Shembuj të sistemeve të ekuacioneve lineare: metoda e zgjidhjes. Metoda të thjeshta dhe komplekse për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Kur zgjidhnim probleme duke përdorur ekuacione, ne zakonisht kërkonim një të panjohur. Por ka edhe probleme ku ka disa të panjohura. Probleme të tilla zakonisht zgjidhen duke ndërtuar sisteme ekuacionesh.

Dy çiklistë po udhëtojnë drejt njëri-tjetrit nga një qytet në tjetrin, distanca ndërmjet tyre është 30 km. Supozoni se nëse çiklisti 1 largohet 2 orë më herët se shoku i tij, atëherë ata do të takohen 2.5 orë pasi çiklisti 2 të largohet; nëse çiklisti 2 largohet 2 orë më herët se çiklisti 1, atëherë takimi do të zhvillohet 3 orë pas largimit të i pari. Sa shpejt po udhëton çdo çiklist?

Zgjidhje.

1. Le të përcaktojmë shpejtësinë e çiklistit 1 si x km/h, dhe shpejtësinë e çiklistit 2 si y km/h.

2. Nëse çiklisti i parë niset 2 orë më herët se i dyti, atëherë, sipas kushtit, do të ecë 4,5 orë deri në takim, ndërsa i dyti 2,5 orë. Për 4,5 orë, i pari do të përshkojë një distancë prej 4,5 km, dhe për 2,5 orë i dyti do të përshkojë një distancë prej 2,5 km.

3. Takimi i dy çiklistëve do të thotë se kanë kaluar një distancë totale prej 30 km, d.m.th. 4.5x + 2.5 y = 30. Ky është ekuacioni ynë i parë.

4. Nëse i dyti lihet për 2 orë më herët se e para, më pas, sipas kushtit, ai do të udhëtojë 5 orë në takim, ndërsa i pari do të marrë 3 orë, duke përdorur arsyetim të ngjashëm me arsyetimin e mësipërm, arrijmë në ekuacionin:

5. Pra, kemi marrë një sistem ekuacionesh

(4,5x + 2,5 y = 30,
(3x + 5y = 30.

6. Pasi të kemi zgjidhur sistemin e ekuacioneve që rezulton, do të gjejmë rrënjët: x = 5, y = 3.

Kështu, çiklisti i parë udhëton me shpejtësi 5 km/h, kurse i dyti – 3 km/h.

Përgjigje: 5 km/h, 3 km/h.

Pas një viti, investitori mori 6 dollarë interes për kursimet e tij. Duke shtuar 44 dollarë, investitori i la paratë edhe për një vit. Në fund të vitit, interesi u grumbullua përsëri dhe tani depozita së bashku me interesin arrin në 257.5 dollarë. Sa ishte shuma fillestare e depozitës dhe sa interes ngarkon banka?

Zgjidhje.

1. Le të jetë x ($) depozita fillestare dhe y (%) interesi që rritet çdo vit.

2. Më pas deri në fund të vitit (y/100) ∙ x $ do t'i shtohet kontributit fillestar.
Nga kushti marrim ekuacionin (ух/100) = 6.

3. Me kusht dihet se në fund të vitit investitori ka kontribuar edhe 44 dollarë të tjera, pra kontributi në fillim të vitit të dytë ka qenë x + 6 + 44, d.m.th. (x + 50) $. Kështu, shuma e marrë në fund të vitit të dytë, duke marrë parasysh llogaritjet, ishte e barabartë me (x + 50 + (y/100) (x + 50)) $. Sipas kushtit, kjo shumë është e barabartë me 275,5 dollarë. Kjo na lejoi të krijonim një ekuacion të dytë:

x + 50 + (y/100) (x + 50) = 257,5

4. Pra, kemi një sistem ekuacionesh:

((x/100) = 6,
(x + 50 + (y/100)(x + 50) = 257,5

Pas transformimit të sistemit të ekuacioneve marrim:

(xy = 600,
(100x + 50y + xy = 20750.

