Në këtë artikull do të flasim për një koncept kaq të rëndësishëm matematikor si një funksion kompleks dhe do të mësojmë se si të gjejmë derivatin funksion kompleks.

Para se të mësojmë të gjejmë derivatin e një funksioni kompleks, le të kuptojmë konceptin e një funksioni kompleks, çfarë është, "me çfarë hahet" dhe "si ta gatuajmë saktë".

Konsideroni një funksion arbitrar, për shembull, këtë:

Vini re se argumenti në anën e djathtë dhe të majtë të ekuacionit të funksionit është i njëjti numër ose shprehje.

Në vend të një ndryshoreje, mund të vendosim, për shembull, shprehjen e mëposhtme: . Dhe pastaj marrim funksionin

Le ta quajmë shprehjen një argument të ndërmjetëm, dhe funksionin një funksion të jashtëm. Nuk është e rreptë konceptet matematikore, por ato ndihmojnë për të kuptuar kuptimin e konceptit të një funksioni kompleks.

Një përkufizim i rreptë i konceptit të një funksioni kompleks tingëllon si ky:

Le të përcaktohet një funksion në një grup dhe të jetë bashkësia e vlerave të këtij funksioni. Le të jetë bashkësia (ose nëngrupi i saj) domeni i përcaktimit të funksionit. Le t'i caktojmë një numër secilit prej tyre. Kështu, funksioni do të përcaktohet në grup. Quhet përbërje funksioni ose funksion kompleks.

Në këtë përkufizim, nëse përdorim terminologjinë tonë, një funksion i jashtëm është një argument i ndërmjetëm.

Derivati i një funksioni kompleks gjendet sipas rregullit të mëposhtëm:

Për ta bërë më të qartë, më pëlqen ta shkruaj këtë rregull si më poshtë:

Në këtë shprehje, përdorimi tregon një funksion të ndërmjetëm.

Pra. Për të gjetur derivatin e një funksioni kompleks, ju duhet

1. Përcaktoni cili funksion është i jashtëm dhe gjeni derivatin përkatës nga tabela e derivateve.

2. Përcaktoni një argument të ndërmjetëm.

Në këtë procedurë, vështirësia më e madhe është gjetja e funksionit të jashtëm. Për këtë përdoret një algoritëm i thjeshtë:

A. Shkruani ekuacionin e funksionit.

b. Imagjinoni që ju duhet të llogaritni vlerën e një funksioni për një vlerë të x. Për ta bërë këtë, ju zëvendësoni këtë vlerë të x në ekuacionin e funksionit dhe prodhoni veprimet aritmetike. Veprimi i fundit që bëni është funksioni i jashtëm.

Për shembull, në funksion

Veprimi i fundit është fuqizimi.

Le të gjejmë derivatin e këtij funksioni. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë një argument të ndërmjetëm

Që kur keni ardhur këtu, me siguri e keni parë tashmë këtë formulë në tekstin shkollor

dhe bëni një fytyrë si kjo:

Mik, mos u shqetëso! Në fakt, gjithçka është thjesht e egër. Ju patjetër do të kuptoni gjithçka. Vetëm një kërkesë - lexoni artikullin duke marrë kohën tuaj, përpiquni të kuptoni çdo hap. Unë shkrova sa më thjeshtë dhe qartë, por ju ende duhet ta kuptoni idenë. Dhe sigurohuni që të zgjidhni detyrat nga artikulli.

Çfarë është një funksion kompleks?

Imagjinoni që po zhvendoseni në një apartament tjetër dhe për këtë arsye po i paketoni gjërat në kuti të mëdha. Supozoni se duhet të mbledhim disa sende të vogla, për shembull, materialet e shkrimit të shkollës. Nëse thjesht i hidhni në një kuti të madhe, ato do të humbasin ndër të tjera. Për të shmangur këtë, fillimisht i vendosni për shembull në një qese, të cilën e vendosni më pas në një kuti të madhe dhe më pas e mbyllni. Ky proces "kompleks" është paraqitur në diagramin e mëposhtëm:

Do të duket, çfarë lidhje ka matematika me të? Po, përkundër faktit se një funksion kompleks është formuar në të njëjtën mënyrë! Vetëm ne “paketojmë” jo fletoret dhe stilolapsat, por $x$, ndërsa “paketat” dhe “kutitë” janë të ndryshme.

Për shembull, le të marrim x dhe ta "paketojmë" atë në një funksion:

Si rezultat, ne marrim, natyrisht, $\cos⁡x$. Kjo është "çanta jonë e gjërave". Tani le ta vendosim në një "kuti" - e paketojmë, për shembull, në një funksion kub.

Çfarë do të ndodhë në fund? Po, është e drejtë, do të ketë një "çantë me gjëra në një kuti", domethënë "kosinus me kub X".

Dizajni që rezulton është një funksion kompleks. Ai ndryshon nga i thjeshti në këtë DISA "influenca" (pako) aplikohen për një X me radhë dhe rezulton sikur "funksioni nga funksioni" - "paketimi brenda paketimit".

NË kursi shkollor Ka shumë pak lloje të këtyre "paketave", vetëm katër:

Le ta "paketojmë" X fillimisht në një funksion eksponencial me bazën 7, dhe më pas në një funksion trigonometrik. Ne marrim:

$x → 7^x → tg⁡(7^x)$

Tani le të "paketojmë" x dy herë në funksionet trigonometrike, së pari në dhe pastaj në:

$x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)$

E thjeshtë, apo jo?

Tani shkruani vetë funksionet, ku x:
- së pari "paketohet" në një kosinus, dhe më pas në një funksion eksponencial me bazën $3$;
- së pari në fuqinë e pestë, dhe më pas në tangjenten;
- së pari në logaritëm në bazën $4$ , pastaj në fuqinë $-2$.

