Metoda e intervalit– një mënyrë e thjeshtë për të zgjidhur pabarazitë racionale thyesore. Ky është emri për pabarazitë që përmbajnë shprehje racionale (ose thyesore-racionale) që varen nga një ndryshore.
1. Konsideroni, për shembull, pabarazinë e mëposhtme
Metoda e intervalit ju lejon ta zgjidhni atë në disa minuta.
Në anën e majtë të kësaj pabarazie - funksion racional thyesor. Racionale sepse nuk përmban rrënjë, sinus, apo logaritme - vetëm shprehje racionale. Në të djathtë është zero.
Metoda e intervalit bazohet në pronë e mëposhtme funksion racional thyesor.
Një funksion racional thyesor mund të ndryshojë shenjë vetëm në ato pika në të cilat është e barabartë me zero ose nuk ekziston.
Le të kujtojmë se si faktorizohet një trinom kuadratik, domethënë një shprehje e formës .
Ku dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik.
Vizatojmë një bosht dhe vendosim pikat në të cilat numëruesi dhe emëruesi shkojnë në zero.
Zerot e emëruesit dhe janë pika të shpuara, pasi në këto pika funksioni në anën e majtë të pabarazisë nuk është i përcaktuar (nuk mund të ndahet me zero). Zerot e numëruesit dhe - janë të hijezuara, pasi pabarazia nuk është e rreptë. Kur dhe pabarazia jonë plotësohet, pasi të dyja anët e tij janë të barabarta me zero.
Këto pika e thyejnë boshtin në intervale.
Le të përcaktojmë shenjën e funksionit racional thyesor në anën e majtë të pabarazisë sonë në secilin prej këtyre intervaleve. Kujtojmë se një funksion racional thyesor mund të ndryshojë shenjë vetëm në ato pika në të cilat është i barabartë me zero ose nuk ekziston.
Kjo do të thotë që në secilën prej intervaleve midis pikave ku numëruesi ose emëruesi shkon në zero, shenja e shprehjes në anën e majtë të pabarazisë do të jetë konstante - ose "plus" ose "minus".
Prandaj, për të përcaktuar shenjën e funksionit në çdo interval të tillë, marrim çdo pikë që i përket këtij intervali. Ai që është i përshtatshëm për ne.
. Merrni, për shembull, dhe kontrolloni shenjën e shprehjes në anën e majtë të pabarazisë. Secila prej "kllapave" është negative. Ana e majtë ka një shenjë.
Intervali tjetër: . Le të kontrollojmë shenjën në. Ne gjejmë se ana e majtë ka ndryshuar shenjën e saj në .
Kur ana e majtë e pabarazisë është negative.
Dhe së fundi, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Kemi gjetur se në cilat intervale shprehja është pozitive. Gjithçka që mbetet është të shkruajmë përgjigjen:
Përgjigje:.
Ju lutemi vini re: shenjat alternohen midis intervaleve. Kjo ndodhi sepse kur kalonte në secilën pikë, pikërisht njëri prej faktorëve linearë ndryshonte shenjë, ndërsa pjesa tjetër e mbante të pandryshuar.
Ne shohim se metoda e intervalit është shumë e thjeshtë. Për të vendosur pabarazia racionale thyesore duke përdorur metodën e intervalit, ne e zvogëlojmë atë në formën:
Ose class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \djathtas))(\displaystyle Q\left(x \djathtas)) > 0"> !}, ose , ose .
(në anën e majtë është një funksion racional thyesor, në anën e djathtë është zero).
Pastaj shënojmë në vijën numerike pikat në të cilat numëruesi ose emëruesi shkon në zero.
Këto pika e ndajnë të gjithë vijën numerike në intervale, në secilën prej të cilave funksioni thyesor-racional ruan shenjën e tij.
Mbetet vetëm për të gjetur shenjën e saj në çdo interval.
Këtë e bëjmë duke kontrolluar shenjën e shprehjes në çdo pikë që i përket një intervali të caktuar. Pas kësaj, ne shkruajmë përgjigjen. Kjo është ajo.
