Ku ndodhet Odz? Funksioni: fusha e përkufizimit dhe diapazoni i vlerave të funksioneve

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Mbledhur nga ne informacion personal na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne u komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Paraqiten llojet kryesore të pabarazive, duke përfshirë pabarazitë Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev. Janë marrë parasysh vetitë e pabarazive dhe veprimet mbi to. Janë dhënë metodat bazë për zgjidhjen e pabarazive.

Formulat për pabarazitë bazë

Formulat për pabarazitë universale

Pabarazitë universale plotësohen për çdo vlerë të sasive të përfshira në to. Llojet kryesore janë renditur më poshtë pabarazitë universale.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Barazia ndodh vetëm kur a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Pabarazia Cauchy-Bunyakovsky

Barazia vlen nëse dhe vetëm nëse α a k = β b k për të gjitha k = 1, 2, ..., n dhe disa α, β, |α| + |β| > 0.

5) Pabarazia e Minkowskit, për p ≥ 1

Formulat e pabarazive të kënaqshme

Pabarazitë e kënaqshme plotësohen për vlera të caktuara të sasive të përfshira në to.

1) Pabarazia e Bernulit:
.
Në më shumë pamje e përgjithshme:
,
ku , numra të së njëjtës shenjë dhe më të mëdhenj se -1 : .
Lema e Bernoulli:
.
Shihni "Provat e pabarazive dhe lema e Bernulit".

2)
për një i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Pabarazia e Chebyshev
në 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dhe 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Në 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dhe b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Pabarazitë e përgjithësuara të Chebyshev
në 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dhe 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n dhe k natyrore
.
Në 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dhe b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Vetitë e pabarazive

Vetitë e pabarazive janë një grup i atyre rregullave që plotësohen gjatë transformimit të tyre. Më poshtë janë vetitë e pabarazive. Kuptohet që pabarazitë origjinale plotësohen për vlerat e x i (i = 1, 2, 3, 4) që i përkasin një intervali të paracaktuar.

1) Kur rendi i anëve ndryshon, shenja e pabarazisë ndryshon në të kundërtën.
Nëse x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Nëse x 1 ≤ x 2, atëherë x 2 ≥ x 1.
Nëse x 1 ≥ x 2, atëherë x 2 ≤ x 1.
Nëse x 1 > x 2, atëherë x 2< x 1 .

2) Një barazi është e barabartë me dy pabarazi të dobëta shenjë të ndryshme.
Nëse x 1 = x 2, atëherë x 1 ≤ x 2 dhe x 1 ≥ x 2.
Nëse x 1 ≤ x 2 dhe x 1 ≥ x 2, atëherë x 1 = x 2.

3) Vetia kalimtare
Nëse x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Nëse x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Nëse x 1 ≤ x 2 dhe x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Nëse x 1 ≤ x 2 dhe x 2 ≤ x 3, atëherë x 1 ≤ x 3.

4) I njëjti numër mund të shtohet (zbritet) në të dy anët e pabarazisë.
Nëse x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Nëse x 1 ≤ x 2, atëherë x 1 + A ≤ x 2 + A.
Nëse x 1 ≥ x 2, atëherë x 1 + A ≥ x 2 + A.
Nëse x 1 > x 2, atëherë x 1 + A > x 2 + A.

5) Nëse ka dy ose më shumë pabarazi me shenjën e të njëjtit drejtim, atëherë mund të shtohen anët e majta dhe të djathta të tyre.
Nëse x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Nëse x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Nëse x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Nëse x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, atëherë x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Shprehje të ngjashme vlejnë për shenjat ≥, >.
Nëse pabarazitë origjinale përmbajnë shenja të pabarazive jo strikte dhe të paktën një pabarazi e rreptë(por të gjitha shenjat kanë të njëjtin drejtim), atëherë kur shtohet, fitohet një pabarazi strikte.

6) Të dy anët e pabarazisë mund të shumëzohen (pjestohen) me një numër pozitiv.
Nëse x 1< x 2 и A >0, pastaj A x 1< A · x 2 .
Nëse x 1 ≤ x 2 dhe A > 0, atëherë A x 1 ≤ A x 2.
Nëse x 1 ≥ x 2 dhe A > 0, atëherë A x 1 ≥ A x 2.
Nëse x 1 > x 2 dhe A > 0, atëherë A · x 1 > A · x 2.