Pasi zgjidhëm sistemin e ekuacioneve, gjetëm dy rrënjë: 200 dhe 1.5. Vetëm vlera e parë plotëson gjendjen tonë.

Zëvendësoni vlerën e x në ekuacion dhe gjeni vlerën e y:
nëse x = 200, atëherë y = 3.

Kështu, depozita fillestare ishte 200 dollarë, dhe banka bën një akrument prej 3% në vit.

Përgjigje: 200 dollarë; 3%.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Sistemet e ekuacioneve janë përdorur gjerësisht në industrinë ekonomike me modelimi matematik procese të ndryshme. Për shembull, kur zgjidhen problemet e menaxhimit dhe planifikimit të prodhimit, rrugët e logjistikës ( problem transporti) ose vendosja e pajisjeve.

Sistemet e ekuacioneve përdoren jo vetëm në matematikë, por edhe në fizikë, kimi dhe biologji, kur zgjidhen problemet e gjetjes së madhësisë së popullsisë.

Sistemi ekuacionet lineare emërtoni dy ose më shumë ekuacione me disa ndryshore për të cilat është e nevojshme të gjendet një zgjidhje e përbashkët. Një sekuencë e tillë numrash për të cilat të gjitha ekuacionet bëhen barazi të vërteta ose vërtetojnë se sekuenca nuk ekziston.

Ekuacioni linear

Ekuacionet e trajtës ax+by=c quhen lineare. Emërtimet x, y janë të panjohurat vlera e të cilave duhet gjetur, b, a janë koeficientët e ndryshoreve, c është termi i lirë i ekuacionit.
Zgjidhja e një ekuacioni duke e vizatuar do të duket si një vijë e drejtë, të gjitha pikat e së cilës janë zgjidhje të polinomit.

Llojet e sistemeve të ekuacioneve lineare

Shembujt më të thjeshtë konsiderohen të jenë sistemet e ekuacioneve lineare me dy ndryshore X dhe Y.

F1(x, y) = 0 dhe F2(x, y) = 0, ku F1,2 janë funksione dhe (x, y) janë variabla funksioni.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve - kjo do të thotë gjetja e vlerave (x, y) në të cilat sistemi kthehet në një barazi të vërtetë ose vërtetimi që vlerat e përshtatshme të x dhe y nuk ekzistojnë.

Një çift vlerash (x, y), të shkruara si koordinatat e një pike, quhet zgjidhje e një sistemi ekuacionesh lineare.

Nëse sistemet kanë një zgjidhje të përbashkët ose nuk ekziston asnjë zgjidhje, ato quhen ekuivalente.

Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare janë sisteme pjesa e djathtë që është e barabartë me zero. Nëse pjesa e djathtë pas shenjës së barabartë ka një vlerë ose shprehet me një funksion, një sistem i tillë është heterogjen.

Numri i variablave mund të jetë shumë më tepër se dy, atëherë duhet të flasim për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare me tre ose më shumë ndryshore.

Kur përballen me sisteme, nxënësit e shkollës supozojnë se numri i ekuacioneve duhet domosdoshmërisht të përkojë me numrin e të panjohurave, por nuk është kështu. Numri i ekuacioneve në sistem nuk varet nga variablat mund të ketë aq sa dëshironi.

Metoda të thjeshta dhe komplekse për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Nuk ka asnjë të përbashkët metodë analitike zgjidhjet për sisteme të tilla, të gjitha metodat bazohen në zgjidhje numerike. NË kursi shkollor matematika, metoda të tilla si ndërrimi, mbledhja algjebrike, zëvendësimi, si dhe grafike dhe metoda e matricës, zgjidhje me metodën Gaussian.