Por lind pyetja: a alternojnë gjithmonë shenjat? Jo, jo gjithmonë! Duhet të jeni të kujdesshëm dhe të mos vendosni tabela mekanikisht dhe pa menduar.
2. Le të shqyrtojmë një tjetër pabarazi.
Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \djathtas)^2)(\displaystyle \left(x-1 \djathtas) \ majtas(x-3 \djathtas))>0"> !}
Vendosni përsëri pikat në bosht. Pikat dhe janë shpuar sepse janë zero të emëruesit. Çështja është gjithashtu e prerë, pasi pabarazia është e rreptë.
Kur numëruesi është pozitiv, të dy faktorët në emërues janë negativë. Kjo mund të kontrollohet lehtësisht duke marrë çdo numër nga një interval i caktuar, për shembull, . Ana e majtë ka shenjën:
Kur numëruesi është pozitiv; Faktori i parë në emërues është pozitiv, faktori i dytë është negativ. Ana e majtë ka shenjën:
Situata është e njëjtë! Numëruesi është pozitiv, faktori i parë në emërues është pozitiv, i dyti është negativ. Ana e majtë ka shenjën:
Së fundi, me class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Përgjigje:.
Pse u ndërpre alternimi i shenjave? Sepse kur kalon nëpër një pikë shumëzuesi është "përgjegjës" për të nuk ka ndryshuar shenjë. Rrjedhimisht, e gjithë ana e majtë e pabarazisë sonë nuk ndryshoi shenjë.
konkluzioni: nëse shumëzuesi linear është një fuqi çift (për shembull, në katror), atëherë kur kaloni nëpër një pikë shenja e shprehjes në anën e majtë nuk ndryshon. Në rast shkallë tek shenja, natyrisht, ndryshon.
3. Le të shqyrtojmë një rast më kompleks. Ai ndryshon nga ai i mëparshmi në atë që pabarazia nuk është e rreptë:
Ana e majtë është e njëjtë si në detyrë e mëparshme. Fotografia e shenjave do të jetë e njëjtë:
Ndoshta përgjigjja do të jetë e njëjtë? Jo! Shtohet një zgjidhje Kjo ndodh sepse si në anën e majtë ashtu edhe në të djathtë të pabarazisë janë të barabarta me zero - prandaj, kjo pikë është një zgjidhje.
Përgjigje:.
Kjo situatë shpesh ndodh në problemet në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë. Këtu aplikantët bien në kurth dhe humbasin pikë. Kini kujdes!
4. Çfarë duhet të bëni nëse numëruesi ose emëruesi nuk mund të zbërthehet në faktorët linearë? Konsideroni këtë pabarazi:
Një trinom katror nuk mund të faktorizohet: diskriminuesi është negativ, nuk ka rrënjë. Por kjo është e mirë! Kjo do të thotë se shenja e shprehjes për të gjithë është e njëjtë, dhe konkretisht, pozitive. Mund të lexoni më shumë rreth kësaj në artikullin mbi vetitë e funksioneve kuadratike.
Dhe tani ne mund t'i ndajmë të dyja anët e pabarazisë sonë me një vlerë që është pozitive për të gjithë. Le të arrijmë në një pabarazi ekuivalente:
E cila zgjidhet lehtësisht duke përdorur metodën e intervalit.
Ju lutemi vini re se ne i ndamë të dyja anët e pabarazisë me një vlerë që e dinim me siguri se ishte pozitive. Sigurisht, në rast i përgjithshëm mos e shumëzoni apo pjesëtoni pabarazinë me vlerë e ndryshueshme, shenja e të cilit nuk dihet.
5 . Le të shqyrtojmë një pabarazi tjetër, në dukje mjaft të thjeshtë:
Unë thjesht dua ta shumëzoj atë me. Por ne jemi tashmë të zgjuar dhe nuk do ta bëjmë këtë. Në fund të fundit, mund të jetë edhe pozitive edhe negative. Dhe ne e dimë se nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen me vlerë negative- ndryshon shenja e pabarazisë.