Gjeni përgjigjet për këtë detyrë në fund të artikullit.

A mund ta "paketojmë" X jo dy, por tre herë? Po, nuk ka problem! Dhe katër, pesë dhe njëzet e pesë herë. Këtu, për shembull, është një funksion në të cilin x është "paketuar" $4$ herë:

$y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))$

Por formula të tilla praktikë shkollore nuk do të takohen (nxënësit janë më me fat - gjërat mund të jenë më të vështira për ta☺).

"Shpaketimi" i një funksioni kompleks

Shikoni sërish funksionin e mëparshëm. A mund ta kuptoni sekuencën e "paketimit"? Në çfarë X u fut fillimisht, çfarë pastaj, e kështu me radhë deri në fund. Domethënë, cili funksion ndodhet brenda cilit? Merrni një copë letër dhe shkruani atë që mendoni. Ju mund ta bëni këtë me një zinxhir me shigjeta siç kemi shkruar më lart ose në ndonjë mënyrë tjetër.

Tani përgjigjja e saktë është: së pari, x ishte "paketuar" në fuqinë $4$-të, më pas rezultati u paketua në një sinus, ai, nga ana tjetër, u vendos në logaritëm në bazën $2$ , dhe në fund i gjithë ky konstruksion u fut në një pesëshe me fuqi.

Kjo do të thotë, ju duhet të zbërtheni sekuencën në REND TË KUNDËRT. Dhe këtu është një sugjerim se si ta bëni më lehtë: shikoni menjëherë X - duhet të kërceni prej tij. Le të shohim disa shembuj.

Për shembull, këtu është funksioni i mëposhtëm: $y=tg⁡(\log_2⁡x)$. Ne shikojmë X - çfarë ndodh së pari me të? Marrë prej tij. Dhe pastaj? Merret tangjentja e rezultatit. Sekuenca do të jetë e njëjtë:

$x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)$

Një shembull tjetër: $y=\cos⁡((x^3))$. Le të analizojmë - së pari ne kubuam X, dhe më pas morëm kosinusin e rezultatit. Kjo do të thotë se sekuenca do të jetë: $x → x^3 → \cos⁡((x^3))$. Kushtojini vëmendje, funksioni duket se është i ngjashëm me atë të parën (ku ka foto). Por ky është një funksion krejtësisht i ndryshëm: këtu në kub është x (d.m.th., $\cos⁡((x·x·x)))$, dhe atje në kub është kosinusi $x$ ( që është, $\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x$). Ky ndryshim lind nga sekuenca të ndryshme "paketimi".

Shembulli i fundit (me informacione të rëndësishme në të): $y=\sin⁡((2x+5))$. Është e qartë se këtu ata fillimisht bënë veprime aritmetike me x, më pas morën sinusin e rezultatit: $x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))$. Dhe kjo pikë e rëndësishme: pavarësisht se veprimet aritmetike nuk janë funksione në vetvete, këtu ato veprojnë edhe si një mënyrë "paketimi". Le të thellohemi pak më thellë në këtë hollësi.

Siç thashë më lart, në funksione të thjeshta x "paketohet" një herë, dhe në funksione komplekse - dy ose më shumë. Për më tepër, çdo kombinim i funksioneve të thjeshta (d.m.th., shuma, diferenca, shumëzimi ose pjesëtimi i tyre) është gjithashtu funksion i thjeshtë. Për shembull, $x^7$ është një funksion i thjeshtë dhe po kështu është $ctg x$. Kjo do të thotë që të gjitha kombinimet e tyre janë funksione të thjeshta:

$x^7+ ctg x$ - e thjeshtë,
$x^7· ahur x$ – e thjeshtë,
$\frac(x^7)(ctg x)$ – e thjeshtë, etj.

Sidoqoftë, nëse një funksion më shumë zbatohet për një kombinim të tillë, ai do të bëhet një funksion kompleks, pasi do të ketë dy "pako". Shih diagramin:

Mirë, vazhdo tani. Shkruani sekuencën e funksioneve të "mbështjelljes":
$y=cos(⁡(sin⁡x))$
$y=5^(x^7)$
$y=arctg⁡(11^x)$
$y=log_2⁡(1+x)$
Përgjigjet janë përsëri në fund të artikullit.

Funksionet e brendshme dhe të jashtme

Pse duhet të kuptojmë folenë e funksionit? Çfarë na jep kjo? Fakti është se pa një analizë të tillë nuk do të jemi në gjendje të gjejmë me besueshmëri derivate të funksioneve të diskutuara më sipër.

Dhe për të ecur përpara, do të na duhen dy koncepte të tjera: funksionet e brendshme dhe të jashtme. Kjo është shumë gjë e thjeshtë, për më tepër, në fakt, ne i kemi analizuar tashmë ato më lart: nëse kujtojmë analogjinë tonë që në fillim, atëherë funksioni i brendshëm është një "paketë", dhe funksioni i jashtëm është një "kuti". Ato. ajo që X është "mbështjellë" në fillim është një funksion i brendshëm, dhe ajo me të cilën është "mbështjellë" funksioni i brendshëm është tashmë i jashtëm. Epo, është e qartë pse - ajo është jashtë, kjo do të thotë e jashtme.

Në këtë shembull: $y=tg⁡(log_2⁡x)$, funksioni $\log_2⁡x$ është i brendshëm, dhe
- e jashtme.

Dhe në këtë: $y=\cos⁡((x^3+2x+1))$, $x^3+2x+1$ është i brendshëm, dhe
- e jashtme.

