Mënyra e lirë e qarkut nuk varet nga burimet e energjisë, ajo përcaktohet vetëm nga struktura e qarkut dhe parametrat e elementeve të tij. Nga kjo rrjedh se rrënjët e ekuacionit karakteristik p1, p2,…, pn do të jenë të njëjta për të gjithë funksionet e ndryshueshme(rrymat dhe tensionet).
Ekuacioni karakteristik mund të bëhet metoda të ndryshme. Metoda e parë është klasike, kur ekuacioni karakteristik përpilohet në mënyrë rigoroze në përputhje me ekuacionin diferencial. skema klasike. Kur llogariten proceset kalimtare në një qark kompleks, një sistem ekuacionesh diferenciale "m" përpilohet sipas ligjeve të Kirchhoff për diagramin e qarkut pas ndërrimit. Që nga rrënjët ekuacioni karakteristik janë të përbashkëta për të gjitha variablat, pastaj zgjidhja e sistemit ekuacionet diferenciale kryhet në lidhje me çdo variabël (opsionale). Si rezultat i zgjidhjes, fitohet një ekuacion diferencial johomogjen me një ndryshore. Hartoni një ekuacion karakteristik në përputhje me ekuacionin diferencial që rezulton dhe përcaktoni rrënjët e tij.
Shembull. Hartoni një ekuacion karakteristik dhe përcaktoni rrënjët e tij për variablat në diagramin në Fig. 59.1. Parametrat e elementeve janë specifikuar në një formë të përgjithshme.
Sistemi i ekuacioneve diferenciale sipas ligjeve të Kirchhoff:
Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve për ndryshoren i 3, si rezultat marrim një ekuacion diferencial johomogjen:
Mënyra e dytë për të përpiluar një ekuacion karakteristik është të barazojmë me zero përcaktuesin kryesor të sistemit të ekuacioneve Kirchhoff për variablat e komponentëve të lirë.
Lëreni përbërësin e lirë të një rryme arbitrare të ketë formën i ksw = A k e pt, atëherë:
Sistemi i ekuacioneve për komponentët e lirë është marrë nga sistemi i ekuacioneve diferenciale Kirchhoff duke zëvendësuar derivatet e variablave me faktorin p, dhe integralet me 1/p. Për shembullin në shqyrtim, sistemi i ekuacioneve për komponentët e lirë ka formën:
Ekuacioni karakteristik dhe rrënja e tij:
Mënyra e tretë për të përpiluar një ekuacion karakteristik (inxhinierik) është barazimi i rezistencës së operatorit hyrës të qarkut në zero në lidhje me ndonjë nga degët e tij.
Rezistenca e operatorit të një elementi merret nga rezistenca e tij komplekse duke zëvendësuar thjesht faktorin jω me p, prandaj
Për shembullin në fjalë:
Metoda e tretë është më e thjeshta dhe më ekonomike, prandaj përdoret më shpesh gjatë llogaritjes së proceseve kalimtare në qarqet elektrike.
Rrënjët e ekuacionit karakteristik karakterizojnë procesin e lirë kalimtar në një qark pa burime energjie. Ky proces ndodh me humbje të energjisë dhe për këtë arsye prishet me kalimin e kohës. Nga kjo rrjedh se rrënjët e ekuacionit karakteristik duhet të jenë negative ose të kenë një pjesë reale negative.
NË rast i përgjithshëm rendi i ekuacionit diferencial që përshkruan procesin kalimtar në qark, dhe, për rrjedhojë, shkalla e ekuacionit karakteristik dhe numri i rrënjëve të tij janë të barabartë me numrin e kushteve fillestare të pavarura, ose numrin e pajisjeve të pavarura të ruajtjes së energjisë ( mbështjelljet L dhe kondensatorët C). Nëse diagrami i qarkut përmban kondensatorë të lidhur paralelisht C1, C2,... ose bobina të lidhura në seri L1, L2,..., atëherë gjatë llogaritjes së proceseve kalimtare ato duhet të zëvendësohen me një element ekuivalent C E = C1 + C2+... ose L E = L1 + L2+…
Kështu, formë e përgjithshme zgjidhjet për çdo ndryshore gjatë llogaritjes së një procesi kalimtar mund të përpilohen vetëm nga një analizë e diagramit të qarkut, pa përpiluar dhe zgjidhur një sistem ekuacionesh diferenciale.
Për shembullin e diskutuar më sipër.
