C 17 është prodhimi i një monomi dhe një polinomi. Monomial dhe polinom

Përkufizimi 3.3. Monomial është një shprehje që është produkt i numrave, ndryshoreve dhe fuqive me një eksponent natyror.

Për shembull, secila prej shprehjeve,
,
është një monom.

Thonë se monomi ka pamje standarde , nëse në radhë të parë përmban vetëm një faktor numerik, dhe çdo produkt i ndryshoreve identike në të përfaqësohet nga një shkallë. Faktori numerik i një monomi të shkruar në formë standarde quhet koeficienti i monomit . Nga fuqia e monomit quhet shuma e eksponentëve të të gjitha ndryshoreve të tij.

Përkufizimi 3.4. Polinom quhet shuma e monomëve. Monomet nga të cilët përbëhet një polinom quhenanëtarët e polinomit .

Terma të ngjashëm - monomë në një polinom - quhen terma të ngjashëm të polinomit .

Përkufizimi 3.5. Polinom i formës standarde quhet polinom në të cilin të gjithë termat shkruhen në formë standarde dhe jepen terma të ngjashëm.Shkalla e një polinomi të formës standarde quhet më i madhi i fuqive të monomëve të përfshirë në të.

Për shembull, është një polinom i formës standarde të shkallës së katërt.

Veprimet mbi monomët dhe polinomet

Shuma dhe diferenca e polinomeve mund të shndërrohen në një polinom të formës standarde. Kur mblidhen dy polinome, të gjitha termat e tyre shënohen dhe jepen terma të ngjashëm. Kur zbritet, shenjat e të gjitha termave të polinomit që zbriten janë të kundërta.

Për shembull:

Termat e një polinomi mund të ndahen në grupe dhe të mbyllen në kllapa. Meqenëse ky është një transformim identik i anasjelltë me hapjen e kllapave, përcaktohet sa vijon rregulli i kllapave: nëse një shenjë plus vendoset para kllapave, atëherë të gjithë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me shenjat e tyre; Nëse para kllapave vendoset një shenjë minus, atëherë të gjithë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me shenja të kundërta.

Për shembull,

Rregulla për shumëzimin e një polinomi me një polinom: Për të shumëzuar një polinom me një polinom, mjafton të shumëzojmë çdo anëtar të një polinomi me çdo term të një polinomi tjetër dhe të shtojmë produktet që rezultojnë.

Për shembull,

Përkufizimi 3.6. Polinom në një ndryshore gradë quhet shprehje e formës

Ku
- çdo numër që thirret koeficientët polinom , dhe
,– numër i plotë jo negativ.

Nëse
, pastaj koeficienti thirrur koeficienti kryesor i polinomit
, monom
- e tij anëtar i lartë , koeficienti – anëtar i lirë .

Nëse në vend të një ndryshoreje në një polinom
zëvendësojnë numrin real , atëherë rezultati do të jetë një numër real
që quhet vlera e polinomit
në
.

Përkufizimi 3.7. Numri thirrurrrënja e polinomit
, Nëse
.

Konsideroni pjesëtimin e një polinomi me një polinom, ku
Dhe - numrat natyrorë. Ndarja është e mundur nëse shkalla e dividendës polinomiale është
jo më pak se shkalla e polinomit pjesëtues
dmth
.

Ndani një polinom
në një polinom
,
, do të thotë gjetja e dy polinomeve të tilla
Dhe
, te

Në këtë rast, polinomi
gradë
thirrur polinom-herës ,
– pjesa e mbetur ,
.

Vërejtje 3.2. Nëse pjesëtuesi
–nuk është një polinom zero, pastaj pjesëtim
në
,
, është gjithmonë i realizueshëm, dhe herësi dhe mbetja përcaktohen në mënyrë unike.

Vërejtje 3.3. Në rast
para të gjithëve dmth

thonë se është polinom
plotësisht të ndarë(ose aksione)në një polinom
.

