Cili është emri tjetër për një sistem koordinativ drejtkëndor? Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe

Për të përcaktuar pozicionin e një pike në hapësirë, do të përdorim koordinatat drejtkëndore karteziane (Fig. 2).

Sistemi i koordinatave drejtkëndore karteziane në hapësirë ​​është i formuar nga tre boshte koordinative reciproke pingul OX, OY, OZ. Boshtet e koordinatave kryqëzohen në pikën O, e cila quhet origjina, në secilin aks zgjidhet një drejtim pozitiv, i treguar me shigjeta dhe një njësi matëse për segmentet në akset. Njësitë e matjes janë zakonisht (jo domosdoshmërisht) të njëjta për të gjitha akset. Boshti OX quhet bosht i abshisës (ose thjesht abshisa), boshti OY është boshti i ordinatave dhe boshti OZ është boshti aplikativ.

Pozicioni i pikës A në hapësirë ​​përcaktohet nga tre koordinata x, y dhe z. Koordinata x është e barabartë me gjatësinë e segmentit OB, koordinata y është gjatësia e segmentit OC, koordinata z është gjatësia e segmentit OD në njësitë e zgjedhura të matjes. Segmentet OB, OC dhe OD përcaktohen me rrafshe të tërhequra nga një pikë paralele me rrafshet YOZ, XOZ dhe XOY, respektivisht.

Koordinata x quhet abshisa e pikës A, koordinata y quhet ordinata e pikës A dhe koordinata z quhet aplikues i pikës A.

Në mënyrë simbolike shkruhet kështu:

ose lidhni rekordin e koordinatave me pikë specifike duke përdorur indeksin:

x A, y A, z A,

Çdo bosht konsiderohet si një vijë numerike, d.m.th. ka një drejtim pozitiv dhe pikat shtrihen në të rreze negative, atribuohet vlerat negative koordinatat (distanca merret me shenjën minus). Kjo do të thotë, nëse, për shembull, pika B nuk shtrihet si në figurë - në rreze OX, por në vazhdimin e saj në ana e kundërt nga pika O (në pjesën negative të boshtit OX), atëherë abshisa x e pikës A do të ishte negative (minus distancën OB). Po kështu edhe për dy akset e tjera.

Boshtet e koordinatave OX, OY, OZ, të paraqitura në Fig. 2, formoni një sistem koordinativ të djathtë. Kjo do të thotë që nëse shikoni rrafshin YOZ përgjatë drejtimit pozitiv të boshtit OX, atëherë lëvizja e boshtit OY drejt boshtit OZ do të jetë në drejtim të akrepave të orës. Kjo situatë mund të përshkruhet duke përdorur rregullin gimlet: nëse gimlet (vida me një fije të djathtë) rrotullohet në drejtim nga boshti OY në boshtin OZ, atëherë ai do të lëvizë përgjatë drejtimit pozitiv të boshtit OX.

Vektorët me gjatësi njësi të drejtuar përgjatë boshteve të koordinatave quhen vektorë njësi koordinative. Zakonisht caktohen si (Fig. 3). Ekziston edhe emërtimi Vektorët njësi përbëjnë bazën e sistemit të koordinatave.

Në rastin e një sistemi koordinativ të djathtë, i vlefshëm formulat e mëposhtme me produkte vektoriale të vektorëve:

1. Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe në një plan

Një sistem koordinativ drejtkëndor në një rrafsh formohet nga dy boshte koordinative reciproke pingule X"X Dhe Y"Y O, që quhet origjina, në çdo bosht zgjidhet drejtimi pozitiv. NË me anën e djathtë sistemi i koordinatave, drejtimi pozitiv i boshteve zgjidhet në mënyrë që kur boshti të drejtohet Y"Y lart, bosht X"X shikonte djathtas.

Katër qoshe (I, II, III, IV) të formuara nga boshtet koordinative X"X Dhe Y"Y, quhen kënde koordinative ose kuadrante (shih Fig. 1).

Pozicioni i pikës A në aeroplan përcaktohet nga dy koordinata x Dhe y. Koordinoni x e barabartë me gjatësinë e segmentit O.B., koordinoj y- gjatësia e segmentit O.C. në njësi matëse të zgjedhura. Segmentet O.B. Dhe O.C. përcaktohen me vija të nxjerra nga pika A paralel me boshtet Y"Y Dhe X"X përkatësisht. Koordinoni x thirrur abshissa pikë A, koordinoj y - ordinator pikë A. Shkruajeni kështu: A ( x, y)

Nëse pika A qëndron në kënd koordinativ Më pas tregoj A ka abshisë dhe ordinatë pozitive. Nëse pika A shtrihet në këndin koordinativ II, pastaj pika A ka një abshisë negative dhe një ordinatë pozitive. Nëse pika A shtrihet në këndin koordinativ III, pastaj pika A ka abshisë dhe ordinatë negative. Nëse pika A shtrihet në këndin koordinativ IV, pastaj pika A ka një abshisë pozitive dhe një ordinatë negative.

2. Koordinatat polare.

Një rrjet polare në të cilin vizatohen disa kënde, të shënuara në gradë.

Sistemi polar koordinatat- një sistem koordinativ dydimensional në të cilin çdo pikë në rrafsh përcaktohet nga dy numra - këndi dhe distanca. Sistemi i koordinatave polare është veçanërisht i dobishëm në rastet kur marrëdhëniet ndërmjet pikave paraqiten më lehtë në aspektin e distancave dhe këndeve; në sistemin koordinativ më të zakonshëm kartezian ose drejtkëndor, marrëdhënie të tilla mund të vendosen vetëm duke zbatuar ekuacionet trigonometrike.

Sistemi i koordinatave polar përcaktohet nga një rreze, e cila quhet bosht zero ose polar. Pika nga e cila del kjo rreze quhet origjina ose pol. Çdo pikë në aeroplan përcaktohet nga dy koordinata polare: radiale dhe këndore. Koordinata radiale (zakonisht e shënuar r) korrespondon me distancën nga pika në origjinë. Koordinata këndore, e quajtur edhe këndi polar ose azimuti dhe shënohet φ, është e barabartë me këndin me të cilin boshti polar duhet të rrotullohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës për të arritur në atë pikë.