7) Të dyja anët e pabarazisë mund të shumëzohen (pjestohen) me një numër negativ. Në këtë rast, shenja e pabarazisë do të ndryshojë në të kundërtën.
Nëse x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Nëse x 1 ≤ x 2 dhe A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Nëse x 1 ≥ x 2 dhe A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Nëse x 1 > x 2 dhe A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Nëse ka dy ose më shumë pabarazi me terma pozitivë, me shenjën e të njëjtit drejtim, atëherë anët e majta dhe të djathta të tyre mund të shumëzohen me njëra-tjetrën.
Nëse x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 pastaj x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Nëse x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 pastaj x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Nëse x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 pastaj x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Nëse x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, atëherë x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Shprehje të ngjashme vlejnë për shenjat ≥, >.
Nëse pabarazitë origjinale përmbajnë shenja të pabarazive jo të rrepta dhe të paktën një pabarazi strikte (por të gjitha shenjat kanë të njëjtin drejtim), atëherë shumëzimi rezulton në një pabarazi strikte.

9) Le të jetë f(x) një funksion në rritje monotonike. Kjo do të thotë, për çdo x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2).
Nëse x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Atëherë ky funksion mund të zbatohet në të dy anët e pabarazisë, gjë që nuk do të ndryshojë shenjën e pabarazisë.
Nëse x 1 ≤ x 2 atëherë f(x 1) ≤ f(x 2) .
Nëse x 1 ≥ x 2 atëherë f(x 1) ≥ f(x 2) .

Nëse x 1 > x 2, atëherë f(x 1) > f(x 2).< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Nëse x 1< x 2 , то f(x 1) >10) Le të jetë f(x) një funksion në rënie monotonike, domethënë për çdo x 1 > x 2, f(x 1)
f(x 2) .
Nëse x 1 ≤ x 2 atëherë f(x 1) ≥ f(x 2) .
Nëse x 1 > x 2, atëherë f(x 1)< f(x 2) .

Metodat për zgjidhjen e pabarazive

Zgjidhja e pabarazive duke përdorur metodën e intervalit

Metoda e intervalit është e zbatueshme nëse pabarazia përfshin një ndryshore, të cilën e shënojmë si x dhe ka formën:
f(x) > 0
ku f(x) - funksion të vazhdueshëm, duke pasur numri përfundimtar pikat e pushimit. Shenja e pabarazisë mund të jetë çdo gjë: >, ≥,<, ≤ .

Metoda e intervalit është si më poshtë.

1) Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit f(x) dhe shënoni atë me intervale në boshtin numerik.

2) Gjeni pikat e ndërprerjes së funksionit f(x).

Për shembull, nëse kjo është një thyesë, atëherë gjejmë pikat në të cilat emëruesi shkon në zero. Këto pika i shënojmë në boshtin e numrave.
3) Zgjidheni ekuacionin
f(x) = 0 .

Ne shënojmë rrënjët e këtij ekuacioni në boshtin e numrave.

4) Si rezultat, boshti i numrave do të ndahet në intervale (segmente) sipas pikave. Brenda çdo intervali të përfshirë në domenin e përkufizimit, ne zgjedhim çdo pikë dhe në këtë pikë llogarisim vlerën e funksionit. Nëse kjo vlerë është më e madhe se zero, atëherë vendosim një shenjë "+" mbi segmentin (intervalin).
Nëse kjo vlerë është më e vogël se zero, atëherë vendosim një shenjë "-" mbi segmentin (intervalin).
5) Nëse pabarazia ka formën: f(x) > 0, atëherë zgjidhni intervalet me shenjën “+”.< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Zgjidhja e pabarazisë është kombinimi i këtyre intervaleve, të cilat nuk përfshijnë kufijtë e tyre.

Nëse pabarazia ka formën: f(x) ≥ 0, atëherë zgjidhjes i shtojmë pikat në të cilat f(x) = 0.