Detyra kryesore kur mësoni metodat e zgjidhjes është të mësoni se si të analizoni saktë sistemin dhe të gjeni algoritmin optimal të zgjidhjes për secilin shembull. Gjëja kryesore nuk është të mësosh përmendësh një sistem rregullash dhe veprimesh për secilën metodë, por të kuptosh parimet e përdorimit të një metode të veçantë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare të programit të klasës së 7-të shkolla e mesme mjaft e thjeshtë dhe e shpjeguar me shumë detaje. Në çdo tekst të matematikës, këtij seksioni i kushtohet vëmendje e mjaftueshme. Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Gauss dhe Cramer është studiuar më hollësisht në vitet e para të arsimit të lartë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën e zëvendësimit

Veprimet e metodës së zëvendësimit synojnë të shprehin vlerën e një ndryshore në terma të të dytës. Shprehja zëvendësohet në ekuacionin e mbetur, pastaj reduktohet në një formë me një ndryshore. Veprimi përsëritet në varësi të numrit të të panjohurave në sistem

Le të japim një zgjidhje për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare të klasës 7 duke përdorur metodën e zëvendësimit:

Siç mund të shihet nga shembulli, ndryshorja x u shpreh përmes F(X) = 7 + Y. Shprehja rezultuese, e zëvendësuar në ekuacionin e dytë të sistemit në vend të X, ndihmoi për të marrë një ndryshore Y në ekuacionin e dytë. . Zgjidhje ky shembull nuk shkakton vështirësi dhe ju lejon të merrni vlerën Y Hapi i fundit është të kontrolloni vlerat e marra.

Nuk është gjithmonë e mundur të zgjidhet një shembull i një sistemi ekuacionesh lineare me zëvendësim. Ekuacionet mund të jenë komplekse dhe shprehja e ndryshores në termat e të panjohurës së dytë do të jetë shumë e rëndë për llogaritjet e mëtejshme. Kur ka më shumë se 3 të panjohura në sistem, zgjidhja me zëvendësim është gjithashtu e papërshtatshme.

Zgjidhja e një shembulli të një sistemi ekuacionesh lineare johomogjene:

Zgjidhje duke përdorur mbledhjen algjebrike

Kur kërkojnë zgjidhje për sistemet duke përdorur metodën e mbledhjes, ata kryejnë mbledhjen term pas termi dhe shumëzimin e ekuacioneve me numra të ndryshëm. Qëllimi përfundimtar veprimet matematikore është një ekuacion me një ndryshore.

Për Aplikimet këtë metodë kërkohet praktikë dhe vëzhgim. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes kur ka 3 ose më shumë ndryshore nuk është e lehtë. Shtimi algjebrik është i përshtatshëm për t'u përdorur kur ekuacionet përmbajnë thyesa dhe dhjetore.

Algoritmi i zgjidhjes:

Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një numër të caktuar. Si rezultat veprim aritmetik një nga koeficientët e ndryshores duhet të jetë i barabartë me 1.
Shtoni shprehjen që rezulton term pas termi dhe gjeni një nga të panjohurat.
Zëvendësoni vlerën që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit për të gjetur variablin e mbetur.

Metoda e zgjidhjes duke futur një ndryshore të re

Një variabël i ri mund të futet nëse sistemi kërkon gjetjen e një zgjidhjeje për jo më shumë se dy ekuacione, gjithashtu numri i të panjohurave duhet të jetë jo më shumë se dy.

Metoda përdoret për të thjeshtuar një nga ekuacionet duke futur një ndryshore të re. Ekuacioni i ri zgjidhet për të panjohurën e futur dhe vlera që rezulton përdoret për të përcaktuar variablin origjinal.

Shembulli tregon se duke futur një ndryshore të re t, ishte e mundur të reduktohej ekuacioni i parë i sistemit në atë standard. trinom kuadratik. Ju mund të zgjidhni një polinom duke gjetur diskriminuesin.

Është e nevojshme të gjendet vlera diskriminuese nga formula e njohur: D = b2 - 4*a*c, ku D është diskriminuesi i dëshiruar, b, a, c janë faktorët e polinomit. NË shembulli i dhënë a=1, b=16, c=39, pra D=100. Nëse diskriminuesi Mbi zero, atëherë ka dy zgjidhje: t = -b±√D / 2*a, nëse diskriminuesi më pak se zero, atëherë ka vetëm një zgjidhje: x= -b / 2*a.