Ne do ta bëjmë atë ndryshe - do të mbledhim gjithçka në një pjesë dhe do të çojmë në emërues i përbashkët. Ana e djathtë do të mbetet zero:
Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
Dhe pas kësaj - aplikoni metoda e intervalit.
Ne vazhdojmë të shikojmë mënyrat për të zgjidhur pabarazitë që përfshijnë një ndryshore. Ne kemi studiuar tashmë lineare dhe pabarazitë kuadratike, të cilat janë raste të veçanta të pabarazive racionale. Në këtë artikull do të sqarojmë se çfarë lloj pabarazish konsiderohen racionale dhe do t'ju tregojmë se në cilat lloje ndahen (numër i plotë dhe i pjesshëm). Pas kësaj, ne do të tregojmë se si t'i zgjidhim ato në mënyrë korrekte, të ofrojmë algoritmet e nevojshme dhe të analizojmë probleme specifike.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Koncepti i barazive racionale
Kur studiojnë temën e zgjidhjes së pabarazive në shkollë, ata menjëherë marrin pabarazitë racionale. Ata fitojnë dhe zhvillojnë aftësi për të punuar me këtë lloj shprehjeje. Le të formulojmë përkufizimin e këtij koncepti:
Përkufizimi 1
Një pabarazi racionale është një pabarazi me ndryshore që përmban shprehje racionale në të dy pjesët.
Vini re se përkufizimi në asnjë mënyrë nuk ndikon në çështjen e numrit të variablave, që do të thotë se mund të ketë aq sa dëshironi. Rrjedhimisht, pabarazitë racionale me 1, 2, 3 ose më shumë ndryshore janë të mundshme. Më shpesh ju duhet të merreni me shprehje që përmbajnë vetëm një ndryshore, më rrallë dy, dhe pabarazi me një numër i madh variablat zakonisht brenda kursi shkollor nuk konsiderohen fare.
Kështu, ne mund të njohim një pabarazi racionale duke parë shkrimin e saj. Duhet të ketë shprehje racionale si në anën e djathtë ashtu edhe në të majtë. Këtu janë disa shembuj:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Por këtu është një pabarazi e formës 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Të gjitha pabarazitë racionale ndahen në numër të plotë dhe thyesor.
Përkufizimi 2
E gjithë barazia racionale përbëhet nga shprehje të tëra racionale (në të dyja pjesët).
Përkufizimi 3
Barazi racionale thyesore- kjo është një barazi që përmban shprehje thyesore në njërën ose të dyja pjesët e saj.
Për shembull, pabarazitë e formës 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 dhe 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 janë thyesore racionale dhe 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 vjet) Dhe 1: x + 3 > 0- e tërë.
Ne analizuam se çfarë janë pabarazitë racionale dhe identifikuam llojet e tyre kryesore. Mund të kalojmë në një rishikim të mënyrave për t'i zgjidhur ato.
Le të themi se duhet të gjejmë zgjidhje për një pabarazi të tërë racionale r(x)< s (x) , i cili përfshin vetëm një ndryshore x. Në të njëjtën kohë r(x) Dhe s(x) përfaqësojnë ndonjë numër të plotë numrat racionalë ose shprehje, dhe shenja e pabarazisë mund të ndryshojë. Për të zgjidhur këtë problem, ne duhet ta transformojmë atë dhe të marrim një barazi ekuivalente.
Le të fillojmë duke lëvizur shprehjen nga ana e djathtë në të majtë. Ne marrim sa vijon:
të formës r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)
Ne e dimë atë r (x) − s (x) do të jetë një vlerë numër i plotë, dhe çdo shprehje numër i plotë mund të konvertohet në një polinom. Le të transformohemi r (x) − s (x) në h (x). Kjo shprehje do të jetë një polinom identikisht i barabartë. Duke marrë parasysh se r (x) − s (x) dhe h (x) kanë një rajon vlerat e pranueshme x është i njëjtë, mund të kalojmë te pabarazitë h (x)< 0 (≤ , >, ≥), e cila do të jetë ekuivalente me origjinalin.