Domethënë, disa intervale mund të kenë kufij të mbyllur (kufiri i përket intervalit). pjesa tjetër mund të ketë kufij të hapur (kufiri nuk i përket intervalit). Në mënyrë të ngjashme, nëse pabarazia ka formën: f(x) Nëse pabarazia ka formën: f(x) ≤ 0, atëherë zgjidhjes i shtojmë pikat në të cilat f(x) = 0.

Zgjidhja e pabarazive duke përdorur vetitë e tyre
Kjo metodë është e zbatueshme për pabarazitë e çdo kompleksiteti. Ai konsiston në aplikimin e vetive (të paraqitura më lart) për të rritur pabarazitë

pamje e thjeshtë dhe merrni një zgjidhje. Është shumë e mundur që kjo të rezultojë jo vetëm në një, por në një sistem pabarazish. Kjo është një metodë universale. Ai zbatohet për çdo pabarazi. Literatura e përdorur: I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009. Në matematikë

grup i pafund funksionet. Dhe secila ka karakterin e vet.) Për të punuar me një shumëllojshmëri të gjerë funksionesh që ju nevojiten beqare qasje. Përndryshe, çfarë matematike është kjo?!) Dhe ka një qasje të tillë! Kur punojmë me ndonjë funksion, ne e paraqesim atë set standard pyetje. Dhe e para, më e shumta vlerat e pranueshme argumenti, zona e specifikimit të funksionit, etj.

Cili është domeni i një funksioni? Si ta gjeni atë? Këto pyetje shpesh duken komplekse dhe të pakuptueshme... Edhe pse, në fakt, gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë. Ju mund ta shihni vetë duke lexuar këtë faqe. Le të shkojmë?)

Epo, çfarë të them... Vetëm respekt.) Po! Domeni natyror i një funksioni (i cili diskutohet këtu) ndeshjet Me shprehjet ODZ të përfshira në funksion. Prandaj, ata kontrollohen sipas të njëjtave rregulla.

Tani le të shohim një domen jo plotësisht të natyrshëm të përkufizimit.)

Kufizime shtesë në fushëveprimin e një funksioni.

Këtu do të flasim për kufizimet që vendos detyra. Ato. detyra përmban disa kushte shtesë, të cilat u shpikën nga përpiluesi. Ose kufizimet dalin nga vetë metoda e përcaktimit të funksionit.

Sa i përket kufizimeve në detyrë, gjithçka është e thjeshtë. Zakonisht, nuk ka nevojë të kërkoni asgjë, gjithçka është thënë tashmë në detyrë. Më lejoni t'ju kujtoj se kufizimet e shkruara nga autori i detyrës nuk anulohen kufizimet themelore të matematikës. Thjesht duhet të mbani mend të merrni parasysh kushtet e detyrës.

Për shembull, kjo detyrë:

Gjeni domenin e një funksioni:

në grupin e numrave pozitivë.

Ne gjetëm domenin natyror të përkufizimit të këtij funksioni më sipër. Kjo zonë:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

NË mënyrë verbale Kur specifikoni një funksion, duhet të lexoni me kujdes gjendjen dhe të gjeni kufizime në X atje. Ndonjëherë sytë kërkojnë formula, por fjalët fërshëllejnë përpara vetëdijes po...) Shembull nga mësimi i mëparshëm:

Funksioni specifikohet nga kushti: çdo vlerë e argumentit natyror x shoqërohet me shumën e shifrave që përbëjnë vlerën e x.

Këtu duhet theksuar se po flasim vetëm O vlerat natyrore X. Pastaj D(f) regjistruar në çast:

D(f): x ∈ N

Siç mund ta shihni, fushëveprimi i një funksioni nuk është i tillë koncept kompleks. Gjetja e këtij rajoni zbret në ekzaminimin e funksionit, shkrimin e një sistemi pabarazish dhe zgjidhjen e këtij sistemi. Sigurisht, ka të gjitha llojet e sistemeve, të thjeshta dhe komplekse. Por...

Unë do ta hap atë sekret i vogël. Ndonjëherë një funksion për të cilin duhet të gjesh domenin e përkufizimit duket thjesht frikësues. Dua të zbehem dhe të qaj.) Por sapo shkruaj sistemin e pabarazive... Dhe, befas, sistemi del elementar! Për më tepër, shpesh, sa më i tmerrshëm të jetë funksioni, aq më i thjeshtë është sistemi...