Pjesëtimi i polinomeve kryhet në mënyrë të ngjashme me ndarjen e numrave shumëshifrorë: së pari, termi kryesor i polinomit të dividentit pjesëtohet me termin kryesor të polinomit pjesëtues, pastaj herësi nga pjesëtimi i këtyre termave, i cili do të jetë termi kryesor i polinomit koeficient, shumëzohet me polinomin pjesëtues dhe produkti që rezulton i zbritet polinomit të dividendit . Si rezultat, fitohet një polinom - mbetja e parë, e cila ndahet me polinomin pjesëtues në mënyrë të ngjashme dhe gjendet termi i dytë i polinomit herës. Ky proces vazhdon derisa të fitohet një mbetje zero ose shkalla e polinomit të mbetur të jetë më e vogël se shkalla e polinomit pjesëtues.

Kur ndani një polinom me një binom, mund të përdorni skemën e Hornerit.

Skema Horner

Supozoni se duam të ndajmë një polinom

nga binomi
. Herësin e pjesëtimit le ta shënojmë si polinom

dhe pjesa e mbetur është . Kuptimi , koeficientët e polinomeve
,
dhe pjesa e mbetur Le ta shkruajmë në formën e mëposhtme:

Në këtë skemë, secili nga koeficientët
,
,
, …,marrë nga numri i mëparshëm në vijën fundore duke shumëzuar me numrin dhe duke i shtuar rezultatit që rezulton numrin përkatës në vijën e sipërme mbi koeficientin e dëshiruar. Nëse ndonjë diplomë mungon në polinom, atëherë koeficienti përkatës e barabartë me zero. Pasi kemi përcaktuar koeficientët sipas skemës së dhënë, shkruajmë herësin

dhe rezultati i pjesëtimit nëse
,

ose ,

Nëse
,

Teorema 3.1. Në mënyrë që një thyesë e pakalueshme (

,

)ishte rrënja e polinomit
me koeficientë të plotë, është e nevojshme që numri ishte pjesëtues anëtar i lirë, dhe numrin - pjesëtues i koeficientit kryesor .

Teorema 3.2. (Teorema e Bezout ) Pjesa e mbetur nga pjesëtimi i një polinomi
nga binomi
e barabartë me vlerën e polinomit
në
dmth
.

Kur pjesëtohet një polinom
nga binomi
kemi barazi

Kjo është e vërtetë, veçanërisht kur
dmth
.

Shembulli 3.2. Ndani sipas
.

Zgjidhje. Le të zbatojmë skemën e Horner:

Prandaj,

Shembulli 3.3. Ndani sipas
.

Zgjidhje. Le të zbatojmë skemën e Horner:

Prandaj,

,

Shembulli 3.4. Ndani sipas
.

Zgjidhje.

Si rezultat marrim

Shembulli 3.5. Ndani
në
.

Zgjidhje. Le t'i ndajmë polinomet me kolonë:

Pastaj marrim

.

Ndonjëherë është e dobishme të paraqitet një polinom si një produkt i barabartë i dy ose më shumë polinomeve. Një transformim i tillë identiteti quhet faktorizimi i një polinomi . Le të shqyrtojmë metodat kryesore të një dekompozimi të tillë.

Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave. Për të faktorizuar një polinom duke hequr faktorin e përbashkët nga kllapat, duhet:

1) gjeni faktorin e përbashkët. Për ta bërë këtë, nëse të gjithë koeficientët e polinomit janë numra të plotë, pjesëtuesi më i madh absolut i përbashkët i të gjithë koeficientëve të polinomit konsiderohet si koeficienti i faktorit të përbashkët, dhe çdo ndryshore e përfshirë në të gjitha termat e polinomit merret me më të madhin. eksponenti që ka në këtë polinom;

2) të gjejë herësin e pjesëtimit të një polinomi të dhënë me një faktor të përbashkët;

3) shkruani produktin e faktorit të përgjithshëm dhe koeficientin që rezulton.

Grupimi i anëtarëve. Kur faktorizoni një polinom duke përdorur metodën e grupimit, termat e tij ndahen në dy ose më shumë grupe në mënyrë që secili prej tyre të shndërrohet në një produkt, dhe produktet që rezultojnë të kenë një faktor të përbashkët. Pas kësaj, përdoret metoda e vendosjes së faktorit të përbashkët të termave të sapotransformuar.

Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit. Në rastet kur polinomi që do të zgjerohet në faktorë, ka formën e anës së djathtë të çdo formule të shkurtuar të shumëzimit, faktorizimi i saj arrihet duke përdorur formulën përkatëse të shkruar në një rend tjetër.

Le

, atëherë sa vijon janë të vërteta formulat e shkurtuara të shumëzimit:

Futja e anëtarëve të rinj ndihmës. Kjo metodë konsiston në zëvendësimin e një polinomi me një polinom tjetër që është identikisht i barabartë me të, por që përmban një numër të ndryshëm termash, duke futur dy terma të kundërt ose duke zëvendësuar çdo term me një shumë identike të barabartë të monomëve të ngjashëm. Zëvendësimi bëhet në atë mënyrë që metoda e grupimit të termave të mund të zbatohet në polinomin që rezulton.

Shembulli 3.6..

Zgjidhje. Të gjithë termat e një polinomi përmbajnë një faktor të përbashkët
. Prandaj,.

Përgjigje: .

Shembulli 3.7.

Zgjidhje. Ne grupojmë veçmas termat që përmbajnë koeficientin , dhe termat që përmbajnë . Duke marrë faktorët e përbashkët të grupeve jashtë kllapave, marrim:

.

Përgjigje:
.

Shembulli 3.8. Faktoroni një polinom
.

Zgjidhje. Duke përdorur formulën e duhur të shumëzimit të shkurtuar, marrim:

Përgjigje: .

Shembulli 3.9. Faktoroni një polinom
.

Zgjidhje. Duke përdorur metodën e grupimit dhe formulën përkatëse të shkurtuar të shumëzimit, marrim:

.

Përgjigje: .

Shembulli 3.10. Faktoroni një polinom
.

Zgjidhje. Ne do të zëvendësojmë në
, gruponi termat, zbatoni formulat e shkurtuara të shumëzimit:

.

Përgjigje:
.

Shembulli 3.11. Faktoroni një polinom

Zgjidhje. Sepse,
,
, Kjo

Pas studimit të monomëve, kalojmë te polinomet. Ky artikull do t'ju tregojë për të gjithë informacionin e nevojshëm, të nevojshme për të kryer veprime mbi to. Do të përcaktojmë një polinom me përkufizimet shoqëruese termi i një polinomi, domethënë i lirë dhe i ngjashëm, merrni parasysh një polinom të një forme standarde, prezantoni një shkallë dhe mësoni si ta gjeni atë, punoni me koeficientët e tij.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Polinomi dhe termat e tij - përkufizime dhe shembuj

Përkufizimi i një polinomi ishte i nevojshëm që në fillim 7 klasë pas studimit të monomëve. Le të shohim përkufizimin e tij të plotë.

Përkufizimi 1

Polinom merret parasysh shuma e monomëve dhe vetë monomi është rast i veçantë polinom.

Nga përkufizimi rrjedh se shembujt e polinomeve mund të jenë të ndryshëm: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z e kështu me radhë. Nga përkufizimi kemi atë 1+x, a 2 + b 2 dhe shprehja x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x janë polinome.

Le të shohim disa përkufizime të tjera.

Përkufizimi 2

Anëtarët e polinomit quhen monomët përbërës të tij.

Shqyrtoni një shembull ku kemi një polinom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, i përbërë nga 4 terma: 3 x 4, − 2 x y, 3 dhe − y 3. Një monom i tillë mund të konsiderohet një polinom, i cili përbëhet nga një term.

Përkufizimi 3

Polinomet që përmbajnë 2, 3 trinome kanë emrin përkatës - binom Dhe trinom.

Nga kjo rrjedh se një shprehje e formës x+y– është një binom, dhe shprehja 2 x 3 q − q x x x + 7 b është një trinom.

Nga kurrikula shkollore punuar me një binom linear të formës a · x + b, ku a dhe b janë disa numra dhe x është një ndryshore. Le të shqyrtojmë shembuj të binomeve lineare të formës: x + 1, x 7, 2 − 4 me shembuj trinomet katrore x 2 + 3 x − 5 dhe 2 5 x 2 - 3 x + 11 .