Shpesh kjo konvertim i thjeshtë do të jetë e mjaftueshme për të zgjidhur pabarazinë, pasi rezultati mund të jetë një pabarazi lineare ose kuadratike, vlera e së cilës është e lehtë për t'u llogaritur. Le të analizojmë probleme të tilla.
Shembulli 1
Kushti: zgjidhni një pabarazi të tërë racionale x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Zgjidhje
Le të fillojmë duke lëvizur shprehjen nga ana e djathtë në të majtë me shenjën e kundërt.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Tani që kemi përfunduar të gjitha veprimet me polinomet në të majtë, mund të kalojmë te pabarazia lineare 3 x − 2 ≤ 0, ekuivalente me atë që jepej në kusht. Është e lehtë për t'u zgjidhur:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Përgjigje: x ≤ 2 3 .
Shembulli 2
Kushti: gjeni zgjidhjen e pabarazisë (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).
Zgjidhje
Ne e transferojmë shprehjen nga ana e majtë në të djathtë dhe kryejmë transformime të mëtejshme duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Si rezultat i transformimeve tona, ne morëm një pabarazi që do të jetë e vërtetë për çdo vlerë të x, prandaj, zgjidhja e pabarazisë origjinale mund të jetë çdo numër real.
Përgjigje: me të vërtetë çdo numër.
Shembulli 3
Kushti: zgjidhni pabarazinë x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Zgjidhje
Nuk do të transferojmë asgjë nga ana e djathtë, pasi aty është 0. Le të fillojmë menjëherë duke e kthyer anën e majtë në një polinom:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Ne kemi nxjerrë një pabarazi kuadratike ekuivalente me atë origjinale, e cila mund të zgjidhet lehtësisht duke përdorur disa metoda. Le të përdorim një metodë grafike.
Le të fillojmë duke llogaritur rrënjët e trinomit katror − 2 x 2 + 11 x + 6:
D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6
Tani në diagram shënojmë të gjitha zerat e nevojshme. Që nga koeficienti kryesor më pak se zero, degët e parabolës në grafik do të shikojnë poshtë.
Do të na duhet rajoni i parabolës që ndodhet mbi boshtin x, pasi kemi një shenjë > në pabarazi. Intervali i kërkuar është (− 0 , 5 , 6) Prandaj, ky varg vlerash do të jetë zgjidhja që na nevojitet.
Përgjigje: (− 0 , 5 , 6) .
Ka më shumë raste komplekse, kur në të majtë fitohet një polinom prej një të tretës ose më shumë shkallë të lartë. Për të zgjidhur një pabarazi të tillë, rekomandohet përdorimi i metodës së intervalit. Fillimisht llogarisim të gjitha rrënjët e polinomit h(x), e cila më së shpeshti bëhet duke faktorizuar një polinom.
Shembulli 4
Kushti: llogarit (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .
Zgjidhje
Le të fillojmë, si gjithmonë, duke transferuar shprehjen në anën e majtë, pas së cilës do t'ju duhet të zgjeroni kllapat dhe të derdhni terma të ngjashëm.
(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Si rezultat i transformimeve, kemi marrë një barazi të barabartë me atë origjinale, në të majtë të së cilës është një polinom i shkallës së tretë. Le të përdorim metodën e intervalit për ta zgjidhur atë.
Fillimisht llogarisim rrënjët e polinomit, për të cilin duhet të zgjidhim ekuacion kub x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0. A ka rrënjë racionale? Ata mund të jenë vetëm në mesin e pjesëtuesve anëtar i lirë, d.m.th. midis numrave ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Le t'i zëvendësojmë ato një nga një ekuacioni origjinal dhe zbuloni se numrat 1, 2 dhe 3 do të jenë rrënjët e tij.
Pra, polinomi x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 mund të përshkruhet si produkt (x − 1) · (x − 2) · (x − 3), dhe pabarazia x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 mund të përfaqësohet si (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . Me një pabarazi të këtij lloji, atëherë do të jetë më e lehtë për ne të përcaktojmë shenjat në intervale.
