Përcaktimi i distancës ndërmjet: 1 - pikës dhe planit; 2 - i drejtë dhe i sheshtë; 3 - aeroplanë; 4 - kalimi i vijave të drejta konsiderohen së bashku, pasi algoritmi i zgjidhjes për të gjitha këto probleme është në thelb i njëjtë dhe përbëhet nga ndërtime gjeometrike, e cila duhet të kryhet për të përcaktuar distancën ndërmjet pikës së dhënë A dhe planit α. Nëse ka ndonjë ndryshim, ai konsiston vetëm në faktin se në rastet 2 dhe 3, përpara se të filloni të zgjidhni problemin, duhet të shënoni një pikë arbitrare A në vijën e drejtë m (rasti 2) ose rrafshin β (rasti 3). distancat ndërmjet drejtëzave që ndërpriten, fillimisht i mbyllim në rrafshe paralele α dhe β dhe më pas përcaktojmë distancën ndërmjet këtyre rrafsheve.

Le të shqyrtojmë secilin nga rastet e përmendura të zgjidhjes së problemit.

1. Përcaktimi i distancës ndërmjet një pike dhe një rrafshi.

Distanca nga një pikë në një plan përcaktohet nga gjatësia e një segmenti pingul të tërhequr nga një pikë në plan.

Prandaj, zgjidhja e këtij problemi konsiston në kryerjen e njëpasnjëshme të operacioneve grafike të mëposhtme:

1) nga pika A e ulim pingulen me rrafshin α (Fig. 269);

2) gjeni pikën M të prerjes së kësaj pingule me rrafshin M = a ∩ α;

3) përcaktoni gjatësinë e segmentit.

Nëse rrafshi α pozicioni i përgjithshëm, atëherë për të ulur një pingul në këtë rrafsh, është e nevojshme që fillimisht të përcaktohet drejtimi i projeksioneve horizontale dhe ballore të këtij rrafshi. Gjetja e pikës së takimit të kësaj pingule me rrafshin kërkon edhe ndërtime gjeometrike shtesë.

Zgjidhja e problemit thjeshtohet nëse rrafshi α zë një pozicion të veçantë në raport me rrafshet e projeksionit. Në këtë rast si projeksioni i pingules ashtu edhe gjetja e pikës së takimit të saj me rrafshin kryhen pa asnjë ndërtim ndihmës shtesë.

SHEMBULL 1. Përcaktoni distancën nga pika A në rrafshin e projektimit ballor α (Fig. 270).

ZGJIDHJE. Nëpërmjet A" vizatojmë projeksionin horizontal të l" ⊥ h 0α, dhe përmes A" - projeksionin e tij ballor l" ⊥ f 0α. Shënojmë pikën M" = l" ∩ f 0α . Që nga AM || π 2, pastaj [A" M"] == |AM| = d.

Nga shembulli i konsideruar, është e qartë se sa thjesht zgjidhet problemi kur avioni zë një pozicion projektues. Prandaj, nëse një plan i përgjithshëm i pozicionit është specifikuar në të dhënat e burimit, atëherë përpara se të vazhdohet me zgjidhjen, rrafshi duhet të zhvendoset në një pozicion pingul me çdo plan projeksioni.

SHEMBULL 2. Përcaktoni distancën nga pika K deri në rrafshin e specifikuar nga ΔАВС (Fig. 271).

1. Transferojmë rrafshin ΔАВС në pozicionin e projektimit *. Për ta bërë këtë, ne kalojmë nga sistemi xπ 2 /π 1 në x 1 π 3 /π 1: drejtimi i boshtit të ri x 1 zgjidhet pingul me projeksionin horizontal të planit horizontal të trekëndëshit.

2. Projektoni ΔABC në një plan të ri π 3 (aeroplani ΔABC është projektuar në π 3, në [ C " 1 B " 1 ]).

3. Projektoni pikën K në të njëjtin rrafsh (K" → K" 1).

4. Nëpër pikën K" 1 vizatojmë (K" 1 M" 1)⊥ segmentin [C" 1 B" 1]. Distanca e kërkuar d = |K" 1 M" 1 |

Zgjidhja e problemit thjeshtohet nëse rrafshi përcaktohet me gjurmë, pasi nuk ka nevojë të vizatohen projeksione të linjave të nivelit.

