2., 5.
,

3.
, 6.
.

Në integralet 1-3 si u pranoj . Pastaj, pas n-zbatimi i shumëfishtë i formulës (19) arrijmë në një nga integralet e tabelës

,
,
.

Në integralet 4-6, kur bëhet dallimi, faktori transcendental do të thjeshtohet
,
ose
, e cila duhet të merret si u.

Llogaritni integralet e mëposhtëm.

Shembulli 7.

Shembulli 8.

Reduktimi i integraleve tek vetja

Nëse integrandi
ka formën:

,
,
dhe kështu me radhë,

pastaj pas integrimit dy herë sipas pjesëve fitojmë një shprehje që përmban integralin origjinal :

,

Ku
- disa konstante.

Zgjidhja e ekuacionit që rezulton për , marrim një formulë për llogaritjen e integralit origjinal:

.

Ky rast i aplikimit të metodës së integrimit sipas pjesëve quhet " duke e sjellë integralin në vetvete».

Shembulli 9. Llogarit integralin
.

Në anën e djathtë është integrali origjinal . Duke e transferuar atë në ana e majte, marrim:

.

Shembulli 10. Llogarit integralin
.

4.5. Integrimi i thyesave racionale të duhura më të thjeshta

Përkufizimi.Thyesat e duhura më të thjeshta I , II Dhe III llojet Thyesat e mëposhtme quhen:

I. ;

II.
; (
- numër i plotë pozitiv);

III.
; (rrënjët e emëruesit janë komplekse, domethënë:
.

Le të shqyrtojmë integrale të thyesave të thjeshta.

I.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Ne e transformojmë numëruesin e thyesës në atë mënyrë që të izolojmë termin në numërues
, e barabartë me derivatin e emëruesit.

Le të shqyrtojmë të parën nga dy integralet e marra dhe të bëjmë një ndryshim në të:

Në integralin e dytë shtojmë emëruesin në një katror të përsosur:

Së fundi, integrali i një fraksioni të tipit të tretë është i barabartë me:

=
+
. (22)

Kështu, integrali i thyesave më të thjeshta të tipit I shprehet përmes logaritmeve, tipi II - përmes funksioneve racionale, tipi III - përmes logaritmeve dhe arktangjentëve.

4.6.Integrimi i funksioneve thyesore-racionale

Një nga klasat e funksioneve që kanë një integral të shprehur në funksion të funksioneve elementare është klasa e funksioneve racionale algjebrike, domethënë funksionet që rezultojnë nga një numër i kufizuar veprimesh algjebrike në një argument.

Çdo funksion racional
mund të paraqitet si raport i dy polinomeve
Dhe
:

. (23)

Do të supozojmë se polinomet nuk kanë rrënjë të përbashkëta.

Quhet një pjesë e formës (23). e saktë, nëse shkalla e numëruesit është më e vogël se shkalla e emëruesit, d.m.th. m< n. Përndryshe - gabim.

Nëse thyesa është e pahijshme, atëherë duke e pjesëtuar numëruesin me emëruesin (sipas rregullit për pjesëtimin e polinomeve), ne e paraqesim thyesën si shumën e një polinomi dhe një thyese të duhur:

, (24)

Ku
- polinom, - thyesa e duhur, dhe shkalla e polinomit
- jo më e lartë se diploma ( n-1).

Shembull.

Meqenëse integrimi i një polinomi reduktohet në shumën e integraleve tabelare të funksioni i fuqisë, atëherë vështirësia kryesore në integrimin e thyesave racionale është integrimi i thyesave të duhura racionale.

Është vërtetuar në algjebër se çdo thyesë e duhur zbërthehet në shumën e sa më sipër protozoarët thyesat, forma e të cilave përcaktohet nga rrënjët e emëruesit
.

Le të shqyrtojmë tre raste të veçanta. Këtu dhe më tej do të supozojmë se koeficienti në shkallën më të lartë të emëruesit
e barabartë me një = 1, domethënëpolinomi i reduktuar .

Rasti 1. Rrënjët e emëruesit, pra rrënjët
ekuacionet
=0, janë të vlefshme dhe të dallueshme. Atëherë ne paraqesim emëruesin si produkt i faktorëve linearë:

dhe thyesa e duhur zbërthehet në fraksionet më të thjeshta të I-gotipit:

, (26)

Ku
- disa numra konstante, të cilat gjenden me metodën e koeficientëve të pacaktuar.