Morali: sytë kanë frikë, koka vendos!)

Drejtues shkencor:

1. Hyrje 3

2. Skicë historike 4

3. “Vendi” i ODZ gjatë zgjidhjes së ekuacioneve dhe inekuacioneve 5-6

4. Karakteristikat dhe rreziqet e ODZ 7

5. ODZ – ekziston një zgjidhje 8-9

6. Gjetja e ODZ është punë shtesë. Ekuivalenca e tranzicioneve 10-14

7. ODZ në Provimin e Bashkuar të Shtetit 15-16

8. Përfundimi 17

9. Letërsia 18

1. Hyrje

Problemi: ekuacionet dhe pabarazitë në të cilat është e nevojshme të gjendet ODZ nuk gjetën vend në kursin e algjebrës për paraqitje sistematike, kjo është arsyeja pse unë dhe bashkëmoshatarët e mi shpesh bëjmë gabime kur zgjidhim shembuj të tillë, duke shpenzuar shumë kohë për t'i zgjidhur ato, duke harruar rreth ODZ.

Synimi: të jetë në gjendje të analizojë situatën dhe të nxjerrë përfundime logjikisht të sakta në shembujt ku është e nevojshme të merret parasysh DL.

Detyrat:

1. Studimi i materialit teorik;

2. Zgjidh shumë ekuacione, inekuacione: a) thyesore-racionale; b) irracionale; c) logaritmike; d) që përmban funksione trigonometrike të anasjellta;

3. Të zbatojë materialet e studiuara në një situatë që ndryshon nga ajo standarde;

4. Krijo një vepër me temën "Fusha e vlerave të pranueshme: teori dhe praktikë"

Puna në projekt: Fillova të punoja për projektin duke përsëritur funksionet që njihja. Shtrirja e shumë prej tyre është e kufizuar.

ODZ ndodh:

1. Kur vendoset ekuacionet racionale thyesore dhe pabarazitë

2. Kur vendoset ekuacionet irracionale dhe pabarazitë

3. Kur vendoset ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë

4. Kur zgjidhen ekuacionet dhe inekuacionet që përmbajnë funksione trigonometrike të anasjellta

Duke zgjidhur shumë shembuj nga burime të ndryshme(manuale të unifikuara të provimeve shtetërore, tekste, libra referimi), e sistemova zgjidhjen e shembujve sipas duke ndjekur parimet:

· mund ta zgjidhni shembullin dhe të merrni parasysh ODZ (metoda më e zakonshme)

· është e mundur të zgjidhet shembulli pa marrë parasysh ODZ-në

· është e mundur të merret vendimi i duhur vetëm duke marrë parasysh ODZ-në.

Metodat e përdorura në punë: 1) analiza; 2) analiza statistikore; 3) zbritja; 4) klasifikimi; 5) parashikimi.

Studioi analizën Rezultatet e Provimit të Unifikuar të Shtetit gjatë viteve të kaluara. Janë bërë shumë gabime në shembujt në të cilët është e nevojshme të merret parasysh DL. Kjo thekson edhe një herë rëndësinë tema ime.

2. Skicë historike

Ashtu si konceptet e tjera të matematikës, koncepti i një funksioni nuk u zhvillua menjëherë, por kaloi një rrugë të gjatë zhvillimi. Vepra e P. Fermat "Introduction and Study of Flat and Solid Places" (1636, botuar 1679) thotë: "Sa herë që në ekuacioni përfundimtar Janë dy sasi të panjohura, ka një vend.” Në thelb, ne po flasim për varësinë funksionale dhe të saj paraqitje grafike("vend" në Fermat do të thotë vijë). Studimi i vijave sipas ekuacioneve të tyre në "Geometria" e R. Descartes (1637) tregon gjithashtu një kuptim të qartë të varësisë së ndërsjellë të të dyve. variablat. Në I. Barrow (“Leksione mbi gjeometrinë”, 1670) në formë gjeometrike vërtetohet natyra e kundërt e ndërsjellë e veprimeve të diferencimit dhe integrimit (natyrisht, pa përdorur vetë këto terma). Kjo tashmë tregon një zotërim plotësisht të qartë të konceptit të funksionit. Në gjeometrike dhe formë mekanike Këtë koncept e gjejmë edhe te I. Njutoni. Megjithatë, termi "funksion" shfaqet për herë të parë vetëm në 1692 me G. Leibniz dhe, për më tepër, jo plotësisht në kuptimin e tij modern. G. Leibniz i quan segmente të ndryshme që lidhen me një kurbë (për shembull, abshisa e pikave të saj) funksion. Në kursin e parë të shtypur, "Analiza e infinitezimaleve për njohjen e linjave të lakuara" nga L'Hopital (1696), termi "funksion" nuk përdoret.