SHEMBULL 3. Përcaktoni distancën nga pika K në rrafshin α, të specifikuar nga gjurmët (Fig. 272).

* Shumica mënyrë racionale transferimi i rrafshit të trekëndëshit në pozicionin e projektimit është një mënyrë për të zëvendësuar planet e projeksionit, pasi në këtë rast mjafton të ndërtohet vetëm një projeksion ndihmës.

ZGJIDHJE. Zëvendësojmë rrafshin π 1 me rrafshin π 3, për këtë vizatojmë një bosht të ri x 1 ⊥ f 0α. Në h 0α shënojmë një pikë arbitrare 1" dhe përcaktojmë projeksionin e ri horizontal të saj në rrafshin π 3 (1" 1). Nëpër pikat X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) dhe 1" 1 vizatojmë h 0α 1. Përcaktojmë projeksionin e ri horizontal të pikës K → K" 1. Nga pika K" 1 e ulim pingulen me h 0α 1 dhe shënojmë pikën e kryqëzimit të saj me h 0α 1 - M" 1. Gjatësia e segmentit K" 1 M" 1 do të tregojë distancën e kërkuar.

2. Përcaktimi i distancës ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit.

Distanca ndërmjet një vije dhe një rrafshi përcaktohet nga gjatësia e një segmenti pingul të rënë nga një pikë arbitrare në vijë në rrafsh (shih Fig. 248).

Prandaj, zgjidhja e problemit të përcaktimit të distancës ndërmjet drejtëzës m dhe planit α nuk ndryshon nga shembujt e diskutuar në paragrafin 1 për përcaktimin e distancës midis një pike dhe një rrafshi (shih Fig. 270 ... 272). Si pikë, mund të merrni çdo pikë që i përket rreshtit m.

3. Përcaktimi i distancës ndërmjet planeve.

Distanca midis planeve përcaktohet nga madhësia e segmentit pingul të rënë nga një pikë e marrë në një rrafsh në një plan tjetër.

Nga ky përkufizim del se algoritmi për zgjidhjen e problemit të gjetjes së distancës ndërmjet rrafsheve α dhe β ndryshon nga një algoritëm i ngjashëm për zgjidhjen e problemit të përcaktimit të distancës ndërmjet drejtëzës m dhe planit α vetëm në atë drejtëzë m duhet t'i përkasë rrafshit α. , d.m.th., për të përcaktuar distancën midis planeve α dhe β, vijon:

1) merr një vijë të drejtë m në rrafshin α;

2) zgjidhni një pikë arbitrare A në rreshtin m;

3) nga pika A, ulni pingulën l në rrafshin β;

4) përcaktoni pikën M - pikën e takimit të pingules l me rrafshin β;

5) përcaktoni madhësinë e segmentit.

Në praktikë, këshillohet përdorimi i një algoritmi të ndryshëm zgjidhjeje, i cili do të ndryshojë nga ai i dhënë vetëm në atë që, përpara se të vazhdohet me hapin e parë, aeroplanët duhet të transferohen në pozicionin e projeksionit.

Përfshirja e këtij operacioni shtesë në algoritëm thjeshton ekzekutimin e të gjitha pikave të tjera pa përjashtim, gjë që përfundimisht çon në një zgjidhje më të thjeshtë.

SHEMBULL 1. Përcaktoni distancën midis planeve α dhe β (Fig. 273).

ZGJIDHJE. Ne lëvizim nga sistemi xπ 2 /π 1 në x 1 π 1 / π 3. drejt aeroplan i ri Planet π 3 α dhe β zënë një pozicion të projektuar, prandaj distanca midis gjurmëve të reja ballore f 0α 1 dhe f 0β 1 është e dëshiruara.

NË praktikë inxhinierike shpesh ju duhet të zgjidhni problemin e ndërtimit të një rrafshi paralel me një të dhënë dhe të largët prej tij duke distancë e caktuar. Shembulli 2 më poshtë ilustron zgjidhjen e një problemi të tillë.

SHEMBULL 2. Kërkohet ndërtimi i projeksioneve të një rrafshi β paralel me një rrafsh të caktuar α (m || n), nëse dihet se distanca ndërmjet tyre është d (Fig. 274).