Për ta bërë këtë ju duhet:

1. Plumb anën e djathtë zgjerimi (26) në një emërues të përbashkët.

2. Barazoni koeficientët e fuqive identike të polinomeve identike në numëruesin e anës së majtë dhe të djathtë. Ne marrim një sistem ekuacionesh lineare për të përcaktuar
.

3. Zgjidheni sistemin që rezulton dhe gjeni koeficientët e papërcaktuar
.

Atëherë integrali i funksionit thyesor-racional (26) do të jetë e barabartë me shumën integrale të thyesave më të thjeshta të tipit I, të llogaritura duke përdorur formulën (20).

Shembull. Llogarit integralin
.

Zgjidhje. Le të faktorizojmë emëruesin duke përdorur teoremën e Vietës:

Pastaj, funksioni i integrandit zbërthehet në një shumë të thyesave të thjeshta:

.

X:

Le të shkruajmë një sistem prej tre ekuacionesh për të gjetur
X në anën e majtë dhe të djathtë:

.

Le të tregojmë një mënyrë më të thjeshtë për gjetjen e koeficientëve të pasigurt, të quajtur metoda e vlerës së pjesshme.

Duke supozuar në barazi (27)
marrim
, ku
. Duke besuar
marrim
. Më në fund, duke besuar
marrim
.

.

Rasti 2. Rrënja e emëruesit
janë të vlefshme, por midis tyre ka rrënjë të shumta (të barabarta). Pastaj ne paraqesim emëruesin si një produkt të faktorëve linearë të përfshirë në produkt në masën që shumësia e rrënjës përkatëse është:

Ku
.

Pjesa e duhur do të zbërthehet shuma e thyesave të tipeve I dhe II. Le, për shembull, - rrënja e emëruesit të shumëzimit k, dhe të gjithë të tjerët ( n- k) rrënjët janë të ndryshme.

Atëherë zgjerimi do të duket si ky:

Po kështu, nëse ka rrënjë të tjera të shumëfishta. Për rrënjët jo të shumëfishta, zgjerimi (28) përfshin fraksionet më të thjeshta të llojit të parë.

Shembull. Llogarit integralin
.

Zgjidhje. Le ta imagjinojmë thyesën si një shumë të thyesave më të thjeshta të llojit të parë dhe të dytë me koeficientë të pacaktuar:

.

Le të sjellim anën e djathtë në një emërues të përbashkët dhe të barazojmë polinomet në numëruesit e anës së majtë dhe të djathtë:

Në anën e djathtë ne paraqesim të ngjashme shkallë të barabarta X:

Le të shkruajmë një sistem prej katër ekuacionesh për të gjetur
Dhe . Për ta bërë këtë, ne barazojmë koeficientët me të njëjtat fuqi X në anën e majtë dhe të djathtë

.

Rasti 3. Ndër rrënjët e emëruesit
ka rrënjë komplekse të vetme. Domethënë, zgjerimi i emëruesit përfshin faktorë të shkallës së dytë
, nuk zbërthehen në faktorë realë linearë dhe nuk përsëriten.

Pastaj, në zbërthimin e një fraksioni, çdo faktor i tillë do t'i korrespondojë një fraksioni më të thjeshtë të tipit III. Faktorët linearë korrespondojnë me fraksionet më të thjeshta të llojeve I dhe II.

Shembull. Llogarit integralin
.

Zgjidhje.
.

.

.

Një test për integrimin e funksioneve, duke përfshirë thyesat racionale, u jepet studentëve të vitit 1 dhe 2. Shembujt e integraleve do të jenë kryesisht me interes për matematikanët, ekonomistët dhe statisticienët. Këta shembuj u pyetën punë testuese në LNU me emrin. I. Frank. Kushtet shembujt e mëposhtëm"Gjeni integralin" ose "Llogaritni integralin", kështu që për të kursyer hapësirë ​​dhe kohën tuaj, ato nuk janë shkruar.

Shembulli 15. Arritëm te integrimi i funksioneve thyesore-racionale. Ata zënë vend të veçantë mes integraleve, sepse kërkojnë shumë kohë për të llogaritur dhe ndihmuar mësuesit të testojnë njohuritë tuaja jo vetëm për integrimin. Për të thjeshtuar funksionin nën integral, ne shtojmë dhe zbresim një shprehje në numërues që do të na lejojë të ndajmë funksionin nën integral në dy të thjeshta.