Përkufizimi i parë i një funksioni në një kuptim të afërt me atë modern gjendet në I. Bernoulli (1718): "Një funksion është një sasi e përbërë nga një ndryshore dhe një konstante". Ky përkufizim jo plotësisht i qartë bazohet në idenë e specifikimit të një funksioni formula analitike. E njëjta ide shfaqet në përkufizimin e L. Euler, të dhënë prej tij në "Hyrje në analizën e pafundësive" (1748): "Funksioni sasi e ndryshueshmeështë një shprehje analitike e përbërë në një farë mënyre nga kjo sasi e ndryshueshme dhe numra ose sasi konstante" Megjithatë, L. Euler nuk është më i huaj për të të kuptuarit modern funksion, i cili nuk e lidh konceptin e një funksioni me asnjë shprehje analitike të tij. në të tij " Llogaritja diferenciale” (1755) thotë: “Kur disa sasi varen nga të tjerat në atë mënyrë që kur këto të fundit ndryshojnë, ato vetë janë subjekt i ndryshimit, atëherë të parat quhen funksione të të dytit.”

ME fillimi i XIX shekuj, gjithnjë e më shpesh ata përcaktojnë konceptin e një funksioni pa përmendur paraqitjen analitike të tij. Në "Traktat mbi diferencialin dhe llogaritja integrale"(1797-1802) S. Lacroix thotë: "Çdo sasi vlera e së cilës varet nga një ose shumë sasi të tjera quhet funksion i këtyre të fundit." NE " Teoria analitike ngrohjes” nga J. Fourier (1822) ka një frazë: “Funksion f(x) tregon një funksion krejtësisht arbitrar, domethënë një sekuencë vlerash të dhëna, të varura ose jo ligji i përgjithshëm dhe që korrespondon me të gjitha vlerat x përmbante ndërmjet 0 dhe disa vlera x" Përkufizimi i N. I. Lobachevsky është afër modernit: "... Koncepti i përgjithshëm funksioni kërkon që funksioni nga x emërtoni numrin që jepet për secilën x dhe së bashku me x gradualisht ndryshon. Vlera e funksionit mund të jepet ose shprehje analitike, ose një kusht që siguron një mjet për të testuar të gjithë numrat dhe për të zgjedhur një prej tyre, ose, më në fund, një varësi mund të ekzistojë dhe të mbetet e panjohur." Thuhet gjithashtu pak më poshtë: "Pamja e gjerë e teorisë lejon ekzistencën e varësisë vetëm në kuptimin që numrat njëri me tjetrin në lidhje kuptohen sikur të ishin dhënë së bashku". Kështu, përkufizim modern funksionet, pa referenca për detyrë analitike, zakonisht i atribuohet P. Dirichlet (1837), u propozua vazhdimisht para tij.

Fusha e përkufizimit (vlerat e pranueshme) të një funksioni y është grupi i vlerave të ndryshores së pavarur x për të cilën është përcaktuar ky funksion, d.m.th., domeni i ndryshimit të ndryshores së pavarur (argumenti).

3. "Vendi" i gamës së vlerave të pranueshme gjatë zgjidhjes së ekuacioneve dhe pabarazive

1. Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve racionale thyesore dhe pabarazive emëruesi nuk duhet të jetë zero.

2. Zgjidhja e ekuacioneve dhe pabarazive irracionale.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

NË në këtë rast nuk ka nevojë të gjesh ODZ: nga ekuacioni i parë rezulton se vlerat e marra të x plotësojnë pabarazinë e mëposhtme: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width= "107" height="27 src=" > është sistemi:

Meqenëse ato hyjnë në ekuacion në mënyrë të barabartë, atëherë në vend të pabarazisë, mund të përfshini pabarazinë https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Zgjidhja e ekuacioneve logaritmike dhe inekuacioneve.

