Funksioni korrelativ i matricës së proceseve të rastësishme. Funksionet e korrelacionit të proceseve të rastësishme

Subjekti analiza e korrelacionitështë studimi i varësive probabiliste ndërmjet variablave të rastësishëm.

Sasitë janë të pavarura nëse ligji i shpërndarjes së secilës prej tyre nuk varet nga vlera e marrë nga tjetra. Vlera të tilla mund të konsiderohen, për shembull, kufiri i qëndrueshmërisë së materialit të pjesës dhe koeficienti teorik i përqendrimit të stresit në seksionin e rrezikshëm të pjesës.

Sasitë janë të lidhura me varësi probabilistike ose stokastike nëse vlera e njohur Një sasi nuk korrespondon me një vlerë specifike, por me një ligj tjetër të shpërndarjes. Varësitë probabiliste ndodhin kur sasitë varen jo vetëm nga faktorët e tyre të përbashkët, por edhe nga faktorë të ndryshëm të rastit.

Informacion i plotë rreth lidhjes probabilistike të dy ndryshoreve të rastësishme përfaqësohet nga dendësia e shpërndarjes së përbashkët f(x,y) ose dendësitë e shpërndarjes së kushtëzuar f(x/y), f(y/x), d.m.th., dendësia e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme X dhe Y kur specifikoni vlera specifike në Dhe X përkatësisht.

Dendësia e nyjeve Dhe dendësitë e kushtëzuara shpërndarjet lidhen me relacionet e mëposhtme:

Karakteristikat kryesore të varësive probabiliste janë momenti i korrelacionit dhe koeficienti i korrelacionit.

Momenti i korrelacionit janë dy ndryshore të rastësishme X dhe Y pritje matematikore produkti i ndryshoreve të rastit të përqendruar:

për diskrete

për të vazhdueshme

ku m x dhe m y– pritjet matematikore të vlerave X dhe Y; р ij- probabiliteti vlerat individuale x i Dhe y i.

Momenti i korrelacionit karakterizon njëkohësisht lidhjen midis variablave të rastësishëm dhe shpërndarjes së tyre. Në dimensionin e tij korrespondon me dispersionin për të pavarurin ndryshore e rastësishme. Për të nxjerrë në pah karakteristikat e marrëdhënies midis ndryshoreve të rastit, ne vazhdojmë me koeficientin e korrelacionit, i cili karakterizon shkallën e afërsisë së marrëdhënies dhe mund të ndryshojë brenda intervalit -1 ≤ ρ ≤ 1.

;

ku S x dhe S y– devijimet standarde të ndryshoreve të rastit.

vlerat ρ = 1 dhe ρ = –1 tregojnë varësinë funksionale, vlerën ρ = 0 tregon se variablat e rastësishëm janë të pakorreluara

Merrni parasysh korrelacionin si midis sasive ashtu edhe midis ngjarjeve, si dhe korrelacion i shumëfishtë, që karakterizon marrëdhënien midis shumë sasive dhe ngjarjeve.

Me një analizë më të detajuar të marrëdhënies probabilistike, përcaktohen pritshmëritë matematikore të kushtëzuara të ndryshoreve të rastit. m y/x Dhe m x/v, dmth pritjet matematikore të variablave të rastësishëm Y dhe X për të dhëna vlera specifike X Dhe në përkatësisht.

Varësia e pritshmërisë matematikore të kushtëzuar t u/x nga X quhet regresion i Y nga X. Varësia t x/y nga në korrespondon me regresionin e X në Y.

Për normale sasive të shpërndara Y dhe ekuacioni i regresionit X është:

për regresionin e Y në X

për regresionin e X në Y

Fusha më e rëndësishme e aplikimit të analizës së korrelacionit për problemet e besueshmërisë është përpunimi dhe përgjithësimi i rezultateve të vëzhgimeve operacionale. Rezultatet e vëzhgimit të ndryshoreve të rastësishme Y dhe X të përfaqësuar nga vlera të çiftëzuara y i, x i i-vëzhgimi, ku i=1, 2 . . . p; n– numri i vëzhgimeve.

Vlerësimi r koeficienti i korrelacionit ρ përcaktuar nga formula

Ku , – vlerësimet e pritjeve matematikore t x Dhe se përkatësisht, pra mesatarja e n vëzhgimet e vlerave

s x, s y- vlerësimet e mesatares devijimet katrore S x Dhe S y në përputhje me rrethanat:

Duke përcaktuar vlerësimin e pritshmërive matematikore të kushtëzuara t y/x, t x / y përkatësisht përmes dhe , ekuacionet empirike të regresionit U Nga X Dhe X Nga Y shkruar në formën e mëposhtme:

Si rregull, vetëm një nga regresionet ka vlerë praktike.

Me një koeficient korrelacioni r=1 ekuacionet e regresionit janë identike.

Pyetja nr. 63 Vlerësimi i parametrave statistikorë duke përdorur intervalet e besueshmërisë

Nëse vlera e parametrit të testuar vlerësohet me një numër, atëherë quhet vlerë pikë. Por në shumicën e problemeve ju duhet të gjeni jo vetëm më të besueshmet vlerë numerike, por edhe për të vlerësuar shkallën e besueshmërisë.

Ju duhet të dini se çfarë gabimi është shkaktuar nga zëvendësimi i një parametri të vërtetë A e tij vlerësim pikë; me çfarë shkalle besimi mund të pritet që këto gabime të mos kalojnë kufijtë e njohur të paracaktuar.

Për këtë qëllim në statistika matematikore Ata përdorin të ashtuquajturat intervale besimi dhe probabilitete besimi.

Nëse për parametrin A vlerësim i paanshëm i marrë nga përvoja , dhe detyra është vendosur për të vlerësuar gabimin e mundshëm, atëherë është e nevojshme të caktohen disa të mjaftueshme probabilitet të lartëβ (për shembull β = 0,9; 0,95; 0,99, etj.), e tillë që një ngjarje me probabilitet β mund të konsiderohet praktikisht e sigurt.

Në këtë rast, mund të gjendet një vlerë e ε për të cilën P(| - a| < ε) = β.

Oriz. 3.1.1 Diagrami i intervalit të besimit.

Në këtë rast diapazoni është pothuajse gabimet e mundshme që lindin gjatë zëvendësimit A nuk do të kalojë ± ε. I madh nga vlerë absolute gabimet do të shfaqen vetëm me një probabilitet të ulët α = 1 – β. Një ngjarje që është e kundërt dhe e panjohur me probabilitet β do të bjerë brenda intervalit I β= ( - ε; + ε). Probabiliteti β mund të interpretohet si probabiliteti që një interval i rastësishëm I β do të mbulojë pikën A(Fig. 3.1.1).

Probabiliteti β zakonisht quhet probabiliteti i besimit dhe intervali I β zakonisht quhet një interval besimi. Në Fig. 3.1.1 merr në konsideratë një interval simetrik besimi. NË rast i përgjithshëm kjo kërkesë nuk është e detyrueshme.

Intervali i besimit vlerat e parametrave a mund të konsiderohet si një interval vlerash a, në përputhje me të dhënat eksperimentale dhe jo në kundërshtim me to.

Zgjedhja probabiliteti i besimitβ afër një, ne duam të kemi besim se një ngjarje me një probabilitet të tillë do të ndodhë kur të plotësohet një grup i caktuar kushtesh.

Kjo është e barabartë me faktin se ngjarja e kundërt nuk do të ndodhë, që ne e neglizhojmë probabilitetin e ngjarjes, e barabartë me α = 1 – β. Le të theksojmë se qëllimi i kufirit dhe probabilitetet e papërfillshme nuk janë problem matematike. Qëllimi i një kufiri të tillë është jashtë teorisë së probabilitetit dhe përcaktohet në secilën fushë nga shkalla e përgjegjësisë dhe natyra e problemeve që zgjidhen.

Por themelimi është gjithashtu stok i madh forca çon në një rritje të pajustifikuar dhe të madhe të kostove të ndërtimit.

65 Pyetja nr. 65 Procesi i rastësishëm i palëvizshëm.

Funksioni i rastësishëm i palëvizshëm - funksioni i rastësishëm, të gjitha karakteristikat probabilistike e cila nuk varet nga argumenti. Funksionet e rastësishme të palëvizshme përshkruajnë proceset e palëvizshme të funksionimit të makinës, funksionet jo-stacionare - proceset jo stacionare, në veçanti kalimtare: fillimi, ndalimi, ndryshimi i modalitetit. Argumenti është koha.