Plotësoni praktikën e fundit të analizimit të funksioneve komplekse dhe më në fund le të kalojmë tek ajo për të cilën filluam të gjithë - do të gjejmë derivate të funksioneve komplekse:

Plotësoni vendet bosh në tabelë:

Derivat i një funksioni kompleks

Bravo për ne, më në fund arritëm te "bosi" i kësaj teme - në fakt, derivati i një funksioni kompleks, dhe konkretisht, tek ajo formulë shumë e tmerrshme që nga fillimi i artikullit.☺

$(f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)$

Kjo formulë lexohet kështu:

Derivati i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të funksionit të jashtëm në lidhje me një funksion të brendshëm konstant dhe derivatin e funksionit të brendshëm.

Dhe menjëherë shikoni diagramin e analizës, sipas fjalëve, në mënyrë që të kuptoni se çfarë të bëni me çfarë:

Shpresoj që termat "derivativ" dhe "produkt" të mos shkaktojnë ndonjë vështirësi. "Funksioni kompleks" - ne e kemi zgjidhur tashmë atë. Kapja është në "derivatin e një funksioni të jashtëm në lidhje me një funksion të brendshëm konstant". Çfarë është ajo?

Përgjigje: ky është derivati i zakonshëm i një funksioni të jashtëm, në të cilin ndryshon vetëm funksioni i jashtëm, dhe ai i brendshëm mbetet i njëjtë. Ende nuk është e qartë? Mirë, le të përdorim një shembull.

Le të kemi një funksion $y=\sin⁡(x^3)$. Është e qartë se funksioni i brendshëm këtu është $x^3$, dhe i jashtëm
. Le të gjejmë tani derivatin e jashtme në lidhje me brendësinë konstante.

Përkufizimi. Le të përcaktohet funksioni $y = f(x) $ në një interval të caktuar që përmban pikën $x_0$ brenda vetes. Le t'i japim argumentit një rritje $\Delta x $ në mënyrë që të mos largohet nga ky interval. Le të gjejmë inkrementin përkatës të funksionit $\Delta y $ (kur lëvizim nga pika $x_0 $ në pikën $x_0 + \Delta x $) dhe të hartojmë relacionin $\frac(\Delta y)(\Delta x) $. Nëse ka një kufi për këtë raport në $\Delta x \rightarrow 0$, atëherë kufiri i specifikuar quhet derivat i një funksioni$y=f(x) $ në pikën $x_0 $ dhe shënojmë $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simboli y përdoret shpesh për të treguar derivatin. Vini re se y" = f(x) është një funksion i ri, por i lidhur natyrshëm me funksionin y = f(x), i përcaktuar në të gjitha pikat x në të cilat ekziston kufiri i mësipërm. Ky funksion quhet kështu: derivat i funksionit y = f(x).

Kuptimi gjeometrik i derivatitështë si më poshtë. Nëse është e mundur të vizatohet një tangjente në grafikun e funksionit y = f(x) në pikën me abshisë x=a, e cila nuk është paralele me boshtin y, atëherë f(a) shpreh pjerrësinë e tangjentes. :
$k = f"(a)$

Meqenëse $k = tg(a) $, atëherë barazia $f"(a) = tan(a) $ është e vërtetë.

Tani le të interpretojmë përkufizimin e derivatit nga pikëpamja e barazive të përafërta. Le të ketë një derivat në funksionin $y = f(x)$. pikë specifike$x$:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Kjo do të thotë se afër pikës x barazia e përafërt $\frac(\Delta y)(\Delta x) \përafërsisht f"(x)$, d.m.th. $\Delta y \përafërsisht f"(x) \cdot\ Delta x$. Kuptimi kuptimplotë i barazisë së përafërt që rezulton është si vijon: rritja e funksionit është "pothuajse proporcionale" me rritjen e argumentit, dhe koeficienti i proporcionalitetit është vlera e derivatit në pikë e dhënë X. Për shembull, për funksionin $y = x^2$ barazia e përafërt $\Delta y \përafërsisht 2x \cdot \Delta x $ është e vlefshme. Nëse analizojmë me kujdes përkufizimin e një derivati, do të zbulojmë se ai përmban një algoritëm për gjetjen e tij.

Le ta formulojmë.

Si gjendet derivati i funksionit y = f(x)?

1. Rregulloni vlerën e $x$, gjeni $f(x)$
2. Jepini argumentit $x$ një rritje $\Delta x$, shkoni te pikë e re$x+ \Delta x $, gjeni $f(x+ \Delta x) $
3. Gjeni shtimin e funksionit: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Krijo relacionin $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Llogaritni $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ky kufi është derivati i funksionit në pikën x.

Nëse një funksion y = f(x) ka një derivat në një pikë x, atëherë ai quhet i diferencueshëm në një pikë x. Quhet procedura për gjetjen e derivatit të funksionit y = f(x). diferencimi funksionet y = f(x).

Le të diskutojmë pyetjen e mëposhtme: si lidhen me njëra-tjetrën vazhdimësia dhe diferencimi i një funksioni në një pikë?

Le të jetë funksioni y = f(x) i diferencueshëm në pikën x. Pastaj një tangjente mund të vizatohet në grafikun e funksionit në pikën M(x; f(x)), dhe, kujtojmë, koeficienti këndor i tangjentës është i barabartë me f "(x). Një graf i tillë nuk mund të "prishet" në pikën M, pra funksioni duhet të jetë i vazhdueshëm në pikën x.

Këto ishin argumente "praktike". Le të japim një arsyetim më rigoroz. Nëse funksioni y = f(x) është i diferencueshëm në pikën x, atëherë vlen barazia e përafërt $\Delta y \përafërsisht f"(x) \cdot \Delta x$. Nëse në këtë barazi $\Delta x $ tenton në zero, atëherë $\Delta y$ do të priret në zero, dhe ky është kushti për vazhdimësinë e funksionit në një pikë.