Paraqitja matricore e një sistemi ekuacionesh diferenciale të zakonshme (SODE) me koeficientët konstant
SODE homogjene lineare me koeficientë konstante $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n))(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) + a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\djathtas $,
ku $y_(1)\majtas(x\djathtas),\; y_(2)\majtas(x\djathtas),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- funksionet e kërkuara të ndryshores së pavarur $x$, koeficientët $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- ne përfaqësojmë numrat realë të dhënë në shënimin e matricës:
- matrica e funksioneve të kërkuara $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\djathtas)) \end (array)\djathtas)$;
- matrica e zgjidhjeve derivatore $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
- Matrica e koeficientit SODE $A=\left(\fille(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\djathtas)$.
Tani, bazuar në rregullën e shumëzimit të matricës, kjo SODE mund të shkruhet në formën e një ekuacioni matricor $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.
Metoda e përgjithshme për zgjidhjen e SODE me koeficientë konstante
Le të jetë një matricë e disa numrave $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alfa _(1) ) \\ (\alfa _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alfa _ (n) ) \end(array)\djathtas)$.
Zgjidhja për SODE gjendet në formën e mëposhtme: $y_(1) =\alfa _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alfa _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \pika , $y_(n) =\alfa _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. NË forma matrice: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\djathtas )=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alfa _(1) ) \\ (\alfa _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alfa _(n) ) \end(array)\djathtas)$.
Nga këtu marrim:
Tani ekuacioni matricor Kësaj SODA mund t'i jepet forma:
Ekuacioni që rezulton mund të përfaqësohet si më poshtë:
Barazia e fundit tregon se vektori $\alpha $ duke përdorur matricën $A$ është transformuar në një vektor paralel $k\cdot \alpha $. Kjo do të thotë se vektori $\alpha $ është vetvektor matrica $A$, përkatëse eigenvalue$k$.
Numri $k$ mund të përcaktohet nga ekuacioni $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\djathtas|=0$.
Ky ekuacion quhet karakteristik.
Le të jenë të ndryshme të gjitha rrënjët $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ të ekuacionit karakteristik. Për çdo vlerë $k_(i) $ nga sistemi $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\djathtas)\cdot \left(\fille(array)(c ) (\alfa _(1) ) \\ (\alfa _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alfa _(n) ) \end(array)\right)=0$ një matricë vlerash mund të përcaktohet $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\djathtas)) ) \\ (\alfa _(2)^(\left(i \djathtas)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alfa _(n)^(\majtas(i\djathtas)) ) \end(array)\djathtas)$.
Një nga vlerat në këtë matricë zgjidhet rastësisht.
Së fundi, zgjidhja e këtij sistemi në formë matrice shkruhet si më poshtë:
$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ majtas(\fillimi(array)(cccc) (\alfa _(1)^(\majtas(1\djathtas)) ) & (\alfa _(1)^(\majtas(2\djathtas)) ) & (\ ldots ) & (\alfa _(2)^(\majtas(n\djathtas)) ) \\ (\alfa _(2)^(\majtas(1\djathtas)) & (\alfa _(2)^ (\majtas(2\djathtas)) ) & (\ldots ) & (\alfa _(2)^(\majtas(n\djathtas)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots) \\ (\alfa _(n)^(\majtas(1\djathtas)) ) & (\alfa _(2)^(\left(2\djathtas)) & (\ldots) (\alfa _(2)^(\left(n\djathtas)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\fille(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n ) \cdot x) ) \end(array)\djathtas)$,
ku $C_(i) $ janë konstante arbitrare.
Detyrë
Zgjidheni sistemin DE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\djathtas $.
Shkruajmë matricën e sistemit: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.
Në formën e matricës, kjo SODE shkruhet si më poshtë: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (array)\djathtas)=\left(\fille(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end (array)\right)\cdot \left( \begin( grup)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\djathtas)$.
Ne marrim ekuacionin karakteristik:
$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, që është, $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.
Rrënjët e ekuacionit karakteristik janë: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.