1. Në rrafshin α vizatojmë vija arbitrare horizontale h (1, 3) dhe vija ballore f (1,2).

2. Nga pika 1 rivendosim pingulën l në rrafshin α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Në l pingul shënojmë një pikë arbitrare A.

4. Përcaktoni gjatësinë e segmentit - (pozicioni tregon në diagram drejtimin metrikisht të pashtrembëruar të drejtëzës l).

5. Vendosni segmentin = d në vijën e drejtë (1"A 0) nga pika 1".

6. Shënoni në projeksionet l" dhe l" pikat B" dhe B", që korrespondojnë me pikën B 0.

7. Nëpër pikën B vizatojmë rrafshin β (h 1 ∩ f 1). Për β || α, është e nevojshme të respektohet kushti h 1 || h dhe f 1 || f.

4. Përcaktimi i distancës ndërmjet drejtëzave të kryqëzuara.

Distanca midis drejtëzave të kryqëzuara përcaktohet nga gjatësia e pingulit të mbyllur midis rrafsheve paralele të cilave u përkasin vijat e kryqëzuara.

Për të tërhequr rrafshet paralele të ndërsjellë α dhe β përmes drejtëzave të kryqëzuara m dhe f, mjafton të vizatoni përmes pikës A (A ∈ m) një drejtëz p paralele me drejtëzën f dhe përmes pikës B (B ∈ f) një drejtëz k paralele me të drejtën m . Drejtëzat ndërprerëse m dhe p, f dhe k përcaktojnë rrafshet paralele reciproke α dhe β (shih Fig. 248, e). Distanca ndërmjet rrafsheve α dhe β është e barabartë me distancën e kërkuar ndërmjet vijave të kryqëzimit m dhe f.

Një mënyrë tjetër mund të propozohet për përcaktimin e distancës midis vijave kryqëzuese, e cila konsiston në faktin se, duke përdorur një metodë të transformimit të projeksioneve ortogonale, njëra nga linjat kryqëzuese transferohet në pozicionin e projektimit. Në këtë rast, një projeksion i vijës degjeneron në një pikë. Distanca midis projeksioneve të reja të vijave të kryqëzimit (pika A" 2 dhe segmenti C" 2 D" 2) është ajo e kërkuar.

Në Fig. 275 tregon një zgjidhje për problemin e përcaktimit të distancës midis vijave të kryqëzimit a dhe b, duke dhënë segmentet [AB] dhe [CD]. Zgjidhja kryhet në sekuencën e mëposhtme:

1. Transferoni një nga vijat e kryqëzimit (a) në një pozicion paralel me rrafshin π 3; Për ta bërë këtë, lëvizni nga sistemi i planeve të projeksionit xπ 2 / π 1 në x 1 π 1 / π 3 të ri, boshti x 1 është paralel me projeksionin horizontal të vijës së drejtë a. Përcaktoni a" 1 [A" 1 B" 1 ] dhe b" 1.

2. Duke zëvendësuar rrafshin π 1 me rrafshin π 4, përkthejmë vijën e drejtë.

dhe në pozicionin a" 2, pingul me rrafshin π 4 (boshti i ri x 2 është tërhequr pingul me a" 1).

3. Ndërtoni një projeksion të ri horizontal të drejtëzës b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Distanca nga pika A" 2 në vijën e drejtë C" 2 D" 2 (segmenti (A" 2 M" 2 ] (është ajo e kërkuara.

Duhet pasur parasysh se kalimi i njërës prej vijave të kryqëzimit në pozicionin e projektimit nuk është gjë tjetër veçse kalimi i rrafsheve të paralelizmit, në të cilin mund të mbyllen drejtëzat a dhe b, edhe në pozicionin e projektimit.

Në fakt, duke lëvizur drejtëzën a në një pozicion pingul me rrafshin π 4, ne sigurojmë që çdo plan që përmban drejtëzën a është pingul me rrafshin π 4, duke përfshirë rrafshin α të përcaktuar nga drejtëzat a dhe m (a ∩ m, m | |. b). Nëse tani vizatojmë një drejtëz n, paralele me a dhe drejtëzën e prerë b, atëherë fitojmë rrafshin β, i cili është rrafshi i dytë i paralelizmit, i cili përmban drejtëzat e prera a dhe b. Që β || α, pastaj β ⊥ π 4 .