Si rezultat, ne gjejmë një integral mjaft shpejt, në të dytën duhet të zgjerojmë thyesën në një shumë të fraksioneve elementare

Kur reduktohet në një emërues të përbashkët, marrim numrat e mëposhtëm

Më pas hapni kllapat dhe gruponi

Ne barazojmë vlerën për të njëjtat fuqi të "x" në të djathtë dhe në të majtë. Si rezultat, arrijmë në një sistem prej tresh ekuacionet lineare(SLAU) me tre të panjohura.

Si të zgjidhni sistemet e ekuacioneve përshkruhet në artikuj të tjerë në faqe. Në fund do të merrni zgjidhje tjetër SLAU
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Ne i zëvendësojmë konstantet në zgjerimin e thyesave në të thjeshta dhe kryejmë integrimin


Kjo përfundon shembullin.

Shembulli 16. Përsëri duhet të gjejmë integralin e një funksioni racional thyesor. Të fillosh ekuacion kub, e cila gjendet në emëruesin e thyesës, do ta zbërthejmë në faktorë të thjeshtë

Më pas, ne e zbërthejmë thyesën në format e saj më të thjeshta

Le ta bashkojmë anën e djathtë te emëruesi i përbashkët dhe hapni kllapat në numërues.


I barazojmë koeficientët për të njëjtat shkallë të ndryshores. Le të vijmë përsëri në SLAE me tre të panjohura

Le të zëvendësojmë vlerat A, B, C në zgjerim dhe llogarisni integralin

Dy termat e parë japin logaritmin, i fundit është gjithashtu i lehtë për t'u gjetur.

Shembulli 17. Në emëruesin e funksionit racional thyesor kemi ndryshimin e kubeve. Duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit, ne e zbërthejmë atë në dy faktorët kryesorë

Më tej mori funksioni thyesor shkruani shumën thyesat e thjeshta dhe sillni ato poshtë emërues i përbashkët

Në numërues marrim shprehjen e mëposhtme.

Prej tij formojmë një sistem ekuacionesh lineare për të llogaritur 3 të panjohura

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Zëvendësojmë A, B, C në formulë dhe kryejmë integrimin. Si rezultat, arrijmë në përgjigjen e mëposhtme:


Këtu numëruesi i integralit të dytë u shndërrua në një logaritëm, dhe pjesa e mbetur nën integral jep arktangjenten.
Shembuj të ngjashëm Ka shumë në internet për integrimin e thyesave racionale. Ju mund të gjeni shembuj të ngjashëm nga materialet e mëposhtme.

“Një matematikan, ashtu si një artist apo poet, krijon modele. Dhe nëse modelet e tij janë më të qëndrueshme, kjo është vetëm sepse ato janë të përbëra nga ide... Modelet e një matematikani, ashtu si modelet e një artisti apo një poeti, duhet të jenë të bukura; Idetë, ashtu si ngjyrat apo fjalët, duhet të korrespondojnë me njëra-tjetrën. Bukuria është kërkesa e parë: nuk ka vend në botë për matematikë të shëmtuar».

G.H.Hardy

Në kapitullin e parë u vu re se ka primitivë mjaft funksione të thjeshta, e cila nuk mund të shprehet më përmes funksionet elementare. Në këtë drejtim, ato klasa funksionesh për të cilat mund të themi me saktësi se antiderivativët e tyre janë funksione elementare marrin një rëndësi të madhe praktike. Kjo klasë funksionesh përfshin funksionet racionale, që përfaqëson raportin prej dy polinomet algjebrike. Shumë probleme çojnë në integrimin e thyesave racionale. Prandaj, është shumë e rëndësishme të jeni në gjendje të integroni funksione të tilla.

2.1.1. Funksionet racionale thyesore

Thyesë racionale(ose funksion racional thyesor) quhet marrëdhënia e dy polinomeve algjebrike:

ku dhe janë polinome.

Le të kujtojmë atë polinom (polinom, e tërë funksioni racional ) nshkalla e th quhet funksion i formës

Ku – numra realë. Për shembull,

– polinomi i shkallës së parë;

– polinomi i shkallës së katërt etj.