Pra, nëse një funksion është i diferencueshëm në një pikë x, atëherë ai është i vazhdueshëm në atë pikë.

Deklarata e kundërt nuk është e vërtetë. Për shembull: funksioni y = |x| është e vazhdueshme kudo, veçanërisht në pikën x = 0, por tangjentja me grafikun e funksionit në "pikën e kryqëzimit" (0; 0) nuk ekziston. Nëse në një moment një tangjente nuk mund të vizatohet në grafikun e një funksioni, atëherë derivati nuk ekziston në atë pikë.

Një shembull tjetër. Funksioni $y=\sqrt(x)$ është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike, duke përfshirë pikën x = 0. Dhe tangjentja me grafikun e funksionit ekziston në çdo pikë, duke përfshirë pikën x = 0 Por në këtë pikë tangjentja përkon me boshtin y, d.m.th., është pingul me boshtin e abshisës, ekuacioni i tij ka formën x = 0. Koeficienti i pjerrësisë një linjë e tillë nuk ka, që do të thotë se as $f"(0) $ nuk ekziston

Pra, u njohëm me një veti të re të një funksioni - diferencibilitetin. Si mund të konkludohet nga grafiku i një funksioni se ai është i diferencueshëm?

Përgjigja në fakt është dhënë më lart. Nëse në një moment është e mundur të vizatoni një tangjente në grafikun e një funksioni që nuk është pingul me boshtin e abshisës, atëherë në këtë pikë funksioni është i diferencueshëm. Nëse në një moment tangjentja me grafikun e një funksioni nuk ekziston ose është pingul me boshtin e abshisës, atëherë në këtë pikë funksioni nuk është i diferencueshëm.

Rregullat e diferencimit

Operacioni i gjetjes së derivatit quhet diferencimi. Kur kryeni këtë operacion, shpesh duhet të punoni me koeficientët, shumat, produktet e funksioneve, si dhe "funksionet e funksioneve", domethënë funksionet komplekse. Bazuar në përkufizimin e derivatit, mund të nxjerrim rregulla diferencimi që e bëjnë këtë punë më të lehtë. Nëse C - numër konstant dhe f=f(x), g=g(x) janë disa funksione të diferencueshme, atëherë sa vijon janë të vërteta rregullat e diferencimit:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \djathtas) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivati i një funksioni kompleks:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabela e derivateve të disa funksioneve

$$ \left(\frac(1)(x) \djathtas) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \djathtas) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \djathtas) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \majtas(e^x \djathtas) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\tekst(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\tekst(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\tekst(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Është dhënë një vërtetim i formulës për derivatin e një funksioni kompleks. Shqyrtohen në detaje rastet kur një funksion kompleks varet nga një ose dy ndryshore. Një përgjithësim i bëhet rastit çdo numër variablat.

Këtu po paraqesim përfundimin formulat e mëposhtme për derivatin e një funksioni kompleks.
Nëse, atëherë
.
Nëse, atëherë
.
Nëse, atëherë
.

Derivat i një funksioni kompleks nga një ndryshore

Le të paraqitet një funksion i ndryshores x si një funksion kompleks në formën e mëposhtme:
,
ku ka disa funksione. Funksioni është i diferencueshëm për disa vlera të ndryshores x.
Funksioni është i diferencueshëm në vlerën e ndryshores.
(1) .

Atëherë funksioni kompleks (i përbërë) është i diferencueshëm në pikën x dhe derivati i tij përcaktohet nga formula:
;
.

Formula (1) mund të shkruhet edhe si më poshtë:

Dëshmi
;
.
Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm.

Këtu ekziston një funksion i variablave dhe , ekziston një funksion i variablave dhe .
;
.

Por ne do të heqim argumentet e këtyre funksioneve në mënyrë që të mos rrëmbejmë llogaritjet.
.
Meqenëse funksionet dhe janë të diferencueshëm në pikat x dhe , përkatësisht, atëherë në këto pika ka derivate të këtyre funksioneve, të cilat janë kufijtë e mëposhtëm:
.
Merrni parasysh funksionin e mëposhtëm:
.

Për një vlerë fikse të ndryshores u, është një funksion i .
.
Merrni parasysh funksionin e mëposhtëm:
.

Është e qartë se

.

Pastaj

Meqenëse funksioni është një funksion i diferencueshëm në atë pikë, ai është i vazhdueshëm në atë pikë. Kjo është arsyeja pse

Tani gjejmë derivatin.
,
Formula është e vërtetuar.
.
Këtu , dhe ka disa funksione të diferencueshme.

Për të vërtetuar këtë formulë, ne llogarisim në mënyrë sekuenciale derivatin duke përdorur rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks.
Merrni parasysh funksionin kompleks
.
Derivati i tij
.
Konsideroni funksionin origjinal
.
Derivati i tij
.

Derivat i një funksioni kompleks nga dy ndryshore

Tani le të varet funksioni kompleks nga disa ndryshore. Së pari le të shohim rasti i një funksioni kompleks të dy ndryshoreve.

Le të paraqitet një funksion në varësi të ndryshores x si një funksion kompleks i dy variablave në formën e mëposhtme:
,
Ku
dhe ka funksione të diferencueshme për disa vlera të ndryshores x;
- një funksion i dy variablave, të diferencueshëm në pikën , .
(2) .

Formula (1) mund të shkruhet edhe si më poshtë:

Atëherë funksioni kompleks përcaktohet në një lagje të caktuar të pikës dhe ka një derivat, i cili përcaktohet nga formula:
;
.
Meqenëse funksionet dhe janë të diferencueshëm në pikë, ato përcaktohen në një fqinjësi të caktuar të kësaj pike, janë të vazhdueshme në pikë dhe derivatet e tyre ekzistojnë në pikë, që janë kufijtë e mëposhtëm:
;
.
Këtu
;
.

