Ka disa klasa ekuacionesh që mund të zgjidhen duke i reduktuar në ekuacione kuadratike. Një ekuacion i tillë janë ekuacionet bikuadratike.
Ekuacionet bikuadratike
Ekuacionet bikuadratike- këto janë ekuacione të formës a*x^4 + b*x^2 + c = 0, ku a nuk është e barabartë me 0.
Ekuacionet bikuadratike zgjidhen duke përdorur zëvendësimin x^2 =t. Pas një zëvendësimi të tillë, marrim një ekuacion kuadratik për t. a*t^2+b*t+c=0. Ne zgjidhim ekuacionin që rezulton, kemi rast i përgjithshëm t1 dhe t2. Nëse në këtë fazë funksionon rrënjë negative, mund të përjashtohet nga zgjidhja, pasi morëm t=x^2, dhe katrori i çdo numri është numër pozitiv.
Duke iu rikthyer variablave origjinale, kemi x^2 =t1, x^2=t2.
x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).
Le të shohim një shembull të vogël:
9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.
Le të prezantojmë zëvendësimin t=x^2. Pastaj ekuacioni origjinal do të marrë formën e mëposhtme:
9*t^2+5*t-4=0.
Le ta zgjidhim ekuacioni kuadratik ndonje nga metodat e njohura, ne gjejme:
t1=4/9, t2=-1.
Rrënja -1 nuk është e përshtatshme, pasi ekuacioni x^2 = -1 nuk ka kuptim.
Rrënja e dytë 4/9 mbetet. Duke kaluar te ndryshoret fillestare, kemi ekuacionin e mëposhtëm:
x^2 = 4/9.
x1=-2/3, x2=2/3.
Kjo do të jetë zgjidhja e ekuacionit.
Përgjigje: x1=-2/3, x2=2/3.
Një lloj tjetër ekuacioni që mund të reduktohet në ekuacione kuadratike janë ekuacionet racionale fraksionale. Ekuacionet racionale janë ekuacione, ana e majtë dhe e djathtë e të cilave janë shprehjet racionale. Nëse në një ekuacion racional anët e majta ose të djathta janë shprehjet thyesore, atëherë një ekuacion i tillë racional quhet thyesor.
Skema për zgjidhjen e një ekuacioni racional thyesor
Skema e përgjithshme për zgjidhjen e thyesave ekuacioni racional.
1. Gjeni emëruesin e përbashkët të të gjitha thyesave që përfshihen në ekuacion.
2. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një emërues të përbashkët.
3. Zgjidheni ekuacionin e plotë që rezulton.
4. Kontrolloni rrënjët dhe përjashtoni ato që e bëjnë të zhduket emëruesi i përbashkët.
Le të shohim një shembull:
Zgjidheni ekuacionin racional thyesor: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Ne do t'i përmbahemi skema e përgjithshme. Le të gjejmë fillimisht emëruesin e përbashkët të të gjitha thyesave.
Marrim x*(x-5).
Shumëzoni çdo thyesë me një emërues të përbashkët dhe shkruani ekuacionin e plotë që rezulton.
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Le të thjeshtojmë ekuacionin që rezulton. marrim,
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Mora ekuacion i thjeshtë kuadratik i reduktuar. E zgjidhim me ndonjë nga metodat e njohura, marrim rrënjët x=-2 dhe x=5. Tani kontrollojmë zgjidhjet e marra. Zëvendësoni numrat -2 dhe 5 me emëruesin e përbashkët.
Në x=-2, emëruesi i përbashkët x*(x-5) nuk zhduket, -2*(-2-5)=14. Kjo do të thotë se numri -2 do të jetë rrënja e ekuacionit racional thyesor origjinal.
Kur x=5 bëhet emëruesi i përbashkët x*(x-5). e barabartë me zero. Prandaj, ky numër nuk është rrënja e ekuacionit racional thyesor origjinal, pasi do të ketë një pjesëtim me zero.
Përgjigje: x=-2.
Punime të përfunduara
PUNËT E GRUPIT
Shumë ka kaluar tashmë dhe tani jeni i diplomuar, nëse, sigurisht, e shkruani tezën tuaj në kohë. Por jeta është një gjë e tillë që vetëm tani të bëhet e qartë se, pasi të kesh pushuar së qeni student, do të humbasësh të gjitha gëzimet studentore, shumë prej të cilave nuk i ke provuar kurrë, duke shtyrë gjithçka dhe duke e shtyrë për më vonë. Dhe tani, në vend që të kapni hapin, po punoni në tezën tuaj? Ekziston një zgjidhje e shkëlqyer: shkarkoni tezën që ju nevojitet nga faqja jonë e internetit - dhe menjëherë do të keni shumë kohë të lirë!
Tezat janë mbrojtur me sukses në universitetet kryesore të Republikës së Kazakistanit.
Kostoja e punës nga 20,000 tenge
PUNE KURSI
Projekti i kursit është puna e parë praktike serioze. Pikërisht me shkrimin e lëndës fillon përgatitja për zhvillim. projektet e diplomës. Nëse një nxënës mëson të paraqesë saktë përmbajtjen e një teme në projekt kursi dhe ta hartojë saktë, atëherë në të ardhmen ai nuk do të ketë probleme as me shkrimin e raporteve dhe as me hartimin teza, as me zbatimin e të tjerëve detyra praktike. Për të ndihmuar studentët në shkrimin e këtij lloji të punës studentore dhe për të sqaruar pyetjet që lindin gjatë përgatitjes së saj, në fakt është krijuar ky seksion informativ.