Për të transformuar dhe zgjidhur, është e nevojshme të gjenden dhe të sjellin terma të ngjashëm. Për shembull, një polinom i formës 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ka terma të ngjashëm 1 dhe - 3, 5 x dhe 2 x. Ato ndahen në grup i veçantë quhen terma të ngjashëm të një polinomi.

Përkufizimi 4

Terma të ngjashëm të një polinomi janë terma të ngjashëm që gjenden në një polinom.

Në shembullin e mësipërm, kemi që 1 dhe - 3, 5 x dhe 2 x janë anëtarë të ngjashëm polinom ose terma të ngjashëm. Për të thjeshtuar shprehjen, gjeni dhe zvogëloni terma të ngjashëm.

Polinom i formës standarde

Të gjithë monomët dhe polinomet kanë emrat e tyre të veçantë.

Përkufizimi 5

Polinom i formës standardeështë një polinom në të cilin çdo term i përfshirë në të ka një monom të formës standarde dhe nuk përmban terma të ngjashëm.

Nga përkufizimi është e qartë se është e mundur të zvogëlohen polinomet e formës standarde, për shembull, 3 x 2 − x y + 1 dhe __formula__, dhe hyrja është në formë standarde. Shprehjet 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z dhe 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z nuk janë polinome të formës standarde, pasi i pari prej tyre ka terma të ngjashëm në forma 3 · x 2 dhe − x 2, dhe i dyti përmban një monom të formës x · y 3 · x · z 2, i cili ndryshon nga polinomi standard.

Nëse rrethanat e kërkojnë atë, ndonjëherë polinomi reduktohet në një formë standarde. Koncepti i një termi të lirë të një polinomi konsiderohet gjithashtu një polinom i formës standarde.

Përkufizimi 6

Termi i lirë i një polinomiështë një polinom i formës standarde që nuk ka një pjesë të drejtpërdrejtë.

Me fjalë të tjera, kur një polinom në formë standarde ka një numër, ai quhet anëtar i lirë. Atëherë numri 5 është një term i lirë i polinomit x 2 z + 5, dhe polinomi 7 a + 4 a b + b 3 nuk ka një term të lirë.

Shkalla e një polinomi - si ta gjejmë atë?

Vetë përkufizimi i shkallës së një polinomi bazohet në përcaktimin e një polinomi të formës standarde dhe në shkallët e monomëve që janë përbërës të tij.

Përkufizimi 7

Shkalla e një polinomi të formës standarde quhet më e madhja nga shkallët e përfshira në shënimin e saj.

Le të shohim një shembull. Shkalla e polinomit 5 x 3 − 4 është e barabartë me 3, sepse monomët e përfshirë në përbërjen e tij kanë shkallë 3 dhe 0, dhe më e madhja prej tyre është përkatësisht 3. Përkufizimi i shkallës nga polinomi 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x është i barabartë me numrin më të madh, domethënë 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 dhe 1, që do të thotë 5. .

Është e nevojshme të zbulohet se si gjendet vetë shkalla.

Përkufizimi 8

Shkalla polinomiale çdo numër është shkalla e polinomit përkatës në formë standarde.

Kur një polinom nuk shkruhet në formë standarde, por duhet të gjesh shkallën e tij, duhet ta reduktosh në formën standarde dhe më pas të gjesh shkallën e kërkuar.

Shembulli 1

Gjeni shkallën e një polinomi 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Zgjidhje

Së pari, le të paraqesim polinomin në formë standarde. Ne marrim një shprehje të formës:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Kur marrim një polinom të formës standarde, gjejmë se dy prej tyre dallohen qartë - 2 · a 2 · b 2 · c 2 dhe y 2 · z 2 . Për të gjetur shkallët, numërojmë dhe gjejmë se 2 + 2 + 2 = 6 dhe 2 + 2 = 4. Mund të shihet se më i madhi prej tyre është 6. Nga përkufizimi del se 6 është shkalla e polinomit − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , dhe për rrjedhojë vlera fillestare.

Përgjigju: 6 .

Koeficientët e termave polinom

Kur të gjithë termat e një polinomi janë monomë të formës standarde, atëherë në këtë rast ata kanë emrin koeficientët e termave polinom. Me fjalë të tjera, ato mund të quhen koeficientë të polinomit.