Tjetra, ne kryejmë hapat e mbetur të metodës së intervalit: vizatoni një vijë numerike dhe pika mbi të me koordinatat 1, 2, 3. Ata e ndajnë vijën në 4 intervale në të cilat duhet të përcaktojnë shenjat. Le t'i hijezojmë intervalet me një minus, pasi pabarazia origjinale ka shenjën < .
Gjithçka që duhet të bëjmë është të shkruajmë përgjigjen e gatshme: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Përgjigje: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Në disa raste, vazhdo nga pabarazia r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) deri në h (x)< 0 (≤ , >, ≥), ku h(x)- një polinom në një shkallë më të lartë se 2, i papërshtatshëm. Kjo shtrihet në rastet kur r (x) − s (x) përfaqësohet si produkt i binomeve lineare dhe trinomet katrore më lehtë sesa faktorizimi i h(x) në faktorë individualë. Le të shohim këtë problem.
Shembulli 5
Kushti: gjeni zgjidhjen e pabarazisë (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Zgjidhje
Kjo pabarazi vlen për numrat e plotë. Nëse e zhvendosim shprehjen nga ana e djathtë në të majtë, hapim kllapat dhe kryejmë një reduktim të termave, marrim x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Zgjidhja e një pabarazie të tillë nuk është e lehtë, pasi ju duhet të kërkoni për rrënjët e një polinomi të shkallës së katërt. Nuk ka asnjë rrënjë racionale(pra, 1, − 1, 19 ose − 19 nuk janë të përshtatshme), dhe është e vështirë të kërkosh rrënjë të tjera. Kjo do të thotë që ne nuk mund ta përdorim këtë metodë.
Por ka zgjidhje të tjera. Nëse i zhvendosim shprehjet nga ana e djathtë e pabarazisë origjinale në të majtë, mund të kryejmë kllapa shumëzues i përbashkët x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Kemi marrë një pabarazi ekuivalente me atë origjinale dhe zgjidhja e saj do të na japë përgjigjen e dëshiruar. Le të gjejmë zerot e shprehjes në anën e majtë, për të cilën zgjidhim ekuacionet kuadratike x 2 − 2 x − 1 = 0 Dhe x 2 − 2 x − 19 = 0. Rrënjët e tyre janë 1 ± 2, 1 ± 2 5. Kalojmë te barazia x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0, e cila mund të zgjidhet me metodën e intervalit:
Sipas figurës, përgjigja do të jetë - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞.
Përgjigje: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Le të shtojmë se ndonjëherë nuk është e mundur të gjenden të gjitha rrënjët e një polinomi h(x), pra, nuk mund ta paraqesim si prodhim të binomeve lineare dhe trinomeve kuadratike. Më pas zgjidhni një pabarazi të formës h (x)< 0 (≤ , >, ≥) nuk mundemi, që do të thotë se është gjithashtu e pamundur të zgjidhet pabarazia racionale fillestare.
Supozoni se duhet të zgjidhim pabarazitë racionale thyesore të formës r (x)< s (x) (≤ , >, ≥), ku r (x) dhe s(x) janë shprehje racionale, x është një ndryshore. Të paktën një nga shprehjet e specifikuara do të jetë i pjesshëm. Algoritmi i zgjidhjes në këtë rast do të jetë si më poshtë:
- Ne përcaktojmë gamën e vlerave të lejueshme të ndryshores x.
- Ne e zhvendosim shprehjen nga ana e djathtë e pabarazisë në të majtë, dhe shprehjen që rezulton r (x) − s (x) përfaqësojnë atë si një thyesë. Për më tepër, ku p(x) Dhe q(x) do të jenë shprehje me numra të plotë që janë prodhime të binomeve lineare, trinomeve kuadratike të pazbërthyeshme, si dhe fuqive me një eksponent natyror.
- Më pas, ne zgjidhim pabarazinë që rezulton duke përdorur metodën e intervalit.
- Hapi i fundit është përjashtimi i pikave të marra gjatë zgjidhjes nga diapazoni i vlerave të pranueshme të ndryshores x që përcaktuam në fillim.
