ekuacionesh lineare homogjene nëse të gjitha anëtarë të lirë janë të barabartë me 0. Sistemi i ekuacioneve homogjene lineare është gjithmonë konsistent, sepse gjithmonë ka të paktën një zgjidhje zero. Një sistem ekuacionesh homogjene lineare ka një zgjidhje jo zero nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së tij të koeficientëve për ndryshoret është më i vogël se numri i ndryshoreve, d.m.th. për gradën A (n. Çdo kombinim linear

Zgjidhjet e sistemit Lin. homogjene. ur-ii është gjithashtu një zgjidhje për këtë sistem.

Një sistem zgjidhjesh të pavarura lineare e1, e2,...,еk quhet themelor nëse secila zgjidhje e sistemit është një kombinim linear i zgjidhjeve. Teorema: nëse rangu r i matricës së koeficientit në variablat e sistemit ekuacionet lineare homogjene janë më pak se numri i ndryshoreve n, atëherë çdo sistem themelor i zgjidhjeve të sistemit përbëhet nga zgjidhjet n-r. Prandaj, zgjidhja e përgjithshme e sistemit linear. një ditë ur-th ka formën: c1e1+c2e2+…+skek, ku e1, e2,…, ek – çdo sistem themelor zgjidhjesh, c1, c2,…,сk – numra arbitrar dhe k=n-r. Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi m ekuacionesh lineare me n ndryshore është e barabartë me shumën

e zgjidhjes së përgjithshme të sistemit që i përgjigjet është homogjene. ekuacionet lineare dhe një zgjidhje e veçantë arbitrare e këtij sistemi.

7. Hapësirat lineare. Nënhapësirat. Baza, dimensioni. Predha lineare. Hapësira lineare quhet n-dimensionale, nëse përmban një sistem linear vektorë të pavarur, dhe çdo sistem nga më shumë vektorët janë të varur në mënyrë lineare. Numri thirret dimensioni (numri i dimensioneve) hapësirë ​​lineare dhe është caktuar . Me fjalë të tjera, dimensioni i hapësirës është numri maksimal vektorë linearisht të pavarur të kësaj hapësire. Nëse ekziston një numër i tillë, atëherë hapësira quhet dimensionale e fundme. Nëse për dikë numri natyror n në hapësirë ​​ekziston një sistem i përbërë nga vektorë linearisht të pavarur, atëherë një hapësirë ​​e tillë quhet infinite-dimensionale (e shkruar: ). Në vijim, përveç rasteve kur përcaktohet ndryshe, do të merren parasysh hapësirat me dimensione të fundme.

Baza e një hapësire lineare n-dimensionale është një koleksion i renditur i vektorëve linearisht të pavarur ( vektorët bazë).

Teorema 8.1 mbi zgjerimin e një vektori në terma të një baze. Nëse është baza e një hapësire lineare n-dimensionale, atëherë çdo vektor mund të përfaqësohet si një kombinim linear i vektorëve bazë:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
dhe, për më tepër, në të vetmen mënyrë, d.m.th. koeficientët përcaktohen në mënyrë unike. Me fjalë të tjera, çdo vektor i hapësirës mund të zgjerohet në një bazë dhe, për më tepër, në një mënyrë unike.

Në të vërtetë, dimensioni i hapësirës është . Sistemi i vektorëve është linearisht i pavarur (kjo është një bazë). Pas shtimit të ndonjë vektori në bazë, marrim në mënyrë lineare sistemi i varur(pasi ky sistem përbëhet nga vektorë hapësirë ​​n-dimensionale). Duke përdorur vetinë e 7 vektorëve të varur linearisht dhe të pavarur linearisht, marrim përfundimin e teoremës.

Matricat e dhëna

Gjeni: 1) aA - bB,

Zgjidhje: 1) E gjejmë në mënyrë sekuenciale, duke përdorur rregullat e shumëzimit të një matrice me një numër dhe mbledhjes së matricave..

2. Gjeni A*B nëse

Zgjidhje: Ne përdorim rregullin e shumëzimit të matricës

Përgjigje:

3. Për një matricë të dhënë, gjeni minorin M 31 dhe llogarisni përcaktorin.

Zgjidhje: Minor M 31 është përcaktor i matricës që merret nga A

pasi kemi kaluar rreshtin 3 dhe kolonën 1. Gjejmë

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Le të transformojmë matricën A pa ndryshuar përcaktorin e saj (le të bëjmë zero në rreshtin 1)

Tani ne llogarisim përcaktuesin e matricës A duke u zgjeruar përgjatë rreshtit 1

Përgjigje: M 31 = 0, detA = 0

Zgjidheni duke përdorur metodën Gauss dhe metodën Cramer.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Zgjidhje: Le të kontrollojmë

Ju mund të përdorni metodën e Cramer

Zgjidhja e sistemit: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Le të zbatojmë metodën Gaussian.

Le ta reduktojmë matricën e zgjeruar të sistemit në formë trekëndore.

Për lehtësinë e llogaritjes, le të ndërrojmë rreshtat:

Shumëzoni rreshtin e dytë me (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) dhe shtoni në të 3-tën:

Shumëzoni rreshtin e parë me (k = -2 / 2 = -1 ) dhe shtoni në të dytin:

Tani sistemi origjinal mund të shkruhet si:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Nga rreshti i 2 shprehemi

Nga rreshti i 1 shprehemi

Zgjidhja është e njëjtë.