Thyehet thyesa racionale (2.1.1). e saktë, nëse shkalla është më e ulët se shkalla , d.m.th. n<m, përndryshe thyesa quhet gabim.

Çdo thyesë e papërshtatshme mund të paraqitet si shuma e një polinomi (e gjithë pjesa) dhe një thyese e duhur (pjesa thyesore). Ndarja e pjesëve të tëra dhe të pjesshme të një thyese të papërshtatshme mund të bëhet sipas rregullit të pjesëtimit të polinomeve me "kënd".

Shembulli 2.1.1. Identifikoni pjesët e plota dhe thyesore të thyesave racionale të pasakta:

A) , b) .

Zgjidhje . a) Duke përdorur algoritmin e ndarjes "qoshe", marrim

Kështu, marrim

.

b) Këtu përdorim gjithashtu algoritmin e ndarjes "qoshe":

Si rezultat, marrim

.

Le të përmbledhim. Në rastin e përgjithshëm, integrali i pacaktuar i një thyese racionale mund të përfaqësohet si shuma e integraleve të polinomit dhe thyesës së duhur racionale. Gjetja e antiderivativëve të polinomeve nuk është e vështirë. Prandaj, në vijim do të shqyrtojmë kryesisht thyesat e duhura racionale.

2.1.2. Thyesat më të thjeshta racionale dhe integrimi i tyre

Ndër thyesat e duhura racionale, dallohen katër lloje, të cilat klasifikohen si thyesat më të thjeshta (elementare) racionale:

ku është një numër i plotë, , d.m.th. trinom kuadratik nuk ka rrënjë të vërteta.

Integrimi i fraksioneve të thjeshta të tipit 1 dhe 2 nuk paraqet ndonjë vështirësi të madhe:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Le të shqyrtojmë tani integrimin e thyesave të thjeshta të llojit të 3-të, por ne nuk do të shqyrtojmë thyesat e tipit të 4-të.

Le të fillojmë me integrale të formës

.

Ky integral zakonisht llogaritet duke izoluar katrorin e përsosur të emëruesit. Rezultati është një tabelë integrale e formës së mëposhtme

ose .

Shembulli 2.1.2. Gjeni integralet:

A) , b) .

Zgjidhje . a) Zgjidhni një katror të plotë nga një trinom kuadratik:

Nga këtu gjejmë

b) Duke izoluar një katror të plotë nga një trinom kuadratik, marrim:

Kështu,

.

Për të gjetur integralin

mund të izoloni derivatin e emëruesit në numërues dhe ta zgjeroni integralin në shumën e dy integraleve: i pari prej tyre me zëvendësim vjen deri te pamja

,

dhe e dyta - për atë të diskutuar më lart.

Shembulli 2.1.3. Gjeni integralet:

.

Zgjidhje . vini re, se . Le të izolojmë derivatin e emëruesit në numërues:

Integrali i parë llogaritet duke përdorur zëvendësimin :

Në integralin e dytë, ne zgjedhim katrorin e përsosur në emërues

Më në fund, marrim

2.1.3. Zgjerimi i duhur i thyesës racionale
për shumën e thyesave të thjeshta

Çdo thyesë e duhur racionale mund të paraqitet në një mënyrë unike si një shumë e thyesave të thjeshta. Për ta bërë këtë, emëruesi duhet të faktorizohet. Nga algjebra e lartë dihet se çdo polinom me koeficientë realë

Integrimi i një funksioni thyesor-racional.
Metoda e koeficientit të pasigurt

Ne vazhdojmë të punojmë për integrimin e thyesave. Ne kemi parë tashmë integrale të disa llojeve të thyesave në mësim, dhe ky mësim, në një farë kuptimi, mund të konsiderohet një vazhdim. Për të kuptuar me sukses materialin, kërkohen aftësi themelore të integrimit, kështu që nëse sapo keni filluar të studioni integrale, domethënë jeni fillestar, atëherë duhet të filloni me artikullin Integrali i pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh.

Mjaft e çuditshme, tani do të angazhohemi jo aq shumë në gjetjen e integraleve, por... në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Ne kete aspekt urgjentisht Unë rekomandoj të ndiqni mësimin Domethënë, duhet të jeni të aftë për metodat e zëvendësimit (metoda "shkollë" dhe metodën e mbledhjes (zbritjes) term pas termi të ekuacioneve të sistemit).