Kostoja e punës nga 2500 tenge
DISERTATAT E MASTERIT
Aktualisht në më të lartë institucionet arsimore Në Kazakistan dhe vendet e CIS, niveli i arsimit të lartë është shumë i zakonshëm Arsimi profesional, e cila pason një diplomë bachelor - një diplomë master. Në programin master, studentët studiojnë me synimin për të marrë një diplomë master, e cila njihet në shumicën e vendeve të botës më shumë se një diplomë bachelor dhe njihet edhe nga punëdhënësit e huaj. Rezultati i studimit në programin master është mbrojtja punim masteri.
Ne do t'ju ofrojmë materiale analitike dhe tekstuale të përditësuara, çmimi përfshin 2 artikuj shkencorë dhe abstrakte.
Kostoja e punës nga 35,000 tenge
RAPORTET E PRAKTIKËS
Pas përfundimit të çdo lloji të praktikës studentore (arsimore, industriale, para diplomimit), kërkohet një raport. Ky dokument do të jetë konfirmim punë praktike studenti dhe baza për formimin e një vlerësimi për praktikë. Zakonisht, për të hartuar një raport mbi praktikën, është e nevojshme të mblidhen dhe analizohen informacione rreth ndërmarrjes, të merret parasysh struktura dhe rutina e punës së organizatës në të cilën po zhvillohet praktika dhe të përpilohet plani kalendar dhe përshkruani tuajën aktivitete praktike.
Ne do t'ju ndihmojmë të shkruani një raport mbi praktikën tuaj, duke marrë parasysh specifikat e aktiviteteve të një ndërmarrje të caktuar.
Teoria e përgjithshme e zgjidhjes së problemave duke përdorur ekuacione
Para se të kaloni në lloje specifike le të rendisim së pari problemet teori e përgjithshme për leje detyra të ndryshme duke përdorur ekuacionet. Para së gjithash, problemet në disiplina të tilla si ekonomia, gjeometria, fizika dhe shumë të tjera reduktohen në ekuacione. Procedura e përgjithshme për të zgjidhur problemet duke përdorur ekuacionet është si më poshtë:
- Të gjitha sasitë që kërkojmë nga kushtet e problemit, si dhe çdo ndihmëse, shënohen me variabla të përshtatshëm për ne. Më shpesh këto variabla janë letrat e fundit Alfabeti latin.
- Përdorimi i të dhënave në detyra vlerat numerike, si dhe marrëdhëniet verbale, përpilohen një ose më shumë ekuacione (në varësi të kushteve të problemit).
- Ata zgjidhin ekuacionin që rezulton ose sistemin e tyre dhe hedhin zgjidhje "jologjike". Për shembull, nëse keni nevojë të gjeni zonën, atëherë një numër negativ, padyshim do të jetë një rrënjë e jashtme.
- Ne marrim përgjigjen përfundimtare.
Shembull i problemit në algjebër
Këtu do të japim një shembull të një problemi që reduktohet në një ekuacion kuadratik pa u mbështetur në ndonjë zonë specifike.
Shembulli 1
Gjeni dy numra të tillë irracionalë, kur mblidhni katrorët e tyre, rezultati do të jetë pesë, dhe kur janë shtesa normale tre me njëri-tjetrin.
Le t'i shënojmë këta numra me shkronjat $x$ dhe $y$. Sipas kushteve të problemit, është mjaft e lehtë të krijohen dy ekuacione $x^2+y^2=5$ dhe $x+y=3$. Shohim që njëri prej tyre është katror. Për të gjetur një zgjidhje ju duhet të zgjidhni sistemin:
$\raste(x^2+y^2=5,\\x+y=3.)$
Së pari shprehemi nga $x$ e dyta
Zëvendësimi në të parën dhe kryerja e transformimeve elementare
$(3-v)^2 +y^2=5$
$9-6y+y^2+y^2=5$
Kaluam në zgjidhjen e ekuacionit kuadratik. Le ta bëjmë këtë duke përdorur formula. Le të gjejmë diskriminuesin:
Rrënja e parë
$y=\frac(3+\sqrt(17))(2)$
Rrënja e dytë
$y=\frac(3-\sqrt(17))(2)$
Le të gjejmë variablin e dytë.
Për rrënjën e parë:
$x=3-\frac(3+\sqrt(17))(2)=\frac(3-\sqrt(17))(2)$
Për rrënjën e dytë:
$x=3-\frac(3-\sqrt(17))(2)=\frac(3+\sqrt(17))(2)$
Meqenëse sekuenca e numrave nuk është e rëndësishme për ne, marrim një palë numrash.
Përgjigje: $\frac(3-\sqrt(17))(2)$ dhe $\frac(3+\sqrt(17))(2)$.
Shembull i një problemi në fizikë
Le të shqyrtojmë një shembull të një problemi që çon në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në fizikë.
Shembulli 2
Një helikopter që fluturon në mënyrë uniforme në mot të qetë ka një shpejtësi prej 250 $ km/h. Ai duhet të fluturojë nga baza e tij në vendin e zjarrit, i cili ndodhet 70 $ km larg dhe të kthehet prapa. Në këtë kohë, era po frynte drejt bazës, duke ngadalësuar lëvizjen e helikopterit drejt pyllit. Për shkak të kësaj, ai u kthye në bazë 1 orë më parë. Gjeni shpejtësinë e erës.