Përgjigje: (2; -5; 3)

Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të sistemit dhe FSR

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Zgjidhje: Le të zbatojmë metodën Gaussian. Le ta reduktojmë matricën e zgjeruar të sistemit në formë trekëndore.

Shumëzoni rreshtin e parë me (-11). Le të shumëzojmë rreshtin e dytë me (13). Le të shtojmë rreshtin e dytë në rreshtin e parë:

Shumëzojeni rreshtin e dytë me (-5). Le të shumëzojmë rreshtin e 3-të me (11). Le të shtojmë rreshtin e tretë në rreshtin e dytë:

Shumëzoni rreshtin e tretë me (-7). Le të shumëzojmë rreshtin e 4-të me (5). Le të shtojmë rreshtin e 4-të në rreshtin e 3-të:

Ekuacioni i dytë është një kombinim linear i të tjerëve

Le të gjejmë gradën e matricës.

Minorja e zgjedhur ka renditjen më të lartë (të të miturve të mundshëm) dhe është jozero (ajo e barabartë me produktin elementet në diagonalen e kundërt), pra renditja (A) = 2.

Ky minor është bazë. Ai përfshin koeficientët për të panjohurat x 1 , x 2 , që do të thotë se të panjohurat x 1 , x 2 janë të varura (bazë) dhe x 3 , x 4 , x 5 janë të lira.

Sistemi me koeficientët e kësaj matrice është i barabartë me sistemin origjinal dhe ka formën:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Duke përdorur metodën e eliminimit të të panjohurave, gjejmë vendim të përbashkët:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Gjejmë një sistem themelor zgjidhjesh (FSD), i cili përbëhet nga zgjidhje (n-r). Në rastin tonë, n=5, r=2, pra, sistemi themelor i zgjidhjeve përbëhet nga 3 zgjidhje, dhe këto zgjidhje duhet të jenë linearisht të pavarura.

Që rreshtat të jenë linearisht të pavarur, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së përbërë nga elementët e rreshtit të jetë i barabartë me numrin e rreshtave, domethënë 3.

Mjafton të jepni vlerat e të panjohurave të lira x 3, x 4, x 5 nga rreshtat e përcaktorit të rendit të tretë, jo zero dhe të llogaritni x 1, x 2.

Përcaktori më i thjeshtë jo zero është matrica e identitetit.

Por është më i përshtatshëm për të marrë këtu

Ne gjejmë duke përdorur zgjidhjen e përgjithshme:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

I Vendimi i FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

Zgjidhja II FSR: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -9 Þ

tretësirë ​​III FSR: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Jepen: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Gjeni: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Zgjidhje: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Përgjigje: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE) është padyshim tema më e rëndësishme e kursit algjebër lineare. Sasi e madhe problemet nga të gjitha degët e matematikës reduktohen në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Këta faktorë shpjegojnë arsyen e këtij artikulli. Materiali i artikullit është zgjedhur dhe strukturuar në mënyrë që me ndihmën e tij të mundeni

• marr metodë optimale zgjidhjet e sistemit tuaj të ekuacioneve algjebrike lineare,
• studioni teorinë e metodës së zgjedhur,
• zgjidhni sistemin tuaj të ekuacioneve lineare duke shqyrtuar zgjidhjet e detajuara shembuj tipikë dhe detyrat.

Përshkrim i shkurtër i materialit të artikullit.

Së pari le të japim gjithçka përkufizimet e nevojshme, konceptet dhe futja e shënimeve.

Më pas, do të shqyrtojmë metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe të cilat kanë një zgjidhje unike. Së pari, ne do të përqendrohemi në metodën Cramer, së dyti, do të tregojmë metodën e matricës për zgjidhjen e sistemeve të tilla të ekuacioneve, së treti, do të analizojmë metodën e Gauss (metoda eliminim sekuencial variabla të panjohur). Për të konsoliduar teorinë, ne patjetër do të zgjidhim disa SLAE në mënyra të ndryshme.

Pas kësaj, ne do të kalojmë në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare pamje e përgjithshme, në të cilën numri i ekuacioneve nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura ose matrica kryesore e sistemit është njëjës. Le të formulojmë teoremën Kronecker-Capelli, e cila na lejon të vendosim përputhshmërinë e SLAE-ve. Le të analizojmë zgjidhjen e sistemeve (nëse ato janë të pajtueshme) duke përdorur konceptin e një baze minor të një matrice. Ne gjithashtu do të shqyrtojmë metodën e Gausit dhe do të përshkruajmë në detaje zgjidhjet e shembujve.

Do të ndalemi patjetër në strukturën e zgjidhjes së përgjithshme të sistemeve homogjene dhe johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare. Le të japim konceptin sistemi themelor zgjidhjet dhe të tregojë se si zgjidhja e përgjithshme e SLAE shkruhet duke përdorur vektorët e sistemit themelor të zgjidhjeve. Për një kuptim më të mirë, le të shohim disa shembuj.

Si përfundim, ne do të shqyrtojmë sistemet e ekuacioneve që mund të reduktohen në ato lineare, si dhe detyra të ndryshme, kur zgjidhni cilat SLAE lindin.

