Mësim dhe prezantim me temën: "Sistemet e pabarazive. Shembuj zgjidhjesh"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Ndihma edukative dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 9
Libër mësimi interaktiv për klasën 9 "Rregullat dhe ushtrimet në gjeometri"
Teksti elektronik “Gjeometria e kuptueshme” për klasat 7-9

Sistemi i pabarazive

Le të prezantojmë përkufizimin e një sistemi pabarazish.
Disa pabarazi me disa ndryshore x formojnë një sistem pabarazish nëse ju duhet të gjeni të gjitha vlerat e x për të cilat secila prej pabarazive formon një të vërtetë shprehje numerike.

Çdo vlerë e x për të cilën çdo pabarazi merr shprehjen e saktë numerike është një zgjidhje e pabarazisë. Mund të quhet edhe një zgjidhje private.
Çfarë është një zgjidhje private? Për shembull, në përgjigje kemi marrë shprehjen x>7. Atëherë x=8, ose x=123, ose ndonjë numër tjetër më i madh se shtatë është një zgjidhje e veçantë, dhe shprehja x>7 është zgjidhje e përgjithshme. Zgjidhja e përgjithshme formohet nga shumë zgjidhje private.

Si e kombinuam sistemin e ekuacioneve? Kjo është e drejtë, një mbajtës kaçurrelë, dhe kështu ata bëjnë të njëjtën gjë me pabarazitë. Le të shohim një shembull të një sistemi pabarazish: $\begin(rastet)x+7>5\\x-3
Nëse sistemi i pabarazive përbëhet nga shprehje identike, për shembull, $\begin(rastet)x+7>5\\x+7
Pra, çfarë do të thotë: të gjesh një zgjidhje për një sistem pabarazish?
Një zgjidhje për një pabarazi është një grup zgjidhjesh të pjesshme për një pabarazi që plotëson të dy pabarazitë e sistemit në të njëjtën kohë.

Formën e përgjithshme të sistemit të pabarazive e shkruajmë si $\begin(rastet)f(x)>0\\g(x)>0\end(rastet)$

Le të shënojmë $Х_1$ si zgjidhje të përgjithshme të pabarazisë f(x)>0.
$X_2$ është zgjidhja e përgjithshme e pabarazisë g(x)>0.
$X_1$ dhe $X_2$ janë një grup zgjidhjesh të veçanta.
Zgjidhja e sistemit të pabarazive do të jenë numrat që i përkasin edhe $X_1$ dhe $X_2$.
Le të kujtojmë operacionet në grupe. Si i gjejmë elementet e një grupi që u përkasin të dy grupeve njëherësh? Është e drejtë, ekziston një operacion kryqëzimi për këtë. Pra, zgjidhja e pabarazisë sonë do të jetë bashkësia $A= X_1∩ X_2$.

Shembuj zgjidhjesh për sistemet e pabarazive

Zgjidh sistemin e pabarazive.
a) $\begin(rastet)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(rastet)2x-4≤6\\-x-4
Zgjidhje.
a) Zgjidh çdo pabarazi veç e veç.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x> 1$.
5x-10 dollarë
Le të shënojmë intervalet tona në një vijë koordinative.

Zgjidhja e sistemit do të jetë segmenti i kryqëzimit të intervaleve tona. Pabarazia është e rreptë, atëherë segmenti do të jetë i hapur.
Përgjigje: (1; 3).

B) Ne gjithashtu do të zgjidhim çdo pabarazi veç e veç.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5$.


Zgjidhja e sistemit do të jetë segmenti i kryqëzimit të intervaleve tona. Pabarazia e dytë është e rreptë, atëherë segmenti do të jetë i hapur në të majtë.
Përgjigje: (-5; 5].

Le të përmbledhim atë që kemi mësuar.
Le të themi se është e nevojshme të zgjidhet sistemi i pabarazive: $\begin(rastet)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(rastet)$.
Atëherë, intervali ($x_1; x_2$) është zgjidhja e pabarazisë së parë.
Intervali ($y_1; y_2$) është zgjidhja e pabarazisë së dytë.
Zgjidhja e një sistemi pabarazish është kryqëzimi i zgjidhjeve për çdo pabarazi.

Sistemet e pabarazive mund të përbëhen jo vetëm nga pabarazitë e rendit të parë, por edhe nga çdo lloj tjetër pabarazish.

Rregulla të rëndësishme për zgjidhjen e sistemeve të pabarazive.
Nëse një nga pabarazitë e sistemit nuk ka zgjidhje, atëherë i gjithë sistemi nuk ka zgjidhje.
Nëse njëra nga pabarazitë plotësohet për ndonjë vlerë të ndryshores, atëherë zgjidhja e sistemit do të jetë zgjidhja e pabarazisë tjetër.