Kur shqyrtohet shembulli, është e qartë se një polinom i formës 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 përmban 4 polinome: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x dhe 7 me koeficientët e tyre përkatës 2, − 0, 5, 3 dhe 7. Kjo do të thotë që 2, − 0, 5, 3 dhe 7 konsiderohen koeficientë të termave të një polinomi të caktuar të formës 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Gjatë konvertimit, është e rëndësishme t'i kushtoni vëmendje koeficientëve përpara variablave.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

NË kapitujt e mëparshëm janë shqyrtuar pesë veprime numrat racionalë: mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe fuqizim.

Në këtë kapitull do të shqyrtojmë shprehjet algjebrike të përbëra duke përdorur këto pesë veprime. Të gjitha shprehjet e tilla quhen racionale.

Përkufizimi 1. Shprehjet algjebrike të përbëra nga numra, të caktuar me numra dhe shkronja, duke përdorur veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit dhe fuqizimit quhen racionale.

Shembuj të shprehjeve racionale.

2. Shprehje me numër të plotë dhe thyesore.

Merrni parasysh sa vijon shprehjet racionale:

Kur merret parasysh shprehje të ndryshme në algjebër, vëmendja kryesore i kushtohet veprimeve që duhet të kryhen në numrat e treguar me shkronja.

E para dhe e dyta e këtyre shprehjeve nuk përmbajnë fare funksionin e ndarjes me numra të caktuar me shkronja. Shprehje të tilla quhen numra të plotë.

Shprehja e dytë përmban veprimin e pjesëtimit me numrin 4, të treguar nga numri. Por ne, duke e pjesëtuar fillimisht 5 me 4, mund ta shkruajmë këtë shprehje të dytë kështu:

Shprehje

është gjithashtu i tërë; mund të paraqitet në formë

Së fundi, shprehja e tretë përmban pjesëtimin me numrin e shkruar me shkronjë. (Kjo shprehje thuhet gjithashtu se ka një pjesëtues shkronjash.) Shprehje të tilla quhen shprehje thyesore.

Më shumë shembuj të shprehjeve thyesore:

Përkufizimi 2. Një shprehje racionale quhet numër i plotë nëse nuk përmban një pjesëtim me një shprehje të mirëfilltë.

Përkufizimi 3. Një shprehje racionale quhet thyesë nëse përmban pjesëtimin me një shprehje fjalëpërfjalore.

Shkurtimisht, një shprehje racionale algjebrike quhet një numër i plotë ose një thyesë, në varësi të faktit nëse ka ose nuk ka një pjesëtues shkronjash.

3. Monomial.

Nga shprehjet me numra të plotë, më të thjeshtat janë ato që përmbajnë vetëm veprimet e shumëzimit dhe fuqizimit, për shembull:

Shprehje të tilla quhen monomë.

Përkufizim 4. Një shprehje algjebrike që përmban vetëm veprimet e shumëzimit dhe fuqizimit quhet monom.

Kështu, një monom është produkt i një faktori numerik dhe shkronjave, secila prej të cilave merret në një fuqi të caktuar.

Shënim. Meqenëse fuqizimi është një rast i veçantë i shumëzimit (mund, për shembull, ta shkruajmë në formën, atëherë mund të themi se një monom përmban vetëm një veprim - shumëzimin.

Një shprehje e përbërë nga vetëm një shkronjë konsiderohet gjithashtu monom.

Çdo numër individual i shkruar me shifra konsiderohet gjithashtu një monom.

Një shprehje e formës konsiderohet gjithashtu një monom, pasi megjithëse përmban ndarje, ne mund t'i atribuojmë pjesëtuesin 4 një faktori numerik dhe ta shkruajmë shprehjen si kjo:

4. Polinom.

Disa monomë të lidhur me shenja të mbledhjes dhe zbritjes formojnë një shprehje të re algjebrike të quajtur polinom.

Për shembull:

Ne tashmë e dimë se zbritja gjithmonë mund të zëvendësohet me mbledhje dhe çdo shprehje që përfshin mbledhjen dhe zbritjen është një shumë algjebrike. Për shembull, shprehja e mësipërme mund të shkruhet kështu:

Përkufizimi 5. Shuma algjebrike disa monomë quhet polinom.

Çdo monom që është pjesë e një polinomi quhet anëtar i tij.

Një polinom i përbërë nga dy terma quhet edhe binom; polinomi i përbërë nga tre anëtarë, quhet trinom etj.

Shembuj të binomeve:

Shembuj të trinomeve:

Një monom konsiderohet një rast i veçantë i një polinomi: është një polinom i përbërë nga një term.

Shënim. Pasi kemi studiuar veprimet mbi monomët dhe polinomet, ne mund të paraqesim çdo shprehje të plotë algjebrike si një shumë algjebrike të monomëve (në veçanti, mund të merret një monom). Prandaj, çdo shprehje e tërësishme, si p.sh

konsiderohet polinom. Shuma algjebrike e monomëve është e ashtuquajtura normale (e zakonshme), forma më e thjeshtë e tëra shprehje algjebrike. Me këtë formë më të thjeshtë do të fillojmë të studiojmë polinomet.

Shprehjet racionale thyesore, si p.sh

Konceptet e "polinomit" dhe "faktorizimit të një polinomi" në algjebër hasen shumë shpesh, sepse ju duhet t'i njihni ato në mënyrë që të kryeni lehtësisht llogaritjet me të mëdha. numra shumëshifrorë. Ky artikull do të përshkruajë disa metoda dekompozimi. Të gjitha ato janë mjaft të lehta për t'u përdorur, thjesht duhet të zgjidhni atë të duhurin për çdo rast specifik.

Koncepti i një polinomi

Një polinom është një shumë e monomëve, domethënë shprehje që përmbajnë vetëm veprimin e shumëzimit.

Për shembull, 2 * x * y është një monom, por 2 * x * y + 25 është një polinom që përbëhet nga 2 monomë: 2 * x * y dhe 25. Polinomë të tillë quhen binom.

Ndonjëherë, për lehtësinë e zgjidhjes së shembujve me kuptime me shumë vlera shprehja duhet të shndërrohet, për shembull, të zbërthehet në një numër të caktuar faktorësh, pra në numra ose shprehje ndërmjet të cilave kryhet veprimi i shumëzimit. Ka një sërë mënyrash për të faktorizuar një polinom. Vlen t'i shqyrtojmë ato, duke filluar nga më primitive, e cila përdoret në shkollën fillore.

Grupimi (regjistrimi në formë të përgjithshme)

Formula për faktorizimin e një polinomi duke përdorur metodën e grupimit pamje e përgjithshme duket si kjo:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Është e nevojshme të grupohen monomët në mënyrë që secili grup të ketë një faktor të përbashkët. Në kllapin e parë ky është faktori c, dhe në të dytën - d. Kjo duhet të bëhet në mënyrë që më pas ta zhvendosni atë nga kllapa, duke thjeshtuar kështu llogaritjet.

Algoritmi i zbërthimit duke përdorur një shembull specifik

Shembulli më i thjeshtë i faktorizimit të një polinomi duke përdorur metodën e grupimit është dhënë më poshtë:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Në kllapin e parë ju duhet të merrni termat me faktorin a, i cili do të jetë i zakonshëm, dhe në të dytën - me faktorin b. Kushtojini vëmendje shenjave + dhe - në shprehjen e përfunduar. Vendosëm përpara monomit shenjën që ishte brenda shprehja fillestare. Kjo do të thotë, nuk duhet të punoni me shprehjen 25a, por me shprehjen -25. Shenja minus duket se është "ngjitur" me shprehjen pas saj dhe gjithmonë merret parasysh gjatë llogaritjes.

Në hapin tjetër, ju duhet të hiqni shumëzuesin, i cili është i zakonshëm, jashtë kllapave. Pikërisht për këtë bëhet grupimi. Të vendosësh jashtë kllapës do të thotë të shkruash para kllapës (duke hequr shenjën e shumëzimit) të gjithë ata faktorë që përsëriten saktësisht në të gjithë termat që janë në kllapa. Nëse nuk ka 2, por 3 ose më shumë terma në një kllapë, faktori i përbashkët duhet të përmbahet në secilin prej tyre, përndryshe ai nuk mund të hiqet nga kllapa.

Në rastin tonë, ka vetëm 2 terma në kllapa. Shumëzuesi i përgjithshëm është menjëherë i dukshëm. Në kllapa e parë është a, në të dytën është b. Këtu duhet t'i kushtoni vëmendje koeficientëve dixhitalë. Në kllapa e parë, të dy koeficientët (10 dhe 25) janë shumëfish të 5. Kjo do të thotë se jo vetëm a, por edhe 5a mund të hiqet nga kllapa. Para kllapave, shkruani 5a dhe më pas ndani secilin prej termave në kllapa me faktorin e përbashkët që është hequr, dhe gjithashtu shkruani herësin në kllapa, duke mos harruar shenjat + dhe - Bëni të njëjtën gjë me kllapa. nxirrni 7b, si dhe 14 dhe 35 shumëfish të 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Ne morëm 2 terma: 5a (2c - 5) dhe 7b (2c - 5). Secila prej tyre përmban një faktor të përbashkët (e gjithë shprehja në kllapa këtu është e njëjtë, që do të thotë se është faktor i përbashkët): 2c - 5. Duhet gjithashtu të hiqet nga kllapa, domethënë termat 5a dhe 7b mbeten në kllapin e dytë:

5a(2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Pra, shprehja e plotë është:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Kështu, polinomi 10ac + 14bc - 25a - 35b zbërthehet në 2 faktorë: (2c - 5) dhe (5a + 7b). Shenja e shumëzimit ndërmjet tyre mund të hiqet gjatë shkrimit

Ndonjëherë ka shprehje të këtij lloji: 5a 2 + 50a 3, këtu mund të vendosni jashtë kllapave jo vetëm a ose 5a, por edhe 5a 2. Gjithmonë duhet të përpiqeni të vendosni faktorin më të madh të përbashkët jashtë kllapave. Në rastin tonë, nëse e ndajmë çdo term me një faktor të përbashkët, marrim:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(kur njehsohet herësi i disa fuqive me në mënyrë të barabartë Baza ruhet dhe eksponenti zbritet). Kështu, njësia mbetet në kllapa (në asnjë rast mos harroni të shkruani një nëse hiqni një nga termat nga kllapa) dhe herësi i pjesëtimit: 10a. Rezulton se:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Formulat katrore

Për lehtësinë e llogaritjes, janë nxjerrë disa formula. Këto quhen formula të shkurtuara të shumëzimit dhe përdoren mjaft shpesh. Këto formula ndihmojnë polinomet faktorizuese që përmbajnë fuqi. Ky është një tjetër mënyrë efektive faktorizimi. Pra ja ku janë:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - një formulë e quajtur "katrori i shumës", pasi si rezultat i zbërthimit në një katror, ​​merret shuma e numrave të mbyllur në kllapa, domethënë, vlera e kësaj shume shumëzohet në vetvete 2 herë, dhe për këtë arsye është një shumëzues.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formula për katrorin e diferencës, është e ngjashme me atë të mëparshme. Rezultati është diferenca, e mbyllur në kllapa, e përmbajtur në fuqinë katrore.
• a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- kjo është një formulë për ndryshimin e katrorëve, pasi fillimisht polinomi përbëhet nga 2 katrorë numrash ose shprehjesh, ndërmjet të cilave kryhet zbritja. Ndoshta, nga tre të përmendura, përdoret më shpesh.

Shembuj për llogaritjet duke përdorur formulat katrore

Llogaritjet për ta janë mjaft të thjeshta. Për shembull:

1. 25x 2 + 20xy + 4v 2 - përdorni formulën “katrori i shumës”.
2. 25x2 është katrori i 5x. 20xy është prodhimi i dyfishtë i 2*(5x*2y), dhe 4y 2 është katrori i 2y.
3. Kështu, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Ky polinom zbërthehet në 2 faktorë (faktorët janë të njëjtë, pra shkruhet si shprehje me fuqi katrore).

Veprimet duke përdorur formulën e diferencës në katror kryhen në mënyrë të ngjashme me këto. Formula e mbetur është ndryshimi i katrorëve. Shembujt e kësaj formule janë shumë të lehta për t'u përcaktuar dhe gjetur midis shprehjeve të tjera. Për shembull:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Meqenëse 25a 2 = (5a) 2, dhe 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Meqenëse 36x 2 = (6x) 2, dhe 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). Që nga viti 169b 2 = (13b) 2

Është e rëndësishme që secili prej termave të jetë një katror i disa shprehjeve. Atëherë ky polinom duhet të faktorizohet duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve. Për këtë nuk është e nevojshme që shkalla e dytë të jetë mbi numrin. Ka polinome që përmbajnë shkallë të mëdha, por gjithsesi i përshtatshëm për këto formula.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

NË në këtë shembull dhe 8 mund të përfaqësohet si (a 4) 2, domethënë katrori i një shprehjeje të caktuar. 25 është 5 2 dhe 10a është 4 - ky është prodhimi i dyfishtë i termave 2 * a 4 * 5. Kjo është kjo shprehje, pavarësisht se ka diploma me norma të larta, mund të zbërthehet në 2 faktorë për të punuar më pas me ta.

Formulat e kubit

Të njëjtat formula ekzistojnë për faktorizimin e polinomeve që përmbajnë kube. Ato janë pak më të komplikuara se ato me katrorë:

• a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- kjo formulë quhet shuma e kubeve, pasi në forma fillestare Një polinom është shuma e dy shprehjeve ose numrave në kub.
• a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) - një formulë identike me atë të mëparshme përcaktohet si ndryshimi i kubeve.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - kubi i një shume, si rezultat i llogaritjeve, shuma e numrave ose shprehjeve mbyllet në kllapa dhe shumëzohet me vetveten 3 herë, domethënë ndodhet në një kub
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - një formulë e përpiluar në analogji me atë të mëparshmen me vetëm disa shenja të ndryshuara operacionet matematikore(plus dhe minus), ka emrin "kubi i ndryshimit".

Dy formulat e fundit praktikisht nuk përdoren për qëllimin e faktorizimit të një polinomi, pasi ato janë komplekse, dhe është mjaft e rrallë të gjesh polinome që korrespondojnë plotësisht me këtë strukturë, në mënyrë që ato të mund të faktorizohen duke përdorur këto formula. Por ju ende duhet t'i njihni ato, pasi ato do të kërkohen kur veproni në drejtim të kundërt - kur hapni kllapa.

Shembuj mbi formulat e kubit

Le të shohim një shembull: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Këtu janë marrë numra mjaft të thjeshtë, kështu që menjëherë mund të shihni se 64a 3 është (4a) 3, dhe 8b 3 është (2b) 3. Kështu, ky polinom zgjerohet sipas diferencës së formulës së kubeve në 2 faktorë. Veprimet duke përdorur formulën për shumën e kubeve kryhen me analogji.

Është e rëndësishme të kuptohet se jo të gjithë polinomet mund të zgjerohen në të paktën një mënyrë. Por ka shprehje që përmbajnë fuqi më të mëdha se një katror ose një kub, por ato mund të zgjerohen edhe në forma të shkurtuara shumëzimi. Për shembull: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Ky shembull përmban deri në 12 gradë. Por edhe ai mund të faktorizohet duke përdorur formulën e shumës së kubeve. Për ta bërë këtë, ju duhet të imagjinoni x 12 si (x 4) 3, domethënë si një kub të ndonjë shprehjeje. Tani, në vend të a, ju duhet ta zëvendësoni atë në formulë. Epo, shprehja 125y 3 është një kub prej 5y. Tjetra, duhet të kompozoni produktin duke përdorur formulën dhe të kryeni llogaritjet.

Në fillim, ose në rast dyshimi, gjithmonë mund të kontrolloni me shumëzim të anasjelltë. Thjesht duhet të hapni kllapat në shprehjen që rezulton dhe të kryeni veprime me terma të ngjashëm. Kjo metodë zbatohet për të gjitha metodat e reduktimit të listuara: si për punën me një faktor të përbashkët dhe grupim, ashtu edhe për punën me formulat e kubeve dhe fuqive kuadratike.