Le të shënojmë shpejtësinë e erës me $v$. Pastaj marrim se helikopteri do të fluturojë drejt pyllit me një shpejtësi reale të barabartë me 250$-v$, dhe mbrapa shpejtësia e tij reale do të jetë 250$+v$. Le të llogarisim kohën për udhëtimin atje dhe udhëtimin e kthimit.
$t_1=\frac(70)(250-v)$
$t_2=\frac(70)(250+v)$
Meqenëse helikopteri u kthye në bazë 1 $ orë më parë, ne do të kemi
$\frac(70)(250-v)-\frac(70)(250+v)=1$
Le të japim ana e majte për të emërues i përbashkët, zbatoni rregullin e proporcionit dhe bëni transformime elementare:
$\frac(17500+70v-17500+70v)((250-v)(250+v))=1$
$140v=62500-v^2$
$v^2+140v-62500=0$
Ne morëm një ekuacion kuadratik për të zgjidhur këtë problem. Le ta zgjidhim.
Ne do ta zgjidhim atë duke përdorur një diskriminues:
$D=19600+250000=269600≈519^2$
Ekuacioni ka dy rrënjë:
$v=\frac(-140-519)(2)=-329,5$ dhe $v=\frac(-140+519)(2)=189,5$
Meqenëse ne kërkonim shpejtësinë (e cila nuk mund të jetë negative), është e qartë se rrënja e parë është e tepërt.
Përgjigje: 189,5 dollarë
Shembull i problemit në gjeometri
Le të shqyrtojmë një shembull të një problemi që çon në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në gjeometri.
Shembulli 3
Gjeni zonën trekëndësh kënddrejtë, e cila kënaq kushtet e mëposhtme: hipotenuza e tij është e barabartë me $25$, dhe këmbët e saj janë në raportin $4$ me $3$.
Për të gjetur zonën e kërkuar duhet të gjejmë këmbët. Le të shënojmë një pjesë të këmbës përmes $x$. Pastaj, duke shprehur këmbët përmes kësaj ndryshoreje, gjejmë se gjatësia e tyre është e barabartë me $4x$ dhe $3x$. Kështu, nga teorema e Pitagorës mund të formojmë ekuacionin kuadratik të mëposhtëm:
$(4x)^2+(3x)^2=625$
(rrënja $x=-5$ mund të injorohet, pasi këmba nuk mund të jetë negative)
Ne zbuluam se këmbët janë të barabarta me 20 $ dhe 15 $, përkatësisht, që do të thotë zona
$S=\frac(1)(2)\cdot 20\cdot 15=150$
Mesimi 1
Lloji i mësimit: mësimi i mësimit të materialit të ri.
Formati i mësimit: bisedë.
Synimi: zhvillojnë aftësinë për të zgjidhur ekuacione të reduktuara në ato kuadratike.
Detyrat:
- t'i prezantojë nxënësit një nga mënyrat e zgjidhjes së ekuacioneve;
- të zhvillojë aftësi në zgjidhjen e ekuacioneve të tilla;
- të krijojë kushte për formimin e interesit për temën dhe zhvillimin e të menduarit logjik;
- për të siguruar marrëdhënie personale dhe njerëzore ndërmjet pjesëmarrësve në procesin arsimor.
Plani i mësimit:
1. Koha e organizimit.
3. Studimi i materialit të ri.
4. Konsolidimi i materialit të ri.
5. Detyrë shtëpie.
6. Përmbledhje e mësimit.
GJATË KLASËVE
1. Momenti organizativ
Mësues:"Djema, sot ne fillojmë të studiojmë të rëndësishmet dhe temë interesante"Ekuacionet e reduktueshme në ekuacione kuadratike." Ju e dini konceptin e një ekuacioni kuadratik. Le të kujtojmë atë që dimë për këtë temë."
Nxënësve u jepen udhëzime:
- Mos harroni përkufizimet që lidhen me këtë temë.
- Mbani mend metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të njohura.
- Mbani mend vështirësitë tuaja kur përfundoni detyra për tema që janë "afër" me këtë.
- Mos harroni mënyrat për të kapërcyer vështirësitë.
- Mendoni për detyrat e mundshme kërkimore dhe mënyrat për t'i përfunduar ato.
- Mos harroni se ku janë përdorur problemet e zgjidhura më parë.
Nxënësit kujtojnë formën e një ekuacioni kuadratik të plotë, një ekuacioni kuadratik jo të plotë, kushtet për zgjidhjen e një ekuacioni të plotë kuadratik, metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota, konceptin e një ekuacioni të plotë, konceptin e një shkalle.
Mësuesi/ja sugjeron zgjidhjen e ekuacioneve të mëposhtme (punoni në dyshe):
a) x 2 – 10x + 21 = 0
b) 3x 2 + 6x + 8 = 0
c) x (x – 1) + x 2 (x – 1) = 0
Një nga nxënësit komenton zgjidhjen e këtyre ekuacioneve.
3. Mësimi i materialit të ri
Mësuesi sugjeron të merret parasysh dhe të zgjidhet ekuacioni i mëposhtëm ( detyrë problematike):
(x 2 - 5x + 4) (x 2 - 5x + 6) = 120
Nxënësit flasin për shkallën e një ekuacioni të dhënë dhe sugjerojnë shumëzimin e këtyre faktorëve. Por ka studentë që vërejnë të njëjtat terma në këtë ekuacion. Cila metodë zgjidhjeje mund të zbatohet këtu?