Ky është algoritmi për zgjidhjen e pabarazive racionale thyesore. Shumicaështë e qartë; shpjegime të vogla kërkohen vetëm për paragrafin 2. E zhvendosëm shprehjen nga ana e djathtë në të majtë dhe morëm r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥), dhe më pas si ta sjellim atë në formën p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
Së pari, le të përcaktojmë nëse ky transformim mund të kryhet gjithmonë. Teorikisht, një mundësi e tillë ekziston gjithmonë, pasi në thyesa racionale ju mund të konvertoni ndonjë shprehje racionale. Këtu kemi një thyesë me polinome në numërues dhe emërues. Le të kujtojmë teoremën themelore të algjebrës dhe teoremën e Bezout dhe të përcaktojmë se çdo polinom i shkallës n që përmban një ndryshore mund të shndërrohet në një produkt të binomeve lineare. Prandaj, në teori, ne gjithmonë mund ta transformojmë shprehjen në këtë mënyrë.
Në praktikë, faktorizimi i polinomeve shpesh është mjaft detyrë e vështirë, veçanërisht nëse shkalla është më e lartë se 4. Nëse nuk mund të kryejmë zbërthimin, nuk do të jemi në gjendje ta zgjidhim kjo pabarazi, megjithatë, probleme të tilla zakonisht nuk studiohen në kurset shkollore.
Më pas, duhet të vendosim nëse pabarazia që rezulton p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) ekuivalente në lidhje me r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) dhe tek ajo origjinale. Ekziston mundësia që të rezultojë e pabarabartë.
Ekuivalenca e pabarazisë do të sigurohet kur diapazoni i vlerave të pranueshme p(x)q(x) do të përputhet me diapazonin e shprehjes r (x) − s (x). Atëherë pika e fundit e udhëzimeve për zgjidhjen e pabarazive racionale thyesore nuk ka nevojë të ndiqet.
Por diapazoni i vlerave për p(x)q(x) mund të jetë më i gjerë se r (x) − s (x), për shembull, duke reduktuar thyesat. Një shembull do të ishte kalimi nga x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 në x · x - 1 x + 3. Ose kjo mund të ndodhë kur sjellni terma të ngjashëm, për shembull, këtu:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 deri në 1 x + 3
Për raste të tilla, u shtua hapi i fundit i algoritmit. Duke e ekzekutuar atë, ju do të shpëtoni nga vlerat e ndryshueshme të jashtme që lindin për shkak të zgjerimit të gamës së vlerave të pranueshme. Le të marrim disa shembuj për ta bërë më të qartë se për çfarë po flasim.
Shembulli 6
Kushti: gjeni zgjidhje për barazinë racionale x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .
Zgjidhje
Ne veprojmë sipas algoritmit të treguar më sipër. Së pari ne përcaktojmë gamën e vlerave të pranueshme. NË në këtë rast përcaktohet nga sistemi i mosbarazimeve x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0, zgjidhja e së cilës është bashkësia (− ∞, − 1) ∪ (− 1, 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Pas kësaj, ne duhet ta transformojmë atë në mënyrë që të jetë e përshtatshme për të aplikuar metodën e intervalit. Para së gjithash, ne japim thyesat algjebrike në emëruesin më të ulët të përbashkët (x − 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Ne e shembim shprehjen në numërues duke përdorur formulën për katrorin e shumës:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Gama e vlerave të pranueshme të shprehjes që rezulton është (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Ne shohim se është e ngjashme me atë që u përcaktua për barazinë origjinale. Përfundojmë se pabarazia x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 është ekuivalente me atë origjinale, që do të thotë se nuk kemi nevojë për hapin e fundit të algoritmit.
Ne përdorim metodën e intervalit:
Ne shohim zgjidhjen ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞), e cila do të jetë zgjidhja e pabarazisë racionale origjinale x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Përgjigje: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Shembulli 7
Kushti: njehso zgjidhjen x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .
Zgjidhje
Ne përcaktojmë gamën e vlerave të pranueshme. Në rastin e këtij inekuacioni, ai do të jetë i barabartë me të gjithë numrat realë përveç − 2, − 1, 0 dhe 1 .