Për shkak të vazhdimësisë së këtyre funksioneve në një pikë, kemi:
(3) .
Meqenëse funksionet dhe janë të diferencueshëm në pikë, ato përcaktohen në një fqinjësi të caktuar të kësaj pike, janë të vazhdueshme në pikë dhe derivatet e tyre ekzistojnë në pikë, që janë kufijtë e mëposhtëm:

Meqenëse funksioni është i diferencueshëm në pikë, ai përcaktohet në një lagje të caktuar të kësaj pike, është i vazhdueshëm në këtë pikë dhe rritja e tij mund të shkruhet në formën e mëposhtme:
;

- rritja e një funksioni kur argumentet e tij rriten me vlera dhe ;
- derivatet e pjesshme të funksionit në lidhje me variablat dhe .
;
.
Për vlerat fikse të dhe, dhe janë funksione të variablave dhe .
;
.

Ata priren në zero në dhe:

. :
.
Që atëherë dhe atëherë

.

Pastaj

Rritja e funksionit:

Le të zëvendësojmë (3):

Derivat i një funksioni kompleks nga disa ndryshore Përfundimi i mësipërm mund të përgjithësohet lehtësisht në rastin kur numri i variablave të një funksioni kompleks është më shumë se dy. Për shembull, nëse f është
,
Ku
funksioni i tre variablave
, Kjo
, dhe ka funksione të diferencueshme për disa vlera të ndryshores x;
(4)
.
- funksioni i diferencueshëm i tre variablave në pikën , , .
; ; ,
Pastaj, nga përkufizimi i diferencibilitetit të funksionit, kemi:
;
;
.

Sepse, për shkak të vazhdimësisë,
.

Se Duke e ndarë (4) me dhe duke kaluar në kufi, marrim: Dhe së fundi, le të shqyrtojmë .
shumica
,
Ku
rast i përgjithshëm
Le të përfaqësohet një funksion i ndryshores x si një funksion kompleks i n variablave në formën e mëposhtme:
, , ... , .
Merrni parasysh funksionin e mëposhtëm:
.

ka funksione të diferencueshme për disa vlera të ndryshores x;

- funksioni i diferencueshëm i n variablave në një pikë Niveli i hyrjes (2019)

Le të imagjinojmë një rrugë të drejtë që kalon nëpër një zonë kodrinore. Kjo do të thotë, shkon lart e poshtë, por nuk kthehet djathtas ose majtas. Nëse aksi drejtohet horizontalisht përgjatë rrugës dhe vertikalisht, atëherë vija e rrugës do të jetë shumë e ngjashme me grafikun e ndonjë funksioni të vazhdueshëm:

Aksi është një nivel i caktuar i lartësisë zero në jetë ne përdorim nivelin e detit;

Ndërsa ecim përpara përgjatë një rruge të tillë, ne gjithashtu lëvizim lart ose poshtë. Mund të themi gjithashtu: kur ndryshon argumenti (lëvizja përgjatë boshtit të abshisës), vlera e funksionit ndryshon (lëvizja përgjatë boshtit të ordinatave). Tani le të mendojmë se si të përcaktojmë "pjerrësinë" e rrugës sonë? Çfarë lloj vlere mund të jetë kjo? Është shumë e thjeshtë: sa do të ndryshojë lartësia kur lëvizni përpara një distancë të caktuar. Në të vërtetë, në seksione të ndryshme të rrugës, duke ecur përpara (përgjatë boshtit x) me një kilometër, ne do të ngrihemi ose do të biem nga sasi të ndryshme metra në raport me nivelin e detit (përgjatë boshtit të ordinatave).

Le të shënojmë përparimin (lexoni "delta x").

Shkronja greke (delta) përdoret zakonisht në matematikë si parashtesë që do të thotë "ndryshim". Kjo është - ky është një ndryshim në sasi, - një ndryshim; atëherë çfarë është ajo? Kjo është e drejtë, një ndryshim në madhësi.

E rëndësishme: një shprehje është një tërësi e vetme, një ndryshore. Asnjëherë mos e ndani "deltën" nga "x" ose ndonjë shkronjë tjetër!

Kjo është, për shembull,.

Pra, ne kemi ecur përpara, horizontalisht, nga. Nëse krahasojmë vijën e rrugës me grafikun e funksionit, atëherë si e shënojmë ngritjen? Sigurisht,. Domethënë, ndërsa ecim përpara, ngrihemi më lart. Vlera është e lehtë për t'u llogaritur: nëse në fillim ishim në një lartësi, dhe pas lëvizjes e gjetëm veten në një lartësi, atëherë. Nëse pika fundore

doli të jetë më e ulët se ajo fillestare, do të jetë negative - kjo do të thotë që ne nuk po ngjitemi, por po zbresim.

Le të kthehemi te "pjerrësia": kjo është një vlerë që tregon se sa (pjerrët) rritet lartësia kur lëvizni përpara një njësi distancë:

Le të supozojmë se në një pjesë të rrugës, kur ecim përpara me një kilometër, rruga ngrihet për një kilometër. Atëherë pjerrësia në këtë vend është e barabartë. Dhe nëse rruga, duke ecur përpara me m, ka rënë me km? Atëherë pjerrësia është e barabartë.