Koordinata radiale e përcaktuar në këtë mënyrë mund të marrë vlera nga zero në pafundësi, dhe koordinata këndore varion nga 0° në 360°. Megjithatë, për lehtësi, diapazoni koordinata polare mund të zgjerohet përtej kënd i plotë, dhe gjithashtu lejoni që ajo të marrë vlera negative, që korrespondon me një rrotullim në drejtim të akrepave të orës të boshtit polar.

3. Ndarja e segmenteve në ne kete aspekt.

Kërkohet të ndahet segmenti AB pikat lidhëse A(x1;y1) dhe B(x2;y2) në një raport të caktuar λ > 0, d.m.th. jpg" align="majtas" width="84 height=84" height= "84">

Zgjidhje: Le të prezantojmë vektorët https://pandia.ru/text/78/214/images/image006_41.gif" width="18" height="13 src=">..gif" width="79" height=" 15 src=">, d.m.th. dhe d.m.th.

Ekuacioni (9.1) merr formën

Duke pasur parasysh atë vektorë të barabartë kemi koordinata të barabarta, marrim:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_27.gif" width="56 height=28" height="28"> (9.2) dhe

https://pandia.ru/text/78/214/images/image016_26.gif" width="60 height=29" height="29"> (9.3)

Formulat (9.2) dhe (9.3) thirren formulat për ndarjen e një segmenti në këtë drejtim. Në veçanti, për λ = 1, d.m.th.gif" width="54" height="29 src=">. Në këtë rast, pika M(x;y) është mesi i segmentit AB.

Koment:

Nëse λ = 0, atëherë kjo do të thotë që pikat A dhe M përkojnë nëse λ< 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ - говорят, что точка M делит отрезок АВ nga jashtë, sepse përndryshe, d.m.th AM + MB = 0, pra AB = 0).

4. Distanca midis pikave.

Kërkohet të gjendet distanca d ndërmjet pikave A(x1;y1) dhe B(x2;y2) të rrafshit.

Zgjidhje: Distanca e kërkuar d është e barabartë me gjatësinë e vektorit, d.m.th.

5. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika.

Nëse shënojmë dy pika arbitrare M1(x1, y1, z1) dhe M2(x2, y2, z2) në një vijë të drejtë në hapësirë, atëherë koordinatat e këtyre pikave duhet të plotësojnë ekuacionin e drejtëzës së marrë më sipër:

.

Përveç kësaj, për pikën M1 mund të shkruajmë:

.

Duke zgjidhur këto ekuacione së bashku, marrim:

.

Ky është ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika në hapësirë.

6. Përcaktuesit e rendit të dytë.

Vlera e përcaktorit të rendit të dytë llogaritet lehtësisht me përkufizim duke përdorur formulën.

7. Përcaktuesit e rendit të tretë.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image030_15.gif" width="120" height="61 src="> Skema për llogaritjen e përcaktorit duke përdorur metodën e trekëndëshit, d.m.th.:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">DIV_ADBLOCK251">

9. Zgjidhja e SLE-ve duke përdorur metodën e Cramer.

Teorema e Cramer-it: Një sistem N ekuacionesh me N të panjohura, përcaktori i të cilit është jozero, ka gjithmonë një zgjidhje dhe një unike. Gjendet si më poshtë: vlera e secilës prej të panjohurave është e barabartë me një fraksion, emëruesi i së cilës është përcaktor i sistemit, dhe numëruesi merret nga përcaktorja e sistemit duke zëvendësuar kolonën e koeficientëve për të panjohurën. i panjohur me kolonën e termave të kërkuar.

Ky sistem ekuacionesh do të ketë vetëm vendim vetëm kur përcaktori i përbërë nga koeficientët për X1 - n nuk do të jetë e barabartë me zero. Le ta shënojmë këtë përcaktor me shenjën - Δ. Nëse ky përcaktor nuk është i barabartë me zero, atëherë zgjidhim më tej. Pastaj çdo Xi = Δi / Δ, ku Δi është një përcaktues i përbërë nga koeficientët për X1 - n, vetëm vlerat e koeficientëve në kolonën i-të zëvendësohen me vlera pas shenjës së barabartë në sistemin e ekuacionet, dhe Δ është përcaktori kryesor

Sistemi i rendit të N-të https://pandia.ru/text/78/214/images/image037_14.gif" width="112" height="46"> .gif" width="79" height="46">.gif" width="264" height="48">.gif" width="120" height="29">DIV_ADBLOCK252">

10. Zgjidhja e SLE-ve duke përdorur metodën e matricës.

Matricat bëjnë të mundur shkrimin e shkurtër të sistemit ekuacionet lineare. Le të jepet një sistem prej 3 ekuacionesh me tre të panjohura:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image046_13.gif" width="75" height="41"> dhe matrica kolona të anëtarëve të panjohur dhe të lirë

Le ta gjejmë punën

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_13.gif" width="108" height="41"> ose më e shkurtër A∙X=B.

Këtu janë matricat A Dhe B janë të njohura, dhe matrica X i panjohur. Është e nevojshme ta gjesh atë, sepse elementët e tij janë zgjidhja e këtij sistemi. Ky ekuacion quhet ekuacioni i matricës.

Le të jetë përcaktori i matricës i ndryshëm nga zero | A| ≠ 0. Pastaj ekuacioni i matricës zgjidhet si më poshtë. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit në të majtë me matricën A-1, inversi i matricës A: https://pandia.ru/text/78/214/images/image051_13.gif" width="168" height="59">

Vendosni metoda e matricës sistemin e mëposhtëm ekuacionet:

Kujdes: Zerat shfaqen nëse mungon një ndryshore, p.sh., nëse X3 nuk është dhënë në kusht, atëherë automatikisht është e barabartë me zero. E njëjta gjë me X1 dhe X2

https://pandia.ru/text/78/214/images/image057_9.gif" width="56 height=54" height="54">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image065_8.gif" width="160 height=51" height="51">

Përgjigje:

# a) Duke pasur parasysh:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image074_5.gif" width="59 height=16" height="16"> Përgjigje:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image081_5.gif" width="106" height="50 src=">

Le të gjejmë matricën e anasjelltë.