Çfarë është një funksion racional thyesor? Me fjalë të thjeshta, një funksion thyesor-racional është një thyesë, numëruesi dhe emëruesi i së cilës përmbajnë polinome ose produkte të polinomeve. Për më tepër, fraksionet janë më të sofistikuara se ato të diskutuara në artikull Integrimi i disa thyesave.

Integrimi i një funksioni të duhur thyesor-racional

Menjëherë një shembull dhe një algoritëm tipik për zgjidhjen e integralit të një funksioni thyesor-racional.

Shembulli 1

Hapi 1. Gjëja e parë që bëjmë GJITHMONË kur zgjidhim një integral të një funksioni racional thyesor është të sqarojmë pyetjen e mëposhtme: a është thyesa e duhur? Ky hap kryhet verbalisht, dhe tani unë do të shpjegoj se si:

Fillimisht shikojmë numëruesin dhe zbulojmë diplomë e lartë polinom:

Fuqia drejtuese e numëruesit është dy.

Tani shikojmë emëruesin dhe zbulojmë diplomë e lartë emërues. Mënyra e qartë është të hapni kllapat dhe të sillni terma të ngjashëm, por mund ta bëni më thjeshtë, në secili gjeni shkallën më të lartë në kllapa

dhe shumëzojini mendërisht: - pra, shkalla më e lartë e emëruesit është e barabartë me tre. Është mjaft e qartë se nëse hapim kllapat, nuk do të marrim një shkallë më të madhe se tre.

konkluzioni: Shkalla kryesore e numëruesit RISHTështë më e vogël se fuqia më e lartë e emëruesit, që do të thotë se thyesa është e duhur.

Nëse në këtë shembull numëruesi përmbante polinomin 3, 4, 5, etj. gradë, atëherë thyesa do të ishte gabim.

Tani do të shqyrtojmë vetëm funksionet e sakta racionale të pjesshme. Rasti kur shkalla e numëruesit është më e madhe ose e barabartë me shkallën e emëruesit do të diskutohet në fund të orës së mësimit.

Hapi 2. Le të faktorizojmë emëruesin. Le të shohim emëruesin tonë:

Në përgjithësi, ky është tashmë një produkt faktorësh, por, megjithatë, pyesim veten: a është e mundur të zgjerohet diçka tjetër? Objekti i torturës do të jetë padyshim trinomi katror. Zgjidhja e ekuacionit kuadratik:

Diskriminuesi është më i madh se zero, që do të thotë se trinomi vërtet mund të faktorizohet:

Rregulli i përgjithshëm: GJITHÇKA që MUND të faktorizohet në emërues - faktorojeni atë

Le të fillojmë të formulojmë një zgjidhje:

Hapi 3. Duke përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar, ne e zgjerojmë integranin në një shumë të thyesave të thjeshta (elementare). Tani do të jetë më e qartë.

Le të shohim funksionin tonë integrues:

Dhe, e dini, në një farë mënyre shfaqet një mendim intuitiv se do të ishte mirë ta kthenim fraksionin tonë të madh në disa të vogla. Për shembull, si kjo:

Shtrohet pyetja, a është e mundur të bëhet kjo? Le të marrim një psherëtimë të lehtësuar, pohon teorema përkatëse e analizës matematikore - ËSHTË E MUNDSHME. Një dekompozim i tillë ekziston dhe është unik.

Ka vetëm një kapje, shanset janë Mirupafshim Ne nuk e dimë, prandaj emri - metoda e koeficientëve të pacaktuar.

Siç e keni marrë me mend, lëvizjet e mëvonshme të trupit janë të tilla, mos kafshoni! do të synohet vetëm NJOHJA e tyre - për të gjetur se me çfarë janë të barabartë.

Kujdes, do ta shpjegoj me detaje vetëm një herë!

Pra, le të fillojmë të kërcejmë nga:

Në anën e majtë e zvogëlojmë shprehjen në një emërues të përbashkët:

Tani mund të shpëtojmë me siguri nga emëruesit (pasi ata janë të njëjtë):

Në anën e majtë hapim kllapat, por për momentin mos prekni koeficientët e panjohur:

Në të njëjtën kohë, ne përsërisim rregullin shkollor të shumëzimit të polinomeve. Kur isha mësues, mësova ta shqiptoj këtë rregull me fytyrë të drejtë: Për të shumëzuar një polinom me një polinom, duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me secilin term të polinomit tjetër..