Le të krijojmë një sistem për llogaritjen e $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\djathtas)) ) \\ (\alfa _(2)^(\left( 1\ djathtas)) ) \end(array)\djathtas)$ për $k_(1) =1$:
\[\ majtas(\fillimi(grupi)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\djathtas)\cdot \ majtas(\fillimi(array)(c) (\alfa _(1)^(\majtas(1\djathtas)) ) \\ (\alfa _(2)^(\left(1\djathtas)) ) \fund (array)\djathtas)=0,\]
domethënë, $\majtas(5-1\djathtas)\cdot \alfa _(1)^(\majtas(1\djathtas)) +4\cdot \alfa _(2)^(\majtas(1\djathtas) ) =0$, $4\cdot \alfa _(1)^(\majtas(1\djathtas)) +\majtas(5-1\djathtas)\cdot \alfa _(2)^(\majtas(1\djathtas ) ) =0$.
Duke vendosur $\alpha _(1)^(\majtas(1\djathtas)) =1$, marrim $\alfa _(2)^(\left(1\djathtas)) =-1$.
Le të krijojmë një sistem për llogaritjen e $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\djathtas)) ) \\ (\alfa _(2)^(\left( 2\ djathtas)) ) \end(array)\djathtas)$ për $k_(2) =9$:
\[\ majtas(\fillimi(grupi)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\djathtas)\cdot \ majtas(\fillimi(array)(c) (\alfa _(1)^(\majtas(2\djathtas)) ) \\ (\alfa _(2)^(\left(2\djathtas)) ) \fund (array)\djathtas)=0, \]
domethënë, $\majtas(5-9\djathtas)\cdot \alfa _(1)^(\majtas(2\djathtas)) +4\cdot \alfa _(2)^(\majtas(2\djathtas) ) =0$, $4\cdot \alfa _(1)^(\majtas(2\djathtas)) +\majtas(5-9\djathtas)\cdot \alfa _(2)^(\majtas(2\djathtas ) ) =0$.
Duke vendosur $\alfa _(1)^(\majtas(2\djathtas)) =1$, marrim $\alfa _(2)^(\left(2\djathtas)) =1$.
Ne marrim zgjidhjen e SODE në formë matrice:
\[\majtas(\fillimi(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\djathtas)=\left(\fillim(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\djathtas)\cdot \left(\fillim(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\djathtas).\]
Në formën e zakonshme, zgjidhja për SODE ka formën: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(array )\right.$.
Ekuacioni diferencial në formë simbolike
Ekuacioni diferencial në formë klasike
Ekuacioni diferencial homogjen
Ekuacioni karakteristik
Polinom karakteristik
Funksioni i transmetimit
Rrënjët e ekuacionit karakteristik:
Zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni diferencial
Meqenëse rrënjët janë komplekse dhe të bashkuara në çift, natyra e procesit të tranzicionit është jo monotonike (osciluese).
Rrënjët e ekuacionit karakteristik janë në gjysmërrafshin e majtë. Sistemi është i qëndrueshëm.
Funksioni i transferimit të frekuencës, ose fitimi kompleks W(j), mund të futet në dy mënyra:
1. Duke gjetur përgjigjen ndaj një sinjali sinusoidal (harmonik).
2. Përdorimi i transformimit Furier.
Le të fillojmë me metodën e parë dhe të gjejmë përgjigjen e sistemit (2.2.1) ndaj një sinjali harmonik, të cilin do ta paraqesim në formë eksponenciale.
ku Xm dhe janë amplituda dhe frekuenca rrethore.
Që në sistemi linear Nëse nuk ka shtrembërime jolineare, atëherë në gjendje të qëndrueshme dalja do të ketë gjithashtu një sinjal harmonik të së njëjtës frekuencë, në rastin e përgjithshëm me një amplitudë dhe fazë të ndryshme, d.m.th.
Për të përcaktuar amplitudën dhe fazën, ne zëvendësojmë shprehjet e sinjaleve (2.4.11), (2.4.12) dhe derivateve të tyre në ekuacionin diferencial dhe pas reduktimit me ejt 0 dhe transformimet elementare marrim identitetin
Këto marrëdhënie mund të konsiderohen si një përkufizim i funksionit të transferimit të frekuencës. Ato përmbajnë kuptimi fizik funksioni i transferimit të frekuencës dhe prej tyre ndjek një metodë për përcaktimin eksperimental të tij duke matur amplitudat e sinjaleve harmonike në hyrje dhe dalje dhe zhvendosjen fazore ndërmjet tyre për të njëjtën frekuencë.
Në rastin e metodës së dytë të përcaktimit të funksionit të transferimit të frekuencës, krahasoni (2.4.13) dhe (2.2.15). Nga krahasimi del se frekuenca Funksioni i transmetimitështë një rast i veçantë i funksionit të transferimit të Laplasit për p = j, d.m.th.