Zgjidhja për sistemet rezultuese gjendet me metodën e shtimit.

Metoda vizuale për zgjidhjen e sistemeve

I përshtatshëm për 3 sisteme ekuacionesh. Metoda është të ndërtohet mbi boshti koordinativ grafikët e çdo ekuacioni të përfshirë në sistem. Koordinatat e pikave të prerjes së kthesave dhe do të jenë vendim i përgjithshëm sistemeve.

Metoda grafike ka një numër nuancash. Le të shohim disa shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare në mënyrë vizuale.

Siç shihet nga shembulli, për secilën rresht u ndërtuan dy pika, u zgjodhën në mënyrë arbitrare vlerat e ndryshores x: 0 dhe 3. Bazuar në vlerat e x, u gjetën vlerat për y: 3 dhe 0. Pikat me koordinata (0, 3) dhe (3, 0) janë shënuar në grafik dhe janë lidhur me një vijë.

Hapat duhet të përsëriten për ekuacionin e dytë. Pika e prerjes së vijave është zgjidhja e sistemit.

NË shembullin e mëposhtëm duhet gjetur zgjidhje grafike sistemet e ekuacioneve lineare: 0.5x-y+2=0 dhe 0.5x-y-1=0.

Siç shihet nga shembulli, sistemi nuk ka zgjidhje, sepse grafikët janë paralelë dhe nuk kryqëzohen në të gjithë gjatësinë e tyre.

Sistemet nga shembujt 2 dhe 3 janë të ngjashëm, por kur ndërtohen, bëhet e qartë se zgjidhjet e tyre janë të ndryshme. Duhet mbajtur mend se nuk është gjithmonë e mundur të thuhet nëse një sistem ka një zgjidhje apo jo, është gjithmonë e nevojshme të ndërtohet një grafik.

Matrica dhe varietetet e saj

Matricat përdoren për shënim i shkurtër sistemet e ekuacioneve lineare. Një matricë është një tabelë lloj i veçantë e mbushur me numra. n*m ka n - rreshta dhe m - kolona.

Një matricë është katror kur numri i kolonave dhe rreshtave është i barabartë. Një matricë-vektor është një matricë e një kolone me infinit numri i mundshëm linjat. Matricë me njësi përgjatë njërës prej diagonaleve dhe të tjerave elemente zero e quajtur njësi.

Një matricë e kundërt është një matricë kur shumëzohet me të cilën ajo origjinale shndërrohet në një matricë njësi një matricë e tillë ekziston vetëm për atë origjinale.

Rregullat për shndërrimin e një sistemi ekuacionesh në një matricë

Në lidhje me sistemet e ekuacioneve, koeficientët dhe anëtarë të lirë ekuacionet, një ekuacion - një rresht i matricës.

Një rresht i një matrice thuhet se është jozero nëse të paktën një element i rreshtit nuk është e barabartë me zero. Prandaj, nëse në ndonjë nga ekuacionet numri i variablave ndryshon, atëherë është e nevojshme të futet zero në vend të të panjohurës që mungon.

Kolonat e matricës duhet të korrespondojnë rreptësisht me variablat. Kjo do të thotë se koeficientët e ndryshores x mund të shkruhen vetëm në një kolonë, për shembull e para, koeficienti i të panjohurës y - vetëm në të dytën.

Kur shumëzoni një matricë, të gjithë elementët e matricës shumëzohen në mënyrë sekuenciale me një numër.

Opsione për gjetjen e matricës së kundërt

Formula për gjetjen e matricës së kundërt është mjaft e thjeshtë: K -1 = 1 / |K|, ku K -1 - matricë e anasjelltë, dhe |K| është përcaktor i matricës. |K| nuk duhet të jetë e barabartë me zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje.