Zbrisni rreshtin e parë nga të gjitha rreshtat poshtë tij. Ky veprim nuk bie ndesh transformimet elementare matricat.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image083_4.gif" width="172" height="52 src=">

Zbrisni rreshtin e tretë nga të gjitha rreshtat mbi të. Ky veprim nuk bie ndesh me transformimet elementare të matricës.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image085_5.gif" width="187" height="53 src=">

Le t'i zvogëlojmë të gjithë koeficientët në diagonalen kryesore të matricës në 1. Pjesëtojmë çdo rresht të matricës me koeficientin e kësaj rreshti që ndodhet në diagonalen kryesore, nëse nuk është e barabartë me 1. Matrica katrore që del djathtas e njësisë një është e anasjellta e asaj kryesore.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image087_4.gif" width="172" height="52 src=">

11. Vektorët. Shtimi i vektorit.

http://www. bigpi. *****/encicl/articles/15/1001553/1001553A. htm

Vektor emërtoni sasinë e karakterizuar vlerë numerike, drejtimi në hapësirë dhe duke shtuar në një sasi tjetër, të ngjashme gjeometrikisht.

Grafikisht, vektorët përshkruhen si segmente të drejta të drejtuara me një gjatësi të caktuar, si https://pandia.ru/text/78/214/images/image089_5.gif" width="17" height="17 src="> ose DIV_ADBLOCK254 ">

Shtimi i vektorit: Shuma e vektorëve a(a1; a2) dhe b(b1; b2) është vektori c(a1+b1; a2+b2). Për çdo vektor a(a1; a2), b(b1; b2), c(с1; с2) barazitë janë të vlefshme:

Teorema: Sido që të jenë tri pikat A, B dhe C, ekziston një barazi vektoriale https://pandia.ru/text/78/214/images/image094_4.gif" width="126" height="49">

Kur shtohet dy vektorët shpesh përdorin të ashtuquajturat " rregulli i paralelogramit" Në këtë rast, një paralelogram ndërtohet duke përdorur vektorët përmbledhës si të tij anët ngjitur. Diagonalja e paralelogramit e tërhequr nga pika ku lidhen fillimet e vektorëve është shuma e kërkuar (Fig. 4, majtas).

Është e lehtë të shihet (Fig. 4, djathtas) se ky rregull çon në të njëjtin rezultat si metoda e mësipërme. Kur shtoni më shumë se dy vektorë " rregulli i paralelogramit» praktikisht nuk përdoret për shkak të konstruksionit të rëndë. Shtimi i vektorit është komutativ, d.m.th.
A + b = b + A.

Dhe gjithashtu, sasia një numër të caktuar vektorët nuk varen nga radha në të cilën janë shtuar, d.m.th. A + b) + d = a + (b + d). Në këtë rast, ata thonë se shtimi i vektorëve është asociativ, domethënë, ligji i kombinimit është i kënaqur për të.

12. Prodhimi me pika i vektorëve.

http://www. dpva. info/Udhëzues/Udhëzues Matematikë/linearAlgjebër/ScalarVectorsShumëzimi/

Produkti me pika i vektorëve është një veprim në dy vektorë që rezulton në një numër (jo një vektor).

https://pandia.ru/text/78/214/images/image097_5.gif" width="86" height="23">

Me fjalë të tjera, prodhimi skalar i vektorëve është i barabartë me produktin e gjatësive të këtyre vektorëve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre. Duhet të theksohet se këndi ndërmjet dy vektorëve është këndi që ata formojnë nëse ato janë lënë mënjanë nga një pikë, domethënë origjina e vektorëve duhet të përkojë.

Karakteristikat e mëposhtme më të thjeshta rrjedhin drejtpërdrejt nga përkufizimi:

1. Produkti skalar i një vektori arbitrar a dhe vetvetes (katrori skalar i vektorit a) është gjithmonë jo-negativ dhe i barabartë me katrorin e gjatësisë së këtij vektori. Për më tepër, katrori skalar i një vektori është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse vektori i dhënë është zero.

2. Produkt me pika të çdo vektorë pingul a dhe b janë të barabarta me zero.

3. Prodhimi skalar i dy vektorëve është zero nëse dhe vetëm nëse janë pingul ose të paktën njëri prej tyre është zero.

4. Prodhimi skalar i dy vektorëve a dhe b është pozitiv nëse dhe vetëm nëse ka një kënd të mprehtë ndërmjet tyre.

5. Prodhimi skalar i dy vektorëve a dhe b është negativ nëse dhe vetëm nëse ka një kënd të mpirë ndërmjet tyre.

Përkufizim alternativ produkt me pika, ose llogaritja e prodhimit skalar të dy vektorëve të specifikuar nga koordinatat e tyre.

(Llogaritja e koordinatave të një vektori nëse jepen koordinatat e fillimit dhe mbarimit të tij është shumë e thjeshtë:

Le të jetë një vektor AB, A - fillimi i vektorit, B - fundi dhe koordinatat e këtyre pikave

A=(a1,a2,a3), B=(b1,b2,b3)

Atëherë koordinatat e vektorit AB janë:

AB=(b1-a1, b2-a2, b3-a3) .

Në mënyrë të ngjashme në hapësirën dy-dimensionale - thjesht nuk ka koordinata të treta)

Pra, le të jepen dy vektorë, të përcaktuar nga një grup i koordinatave të tyre:

a) Në hapësirën dydimensionale (në një plan)..gif" width="49" height="19 src=">

Pastaj produkti i tyre skalar mund të llogaritet duke përdorur formulën:

b) B hapësirë ​​tredimensionale: ;

Ngjashëm me rastin dydimensional, produkti i tyre skalar llogaritet duke përdorur formulën:

DIV_ADBLOCK257">

Pra, le të kemi dy vektorë: https://pandia.ru/text/78/214/images/image104_4.gif" width="73" height="23 src=">

Dhe ne duhet të gjejmë këndin midis tyre. Duke përdorur koordinatat e tyre, ne gjejmë gjatësitë e tyre dhe më pas thjesht barazojmë dy formulat për produktin skalar. Në këtë mënyrë marrim kosinusin e këndit të dëshiruar.

Gjatësia e vektorit A llogaritur si rrënjë e katrorit skalar të vektorit A, të cilën e llogarisim duke përdorur formulën për produktin skalar të vektorëve të specifikuar nga koordinatat:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image107_3.gif" width="365" height="23">

Do të thotë, ,

Këndi i kërkuar është gjetur.

13. Vepra arti vektoriale.

http://www. dpva. info/Udhëzues/Udhëzues Matematikë/lineareAlgjebër/vektorëVektorëShumëzimi/

Prodhimi kryq i dy vektorëve a dhe bështë një operacion mbi to, i përcaktuar vetëm në hapësirën tredimensionale, rezultati i të cilit është vektoriale me vetitë e mëposhtme:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image111_3.gif" width="83" height="27">, ku a Dhe b.

3) Vektori drejtohet në atë mënyrë që nëse sillni vektorin https://pandia.ru/text/78/214/images/image117_3.gif" width="13" height="24 src=">. gif" width=" 13" height="24"> ndaj vektorit do të jetë në drejtim të kundërt të akrepave të orës.

Për qartësi më të madhe, le të japim një shembull - në figurën në të djathtë ka një vektor - produkt vektorial vektorët a dhe b. Siç thuhet në përkufizim, ne i kemi reduktuar të tre vektorët në fillimi i përgjithshëm, dhe pastaj, nëse shikoni vektorët a dhe b nga fundi i vektorit, kthesa më e shkurtër nga vektori a në vektorin b do të jetë në drejtim të kundërt të akrepave të orës.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image119_3.gif" width="76" height="25">

Gjithashtu, drejtpërdrejt nga përkufizimi rrjedh se për çdo faktor skalar k (numër) është e vërtetë:

det A https://pandia.ru/text/78/214/images/image182_2.gif" width="56 height=32" height="32">

7.2 Gjetja e përcaktorit të një matrice të rendit të tretë duke përdorur rregullën e trekëndëshit

DIV_ADBLOCK261">

Çdo element i një Matrice katrore (rendi i së cilës është më i madh ose i barabartë me tre) mund të shoqërohet me dy numra të quajtur PLOTËSIM I VOGËL ose ALGJEBRIK. Minorja e një elementi Aij të një Matrice A katrore (të çdo rendi) quhet PËRCAKTOR I MATRICËS, i marrë nga matrica A duke fshirë rreshtin dhe kolonën në kryqëzimin e të cilave qëndron elementi Aij. Shenja M është përcaktimi i Minorit.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">.gif" width="35" height="19">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image194_1.gif" width="96 height=82" height="82">

Le të jetë A = një matricë e rendit të tretë, atëherë përcaktori i matricës A është i barabartë me:

Shënim: Përcaktori mund të llogaritet nga elementet ndonjë vargjet ose ndonjë kolona e kësaj Matrice.

# Gjeni përcaktuesin e Matricës sipas elementeve të rreshtit të parë dhe kolonës së parë:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image201_0.gif" width="58" height="56 src=">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image203_0.gif" width="253" height="34 src=">

7.3 Përcaktuesi i MATRICËS i rendit të n-të

Le të A - matricë katrore rendi i n-të. Pastaj, matrica përcaktuese e rendit të n-të do të duket kështu:

Pasi të keni zbërthyer elementët e 1 rreshtit, gjeni elementet e Matricës A

DIV_ADBLOCK262">

2) a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0

3) a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0

4) a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=- 1

6. VETITË THEMELORE TË PËRCAKTORËS

1. Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse rreshtat e tij ndërrohen me kolonat përkatëse (transpozimi)

2. Kur riorganizoni dy rreshta ose kolona, ​​Përkufizimi do të ndryshojë shenjën e tij në të kundërtën.

3. Shumëzuesi total të gjithë elementët e një rreshti (kolone) mund të hiqen nga shenja përcaktore

4. Një përcaktor me dy rreshta ose kolona identike është gjithmonë i barabartë me zero.

5. Nëse elementet e dy rreshtave (kolonave) të përcaktorit janë proporcionale, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero.

6. Nëse në ndonjë rresht apo kolonë të përcaktorit shtojmë, përkatësisht, elementet e një rreshti apo kolone tjetër, të shumëzuar me të njëjtin numër, atëherë përcaktorja nuk do ta ndryshojë vlerën e saj.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image208_0.gif" width="48" height="12"> etj.

Përcaktor trekëndor- kjo është përcaktori për të cilin të gjithë elementët që shtrihen mbi (ose poshtë) diagonales kryesore janë zero, e barabartë me produktin elementet e diagonales kryesore.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image210_0.gif" width="37" height="28 src=">DIV_ADBLOCK263">

Nëse ekziston një Matricë e anasjelltë A, atëherë Matrica quhet e Kthyeshme. Gjetja e një matrice katrore ka rëndësi të madhe kur zgjidhen ekuacionet lineare të sistemit.

17. Matrica e anasjelltë.

http://www. mathelp. *****/libër1/omatrix. htm

1. Gjeni përcaktorin e Matiritsa A

2. Gjeni komplementin algjebrik të të gjithë elementëve të Matricës A (Aij) dhe shkruani një Matricë të re

3. Transpozoni Matricën e re

4. Shumëzoni Matricën e transpozuar me inversin e përcaktorit. (Për shembull: për numrin 6 përcaktori i anasjelltë do të jetë numri)

Le të shënojmë ∆ =det A. Që një Matricë A katrore të ketë një invers, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që Matrica të jetë jo e degjeneruar (jo zero). Matricë, matricë e anasjelltë A, e shënuar me A-1, pra B = A-1..gif" width="12" height="19 src=">.gif" width="82" height="34 src="> - plani normalizues shumëzues, shenja e të cilit zgjidhet shenjë e kundërt D, nëse është arbitrare, nëse D=0.

21. Lakoret e 2-të (ekuacioni i rrethit).

Përkufizimi 11.1.Kurbat e rendit të dytë në një rrafsh quhen vija të kryqëzimit kon rrethore me plane që nuk kalojnë nëpër kulmin e tij.

Nëse një plan i tillë kryqëzon të gjitha gjeneratat e një zgavër të konit, atëherë në seksion rezulton elips, në kryqëzimin e gjeneratave të të dy zgavrave - hiperbolë, dhe nëse rrafshi i prerjes është paralel me ndonjë gjenerator, atëherë seksioni i konit është parabolë.

Koment. Të gjitha lakoret e rendit të dytë specifikohen nga ekuacionet e shkallës së dytë në dy variabla.

Klasifikimi i kurbave të rendit të dytë

Kurbat jo të degjeneruara

jo i degjeneruar, nëse mund të ndodhin opsionet e mëposhtme:

Kurba jo e degjeneruar rendi i dytë quhet nëse qendror

· elips - me kusht D> 0 dhe Δ I < 0;

ofrohet një rast i veçantë i një elipsi - një rreth I 2 = 4D ose a 11 = a 22,a 12 = 0;

elipsë imagjinare (jo një pikë e vetme reale) - i nënshtrohet Δ I > 0;

· hiperbolë - me kusht D < 0;

Një kurbë jo e degjeneruar e rendit të dytë quhet jo qendrore nëse Δ I = 0

· parabolë - me kusht D = 0.

Kurbat e degjeneruara: Kurba e rendit të dytë quhet i degjeneruar, nëse Δ = 0. Mund të ndodhin opsionet e mëposhtme:

· pikë reale në kryqëzimin e dy vijave imagjinare (elipsë e degjeneruar) - me kusht D > 0;

· një çift vijash reale prerëse (hiperbolë e degjeneruar) - me kusht D < 0;

· parabolë e degjeneruar - me kusht D = 0:

· një çift drejtëzash paralele reale - dhënë B < 0;

· një drejtëz reale (dy drejtëza paralele të bashkuara) - me kusht B = 0;

· një çift drejtëzash paralele imagjinare (jo një pikë e vetme reale) - me kusht B > 0.

22. Elipsa dhe ekuacioni i saj.

Përkufizimi 11.2.Elipsaështë bashkësia e pikave në rrafsh për të cilat është shuma e largësive në dy pika fikse F 1 dhe F 2 i këtij avioni, i quajtur truket, është një vlerë konstante.

Koment. Kur pikat përkojnë F 1 dhe F 2 elipsa kthehet në një rreth.

Koment. Me një zgjedhje të ndryshme të sistemit të koordinatave, elipsa mund të mos specifikohet ekuacioni kanonik(11.1), por një ekuacion i shkallës së dytë të një lloji tjetër.

Karakteristikat e elipsit:

1) Një elipsë ka dy boshte simetrie pingule (boshtet kryesore të elipsës) dhe një qendër simetrie (qendra e elipsës). Nëse një elipsë jepet nga një ekuacion kanonik, atëherë boshtet e saj kryesore janë boshtet koordinative dhe qendra e saj është origjina. Meqenëse gjatësitë e segmenteve të formuara nga kryqëzimi i elipsit me boshtet kryesore janë të barabarta me 2 A dhe 2 b (2a>2b), Kjo boshti kryesor, duke kaluar nëpër vatra quhet boshti kryesor i elipsës, dhe boshti i dytë i madh quhet bosht i vogël.

Pastaj https://pandia.ru/text/78/214/images/image264.gif" width="141" height="122 src=">

Le të nxjerrim ekuacionin kanonik të një hiperbole me analogji me derivimin e ekuacionit të një elipsi, duke përdorur të njëjtin shënim.

|r1 - r2 | = 2a, ku. Nëse caktojmë b² = c² - a², nga këtu mund të merrni https://pandia.ru/text/78/214/images/image267.gif" width="38" height="30 src=">.gif" width="87" height= "44 src="> , (11.3`)

për të cilat boshti real dhe imagjinar këmbehen duke ruajtur të njëjtat asimptota.

4) Ekscentriciteti i hiperbolës e> 1.

5) Raporti i distancës ri nga pika e hiperbolës në fokus Fi në distancë di nga kjo pikë në drejtimin që i përgjigjet fokusit është i barabartë me ekscentricitetin e hiperbolës.

Vërtetimi mund të kryhet në të njëjtën mënyrë si për elipsin.

23. Parabola.

Përkufizimi 11.8.Parabolaështë bashkësia e pikave në rrafsh për të cilat është distanca deri në një pikë fikse F ky rrafsh është i barabartë me distancën nga një vijë e drejtë fikse. Pika F thirrur fokusi parabolat, dhe vija e drejtë është e saj drejtoreshë.

Për të nxjerrë ekuacionin e një parabole, ne zgjedhim një sistem koordinativ kartezian në mënyrë që origjina e tij të jetë mesi i pingules FD, u ul nga fokusi në drejtim, dhe boshtet e koordinatave ishin të vendosura paralelisht dhe pingul me drejtimin. Lëreni gjatësinë e segmentit FD

D O F x është e barabartë me R. Pastaj nga barazia r = d rrjedh se https://pandia.ru/text/78/214/images/image271.gif" width="101 height=38" height="38">,

Duke përdorur transformimet algjebrike, ky ekuacion mund të reduktohet në formën:

y² = 2 px, (11.4) thirrur ekuacioni kanonik i parabolës.

Madhësia R thirrur parametri parabolat.

Vetitë e një parabole :

1) Një parabolë ka një bosht simetrie (boshti i parabolës). Pika ku parabola pret boshtin quhet kulm i parabolës. Nëse një parabolë jepet nga një ekuacion kanonik, atëherë boshti i saj është boshti Oh, dhe kulmi është origjina e koordinatave.

2) E gjithë parabola ndodhet në gjysmë rrafshin e djathtë të aeroplanit Oh.

Koment. Duke përdorur vetitë e drejtimeve të një elipsi dhe një hiperbole dhe përkufizimin e një parabole, mund të vërtetojmë pohimin e mëposhtëm:

Bashkësia e pikave në rrafshin për të cilin relacioni e distanca nga një pikë fikse nga distanca në një vijë të drejtë është një vlerë konstante, është një elips (me e<1), гиперболу (при e>1) ose parabolë (me e=1).

Reduktimi i një ekuacioni të rendit të dytë në formë kanonike.

Përkufizimi 11.9. Linja e përcaktuar ekuacioni i përgjithshëm rendit të dytë

https://pandia.ru/text/78/214/images/image274.gif" width="103 height=19" height="19"> ju mund të vendosni një matricë

https://pandia.ru/text/78/214/images/image276.gif" width="204" height="24 src="> (duke supozuar se λ .

Në rast se një nga eigenvlerat matricat A barazohet me 0, ekuacioni (11.5) si rezultat i dy transformimeve të koordinatave mund të reduktohet në formën: , (11.8) që është ekuacioni kanonik i një parabole.

24. Koordinatat drejtkëndore në hapësirë.

Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe në hapësirë të formuara nga tre boshte koordinative pingul reciprokisht OK, OY Dhe OZ. Boshtet e koordinatave kryqëzohen në pikë O, e cila quhet origjina e koordinatave, në çdo bosht zgjidhet një drejtim pozitiv, i treguar me shigjeta dhe një njësi matëse për segmentet në boshte. Njësitë janë zakonisht të njëjta për të gjitha akset (gjë që nuk është e detyrueshme). OK- boshti i abshisave, OY- boshti i ordinatave, OZ- boshti i aplikuesit.

Nëse gishtin e madh dora e djathtë marrë për drejtim X, duke treguar drejtimin Y, dhe mesatarja për drejtimin Z, pastaj formohet drejtë sistemi i koordinatave. Gishtat e ngjashëm të dorës së majtë formojnë sistemin e koordinatave të majta. Me fjalë të tjera, drejtimi pozitiv i boshteve zgjidhet në mënyrë që kur boshti të rrotullohet OK në drejtim të kundërt të akrepave të orës me 90° drejtimi i tij pozitiv përkon me drejtimin pozitiv të boshtit OY, nëse ky rrotullim vërehet nga drejtimi pozitiv i boshtit OZ. Është e pamundur të kombinohen sistemet e koordinatave të djathta dhe të majta në mënyrë që boshtet përkatëse të përkojnë (shih Fig. 2).

Pozicioni i pikës A në hapësirë ​​përcaktohet nga tre koordinata x, y Dhe z. Koordinoni x e barabartë me gjatësinë e segmentit O.B., koordinoj y- gjatësia e segmentit O.C., koordinoj z- gjatësia e segmentit O.D. në njësi matëse të zgjedhura. Segmentet O.B., O.C. Dhe O.D. përcaktohen nga rrafshet e tërhequra nga pika A paralel me aeroplanët YOZ, XOZ Dhe XOY përkatësisht. Koordinoni x quhet abshisa e pikës A, koordinoj y- ordinata e pikës A, koordinoj z- pika e aplikimit A. Shkruajeni kështu: .

Tani le të japim konceptin e metodës së koordinatave në një plan, domethënë do të tregojmë një metodë që ju lejon të përcaktoni pozicionin e pikave në një plan duke përdorur numra.

Le të marrim dy vija të drejta reciproke pingule dhe të vendosim një drejtim pozitiv në secilën prej tyre. Këto drejtëza, në lidhje me të cilat do të përcaktojmë pozicionin e pikave në rrafsh, quhen boshte koordinative. Boshtet e koordinatave zakonisht pozicionohen siç tregohet në Fig. 6: njëri është horizontal dhe drejtimi pozitiv në të zgjidhet nga e majta në të djathtë, dhe tjetri është vertikal dhe drejtimi pozitiv në të është nga poshtë lart. Njëri prej boshteve (zakonisht horizontal) quhet bosht i abshisës (boshti i Ox), dhe tjetri quhet

boshti i ordinatave (boshti Oy). Pika e kryqëzimit të boshteve të koordinatave quhet origjina e koordinatave (në figurën 6, origjina e koordinatave tregohet me shkronjën O). Së fundi, le të zgjedhim një njësi shkallë (ne gjithmonë do të supozojmë se e njëjta njësi shkallë është zgjedhur në të dy boshtet koordinative).

Tani pozicioni i çdo pike në aeroplan mund të përcaktohet me numra - koordinatat e kësaj pike. Në të vërtetë, për çdo pikë M të rrafshit korrespondojnë në boshtet koordinative dy pika P dhe Q, të cilat janë projeksionet e saj mbi këto boshte (Fig. 6) dhe, anasjelltas, duke ditur pikat në boshtet e koordinatave, është e mundur të ndërtohet një pikë e vetme M në rrafshin për të cilin P dhe Q janë projeksione në këto boshte. Kështu, përcaktimi i pozicionit të pikës M në rrafsh reduktohet në përcaktimin e pozicioneve të projeksioneve të saj P dhe Q në boshtet koordinative.

Por ne tashmë e dimë se pozicioni i një pike në bosht përcaktohet plotësisht nga koordinata. Le të jetë koordinata e pikës P në boshtin e abshisave dhe y koordinata e pikës Q në boshtin e ordinatave. Numrat x dhe y përcaktojnë plotësisht pozicionin e pikës M në rrafsh dhe quhen koordinata të pikës; në këtë rast quhet abshisa e pikës M dhe y është ordinata e saj.

Pra, abshisa e një pike është vlera e një segmenti të drejtuar të boshtit Ox, fillimi i të cilit është origjina e koordinatave dhe fundi është projeksioni i pikës në këtë bosht; Ordinata e një pike është vlera e një segmenti të drejtuar të boshtit Oy, fillimi i të cilit është origjina e koordinatave dhe fundi është projeksioni i pikës në boshtin e ordinatave.

Pra, pozicioni i çdo pike në rrafsh përcaktohet plotësisht duke specifikuar një çift numrash x dhe y, i pari prej të cilëve është abshisa e pikës dhe e dyta është ordinata e saj.

Ne pranojmë të shkruajmë koordinatat e pikës në kllapa, pranë shkronjës që tregon këtë pikë, duke vendosur abshisën në radhë të parë dhe ordinatën në të dytën dhe duke i ndarë ato me presje: Kur tregohet në Fig. 6 vendndodhja e boshteve të koordinatave për të gjitha pikat e rrafshit që shtrihen në të djathtë të boshtit Oy (boshti i ordinatave), abshisa është pozitive dhe për pikat që shtrihen në të majtë të boshtit Oy është negative. Pikat në vetë boshtin Oy kanë një abshisë të barabartë me zero. Pikërisht në të njëjtën mënyrë, pikat e rrafshit që shtrihen mbi boshtin Ox (boshti i abshisës) kanë një ordinatë pozitive y dhe pikat që shtrihen poshtë boshtit kanë një bosht negativ. Pikat e vetë boshtit Ox kanë një ordiatë të barabartë me zero. Origjina ka koordinata (0, 0).

Boshtet e koordinatave e ndajnë rrafshin në katër pjesë të quajtura katërshe ose kuadrate (nganjëherë quhen edhe boshte koordinative

qoshet). Pjesa e rrafshit e mbyllur midis gjysmëboshteve pozitive Ox dhe Oy quhet kuadranti i parë. Më pas, kuadrantët numërohen në drejtim të kundërt të akrepave të orës (Fig. 7). Për të gjitha pikat e kuadrantit të 1-rë për pikët e kuadratit të dytë në kuadrantin e tretë dhe në kuadrantin e 4-të

Koordinatat që merren këtu për të përcaktuar pozicionin e një pike në rrafsh quhen koordinatat drejtkëndore, meqenëse pika M e rrafshit fitohet nga kryqëzimi i dy drejtëzave PM dhe QM (Fig. 6), që takohen në kënde të drejta, dhe gjithashtu karteziane, të quajtur sipas matematikanit dhe filozofit Descartes, i cili në 1637 botoi veprën e parë. mbi gjeometrinë analitike.

Sistemi i koordinatave drejtkëndore karteziane nuk është i vetmi sistemi i koordinatave, e cila na lejon të përcaktojmë pozicionet e pikave në rrafsh (shih § 11 të këtij kapitulli), por është më e thjeshta dhe në të ardhmen do ta përdorim kryesisht. Metoda e përshkruar e koordinatave çon në zgjidhjen e dy problemeve kryesore.

Problema I. Jepet një pikë e dhënë M, gjeni koordinatat e saj.

Nga kjo pikë M ne ulim pingulet në bosht Bazat e këtyre pingulave - pikat P dhe Q - do të përcaktojnë të dyja koordinatat e kërkuara. Koordinata e parë e pikës M, abshisa e saj, është e barabartë me vlerën e segmentit të drejtuar të boshtit OR Koordinata e dytë e pikës, ordinata e saj, është e barabartë me vlerën e segmentit të drejtuar të boshtit OQ.

Detyra I. Duke ditur koordinatat e pikës M, ndërto këtë pikë.

Le të vizatojmë përgjatë boshtit Ox nga pika O një segment me gjatësi njësish në të djathtë, nëse dhe në të majtë, nëse Fundi i këtij segmenti - pika P - do të jetë projeksioni i pikës së dëshiruar M në Ox aks, duke vizatuar përgjatë boshtit Oy nga pika O një segment me gjatësi njësish lart, nëse dhe poshtë, nëse marrim pikën Q - projeksionin e pikës së dëshiruar në boshtin Oy. Duke ditur P dhe Q, është e lehtë të ndërtoni pikën e dëshiruar M nga këto pika, si projeksione, për ta bërë këtë, duhet të vizatoni vija të drejta përmes P dhe Q, paralele me boshtet e koordinatave; në kryqëzimin e këtyre vijave do të fitohet pika e dëshiruar

Koment. Nëse biem dakord që segmentet e drejtuara RM dhe QM (Fig. 6) t'i konsiderojmë si segmente boshtesh, drejtimet e të cilave përkojnë me drejtimet e boshteve të koordinatave paralele me to, atëherë abshisa e pikës M do të shprehet jo vetëm me vlera e segmentit OP,

por edhe një vlerë të barabartë të segmentit QM. Ordinata e së njëjtës pikë do të shprehet në mënyrë të barabartë si me vlerën e segmentit OQ ashtu edhe me vlerën e barabartë të segmentit PM. Segmentet e drejtuara do t'i quajmë segmente koordinative OP, QM, OQ dhe PM të pikës M. Më pas, kur zgjidhen dy problemet kryesore të marra në shqyrtim, nuk ka nevojë të përcaktohen të dy projeksionet e pikës M, mjafton të përcaktohet vetëm një. , për shembull, projeksioni në boshtin e abshisë. Pra, në problemin 1 ne ulim një pingul nga një pikë e dhënë M në boshtin e abshisës. Baza e saj P përcakton projeksionin e pikës M në këtë bosht. Vlera e segmentit të drejtuar OP do të japë abshisën e një pike të caktuar, dhe vlera e segmentit RM do të japë ordinatën y.

Shembull. Ndërtoni një pikë duke përdorur koordinatat Vendosni një segment me 2 njësi në të djathtë të O-së përgjatë boshtit të abshisë; përmes skajit P të këtij segmenti vizatojmë një vijë të drejtë paralele me boshtin e ordinatave dhe mbi të vendosim një segment 3 njësi të gjatë nga P; fundi i këtij segmenti është pika e dëshiruar M.

Kështu, në sistemin e zgjedhur të koordinatave, çdo pikë në rrafsh i korrespondon një çifti të mirëpërcaktuar të koordinatave x dhe y dhe, anasjelltas, çdo çift numrash realë x, y përcakton një pikë të vetme në rrafshin, abshisa e të cilit është x dhe e të cilit ordinata është y. Prandaj, të specifikosh një pikë do të thotë të specifikosh koordinatat e saj; të gjesh një pikë do të thotë të gjesh koordinatat e saj.

Nëse prezantojmë një sistem koordinativ në një plan ose në hapësirën tredimensionale, do të jemi në gjendje të përshkruajmë figurat gjeometrike dhe vetitë e tyre duke përdorur ekuacione dhe pabarazi, domethënë do të jemi në gjendje të përdorim metoda algjebër. Prandaj, koncepti i një sistemi koordinativ është shumë i rëndësishëm.

Në këtë artikull do të tregojmë se si përcaktohet një sistem koordinativ drejtkëndor Kartezian në një plan dhe në hapësirën tredimensionale dhe do të zbulojmë se si përcaktohen koordinatat e pikave. Për qartësi, ne ofrojmë ilustrime grafike.

Navigimi i faqes.