Navigimi i faqes.

Përkufizime, koncepte, emërtime.

Ne do të shqyrtojmë sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare p me n ndryshore të panjohura (p mund të jetë e barabartë me n) të formës

Variabla të panjohur - koeficientë (disa realë ose numra komplekse), - terma të lirë (gjithashtu numra realë ose kompleksë).

Kjo formë e regjistrimit të SLAE quhet koordinoj.

NË forma matrice shkrimi i këtij sistemi ekuacionesh ka formën,
Ku - matrica kryesore e sistemit, - një matricë kolone e ndryshoreve të panjohura, - një matricë kolone e termave të lirë.

Nëse matricës A i shtojmë një kolonë-matricë me terma të lirë si kolonën (n+1), marrim të ashtuquajturën matricë e zgjeruar sistemet e ekuacioneve lineare. Zakonisht matrica e zgjeruar shënohet me shkronjën T, dhe kolona e termave të lirë ndahet vijë vertikale nga kolonat e mbetura, domethënë,

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare quhet një grup vlerash të ndryshoreve të panjohura që i kthen të gjitha ekuacionet e sistemit në identitete. Ekuacioni i matricës për vlerat e dhëna të ndryshoreve të panjohura bëhet gjithashtu një identitet.

Nëse një sistem ekuacionesh ka të paktën një zgjidhje, atëherë ai quhet të përbashkët.

Nëse një sistem ekuacionesh nuk ka zgjidhje, atëherë ai quhet jo të përbashkët.

Nëse një SLAE ka një zgjidhje unike, atëherë ajo quhet të caktuara; nëse ka më shumë se një zgjidhje, atëherë - i pasigurt.

Nëse termat e lirë të të gjitha ekuacioneve të sistemit janë të barabartë me zero , atëherë thirret sistemi homogjene, ndryshe - heterogjene.

Zgjidhja e sistemeve elementare të ekuacioneve algjebrike lineare.

Nëse numri i ekuacioneve të një sistemi është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktori i matricës së tij kryesore nuk është i barabartë me zero, atëherë SLAE të tilla do të quhen elementare. Sisteme të tilla ekuacionesh kanë një zgjidhje unike, dhe në rastin e një sistemi homogjen, të gjitha ndryshoret e panjohura janë të barabarta me zero.

Ne filluam të studiojmë SLAE të tilla në gjimnaz. Gjatë zgjidhjes së tyre, ne morëm një ekuacion, shprehëm një ndryshore të panjohur në terma të tjerëve dhe e zëvendësuam atë në ekuacionet e mbetura, më pas morëm ekuacioni i mëposhtëm, shprehi variablin e panjohur pasardhës dhe e zëvendësoi atë me ekuacione të tjera, e kështu me radhë. Ose kanë përdorur metodën e mbledhjes, domethënë kanë shtuar dy ose më shumë ekuacione për të eliminuar disa ndryshore të panjohura. Ne nuk do të ndalemi në këto metoda në detaje, pasi ato janë në thelb modifikime të metodës Gauss.

Metodat kryesore për zgjidhjen e sistemeve elementare të ekuacioneve lineare janë metoda Cramer, metoda e matricës dhe metoda e Gausit. Le t'i zgjidhim ato.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Cramer.

Supozoni se duhet të zgjidhim një sistem ekuacionesh algjebrike lineare

në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktori i matricës kryesore të sistemit është i ndryshëm nga zero, pra .

Le të jetë përcaktori i matricës kryesore të sistemit, dhe - përcaktorët e matricave që fitohen nga A me zëvendësim 1, 2, ..., e nëntë kolona përkatësisht në kolonën e anëtarëve të lirë:

Me këtë shënim, ndryshoret e panjohura llogariten duke përdorur formulat e metodës Cramer si . Kështu gjendet zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare duke përdorur metodën e Cramer-it.

Shembull.

Metoda e Cramer-it .

Zgjidhje.

Matrica kryesore e sistemit ka formën . Le të llogarisim përcaktuesin e tij (nëse është e nevojshme, shihni artikullin):

Meqenëse përcaktori i matricës kryesore të sistemit është jozero, sistemi ka një zgjidhje unike që mund të gjendet me metodën e Cramer.

Le të hartojmë dhe llogarisim përcaktorët e nevojshëm (përcaktorin e marrim duke zëvendësuar kolonën e parë në matricën A me një kolonë me terma të lirë, përcaktorin duke zëvendësuar kolonën e dytë me një kolonë me terma të lirë dhe duke zëvendësuar kolonën e tretë të matricës A me një kolonë me terma të lirë) :

Gjetja e ndryshoreve të panjohura duke përdorur formula :

Përgjigje:

Disavantazhi kryesor i metodës Cramer (nëse mund të quhet disavantazh) është kompleksiteti i llogaritjes së përcaktuesve kur numri i ekuacioneve në sistem është më shumë se tre.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e matricës (duke përdorur një matricë inverse).

Le të jepet një sistem ekuacionesh algjebrike lineare në formë matrice, ku matrica A ka dimension n me n dhe përcaktorja e saj është jozero.