Përcaktori llogaritet lehtësisht për një matricë dy-nga-dy ju vetëm duhet të shumëzoni elementët diagonale me njëri-tjetrin. Për opsionin "tre nga tre", ekziston një formulë |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Ju mund të përdorni formulën, ose mund të mbani mend se duhet të merrni një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë në mënyrë që numrat e kolonave dhe rreshtave të elementeve të mos përsëriten në punë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e matricës

Metoda e matricës për të gjetur një zgjidhje ju lejon të reduktoni hyrjet e rënda kur zgjidhni sisteme me sasi e madhe variablat dhe ekuacionet.

Në shembull, një nm janë koeficientët e ekuacioneve, matrica është një vektor x n janë variabla dhe b n janë terma të lirë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën Gaussian

NË matematikë e lartë Metoda Gaussian studiohet së bashku me metodën Cramer dhe procesi i gjetjes së zgjidhjeve për sistemet quhet metoda e zgjidhjes Gauss-Cramer. Këto metoda përdoren për të gjetur sistemet e ndryshueshme me një numër të madh ekuacionesh lineare.

Metoda e Gausit është shumë e ngjashme me zgjidhjet që përdorin zëvendësime dhe shtimi algjebrik, por më sistematike. Në kursin e shkollës, zgjidhja me metodën Gaussian përdoret për sistemet me 3 dhe 4 ekuacione. Qëllimi i metodës është të zvogëlojë sistemin në formën e një trapezi të përmbysur. Nga transformimet algjebrike dhe zëvendësimet, vlera e një ndryshoreje gjendet në një nga ekuacionet e sistemit. Ekuacioni i dytë është një shprehje me 2 të panjohura, ndërsa 3 dhe 4 janë, përkatësisht, me 3 dhe 4 ndryshore.

Pas sjelljes së sistemit në formën e përshkruar, zgjidhja e mëtejshme reduktohet në zëvendësimin vijues të variablave të njohur në ekuacionet e sistemit.

NË tekstet shkollore për klasën 7, një shembull i një zgjidhjeje me metodën Gaussian përshkruhet si më poshtë:

Siç shihet nga shembulli, në hapin (3) janë marrë dy ekuacione: 3x 3 -2x 4 =11 dhe 3x 3 +2x 4 =7. Zgjidhja e ndonjë prej ekuacioneve do t'ju lejojë të gjeni një nga variablat x n.

Teorema 5, e cila përmendet në tekst, thotë se nëse një nga ekuacionet e sistemit zëvendësohet me një ekuivalent, atëherë sistemi që rezulton do të jetë gjithashtu i barabartë me atë origjinal.

Metoda e Gausit është e vështirë për t'u kuptuar nga studentët gjimnaz, por është një nga mënyrat më interesante për të zhvilluar zgjuarsinë e fëmijëve të regjistruar në programe të avancuara mësimore në klasat e matematikës dhe fizikës.

Për lehtësinë e regjistrimit, llogaritjet zakonisht bëhen si më poshtë:

Koeficientët e ekuacioneve dhe termat e lirë shkruhen në formën e një matrice, ku çdo rresht i matricës korrespondon me një nga ekuacionet e sistemit. ndan ana e majte ekuacionet nga e djathta. Numrat romakë tregojnë numrin e ekuacioneve në sistem.

Fillimisht shkruani matricën me të cilën do të punohet, pastaj të gjitha veprimet e kryera me një nga rreshtat. Matrica që rezulton shkruhet pas shenjës "shigjeta" dhe vazhdon të kryejë të nevojshmen operacionet algjebrike derisa të arrihet rezultati.

Rezultati duhet të jetë një matricë në të cilën një nga diagonalet është e barabartë me 1, dhe të gjithë koeficientët e tjerë janë të barabartë me zero, domethënë, matrica reduktohet në një formë njësi. Nuk duhet të harrojmë të kryejmë llogaritjet me numra në të dy anët e ekuacionit.