Kushtet e stacionaritetit për funksione të rastësishme:

1. qëndrueshmëria e pritshmërisë matematikore;

2. qëndrueshmëria e dispersionit;

3. Funksioni i korrelacionit duhet të varet vetëm nga ndryshimi midis argumenteve, por jo nga vlerat e tyre.

Si shembuj të palëvizshme procese të rastësishme mund të jepen: dridhjet e avionit në fluturim horizontal në gjendje të qëndrueshme; zhurma e rastësishme në radio, etj.

Çdo proces i palëvizshëm mund të konsiderohet si i vazhdueshëm në kohë për një kohë të pacaktuar, çdo pikë në kohë mund të zgjidhet si pikënisje; Gjatë studimit të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm gjatë çdo periudhe kohore, duhet të merren të njëjtat karakteristika.

Funksioni i korrelacionit të proceseve të rastësishme stacionare është një funksion i barabartë.

Efektive për proceset e rastësishme stacionare analiza spektrale, d.m.th. konsideratë në formën e spektrave harmonikë ose serive Furier. Për më tepër, futet funksioni i densitetit spektral funksion i rastësishëm, duke karakterizuar shpërndarjen e dispersioneve mbi frekuencat e spektrit.

Dispersioni:

Funksioni i korrelacionit:

K x (τ) =

Dendësia spektrale:

Sx() =

Proceset stacionare mund të jenë ergodike dhe jo-ergodike. Ergodic - nëse vlera mesatare e një funksioni të rastësishëm të palëvizshëm për një periudhë mjaft të gjatë është afërsisht e barabartë me vlerën mesatare për zbatime individuale. Për ta, karakteristikat përcaktohen si mesatare kohore.

Pyetja nr. 66 Treguesit e besueshmërisë së objekteve teknike: të vetme, komplekse, të llogaritura, eksperimentale, operacionale, të ekstrapoluara.

Treguesi i besueshmërisë është një karakteristikë sasiore e një ose më shumë vetive që përbëjnë besueshmërinë e një objekti.

Një tregues i vetëm i besueshmërisë është një tregues besueshmërie që karakterizon një nga vetitë që përbën besueshmërinë e një objekti.

Një tregues kompleks i besueshmërisë është një tregues besueshmërie që karakterizon disa veti që përbëjnë besueshmërinë e një objekti.

Treguesi i llogaritur i besueshmërisë është një tregues i besueshmërisë, vlerat e të cilit përcaktohen nga metoda e llogaritjes.

Treguesi eksperimental besueshmëria – tregues i besueshmërisë, pikë ose vlerësimi i intervalit e cila përcaktohet sipas të dhënave të provës.

Treguesi i besueshmërisë operacionale - një tregues besueshmërie, vlerësimi i pikës ose intervalit të të cilit përcaktohet në bazë të të dhënave operacionale.

Treguesi i besueshmërisë së ekstrapoluar - një tregues besueshmërie, vlerësimi i pikës ose intervalit të të cilit përcaktohet në bazë të rezultateve të llogaritjeve, testeve dhe (ose) të dhënave operacionale duke u ekstrapoluar në një kohëzgjatje tjetër të funksionimit dhe kushte të tjera operimi.

Pyetja nr.68 Treguesit e qëndrueshmërisë së objekteve teknike dhe makinave.

Burimi i përqindjes gama është koha totale e funksionimit gjatë së cilës objekti nuk do të arrijë gjendjen kufi me probabilitetin g, të shprehur në përqindje.

Burimi mesatar– pritshmëria matematikore e burimit.

Jeta e shërbimit në përqindje gama është kohëzgjatja kalendarike e funksionimit gjatë së cilës objekti nuk do të arrijë gjendjen kufizuese me probabilitetin g, të shprehur në përqindje

Jeta mesatare e shërbimit është pritshmëria matematikore e jetës së shërbimit.

Shënim. Kur përdorni treguesit e qëndrueshmërisë, duhet të tregohet pika e fillimit dhe lloji i veprimit pas fillimit të gjendjes kufitare (për shembull, jetëgjatësia e përqindjes gama nga riparimi i dytë i madh deri në fshirjen). Treguesit e qëndrueshmërisë, të llogaritur nga vënia në punë e objektit deri në tërheqja përfundimtare nga funksionimi quhen burim i plotë me përqindje gama (jeta e shërbimit), burimi mesatar i plotë (jeta e shërbimit)

71 71 Detyrat dhe metodat për parashikimin e besueshmërisë së makinës

Ekzistojnë tre faza të parashikimit: retrospeksioni, diagnoza dhe prognoza. Në fazën e parë, përcaktohet dinamika e ndryshimeve në parametrat e makinës në të kaluarën, në fazën e dytë ato përcaktohen gjendje teknike elementet në të tashmen në fazën e tretë parashikohen ndryshime në parametrat e gjendjes së elementeve në të ardhmen.

Detyrat kryesore të parashikimit të besueshmërisë së makinave mund të formulohen si më poshtë:

a) Parashikimi i modeleve të ndryshimeve në besueshmërinë e automjeteve në lidhje me perspektivat për zhvillimin e prodhimit, futjen e materialeve të reja dhe rritjen e forcës së pjesëve.

b) Vlerësimi i besueshmërisë së mjeteve të projektuara përpara se ato të prodhohen. Kjo detyrë lind në fazën e projektimit.

c) Parashikimi i besueshmërisë së një automjeti specifik (ose përbërësit ose montimit të tij) bazuar në rezultatet e ndryshimeve në parametrat e tij.

d) Parashikimi i besueshmërisë së një grupi të caktuar makinash bazuar në rezultatet e një studimi të një numri të kufizuar prototipash. Këto lloj problemesh duhet të përballen në fazën e prodhimit.

e) Parashikimi i besueshmërisë së automjeteve në kushte të pazakonta funksionimi (për shembull, temperatura dhe lagështia mjedisi më të larta se sa lejohet, kushte të vështira rrugore, e kështu me radhë).

Metodat për parashikimin e besueshmërisë së automjetit zgjidhen duke marrë parasysh detyrat e parashikimit, sasinë dhe cilësinë e informacionit fillestar dhe natyrën e procesit real të ndryshimit të treguesit të besueshmërisë (parametri i parashikuar).

Metodat moderne parashikimi mund të ndahet në tre grupe kryesore: a) metodat e vlerësimit të ekspertëve, b) metodat e modelimit, përfshirë ato fizike; fizike dhe matematikore dhe modelet e informacionit; c) metodat statistikore.

Metodat e parashikimit të bazuara në vlerësimet e ekspertëve, konsistojnë në përgjithësimin, përpunimin statistikor dhe analizimin e opinioneve të specialistëve në lidhje me perspektivat e zhvillimit të kësaj fushe.

Metodat e modelimit bazohen në parimet bazë të teorisë së ngjashmërisë. Bazuar në ngjashmërinë e treguesve të modifikimit A, niveli i besueshmërisë së të cilit është studiuar më parë, dhe disa veçori të modifikimit B të së njëjtës makinë ose përbërësit të tij, treguesit e besueshmërisë së B parashikohen për një periudhë të caktuar kohe.

Metodat e parashikimit statistikor bazohen në ekstrapolimin dhe interpolimin e parametrave të besueshmërisë së parashikuar të marrë si rezultat studimet paraprake. Metoda bazohet në modelet e ndryshimeve në parametrat e besueshmërisë së automjetit me kalimin e kohës

Pyetja nr 74 Metodat matematikore parashikimi. Ndërtimi modele matematikore besueshmëria.

Kur parashikohet besueshmëria e transmetimit, është e mundur të përdoren modelet e mëposhtme: 1) lidhja "më e dobët"; 2) burimet e varura të elementeve të pjesëve; 3) burime të pavarura elementet e pjesëve. Burimi i elementit i-të përcaktohet nga marrëdhënia:

x i = R i /r i,

ku R i - vlera sasiore kriteri i elementit të i-të në të cilin ndodh dështimi i tij;

r i - vlera mesatare rritjet kuantifikimi kriteri i elementit të i-të për njësi burimi.

Vlerat e R i dhe r i mund të jenë të rastësishme me ligje të caktuara të shpërndarjes ose konstante.

Për opsionin kur R i janë konstante, dhe r i janë variabël dhe kanë një lidhje funksionale me të njëjtën ndryshore të rastësishme, merrni parasysh situatën kur vërehet një lidhje funksionale lineare midis vlerave të r i, e cila çon në lidhjen "më të dobët". model. Në këtë rast, besueshmëria e sistemit korrespondon me besueshmërinë e lidhjes "më të dobët".

Modeli i burimeve të varura zbatohet nën ngarkim sipas skemës, kur ka një përhapje të kushteve të funksionimit për makineritë e prodhuara në masë ose pasiguri në kushtet e funksionimit të makinerive unike. Modeli i burimeve të pavarura ndodh kur ngarkohet sipas një skeme me kushte specifike operimi.