Çdo aeroplan brenda Sistemi kartezian koordinatat mund të jepen me ekuacionin 'Ax + By + Cz + D = 0', ku të paktën një nga numrat 'A', 'B', 'C' është jo zero. Le të jepet një pikë `M (x_0;y_0;z_0)`, le të gjejmë distancën prej saj në rrafshin `Ax + By + Cz + D = 0`.

Lëreni drejtëzën që kalon nëpër pikën `M` pingul me rrafshin `alfa`, e pret atë në pikën `K` me koordinata `(x; y; z)`. Vektori `vec(MK)` është pingul me rrafshin "alfa", siç është vektori "vecn" `(A;B;C)`, d.m.th., vektorët `vec(MK)` dhe `vecn` kolinear, `vec(MK)= λvecn`.

Meqenëse `(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` dhe `vecn(A,B,C)`, pastaj `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.

Pika `K` shtrihet në rrafshin `alfa` (Fig. 6), koordinatat e tij plotësojnë ekuacionin e rrafshit. Ne zëvendësojmë `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` në ekuacionin `Ax+By+Cz+D=0`, marrim

`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,

prej nga `lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)`.

Gjeni gjatësinë e vektorit `vec(MK)`, e cila është e barabartë me distancën nga pika `M(x_0;y_0;z_0)` në planin `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`.

Pra, distanca `h` nga pika `M(x_0;y_0;z_0)` në rrafshin `Ax + By + Cz + D = 0` është si më poshtë

`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`.

Në mënyrë gjeometrike gjetja e distancës nga pika "A" në rrafshin "alfa" gjej bazën e pingules "A A^"' të rënë nga pika "A" në rrafshin "alfa". Nëse pika "A^"" ndodhet jashtë seksionit të planit "alfa" të specifikuar në problem, pastaj përmes pikës "A" vizatoni një vijë të drejtë "c", paralel me rrafshin"alfa" dhe zgjidhni një pikë më të përshtatshme "C" në të, projeksion drejtshkrimor e cila `C^"` i përket këtij seksioni të rrafshit `alfa`. Gjatësia e segmentit `C C^”`do të jetë e barabartë me distancën e kërkuar nga pika `A`në rrafshin "alfa"..

Në të djathtë prizëm gjashtëkëndor`A...F_1`, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta me `1`, gjeni distancën nga pika `B` në rrafshin `AF F_1`.

Le të jetë `O` qendra e bazës së poshtme të prizmit (Fig. 7). Vija e drejtë "BO" është paralele me drejtëzën "AF" dhe, për rrjedhojë, distanca nga pika "B" në rrafshin "AF F_1" është e barabartë me distancën "OH" nga pika "O" në avioni `AF F_1`. Në trekëndëshin `AOF` kemi `AO=OF=AF=1`. Lartësia `OH` e këtij trekëndëshi është `(sqrt3)/2`. Prandaj, distanca e kërkuar është `(sqrt3)/2`.

Le të tregojmë një mënyrë tjetër (metoda e vëllimit ndihmës) gjetja e distancës nga një pikë në një plan. Dihet se vëllimi i piramidës `V` , zona e bazës së saj `S`dhe gjatësia e lartësisë `h`lidhen me formulën `h=(3V)/S`. Por gjatësia e lartësisë së një piramide nuk është gjë tjetër veçse distanca nga maja e saj në rrafshin e bazës. Prandaj, për të llogaritur distancën nga një pikë në një plan, mjafton të gjesh vëllimin dhe sipërfaqen e bazës së një piramide me kulmin në këtë pikë dhe me bazën që shtrihet në këtë plan.

Dana prizmi i saktë`A...D_1`, në të cilin `AB=a`, `A A_1=2a`. Gjeni distancën nga pika e kryqëzimit të diagonaleve të bazës `A_1B_1C_1D_1` në rrafshin `BDC_1`.