Mësuesi/ja fton nxënësit t'i drejtohen tekstit shkollor (Yu. N. Makarychev “Algjebra-9”, paragrafi 11, f. 63) dhe të kuptojnë zgjidhjen e këtij ekuacioni. Klasa është e ndarë në dy grupe. Ata studentë që kuptojnë metodën e zgjidhjes kryejnë këto detyra:
a) (x 2 + 2x) (x 2 +2x + 2) = –1
b) (x 2 – 7) 2 – 4 (x 2 – 7) – 45 = 0,
pjesa tjetër janë algoritmi i zgjidhjes ekuacione të tilla dhe analizoni zgjidhjen e ekuacionit pasardhës së bashku me mësuesin.
(2x 2 + 3) 2 – 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0.
Algoritmi:
– futni një variabël të ri;
– krijoni një ekuacion që përmban këtë variabël;
– të zgjidhë ekuacionin;
– zëvendësoni rrënjët e gjetura në zëvendësues;
– të zgjidhë ekuacionin me ndryshoren fillestare;
– kontrolloni rrënjët e gjetura, shkruani përgjigjen.
4. Konsolidimi i materialit të ri
Punoni në dyshe: "i fortë" shpjegon, "i dobët" përsërit, vendos.
Zgjidhe ekuacionin:
a) 9x 3 – 27x 2 = 0
b) x 4 – 13x 2 + 36 = 0
Mësues:"Le të kujtojmë se ku tjetër kemi përdorur zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike?"
Studentët:“Kur zgjidhen pabarazitë; kur gjen domenin e përkufizimit të një funksioni; kur zgjidhen ekuacionet me një parametër.
Mësuesi ofron detyra me dëshirë. Klasa është e ndarë në 4 grupe. Secili grup shpjegon zgjidhjen e detyrës së tij.
a) Zgjidhe ekuacionin:
b) Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit:
c) Në çfarë vlerash A ekuacioni nuk ka rrënjë:
d) Zgjidhe ekuacionin: x + – 20 = 0.
5. Detyrë shtëpie
Nr. 221 (a, b, c), nr. 222 (a, b, c).
Mësuesi sugjeron përgatitjen e mesazheve:
1." Informacion historik mbi krijimin e këtyre ekuacioneve” (bazuar në materiale nga interneti).
2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve në faqet e revistës Kvant.
Detyrat natyrë krijuese Kryeni sipas dëshirës në fletore të veçanta:
a) x 6 + 2x 4 – 3x 2 = 0
b) (x 2 + x) / (x 2 + x - 2) - (x 2 + x - 5) / (x 2 + x - 4) = 1
6. Përmbledhje e mësimit
Djemtë na tregojnë se çfarë mësuan të reja në mësim, cilat detyra shkaktuan vështirësi, ku i zbatuan dhe si e vlerësojnë performancën e tyre.
Mësimi #2
Lloji i mësimit: mësim për konsolidimin e aftësive dhe aftësive.
Formati i mësimit: punëtori mësimore.
Synimi: konsolidoni njohuritë e fituara, zhvilloni aftësinë për të zgjidhur ekuacionet për këtë temë.
Detyrat:
- të zhvillojë aftësinë për të zgjidhur ekuacione të reduktuara në ato kuadratike;
- zhvillimi i aftësive të të menduarit të pavarur;
- të zhvillojë aftësinë për të kryer analiza dhe kërkimin e informacionit që mungon;
- kultivojnë aktivitetin, pavarësinë, disiplinën.
Plani i mësimit:
1. Momenti organizativ.
2. Përditësimi i përvojës subjektive të studentëve.
3. Zgjidhja e problemeve.
4. Punë e pavarur.
5. Detyrë shtëpie.
6. Përmbledhje e mësimit.
GJATË KLASËVE
1. Momenti organizativ
Mësues:“Në mësimin e fundit mësuam për ekuacionet që mund të reduktohen në ekuacione kuadratike. Cili matematikan kontribuoi në zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së tretë dhe të katërt?
Nxënësi që përgatiti mesazhin flet për matematikanët italianë të shekullit të 16-të.
2. Aktualizimi i përvojës subjektive
1) Kontrollimi i detyrave të shtëpisë
Një student thirret në tabelë dhe zgjidh ekuacione të ngjashme me ato të shtëpisë:
a) (x 2 – 10) 2 – 3 (x 2 – 10) – 4 = 0
b) x 4 – 10 x 2 + 9 = 0
Në këtë kohë, për të kapërcyer boshllëqet në njohuri, studentët "të dobët" marrin karta. Nxënësi “i dobët” ia komenton zgjidhjen nxënësit “të fortë”, nxënësi “i fortë” shënon zgjidhjen me shenjat “+” ose “–”.
2) Përsëritja e materialit teorik
Nxënësve u kërkohet të plotësojnë një tabelë si:
Nxënësit plotësojnë kolonën e tretë në fund të orës së mësimit.
Kontrollohet detyra e përfunduar në tabelë. Një zgjidhje mostër mbetet në tabelë.