Kjo do të thotë, sipas logjikës sonë, rezulton se pjerrësia këtu është pothuajse e barabartë me zero, gjë që nuk është qartë e vërtetë. Pak më shumë se një distancë prej kilometrash shumë mund të ndryshojnë. Është e nevojshme të merren parasysh zona më të vogla për një vlerësim më adekuat dhe më të saktë të pjerrësisë. Për shembull, nëse matni ndryshimin në lartësi ndërsa lëvizni një metër, rezultati do të jetë shumë më i saktë. Por edhe kjo saktësi mund të mos jetë e mjaftueshme për ne - në fund të fundit, nëse ka një shtyllë në mes të rrugës, ne thjesht mund ta kalojmë atë. Çfarë distancë duhet të zgjedhim atëherë? Centimetri? Milimetri? Më pak është më shumë!

NË jeta reale Matja e distancave në milimetrin më të afërt është më se e mjaftueshme. Por matematikanët gjithmonë përpiqen për përsosmëri. Prandaj, koncepti u shpik pafundësisht i vogël, domethënë, vlera absolute është më e vogël se çdo numër që mund të emërtojmë. Për shembull, ju thoni: një triliontë! Sa më pak? Dhe ju e ndani këtë numër me - dhe do të jetë edhe më pak. Dhe kështu me radhë. Nëse duam të shkruajmë se një sasi është e pafundme, shkruajmë kështu: (lexojmë “x tenton në zero”). Është shumë e rëndësishme të kuptohet se ky numër nuk është zero! Por shumë afër saj. Kjo do të thotë që ju mund të ndani me të.

Koncepti i kundërt me infinitimalin është pafundësisht i madh (). Me siguri e keni hasur tashmë kur po punonit për pabarazitë: ky numër është modulo më i madh se çdo numër që mund të mendoni. Nëse keni dalë me më të madhin numrat e mundshëm, mjafton ta shumëzosh me dy dhe do të marrësh edhe më shumë. Dhe pafundësia ende për më tepërçfarë do të ndodhë. Në fakt, pafundësisht i madhi dhe pafundësisht i vogël janë anasjellta e njëra-tjetrës, pra në, dhe anasjelltas: në.

Tani le të kthehemi në rrugën tonë. Pjerrësia e llogaritur në mënyrë ideale është pjerrësia e llogaritur për një segment pafundësisht të vogël të shtegut, domethënë:

Vërej se me një zhvendosje pafundësisht, ndryshimi në lartësi do të jetë gjithashtu pafundësisht i vogël. Por më lejoni t'ju kujtoj se pafundësi nuk do të thotë e barabartë me zero. Nëse ndani numra pafundësisht të vegjël me njëri-tjetrin, mund të merrni mjaft numër i rregullt, Për shembull, . Kjo do të thotë, një vlerë e vogël mund të jetë saktësisht herë më e madhe se një tjetër.

Për çfarë është e gjithë kjo? Rruga, pjerrësia... Ne nuk do të shkojmë në një miting makinash, por po mësojmë matematikë. Dhe në matematikë gjithçka është saktësisht e njëjtë, vetëm quhet ndryshe.

Koncepti i derivatit

Derivati i një funksioni është raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infiniteminale të argumentit.

Në mënyrë incrementale në matematikë e quajnë ndryshim. Shkalla në të cilën argumenti () ndryshon ndërsa lëviz përgjatë boshtit quhet rritje argumenti dhe caktohet se sa ka ndryshuar funksioni (lartësia) kur lëvizim përpara përgjatë boshtit me një distancë rritja e funksionit dhe është caktuar.

Pra, derivati i një funksioni është raporti me kur. Derivatin e shënojmë me të njëjtën shkronjë si funksioni, vetëm me një kryeministër lart djathtas: ose thjesht. Pra, le të shkruajmë formulën e derivatit duke përdorur këto shënime:

Ashtu si në analogjinë me rrugën, edhe këtu kur funksioni rritet, derivati është pozitiv dhe kur zvogëlohet është negativ.

A mund të jetë derivati i barabartë me zero? Sigurisht. Për shembull, nëse jemi duke vozitur në një rrugë të sheshtë horizontale, pjerrësia është zero. Dhe është e vërtetë, lartësia nuk ndryshon fare. Njëlloj me derivatin: derivat funksion konstant(konstante) është e barabartë me zero:

pasi rritja e një funksioni të tillë është e barabartë me zero për çdo.

Le të kujtojmë shembullin në majë të kodrës. Doli se ishte e mundur të rregulloheshin skajet e segmentit së bashku anët e ndryshme nga lart, në mënyrë që lartësia në skajet të jetë e njëjtë, domethënë segmenti të jetë paralel me boshtin:

Por segmentet e mëdha janë një shenjë e matjes së pasaktë. Ne do ta ngremë segmentin tonë paralelisht me vetveten, atëherë gjatësia e tij do të ulet.

Përfundimisht, kur jemi pafundësisht afër majës, gjatësia e segmentit do të bëhet pafundësisht e vogël. Por në të njëjtën kohë, ai mbeti paralel me boshtin, domethënë, ndryshimi në lartësi në skajet e tij është i barabartë me zero (nuk ka tendencë, por është i barabartë me). Pra derivati

Kjo mund të kuptohet në këtë mënyrë: kur qëndrojmë në majë, një zhvendosje e vogël majtas ose djathtas ndryshon lartësinë tonë në mënyrë të papërfillshme.

Ekziston gjithashtu një shpjegim thjesht algjebrik: në të majtë të kulmit funksioni rritet, dhe në të djathtë zvogëlohet. Siç kuptuam më herët, kur një funksion rritet, derivati është pozitiv, dhe kur zvogëlohet, është negativ. Por ndryshon pa probleme, pa kërcime (pasi rruga nuk e ndryshon ndjeshëm pjerrësinë askund). Prandaj, midis negative dhe vlerat pozitive patjetër duhet të ketë. Do të jetë aty ku funksioni as nuk rritet e as nuk zvogëlohet - në pikën e kulmit.

E njëjta gjë vlen edhe për luginën (zona ku funksioni në të majtë zvogëlohet dhe në të djathtë rritet):

Pak më shumë rreth rritjeve.