3.1. Skema për zgjidhjen e ekuacionit logaritmik

Por mjafton të kontrolloni vetëm një kusht të ODZ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Ekuacionet trigonometrike lloj janë ekuivalente me sistemin (në vend të pabarazisë, mund të përfshini pabarazinë në sistem https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> janë ekuivalente ndaj ekuacionit

4. Veçoritë dhe rreziqet e gamës së vlerave të lejuara

Në mësimet e matematikës, na kërkohet të gjejmë DL në secilin shembull. Në të njëjtën kohë esencë matematikore Në këtë rast, gjetja e ODZ-së nuk është aspak e detyrueshme, shpesh nuk është e nevojshme dhe ndonjëherë e pamundur - dhe e gjithë kjo pa ndonjë dëmtim të zgjidhjes së shembullit. Nga ana tjetër, shpesh ndodh që pas zgjidhjes së një shembulli, nxënësit e shkollës harrojnë të marrin parasysh DL-në, ta shkruajnë atë si përgjigje përfundimtare dhe të marrin parasysh vetëm disa kushte. Kjo rrethanë dihet mirë, por “lufta” vazhdon çdo vit dhe duket se do të vazhdojë edhe për një kohë të gjatë.

Merrni, për shembull, pabarazinë e mëposhtme:

Këtu kërkohet ODZ dhe zgjidhet pabarazia. Sidoqoftë, kur zgjidhin këtë pabarazi, nxënësit e shkollës ndonjëherë besojnë se është mjaft e mundur të bëhet pa kërkuar DL, ose më saktë, është e mundur të bëhet pa kusht.

Në fakt, për të marrë përgjigjen e saktë është e nevojshme të merren parasysh si pabarazia , dhe .

Por, për shembull, zgjidhja e ekuacionit: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

që është e barabartë me punën me ODZ. Sidoqoftë, në këtë shembull, një punë e tillë është e panevojshme - mjafton të kontrolloni përmbushjen e vetëm dy prej këtyre pabarazive, dhe çdo dy.

Më lejoni t'ju kujtoj se çdo ekuacion (pabarazi) mund të reduktohet në formën . ODZ është thjesht domeni i përcaktimit të funksionit në anën e majtë. Fakti që kjo zonë duhet të monitorohet rrjedh nga përkufizimi i rrënjës si numër nga fusha e përcaktimit të një funksioni të caktuar, pra nga ODZ. Këtu shembull qesharak në këtë temë..gif" width="20" height="21 src="> ka një domen të përkufizimit të një grupi numrash pozitivë (kjo, natyrisht, është një marrëveshje për t'u marrë në konsideratë një funksion, por e arsyeshme) dhe atëherë -1 nuk është rrënjë.

5. Gama e vlerave të pranueshme - ekziston një zgjidhje

Dhe së fundi, në shumë shembuj, gjetja e ODZ ju lejon të merrni përgjigjen pa paraqitje të mëdha, apo edhe verbalisht.

1. OD3 është një grup bosh, që do të thotë se shembulli origjinal nuk ka zgjidhje.

1) 2) 3)

2. B ODZ gjenden një ose më shumë numra dhe një zëvendësim i thjeshtë përcakton shpejt rrënjët.

1) , x=3

2)Këtu në ODZ ka vetëm numrin 1, dhe pas zëvendësimit është e qartë se nuk është rrënjë.

3) Ekzistojnë dy numra në ODZ: 2 dhe 3, dhe të dy janë të përshtatshëm.

4) > Në ODZ ka dy numra 0 dhe 1, dhe vetëm 1 është i përshtatshëm.

ODZ mund të përdoret në mënyrë efektive në kombinim me analizën e vetë shprehjes.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только numra pozitiv, pra lëmë x=2. Pastaj zëvendësojmë 2 në pabarazi.

6) Nga ODZ-ja del se, ku kemi ..gif" width="143" height="24"> Nga ODZ kemi: . Por pastaj dhe . Meqenëse, nuk ka zgjidhje.

Nga ODZ kemi: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, që do të thotë . Duke zgjidhur pabarazinë e fundit, marrim x<- 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.