3. Zgjidhja e problemeve
Mësuesi ofron një zgjedhje midis dy grupeve të ekuacioneve. Klasa është e ndarë në dy grupe. Njëri kryen detyra sipas modelit, tjetri kërkon metoda të reja për zgjidhjen e ekuacioneve. Nëse vendimet shkaktojnë vështirësi, atëherë nxënësit mund t'i drejtohen një modeli - arsyetimi.
a) (2x 2 + 3) 2 – 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0 a) (5x – 63) (5 x – 18) = 550
b) x 4 – 4x 2 + 4 = 0 b) 2x 3 – 7 x 2 + 9 = 0
Grupi i parë komenton zgjidhjen e tyre, grupi i dytë kontrollon zgjidhjen përmes një projektori të sipërm dhe komenton metodat e tyre të zgjidhjes.
Mësues: Djema, le të shohim një ekuacion interesant: (x 2 – 6 x – 9) 2 = x (x 2 – 4 x – 9).
– Çfarë metode propozoni për ta zgjidhur?
Nxënësit fillojnë të diskutojnë problemin problemor në grup. Ata sugjerojnë hapjen e kllapave, duke sjellë terma të ngjashëm, fitoni një ekuacion të tërë algjebrik të shkallës së katërt dhe midis pjesëtuesve anëtar i lirë gjeni rrënjë të tëra, nëse ka; pastaj faktorizoni dhe gjeni rrënjët e këtij ekuacioni.
Mësuesi miraton algoritmin e zgjidhjes dhe sugjeron shqyrtimin e një metode tjetër zgjidhjeje.
Le të shënojmë x 2 – 4x – 9 = t, pastaj x 2 – 6x – 9 = t – 2x. Marrim ekuacionin t 2 – 5tx + 4x 2 = 0 dhe e zgjidhim për t.
Ekuacioni origjinal ndahet në një grup prej dy ekuacionesh:
x 2 – 4 x – 9 = 4x x = – 1
x 2 – 4 x – 9 = x x = 9
x = (5 + 61)/2 x = (5 – 61)/2
4. Punë e pavarur
Studentëve u ofrohen ekuacionet e mëposhtme për të zgjedhur:
a) x 4 – 6 x 2 + 5 = 0 a) (1 – y 2) + 7 (1 – y 2) + 12 = 0
b) (x 2 + x) 2 – 8 (x 2 + x) + 12 = 0 b) x 4 + 4 x 2 – 18 x 2 – 12 x + 9 = 0
c) x 6 + 27 x 4 – 28 = 0
Mësuesi/ja komenton ekuacionet e secilit grup, duke tërhequr vëmendjen se ekuacioni sipas pikës c) u mundëson studentëve të thellojnë njohuritë dhe aftësitë e tyre.
Puna e pavarur kryhet në letër duke përdorur letër karboni.
Nxënësit kontrollojnë zgjidhjet përmes një projektori të sipërm pasi kanë shkëmbyer fletoret.
5. Detyrë shtëpie
Nr. 223 (g, e, f), nr. 224 (a, b) ose nr. 225, nr. 226.
Detyrë krijuese.
Përcaktoni shkallën e ekuacionit dhe nxirrni formulën Vieta për këtë ekuacion:
6. Përmbledhje e mësimit
Nxënësit kthehen në plotësimin e kolonës “Mësova” të tabelës.
Mësimi #3
Lloji i mësimit: mësimi i rishikimit dhe sistematizimit të njohurive.
Formati i mësimit: mësimi është një konkurs.
Qëllimi i mësimit: mësoni të vlerësoni saktë njohuritë dhe aftësitë tuaja, lidhni saktë aftësitë tuaja me detyrat e ofruara.
Detyrat:
- t'ju mësojë se si të zbatoni njohuritë tuaja në mënyrë gjithëpërfshirëse;
- të identifikojë thellësinë dhe forcën e aftësive dhe aftësive;
- promovojnë organizimi racional punë;
- nxisin veprimtarinë dhe pavarësinë.
Plani i mësimit:
1. Momenti organizativ.
2. Përditësimi i përvojës subjektive të studentëve.
3. Zgjidhja e problemeve.
4. Punë e pavarur.
5. Detyrë shtëpie.
6. Përmbledhje e mësimit.
GJATË KLASËVE
1. Momenti organizativ
Mësues:“Sot do të zhvillojmë një mësim të pazakontë, një mësim konkursi. Ju tashmë jeni njohur me matematikanët italianë Fiori, N. Tartaglia, L. Ferrari, D. Cardano nga mësimi i fundit.
Më 12 shkurt 1535 u zhvillua një duel shkencor midis Fiorit dhe N. Tartaglia, në të cilin Tartaglia fitoi një fitore brilante. Në dy orë zgjidhi të tridhjetë problemet e propozuara nga Fiori, ndërsa Fiori nuk zgjidhi asnjë problem të Tartaglias.
Sa ekuacione mund të zgjidhni në një mësim? Çfarë metodash duhet të zgjidhni? Matematikanët italianë ju ofrojnë ekuacionet e tyre.”
2. Aktualizimi i përvojës subjektive
Punë gojore
1) Cilët nga numrat: – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 janë rrënjët e ekuacionit:
a) x 3 – x = 0 b) y 3 – 9 y = 0 c) y 3 + 4 y = 0?
– Sa zgjidhje mund të ketë një ekuacion i shkallës së tretë?
– Çfarë metode do të përdorni për të zgjidhur këto ekuacione?