Meqenëse , matrica A është e kthyeshme, domethënë ekziston një matricë e kundërt. Nëse i shumëzojmë të dyja anët e barazisë me të majtën, marrim një formulë për gjetjen e një matrice-kolone të ndryshoreve të panjohura. Kështu kemi marrë një zgjidhje për sistemin e ekuacioneve algjebrike lineare metoda e matricës.

Shembull.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare metoda e matricës.

Zgjidhje.

Le të rishkruajmë sistemin e ekuacioneve në formën e matricës:

Sepse

atëherë SLAE mund të zgjidhet duke përdorur metodën e matricës. Duke përdorur matricë e anasjelltë zgjidhja e këtij sistemi mund të gjendet si .

Le të ndërtojmë matricën e anasjelltë duke përdorur matricën nga shtesat algjebrike elementet e matricës A (nëse është e nevojshme, shihni artikullin):

Mbetet për të llogaritur matricën e variablave të panjohur duke shumëzuar matricën e kundërt në një kolonë matricë të anëtarëve të lirë (nëse është e nevojshme, shihni artikullin):

Përgjigje:

ose në një shënim tjetër x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Problemi kryesor gjatë gjetjes së zgjidhjeve për sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e matricës është kompleksiteti i gjetjes së matricës së kundërt, veçanërisht për matricat katrore rendit më i lartë se i treti.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit.

Supozoni se duhet të gjejmë një zgjidhje për një sistem prej n ekuacionesh lineare me n ndryshore të panjohura
përcaktorja e matricës kryesore të së cilës është e ndryshme nga zero.

Thelbi i metodës së Gausit përbëhet nga përjashtimi sekuencial i variablave të panjohur: së pari, x 1 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet e sistemit, duke filluar nga e dyta, pastaj x 2 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta, e kështu me radhë, derisa vetëm ndryshorja e panjohur x n mbetet në ekuacionin e fundit. Ky proces i transformimit të ekuacioneve të një sistemi për të eliminuar në mënyrë sekuenciale variablat e panjohur quhet Metoda e drejtpërdrejtë Gaussian. Pas përfundimit të goditjes përpara të metodës Gaussian, x n gjendet nga ekuacioni i fundit, duke përdorur këtë vlerë nga ekuacioni i parafundit, llogaritet x n-1 dhe kështu me radhë, x 1 gjendet nga ekuacioni i parë. Quhet procesi i llogaritjes së ndryshoreve të panjohura kur kalohet nga ekuacioni i fundit i sistemit tek i pari e kundërta e metodës Gaussian.

Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmin për eliminimin e variablave të panjohur.

Ne do të supozojmë se , pasi ne gjithmonë mund ta arrijmë këtë duke ndërruar ekuacionet e sistemit. Le të eliminojmë variablin e panjohur x 1 nga të gjitha ekuacionet e sistemit, duke filluar nga e dyta. Për ta bërë këtë, në ekuacionin e dytë të sistemit shtojmë të parën, shumëzuar me , ekuacionin e tretë shtojmë të parën, shumëzuar me , dhe kështu me radhë, ekuacionin e n-të i shtojmë të parën, shumëzuar me . Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën

ku dhe .

Do të kishim arritur në të njëjtin rezultat nëse do të kishim shprehur x 1 në terma të ndryshoreve të tjera të panjohura në ekuacionin e parë të sistemit dhe të zëvendësonim shprehjen që rezulton në të gjitha ekuacionet e tjera. Kështu, ndryshorja x 1 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e dyta.

Më tej, ne vazhdojmë në një mënyrë të ngjashme, por vetëm me një pjesë të sistemit që rezulton, i cili është shënuar në figurë

Për ta bërë këtë, në ekuacionin e tretë të sistemit shtojmë të dytin, shumëzuar me , në ekuacioni i katërt le të shtojmë të dytën shumëzuar me , dhe kështu me radhë, në ekuacionin e n-të shtojmë të dytën shumëzuar me . Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën

ku dhe . Kështu, ndryshorja x 2 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta.

Më pas, ne vazhdojmë me eliminimin e të panjohurës x 3 dhe veprojmë në mënyrë të ngjashme me pjesën e sistemit të shënuar në figurë.

Pra, ne vazhdojmë përparimin e drejtpërdrejtë të metodës Gaussian derisa sistemi të marrë formën

Nga ky moment fillojmë të kundërtën e metodës Gaussian: ne llogarisim x n nga ekuacioni i fundit si , duke përdorur vlerën e fituar të x n gjejmë x n-1 nga ekuacioni i parafundit, dhe kështu me radhë, gjejmë x 1 nga ekuacioni i parë .

Shembull.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare Metoda e Gausit.

Zgjidhje.

Le të përjashtojmë variablin e panjohur x 1 nga ekuacioni i dytë dhe i tretë i sistemit. Për ta bërë këtë, në të dy anët e ekuacionit të dytë dhe të tretë shtojmë pjesët përkatëse të ekuacionit të parë, të shumëzuara me dhe me, përkatësisht:

Tani eliminojmë x 2 nga ekuacioni i tretë duke shtuar në të majtë të tij dhe anën e djathtë anët e majta dhe të djathta të ekuacionit të dytë, shumëzuar me:

Kjo plotëson goditjen përpara të metodës së Gausit, ne fillojmë goditjen e kundërt.

Nga ekuacioni i fundit i sistemit rezultues të ekuacioneve gjejmë x 3:

Nga ekuacioni i dytë marrim .

Nga ekuacioni i parë gjejmë ndryshoren e mbetur të panjohur dhe në këtë mënyrë plotësojmë të kundërtën e metodës Gauss.

Përgjigje:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.

NË rast i përgjithshëm numri i ekuacioneve të sistemit p nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura n:

SLAE të tilla mund të mos kenë zgjidhje, të kenë një zgjidhje të vetme ose të kenë pafundësisht shumë zgjidhje. Kjo deklaratë vlen edhe për sistemet e ekuacioneve, matrica kryesore e të cilave është katror dhe njëjës.

Teorema Kronecker–Capelli.

Para se të gjesh një zgjidhje për një sistem ekuacionesh lineare, është e nevojshme të përcaktohet përputhshmëria e tij. Përgjigja në pyetjen kur SLAE është kompatibile dhe kur është jokonsistente jepet nga Teorema Kronecker–Capelli:
Në mënyrë që një sistem p ekuacionesh me n të panjohura (p mund të jetë i barabartë me n) të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës kryesore të sistemit të jetë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, d.m.th. , Rank(A)=Ranku(T).

Le të shqyrtojmë, si shembull, zbatimin e teoremës Kronecker-Capelli për të përcaktuar përputhshmërinë e një sistemi ekuacionesh lineare.

Shembull.

Gjeni nëse sistemi i ekuacioneve lineare ka Zgjidhjet.

Zgjidhje.

. Le të përdorim metodën e kufirit të të miturve. Minoren e rendit të dytë të ndryshme nga zero. Le të shohim të miturit e rendit të tretë në kufi me të:

Meqenëse të gjitha minoret kufitare të rendit të tretë janë të barabartë me zero, rangu i matricës kryesore është i barabartë me dy.

Nga ana tjetër, rangu i matricës së zgjeruar është e barabartë me tre, pasi i mituri është i rendit të tretë

të ndryshme nga zero.

Kështu, Rang(A), pra, duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli, mund të konkludojmë se sistemi origjinal i ekuacioneve lineare është i paqëndrueshëm.

Përgjigje:

Sistemi nuk ka zgjidhje.

Pra, ne kemi mësuar të përcaktojmë mospërputhjen e një sistemi duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli.

Por si të gjesh një zgjidhje për një SLAE nëse vërtetohet përputhshmëria e saj?

Për ta bërë këtë, ne kemi nevojë për konceptin e një baze minore të një matrice dhe një teoremë për rangun e një matrice.

Të mitur rendit më të lartë Matrica A, e ndryshme nga zero, quhet bazë.

Nga përkufizimi i një baze minor del se rendi i tij është i barabartë me gradën e matricës. Për një matricë jo-zero A mund të ketë disa minore bazë.

Për shembull, merrni parasysh matricën .

Të gjitha minoret e rendit të tretë të kësaj matrice janë të barabarta me zero, pasi elementët e rreshtit të tretë të kësaj matrice janë shuma e elementeve përkatëse të rreshtit të parë dhe të dytë.

Të miturit e mëposhtëm të rendit të dytë janë bazë, pasi ato janë jo zero

Të miturit nuk janë bazë, pasi janë të barabarta me zero.

Teorema e rangut të matricës.

Nëse renditja e një matrice të rendit p me n është e barabartë me r, atëherë të gjithë elementët e rreshtit (dhe kolonës) të matricës që nuk përbëjnë bazën e zgjedhur minor shprehen në mënyrë lineare në termat e elementeve të rreshtit (dhe kolonës) përkatëse që formojnë bazë e vogël.

Çfarë na tregon teorema e renditjes së matricës?

Nëse, sipas teoremës Kronecker-Capelli, ne kemi vendosur përputhshmërinë e sistemit, atëherë zgjedhim çdo bazë minore të matricës kryesore të sistemit (rendi i saj është i barabartë me r) dhe përjashtojmë nga sistemi të gjitha ekuacionet që bëjnë nuk formojnë bazën e zgjedhur minor. SLAE e përftuar në këtë mënyrë do të jetë ekuivalente me atë origjinale, pasi ekuacionet e hedhura janë ende të tepërta (sipas teoremës së renditjes së matricës, ato janë një kombinim linear i ekuacioneve të mbetura).

Si rezultat, pas hedhjes së ekuacioneve të panevojshme të sistemit, dy raste janë të mundshme.

Nëse numri i ekuacioneve r në sistemin që rezulton është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura, atëherë ai do të jetë i caktuar dhe zgjidhja e vetme mund të gjendet me metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën e Gausit.

Shembull.

.

Zgjidhje.

Rangu i matricës kryesore të sistemit është e barabartë me dy, pasi e vogla është e rendit të dytë të ndryshme nga zero. Rank i zgjeruar i matricës është gjithashtu e barabartë me dy, pasi e vetmja minore e rendit të tretë është zero

dhe minorja e rendit të dytë e konsideruar më sipër është e ndryshme nga zero. Bazuar në teoremën Kronecker–Capelli, mund të pohojmë përputhshmërinë e sistemit origjinal të ekuacioneve lineare, pasi Rank(A)=Rank(T)=2.

Si bazë minor ne marrim . Formohet nga koeficientët e ekuacionit të parë dhe të dytë:


Ekuacioni i tretë i sistemit nuk merr pjesë në formimin e bazës minore, kështu që ne e përjashtojmë atë nga sistemi i bazuar në teoremën mbi rangun e matricës:


Kështu kemi marrë një sistem elementar të ekuacioneve algjebrike lineare. Le ta zgjidhim duke përdorur metodën e Cramer:


Përgjigje:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Nëse numri i ekuacioneve r në SLAE që rezulton është më i vogël se numri i ndryshoreve të panjohura n, atëherë në anën e majtë të ekuacioneve i lëmë termat që formojnë bazën të vogla, dhe termat e mbetur i transferojmë në anët e djathta të ekuacionet e sistemit me shenjën e kundërt.

Ndryshoret e panjohura (r prej tyre) që mbeten në anën e majtë të ekuacioneve quhen kryesore.

Quhen variabla të panjohura (ka n - r pjesë) që janë në anët e djathta falas.

Tani ne besojmë se ndryshoret e panjohura të lira mund të marrin vlera arbitrare, ndërsa r variablat kryesore të panjohura do të shprehen përmes ndryshoreve të panjohura të lira në një mënyrë unike. Shprehja e tyre mund të gjendet duke zgjidhur SLAE që rezulton duke përdorur metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën Gauss.

Le ta shohim me një shembull.

Shembull.

Zgjidh një sistem ekuacionesh algjebrike lineare .

Zgjidhje.

Le të gjejmë rangun e matricës kryesore të sistemit me metodën e kufirit të të miturve. Le të marrim një 1 1 = 1 si një minor jozero i rendit të parë. Le të fillojmë të kërkojmë për një minor jo zero të rendit të dytë që kufizohet me këtë minor:


Kështu gjetëm një minor jozero të rendit të dytë. Le të fillojmë të kërkojmë për një të vogël kufitare jozero të rendit të tretë:


Kështu, grada e matricës kryesore është tre. Rangu i matricës së zgjeruar është gjithashtu i barabartë me tre, domethënë sistemi është i qëndrueshëm.

Ne marrim minorin e gjetur jozero të rendit të tretë si bazë.

Për qartësi, ne tregojmë elementët që përbëjnë bazën e vogël:


Ne i lëmë termat e përfshirë në bazë të vogël në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit dhe transferojmë pjesën tjetër nga shenja të kundërta në anët e djathta:


Le t'u japim variablave të panjohur të lirë x 2 dhe x 5 vlera arbitrare, domethënë pranojmë , ku janë numra arbitrarë. Në këtë rast, SLAE do të marrë formën


Le të zgjidhim sistemin elementar rezultues të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e Cramer-it:


Prandaj, .

Në përgjigjen tuaj, mos harroni të tregoni variabla të panjohura falas.

Përgjigje:

Ku janë numrat arbitrarë.

Përmblidhni.

Për të zgjidhur një sistem të ekuacioneve të përgjithshme lineare algjebrike, së pari përcaktojmë përputhshmërinë e tij duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli. Nëse renditja e matricës kryesore nuk është e barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, atëherë konkludojmë se sistemi është i papajtueshëm.

Nëse rangu i matricës kryesore është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, atëherë zgjedhim një bazë minore dhe hedhim poshtë ekuacionet e sistemit që nuk marrin pjesë në formimin e bazës së vogël të zgjedhur.

Nëse rendi i bazës minore e barabartë me numrin variabla të panjohura, atëherë SLAE ka një zgjidhje unike, të cilën e gjejmë me çdo metodë të njohur për ne.

Nëse rendi i bazës minore është më i vogël se numri i ndryshoreve të panjohura, atëherë në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit lëmë termat me variablat kryesore të panjohura, transferojmë termat e mbetur në anët e djathta dhe i japim vlera arbitrare. variablat e panjohura të lira. Nga sistemi rezultues i ekuacioneve lineare gjejmë të panjohurat kryesore variablat sipas metodës Cramer, metoda matrice ose metoda Gaussian.

Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.

Metoda e Gausit mund të përdoret për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare të çfarëdo lloji pa i testuar më parë për pajtueshmërinë e tyre. Procesi i eliminimit sekuencial të variablave të panjohur bën të mundur nxjerrjen e një përfundimi si për pajtueshmërinë ashtu edhe për papajtueshmërinë e SLAE, dhe nëse ekziston një zgjidhje, bën të mundur gjetjen e saj.

Nga pikëpamja llogaritëse, metoda Gaussian është e preferueshme.

Shikoje atë pershkrim i detajuar dhe analizoi shembuj në artikull metodën e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.

Shkrimi i një zgjidhjeje të përgjithshme për sistemet algjebrike lineare homogjene dhe johomogjene duke përdorur vektorët e sistemit themelor të zgjidhjeve.

Në këtë pjesë do të flasim për sisteme të njëkohshme homogjene dhe johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare që kanë një numër të pafund zgjidhjesh.

Le të merremi së pari me sistemet homogjene.

Sistemi themelor i zgjidhjeve sistemi homogjen i p ekuacioneve algjebrike lineare me n ndryshore të panjohura është një koleksion (n – r) zgjidhjesh lineare të pavarura të këtij sistemi, ku r është rendi i bazës minor të matricës kryesore të sistemit.