Kjo metodë regjistrimi është më pak e rëndë dhe ju lejon të mos shpërqendroheni duke renditur shumë të panjohura.

Përdorimi falas i çdo metode zgjidhjeje do të kërkojë kujdes dhe përvojë. Jo të gjitha metodat janë të një natyre aplikative. Disa metoda për të gjetur zgjidhje janë më të preferuara në një fushë të caktuar të veprimtarisë njerëzore, ndërsa të tjera ekzistojnë për qëllime edukative.

Të jesh në gjendje të zgjidhësh sisteme ekuacionesh lineare është shumë e mirë, por zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve në vetvete është vetëm një metodë për më shumë detyra komplekse. Duke përdorur sistemet e ekuacioneve që mund të zgjidhni detyra të ndryshme që hasim në jetë.

Algjebra është shkenca e zgjidhjes së ekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve. Ky është pikërisht përkufizimi që shkencëtarët përdorën në fund të shekullit të 20-të. Shkencëtari i famshëm Rene Descartes është i famshëm për një nga veprat e tij, e cila quhet "Metoda e Dekartit". Dekarti besonte se çdo problem mund të reduktohet në një problem matematikor problem matematike mund të reduktohet në sistemi algjebrik ekuacionet. Dhe çdo sistem mund të reduktohet në zgjidhjen e një ekuacioni të vetëm.

Fatkeqësisht, Dekarti nuk pati kohë për të përfunduar plotësisht metodën e tij dhe nuk i shkroi të gjitha pikat e saj, por ideja është shumë e mirë.

Dhe tani ne, si Dekarti, do të zgjidhim probleme duke përdorur sisteme ekuacionesh, natyrisht, jo ndonjë, por vetëm ato që mund të reduktohen në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare.

Skema e përgjithshme për zgjidhjen e problemit duke përdorur sisteme ekuacionesh

Le të përshkruajmë skemën e përgjithshme për zgjidhjen e problemeve duke përdorur sisteme ekuacionesh:

1. Për sasi të panjohura, ne prezantojmë shënime të caktuara dhe krijojmë një sistem ekuacionesh lineare.
2. Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare që rezulton.
3. Përdor shënimet e futura dhe shkruaj përgjigjen.

Le të përpiqemi të aplikojmë këtë diagram në një detyrë specifike.

Dihet se dy lapsa dhe tre fletore kushtojnë 35 rubla, dhe dy fletore dhe tre lapsa kushtojnë 40 rubla. Duhet të zbuloni se sa kushtojnë pesë lapsa dhe gjashtë fletore.

Zgjidhja:

Duhet të gjejmë se sa kushtojnë veçmas një laps dhe një fletore. Nëse kemi të dhëna të tilla, atëherë nuk do të jetë e vështirë të vendosim se sa kushtojnë pesë lapsa dhe gjashtë fletore.

Le të shënojmë me x çmimin e një lapsi në rubla. Dhe y është çmimi i një fletoreje në rubla. Tani lexoni me kujdes kushtin dhe krijoni një ekuacion.

"dy lapsa dhe tre fletore kushtojnë 35 rubla" do të thotë

2*x+3*y = 35;

Prandaj, "dy fletore dhe tre lapsa kushtojnë 40 rubla".

3*x+2*y = 40;

Ne marrim një sistem ekuacionesh:

(2*x+3*y = 35;
(3*x+2*y = 40;

Pika e parë ka mbaruar. Tani është e nevojshme të zgjidhet sistemi rezultues i ekuacioneve duke përdorur ndonjë nga metodat e njohura.

Pasi të kemi zgjidhur, marrim x=10 dhe y=5.

Duke u kthyer në shënimin origjinal, kemi se çmimi i një lapsi është 10 rubla, dhe çmimi i një fletore është 5 rubla.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ne ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Kundër rrymës

Me rrjedhën

Nr 1193. Matematikë klasa V. N.Ya.Vilenkin

? km/h

№ 14.1

Distanca midis dy pikave përgjatë lumit është 80 km. Varka e përshkon këtë distancë përgjatë lumit për 4 orë, dhe kundër rrymës për 5 orë. Gjeni shpejtësinë e varkës në drejtim të rrymës dhe në rrjedhën e sipërme.

Me rrjedhën

4 (x+y)

5 (x-v)

Përgjigje:

№ 14.4

Një varkë udhëton 10 km në drejtim të rrymës në 4 orë më pak se në 6 orë kundrejt rrymës. Gjej shpejtësinë e vet varkat, nëse një trap në të njëjtin lumë në 15 orë noton të njëjtën distancë në 15 orë sa një varkë udhëton në një liqen për 2 orë.

Kundër rrjedhjes

Me rrjedhën

4 (x+y)

në 10

6 (x-v)

4(x+y) +10 =6(x-y)

4x+4y+10=6x-6y

4x-6x+4y+6y=-10

Përgjigje:

№ 14.10

Nr ha

në 1 ditë

Sasia

ditë

Gjithsej ha

1 shofer traktori

2 shofer traktori

№ 14.10

Dy traktoristë lëruan 678 hektarë së bashku. Traktoristi i parë ka punuar 8 ditë, kurse i dyti 11 ditë. Sa hektarë lëronte çdo traktoristi në ditë, nëse traktoristi i parë lëronte 22 hektarë më pak në çdo 3 ditë se i dyti në 4 ditë?

Nr ha

në 1 ditë

Sasia

ditë

Gjithsej ha

1 shofer traktori

në 22 hektarë

më pak

2 shofer traktori

Përgjigje:

№ 14.5

Një anije me motor udhëton 120 km në 5 orë kundër rrjedhës së lumit dhe 180 km në 6 orë në rrjedhën e poshtme. Gjeni shpejtësinë e rrjedhës së lumit dhe shpejtësinë e vetë anijes.

Me rrjedhën

6 (x+y)

5 (x-v)

Përgjigje:

№ 14.11

Sasia.

në 1 orë

Sasia

orë

Total

brigadës

№ 14.11

Dy ekipe punuan për korrjen e patateve. Ditën e parë, një ekip punoi 2 orë, ndërsa e dyta 3 orë, dhe mblodhën 23 centner patate. Në ditën e dytë, ekipi i parë mblodhi 2 kuintalë më shumë në 3 orë punë sesa i dyti në 2 orë. Sa centna patate korr çdo ekip në 1 orë punë?

Sasia.

në 1 orë

Sasia

orë

Total

brigadës

me 2 ct

më shumë

brigadës

Përgjigje:

№ 14.7

x-1 numër

y-2 numri

3(x-y)=(x+y)+6

2(x-y)=(x+y)+9

Përgjigje:

№ 14.12

Sasia t

për 1 fluturim

Sasia

fluturimet

Total

ton

makinë

№ 14.12

Ditën e parë janë eksportuar 27 ton drithë, ku njëra automjet ka kryer 4 udhëtime dhe tjetra 3 udhëtime. Të nesërmen, makina e dytë transportoi 11 tonë më shumë në 4 udhëtime sesa makina e parë në 3 udhëtime. Sa tonë drithë u transportuan në çdo automjet në një udhëtim?

Sasia t

për 1 fluturim

Sasia

fluturimet

Total

ton

makinë

në orën 11

më shumë

makinë

Përgjigje:

№ 14.14

Sasia kg

në 1 kuti

Sasia

kutitë

Total

qershitë

për 3 sirtarë

më pak

qershi

№ 14.14

Në treg janë blerë 84 kg qershi dhe vishnje dhe janë blerë 3 kuti qershi më pak se qershitë. Sa kuti me qershi dhe vishnje janë blerë veçmas, nëse 1 kuti përmban 8 kg qershi dhe 10 kg vishnje?

Sasia kg

në 1 kuti

Sasia

kutitë

Total

qershitë

qershi