2) Kontrolloni zgjidhjen e ekuacionit. Gjeni gabimin që keni bërë.
x 3 – 3x 2 + 4x – 12 = 0
x 2 (x – 3) + 4 (x – 3) = 0
(x – 3) (x 2 + 4) = 0
(x – 3) (x + 2) (x – 2) = 0
x = 3, x = – 2, x = 2.
Punë në çift. Nxënësit shpjegojnë mënyrën e zgjidhjes së ekuacioneve dhe gabimin që kanë bërë.
Mësues:“Ju djema jeni të mrekullueshëm! Ju keni përfunduar detyrën e parë të matematikanëve italianë.”
3. Zgjidhja e problemeve
Dy studentë në dërrasën e zezë:
a) Gjeni koordinatat e pikave të kryqëzimit me boshtet koordinative të grafikut të funksionit: 
b) Zgjidhe ekuacionin: 
Nxënësit në klasë zgjedhin të kryejnë një ose dy detyra. Nxënësit në tabelë komentojnë vazhdimisht veprimet e tyre.
4. Punë e pavarur “nga fundi në fund”.
Seti i kartave përpilohet sipas nivelit të vështirësisë dhe me opsionet e përgjigjeve.
1) x 4 - x 2 - 12 = 0
2) 16 x 3 – 32 x 2 – x + 2 = 0
3) (x 2 + 2 x) 2 - 7 (x 2 + 2 x) - 8 = 0
4) (x 2 + 3 x + 1) (x 2 + 3 x + 3) = - 1
5) x 4 + x 3 – 4 x 2 + x + 1 = 0
Përgjigjet e mundshme:
1) a) – 2; 2 b) – 3; 3 c) pa zgjidhje
2) a) – 1/4; 1/4 b) – 1/4; 1/4; 2 c) 1/4; 2
3) a) – 4; 1;
2 b) –1; 1; - 4; 2 c) – 4; 2
4) a) – 2; - 1;
5. Detyrë shtëpie
b) – 2; - 1; 1 c) 1; 2
5) a) – 1; (– 3 + 5) /2 b) 1; (– 3 – 5) /2 c) 1; (– 3 – 5)/2; (–3 + 5) /2.. Përmbledhja e detyrave për një provim me shkrim në algjebër: nr.72, nr.73 ose nr.76, nr.78.
Detyrë shtesë
Përcaktoni vlerën e parametrit a për të cilin barazimi x 4 + (a 2 – a + 1) x 2 – a 3 – a = 0
a) ka një rrënjë të vetme;
b) ka dy rrënjë të ndryshme;
Ekuacionet bikuadratike
c) nuk ka rrënjë. Ekuacionet e reduktuara në kuadratike.
Përgatitja paraprake
për mësimin:
nxënësit duhet të jenë në gjendje të zgjidhin ekuacionet bikuadratike dhe ekuacionet e reduktuara në ato kuadratike duke futur një ndryshore të re;
1) Nxënësit përgatisin paraprakisht raporte për matematikanët e mëdhenj italianë. shqyrtimi i metodave për zgjidhjen e ekuacioneve të reduktueshme në ekuacione kuadratike;
2) arsimore: trajnimi i aftësive Punë në grup, aktivitet i ndërgjegjshëm studentë;
3) duke zhvilluar: zhvillimin aktiviteti mendor nxënësit, aftësitë e ndërveprimit ndërmjet nxënësve, aftësia për të përgjithësuar faktet që studiohen.
Pajisjet: rrjet fjalëkryqi në letra, karta, poster - plan udhëtimi, shënime në tabelë, kod pozitiv, kopje karbon.
Lloji i mësimit: Udhëtim mësimor në të gjithë vendin “Matematika”.
Gjatë orëve të mësimit
I. Koha e organizimit
Plani i udhëtimit, i cili rendit emrat e stacioneve, shfaqet në rrëshqitje.
Sot do të shkojmë në një udhëtim nëpër vendin e Matematikës. Le të ndalemi në qytetin e Ekuacioneve të shkallës së tretë dhe të katërt, të vazhdojmë njohjen tonë me ekuacionet bikuadratike dhe të dëgjojmë raporte për matematikanët italianë.
II. Udhëtim në të gjithë vendin "Matematika"
1. Stacion për adhuruesit e fjalëkryqeve.
Rrjeti me përgjigjet regjistrohet paraprakisht në një kod pozitiv ose aktiv anën e pasme dërrasat.
Secili prej jush ka karta me një rrjet fjalëkryq dhe pyetje. Vendoseni nën kartë Fletë e zbrazët dhe një kopje karboni. Shkruani përgjigjet tuaja vetëm në rasën emërore. Zgjidheni fjalëkryqin, jepni letrat dhe bëni një vetë-test në fletë.
Horizontalisht:
4.Cila është shprehja b 4 – 4ac për një ekuacion kuadratik me koeficientë a, b, c? (Diskriminues.)
6. Vlera e ndryshores në të cilën ekuacioni kthehet në një barazi të vërtetë. (Rrënja.)
8. Ekuacioni i formës sëpatë 4 + bx 2 + c = 0, ku A ≠ 0. (Biquad.)
9. Matematikan francez. (Viet.)
10. Një ekuacion në të cilin ana e majtë dhe e djathtë janë shprehje me numra të plotë. (E tërë.)
11. Një ekuacion me një ndryshore që ka të njëjtin grup rrënjësh. (Ekuivalente.)
Vertikalisht:
1. Bashkësia e rrënjëve të një ekuacioni. (Zgjidhja.)
2. Zgjidhja e ekuacionit Oh 2 = 0. (Zero.)
3. Barazi që përmban një ndryshore. (Ekuacioni.)
5. Ekuacioni kuadratik në të cilin një nga koeficientët b ose cështë e barabartë me 0. (I paplotë.)
7. Ekuacioni kuadratik në të cilin koeficienti i parë e barabartë me një. (U shtua.)
2. Stacioni "Istoricheskaya".
Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.