Shembuj.
Zgjidheni sistemin e pabarazive:$\fille(rastet)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(rastet)$
Zgjidhje.
Le të zgjidhim çdo pabarazi veç e veç.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Le të zgjidhim pabarazinë e dytë.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Zgjidhja e pabarazisë është intervali.
Le të vizatojmë të dy intervalet në të njëjtën vijë dhe të gjejmë kryqëzimin.
Kryqëzimi i intervaleve është segmenti (4; 6].
Përgjigje: (4; 6].

Zgjidh sistemin e pabarazive.
a) $\begin(rastet)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(rastet)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(rastet ) $.

Zgjidhje.
a) Pabarazia e parë ka zgjidhje x>1.
Le të gjejmë diskriminuesin për pabarazinë e dytë.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Le të kujtojmë rregullin: kur një nga pabarazitë nuk ka zgjidhje, atëherë i gjithë sistemi nuk ka zgjidhje.
Përgjigje: Nuk ka zgjidhje.

B) Pabarazia e parë ka zgjidhje x>1.
Pabarazia e dytë më i madh se zero për të gjitha x. Atëherë zgjidhja e sistemit përkon me zgjidhjen e pabarazisë së parë.
Përgjigje: x>1.

Probleme mbi sistemet e pabarazive për zgjidhje të pavarur

Sistemi i pabaraziveËshtë zakon të quhet çdo grup prej dy ose më shumë pabarazish që përmbajnë një sasi të panjohur.

Ky formulim ilustrohet qartë, për shembull, nga sa vijon sistemet e pabarazive:

Zgjidh sistemin e pabarazive - do të thotë të gjesh të gjitha vlerat e një ndryshoreje të panjohur në të cilën realizohet çdo pabarazi e sistemit, ose të justifikosh që të tilla nuk ekzistojnë .

Kjo do të thotë se për çdo individ pabarazitë e sistemit Ne llogarisim variablin e panjohur. Më pas, nga vlerat që rezultojnë, zgjedh vetëm ato që janë të vërteta si për pabarazinë e parë ashtu edhe për të dytën. Prandaj, kur zëvendësohet vlera e zgjedhur, të dy pabarazitë e sistemit bëhen të sakta.

Le të shohim zgjidhjen e disa pabarazive:

Le të vendosim një çift vijash numerike njëra poshtë tjetrës; vendosni vlerën në krye x, për të cilën pabarazia e parë rreth ( x> 1) bëhen të vërteta, dhe në fund - vlera X, cilat janë zgjidhja e pabarazisë së dytë ( X> 4).

Duke krahasuar të dhënat mbi vijat numerike, vini re se zgjidhja për të dyja pabarazitë do X> 4. Përgjigje, X> 4.

Shembulli 2.

Duke llogaritur të parën pabarazia marrim -3 X< -6, или x> 2, e dyta - X> -8, ose X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, në të cilin realizohet i pari sistemi i pabarazisë, dhe në rreshtin e poshtëm numerik, të gjitha ato vlera X, në të cilën realizohet pabarazia e dytë e sistemit.

Duke krahasuar të dhënat, konstatojmë se të dyja pabarazitë do të zbatohet për të gjitha vlerat X, vendosur nga 2 në 8. Një grup vlerash X tregojnë pabarazi e dyfishtë 2 < X< 8.

Shembulli 3. Ne do të gjejmë

Programi për zgjidhjen lineare, kuadratike dhe pabarazitë thyesore jo vetëm që i jep përgjigje problemit, ai jep një zgjidhje të detajuar me shpjegime, d.m.th. shfaq procesin e zgjidhjes për të testuar njohuritë në matematikë dhe/ose algjebër.

Për më tepër, nëse në procesin e zgjidhjes së një prej pabarazive është e nevojshme të zgjidhet, për shembull, ekuacioni kuadratik, pastaj shfaqet edhe zgjidhja e tij e detajuar (përmban një spoiler).

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në përgatitjen për të testet, prindërve për të monitoruar zgjidhjet e fëmijëve të tyre ndaj pabarazive.

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme shkollat ​​e mesme në përgatitjen e testeve dhe provimeve, gjatë testimit të njohurive përpara Provimit të Unifikuar të Shtetit, që prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi ta kryeni sa më shpejt që të jetë e mundur? detyrat e shtëpisë

në matematikë apo algjebër? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara. Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin tuaj. vëllezërit më të vegjël

ose motrat, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e problemeve që zgjidhen.

Rregullat për futjen e pabarazive
Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.

Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etj.
Numrat mund të futen si numra të plotë ose të pjesshëm. Për më tepër, numrat thyesorë

mund të futet jo vetëm si një dhjetore, por edhe si një fraksion i zakonshëm.
Rregullat për futjen e thyesave dhjetore. Në dhjetore pjesë thyesore
mund të ndahet nga e tëra ose me pikë ose me presje. Për shembull, mund të hyni dhjetore

si kjo: 2.5x - 3.5x^2
Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.

Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ. Kur hyni thyesa numerike /
Numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: E gjithë pjesa &
e ndarë nga thyesa me një ampersand:
Hyrja: 3&1/3 - 5&6/5v +1/7y^2

Rezultati: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Ju mund të përdorni kllapa kur futni shprehje. Në këtë rast, kur zgjidhen pabarazitë, fillimisht thjeshtohen shprehjet. Për shembull:

5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3) Zgjidhni shenja e duhur

Zgjidh sistemin e pabarazive
U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.

Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.
Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë. Ju lutem prisni

sekondë... Nëse ju vuri re një gabim në zgjidhje
, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut. mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë.

futni në fusha

Pak teori.

Sistemet e pabarazive me një të panjohur. Intervalet numerike

U njohët me konceptin e një sistemi në klasën e 7-të dhe mësuat të zgjidhni sisteme ekuacionesh lineare me dy të panjohura. Më pas do të shqyrtojmë sistemet e pabarazive lineare me një të panjohur. Grupet e zgjidhjeve të sistemeve të pabarazive mund të shkruhen duke përdorur intervale (intervale, gjysmë-intervale, segmente, rreze). Do të njiheni gjithashtu me shënimin e intervaleve të numrave.

Nëse në pabarazitë \(4x > 2000\) dhe \(5x \leq 4000\) numër i panjohur x janë të njëjta, atëherë këto pabarazi konsiderohen së bashku dhe thuhet se formojnë një sistem pabarazish: $$ \left\(\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array) \djathtas .$$

Brace tregon se është e nevojshme të gjenden vlera të tilla të x për të cilat të dyja pabarazitë e sistemit kthehen në pabarazi numerike të sakta. Ky sistem- një shembull i një sistemi pabarazish lineare me një të panjohur.

Zgjidhja e një sistemi pabarazish me një të panjohur është vlera e të panjohurës në të cilën të gjitha pabarazitë e sistemit bëhen të vërteta pabarazitë numerike. Zgjidhja e një sistemi pabarazish do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet për këtë sistem ose të vërtetosh se nuk ka asnjë.

Pabarazitë \(x \geq -2 \) dhe \(x \leq 3 \) mund të shkruhen si një pabarazi e dyfishtë: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Zgjidhjet e sistemeve të pabarazive me një të panjohur janë të ndryshme grupe numrash. Këto grupe kanë emra. Po, në boshti numerik bashkësia e numrave x të tillë që \(-2 \leq x \leq 3 \) përfaqësohet nga një segment me skajet në pikat -2 dhe 3.

Nëse \(a është një segment dhe shënohet me [a; b]

Nëse \(a është një interval dhe shënohet me (a; b)

Bashkësitë e numrave \(x\) që plotësojnë pabarazitë \(a \leq x janë gjysmë-intervale dhe shënohen përkatësisht [a; b) dhe (a; b)

Segmentet, intervalet, gjysmëintervalet dhe rrezet quhen intervale numerike.

Kështu, intervale numerike mund të specifikohet në formën e pabarazive.

Zgjidhja e një pabarazie në dy të panjohura është një çift numrash (x; y) që ndryshon kjo pabarazi në pabarazinë e saktë numerike. Zgjidhja e një pabarazie do të thotë të gjesh grupin e të gjitha zgjidhjeve të saj. Kështu, zgjidhjet e pabarazisë x > y do të jenë, për shembull, çifte numrash (5; 3), (-1; -1), pasi \(5 \geq 3 \) dhe \(-1 \geq - 1\)

Zgjidhja e sistemeve të pabarazive

Vendosni pabarazitë lineare me një të panjohur që e keni mësuar tashmë. A e dini se çfarë është sistemi i pabarazive dhe zgjidhja e sistemit? Prandaj, procesi i zgjidhjes së sistemeve të pabarazive me një të panjohur nuk do t'ju shkaktojë ndonjë vështirësi.

E megjithatë, le t'ju kujtojmë: për të zgjidhur një sistem pabarazish, duhet të zgjidhni secilën pabarazi veç e veç dhe më pas të gjeni kryqëzimin e këtyre zgjidhjeve.

Për shembull, sistemi origjinal i pabarazive u reduktua në formën:
$$ \left\(\fillimi(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\djathtas. $$

Për të zgjidhur këtë sistem pabarazish, shënoni zgjidhjen e secilës pabarazi në vijën numerike dhe gjeni kryqëzimin e tyre:

Kryqëzimi është segmenti [-2; 3] - kjo është zgjidhja e sistemit origjinal të pabarazive.