Sistemi i koordinatave karteziane drejtkëndëshe në një rrafsh.

Le të prezantojmë një sistem koordinativ drejtkëndor në aeroplan.

Për ta bërë këtë, vizatoni dy vija pingule reciproke në aeroplan dhe zgjidhni në secilën prej tyre drejtim pozitiv, duke e treguar atë me një shigjetë dhe zgjidhni në secilën prej tyre shkallë(njësia e gjatësisë). Le të shënojmë pikën e kryqëzimit të këtyre rreshtave me shkronjën O dhe ta konsiderojmë atë pikënisje. Kështu që ne morëm sistem koordinativ drejtkëndor në sipërfaqe.

Secila nga drejtëzat me origjinë të zgjedhur O, drejtim dhe shkallë quhet vijë koordinative ose boshti koordinativ.

Një sistem koordinativ drejtkëndor në një aeroplan zakonisht shënohet me Oxy, ku Ox dhe Oy janë boshtet e tij koordinative. Boshti Ox quhet boshti x, dhe boshti Oy - boshti y.

Tani le të biem dakord për imazhin e një sistemi koordinativ drejtkëndor në një aeroplan.

Në mënyrë tipike, njësia matëse e gjatësisë në boshtet Ox dhe Oy zgjidhet të jetë e njëjtë dhe vizatohet nga origjina në secilin bosht koordinativ në drejtim pozitiv (shënohet me një vizë në boshtet e koordinatave dhe njësia shkruhet pranë ajo), boshti i abshisave drejtohet djathtas dhe boshti i ordinatave drejtohet lart. Të gjitha opsionet e tjera për drejtimin e boshteve të koordinatave reduktohen në atë të shprehur (boshti Ox - djathtas, boshti Oy - lart) duke rrotulluar sistemin e koordinatave në një kënd të caktuar në lidhje me origjinën dhe duke e parë atë nga ana tjetër të avionit (nëse është e nevojshme).

Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe shpesh quhet Kartezian, pasi u prezantua për herë të parë në aeroplan nga Rene Descartes. Edhe më shpesh, një sistem koordinativ drejtkëndor quhet një sistem koordinativ drejtkëndor Kartezian, duke i bashkuar të gjitha së bashku.

Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe në hapësirën tredimensionale.

Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe Oxyz është vendosur në mënyrë të ngjashme në hapësirën Euklidiane tre-dimensionale, nuk merren vetëm dy, por tre vija reciproke pingule. Me fjalë të tjera, boshteve të koordinatave Ox dhe Oy i shtohet një bosht koordinativ Oz, i cili quhet aks aplikojnë.

Në varësi të drejtimit të boshteve të koordinatave, dallohen sistemet e koordinatave drejtkëndore djathtas dhe majtas në hapësirën tredimensionale.

Nëse shikohet nga drejtimi pozitiv i boshtit Oz dhe rrotullimi më i shkurtër nga drejtimi pozitiv i boshtit Ox në drejtimin pozitiv të boshtit Oy ndodh në drejtim të kundërt të akrepave të orës, atëherë sistemi i koordinatave quhet drejtë.

Nëse shikohet nga drejtimi pozitiv i boshtit Oz dhe rrotullimi më i shkurtër nga drejtimi pozitiv i boshtit Ox në drejtimin pozitiv të boshtit Oy ndodh në drejtim të akrepave të orës, atëherë sistemi i koordinatave quhet majtas.

Koordinatat e një pike në një sistem koordinativ kartezian në një plan.

Së pari, merrni parasysh vijën koordinative Ox dhe merrni një pikë M mbi të.

Çdo numër real korrespondon me një pikë të vetme M në këtë vijë koordinative. Për shembull, një pikë e vendosur në një vijë koordinative në një distancë nga origjina në drejtim pozitiv korrespondon me numrin, dhe numri -3 korrespondon me një pikë të vendosur në një distancë prej 3 nga origjina në drejtim negativ. Numri 0 korrespondon me pikën e fillimit.

Nga ana tjetër, çdo pikë M në vijën koordinative Ox korrespondon me një numër real. Ky numër real është zero nëse pika M përkon me origjinën (pika O). Ky numër real është pozitiv dhe i barabartë me gjatësinë e segmentit OM në një shkallë të caktuar nëse pika M hiqet nga origjina në drejtim pozitiv. Ky numër real është negativ dhe i barabartë me gjatësinë e segmentit OM me shenjë minus nëse pika M hiqet nga origjina në drejtim negativ.

Numri thirret koordinoj pikat M në vijën koordinative.

Tani merrni parasysh një rrafsh me sistemin koordinativ të paraqitur drejtkëndor Kartezian. Le të shënojmë në këtë aeroplan pikë arbitrare M.

Le të jetë projeksioni i pikës M në drejtëzën Ox dhe le të jetë projeksioni i pikës M në vijën koordinative Oy (nëse është e nevojshme, shihni artikullin). Kjo do të thotë, nëse përmes pikës M vizatojmë drejtëza pingul me boshtet koordinative Ox dhe Oy, atëherë pikat e prerjes së këtyre drejtëzave me drejtëzat Ox dhe Oy janë pika dhe, përkatësisht.

Lëreni që numri t'i korrespondojë një pike në boshtin koordinativ Ox dhe numri me një pikë në boshtin Oy.

Çdo pikë M e rrafshit në një drejtkëndësh të caktuar Sistemi kartezian koordinatat korrespondojnë me një çift të vetëm të renditur numrash realë të thirrur koordinatat e pikës M në sipërfaqe. Koordinata quhet abshisa e pikës M, A - ordinata e pikës M.

Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë: çdo çift i renditur i numrave realë korrespondon me një pikë M të rrafshit në sistemi i dhënë koordinatat

Koordinatat e një pike në një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirën tredimensionale.

Le të tregojmë se si përcaktohen koordinatat e pikës M në një sistem koordinativ drejtkëndor të përcaktuar në hapësirën tredimensionale.

Le të jenë dhe projeksionet e pikës M në boshtet koordinative Ox, Oy dhe Oz, përkatësisht. Le të korrespondojnë këto pika në boshtet koordinative Ox, Oy dhe Oz numra realë Dhe .