3) ODZ: . Që atëherë

Nga ana tjetër, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. Merrni parasysh ekuacionin në intervalin [-1; 0).

Ai plotëson pabarazitë e mëposhtme https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> dhe nuk ka zgjidhje. Me funksionin dhe https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> Le të gjejmë ODZ:

Një zgjidhje e plotë është e mundur vetëm për x=3 dhe x=5. Duke kontrolluar gjejmë se rrënja x=3 nuk përshtatet, që do të thotë se përgjigja është x=5.

6. Gjetja e gamës së vlerave të pranueshme është punë shtesë. Ekuivalenca e tranzicioneve.

Mund të jepni shembuj ku situata është e qartë edhe pa gjetur DZ.

Barazia është e pamundur, sepse kur zbritet një shprehje më e madhe nga një më e vogël, rezultati duhet të jetë një numër negativ.

2. .

Shuma e dy funksioneve jonegative nuk mund të jetë negative.

Unë gjithashtu do të jap shembuj ku gjetja e ODZ është e vështirë, dhe nganjëherë thjesht e pamundur.

Dhe së fundi, kërkimet për ODZ janë shumë shpesh vetëm punë shtesë, pa të cilën mund të bëni, duke dëshmuar kështu të kuptuarit tuaj për atë që po ndodh. Ka një numër të madh shembujsh që mund të jepen këtu, kështu që unë do të zgjedh vetëm ato më tipiket. Metoda kryesore e zgjidhjes në këtë rast është shndërrimet ekuivalente kur kalohet nga një ekuacion (pabarazi, sistem) në tjetrin.

1.. ODZ nuk është e nevojshme, sepse, pasi kemi gjetur ato vlera të x për të cilat x2 = 1, ne nuk mund të marrim x = 0.

2. . ODZ nuk nevojitet, sepse zbulojmë kur shprehja radikale është e barabartë me një numër pozitiv.

3. . ODZ nuk nevojitet për të njëjtat arsye si në shembullin e mëparshëm.

ODZ nuk është e nevojshme, sepse shprehja radikale është e barabartë me katrorin e një funksioni, dhe për këtë arsye nuk mund të jetë negative.

6. ..gif" width="271" height="51"> Për zgjidhje mjafton vetëm një kufizim për shprehjen radikale.Në fakt nga sistemi i shkruar i përzier del se shprehja tjetër radikale është jonegative.

8. DZ nuk nevojitet për të njëjtat arsye si në shembullin e mëparshëm.

9. ODZ nuk nevojitet, pasi mjafton që dy nga tre shprehjet nën shenjat e logaritmit të jenë pozitive për të siguruar pozitivitetin e të tretës.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ nuk nevojitet për të njëjtat arsye si në shembullin e mëparshëm.

Sidoqoftë, vlen të përmendet se kur zgjidhet duke përdorur metodën e transformimeve ekuivalente, njohuria e ODZ (dhe vetitë e funksioneve) ndihmon.

Këtu janë disa shembuj.

1. . OD3, që nënkupton se shprehja në anën e djathtë është pozitive, dhe është e mundur të shkruhet një ekuacion ekuivalent me këtë në këtë formë https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" gjerësi ="112" height="27 "> ODZ: Por atëherë, dhe kur zgjidhet kjo pabarazi, nuk është e nevojshme të merret parasysh rasti kur anën e djathtë më pak se 0.

3. . Nga ODZ rrjedh se, dhe për këtë arsye rasti kur https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Tranzicioni në përgjithësi duket si ky :

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Ka dy raste të mundshme: 0 >1.

Kjo do të thotë që pabarazia origjinale është e barabartë me grupin e mëposhtëm të sistemeve të pabarazive:

Sistemi i parë nuk ka zgjidhje, por nga i dyti fitojmë: x<-1 – решение неравенства.

Të kuptuarit e kushteve të ekuivalencës kërkon njohuri për disa hollësi. Për shembull, pse ekuacionet e mëposhtme janë ekuivalente:

Ose

Dhe së fundi, ndoshta më e rëndësishmja. Fakti është se ekuivalenca garanton saktësinë e përgjigjes nëse bëhen disa transformime të vetë ekuacionit, por nuk përdoret për transformime vetëm në njërën nga pjesët. Shkurtesat dhe përdorimi i formulave të ndryshme në njërën nga pjesët nuk mbulohen nga teoremat e ekuivalencës. Unë kam dhënë tashmë disa shembuj të këtij lloji. Le të shohim disa shembuj të tjerë.