Konsideroni tetraedrin `O_1DBC_1` (Fig. 8). Distanca e kërkuar `h` është gjatësia e lartësisë së këtij tetraedri, e ulur nga pika `O_1` në rrafshin e faqes `BDC_1` . Për ta gjetur, mjafton të njihni vëllimin `V`katërkëndëshi `O_1DBC_1` dhe zona trekëndëshi `DBC_1`. Le t'i llogarisim ato. Vini re se vija e drejtë `O_1C_1` pingul me rrafshin `O_1DB`, sepse është pingul me `BD` dhe `B B_1` . Kjo do të thotë se vëllimi i tetraedrit është `O_1DBC_1` barazohet

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni tuajin informata personale sa herë që na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ne ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Ndërtoni gjurmët e rrafshit të dhëna nga ∆BCD dhe përcaktoni distancën nga pika A deri në aeroplan i dhënë metodë trekëndësh kënddrejtë (për koordinatat e pikave A, B, C dhe D, shih Tabelën 1 të seksionit Detyrat);

1.2. Shembull i detyrës nr. 1

Detyra e parë paraqet një grup detyrash në temat e mëposhtme:

1. Projeksioni ortogonal, diagrami Monge, pika, drejtëza, plani: nga koordinatat e njohura të tre pikave B, C, D të ndërtojnë projeksione horizontale dhe ballore të rrafshit të dhëna nga ∆ BCD;

2. Gjurmët e një vije të drejtë, gjurmët e një rrafshi, vetitë e përkatësisë në një rrafsh të drejtë: ndërtoni gjurmët e rrafshit të dhëna nga ∆ BCD;

3. Planet e përgjithshme dhe të veçanta, kryqëzimi i drejtëzës dhe rrafshit, pinguliteti i drejtëzës dhe rrafshit, kryqëzimi i planeve, metoda e trekëndëshit kënddrejtë: përcaktoni distancën nga një pikë A në rrafshin ∆ BCD.

1.2.1. Bazuar në koordinatat e njohura të tre pikave B, C, D le të ndërtojmë projeksionet horizontale dhe ballore të rrafshit të dhëna nga ∆ BCD(Figura 1.1), për të cilën është e nevojshme të ndërtohen projeksionet horizontale dhe ballore të kulmeve ∆ BCD, dhe më pas lidhni projeksionet e kulmeve me të njëjtin emër.

Dihet se duke ndjekur aeroplaninështë një vijë e drejtë e përftuar si rezultat i kryqëzimit të një rrafshi të caktuar me rrafshin e projeksionit .

Një aeroplan në pozicionin e përgjithshëm ka 3 gjurmë: horizontale, ballore dhe profili.

Për të ndërtuar gjurmë të një rrafshi, mjafton të ndërtohen gjurmët (horizontale dhe ballore) të çdo dy vijash të drejta që shtrihen në këtë rrafsh dhe t'i lidhim ato me njëra-tjetrën. Kështu, gjurma e rrafshit (horizontale ose ballore) do të përcaktohet në mënyrë unike, pasi përmes dy pikave në rrafsh (në në këtë rast këto pika do të jenë gjurmë vijash të drejta) mund të vizatoni një vijë të drejtë, dhe vetëm një.

Baza për këtë ndërtim është vetia e përkatësisë në një rrafsh të drejtë: nëse një vijë e drejtë i përket një rrafshi të caktuar, atëherë gjurmët e saj qëndrojnë në gjurmë të ngjashme të këtij rrafshi .

Gjurma e një drejtëze është pika e prerjes së kësaj drejtëze me rrafshin e projeksionit. .

Gjurma horizontale e një vije të drejtë shtrihet në plan horizontal projeksione, ballore – in rrafshi ballor projeksionet.

Le të shqyrtojmë ndërtimin gjurmë horizontale drejt D.B., për të cilën ju nevojiten:

1. Vazhdoni projeksionin ballor drejt D.B. derisa të kryqëzohet me boshtin X, pikë kryqëzimi M 2është projeksion frontal gjurmë horizontale;

2. Nga një pikë M 2 rivendosni pingulën (vijën e lidhjes së projeksionit) derisa të kryqëzohet me projeksionin horizontal të vijës së drejtë D.B. M 1 dhe do të jetë një projeksion horizontal i gjurmës horizontale (Figura 1.1), e cila përkon me vetë gjurmën M.