Ne i lëvizim shprehjet nga ana e djathtë në të majtë:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Duke marrë parasysh rezultatin e marrë, ne shkruajmë:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
Për shprehjen - 1 x - 1, diapazoni i vlerave të vlefshme është grupi i të gjithave numra realë, me përjashtim të një. Shohim që diapazoni i vlerave është zgjeruar: − 2 , − 1 dhe 0 . Kjo do të thotë që ne duhet të kryejmë hapin e fundit të algoritmit.
Meqenëse erdhëm te pabarazia - 1 x - 1 > 0, mund të shkruajmë ekuivalentin e tij 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Ne përjashtojmë pikat që nuk përfshihen në rangun e vlerave të pranueshme të barazisë origjinale. Duhet të përjashtojmë nga (− ∞ , 1) numrat − 2 , − 1 dhe 0 . Kështu, zgjidhja e pabarazisë racionale x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 do të jenë vlerat (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Përgjigje: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Si përfundim, ne japim një shembull tjetër të një problemi në të cilin përgjigja përfundimtare varet nga diapazoni i vlerave të pranueshme.
Shembulli 8
Kushti: gjeni zgjidhjen e pabarazisë 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0.
Zgjidhje
Gama e vlerave të lejueshme të pabarazisë së specifikuar në kusht përcaktohet nga sistemi x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Ky sistem nuk ka zgjidhje, sepse
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Kjo do të thotë se barazia origjinale 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 nuk ka zgjidhje, pasi nuk ka vlera të ndryshores për të cilën do të bënte kuptim.
Përgjigje: nuk ka zgjidhje.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Në këtë mësim do të vazhdojmë të zgjidhim pabarazitë racionale duke përdorur metodën e intervalit për pabarazi më komplekse. Le të shqyrtojmë zgjidhjen e pabarazive kuadratike fraksionale lineare dhe thyesore dhe problemet e lidhura me to.
Tani le të kthehemi te pabarazia
Le të shohim disa detyra të lidhura.
Gjeni zgjidhja më e vogël pabarazitë.
Gjeni numrin zgjidhje natyrale pabarazitë
Gjeni gjatësinë e intervaleve që përbëjnë bashkësinë e zgjidhjeve të pabarazisë.
2. Portali Shkencat e Natyrës ().
3. Elektronike kompleks edukativo-metodologjik për përgatitjen e klasave 10-11 për provimet pranuese në shkenca kompjuterike, matematikë, gjuhë ruse ().
5. Qendra Edukative “Teknologji mësimore” ().
6. Seksioni College.ru për matematikën ().
1. Mordkovich A.G. dhe të tjera Algjebra klasa e 9-të: Libër me probleme për nxënësit institucionet arsimore/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina dhe të tjerë - botimi i 4-të. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 f.: ill. Nr. 28 (b,c); 29 (b,c); 35(a,b); 37 (b,c); 38 (a).
- Zhvilloni aftësinë për të zgjidhur pabarazitë racionale duke përdorur metodën e intervaleve me rrënjë të shumta, ndihmoni studentët të zhvillojnë nevojën dhe dëshirën për të përgjithësuar materialin e studiuar;
- Zhvilloni aftësinë për të krahasuar zgjidhjet dhe për të identifikuar përgjigjet e sakta; zhvillojnë kuriozitet,, të menduarit logjik interesi njohës
- ndaj subjektit
Kultivoni saktësinë gjatë hartimit të zgjidhjeve, aftësinë për të kapërcyer vështirësitë kur zgjidhni pabarazitë.
Materialet dhe pajisjet: tabela interaktive, karta, koleksion testesh.
Ecuria e mësimit
I. Momenti organizativ
II. Përditësimi i njohurive
Sondazh në klasë frontale për pyetjet e mëposhtme: Në çfarë vlerash thyesa e ndryshueshme
a ka kuptim (Fig. 1)?< 0, где x 1 , x 2 , … x n не равные друг другу числа.