1. Ky vendim është i natyrshëm. Në anën e majtë nga prona funksioni logaritmik le të kalojmë te shprehja ..gif" width="111" height="48">

Pasi të kemi zgjidhur këtë sistem, marrim rezultatin (-2 dhe 2), i cili, megjithatë, nuk është një përgjigje, pasi numri -2 nuk përfshihet në ODZ. Pra, a duhet të instalojmë ODS? Sigurisht që jo. Por meqenëse në zgjidhje kemi përdorur një veti të caktuar të funksionit logaritmik, atëherë jemi të detyruar të japim kushtet në të cilat ajo plotësohet. Një kusht i tillë është pozitiviteti i shprehjeve nën shenjën e logaritmit..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> numrat janë subjekt i zëvendësimit në këtë mënyrë . Kush dëshiron të bëjë llogaritje të tilla të lodhshme?.gif" width="12" height="23 src="> të shtojë një kusht, dhe menjëherë mund të shihni se vetëm numri https://pandia.ru/text/78/083 / plotëson këtë kusht images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) u demonstrua nga 52% e testuesve. Një nga arsyet për norma kaq të ulëta është fakti se shumë maturantë nuk i kanë përzgjedhur rrënjët e marra nga ekuacioni pasi e kanë katrorizuar atë.

3) Konsideroni, për shembull, zgjidhjen e një prej problemeve C1: "Gjeni të gjitha vlerat e x për të cilat pikat e grafikut të funksionit shtrihen mbi pikat përkatëse të grafikut të funksionit ". Detyra zbret në zgjidhje pabarazia thyesore që përmban shprehje logaritmike. Ne i dimë metodat për zgjidhjen e pabarazive të tilla. Më e zakonshme prej tyre është metoda e intervalit. Megjithatë, kur e përdorin atë, testuesit bëjnë gabime të ndryshme. Le të shohim gabimet më të zakonshme duke përdorur pabarazinë si shembull:

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Përfundim

Për ta përmbledhur, mund të themi se nuk ka asnjë metodë universale për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive. Çdo herë, nëse doni të kuptoni se çfarë po bëni dhe të mos veproni mekanikisht, lind një dilemë: çfarë zgjidhje duhet të zgjidhni, në veçanti, duhet të kërkoni ODZ apo jo? Mendoj se përvoja që kam fituar do të më ndihmojë ta zgjidh këtë dilemë. Unë do të ndaloj së bërëi gabime duke mësuar se si të përdor saktë ODZ. Nëse mund ta bëj këtë, koha, ose më mirë Provimi i Unifikuar i Shtetit, do ta tregojë.

9. Letërsia

Dhe të tjerat “Algjebra dhe fillimet e analizës 10-11” Libër me probleme dhe tekst shkollor, M.: “Prosveshchenie”, 2002. “Manual për. matematikë elementare" M.: “Nauka”, 1966. Gazeta “Matematika” nr 46, Gazeta “Matematika” Nr Gazeta “Matematika” Nr “Historia e matematikës në klasat e shkollës VII-VIII”. M.: “Iluminizmi”, 1982. etj., “Botimi më i plotë i opsioneve detyra reale Provimi i Unifikuar i Shtetit: 2009/FIPI" - M.: "Astrel", 2009. etj. "Provimi i Unifikuar i Shtetit. Matematika. Materiale universale për përgatitjen e studentëve/FIPI" - M.: "Inteligjence Center", 2009. etj. "Algjebra dhe fillimet e analizës 10-11". M.: “Iluminizmi”, 2007. , “Punëtori për zgjidhjen e problemeve matematika shkollore(punëtori algjebër). M.: Arsimi, 1976. "25,000 mësime matematike." M.: "Iluminizmi", 1993. "Përgatitja për olimpiadat në matematikë". M.: “Provim”, 2006. “Enciklopedi për fëmijë “MATEMATIKA”” vëllimi 11, M.: Avanta +; 2002. Materiale nga faqet www. *****, www. *****.