Nëse shënojmë në mënyrë lineare zgjidhje të pavarura SLAE homogjene si X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) janë matrica kolone të dimensionit n me 1 ), atëherë zgjidhja e përgjithshme për këtë sistem homogjen paraqitet si një kombinim linear i vektorëve të sistemit themelor të zgjidhjeve me arbitrare koeficientët konstant C 1, C 2, ..., C (n-r), që është, .

Çfarë do të thotë termi zgjidhje e përgjithshme e një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare (oroslau)?

Kuptimi është i thjeshtë: formula përcakton gjithçka zgjidhjet e mundshme SLAE origjinale, me fjalë të tjera, duke marrë çdo grup vlerash të konstantave arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), duke përdorur formulën do të marrim një nga zgjidhjet për SLAE origjinale homogjene.

Kështu, nëse gjejmë një sistem themelor zgjidhjesh, atëherë mund t'i përkufizojmë të gjitha zgjidhjet e kësaj SLAE homogjene si .

Le të tregojmë procesin e ndërtimit të një sistemi themelor zgjidhjesh për një SLAE homogjene.

Ne zgjedhim bazën minore të sistemit origjinal të ekuacioneve lineare, përjashtojmë të gjitha ekuacionet e tjera nga sistemi dhe transferojmë të gjithë termat që përmbajnë ndryshore të panjohura të lira në anën e djathtë të ekuacioneve të sistemit me shenja të kundërta. Le të japim të panjohura falas vlerat e ndryshueshme 1,0,0,…,0 dhe llogaritni të panjohurat kryesore duke zgjidhur sistemin elementar rezultues të ekuacioneve lineare në çfarëdo mënyre, për shembull, duke përdorur metodën Cramer. Kjo do të rezultojë në X (1) - zgjidhja e parë e sistemit themelor. Nëse u japim të panjohurave të lira vlerat 0,1,0,0,…,0 dhe llogarisim të panjohurat kryesore, marrim X (2) . Dhe kështu me radhë. Nëse caktojmë vlerat 0.0,...,0.1 variablave të panjohura të lira dhe llogarisim të panjohurat kryesore, marrim X (n-r) . Në këtë mënyrë, do të ndërtohet një sistem themelor zgjidhjesh për një SLAE homogjene dhe zgjidhja e përgjithshme e tij mund të shkruhet në formën .

Për sistemet johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare, zgjidhja e përgjithshme paraqitet në formën , ku është zgjidhja e përgjithshme e sistemit homogjen përkatës dhe është zgjidhja e veçantë e origjinalit SLAE heterogjene, të cilin e marrim duke u dhënë të panjohurave të lira vlerat 0,0,...,0 dhe duke llogaritur vlerat e të panjohurave kryesore.

Le të shohim shembuj.

Shembull.

Gjeni sistemin themelor të zgjidhjeve dhe zgjidhjen e përgjithshme të një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare .

Zgjidhje.

Rangu i matricës kryesore të sistemeve homogjene të ekuacioneve lineare është gjithmonë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar. Le të gjejmë renditjen e matricës kryesore duke përdorur metodën e kufirit të të miturve. Si minor jo zero i rendit të parë, marrim elementin a 1 1 = 9 të matricës kryesore të sistemit. Le të gjejmë minorin kufitar jozero të rendit të dytë:

Është gjetur një minor i rendit të dytë, i ndryshëm nga zero. Le të kalojmë nëpër të miturit e rendit të tretë që e kufizojnë atë në kërkim të një jozero:

Të gjithë të miturit kufitarë të rendit të tretë janë të barabartë me zero, prandaj, rangu i matricës kryesore dhe të zgjeruar është i barabartë me dy. Le ta marrim . Për qartësi, le të shënojmë elementet e sistemit që e formojnë atë:

Ekuacioni i tretë i SLAE origjinale nuk merr pjesë në formimin e bazës minore, prandaj, mund të përjashtohet:

Ne i lëmë termat që përmbajnë të panjohurat kryesore në anët e djathta të ekuacioneve dhe i transferojmë termat me të panjohura të lira në anët e djathta:

Le të ndërtojmë një sistem themelor zgjidhjesh për sistemin origjinal homogjen të ekuacioneve lineare. Sistemi themelor i zgjidhjeve të kësaj SLAE përbëhet nga dy zgjidhje, pasi SLAE origjinale përmban katër ndryshore të panjohura, dhe rendi i minorit bazë të tij është i barabartë me dy. Për të gjetur X (1), ne u japim ndryshoreve të panjohura të lira vlerat x 2 = 1, x 4 = 0, pastaj gjejmë të panjohurat kryesore nga sistemi i ekuacioneve
.

Quhet një sistem ekuacionesh lineare në të cilin të gjithë termat e lirë janë të barabartë me zero homogjene :

Çdo sistem homogjen është gjithmonë konsistent, pasi gjithmonë ka zero (i parëndësishëm ) zgjidhje. Shtrohet pyetja në çfarë kushtesh do të ketë një sistem homogjen zgjidhje jo e parëndësishme.

Teorema 5.2.Një sistem homogjen ka një zgjidhje jo të parëndësishme nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës bazë është më i vogël se numri i të panjohurave të tij.