Përsëriteni algoritmin për zgjidhjen e pabarazive të formës (x - x 1)(x - x 2)…(x - x n) > 0 ose (x - x 1) (x - x 2)...(x - x n)
Algoritmi për zgjidhjen e pabarazive duke përdorur metodën e intervalit shfaqet në tabelën e bardhë interaktive:
III. Mësimi i materialit të ri. Zgjidhja e pabarazive racionale thyesore me rrënjë të shumta duke përdorur metodën e intervalit.
Zgjidhja e pabarazive me vlera të shumta kritike të një variabli zakonisht shoqërohet me vështirësitë më të mëdha. Nëse më parë ishte e mundur të vendosni shenja në intervale thjesht duke i alternuar ato, tani, kur kaloni nëpër një vlerë kritike, shenja e të gjithë shprehjes mund të mos ndryshojë. Do të njihemi me të ashtuquajturën metodë "petale", e cila do të ndihmojë në kapërcimin e vështirësive që lidhen me rregullimin e shenjave të një funksioni në intervale.
Merrni një shembull: (x+3) 2 > 0/ Ana e majtë ka një pikë të vetme kritike x = - 3. Le ta shënojmë në vijën numerike. Kjo pikë ka një shumësi prej 2, kështu që mund të supozojmë se kemi dy të bashkuara, ndërmjet të cilit ka edhe një interval me fillimin dhe mbarimin në të njëjtën pikë -3. Do t'i shënojmë intervale të tilla me "petale", si në Fig. 3. Pra, kemi tre intervale: dy intervale numerike (-∞; -3); (-3; +∞) dhe "petal" midis tyre. Mbetet vetëm vendosja e shenjave. Për ta bërë këtë, ne llogarisim shenjën në intervalin që përmban zero dhe i rregullojmë shenjat në pjesën tjetër, thjesht duke i alternuar ato. Rezultati i vendosjes së shenjave është paraqitur në figurën 4
 |
 |
|
Oriz. 3 |
Oriz. 4 |
Përgjigje: x € (-∞; -3) U (-3; +∞)
Tani le të shqyrtojmë më shumë pabarazi komplekse(Fig.5):
Le të prezantojmë funksionin (Fig. 6):
Le të shënojmë pikat kritike në vijën numerike, duke marrë parasysh shumësinë e tyre - për çdo kllapë shtesë me një të dhënë vlerë kritike vizatoni një "petal" shtesë. Pra, në Fig. 7, një “petal” do të shfaqet në pikën x=3, pasi (x-3)?=(x-3)(x-3).
Meqenëse (x - 6) 3 = (x - 6) (x - 6) (x - 6), pika x = 6 ka dy "petale". Shumëzuesi i parë merret parasysh nga pika 6 në bosht, dhe dy shumëzues shtesë merren parasysh duke shtuar dy "petale". Tjetra, ne përcaktojmë shenjën në një nga intervalet dhe rregullojmë shenjat në pjesën tjetër, duke alternuar minuset dhe pluset.
Të gjitha hapësirat e shënuara me shenjën "+" dhe pika të errëta japin përgjigjen.
X € [-4;-1) U (3) U (6;+∞).
IV. Konsolidimi i materialit të ri
1. Le të zgjidhim pabarazinë:
Le të faktorizojmë anën e majtë të pabarazisë:
Së pari le ta zbatojmë atë në boshti koordinativ Ne marrim pikat kritike të emëruesit (Fig. 10)
Duke shtuar pikat numërues, marrim (Fig. 11)
Dhe tani, ne i përcaktojmë shenjat në intervale dhe në "petale" (Fig. 12)
Oriz. 12
Përgjigje: x € (-1; 0) U (0; 1) U (2)
2. Zgjidhni intervale numerike, të cilat janë zgjidhje të pabarazive me metodën e intervaleve, duke marrë parasysh shumësinë e rrënjëve të polinomit (Fig. 13).
V. Përmbledhje e orës së mësimit
Gjatë bisedës me klasën nxjerrim përfundime:
1) Bëhet e mundur vendosja e shenjave në intervale thjesht duke i alternuar ato.
3) Me këtë zgjidhje, rrënjët e vetme nuk humbasin kurrë.
Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj email etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Mbledhur nga ne informacion personal na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