Një shprehje për llogaritjen e besueshmërisë së një sistemi me elementë burimesh të pavarura.

Pyetja nr. 79 Ngarkimi skematik i sistemit, pjesëve dhe elementeve (duke përdorur shembullin e një transmetimi).

Me transmetim nënkuptojmë lëvizjen e makinës në tërësi ose një pjesë të veçantë, mjaft komplekse të saj, e cila për një arsye ose një tjetër duhet të izolohet. Ngarkesa në transmision përcaktohet nga komponentët e fuqisë dhe shpejtësisë. Komponenti i forcës karakterizohet nga çift rrotullues, dhe komponenti i shpejtësisë karakterizohet nga shpejtësia këndore rrotullimi, i cili përcakton numrin e cikleve të ngarkimit të pjesëve të transmetimit ose shpejtësinë e rrëshqitjes së sipërfaqeve të kontaktit.

Në varësi të llojit të pjesës, skematizimi i çift rrotullues për të marrë ngarkesën e pjesës mund të jetë i ndryshëm. Për shembull, përcaktohet ngarkesa në ingranazhe dhe kushineta vlera aktuale momente, dhe boshte për rrotullim - nga madhësia e amplitudës së saj.

Bazuar në kushtet e funksionimit, ngarkesa e transmetimit mund të paraqitet në formën e diagrameve të mëposhtme.

1. Çdo modalitet korrespondon me një kurbë shpërndarjeje njëdimensionale.

2. Për çdo modalitet kemi n kurba të shpërndarjes njëdimensionale (n është numri i kushteve të funksionimit të makinës). Probabiliteti i funksionimit në secilën prej kushteve është specifik.

3. Për çdo mënyrë kemi një shpërndarja e dyfishtë vlerat aktuale dhe mesatare të çift rrotullues.

Skema 1 mund të përdoret për makineritë e prodhuara në masë në të njëjtat kushte funksionimi ose për një makinë unike në kushte specifike funksionimi.

Skema 2 nuk është cilësisht e ndryshme nga Skema 1, megjithatë, në disa raste, për llogaritjen këshillohet që çdo kusht funksionimi të korrespondojë me një kurbë ngarkese.

Skema 3 mund të karakterizojë ngarkesën në transmetimin e një makine unike, kushtet specifike të funksionimit të së cilës janë të panjohura, por diapazoni i kushteve.

82 Pyetja nr 82 Qasje sistematike për të parashikuar jetën e pjesëve

Makina duhet konsideruar si sistem kompleks, i formuar nga pikëpamja e besueshmërisë së njësive, pjesëve dhe elementeve të lidhura në mënyrë sekuenciale.

Burimi i artikullit:

T i = R i /r i ,

ku R i është vlera sasiore e kriterit të gjendjes kufitare të elementit i-të në të cilin ndodh dështimi i tij;

g i - rritja mesatare e vlerësimit sasior të kriterit

gjendja kufitare e elementit të i-të për njësi burimi.

R i dhe r i mund të jenë të rastësishëm ose konstante dhe janë të mundshme

opsionet e mëposhtme:

1. R i - i rastësishëm, r i - i rastësishëm;

2. R i - rastësor, r i - konstante;

3. R ​​i - konstante, r i - e rastësishme;

4. R i - konstante, r i - konstante.

Për tre opsionet e para, ne e konsiderojmë R i si variabla të rastësishme të pavarura.

1.a) r i - i pavarur

Besueshmëria e sistemit konsiderohet të jetë shumëzimi i FBG

b) r i - i rastësishëm dhe i lidhur sipas probabilitetit

f (r i / r j) = f (r i, r j)/ f (r j);

f (r j / r i) = f (r i, r j)/ f (r i).

Nëse r i dhe r j varen nga njëri-tjetri, atëherë edhe burimet do të varen nga njëri-tjetri

shoku dhe modeli i varësisë nga burimi i elementit përdoret për llogaritjen. Sepse marrëdhënia është probabiliste, atëherë përdoret metoda e funksioneve të kushtëzuara.

c) r i - të rastësishme dhe të lidhura funksionalisht.

NË në këtë rast sasitë e lira varen nga njëra-tjetra, dhe burimet gjithashtu varen nga njëra-tjetra. Vetëm për shkak të varësisë funksionale lidhja do të jetë më e fortë se në rastet e tjera.

2. modeli i burimeve të elementeve të pavarur.

FBR e sistemit është e barabartë me shumën e FBR të të gjithë elementëve.

3. Të njëjtat raste si në 1 janë të mundshme, vetëm në rastet b) dhe c) do të ketë një rritje të burimeve të varura për shkak të qëndrueshmërisë së R i. Në rastin c) r i është një lidhje funksionale,

një situatë është e mundur kur aplikohet modeli i lidhjes "më të dobët".

R 1 , R 2 - konstante;

r 1 , r 2 - të rastësishme;

r 1 = 1,5 ∙ r 2 ;

R1 = T∙ r1;

R2 = T∙ r2;

Nëse, për dy vlera të tjera specifike të r 1, r 2,

i njëjti raport i burimeve T 1 > T 2, atëherë elementi 2 do të jetë "më i dobëti"

lidhje, d.m.th. ai përcakton besueshmërinë e këtij sistemi.

Zbatimi i modelit të lidhjes më të dobët:

Nëse ekziston një element në sistem, kriteri i të cilit R është dukshëm më i vogël se ky kriter për të gjithë elementët e tjerë, dhe të gjithë elementët janë të ngarkuar afërsisht në mënyrë të barabartë;

Nëse kriteri R për të gjithë elementët është afërsisht i njëjtë, dhe ngarkimi i një elementi është dukshëm më i lartë se të gjithë elementët e tjerë.

Pyetja nr. 83 Përcaktimi i jetëgjatësisë së pjesëve (boshteve, ingranazheve ose kushinetave të njësive të transmetimit) bazuar në kushtet e ngarkesës eksperimentale.

Përcaktimi i jetëgjatësisë së kushinetave rrotulluese.

Për të përcaktuar qëndrueshmërinë e kushinetave rrotulluese të njësive të transmetimit dhe shasisë, është e nevojshme të kryhen disa lloje llogaritjesh: për forcën statike, për lodhjen e kontaktit, për konsumin.

Modeli i dështimit:

ku f(R) është dendësia e shpërndarjes së burimeve;

, – funksioni i densitetit dhe i shpërndarjes së burimeve për llojin e i-të të procesit shkatërrues;

n – numri i llojeve të llogaritjes.

Më e përhapura mori një llogaritje të kushinetave rrotulluese për lodhjen e kontaktit:

R = a p C d mρ No 50 [β -1 ,

ku C d – kapaciteti dinamik i ngarkesës;

Nr 50 - numri i cikleve të lakores së lodhjes që korrespondon me një probabilitet prej 50% të mosshkatërrimit të kushinetës nën ngarkesën C d;

m ρ – eksponent (top = 3, rul = 3,33);

Frekuenca e ngarkimit të kushinetave kur lëviz me marshin kth;

Dendësia e shpërndarjes së ngarkesës së reduktuar kur ngasni me marshin k-të në kushtet e funksionimit të i-të.

Karakteristikat kryesore të llogaritjes.

1. Meqenëse për kurbën e lodhjes së kushinetave, në vend të kufirit të qëndrueshmërisë, futet C d (që korrespondon me probabilitetin e mosshkatërrimit prej 90% në 10 6 cikle), është e nevojshme të kalohet në lakoren e lodhjes që korrespondon me 50% të mosshkatërrimit. Duke marrë parasysh që dendësia e shpërndarjes nën ngarkesë në kushinetën C d i bindet ligjit Weibull, atëherë No 50 = 4,7 ∙ 10 6 cikle.

2. Integrimi në formulë kryhet nga zero, dhe parametrat e kurbës së lodhjes - m ρ, No 50 dhe C d - nuk janë rregulluar. Prandaj, nën kushtin = konst, rirregullimi i operacioneve të përmbledhjes dhe integrimit nuk ndikon në vlerën e R. Për rrjedhojë, llogaritjet për modalitetin e përgjithësuar të ngarkesës dhe për mënyrat individuale të ngarkesës janë identike. Nëse vlerat ndryshojnë ndjeshëm, atëherë burimi mesatar R ik llogaritet veçmas për çdo transmetim:

R ik = a p C d mρ No [β -1 ,

formula mund të shkruhet:

R = [ -1 ,

P = (K Fr ∙ K v ∙ F r + K Fa ∙ F a) ∙ K b ∙ K T ∙ K m;

ku F r, F a – ngarkesa radiale dhe boshtore;

K v – koeficienti i rrotullimit;

K b – koeficienti i rrotullimit;

K T – koeficienti i temperaturës;

K m – koeficienti material;

K Fr , K Fa – koeficienti i ngarkesave radiale dhe aksiale.