Pasoja. Një sistem homogjen katror ka një zgjidhje jotriviale nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e matricës kryesore të sistemit nuk është e barabartë me zero.

Shembulli 5.6. Përcaktoni vlerat e parametrit l në të cilin sistemi ka zgjidhje jo të parëndësishme dhe gjeni këto zgjidhje:

Zgjidhje. Ky sistem do të ketë një zgjidhje jo të parëndësishme kur përcaktori i matricës kryesore është i barabartë me zero:

Kështu, sistemi është jo i parëndësishëm kur l=3 ose l=2. Për l=3, rangu i matricës kryesore të sistemit është 1. Pastaj, duke lënë vetëm një ekuacion dhe duke supozuar se y=a Dhe z=b, marrim x=b-a, d.m.th.

Për l=2, rangu i matricës kryesore të sistemit është 2. Më pas, duke zgjedhur minorin si bazë:

marrim një sistem të thjeshtuar

Nga këtu e gjejmë atë x=z/4, y=z/2. Duke besuar z=4a, marrim

Grupi i të gjitha zgjidhjeve të një sistemi homogjen ka një shumë të rëndësishme veti lineare : nëse kolonat X 1 dhe X 2 - zgjidhje për një sistem homogjen AX = 0, atëherë ndonjë kombinim linear i tyre a X 1 + b X 2 do të jetë gjithashtu një zgjidhje për këtë sistem. Në të vërtetë, që nga sëpata 1 = 0 Dhe sëpata 2 = 0 , Kjo A(a X 1 + b X 2) = a sëpata 1 + b sëpata 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Është për shkak të kësaj vetie që nëse një sistem linear ka më shumë se një zgjidhje, atëherë do të ketë një numër të pafund të këtyre zgjidhjeve.

Kolona të pavarura në mënyrë lineare E 1 , E 2 , Ek, të cilat janë zgjidhje të një sistemi homogjen, quhen sistemi themelor i zgjidhjeve sistem homogjen i ekuacioneve lineare nëse zgjidhja e përgjithshme e këtij sistemi mund të shkruhet si një kombinim linear i këtyre kolonave:

Nëse një sistem homogjen ka n variablave, dhe rangu i matricës kryesore të sistemit është i barabartë me r, Kjo k = n-r.

Shembulli 5.7. Gjeni sistemin e zgjidhjes themelore sistemin e ardhshëm ekuacionet lineare:

Zgjidhje. Le të gjejmë rangun e matricës kryesore të sistemit:

Kështu, formohet grupi i zgjidhjeve të këtij sistemi ekuacionesh nënhapësirë ​​lineare dimensionet n-r= 5 - 2 = 3. Le të zgjedhim minoren si bazë

.

Pastaj, duke lënë vetëm ekuacionet bazë (pjesa tjetër do të jetë një kombinim linear i këtyre ekuacioneve) dhe variablat bazë (pjesën tjetër, të ashtuquajturat variabla të lira e zhvendosim djathtas), marrim një sistem të thjeshtuar ekuacionesh:

Duke besuar x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, ne gjejme

, .

Duke besuar a= 1, b = c= 0, marrim zgjidhjen e parë bazë; duke besuar b= 1, a = c= 0, marrim zgjidhjen e dytë bazë; duke besuar c= 1, a = b= 0, marrim zgjidhjen e tretë bazë. Si rezultat, sistemi normal themelor i zgjidhjeve do të marrë formën

Duke përdorur sistemin themelor, zgjidhja e përgjithshme e një sistemi homogjen mund të shkruhet si

X = aE 1 + beE 2 + cE 3. a

Le të vëmë re disa veti të zgjidhjeve të një sistemi johomogjen ekuacionesh lineare AX=B dhe lidhjen e tyre me sistemin homogjen përkatës të ekuacioneve AX = 0.

Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi johomogjenështë e barabartë me shumën e zgjidhjes së përgjithshme të sistemit homogjen përkatës AX = 0 dhe një zgjidhje arbitrare të veçantë të sistemit johomogjen. Në të vërtetë, le Y 0 është një zgjidhje e veçantë arbitrare e një sistemi johomogjen, d.m.th. AY 0 = B, Dhe Y- zgjidhje e përgjithshme e një sistemi heterogjen, d.m.th. AY=B. Duke zbritur një barazi nga tjetra, marrim
A(Y-Y 0) = 0, d.m.th. Y-Y 0 është zgjidhja e përgjithshme e sistemit homogjen përkatës sëpata=0. Prandaj, Y-Y 0 = X, ose Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Sistemi johomogjen le të ketë formën AX = B 1 + B 2 . Atëherë zgjidhja e përgjithshme e një sistemi të tillë mund të shkruhet si X = X 1 + X 2 , ku AX 1 = B 1 dhe AX 2 = B 2. Kjo veti shpreh vetinë universale të çdo sistemet lineare(algjebrike, diferenciale, funksionale etj.). Në fizikë kjo veti quhet parimi i mbivendosjes, në inxhinieri elektrike dhe radio - parimi i mbivendosjes. Për shembull, në teorinë e lineare qarqet elektrike rryma në çdo qark mund të merret si shuma algjebrike rrymat e shkaktuara nga secili burim energjie veç e veç.