Meqenëse funksioni i transferimit Laplace është i zbatueshëm për sinjalet e formës arbitrare (çdo), funksioni i transferimit të frekuencës është gjithashtu i zbatueshëm për të gjetur përgjigjen ndaj një sinjali formë të lirë, dhe jo domosdoshmërisht harmonike. Nga (2.4.5) për imazhin Furier të reaksionit kemi
Vetë reaksioni, pra origjinali, gjendet sipas formulës së përmbysjes
Kështu, nga përkufizimi i dytë i funksionit të transferimit të frekuencës, vijon metoda e frekuencës (metoda e transformimit Fourier) për gjetjen e reaksionit:
1. Për një sinjal hyrës të dhënë, gjeni imazhin duke përdorur Fourier
2. Gjeni imazhin Furier të reaksionit duke përdorur (2.4.16)
Y(j) = X(j)W(j). (2.4.20)
3. Sipas formulës së përmbysjes ( konvertimi i anasjelltë Fourier) gjejmë reagimin
Natyra e transformimit të sinjalit të hyrjes nga një lidhje ose sistem përcaktohet nga funksioni i transferimit të frekuencës ose karakteristikat përkatëse të frekuencës. Llojet e karakteristikave të frekuencës janë të lidhura ngushtë me format e regjistrimit numra komplekse, pasi për funksionin e transferimit të frekuencës është një numër kompleks.
Karakteristikat kryesore të frekuencës (Fig. 2.4.3-2.4.6).
1. Karakteristika amplitudë-fazë (APC) - varësia e W(j) nga plan kompleks kur ndryshon nga - në + (Fig. 2.4.3). Meqenëse Wх() = Wх(-) - madje funksion, dhe Wу() = Wу(-) - funksion tek, pastaj AFC për< 0 симметрична относительно вещественной оси характеристике для >0 dhe zakonisht nuk përshkruhet.
2. Karakteristikat reale të frekuencës Wх() dhe Wу() imagjinare (Fig. 2.4.4) - varësia e pjesëve reale dhe imagjinare nga frekuenca. Duke pasur parasysh barazinë e karakteristikës reale dhe çuditshmërinë e asaj imagjinare, për ta< 0 обычно не изображают. Четность Wх() и нечетность Wу() вытекают из правила (2.4.22) их выделения из W(j), так как в знаменателе четная функция, а в числителе j в четной степени - numër real(shkon në Wx ()), dhe në raste - imagjinare (shkon në Wy ()).
3. Karakteristikat e frekuencës së amplitudës (AFC) dhe fazës (PFC) - varësia e A() dhe () nga frekuenca (Fig. 2.4.5). Për shkak të njëtrajtësisë së A() dhe rastësisë së (), ata për< 0 обычно не изображают. Амплитудная частотная характеристика определяет инерционность (пропускную способность) звена или системы. Фазовая частотная характеристика определяет величину фазового сдвига на соответствующей круговой частоте.
4. Përgjigja e anasjelltë e frekuencës W-1(j) = 1/ W(j). Përcaktimi i amplitudës dhe argumentit (fazës) për thyesën sipas rregullit (2.4.6), gjejmë
Nga lidhja midis formave të shkrimit të numrave kompleks del se nga AFC mund të ndërtohet Wх(), Wу() ose А(), (), si dhe W-1(j) dhe anasjelltas. Figura 2.4.6 tregon karakteristikën e anasjelltë për karakteristikën në figurën 2.4.3. Figura tregon një rreth me rreze njësi. Në përputhje me rregullin (2.4.22), pikat që korrespondojnë me A() > 1 shtrihen brenda një rrethi me rreze njësi. Pika A() = 1 mbetet në rreth, por faza ndryshon në të kundërtën (nga 180).
Megjithatë, merren parasysh lidhjet për të cilat nuk plotësohet kushti i fizibilitetit fizik. Kjo është e vlefshme në një gamë të caktuar frekuence. Nëse spektri i sinjalit në hyrjen e lidhjes bie jashtë këtij diapazoni, atëherë do të ndodhin shtrembërime në përgjigje që nuk parashikohen nga funksioni i transferimit të lidhjes.
5. Karakteristikat logaritmike të frekuencës.
Më të përdorurat janë karakteristikat logaritmike. Për t'i shpjeguar ato, le të paraqesim funksionin e transferimit të frekuencës në formë eksponenciale dhe të marrim logaritmi natyror nga:
Është e barabartë shprehje komplekse; pjesa reale e tij është logaritmi i modulit dhe pjesa imagjinare është faza.
Në praktikë merret logaritmi dhjetor, kështu që karakteristikat e amplitudës logaritmike (LAH) dhe fazës (LPH) përcaktohen nga shprehjet:
Boshti i abshisave në grafikë tregon frekuencën në shkallë logaritmike, d.m.th. lg. Megjithatë, këshillohet që të bëhet digjitalizimi direkt në vlerat e frekuencës rrethore, dhe për shënim mund të përdorni tabelën 2.4.1. Vlerat
Tabela 2.4.1
Amplituda matet në decibel, faza - në gradë. Për të shënuar boshtin x drejtpërdrejt në vlera (rad/s), mund të përdorni cilëndo nga tre shkallët (bazë, kuadratik dhe kub) rregulli i rrëshqitjes(Fig.2.4.7).
Nëse marrim D mm si një dekadë, atëherë, për shembull, 0.301 deca (që korrespondon me = 2 rad/s) do të jetë 0.301D mm, 1.301 deca (që korrespondon me 20 rad/s) do të jetë D+0.301D mm, etj. . Kështu, pikat me dixhitalizim në intervalin nga 1 në 10 zhvendosen djathtas me një dekadë dhe digjitalizohen nga 10 në 100, etj. (Fig. 2.4.7), zhvendoseni majtas nga pozicioni origjinal me një dekadë dhe dixhitalizoni nga 0.1 në 1, etj.
Nëse 2/1 = 10, atëherë distanca ndërmjet frekuencave është e barabartë me një dekadë (log10 = 1), nëse 2/1 = 2, atëherë distanca është e barabartë me një oktavë.
Meqenëse log(= 0) = -, atëherë pika = 0 është në pafundësi në të majtë. Prandaj, boshti i ordinatave vizatohet kudo në mënyrë që diapazoni i frekuencës së interesit të bjerë në grafik. Meqenëse 20lg1 = 0, atëherë L() > 0 nëse A()>1 dhe L()< 0, если А() < 1. Если А() 0, то L() -.
Le të shqyrtojmë LAC të lidhjes inerciale. Ne kemi
A() = ; . (2.4.24)
Në të majtë të frekuencës bashkuese 0, d.m.th. në rastin e 0 neglizhojmë shenjën e radikalit me madhësi 2 në krahasim me 02. Pastaj
L() 20 lg (k). (2.4.25)
Rrjedhimisht, në të majtë të 0, LAX asimptotike është një vijë e drejtë horizontale në një lartësi prej 20lg(k). Nëse k = 1, atëherë kjo vijë e drejtë përkon me boshtin e frekuencës.
Në të djathtë të frekuencës së konjuguar 0, ku 0, marrim në mënyrë të ngjashme një vijë të drejtë me një pjerrësi prej -20 dB/dec, meqë log është paraqitur përgjatë boshtit të abshisës.
L() 20 lg (k) - 20 lg, (2.4.26)
Në pikën 0 kemi një gabim në zëvendësimin e karakteristikës ekzakte (reale) me një asimptotike, e barabartë me
Lacc(0)=Lacc(0)+L(0),
Se karakteristikë reale në pikën 0 ndodhet nën atë asimptotike me 3 dB. Në praktikë, një gabim prej 3 dB konsiderohet i vogël dhe nuk merret parasysh.
Karakteristikat logaritmike të lidhjeve
Tabela 2.4.6
Nga tabela 2.4.6 vijon:
1. Pjerrësia dhe, në përputhje me rrethanat, zhvendosja e fazës në frekuenca të ulëta mund të sigurohet vetëm duke integruar ose diferencuar lidhjet. Nëse, për shembull, ka r lidhje integruese në funksionin e transferimit, atëherë pjerrësia e LAC në frekuenca të ulëta është e barabartë, dhe zhvendosja e fazës është përkatësisht e barabartë.
2. n rrënjët e emëruesit (polet e funksionit të transferimit), d.m.th. shkalla e emëruesit n, korrespondon me pjerrësinë e LAC në frekuenca të larta, e barabartë me, dhe në rastin e një sistemi fazor minimal - në përputhje me rrethanat, një zhvendosje fazore prej frekuencave të larta ah, e barabartë.
3. Rrënjët e numëruesit (zerotë e funksionit të transferimit) në frekuenca të larta korrespondojnë në mënyrë të ngjashme me pjerrësinë e LAC, të barabartë me, dhe zhvendosjen e fazës.
4. Në rastin e një funksioni transferues
sistemi i fazës minimale me n pole dhe n1 zero, pjerrësia e LAC në frekuenca të larta është e barabartë, dhe zhvendosja e fazës është e barabartë me gradë.
Ndërtimi i karakteristikave logaritmike të sistemeve
dhe rivendosja e funksionit të transferimit sipas LAX
Nëse lidhjet e sistemit janë të lidhura në seri, atëherë
dhe për modulin dhe argumentin e fitimit kompleks të sistemit me qark të hapur, përkatësisht, kemi:
Natyrisht,
Rrjedhimisht, për të ndërtuar LAC dhe LFC, është e nevojshme të përmblidhen karakteristikat përkatëse të lidhjeve individuale.
Shembulli 2.4.3. Ndërtoni LAC dhe LFC duke përdorur funksionin e transferimit
Ku; Me; Me. Prandaj, frekuencat e bashkimit janë të barabarta; ;.
Le të paraqesim funksionin e transferimit si produkt i funksioneve të transferimit të lidhjes integruese
lidhje inerciale
dhe duke detyruar
Amplituda logaritmike dhe karakteristikat e fazës lidhjet individuale, si dhe sistemet rezultuese LAC dhe LFC janë paraqitur në Fig. 2.4.13 dhe 2.4.14.
Në figurën 2.4.13, vijat e trasha tregojnë LAC asimptotike të lidhjeve. Karakteristikat e dy lidhjeve inerciale me funksionet e transferimit dhe në grafikë bashkohen, por ato duhet të merren parasysh dy herë. Kjo vlen edhe për menaxhimin fizik të këtyre njësive. Për të ndërtuar LAC-në që rezulton, karakteristikat e lidhjeve të mbetura u shtuan në mënyrë sekuenciale në LAC të lidhjes integruese kur lëviznin përgjatë boshtit të frekuencës nga e majta në të djathtë ndërsa frekuencat e konjuguara takoheshin. Pas frekuencës tjetër të bashkimit, pjerrësia e LAC ndryshoi në. Rritja e pjerrësisë korrespondonte me lidhjen së cilës i përkiste frekuenca e çiftëzimit.
Duke analizuar rezultatet e shembullit dhe karakteristikat e lidhjeve tipike (Tabela 2.4.6), mund të konkludojmë se LAC i një sistemi me lak të hapur mund të ndërtohet menjëherë, duke anashkaluar ndërtimin e ndërmjetëm të LAC të lidhjeve dhe mbledhjen e tyre, sipas sipas rregullit:
1. Gjeni frekuencat e konjuguara dhe vizatoni ato në boshtin e frekuencës. Për lehtësi, vizatoni boshtin y në të majtë të frekuencës më të ulët të konjuguar.
2. Në u = 1, lini mënjanë 20 logk dhe përmes kësaj pike vizatoni një vijë të drejtë me një pjerrësi prej -20 dB/dec, nëse sistemi ka lidhje integruese, ose me një pjerrësi prej +20 dB/dec, nëse sistemi ka lidhje diferencuese (në = 0 me frekuencë të ulët asimptota LAX është paralele me boshtin x).
3. Kur kalon nga e majta në të djathtë të secilës prej frekuencave të bashkimit, karakteristika pëson një rritje të pjerrësisë prej -20 dB/dec (për lidhjen inerciale), -40 dB/dec (për lidhjen osciluese), +20 dB/ dec (për lidhjen sforcuese), +40 dB /dec (për lidhjen përballë asaj osciluese). Nëse frekuencat e bashkimit të disa lidhjeve janë të njëjta, atëherë rritja në pjerrësinë e LAC është e barabartë me rritjen totale nga të gjitha lidhjet. Nëse ka të paktën një frekuencë konjugimi më pak se uniteti, atëherë pika 20lgk në u = 1 nuk do të shtrihet në LAC që rezulton.
4. Prezantoni një korrigjim në LAC asimptotike në prani të lidhjeve osciluese ose të anasjellta.
Për të kontrolluar korrektësinë e ndërtimit të LAC dhe LFC, është e dobishme të mbani mend se pjerrësia e LAC në rajonin e frekuencës së lartë (n > ?) është e barabartë me 20 (m-n) dB/dec, ku m është rendi i numëruesit, n është rendi i emëruesit të funksionit të transferimit të sistemit. Përveç kësaj
ku shenja minus merret në prani të lidhjeve integruese, dhe shenja plus merret në prani të lidhjeve diferencuese. Nga analiza e metodologjisë së ndërtimit të LAC nga funksioni i transferimit, rrjedh mundësia e një tranzicioni të kundërt, d.m.th., rivendosja e funksionit të transferimit të sistemit me fazë minimale nga LAC.
Kur rivendosim funksionin e transferimit të një sistemi me fazë minimale sipas LAC, ne shkruajmë një fraksion, në numëruesin e të cilit vendosim koeficienti i përgjithshëm duke forcuar dhe më pas bëjmë mbushjen e thyesës. Bazuar në pjerrësinë e seksionit me frekuencë të ulët, ne përcaktojmë numrin e lidhjeve integruese ose diferencuese (formalisht, një pjerrësi negative korrespondon me lidhjet integruese dhe, në përputhje me rrethanat, një shumëzues në emërues, një pjerrësi pozitive korrespondon me një shumëzues në numërues , dhe faktori i pjerrësisë është 20 decibel). Në rastin e pjerrësisë zero, nuk ka lidhje integruese ose diferencuese. Më pas, kur lëvizim nga e majta në të djathtë, ndërsa frekuencat e konjugimit takohen, analizojmë rritjen (ndryshimin) e pjerrësisë. Nëse rritja është +20 dB/dec, atëherë shkruajmë në numërues për lidhjen sforcuese të tipit, nëse rritja është -20 dB/dec, atëherë shkruajmë në emërues për lidhjen inerciale të tipit. Në rastin e rritjes së pjerrësisë prej +40 dB/dec, shkruajmë dy lidhje sforcuese në numërues në rastin e rritjes së pjerrësisë prej -20 dB/dec, shkruajmë dy lidhje inerciale të formës në emërues; Nëse LAX tregon një korrigjim për koeficientin e amortizimit, atëherë në vend të dy lidhjeve shtrënguese ose inerciale shkruajmë inversin e lidhjes oshiluese ose oshiluese (një shumëzues në numërues ose emërues). Nëse raporti i animit është 3 ose më shumë, atëherë shkruajmë numrin përkatës të lidhjeve me të njëjtat frekuenca konjugimi. Për të përcaktuar fitimin, gjejmë pikën e kryqëzimit të vazhdimit të seksionit me frekuencë të ulët të LAC me drejtëzën vertikale me abshisën dhe e përcaktojmë duke përdorur ordinatën e kësaj pike.
Në rastin e një sistemi me fazë minimale në binomet dhe trinomet e përmendura më sipër, marrim shenjat "+". Nëse do të kishte lidhje jo-fazore minimale, atëherë do të ishte e nevojshme të merret shenja "-". Në këtë rast, LAH do të mbetej i njëjtë, dhe LPH do të ishte i ndryshëm. Prandaj, në rastin e një sistemi me fazë minimale, rikuperimi është i paqartë dhe nuk ka nevojë të kontrollohet FSHF.
Shembulli 2.4.4. Rivendosja e funksionit të transferimit të sistemit me fazë minimale sipas LAC Fig. 2.4.15.
Fig.2.4.15.
Në përputhje me konsideratat e mësipërme, funksioni i transferimit të sistemit të fazës minimale do të jetë i barabartë me
Duke përdorur qarkun RLC të detyrës 1, shkruani funksionin e transferimit të frekuencës dhe shprehjet analitike karakteristikat e frekuencës.
5. Ndërtoni karakteristikën amplitudë-fazë (APC).
6. Ndërtoni karakteristikat e amplitudës dhe të frekuencës së fazës.
7. Ndërtoni karakteristika reale dhe imagjinare të frekuencës.
8. Ndërtoni karakteristika logaritmike (LAH dhe LFC). Përcaktoni se cilit lloj lidhjesh korrigjuese i përket kjo lidhje (integruese, diferencuese, integro-diferencuese). Çfarë frekuencash është ky filtër?
9. Duke përdorur AFC, ndërtoni përgjigjen e anasjelltë të frekuencës.
Funksioni i transferimit të frekuencës në formë parametrike
Përgjigja e frekuencës së amplitudës
Përgjigja e frekuencës së fazës
Përgjigja reale e frekuencës