Ne jemi me ju në stacionin Istoricheskaya. Do të dëgjojmë raporte studentore për matematikanët e mëdhenj italianë. Dëgjoni me kujdes. Ju gjithashtu mund të merrni një "5" për një shtesë interesante.
Studenti. Matematikanët italianë të shekullit të 16-të dhanë një kontribut të madh në problemin e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës 3 dhe 4. N. Tartaglia, A. Fiore, D. Cardano, L. Ferrari e të tjerë. Në vitin 1535 u zhvillua një duel shkencor midis A. Fiores dhe N. Tartaglias, ku ky i fundit fitoi një fitore brilante. Në 2 orë ai zgjidhi 30 problema të propozuara nga A. Fiore dhe vetë A. Fiore nuk mundi të zgjidhte një të vetme që i kishte dhënë N. Tartaglia.
Mësues. A ka ndonjë shtesë? Kush tjetër ka përgatitur raporte për matematikanët italianë?
Dëgjohen mesazhe të përgatitura nga nxënësit. Çdo mesazh do të zgjasë 2-3 minuta.
Mësues. Pra, N. Tartaglia zgjidhi 30 problema në 2 orë. Sa ekuacione mund të zgjidhni? Çfarë zgjidhjesh do të zgjidhni?
3. Qyteti i ekuacioneve ( pjesa gojore)
Ky nuk është thjesht një qytet ekuacionesh, por ekuacione të shkallës së tretë dhe të katërt. Ju duhet t'i përgjigjeni të gjitha pyetjeve. Vetëm duke iu përgjigjur atyre mund të vazhdoni.
Ushtrimi 1. Si do t'i zgjidhnit ekuacionet për secilin grup?
1) X 3 – X = 0, X 3 + 9X = 0, X 4 – 4X 2 = 0, në 4 – 16 = 0.
2) 9në 3 - 18në 2 – y + 2 = 0, x 3 – 5X 2 + 16X – 80 = 0, 6në 4 – 3në 3 + 12në 2 – 6në = 0.
3) (në 2 – në + 1)(në 2 – në – 7) = 65, (X 2 + 2X) 2 – 2(X 2 + 2X) – 3 = 0,
(X 2 + X – 1)(X 2 + X + 2) = 40.
Përgjigjet:
Shembujt e grupit 1) zgjidhen më së miri duke faktorizuar duke hequr faktorin e përbashkët nga kllapat ose duke përdorur formula të shkurtuara të shumëzimit.
Shembujt e grupit 2) zgjidhen më mirë me grupim dhe faktorizim.
Shembujt e grupit 3) zgjidhen më mirë duke futur një ndryshore të re dhe duke kaluar në një ekuacion kuadratik.
Detyra 2.Çfarë faktori do të vendosnit jashtë kllapave në shembujt e grupit 1) detyra 1?
Përgjigjet: X(X 2 – 1) = 0,
X(X 2 + 9) = 0,
X 2 (X 2 – 4) = 0.
Detyra 3. Si do t'i gruponi termat në shembujt e grupit 2) të detyrës 1?
Përgjigjet: (9në 3 – 18në 2) – (në – 2) = 0,
(X 3 – 5X 2) + (16X – 80) = 0,
(6në 4 – 3në 3) + (12në 2 – 6në) = 0.
Detyra 4.Çfarë do të shënonit me një ndryshore të re në shembujt e grupit 3) të detyrës 1?
Përgjigjet: në 2 – në = t,
x 2 + 2x = t,
x 2 + x = t.
Detyra 5. Si mund të faktorizoni një polinom? në 4 – 16 = 0?
Përgjigje: (në 2 – 4)(në 2 + 4) = (në – 2)(në + 2)(në 2 + 4) = 0.
4. Qyteti i ekuacioneve. Pjesa praktike.
A e keni përballuar punë gojore në qytetin e Ekuacioneve, dhe ne u nisëm për të udhëtuar më tej përgjatë kësaj qytet interesant dhe vazhdoni të njiheni me ekuacione interesante.
Detyra 6.
Dy studentë kryejnë detyra në tabelë në të njëjtën kohë.
A) Nxënësi i parë zgjidh në tabelë me një shpjegim.
9X 3 – 18X 2 – x + 2 = 0.
b) Nxënësi i dytë zgjidh ekuacionin në heshtje, më pas shpjegon zgjidhjen, klasa dëgjon dhe bën pyetje nëse diçka nuk është e qartë.
X 3 + X 2 – 4(X + 1) 2 = 0.
Detyra 7. Zgjidheni ekuacionin (shih shtojcën.)
Detyra kryhet në mënyrë të pavarur sipas opsioneve. Më parë, së bashku me mësuesin, ata konsiderojnë zëvendësime të mundshme për futjen e një ndryshoreje të re. Kontrolluar me gojë.
OpsioniI.
(X 2 + 2X) 2 – 2(X 2 + 2X) – 3 = 0.
X 2 + 2X = t.