Gjurma horizontale e segmentit është ndërtuar në mënyrë të ngjashme NE drejt: pikë M'.

Për të ndërtuar gjurmë ballore segment C.B. direkt, ju duhet:

1. Vazhdoni projeksionin horizontal të vijës së drejtë C.B. derisa të kryqëzohet me boshtin X, pikë kryqëzimi N 1është një projeksion horizontal i gjurmës ballore;

2. Nga një pikë N 1 rivendosni pingulën (vijën e lidhjes së projeksionit) derisa të kryqëzohet me projeksionin ballor të vijës së drejtë C.B. ose vazhdimi i tij. Pika e kryqëzimit N 2 dhe do të jetë një projeksion ballor i gjurmës ballore, që përkon me vetë gjurmën N.

Lidhja e pikave M' 1 Dhe M 1 segmenti i linjës, marrim gjurmë horizontale aeroplan απ 1. Pika α x e prerjes së απ 1 me boshtin X thirrur pikë e zhdukjes . Për të ndërtuar gjurmën ballore të rrafshit απ 2, është e nevojshme të lidhet gjurma ballore N 2 me pikën e zhdukjes së gjurmëve α x

Figura 1.1 — Ndërtimi i gjurmëve të planit

Algoritmi për zgjidhjen e këtij problemi mund të paraqitet si më poshtë:

1. (D 2 B 2 ∩ OK) = M 2 ;
2. (MM 1 ∩ D 1 B 1) = M 1 = M;
3. (C 2 B 2 ∩ OK) = M' 2 ;
4. (M' 2 M' 1 ∩ C 1 B 1) = M' 1 = M';
5. (CB∩ π 2) = N 2 = N;
6. (MM') ≡ απ 1 ;
7. (α x N) ≡ απ 2 .

1.2.2. Për të zgjidhur pjesën e dytë të detyrës së parë duhet të dini se:

• distanca nga pika A në rrafshin ∆ BCD përcaktohet nga gjatësia e pingulit të rivendosur nga kjo pikë në rrafsh;
• çdo drejtëz është pingul me një rrafsh nëse është pingul me dy drejtëza të kryqëzuara që shtrihen në këtë rrafsh;
• në diagram, projeksionet e një vije të drejtë pingul me rrafshin janë pingul me projeksionet e pjerrëta të horizontales dhe ballore të këtij plani ose gjurmët me të njëjtin emër të rrafshit (Fig. 1.2) (shih teoremën për pingulën tek avioni në leksione).

Për të gjetur bazën e një pingule, është e nevojshme të zgjidhet problemi i kryqëzimit të një drejtëze (në këtë problem, një vijë e tillë është pingul me një plan) me një plan:

1. Mbyllni pingulën në një plan ndihmës, i cili duhet të jetë një plan me pozicion të veçantë (projektues horizontalisht ose ballor; në shembull, projektimi horizontal i γ merret si një plan ndihmës, domethënë pingul me π 1, gjurmën e tij horizontale γ 1 përkon me një projeksion horizontal të një pingul);

2. Gjeni drejtëzën e prerjes së rrafshit të dhënë ∆ BCD me γ ndihmese ( MN në Fig. 1.2);

3. Gjeni pikën e prerjes së drejtëzës së kryqëzimit të planeve MN me një pingul (pikë TE në Fig. 1.2).

4. Për të përcaktuar distancën e vërtetë nga një pikë A në një rrafsh të dhënë ∆ BCD duhet të përdoret Metoda e trekëndëshit kënddrejtë: madhësia e vërtetë e një segmenti është hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë, njëra këmbë e të cilit është një nga projeksionet e segmentit dhe tjetra është diferenca në distancat nga skajet e tij në rrafshin e projeksioneve në të cilin po zhvillohet ndërtimi. kryera.

5. Përcaktoni dukshmërinë e seksioneve pingul duke përdorur metodën e pikës konkurruese. Për shembull - pikë N Dhe 3 për të përcaktuar dukshmërinë në π 1, pika 4 , 5 - për të përcaktuar dukshmërinë në π 2.