Pra, ne e ndryshojmë argumentin në madhësi. Nga çfarë vlere ndryshojmë? Çfarë është bërë (argumenti) tani? Ne mund të zgjedhim çdo pikë, dhe tani do të kërcejmë prej saj.

Konsideroni një pikë me një koordinatë. Vlera e funksionit në të është e barabartë. Pastaj bëjmë të njëjtën rritje: e rrisim koordinatën me. Cili është argumenti tani? Shumë e lehtë:. Cila është vlera e funksionit tani? Aty ku shkon argumenti, shkon edhe funksioni: . Po në lidhje me rritjen e funksionit? Asgjë e re: kjo është ende shuma me të cilën funksioni ka ndryshuar:

Praktikoni gjetjen e rritjeve:

Gjeni rritjen e funksionit në një pikë kur rritja e argumentit është e barabartë me.
E njëjta gjë vlen edhe për funksionin në një pikë.

Zgjidhjet:

NË pika të ndryshme me të njëjtin rritje argumenti, rritja e funksionit do të jetë e ndryshme. Kjo do të thotë që derivati në secilën pikë është i ndryshëm (e diskutuam që në fillim - pjerrësia e rrugës është e ndryshme në pika të ndryshme). Prandaj, kur shkruajmë një derivat, duhet të tregojmë se në cilën pikë:

Funksioni i fuqisë.

Një funksion fuqie është një funksion ku argumenti është në një farë mase (logjik, apo jo?).

Për më tepër - në çdo masë: .

Rasti më i thjeshtë- kjo është kur eksponenti:

Le të gjejmë derivatin e tij në një pikë. Le të kujtojmë përkufizimin e një derivati:

Pra, argumenti ndryshon nga në. Sa është rritja e funksionit?

Rritja është kjo. Por një funksion në çdo pikë është i barabartë me argumentin e tij. Kjo është arsyeja pse:

Derivati është i barabartë me:

Derivati i është i barabartë me:

b) Tani merrni parasysh funksion kuadratik (): .

Tani le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që vlera e rritjes mund të neglizhohet, pasi ajo është infinite e vogël, dhe për këtë arsye e parëndësishme në sfondin e termit tjetër:

Pra, ne dolëm me një rregull tjetër:

c) Vazhdojmë serinë logjike: .

Kjo shprehje mund të thjeshtohet në mënyra të ndryshme: hapni kllapin e parë duke përdorur formulën për shumëzimin e shkurtuar të kubit të shumës, ose faktorizoni të gjithë shprehjen duke përdorur formulën e diferencës së kubeve. Mundohuni ta bëni vetë duke përdorur ndonjë nga metodat e sugjeruara.

Pra, mora sa vijon:

Dhe përsëri le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që ne mund të neglizhojmë të gjitha termat që përmbajnë:

Ne marrim: .

d) Rregulla të ngjashme mund të merren për fuqitë e mëdha:

e) Rezulton se ky rregull mund të përgjithësohet për një funksion fuqie me një eksponent arbitrar, madje as një numër të plotë:

(2)

Rregulli mund të formulohet me fjalët: "shkalla paraqitet si koeficient, dhe më pas zvogëlohet me ."

Këtë rregull do ta vërtetojmë më vonë (pothuajse në fund). Tani le të shohim disa shembuj. Gjeni derivatin e funksioneve:

(në dy mënyra: me formulë dhe duke përdorur përkufizimin e derivatit - duke llogaritur rritjen e funksionit);

. Besoni apo jo, ky është një funksion i fuqisë. Nëse keni pyetje si "Si është kjo? Ku është diploma?”, mbani mend temën “”!
Po, po, edhe rrënja është shkallë, vetëm thyesore: .
Pra e jona rrënjë katrore- kjo është vetëm një diplomë me një tregues:
.
Ne kërkojmë derivatin duke përdorur formulën e mësuar së fundmi:
Nëse në këtë pikë bëhet përsëri e paqartë, përsërisni temën ""!!! (rreth diplomës me tregues negativ)
. Tani eksponenti:
Dhe tani përmes përkufizimit (e keni harruar akoma?):
;
.
Tani, si zakonisht, ne e neglizhojmë termin që përmban:
.
. Kombinimi i rasteve të mëparshme: .

Funksionet trigonometrike.

Këtu do të përdorim një fakt nga matematika e lartë:

Me shprehje.

Provën do ta mësoni në vitin e parë të institutit (dhe për të arritur atje, duhet të kaloni mirë Provimin e Shtetit të Unifikuar). Tani do ta tregoj vetëm grafikisht:

Ne shohim se kur funksioni nuk ekziston - pika në grafik është prerë. Por sa më afër vlerës, aq më afër është funksioni me këtë "qëllim".

Për më tepër, mund ta kontrolloni këtë rregull duke përdorur një kalkulator. Po, po, mos ki turp, merr një kalkulator, nuk jemi ende në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Pra, le të provojmë: ;

Mos harroni të kaloni kalkulatorin tuaj në modalitetin Radians!

etj. Ne shohim se sa më pak, aq vlerë më të afërt marrëdhënie me

a) Merrni parasysh funksionin. Si zakonisht, le të gjejmë rritjen e tij:

Le ta kthejmë diferencën e sinuseve në produkt. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën (kujtoni temën ""): .

Tani derivati:

Le të bëjmë një zëvendësim: . Atëherë për infinitevogël është edhe infinite vogël: . Shprehja për merr formën:

Dhe tani e kujtojmë këtë me shprehjen. Dhe gjithashtu, çka nëse një sasi infinitimale mund të neglizhohet në shumë (që është, në).

Pra marrim rregulli tjetër:derivati i sinusit është i barabartë me kosinusin:

Këto janë derivate bazë ("tabelore"). Këtu ato janë në një listë:

Më vonë do t'u shtojmë disa të tjera, por këto janë më të rëndësishmet, pasi ato përdoren më shpesh.

Praktikoni:

Gjeni derivatin e funksionit në një pikë;
Gjeni derivatin e funksionit.

Zgjidhjet:

Së pari, le të gjejmë derivatin në pamje e përgjithshme, dhe më pas zëvendësoni vlerën e tij:
;
.
Këtu kemi diçka të ngjashme me funksioni i fuqisë. Le të përpiqemi ta sjellim atë
pamje normale:
.
E shkëlqyeshme, tani mund të përdorni formulën:
.
.
. Eeeeeee….. cfare eshte kjo????

Mirë, ke të drejtë, ne nuk dimë ende si të gjejmë derivate të tillë. Këtu kemi një kombinim të disa llojeve të funksioneve. Për të punuar me ta, duhet të mësoni disa rregulla të tjera:

Logaritmi eksponent dhe natyror.

Ekziston një funksion në matematikë, derivati i të cilit për çdo vlerë është i barabartë me vlerën e vetë funksionit në të njëjtën kohë. Ai quhet "eksponent" dhe është një funksion eksponencial

Baza e këtij funksioni është një konstante - është e pafundme dhjetore, pra një numër irracional (si p.sh.). Quhet "numri Euler", prandaj shënohet me një shkronjë.

Pra, rregulli:

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le ta shohim menjëherë funksioni i anasjelltë. I cili funksion është anasjelltas i funksioni eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? sigurisht.

Derivati i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

Gjeni derivatin e funksionit.
Cili është derivati i funksionit?

Përgjigjet: Ekspozuesi dhe logaritmi natyror- funksionet janë unike të thjeshta për sa i përket derivateve. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pas le t'i kalojmë rregullat diferencimi.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo është e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Diferenciali i matematikanëve është i njëjti rritje i një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja diferencia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - një numër konstant (konstant), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

në një pikë;
në një pikë;
në një pikë;
në pikën.

Zgjidhjet:

(derivati është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi kjo funksion linear, mbani mend?);

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të hyjmë veçori e re dhe gjeni shtimin e tij:

Derivat:

Shembuj:

Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta sjellim funksionin tonë në një bazë të re:

Për këtë do të përdorim rregull i thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

A funksionoi?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk mund të shkruhet më në formë të thjeshtë. Prandaj, e lëmë në këtë formë në përgjigje.

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati merret shumë thjesht:

Derivatet e eksponencialit dhe funksionet logaritmike pothuajse kurrë nuk paraqiten në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të ishte keq t'i njihje.

Derivat i një funksioni kompleks.

Çfarë është një "funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë në një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt rend i kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (e lidhni me një fjongo). Çfarë ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: së pari ju e vendosni atë në katror dhe unë më pas kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Karakteristikë e rëndësishme funksionet komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Me fjalë të tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin e parë,.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

Çfarë veprimi do të kryejmë së pari? Së pari, le të llogarisim sinusin, dhe vetëm pastaj ta kubikeojmë atë. Kjo do të thotë se është një funksion i brendshëm, por i jashtëm.
Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembull origjinal duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë përfundimisht rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

Zgjidhjet:

1) E brendshme: ;

E jashtme: ;

2) E brendshme: ;

(Vetëm mos u përpiqni ta shkurtoni deri tani! Asgjë nuk del nga kosinusi, mbani mend?)

3) E brendshme: ;

E jashtme: ;

Është menjëherë e qartë se ky është një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky tashmë është një funksion kompleks në vetvete, dhe ne gjithashtu nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (e vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: ne do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.

Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj i shumëzojmë të gjitha.

Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë rendi do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:

Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksionin përkatës. Sekuenca e veprimeve është e njëjtë si më parë:

Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rrjedhën e veprimit.

1. Shprehje radikale. .

2. Rrënja. .

3. Sinus. .

4. Sheshi. .

5. Duke i bashkuar të gjitha:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infiniteminale të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati i shumës:

Derivati i produktit:

Derivati i herësit:

Derivati i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.

Formula e derivatit kompleks. Rregulla për diferencimin e një funksioni kompleks

Çfarë është një funksion kompleks?

"Shpaketimi" i një funksioni kompleks

Funksionet e brendshme dhe të jashtme

Derivat i një funksioni kompleks

Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të funksionit të jashtëm në lidhje me një funksion të brendshëm konstant dhe derivatin e funksionit të brendshëm.

Si gjendet derivati ​​i funksionit y = f(x)?

Rregullat e diferencimit

Tabela e derivateve të disa funksioneve

Derivat i një funksioni kompleks nga një ndryshore

Formula (1) mund të shkruhet edhe si më poshtë:

Meqenëse funksioni është një funksion i diferencueshëm në atë pikë, ai është i vazhdueshëm në atë pikë. Kjo është arsyeja pse

Derivat i një funksioni kompleks nga dy ndryshore

Formula (1) mund të shkruhet edhe si më poshtë:

Rritja e funksionit:

- funksioni i diferencueshëm i n variablave në një pikë Niveli i hyrjes (2019)

Koncepti i derivatit

Funksioni i fuqisë.

Funksionet trigonometrike.

Logaritmi eksponent dhe natyror.

Rregullat e diferencimit

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Derivat i produktit

Derivat i një funksioni eksponencial

Derivat i një funksioni logaritmik

Derivat i një funksioni kompleks.

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivati i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të funksionit të jashtëm në lidhje me një funksion të brendshëm konstant dhe derivatin e funksionit të brendshëm.

Si gjendet derivati i funksionit y = f(x)?