OpsioniII.
(X 2 – X + 1)(X 2 – X – 7) = 0.
Zëvendësimi për të futur një ndryshore të re X 2 - X = t.
Detyra 8.
Një detyrë shtesë për ata që mund të përballojnë ekuacionet e mëparshme më herët.
(2X 2 + X – 1)(2X 2 + X – 4) + 2 = 0.
Zëvendësimi për futjen e një ndryshoreje të re 2 X 2 + X = t.
Detyra 9. Zgjidhe ekuacionin.
Nxënësit komentojnë ecurinë e zgjidhjes nga vendet e tyre.
X 4 (X + 1) – 6X 2 (X + 1) + 5(X + 1) = 0.
Zgjidhje. Do ta nxjerrim shumëzues i përbashkët:
(X+ 1)(X 4 – 6X 2 + 5) = 0, prej nga X+ 1 = 0 ose X 4 – 6X 2 + 5 = 0, d.m.th. ose X= -1, ose
X 4 – 6X 2 + 5 = 0. Ekuacioni i fundit është bikuadratik:
X 2 = t,
t 2 - 6 t + 5 = 0.
Sipas teoremës, anasjellta e teoremës Vieta t 1 + t 2 = 6, t 1 · t 2 = 5. Prandaj t 1 =1, t 2 = 5. Pra X 2 = 1, ose X 2 = 5, prej nga X 1,2 = ± 1, X 3,4 = ±.
Përgjigje:- 1, 1, -, .
Detyra 10. Zgjidhe ekuacionin.
Së pari, mësuesi/ja diskuton zgjidhjen me klasën. Më pas nxënësi zgjidh një pjesë të shembullit në tabelë.
(X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4) = 360.
Zgjidhje. Le të grupojmë së pari faktorët:
((X + 1)(X+ 4)) · (( X + 2)(X + 3)) = 360,
(X 2 + 5X + 4)(X 2 + 5X + 6) = 360,
Le X 2 + 5X= t, Pastaj ( t + 4) ( t + 6) = 360.
t 2 + 10t + 24 – 360 = 0,
t + 10t – 336 = 0,
D= 100 + 4 336 = 1444 = 38 2.
Ku t 1 = = 14, t 2 = = - 24.
Do të thotë, X 2 + 5X= 14 ose X 2 + 5X= -24, d.m.th. X 2 + 5X– 14 = 0 ose X 2 + 5X + 24 = 0.
Në rastin e dytë D= 25 – 4 24 = -71
Në rastin e parë ka dy rrënjë X 1 = -7, X 2 = 2.
Përgjigje: - 7; 2.
Detyra 11. Zgjidhe ekuacionin. (shih Shtojcën.)
Ai që zgjidh saktë ekuacionet më bikuadratike në 10 minuta do të marrë një "5". Nxënësit punojnë në mënyrë të pavarur, të ndjekur nga rishikimi i kolegëve.
A) X 4 – 5X 2 – 36 = 0,
b) në 4 – 6në 2 + 8 = 0,
në 4 X 4 – 5X 2 + 1 = 0,
G) X 4 – 25X 2 + 144 = 0,
e) 5 në 4 – 5në 2 + 2 = 0,
e) t 4 – 2t 2 – 3 = 0.
Detyra 12. Në çfarë vlerash A ekuacionin t 2 + në+ 9 = 0, nuk ka rrënjë? (shih Shtojcën.)
Ky shembull për përsëritje.
5. Stacioni i shtëpisë
Keni mbërritur në stacionin Domashnyaya. Marr detyre shtepie.
Detyra 13. Zgjidheni ekuacionin e matematikanëve italianë:
(3X 2 + X – 4) 2 + 3X 2 + X= 4. (shih shtojcën.)
Detyra 14. Gjeni dhe zgjidhni 3-4 ekuacione të propozuara nga A. Fiore dhe N. Tartaglia.
III. Duke përmbledhur mësimin.
Udhëtimi ynë ka mbaruar. Pra, numëroni sa ekuacione ka zgjidhur secili prej jush.
Në 2 orë e gjithë klasa zgjidhi... ekuacione. Notat e mësimit...
Aplikacion
Zgjidhjet
Detyra 6.
A) Zgjidhje.
9X 2 (X – 2) – (X – 2) = 0,
(X – 2)(9X 2 – 1) = 0,
X- 2 = 0, ose 9 X 2 – 1 = 0,
X= 2 ose X 2 = , d.m.th. X 1,2 = ±.
Përgjigju: - ; ; 2.
b) Zgjidhje.
X 2 (X + 1) – 4(X + 1) 2 = 0,
(X + 1)(X 2 – 4X – 4) = 0,
X+ 1 = 0 ose X 2 – 4X – 4 = 0,
X= - 1, ose X 1,2 = = 2 .
Përgjigje: - 1; 2 - 2; 2 + 2.
Detyra 7.
OpsioniI.
Zgjidhje. Zëvendësimi X 2 + 2X = t, Pastaj:
t 2 – 2t – 3 = (t + 1)(t – 3) = 0.
X 2 + 2X= - 1 ose X 2 + 2X= 3,
X 2 + 2X+ 1 = 0 ose X 2 + 2X – 3 = 0,
(X+ 1) 2 = 0 ose ( X + 3)(X– 1) = 0.
Përgjigje: - 3; - 1, 1.
OpsioniII.
Zgjidhje. Zëvendësimi