Figura 1.2 - Ndërtimi i një pingule me rrafshin

Figura 1.3 - Shembull i projektimit detyrë kontrolli №1

Shembull video e përfundimit të detyrës nr. 1

1.3. Opsionet e detyrave 1

Udhëzimet

Për të gjetur distancën nga pikë përpara aeroplan duke përdorur metoda përshkruese: zgjidhni on aeroplan pikë arbitrare; vizatoni dy vija të drejta përmes saj (të shtrira në këtë aeroplan); rivendos pingul me aeroplan duke kaluar nga kjo pikë (ndërtoni një drejtëz pingul me të dy drejtëzat që ndërpriten në të njëjtën kohë); vizatoni një vijë të drejtë paralele me pingulen e ndërtuar përmes një pike të caktuar; gjeni distancën ndërmjet pikës së prerjes së kësaj drejtëze me rrafshin dhe pikës së dhënë.

Nëse pozicioni pikë dhënë nga koordinatat e saj tredimensionale, dhe pozicioni aeroplan – ekuacioni linear, pastaj për të gjetur distancën nga aeroplan përpara pikë, përdorni metodat gjeometria analitike: tregoni koordinatat pikë përmes x, y, z, përkatësisht (x – abshissa, y – ordinate, z – zbato); shënojmë me A, B, C, D ekuacionet aeroplan(A - parametër në abscissa, B - në, C - në aplikim, D - anëtar i lirë); llogarit distancën nga pikë përpara aeroplan sipas formulës:s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,ku s është distanca ndërmjet pikës dhe rrafshit,|| - vlere absolute(ose modul).

Shembull: Gjeni distancën midis pikës A me koordinatat (2, 3, -1) dhe rrafshit, dhënë nga ekuacioni: 7x-6y-6z+20=0 Zgjidhje nga kushtet del se: x=2,y=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20. Zëvendësoni këto vlera në sa më sipër, ju merrni: s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2. Përgjigje: Largësia nga pikë përpara aeroplanështë e barabartë me 2 (njësi arbitrare).

Këshillë 2: Si të përcaktoni distancën nga një pikë në një aeroplan

Përcaktimi i distancës nga pikë përpara aeroplan- një nga detyrat e zakonshme planimetria e shkollës. Siç dihet, më i vogli largësia nga pikë përpara aeroplan do të ketë një pingul të tërhequr nga kjo pikë për këtë aeroplan. Prandaj, gjatësia e kësaj pingule merret si distancë nga pikë përpara aeroplan.

Do t'ju duhet

• ekuacioni i rrafshët

Udhëzimet

Le të jepet e para e paraleles f1 me ekuacionin y=kx+b1. Përkthimi i shprehjes në formë e përgjithshme, ju merrni kx-y+b1=0, pra A=k, B=-1. Normalja për të do të jetë n=(k, -1).
Tani vijon një abshisë arbitrare e pikës x1 në f1. Atëherë ordinata e saj është y1=kx1+b1.
Le të jetë ekuacioni i sekondës së drejtëzave paralele f2 të formës:
y=kx+b2 (1),
ku k është e njëjtë për të dy drejtëzat, për shkak të paralelizmit të tyre.

Tjetra ju duhet të krijoni ekuacioni kanonik një drejtëz pingul me f2 dhe f1 që përmban pikën M (x1, y1). Në këtë rast, supozohet se x0=x1, y0=y1, S=(k, -1). Si rezultat, ju duhet të merrni barazinë e mëposhtme:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).

Pasi të keni zgjidhur sistemin e ekuacioneve të përbërë nga shprehjet (1) dhe (2), do të gjeni pikën e dytë që përcakton distancën e kërkuar midis atyre paralele N(x2, y2). Vetë distanca e kërkuar do të jetë e barabartë me d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

Shembull. Le të lëmë ekuacionet e drejtëzave të dhëna paralele në rrafshin f1 – y=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Merrni një pikë arbitrare x1=1 në f1. Atëherë y1=3. Kështu, pika e parë do të ketë koordinatat M (1,3). Ekuacioni i përgjithshëm pingul (3):
(x-1)/2 = -y+3 ose y=-(1/2)x+5/2.
Duke zëvendësuar këtë vlerë y në (1), ju merrni:
-(1/2)x+5/2=2x+5, (5/2)x=-5/2, x2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
Baza e dytë e pingules është në pikën me koordinata N (-1, 3). Distanca ndërmjet vijave paralele do të jetë:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.

Burimet:

• Zhvillimi i mushkërive atletikë në Rusi

Pjesa e sipërme e çdo të sheshtë ose vëllimore figura gjeometrike i përcaktuar në mënyrë unike nga koordinatat e tij në hapësirë. Në të njëjtën mënyrë, çdo pikë arbitrare në të njëjtin sistem koordinativ mund të përcaktohet në mënyrë unike, dhe kjo bën të mundur llogaritjen e distancës midis kësaj pikë arbitrare dhe pjesa e sipërme e figurës.

Do t'ju duhet

• - letër;
• - stilolaps ose laps;
• - kalkulator.

Udhëzimet

Reduktoni problemin në gjetjen e gjatësisë së një segmenti midis dy pikave, nëse dihen koordinatat e pikës së specifikuar në problem dhe kulmet e figurës gjeometrike. Kjo gjatësi mund të llogaritet duke përdorur teoremën e Pitagorës në lidhje me projeksionet e një segmenti në boshtin koordinativ - do të jetë e barabartë me rrenja katrore nga shuma e katrorëve të gjatësive të të gjitha projeksioneve. Për shembull, le të hyjë sistemi tredimensional koordinatat jepen nga pika A(X1;Y1;Z1) dhe kulmi C i çdo figure gjeometrike me koordinata (X2;Y2;Z2). Pastaj gjatësitë e projeksioneve të segmentit ndërmjet tyre mbi boshtet koordinative mund të jetë si X1-X2, Y1-Y2 dhe Z1-Z2, dhe gjatësia e segmentit si √((X1-X2)2+(Y1-Y2)2+(Z1-Z2)2). Për shembull, nëse koordinatat e pikës janë A(5;9;1), dhe kulmet janë C(7;8;10), atëherë distanca ndërmjet tyre do të jetë e barabartë me √((5-7)²+ (9-8)²+(1- 10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.

Fillimisht njehsoni koordinatat e kulmit nëse ato nuk janë paraqitur në mënyrë eksplicite në kushtet e problemit. Metoda specifike varet nga lloji i figurës dhe parametrat shtesë të njohur. Për shembull, nëse dihet Koordinatat 3D tre kulme A(X1;Y1;Z1), B(X2;Y2;Z2) dhe C(X3;Y3;Z3), pastaj koordinatat e kulmit të tij të katërt ( përballë kulmit B) do të jetë (X3+X2-X1; Y3+Y2-Y1; Z3+Z2-Z1). Pas përcaktimit të koordinatave të kulmit që mungon, llogaritja e distancës midis tij dhe një pike arbitrare do të reduktohet përsëri në përcaktimin e gjatësisë së segmentit midis këtyre dy pikave në sistemi i dhënë koordinatat - bëjeni këtë në të njëjtën mënyrë siç përshkruhet në hapin e mëparshëm. Për shembull, për kulmin e paralelogramit të përshkruar në këtë hap dhe pikën E me koordinata (X4;Y4;Z4), formula për llogaritjen e distancës nga hapi i mëparshëm mund të jetë si më poshtë: √((X3+X2-X1- X4)²+(Y3+Y2-Y1- Y4)2+(Z3+Z2-Z1-Z4)²).

Për llogaritjet praktike mund të përdorni, për shembull, të integruar motor kërkimi Google. Pra, për të llogaritur vlerën duke përdorur formulën e marrë në hapin e mëparshëm, për pikat me koordinata A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7; 9; 2), shkruani pyetjen e mëposhtme të kërkimit: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Motori i kërkimit do të llogarisë dhe shfaq rezultatin e llogaritjes (5.19615242).

Video mbi temën

Rimëkëmbja pingul për të aeroplan- nje nga detyra të rëndësishme në gjeometri, ajo qëndron në themel të shumë teoremave dhe provave. Për të ndërtuar një drejtëz pingul aeroplan, duhet të kryeni disa hapa me radhë.

Do t'ju duhet

• - aeroplani i dhënë;
• - pika nga e cila dëshironi të vizatoni një pingul;
• - busull;
• - sundimtar;
• - laps.