Nga pikëpamja e një shpjegimi të qartë, është më mirë të vendosni koeficientët në kllapa (megjithëse unë personalisht nuk e bëj kurrë këtë për të kursyer kohë):

Ne hartojmë një sistem ekuacionesh lineare.
Së pari ne kërkojmë diploma të larta:

Dhe ne shkruajmë koeficientët përkatës në ekuacionin e parë të sistemit:

Mbani mend mirë pikën e mëposhtme. Çfarë do të ndodhte nëse nuk do të kishte fare në anën e djathtë? Le të themi, a do të shfaqej thjesht pa asnjë katror? Në këtë rast, në ekuacionin e sistemit do të ishte e nevojshme të vendosni një zero në të djathtë: . Pse zero? Por sepse në anën e djathtë gjithmonë mund të caktoni të njëjtin katror me zero: Nëse në anën e djathtë nuk ka ndryshore dhe/ose një term të lirë, atëherë vendosim zero në anët e djathta të ekuacioneve përkatëse të sistemit.

Ne shkruajmë koeficientët përkatës në ekuacionin e dytë të sistemit:

Dhe së fundi, ujë mineral, ne zgjedhim anëtarë falas.

Eh...kam bërë shaka. Mënjanë shakatë - matematika është një shkencë serioze. Në grupin tonë të institutit, askush nuk qeshi kur profesori asistent tha se ajo do t'i shpërndante termat përgjatë vijës së numrave dhe do të zgjidhte më të mëdhenjtë. Le të merremi seriozisht. Edhe pse... kushdo që jeton për të parë fundin e këtij mësimi do të buzëqeshë në heshtje.

Sistemi është gati:

Ne zgjidhim sistemin:

(1) Nga ekuacioni i parë e shprehim dhe e zëvendësojmë me ekuacionin e dytë dhe të tretë të sistemit. Në fakt, ishte e mundur të shprehesh (ose një shkronjë tjetër) nga një ekuacion tjetër, por në këtë rast është e dobishme ta shprehësh atë nga ekuacioni i parë, pasi atje shanset më të vogla.

(2) Ne paraqesim terma të ngjashëm në ekuacionet 2 dhe 3.

(3) Shtojmë ekuacionet e 2-të dhe të 3-të term pas termi, duke marrë barazinë, nga e cila rezulton se

(4) Zëvendësojmë në ekuacionin e dytë (ose të tretë), nga ku gjejmë atë

(5) Zëvendësoni dhe në ekuacionin e parë, duke marrë .

Nëse keni ndonjë vështirësi me metodat e zgjidhjes së sistemit, praktikojini ato në klasë. Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh lineare?

Pas zgjidhjes së sistemit, është gjithmonë e dobishme të kontrolloni - zëvendësoni vlerat e gjetura çdo ekuacioni i sistemit, si rezultat gjithçka duhet të "konvergojë".

Pothuajse atje. U gjetën koeficientët dhe:

Puna e përfunduar duhet të duket diçka si kjo:

Siç mund ta shihni, vështirësia kryesore e detyrës ishte të kompozonte (saktë!) dhe të zgjidhte (saktë!) një sistem ekuacionesh lineare. Dhe në fazën përfundimtare, gjithçka nuk është aq e vështirë: ne përdorim vetitë e linearitetit të integralit të pacaktuar dhe integrojmë. Ju lutemi vini re se nën secilin nga tre integralet kemi një funksion kompleks "falas", unë fola për veçoritë e integrimit të tij në mësim Metoda e ndryshimit të ndryshores në integral të pacaktuar.

Kontrollo: Diferenco përgjigjen:

Është marrë funksioni integrand origjinal, që do të thotë se integrali është gjetur saktë.
Gjatë verifikimit na është dashur ta reduktojmë shprehjen në një emërues të përbashkët dhe kjo nuk është e rastësishme. Metoda e koeficientëve të pacaktuar dhe reduktimi i një shprehjeje në një emërues të përbashkët janë veprime reciproke të anasjellta.

Shembulli 2

Gjeni integralin e pacaktuar.