4. Marrëdhënia midis çift rrotullues në boshtin M dhe ngarkesës së reduktuar në kushinetë:

Р = K P M = (K Fr ∙ K v ∙ K R + K Fa ∙ K A) ∙ K b ∙ K T ∙ K m ∙ M;

ku K R është faktori i konvertimit;

K R, K A - koeficientët e konvertimit të çift rrotullues në ngarkesa totale radiale dhe boshtore në kushinetë.

Frekuenca e ngarkimit të kushinetës korrespondon me frekuencën e rrotullimit të saj.

1000 U Σα (2πr ω)

ku U Σα është raporti total i marsheve të transmetimit nga boshti në rrotat lëvizëse të mjetit kur marshi kth është i kyçur.

5. Llogaritja e densitetit të shpërndarjes së burimit mbajtës dhe parametrave të tij kryhet duke përdorur metodën e modelimit statik.

Pyetja nr. 12 Konsumi material specifik i makinave.

Gjatë përcaktimit të konsumit material të një automjeti, përdoret pesha e shasisë së frenuar. Përshtatshmëria e përdorimit të peshës së shasisë gjatë vlerësimit të konsumit material të një automjeti shpjegohet me zhvillimin e gjerë të prodhimit të automjeteve të specializuara me trup. lloje të ndryshme ose shtesa të tjera masa të ndryshme instaluar në shasinë e të njëjtit mjet bazë. Kjo është arsyeja pse broshurat dhe katalogët e markave për kamionët e huaj, si rregull, japin peshën e shasisë së bordit, jo të automjetit. Në të njëjtën kohë, shumë kompani të huaja nuk përfshijnë peshën e pajisjeve dhe pajisjeve shtesë në peshën e shasisë së pajisur, dhe shkalla e mbushjes së karburantit tregohet ndryshe në standarde të ndryshme.

Për vlerësim objektiv konsumi material i makinave të modeleve të ndryshme, ato duhet të sillen në një konfigurim të vetëm. Në këtë rast, kapaciteti i ngarkesës së shasisë përcaktohet si diferenca midis peshës totale strukturore të automjetit dhe peshës së shasisë së frenuar.

Treguesi kryesor i konsumit material të një makine është graviteti specifik shasi:

m rrah = (m sn.shas – m z.sn)/[(m k.a – m sn.shas)P];

ku m shasia tokësore është masa e shasisë së pajisur,

m з.сн – masa e karburantit dhe pajisjeve,

m к.а – masa totale strukturore e mjetit,

P – burim i krijuar përpara riparimeve të mëdha.

Për një mjet tërheqës merret parasysh peshë bruto trenat rrugor:

m rrah = (m sn.shas – m z.sn)/[(m k.a – m sn.shas)KR];

ku K është koeficienti i korrigjimit të treguesve për mjetet traktor-rimorkio të destinuara për operim si pjesë e një treni rrugor

K = m a / m k.a;

ku m a është pesha totale e trenit rrugor.

Informacione të lidhura.

Pritshmëria dhe varianca janë karakteristika të rëndësishme proces i rastësishëm, por ato nuk japin një ide të mjaftueshme se çfarë karakteri do të kenë realizimet individuale të procesit të rastësishëm. Kjo mund të shihet nga Fig. 9.3, i cili tregon zbatimin e dy proceseve të rastësishme, krejtësisht të ndryshme në strukturën e tyre, megjithëse kanë

të njëjtat vlera pritja dhe varianca matematikore. Vijat e ndërprera në Fig. Figura 9.3 tregon vlerat për proceset e rastësishme.

Procesi i treguar në Fig. 9.3, a, nga një seksion në tjetrin vazhdon relativisht pa probleme, dhe procesi në Fig. 9.3, b ka ndryshueshmëri të fortë nga seksioni në seksion Prandaj, lidhja statistikore midis seksioneve në rastin e parë është më e madhe se në rastin e dytë, por kjo nuk mund të përcaktohet as nga pritshmëria matematikore dhe as nga dispersioni.

Për të karakterizuar deri diku strukturën e brendshme proces i rastësishëm, d.m.th. merr parasysh marrëdhënien midis vlerave të procesit të rastësishëm në momente të ndryshme koha ose, me fjalë të tjera, për të marrë parasysh shkallën e ndryshueshmërisë së procesit të rastësishëm, është e nevojshme të futet koncepti i funksionit të korrelacionit (autokorrelacionit) të procesit të rastësishëm.

Funksioni korrelativ i një procesi të rastësishëm quhet një funksion jo i rastësishëm i dy argumenteve i cili, për çdo çift vlerash të zgjedhura arbitrarisht të argumenteve (çaste kohore), është i barabartë me pritshmërinë matematikore të produktit të dy ndryshoreve të rastësishme të seksioneve përkatëse të rastit. procesi:

ku është dendësia dydimensionale e probabilitetit; - proces i rastësishëm i përqendruar; - pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e një procesi të rastësishëm.

Procese të ndryshme të rastësishme në varësi të mënyrës se si ndryshojnë karakteristikat statistikore me kalimin e kohës, të ndarë në të palëvizshme dhe jo të palëvizshme. Ndani stacionaritetin në në kuptimin e ngushtë dhe stacionariteti në në një kuptim të gjerë.

Stacionare në kuptimin e ngushtë quhet një proces i rastësishëm nëse funksionet e tij të shpërndarjes n-dimensionale dhe densiteti i probabilitetit për çdo kohë nuk varen nga zhvendosja e të gjitha pikave

Përgjatë boshtit kohor me të njëjtën sasi, d.m.th.

Kjo do të thotë që të dy proceset kanë të njëjtat veti statistikore për cilindo, domethënë karakteristikat statistikore të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm janë konstante me kalimin e kohës.

Një proces i rastësishëm i palëvizshëm është një lloj analog i një procesi të qëndrueshëm në sistemet përcaktuese. Çdo proces tranzicioni nuk është i palëvizshëm.

Stacionare në një kuptim të gjerëështë një proces i rastësishëm, pritshmëria matematikore e të cilit është konstante:

dhe funksioni i korrelacionit varet vetëm nga një variabël - dallimet në argumente në këtë rast funksioni i korrelacionit shënohet me

Proceset që janë të palëvizshme në kuptimin e ngushtë janë domosdoshmërisht stacionare në kuptimin e gjerë; megjithatë, deklarata e kundërt është, në përgjithësi, e rreme.

Koncepti i një procesi të rastësishëm, i palëvizshëm në kuptimin e gjerë, prezantohet kur vetëm pritshmëria matematikore dhe funksioni i korrelacionit përdoren si karakteristika statistikore të një procesi të rastësishëm. Pjesa e teorisë së proceseve të rastësishme që përshkruan vetitë e një procesi të rastësishëm përmes pritshmërisë së tij matematikore dhe funksionit të korrelacionit quhet teoria e korrelacionit.

Për një proces të rastësishëm me ligj normal shpërndarja, pritshmëria matematikore dhe funksioni i korrelacionit përcaktojnë plotësisht densitetin e probabilitetit të tij n-dimensionale.

Prandaj, për proceset normale të rastësishme konceptet e stacionaritetit në kuptimin e gjerë dhe të ngushtë përkojnë.

Teoria e proceseve stacionare është zhvilluar plotësisht dhe lejon llogaritje relativisht të thjeshta për shumë raste praktike. Prandaj, ndonjëherë këshillohet të bëhet supozimi i stacionaritetit edhe për ato raste kur procesi i rastësishëm, megjithëse jo i palëvizshëm, gjatë periudhës së konsideruar të funksionimit të sistemit, karakteristikat statistikore të sinjaleve nuk kanë kohë të ndryshojnë ndjeshëm. Në vijim, përveç rasteve kur thuhet ndryshe, proceset e rastësishme që janë të palëvizshme në kuptimin e gjerë do të merren parasysh.

Kur studiojmë procese të rastësishme që janë të palëvizshme në kuptimin e gjerë, ne mund të kufizohemi në marrjen në konsideratë vetëm të proceseve me një pritje matematikore (vlerë mesatare) të barabartë me zero, d.m.th., pasi një proces i rastësishëm me një pritje matematikore jo zero përfaqësohet si shumë të një procesi me një pritje matematikore zero dhe një vlerë konstante jo të rastësishme (të rregullt) të barabartë me pritshmërinë matematikore të këtij procesi (shih më poshtë § 9.6).

Kur shprehja për funksionin e korrelacionit

Në teorinë e proceseve të rastësishme, përdoren dy koncepte të vlerave mesatare. Koncepti i parë i vlerës mesatare është vlera mesatare mbi një grup (ose pritshmëri matematikore), e cila përcaktohet në bazë të vëzhgimit të grupit të realizimeve të një procesi të rastësishëm në të njëjtën pikë kohore. Vlera mesatare mbi një grup zakonisht shënohet me një vijë të valëzuar mbi shprehjen që përshkruan funksionin e rastësishëm:

Në përgjithësi, vlera mesatare mbi një grup është një funksion i kohës

Një koncept tjetër i vlerës mesatare është vlera mesatare me kalimin e kohës, e cila përcaktohet në bazë të vëzhgimit të një zbatimi të veçantë të një procesi të rastësishëm gjatë një periudhe kohore.

një kohë mjaft e gjatë T. Vlera mesatare me kalimin e kohës tregohet me një vijë të drejtë mbi shprehjen përkatëse të funksionit të rastit dhe përcaktohet nga formula:

nëse ky kufi ekziston.

Mesatarja kohore është përgjithësisht e ndryshme për realizimet individuale të grupit që përcaktojnë procesin e rastësishëm. Në përgjithësi, për të njëjtin proces të rastësishëm, vlerat e vendosura mesatare dhe mesatare kohore janë të ndryshme. Megjithatë, ekziston një klasë e proceseve të rastësishme stacionare, të quajtura ergodike, për të cilat mesatarja mbi grupin është e barabartë me mesataren me kalimin e kohës, d.m.th.

Funksioni i korrelacionit të një procesi të rastësishëm stacionar ergodik zvogëlohet pafundësisht në vlerë absolute si

Megjithatë, duhet të kihet parasysh se jo çdo proces i rastësishëm i palëvizshëm është ergodik, për shembull, një proces i rastësishëm, çdo zbatim i të cilit është konstant në kohë (Fig. 9.4) është i palëvizshëm, por jo ergodik. Në këtë rast, vlerat mesatare të përcaktuara nga një zbatim dhe nga përpunimi i zbatimeve të shumta nuk përkojnë. Në rastin e përgjithshëm, i njëjti proces i rastësishëm mund të jetë ergodik në lidhje me disa karakteristika statistikore dhe jo-ergodik në lidhje me të tjerat. Në vijim, do të supozojmë se kushtet e ergodicitetit janë të kënaqura në lidhje me të gjitha karakteristikat statistikore.

Prona ergodicitetit ka një shumë të madhe rëndësi praktike. Për të përcaktuar vetitë statistikore Disa objekte, nëse është e vështirë të kryhet vëzhgimi i njëkohshëm i tyre në një moment të zgjedhur në mënyrë arbitrare (për shembull, nëse ka një prototip), ai mund të zëvendësohet nga vëzhgimi afatgjatë i një objekti. Me fjalë të tjera, një zbatim i veçantë i rastit ergodik

procesi për një periudhë të pafund kohore përcakton plotësisht të gjithë procesin e rastësishëm me implementimet e tij të pafundme. Në fakt, ky fakt qëndron në themel të metodës së përshkruar më poshtë përcaktim eksperimental funksioni i korrelacionit të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm sipas një zbatimi.

Siç mund të shihet nga (9.25), funksioni i korrelacionit është vlera mesatare mbi grupin. Për proceset e rastësishme ergodike, funksioni i korrelacionit mund të përkufizohet si mesatarja kohore e produktit, d.m.th.

ku është ndonjë zbatim i një procesi të rastësishëm; x është vlera mesatare me kalimin e kohës, e përcaktuar nga (9.28).

Nëse vlera mesatare e një procesi të rastësishëm është zero, atëherë

Bazuar në vetinë e ergodicitetit, mund të shpërndahet [shih. (9.19)] përkufizohet si mesatarja kohore e katrorit të procesit të rastësishëm të përqendruar, d.m.th.

Krahasimi i shprehjeve (9.30) dhe (9.32) mund të vërtetojë shumë lidhje e rëndësishme ndërmjet dispersionit dhe funksionit të korrelacionit - dispersioni i një procesi të rastësishëm të palëvizshëm është i barabartë me vlera fillestare funksioni i korrelacionit:

Nga (9.33) është e qartë se shpërndarja e një procesi të rastësishëm të palëvizshëm është konstante, dhe për këtë arsye devijimi standard është konstant:

Vetitë statistikore të lidhjes ndërmjet dy proceseve të rastësishme mund të karakterizohen nga një funksion korrelacioni i ndërsjellë i cili, për çdo çift vlerash argumentesh të zgjedhura në mënyrë arbitrare, është i barabartë me

Për proceset e rastësishme ergodike, në vend të (9.35) mund të shkruajmë

ku janë respektivisht ndonjë realizim i proceseve të rastësishme stacionare.

Funksioni i ndërlidhjes karakterizon marrëdhënien e ndërsjellë statistikore të dy proceseve të rastësishme në momente të ndryshme kohore, të ndara nga njëri-tjetri me një periudhë kohe. Vlera e karakterizon këtë marrëdhënie në të njëjtën kohë.

Nga (9.36) rrjedh se

Nëse proceset e rastësishme nuk janë të lidhura statistikisht me njëra-tjetrën dhe kanë e barabartë me zero vlerat mesatare, atëherë funksioni i tyre i ndërlidhjes për të gjithë është i barabartë me zero. Megjithatë dalje e kundërt se nëse funksioni i ndërlidhjes është i barabartë me zero, atëherë proceset janë të pavarura, mund të bëhen vetëm në në disa raste(në veçanti, për proceset me një ligj të shpërndarjes normale), forca e përgjithshme ligj i anasjelltë nuk ka.

Vini re se funksionet e korrelacionit mund të llogariten edhe për funksione kohore jo të rastësishme (të rregullta). Megjithatë, kur ata flasin për funksionin e korrelacionit të një funksioni të rregullt, kjo kuptohet thjesht si rezultat i një funksioni formal

duke aplikuar në një funksion të rregullt një operacion të shprehur nga një integral:

Le të paraqesim disa veti themelore të funksioneve të korrelacionit

1. Vlera fillestare e funksionit të korrelacionit [shih (9.33)] është e barabartë me variancën e procesit të rastësishëm:

2. Vlera e funksionit të korrelacionit në çdo kohë nuk mund ta kalojë vlerën fillestare, d.m.th.

Për ta vërtetuar këtë, merrni parasysh pabarazinë e dukshme nga e cila rrjedh

Ne gjejmë vlerat mesatare me kalimin e kohës nga të dyja anët e pabarazisë së fundit:

Kështu, marrim pabarazinë

3. Funksioni i korrelacionit është funksion çift, d.m.th.

Kjo rrjedh nga vetë përkufizimi i funksionit të korrelacionit. Vërtet,

prandaj, në grafik, funksioni i korrelacionit është gjithmonë simetrik me ordinatën.

4. Funksioni korrelativ i shumës së proceseve të rastësishme përcaktohet nga shprehja

ku janë funksionet e ndërlidhjes

Vërtet,

5. Funksioni i korrelacionit vlerë konstante e barabartë me katrorin e kësaj vlere konstante (Fig. 9.5, a), që rrjedh nga vetë përkufizimi i funksionit të korrelacionit:

6. Funksioni i korrelacionit të një funksioni periodik, për shembull, është një valë kosinus (Fig. 9-5, 5), d.m.th.

që kanë të njëjtën frekuencë si dhe të pavarur nga zhvendosja fazore

Për ta vërtetuar këtë, vini re se kur gjeni funksionet e korrelacionit funksionet periodike mund të përdorni barazinë e mëposhtme:

ku është periudha e funksionit

Barazia e fundit fitohet pas zëvendësimit të integralit me kufijtë nga -T në T në T me shumën e integraleve individuale me kufij nga deri në , ku dhe duke përdorur periodicitetin e integrantëve.

Më pas, duke marrë parasysh sa më sipër, marrim t.

7. Funksioni i korrelacionit të një funksioni kohor të zgjeruar në një seri Furier:

Oriz. 9.5 (shih skanimin)

bazuar në sa më sipër, ka formën e mëposhtme:

8. Një funksion tipik korrelacioni i një procesi të rastësishëm stacionar ka formën e treguar në Fig. 9.6. Mund të përafrohet me shprehjen analitike të mëposhtme:

Me rritjen, lidhja midis tyre dobësohet dhe funksioni i korrelacionit bëhet më i vogël. Në Fig. 9.5, b, c tregojnë, për shembull, dy funksione korrelacioni dhe dy realizime përkatëse të një procesi të rastësishëm. Është e lehtë të shihet se funksioni i korrelacionit i korrespondon një procesi të rastësishëm me më shumë strukturë e imët, zvogëlohet më shpejt Me fjalë të tjera, aq më shumë frekuencave të larta janë të pranishme në një proces të rastësishëm, aq më shpejt zvogëlohet funksioni përkatës i korrelacionit.

Ndonjëherë ka funksione korrelacioni që mund të përafrohen nga shprehja analitike

ku është shpërndarja; - parametri i dobësimit; - frekuenca rezonante.

Funksionet e korrelacionit Për shembull, proceset e rastësishme si turbulenca atmosferike, zbehja e sinjalit të radarit, dridhja këndore e synuar, etj., kanë një formë të ngjashme.

9. Funksioni i korrelacionit të një procesi të rastësishëm stacionar, mbi të cilin mbivendoset një komponent periodik me frekuencë, do të përmbajë gjithashtu një komponent periodik të së njëjtës frekuencë.

Kjo rrethanë mund të përdoret si një nga mënyrat për të zbuluar "periodicitetin e fshehur" në proceset e rastësishme, të cilat mund të mos zbulohen në shikim të parë në të dhënat individuale të zbatimit të një procesi të rastësishëm.

Në Fig. 9.7, ku tregohet funksioni i korrelacionit që korrespondon me komponentin e rastësishëm. Për të identifikuar komponentin periodik të fshehur (ky problem lind, për shembull, kur identifikohet një sinjal i vogël i dobishëm në sfondin e zhurmës së madhe), është më mirë të përcaktohet funksioni i korrelacionit për vlera të mëdha Kur sinjal i rastësishëm tashmë është i lidhur relativisht dobët dhe komponenti i rastësishëm ka pak efekt në formën e funksionit të korrelacionit.

Për të karakterizuar deri diku strukturën e brendshme të një procesi të rastësishëm, d.m.th. për të marrë parasysh marrëdhëniet midis vlerave të një procesi të rastësishëm në momente të ndryshme kohore ose, me fjalë të tjera, për të marrë parasysh shkallën e ndryshueshmërisë së një procesi të rastësishëm, futni konceptin e funksionit të korrelacionit (autokorrelacionit) të një proces i rastësishëm.

Funksioni i korrelacionit (ose autokorrelacionit) i një procesi të rastësishëm është një funksion jo i rastësishëm i dy argumenteve, i cili për secilën palë vlerash të zgjedhura në mënyrë arbitrare të argumenteve (pikave kohore) është i barabartë me pritshmërinë matematikore të produktit të dy të rastit. variablat seksionet përkatëse të procesit të rastësishëm:

Funksioni i korrelacionit për komponentin e rastësishëm të përqendruar quhet i përqendruar dhe përcaktohet nga relacioni

(1.58)

Funksioni shpesh quhet kovariancë, dhe – autokorrelacioni .

Procese të ndryshme të rastësishme, në varësi të asaj se si ndryshojnë karakteristikat e tyre statistikore me kalimin e kohës, ndahen në stacionare Dhe jo të palëvizshme. Bëhet dallimi midis stacionaritetit në kuptimin e ngushtë dhe stacionaritetit në kuptimin e gjerë.

Stacionare në kuptimin e ngushtë quhet një proces i rastësishëm, nëse funksionet e tij -dimensionale të shpërndarjes dhe dendësia e probabilitetit për ndonjë nuk varen nga pozicioni i referencës së kohës. Kjo do të thotë që dy procese kanë të njëjtat veti statistikore për secilin, d.m.th., karakteristikat statistikore të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm janë konstante me kalimin e kohës. Një proces i rastësishëm i palëvizshëm është një lloj analog i një procesi të qëndrueshëm në sistemet dinamike.

Stacionare në një kuptim të gjerë quhet një proces i rastësishëm, pritshmëria matematikore e të cilit është konstante:

dhe funksioni i korrelacionit varet vetëm nga një variabël - ndryshimi midis argumenteve:

Koncepti i një procesi të rastësishëm, i palëvizshëm në kuptimin e gjerë, prezantohet kur vetëm pritshmëria matematikore dhe funksioni i korrelacionit përdoren si karakteristika statistikore të një procesi të rastësishëm. Pjesa e teorisë së proceseve të rastësishme që përshkruan vetitë e një procesi të rastësishëm përmes pritshmërisë së tij matematikore dhe funksionit të korrelacionit quhet teoria e korrelacionit.

Për një proces të rastësishëm me një ligj të shpërndarjes normale, pritshmëria matematikore dhe funksioni i korrelacionit e përcaktojnë plotësisht atë n-dendësia e probabilitetit dimensionale. Kjo është arsyeja pse Për proceset normale të rastësishme, konceptet e stacionaritetit në kuptimin e gjerë dhe të ngushtë përkojnë.

Teoria e proceseve stacionare është zhvilluar plotësisht dhe lejon llogaritje relativisht të thjeshta për shumë raste praktike. Prandaj, ndonjëherë këshillohet të bëhet supozimi i stacionaritetit edhe për ato raste kur procesi i rastësishëm, megjithëse jo i palëvizshëm, por gjatë periudhës së konsideruar të funksionimit të sistemit, karakteristikat statistikore të sinjaleve nuk kanë kohë të ndryshojnë në ndonjë mënyrë domethënëse.

Në teorinë e proceseve të rastësishme, përdoren dy koncepte të vlerave mesatare. Koncepti i parë i mesatares është vendosni mesataren (ose pritshmëri matematikore), e cila përcaktohet bazuar në vëzhgimin e zbatimeve të shumta të një procesi të rastësishëm në të njëjtën pikë kohore. Zakonisht shënohet vlera mesatare mbi grupin me onde linjë mbi një shprehje që përshkruan një funksion të rastësishëm:

Në përgjithësi, mesatarja e vendosur është një funksion i kohës.

Një koncept tjetër i mesatares është mesatare me kalimin e kohës , e cila përcaktohet në bazë të vëzhgimit të një zbatimi të veçantë të një procesi të rastësishëm për një kohë mjaft të gjatë. Mesatarja kohore shënohet me e drejtpërdrejtë linjë mbi shprehjen përkatëse të funksionit të rastit dhe përcaktohet nga formula

, (1.62)

nëse ekziston ky kufi.

Mesatarja kohore është përgjithësisht e ndryshme për realizimet individuale të grupit që përcaktojnë procesin e rastësishëm.

Në përgjithësi, për të njëjtin proces të rastësishëm, mesatarja e vendosur dhe ajo kohore janë të ndryshme, por për të ashtuquajturat. proceset e rastit stacionare ergodike vlera mesatare mbi grupin përkon me vlerën mesatare me kalimin e kohës:

Në përputhje me teoremën ergodike për një proces të rastësishëm të palëvizshëm, funksioni i korrelacionit mund të përkufizohet si mesatarja kohore e një zbatimi

(1.64)

Ku - çdo zbatim i një procesi të rastësishëm.

Funksioni i korrelacionit të përqendruar i një procesi të rastësishëm stacionar ergodik

Nga shprehja (1.65), mund të vërehet se varianca e një procesi të rastësishëm të palëvizshëm është e barabartë me vlerën fillestare të funksionit të korrelacionit të përqendruar:

06 Ligjërata.doc

1. Koncepti i funksionit të korrelacionit të një procesi të rastësishëm.

2. Stacionariteti në kuptimin e ngushtë dhe të gjerë..

3. Vlera mesatare për grupin.

4. Vlera mesatare me kalimin e kohës.

5. Proceset e rastësishme ergodike.
Pritshmëria dhe shpërndarja matematikore janë karakteristika të rëndësishme të një procesi të rastësishëm, por ato nuk japin një ide të mjaftueshme për natyrën e zbatimeve individuale të një procesi të rastësishëm. Kjo shihet qartë nga Fig. 6.1, i cili tregon zbatimin e dy proceseve të rastësishme, krejtësisht të ndryshme në strukturë, megjithëse kanë të njëjtat vlera të pritjes dhe shpërndarjes matematikore. Vijat e ndërprera në Fig. 6.1. vlerat e treguara 3  x (t) për procese të rastësishme.
Procesi i treguar në Fig. 6.1, A, nga një seksion në tjetrin vazhdon relativisht pa probleme, dhe procesi në Fig. 6.1, b ka ndryshueshmëri të fortë nga seksioni në seksion. Prandaj, lidhja statistikore midis prerjeve tërthore në rastin e parë është më e madhe se në të dytën, por kjo nuk mund të vërtetohet as nga pritshmëria matematikore dhe as nga dispersioni.

Për të karakterizuar deri diku strukturën e brendshme të një procesi të rastësishëm, d.m.th., për të marrë parasysh marrëdhënien midis vlerave të një procesi të rastësishëm në momente të ndryshme kohore ose, me fjalë të tjera, për të marrë parasysh shkallën e ndryshueshmëria e një procesi të rastësishëm, është e nevojshme të prezantohet koncepti i funksionit të korrelacionit (autokorrelacionit) të një procesi të ri.

^ Funksioni korrelativ i një procesi të rastësishëm X(t)thirrni një funksion jo të rastësishëm të dy argumenteveR x (t 1 , t 2), e cila për çdo palë argumentesh të zgjedhura arbitrarisht vlerat (pikat kohore) t 1 Dhet 2 e barabartë me pritshmërinë matematikore të prodhimit të dy ndryshoreve të rastitX(t 1 ) DheX(t 2 ) seksionet përkatëse të procesit të rastësishëm:

Ku  2 (x 1 , t 1 ; x 2 , t 2) - densiteti i probabilitetit dy-dimensional.

Ata shpesh përdorin një shprehje të ndryshme për funksionin e korrelacionit, i cili nuk është shkruar për vetë procesin e rastësishëm. X(t), dhe për komponentin e rastësishëm të përqendruar X(t). Funksioni i korrelacionit në këtë rast quhet i përqendruar dhe përcaktohet nga relacioni

(6.2)

Procese të ndryshme të rastësishme, në varësi të mënyrës se si ndryshojnë karakteristikat e tyre statistikore me kalimin e kohës, ndahen në stacionare Dhe jo të palëvizshme. Ekziston një dallim midis stacionaritetit në kuptimin e ngushtë dhe stacionaritetit në kuptimin e gjerë.

^ Stacionare në kuptimin e ngushtë quhet një proces i rastësishëm X(t), nëse ajo n-funksionet e shpërndarjes dimensionale dhe dendësia e probabilitetit për cilindo n nuk varen nga pozicioni i fillimit të numërimit të kohës t, d.m.th.

Kjo do të thotë se dy procese, X(t) Dhe X(t+ ), kanë të njëjtat veti statistikore për cilindo  , pra karakteristikat statistikore të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm janë konstante me kalimin e kohës. Një proces i rastësishëm i palëvizshëm është një lloj analog i një procesi të gjendjes së qëndrueshme në sistemet deterministe.

^ Stacionare në një kuptim të gjerë quhet një proces i rastësishëm X(t), pritshmëria matematikore e së cilës është konstante:

Dhe funksioni i korrelacionit varet vetëm nga një ndryshore - ndryshimi në argumente  =t 2 -t 1:

(6.5)

Koncepti i një procesi të rastësishëm, i palëvizshëm në kuptimin e gjerë. prezantohet kur vetëm pritshmëria matematikore dhe funksioni i korrelacionit përdoren si karakteristika statistikore të një procesi të rastësishëm. Pjesa e teorisë së proceseve të rastësishme që përshkruan vetitë e një procesi të rastësishëm përmes pritshmërisë së tij matematikore dhe funksionit të korrelacionit quhet teoria e korrelacionit.

Për një proces të rastësishëm me një ligj të shpërndarjes normale, pritshmëria matematikore dhe funksioni i korrelacionit e përcaktojnë plotësisht atë n-densiteti i probabilitetit dimensional. Kjo është arsyeja pse për proceset normale të rastësishme, konceptet e stacionaritetit në kuptimin e gjerë dhe të ngushtë përkojnë.

Teoria e proceseve stacionare është zhvilluar plotësisht dhe lejon llogaritje relativisht të thjeshta për shumë raste praktike. Prandaj, ndonjëherë këshillohet të bëhet supozimi i stacionaritetit edhe për ato raste kur procesi i rastësishëm, megjithëse jo i palëvizshëm, por gjatë periudhës së konsideruar të funksionimit të sistemit, karakteristikat statistikore të sinjaleve nuk kanë kohë të ndryshojnë në ndonjë mënyrë domethënëse. Në vijim, përveç rasteve kur thuhet ndryshe, proceset e rastësishme që janë të palëvizshme në kuptimin e gjerë do të merren parasysh.

Në teorinë e proceseve të rastësishme, përdoren dy koncepte të vlerave mesatare. Koncepti i parë i mesatares është vlera mesatare mbi grupin(ose pritshmëri matematikore), e cila përcaktohet në bazë të vëzhgimit të grupit të zbatimeve të një procesi të rastësishëm në të njëjtën pikë kohore. Vlera mesatare mbi një grup zakonisht shënohet me një vijë të valëzuar mbi shprehjen që përshkruan funksionin e rastësishëm:

Në përgjithësi, vlera mesatare mbi një grup është një funksion i kohës.

Një koncept tjetër i mesatares është vlera mesatare me kalimin e kohës, e cila përcaktohet në bazë të vëzhgimit të një zbatimi të veçantë të një procesi të rastësishëm x{ f) për një kohë mjaft të gjatë T. Mesatarja kohore tregohet me një vijë të drejtë mbi shprehjen përkatëse të funksionit të rastit dhe përcaktohet nga formula

(6.7)

Nëse ky kufi ekziston.

Vlera mesatare me kalimin e kohës është përgjithësisht e ndryshme për implementimet individuale të grupit që përcaktojnë procesin e rastësishëm.

Në përgjithësi, për të njëjtin proces të rastësishëm, mesatarja e vendosur dhe mesatarja kohore janë të ndryshme, megjithatë, për të ashtuquajturat procese të rastësishme stacionare ergodike, mesatarja e vendosur përkon me mesataren kohore:

(6.8)

Barazia (6.8) rrjedh nga teorema ergodike, në të cilin për disa procese të rastësishme stacionare vërtetohet se çdo karakteristikë statistikore e përftuar nga mesatarja mbi një grup, me një probabilitet sado afër unitetit, përkon me karakteristikën e mesatares në kohë. Teorema ergodike nuk është vërtetuar për të gjitha proceset stacionare, prandaj, në ato raste kur ende nuk është vërtetuar, flitet për hipoteza ergodike.

Duhet të theksohet se jo çdo proces i palëvizshëm është ergodik.

Në Fig. 6.2. tregon, për shembull, një grafik të një procesi të palëvizshëm jo-ergodik për të cilin barazia (6.8) nuk vlen. Në rastin e përgjithshëm, i njëjti proces i rastësishëm mund të jetë ergodik në lidhje me disa karakteristika statistikore dhe jo ergodik në lidhje me të tjerat. Në vijim, do të supozojmë se kushtet e ergodicitetit për pritjen matematikore dhe funksionin e korrelacionit janë të përmbushura.

Kuptimi fizik i teoremës (ose hipotezës) ergodike është i thellë dhe ka një rëndësi të madhe praktike. Për të përcaktuar vetitë statistikore të proceseve stacionare ergodike, nëse është e vështirë të kryhet vëzhgimi i njëkohshëm i shumë sistemeve të ngjashme në një moment të zgjedhur në mënyrë arbitrare në kohë, për shembull, nëse ekziston një prototip, ai mund të zëvendësohet nga vëzhgimi afatgjatë i një sistem. Në fakt, ky fakt qëndron në themel të përcaktimit eksperimental të funksionit të korrelacionit të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm bazuar në një zbatim. Përkundrazi, nëse ka një grumbull të madh produktesh të prodhuara në masë për studime të ngjashme, është e mundur të kryhet vëzhgimi i njëkohshëm i të gjitha mostrave të grupit ose një mostër mjaft përfaqësuese e tyre.

Siç mund të shihet nga (6.5), funksioni i korrelacionit është mesatarja mbi grupin. Në përputhje me teoremën ergodike për një proces të rastësishëm të palëvizshëm, funksioni i korrelacionit mund të përkufizohet si mesatarja kohore e produktit x(t) Dhe x(t+ ), d.m.th.

(6.9)

Ku x(t)- çdo zbatim i një procesi të rastësishëm.

Funksioni i korrelacionit të përqendruar i një procesi të rastësishëm stacionar ergodik

(6.10

Ndërmjet funksioneve të korrelacionit R x ( ) Dhe R 0 x ( ) ekziston lidhja e mëposhtme:

R x ( )=R x 0 ( )+(x -) 2 , (6.11)

Bazuar në vetinë e ergodicitetit, dispersioni mund të jetë D x [cm. (19)] përkufizohet si mesatarja kohore e katrorit të procesit të rastësishëm të përqendruar, d.m.th.

(6.12)

Duke krahasuar shprehjet (6.10) dhe (6.11), mund të vërehet se varianca e një procesi të rastësishëm të palëvizshëm është e barabartë me vlerën fillestare të funksionit të korrelacionit të përqendruar:

(6.13)

Duke marrë parasysh (6.12), mund të vendosim një lidhje midis funksionit të shpërndarjes dhe korrelacionit R x ( ), d.m.th.

Nga (6.14) dhe (6.15) është e qartë se shpërndarja e një procesi të rastësishëm të palëvizshëm është konstante, dhe për këtë arsye devijimi standard është konstant:

Vetitë statistikore të lidhjes ndërmjet dy proceseve të rastit X(t) Dhe G(t) mund të karakterizohet funksioni i ndërlidhjesR xg (t 1 , t 2), i cili për çdo çift vlerash argumentesh të zgjedhura në mënyrë arbitrare t 1 , t 2 është e barabartë

Sipas teoremës ergodike, në vend të (6.18) mund të shkruajmë

(6.19)

Ku x(t) Dhe g(t) - çdo zbatim i proceseve të rastësishme stacionare X(t) Dhe G(t) përkatësisht.

Funksioni i ndërlidhjes R xg (  karakterizon lidhjen e ndërsjellë statistikore të dy proceseve të rastit X(t) Dhe G(t) në pika të ndryshme kohore, të ndara nga njëra-tjetra me një periudhë kohore t Kuptimi R xg(0) e karakterizon këtë lidhje në të njëjtën pikë në kohë.

Nga (6.19) rrjedh se

(6.20)

Nëse proceset e rastësishme X(t) Dhe G(t) nuk janë statistikisht të lidhura me njëra-tjetrën dhe kanë vlera mesatare të barabarta me zero, atëherë funksioni i tyre i korrelacionit të ndërsjellë për të gjithë m është i barabartë me zero. Megjithatë, konkluzioni i kundërt, se nëse funksioni i ndërlidhjes është i barabartë me zero, atëherë proceset janë të pavarura, mund të bëhet vetëm në raste individuale (në veçanti, për proceset me ligj të shpërndarjes normale), por ligji i kundërt nuk e bën këtë. kanë forcë të përgjithshme.

Funksioni i korrelacionit në qendër R° x (  për funksionet jo të rastësishme të kohës është identikisht i barabartë me zero. Megjithatë, funksioni i korrelacionit R x (  mund të llogaritet edhe për funksione jo të rastësishme (të rregullta). Megjithatë, vini re se kur flasim për funksionin e korrelacionit të një funksioni të rregullt x(t), atëherë kjo kuptohet thjesht si rezultat i një aplikimi formal në një funksion të rregullt x(t) veprim i shprehur nga integrali (6.13).

1. Pritshmëria matematikore e një procesi jo të rastësishëm j( t) është e barabartë me vetë procesin jo të rastësishëm:

Nga shprehja (1.9) rezulton se çdo funksion jo i rastësishëm i përqendruar është i barabartë me zero, pasi

2. Nëse ndryshorja e rastit Y(t) është një kombinim linear i funksioneve X i(t):

, (1.11)

ku janë funksionet jo të rastësishme t, Kjo

. (1.12)

Lidhja e fundit rrjedh nga fakti se operacioni i përcaktimit të pritshmërisë matematikore është linear.

3. Funksioni i korrelacionit të një procesi jo të rastësishëm është identikisht i barabartë me zero. Kjo pronë vjen drejtpërdrejt nga (1.10).

4. Funksioni i korrelacionit nuk ndryshon kur funksionit të rastësishëm i shtohet ndonjë funksion jo i rastësishëm. Në të vërtetë, nëse , Kjo

Nga kjo rrjedh se funksionet e korrelacionit të proceseve të rastësishme dhe

Ato përputhen. Prandaj, kur përcaktojmë funksionet e korrelacionit, gjithmonë mund të supozojmë se procesi në shqyrtim është i përqendruar.

5. Nëse një proces i rastësishëm Y(t) është një kombinim linear i proceseve të rastësishme X i(t):

,

ku janë funksionet jo të rastësishme, atëherë

, (1.14)

ku është funksioni i duhur korrelativ i procesit X i(t), është funksioni i korrelacionit të ndërsjellë të proceseve dhe .

Vërtet:

, =

.

Nëse proceset e rastësishme janë të palidhura në çift, atëherë

. (1.15)

Duke supozuar në (1.14), marrim një shprehje për shpërndarjen e një kombinimi linear të proceseve të rastësishme:

Në rastin e veçantë të proceseve të rastësishme të pakorreluara

. (1.17)

6. Funksioni i korrelacionit është jonegativ funksion specifik:

. (1.18)

Në të vërtetë, le ta paraqesim (1.18) në formën:

.

Meqenëse integrali është kufiri i shumës integrale, shprehja e fundit mund të përfaqësohet si kufiri i shumës së pritjeve matematikore, i cili, nga ana tjetër, është i barabartë me pritjen matematikore të shumës. Prandaj, operacionet e integrimit dhe pritshmëria matematikore mund të ndërrohen. Si rezultat marrim:

7. Funksioni i korrelacionit është simetrik në lidhje me argumentet e tij. Funksioni i ndërlidhjes nuk e ka këtë veti.

Simetria e funksionit të korrelacionit rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i tij:

Në të njëjtën kohë, për funksionin e ndërlidhjes kemi:

Funksioni i korrelacionit të kryqëzuar plotëson marrëdhënien e mëposhtme:

8. Funksioni i korrelacionit dhe funksioni i korrelacionit kryq kënaqin pabarazitë e mëposhtme:

Shpesh, në vend të funksioneve të duhura dhe të ndërlidhura, ne konsiderojmë funksionet e normalizuara të korrelacionit :

, (1.23)

. (1.24)

Bazuar në (1.21) dhe (1.22), pabarazitë e mëposhtme janë të vlefshme për funksionet e korrelacionit të normalizuar:

. (1.25)

Shembull Një proces i dhënë rastësor është shuma e proceseve të rastësishme dhe jo të rastësishme: . Specifikuar , përcaktoni

Duke përdorur (1.9) dhe (1.12), do të kemi:

Sipas (1.15)

dhe së fundi, në përputhje me (1.17) .

KLASIFIKIMI I PROCESEVE TË RASTËSISHME

Proceset stacionare

Procesi i rastësishëm quhet stacionare , nëse ligji i shpërndarjes shumëdimensionale të tij varet vetëm nga pozicioni relativ momente në kohë t 1 , t 2 , . . .tn, d.m.th. nuk ndryshon kur këto momente kohore zhvendosen njëkohësisht nga të njëjtat vlera:

Nëse shprehja (2.1) është e kënaqur për ndonjë n, atëherë quhet një proces i tillë stacionare në kuptimin e ngushtë.

Në n=1 shprehja (2.1) merr formën:

Dhe kur , 2.2)

ato. ligji i shpërndarjes njëdimensionale të një procesi të palëvizshëm nuk varet nga koha. Rrjedhimisht, karakteristikat e procesit të rastësishëm, në varësi të ligjit të shpërndarjes njëdimensionale: pritja matematikore dhe shpërndarja e procesit të rastësishëm, nuk do të varen nga koha:

, . (2.3)

Në n=2 shprehja (2.1) rishkruhet si më poshtë:

Rrjedhimisht, funksioni korrelativ i procesit stacionar, i përcaktuar ligji dydimensional shpërndarja, do të varet vetëm nga intervali kohor t

Sipas përkufizimit të Khinchin, procesi është stacionare në kuptimin e gjerë , nëse kushti i stacionaritetit (2.1) është i kënaqur vetëm për n= 1 dhe 2.

Rrjedhimisht, kushtet për stacionaritetin e procesit në një kuptim të gjerë mund të formulohen si:

· Pritshmëria matematikore dhe varianca e një procesi të tillë nuk varen nga koha - dhe D X;

· funksioni i korrelacionit të procesit varet vetëm nga intervali kohor ndërmjet seksioneve - .

KXX(t) është madje funksion e argumentit tuaj:

Duhet mbajtur mend se funksioni i ndërlidhjes është funksion tek:

, (). (2.7)

Proceset normale

Procesi i rastësishëm është normale , nëse ndonjë ligj shumëdimensional është normal:

× ), (2.8)

Ku (2.9)

Eigen relativ dhe funksionet e korrelacionit të kryqëzuar, dhe dy vlera të një ndryshoreje të rastësishme Y–y 1 dhe y 2. Figura tregon se pritshmëria matematikore e zbatimit në Y=y 1 është e barabartë y 1, dhe në Y=y 2 – y 2 .

Fig.2.1. Shembull i një procesi të palëvizshëm jo-ergodik

Kështu, bazuar në një zbatim të vetëm të një procesi të palëvizshëm, por jo ergodik, nuk mund të gjykohen karakteristikat e procesit në tërësi.

proceset Markov

Nëse vetitë probabilistike të një procesi të rastësishëm përcaktohen plotësisht nga vlera e ordinatës së tij në një moment të caktuar kohor dhe nuk varen nga vlerat e ordinatës së procesit në pikat e mëparshme kohore, atëherë një proces i tillë i rastësishëm është thirrur Markovsky. Ndonjëherë procese të tilla quhen procese pa pasoja.