Le të kthehemi te thyesa nga shembulli i parë: . Është e lehtë të vërehet se në emërues të gjithë faktorët janë TË NDRYSHËM. Shtrohet pyetja, çfarë duhet bërë nëse, për shembull, jepet thyesa e mëposhtme: ? Këtu kemi gradë në emërues, ose, matematikisht, shumëfishta. Përveç kësaj, ekziston një trinom kuadratik që nuk mund të faktorizohet (është e lehtë të verifikohet se diskriminuesi i ekuacionit është negative, kështu që trinomi nuk mund të faktorizohet). Çfarë duhet bërë? Zgjerimi në një shumë të thyesave elementare do të duket diçka si me koeficientë të panjohur në krye apo diçka tjetër?

Shembulli 3

Prezantoni një funksion

Hapi 1. Duke kontrolluar nëse kemi një thyesë të duhur
Numëruesi kryesor: 2
Shkalla më e lartë e emëruesit: 8
, që do të thotë se thyesa është e saktë.

Hapi 2. A është e mundur të faktorizohet diçka në emërues? Natyrisht që jo, gjithçka është parashtruar tashmë. Trinomi katror nuk mund të zgjerohet në produkt për arsyet e përmendura më sipër. Kapuç. Më pak punë.

Hapi 3. Le të imagjinojmë një funksion thyesor-racional si një shumë e thyesave elementare.
Në këtë rast, zgjerimi ka formën e mëposhtme:

Le të shohim emëruesin tonë:
Kur zbërthehet një funksion thyesor-racional në një shumë të fraksioneve elementare, mund të dallohen tre pika themelore:

1) Nëse emëruesi përmban një faktor "të vetmuar" në fuqinë e parë (në rastin tonë), atëherë vendosim një koeficient të pacaktuar në krye (në rastin tonë). Shembujt nr. 1, 2 përbëheshin vetëm nga faktorë të tillë "të vetmuar".

2) Nëse emëruesi ka të shumëfishta shumëzues, atëherë duhet ta zbërtheni si kjo:
- domethënë, kaloni në mënyrë sekuenciale të gjitha shkallët e "X" nga shkalla e parë në të n-të. Në shembullin tonë ka dy faktorë të shumtë: dhe , hidhini një sy tjetër zgjerimit që dhashë dhe sigurohuni që ato të zgjerohen saktësisht sipas këtij rregulli.

3) Nëse emëruesi përmban një polinom të pazbërthyeshëm të shkallës së dytë (në rastin tonë), atëherë kur zbërthehet në numërues duhet të shkruani një funksion linear me koeficientë të pacaktuar (në rastin tonë me koeficientë të papërcaktuar dhe ).

Në fakt, është një rast tjetër i 4-të, por do të hesht, pasi në praktikë është jashtëzakonisht i rrallë.

Shembulli 4

Prezantoni një funksion si një shumë e thyesave elementare me koeficientë të panjohur.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.
Ndiqni rreptësisht algoritmin!

Nëse i kuptoni parimet me të cilat duhet të zgjeroni një funksion thyesor-racional në një shumë, mund të përtypni pothuajse çdo integral të llojit në shqyrtim.

Shembulli 5

Gjeni integralin e pacaktuar.

Hapi 1.Është e qartë se thyesa është e saktë:

Hapi 2. A është e mundur të faktorizohet diçka në emërues? Mund. Këtu është shuma e kubeve . Faktoroni emëruesin duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit

Hapi 3. Duke përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar, ne zgjerojmë integrandin në një shumë të thyesave elementare:

Ju lutemi vini re se polinomi nuk mund të faktorizohet (kontrolloni që diskriminuesi të jetë negativ), kështu që në krye vendosim një funksion linear me koeficientë të panjohur, dhe jo vetëm një shkronjë.

Ne e sjellim thyesën në një emërues të përbashkët:

Le të hartojmë dhe zgjidhim sistemin:

(1) Ne shprehemi nga ekuacioni i parë dhe e zëvendësojmë atë në ekuacionin e dytë të sistemit (kjo është mënyra më racionale).

(2) Ne paraqesim terma të ngjashëm në ekuacionin e dytë.

(3) Shtojmë ekuacionin e dytë dhe të tretë të sistemit term pas termi.

Të gjitha llogaritjet e mëtejshme janë, në parim, gojore, pasi sistemi është i thjeshtë.

(1) Ne shkruajmë shumën e thyesave në përputhje me koeficientët e gjetur.

(2) Ne përdorim vetitë e linearitetit të integralit të pacaktuar. Çfarë ndodhi në integralin e dytë? Ju mund të njiheni me këtë metodë në paragrafin e fundit të mësimit. Integrimi i disa thyesave.

(3) Edhe një herë përdorim vetitë e linearitetit. Në integralin e tretë fillojmë të izolojmë katrorin e plotë (paragrafi i parafundit i mësimit Integrimi i disa thyesave).

(4) Marrim integralin e dytë, në të tretën zgjedhim katrorin e plotë.

(5) Merrni integralin e tretë. Gati.

Integrimi i funksioneve racionale Funksioni thyesor - racional Thyesat më të thjeshta racionale Zbërthimi i një thyese racionale në thyesa të thjeshta Integrimi i thyesave të thjeshta Rregulla e përgjithshme për integrimin e thyesave racionale

polinom i shkallës n. Funksioni thyesor - racional Funksioni thyesor - racional është një funksion i barabartë me raportin e dy polinomeve: Një thyesë racionale quhet e duhur nëse shkalla e numëruesit është më e vogël se shkalla e emëruesit, domethënë m.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Funksioni thyesor - racional Zvogëloni një thyesë të papërshtatshme në formën e duhur: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Thyesat racionale më të thjeshta Thyesat racionale të duhura të formës: Quhen thyesat racionale më të thjeshta të llojeve. sëpatë A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Zbërthimi i një thyese racionale në thyesa të thjeshta Teorema: Çdo thyesë e duhur racionale, emëruesi i së cilës është i faktorizuar: mund të paraqitet, për më tepër, në mënyrë unike në formën e një shume të thyesave të thjeshta: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Zbërthimi i një thyese racionale në thyesa të thjeshta Le të shpjegojmë formulimin e teoremës duke përdorur shembujt e mëposhtëm: Për të gjetur koeficientët e pasigurt A, B, C, D... përdoren dy metoda: metoda e krahasimit të koeficientëve dhe metoda. të vlerave të pjesshme të një ndryshoreje. Le të shohim metodën e parë duke përdorur një shembull. 3 2) 3) (2 (4 xx x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11) 1 (1 xx Nx. M) 1 (3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Zbërthimi i një thyese racionale në thyesa të thjeshta Paraqisni thyesën si një shumë të thyesave të thjeshta: Le t'i sjellim thyesat më të thjeshta në një emërues të përbashkët Barazoni numëruesit e thyesave rezultuese dhe atyre origjinale Barazoni koeficientët me të njëjtat fuqi x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52) (1()1) (()52 (2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integrimi i thyesave më të thjeshta Le të gjejmë integralet e thyesave më të thjeshta racionale: Le të shohim integrimin e thyesave të tipit 3 duke përdorur një shembull. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integrimi i thyesave të thjeshtadx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 9 2 9 2 3 2 2 td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Integrimi i thyesave të thjeshta Një integral i këtij lloji duke përdorur zëvendësimin: reduktohet në shumën e dy integraleve: Integrali i parë llogaritet duke futur t nën shenjën diferenciale. Integrali i dytë llogaritet duke përdorur formulën e përsëritjes: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk në dt N në dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integrimi i thyesave të thjeshta a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223) 1)(13(2232 332 t t t 2 ct (4)1(

Rregulla e përgjithshme për integrimin e thyesave racionale Nëse thyesa është e papërshtatshme, atëherë përfaqësojeni atë si shumën e një polinomi dhe një thyese të duhur. Pasi të keni faktorizuar emëruesin e një thyese racionale të duhur, përfaqësojeni atë si një shumë të thyesave të thjeshta me koeficientë të pacaktuar Gjeni koeficientë të pacaktuar me metodën e krahasimit të koeficientëve ose me metodën e vlerave të pjesshme të një ndryshoreje. Integroni polinomin dhe shumën rezultuese të thyesave të thjeshta.

Shembull Le ta vendosim thyesën në formën e duhur. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 x 2x2 105 23 48 2 x x

Shembull Le të faktorizojmë emëruesin e një thyese të duhur Le ta paraqesim thyesën si një shumë të thyesave të thjeshta Le të gjejmë koeficientët e pacaktuar duke përdorur metodën e vlerave të pjesshme të ndryshores xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1 (1 x C x B x A 2 2) 1 () 1 (xx Cxx. Bxx. A 48) 1 () 1 (22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1 (3 1 124 xxx

Shembull dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln