Teoria mbi përqindjet në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Materiali për përgatitjen për Provimin e Bashkuar të Shtetit (GIA) në algjebër (klasa 11) me temën: Përgatitja për Provimin e Bashkuar të Shtetit "Interesi i thjeshtë dhe i përbërë"

Prej dy vitesh pjesës së dytë i është shtuar një detyrë c përmbajtja ekonomike, d.m.th. problemet me interesat komplekse bankare.

Thonë se kemi të bëjmë me “interes të përbërë” në rastin kur një vlerë e caktuar i nënshtrohet ndryshimit gradual. Për më tepër, çdo herë ndryshimi i saj është numër të caktuar për qind e vlerës që kishte kjo vlerë në fazën e mëparshme.

Në fund të çdo faze vlera ndryshon në të njëjtën sasi konstante përqind -R%. Pastaj në fundn Faza e thtë vlera e një sasie të caktuarA , vlera fillestare e së cilës ishte e barabartë meA 0 , përcaktohet nga formula:

Me rritjen dhe

Kur zvogëlohet

Duke ditur që norma vjetore e interesit të depozitës është 12%, gjeni

norma ekuivalente e tij mujore e interesit.

Zgjidhja:

Nëse vendosni një rubla në bankë, atëherë pas një viti marrim:A 1 =A 0 (1 +0,12)

Nëse interesi llogaritej çdo muaj me normën e interesitX , pastaj sipas formulës interesi i përbërë në një vit (12 muaj)A n =A 0 (1 + 0,01x) 12

Duke barazuar këto vlera, marrim një ekuacion, zgjidhja e të cilit do të na lejojë të përcaktojmë normën mujore të interesitA(1 +0,12) = A(1 +0,01x) 12

1,12 = (1 + 0,01x) 12

x = (-1) 100% ≈ 0,9488792934583046%

Përgjigje: Norma mujore e interesit është0.9488792934583046%.

Nga zgjidhja e këtij problemi mund të shihni se norma mujore e interesit nuk është e barabartë me normën vjetore të pjesëtuar me 12.

Më 31 dhjetor 2013, Sergei mori 9,930,000 rubla me kredi nga banka me 10% në vit. Orari i shlyerjes së kredisë është si më poshtë: 31 dhjetor të secilës vitin tjeter banka ngarkon interes për shumën e mbetur të borxhit (d.m.th., rrit borxhin me 10%), atëherë Sergei e transferon atë në bankë një sasi të caktuar pagesa vjetore. Cila duhet të jetë shuma e pagesës vjetore që Sergei të shlyejë borxhin në tre pagesa të barabarta vjetore?

Zgjidhja:

Le të jetë shuma e kredisëA , pagesa vjetore është e barabartë meX rubla, dhe shuma vjetore është k % . Më pas më 31 dhjetor të çdo viti shuma e mbetur e borxhit shumëzohet me koeficientin m =1+ 0,01 k . Pas pagesës së parë, shuma e borxhit do të jetë: A 1 = jam - X. Pas pagesës së dytë, shuma e borxhit

do të jetë:

A 2 = a 1 m – x=(at-x)t-x=a 2 -th-x=at 2 -(1+t)x

Sipas kushtit, Sergei duhet të shlyejë plotësisht kredinë në tre pagesa, pra

ku

Nëa = 9930000 Dhek =10 , marrimT =1.1 dhe

Përgjigju : 3,993,000 rubla.

Tani që jemi marrë me këtë zgjidhje të propozuar në të gjithë zgjidhësit, le të shohim një zgjidhje tjetër.

LeF = 9,930,000 - shuma e kredisë,x – shumën e kërkuar të pagesës vjetore.

Viti i parë:

Detyra:1.1F ;

Pagesa:X ;

Pjesa e mbetur:1.1F-x .

Viti i dyte:

Detyra:1.1 (1.1F-x) ;

Pagesa:X ;

Pjesa e mbetur:1.1 (1.1F-x)-x .

Viti i trete:

Detyra:1.1 (1.1F-x)-x );

Pagesa:X ;

Gjendja: 0, sepse sipas kushtit ishin vetëm tre pagesa.

Ekuacioni i vetëm

1.1(1.1(1.1F-x)-x)-x=0 . 1,331 F =3,31x, x=3993000

Përgjigje: 3,993,000 rubla.

Megjithatë-1 ! Nëse supozojmë se norma e interesit nuk është një 10% e bukur, por një 13,66613% e tmerrshme. Shanset për të vdekur diku gjatë shumëzimeve ose për t'u çmendur kur detajoni shumëzuesin për shumën e borxhit për çdo vit janë rritur ndjeshëm. Le t'i shtojmë kësaj jo vetëm 3 vjet të vogla, por 25 vjet Kjo zgjidhje nuk do të funksionojë.

Më 31 dhjetor 2014, Andrey mori një shumë të caktuar me kredi nga banka me 10% në vit. Skema e shlyerjes së kredisë është si më poshtë: më 31 dhjetor të çdo viti të ardhshëm, banka ngarkon interes për shumën e mbetur të borxhit (d.m.th., rrit borxhin me 10%), dhe më pas Andrey transferon 3,460,600 rubla në bankë. Çfarë shume mori Andrei nga banka nëse e shlyente borxhin në tre pagesa të barabarta (d.m.th., mbi 3 vjet)?

Zgjidhje.

LeA - sasinë e kërkuar,k% - norma e interesit të kredisë,X – pagesa vjetore. Më pas më 31 dhjetor të çdo viti shuma e mbetur e borxhit do të shumëzohet me koeficientinm = 1 + 0,01k . Pas pagesës së parë, shuma e borxhit do të jetë:A 1 = jam – x . Pas pagesës së dytë, shuma e borxhit do të jetë:

A 2 = a 1 m – x=(at-x)t-x=a 2 -th-x=at 2 -(1+t)x

Pas pagesës së tretë, shuma e borxhit të mbetur:

Sipas kushteve, Andrey pagoi borxhin në tre vjet,

kjo eshteA 3 = 0 , ku.

Nëx = 3,460,600, k% = 10% , marrim:m = 1.1 Dhe=8 606 000 (rubla).

Përgjigje: 8,606,000 rubla.

Më 31 dhjetor 2013, Igor mori 100,000 rubla me kredi nga banka. Skema e shlyerjes së kredisë është si më poshtë: më 31 dhjetor të çdo viti tjetër, banka ngarkon interes për shumën e mbetur të borxhit (d.m.th., rrit borxhin me një shumë të caktuar interesi), më pas Igor transferon këstin tjetër. Igor e pagoi kredinë në dy këste, duke transferuar 51,000 rubla herën e parë dhe 66,600 rubla herën e dytë. Në çfarë përqindje banka i dha një kredi Igorit?

Zgjidhje

Lek % – norma e kërkuar e kredisë;m = (1 + 0,01 k ) – shumëzuesi i borxhit të mbetur;a = 100,000 – shuma e marrë hua nga banka;x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 – dimensionet e llogores së parë dhe të fundit.

Pas pagesës së parë, shuma e borxhit do të jetë:a 1 = ma - x 1 .

Pas pagesës së dytë, shuma e borxhit do të jetë:a 2 =ma 1 – x 2 = një m 2 – m x 1 – x 2 . Me kusht,a 2 = 0 . Ekuacioni do të duhet të zgjidhet së pari në lidhje mem , sigurisht duke marrë vetëm rrënjën pozitive:

100 000 m 2 – 51.000m – 66.600 = 0; 500 m 2 – 255 m – 333 = 0.

Këtu fillojnë vështirësitë.

D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

Pastaj.

Përgjigje: 11%.

Më 31 dhjetor 2013, Masha mori një shumë të caktuar me kredi nga banka në një përqindje të caktuar në vit. Skema e shlyerjes së kredisë është si më poshtë: më 31 dhjetor të çdo viti tjetër, banka ngarkon interes për shumën e mbetur të borxhit (d.m.th., rrit borxhin me një shumë të caktuar interesi), më pas Masha transferon këstin tjetër. Nëse ajo paguan 2,788,425 rubla çdo vit, ajo do të paguajë borxhin në 4 vjet. Nëse 4,991,625 secili, atëherë në 2 vjet. Sa përqind i mori Masha paratë nga banka?

Zgjidhje

Pas dy vitesh shlyerje, shuma e kredisë së marrë llogaritet duke përdorur formulën:

Pas katër viteve të shlyerjes, shuma e kredisë së marrë llogaritet duke përdorur formulën:

Ku

Pastaj.

Përgjigje: 12.5%.

Më 31 dhjetor 2013, Vanya mori 9,009,000 rubla me kredi nga banka me 20% në vit. Skema e shlyerjes së kredisë është si më poshtë: më 31 dhjetor të çdo viti të ardhshëm, banka ngarkon interes për shumën e mbetur të borxhit (d.m.th., rrit borxhin me 20%), më pas Vanya transferon pagesën në bankë. Vanya pagoi të gjithë borxhin në 3 pagesa të barabarta. Sa rubla më pak do t'i jepte bankës nëse do të mund të shlyente borxhin në 2 pagesa të barabarta?

Zgjidhje

Le të përdorim rezultatin nga problemi 2.

Diferenca e kërkuarX 3 -X 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 rubla

Përgjigje: 1,036,00 rubla.

Më 1 qershor 2013, Vsevolod Yaroslavovich mori 900,000 rubla me kredi nga banka. Skema e shlyerjes së kredisë është si më poshtë: në datën 1 të çdo muaji tjetër, banka ngarkon 1 për qind për shumën e mbetur të borxhit (d.m.th., rrit borxhin me 1%), më pas Vsevolod Yaroslavovich transferon pagesën në bankë. Per cfare sasi minimale muaj Vsevolod Yaroslavovich mund të marrë një kredi në mënyrë që pagesat mujore të mos jenë më shumë se 300,000 rubla?

Ju duhet të kuptoni një të vërtetë të thjeshtë - sa më e madhe të jetë pagesa e kredisë, aq më pak borxh do të keni. Sa më pak borxh të keni, aq më shpejt do ta shlyeni atë. Pagesa maksimale mujore që mund të përballojë huadhënësi është 300,000 rubla sipas kushtit. Nëse Vsevolod Yaroslavovich paguan pagesën maksimale, ai do të paguajë borxhin më shpejt. Me fjalë të tjera, do të jetë në gjendje të marrë një kredi për periudha më e shkurtër kohë, siç kërkohet nga kushti.

Le të përpiqemi ta zgjidhim problemin kokë më kokë.

Ka kaluar një muaj. 1 korrik 2013: borxhi (1 + 0,01)900,000 – 300,000 = 609,000.

Ka kaluar një muaj. 1 gusht 2013: borxhi (1+ 0.01)609.000 – 300.000 = 315.090.

Ka kaluar një muaj. 1 shtator 2013: borxhi (1 +0,01)315,090 – 300,000= 18,240,9. Ka kaluar një muaj. 1 tetor 2013: borxhi (1 0,01) 1,240,9 = 18,423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Përgjigje: 4 muaj.

Le ta zgjidhim problemin duke përdorur metodën standarde.

Unë do të përdor rezultatet e problemit 3, duke marrë parasysh arsyetimin e mëposhtëm: pabarazia e pjesës së mbetur të borxhit ka formëna x ≤ 0 .

Lex - sasinë e kërkuar,a = 900,000 - shuma e marrë hua nga banka,k% = 1% - norma e kredisë,y = 300,000 - pagese mujore,m = (1 + 0,01k) – shumëzuesi mujor i borxhit të mbetur. Pastaj, sipas formulës tashmë të njohur, marrim pabarazinë: ≤0 ;

Kemi pasur një pabarazi të pakëndshme, por të vërtetë.

Ne marrim pjesën e plotë të numrit sepse numri i pagesave nuk mund të jetë një numër jo i plotë. Ne marrim numrin e plotë më të madh më të afërt, nuk mund të marrim atë më të vogël (sepse atëherë do të ketë një borxh) dhe është e qartë se logaritmi që rezulton nuk është një numër i plotë. Rezulton 4 pagesa, 4 muaj.

Fermeri mori një kredi nga një bankë në një përqindje të caktuar në vit. Një vit më vonë, për të shlyer kredinë, fermeri i ktheu bankës të gjithë shumën që i kishte borxh bankës deri në atë kohë dhe një vit më vonë, për të shlyer plotësisht kredinë, ai depozitoi në bankë një shumë që. ishte 21% më e madhe se shuma e kredisë së marrë. Sa është norma vjetore e interesit për një kredi nga kjo bankë?

Zgjidhja:

Shuma e kredisë nuk ndikon në situatën. Le të marrim 4 rubla nga banka (pjesëtueshëm me 4).

Në një vit, borxhi ndaj bankës do të rritet saktësishtX herë dhe do të bëhen të barabartë4x rubla

E ndajmë në 4 pjesë dhe e kthejmë3x rubla dhe ne duhet të qëndrojmëX rubla

Dihet që deri në fund të vitit të ardhshëm do të duhet të paguajmë4 1.21 rubla

Dihet se shuma e borxhit për vitin u kthye nga numriX në numërX 2 .

Meqenëse fermeri e ka shlyer plotësisht borxhin pas dy vjetësh, atëherë

X 2 = 4 1,21 x = 2 1,1 x = 2,2

KoeficientX do të thotë që 100% kthehet në 220% në një vit.

Kjo do të thotë se përqindja vjetore e bankës është: 220% - 100%

Përgjigje: 120%

Shuma prej 3,900 mijë rubla u vendos në bankë në 50% në vit. Në fund të secilit prej katër viteve të para të ruajtjes, pas llogaritjes së interesit, depozituesi ka bërë një depozitë shtesë të së njëjtës shumë fikse në llogari. Në fund të vitit të pestë, pas përllogaritjes së interesit, rezultoi se madhësia e depozitës ishte rritur me 725% në krahasim me origjinalin. Çfarë shume i shtoi investitori depozitës çdo vit?

Zgjidhja:

Le të jetë fikse shuma e depozituarX rubla

Më pas, pasi u kryen të gjitha operacionet, pas vitit të parë, shuma në depozitë u bë

+x

Pas 2 vitesh

Pas3 i vitit

Pas4 i vitit

Pas5 i vitit

Meqenëse në fund të vitit të pestë pas përllogaritjes së interesit rezultoi se madhësia e depozitës ishte rritur me 725% në krahasim me atë fillestar, ne do të hartojmë ekuacionin:

3900 ·8.25=3900·1.5 5 +x·(1.5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900·5,5=3900·1,5 4 +x(1.5 3 +1,5 2 +1,5+1)

Përgjigje: 210 rubla.

Banka pranoi një shumë të caktuar në një përqindje të caktuar. Një vit më vonë, një e katërta e shumës së akumuluar u tërhoq nga llogaria. Por banka e rriti normën vjetore të interesit me 40%. Deri në fund të vitit të ardhshëm, shuma e akumuluar ishte 1.44 herë më shumë se kontributi fillestar. Sa është përqindja e re e prillit?

Zgjidhja:

Situata nuk do të ndryshojë në varësi të shumës së depozitës. Le të vendosim 4 rubla në bankë (të ndarë me 4).

Në një vit, shuma në llogari do të rritet saktësishtfq herë dhe do të bëhen të barabartë4 f rubla

E ndajmë në 4 pjesë dhe e çojmë në shtëpifq rubla, do ta lëmë në bankë3p rubla

Dihet se deri në fund të vitit të ardhshëm në bankë kishte 4·1,44 = 5,76 rubla.

Pra numri3p u kthye në numrin 5.76. Sa herë është rritur?

Kështu, është gjetur koeficienti i dytë rritësx kavanoz.

Është interesante që prodhimi i të dy koeficientëve është 1.92:

Nga kushti rezulton se koeficienti i dytë është 0.4 më i madh se i pari.

fq · x = fq ·( fq +0,4)=1,92

Tashmë mund të zgjidhen koeficientët: 1.2 dhe 1.6.

Por le të vazhdojmë, megjithatë, për të zgjidhur ekuacionin:

10p ·(10p+4)=192 le 10p=k

k ·(k+4)=192

k =12, d.m.th. p=1.2; dhe x=1.6

Përgjigje: 60%

Në këtë mësim do të shikojmë se si të zgjidhim problemet më të vështira për kreditet nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë - koha në to nuk dihet. Para së gjithash, mbani mend formulën që lidh shumën totale të kredisë, interesin, afatin dhe pagesat mujore:

$C\cdot ((x)^(n))=P\cdot \frac(((x)^(n))-1)(x-1)$.

ku $C$ - shuma totale kredia, $x$ është interesi, $P$ është pagesa mujore dhe numri $n$ është afati për të cilin merret kredia. Kjo është ajo që ne do të kërkojmë sot, për të cilën do të duhet të kryejmë dy hapa:

1. Vlerësoni përafërsisht periudhën kohore. Për ta bërë këtë, thjesht ndani kredinë me pagesën dhe rrumbullakosni numrin që rezulton lart. Nëse ndarja rezulton në një numër të plotë, thjesht rriteni atë me një.
2. Sigurohuni që ky numër të jetë përgjigja. Për ta bërë këtë, do t'ju duhet të numëroni disa fuqi të numrave mjaft të shëmtuar: 1.1; 1.03, etj.

Kur zgjidhni këtë problem, mbani mend gjithmonë lidhjen midis afatit dhe madhësisë së pagesës mujore:

Sa më i gjatë të jetë afati, aq më e ulët është pagesa mujore. Dhe anasjelltas: sa më i shkurtër të jetë afati, aq më e madhe është pagesa.

Përveç kësaj, ekziston një rregull i rëndësishëm që do të zvogëlojë ndjeshëm vëllimin e llogaritjeve. Në vend që të kërkoni për një vlerë, le të themi $((1.03)^(7))$, mund të gjeni një fuqi të ndërmjetme (çdo gjë më e madhe se një kub konsiderohet tashmë problematike për këtë numër), dhe më pas vazhdoni të punoni me ato të sipërme dhe kufijtë e poshtëm për këtë numër. Cilat janë këto vlerësime dhe si t'i përdorni ato për të zgjidhur problemin 17 dy herë më shpejt - shikoni tutorialin e videos.

Detyra më e vështirë për kreditë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit

Sot do të shikojmë atë që premtova të flas vitin e kaluar shkollor, kur u njohëm për herë të parë me probleme me përmbajtjen ekonomike nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë. Në përgjithësi, ka kaluar mjaft kohë nga shfaqja e kësaj detyre në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe që atëherë detyra të tilla janë bërë më të larmishme se fillimisht, por detyra më e vështirë dhe e hasur shpesh ka mbetur e pandryshuar. Pikërisht për këtë do të flasim sot. Më saktësisht, do të flasim për versionin më të vështirë të këtij problemi - problemin e pagesave dhe kredive, kur funksionon formula universale e interesit të përbërë, e nxjerrë në mësimin e mëparshëm video, por këtë herë nuk është kredia apo pagesa që është e panjohur, por pikërisht koha për të cilën kjo është marrë më së shumti merita.

Formula për interesin e përbërë në matematikë

Nga vjen kjo formulë për llogaritjen e interesit të përbërë dhe si funksionon e gjitha, e shpjegova në detaje në mësimin e mëparshëm video, kështu që nëse nuk e keni parë, ju rekomandoj ta shikoni. Sidoqoftë, nga i njëjti video tutorial lindën shumë pyetje dhe, në veçanti, analizën e problemit më të vështirë e lamë për më vonë. Kjo është pikërisht ajo që do të bëjmë sot.

Para se të zgjidhim këtë problem, le të shkruajmë formulën tonë klasike për llogaritjen e interesit të përbërë, domethënë:

Ne e kemi nxjerrë këtë formulë në një nga mësimet e mëparshme video, ajo mund të përdoret pa asnjë dyshim në provimin e vërtetë, duke e justifikuar më parë atë afërsisht në të njëjtën mënyrë si në mësimin e mëparshëm video.

Detyra nr. 1

Pra, një problem ekonomik në të cilin sasia e panjohur e panjohur është koha:

Më 1 janar 2015, një pensionist mori 1.5 milion rubla me kredi nga banka. Skema e shlyerjes së kredisë është si më poshtë: në datën 1 të çdo muaji të ardhshëm, banka ngarkon 10 për qind mbi shumën e mbetur të borxhit (d.m.th., rrit borxhin me 10%) dhe më pas pensionisti ia kalon pagesën bankës. . Për cilin numër minimal muajsh një pensionist mund të marrë një kredi në mënyrë që pagesat mujore të mos jenë më shumë se 350 mijë rubla?

Pra, le të fillojmë të zgjidhim problemin tonë. Së pari, le të shkruajmë gjithçka që dimë. Para së gjithash, na jepet shuma totale e kredisë:

Kredi = 1 500 000

Dihet se pagesa mujore nuk duhet të kalojë 350 mijë rubla. Le ta shkruajmë kështu:

Pagesa = 350 000

Përveç kësaj, përqindja është e njohur. Ne e dimë se nëse 10% shkruhet si koeficient, ai do të jetë:

Hapi i dytë: krijoni një ekuacion duke përdorur formulën e interesit të përbërë

Ajo që ne nuk dimë është numri $n$ në këtë ekuacion. Le të lidhim gjithçka që dimë në formulën e interesit të përbërë dhe të shohim se çfarë ndodh:

Le të prezantojmë një zëvendësim:

\[((1,1)^(n))=t\]

Në këtë rast marrim:

Le të kujtojmë se çfarë është $t$. Duhet të zgjidhim ekuacionin e mëposhtëm:

\[((1,1)^(n))=1,75\]

Hapi i tretë: gjeni vlerën më të vogël

Nëse përpiqeni ta zgjidhni këtë ekuacion duke përdorur një kalkulator, nuk do të keni sukses - numrat do të jenë ose më të lartë ose më të ulët, por nuk do të merrni vlerën e saktë. Prandaj, le të kthehemi edhe një herë në deklaratën e problemit dhe të lexojmë se pagesat mujore nuk duhet të jenë më shumë se 350 mijë rubla. Le të mendojmë për këtë: sa më gjatë të jetë afati për të cilin merret e njëjta kredi, aq më të vogla janë pagesat mujore. Dhe meqenëse ne kërkojmë që pagesat mujore të jenë jo më shumë se 350 mijë rubla, kjo do të thotë që periudha duhet të jetë jo më pak se periudha e specifikuar. Në fakt, duke marrë parasysh faktin se vlera jonë nuk mund të jetë saktësisht e barabartë me këtë periudhë, gjejmë se nuk duhet të zgjidhim një ekuacion, por një pabarazi të formës.

\[((1,1)^(n))>1,75\]

Shikoni përsëri me kujdes këtë tranzicion - është thelbësor pikë e rëndësishme gjatë gjithë detyrës. Nuk mund ta gjejmë atë të saktë vlera natyrore$n$ është e tillë që $1,1$ për këtë fuqi jep $1.75$, kështu që tani detyra jonë është të gjejmë $n$-në minimale natyrore të tillë që kjo pabarazi të jetë e qëndrueshme. Pyetja është: pse minimumi? Në fund të fundit, ju mund të merrni një kredi për 100 vjet dhe pastaj gjithçka do të funksionojë patjetër, d.m.th. $((1,1)^(n))$ do të jetë më i madh se $1,75$. Megjithatë, në problem duhet të gjejmë saktësisht sasinë minimale. Prandaj, nga të gjitha $n$ që plotësojnë këtë pabarazi, ne do të zgjedhim më të voglin dhe, në fakt, tani do ta gjejmë vetë këtë më të voglin.

Le të bëjmë një tryezë të vogël.

Dhe për herë të parë tejkaluam kufijtë e kërkuar - 1,75 $. Ju lutemi vini re: pesë muaj nuk janë të mjaftueshëm për ne, sepse koeficienti nuk do të arrijë vlerën e dëshiruar, por gjashtë muaj tashmë janë të mjaftueshëm, sepse jo vetëm do të arrijë, por edhe do ta kalojë vlerën e dëshiruar. Pra, përgjigja përfundimtare është gjashtë muaj.

Nuancat e zgjidhjes

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të vështirë për këtë, edhe nëse na kërkohet të gjejmë saktësisht afatin. E vetmja gjë që mund të na ngatërronte ishte sasia mjaft e madhe e llogaritjeve në fund, kur numëruam fuqitë prej 1.1$. Sidoqoftë, nuk është për t'u habitur, pasi kjo është një nga më të fundit dhe më të fundit detyra komplekse nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë, kështu që nëse gjithçka do të ishte plotësisht e thjeshtë këtu, atëherë nuk do të jepeshin tre pikë parësore për të.

Përveç kësaj, do të doja të tërhiqja vëmendjen në arsyetimin përfundimtar të përgjigjes. Më lejoni t'ju kujtoj se ne po e zgjidhim problemin nga pjesa e dytë: nuk mjafton të shkruajmë një përgjigje këtu, por duhet të japim një arsyetim të plotë dhe kompetent. Pra, duke u ngritur në fuqi, në një moment të caktuar marrim vlerat e mëposhtme: $1.61051$ dhe $1.771561$. Lind pyetja: pse zgjodhëm numrin e dytë? Ne e zgjidhim këtë pabarazi, e cila u justifikua më herët, dhe vlera e dytë tashmë i përshtatet pabarazisë sonë, sepse

\[{{1,1}^{6}}=1,771561\]

Dhe në 1,75 $, shifra e dytë është "pesë", d.m.th. shifra është më e vogël dhe për këtë arsye numri është më i vogël. Por nëse përpiqemi të zgjedhim pesë muaj si përgjigje dhe koeficienti i lidhur me këtë vlerë është 1,61051$, atëherë ky opsion definitivisht nuk do të na përshtatet. Pse? Sepse nëse e zëvendësojmë atë në formulën origjinale të interesit të përbërë dhe përpiqemi të llogarisim pagesën përfundimtare mujore duke përdorur këto të dhëna, do të rezultojë të jetë më shumë se 350 mijë rubla të kërkuara.

Për të zgjidhur me sukses këtë problem, duke përfshirë kur është e nevojshme të gjendet një afat, duhet të merren parasysh dy pika:

1. Mos harroni formulën për zgjidhjen e interesit të përbërë dhe këshillohet që të jeni në gjendje ta nxirrni atë në provim.
2. Mos harroni lidhjen midis kohës dhe madhësisë së pagesave. Marrëdhënia është në përpjesëtim të zhdrejtë: sa më i gjatë të jetë afati, aq më e ulët është pagesa mujore dhe anasjelltas - sa më e madhe të jetë pagesa mujore, aq më e shkurtër është periudha gjatë së cilës do t'ju duhet të shlyeni të njëjtën kredi.

Problemi nr. 2

Më 1 janar 2015, një pensionist mori 1.1 milion rubla me kredi nga banka. Skema e shlyerjes së kredisë është si më poshtë: në datën 1 të çdo muaji të ardhshëm, banka ngarkon 3 për qind mbi shumën e mbetur të borxhit (d.m.th., rrit borxhin me 3%) dhe më pas pensionisti ia kalon pagesën bankës. . Për cilin numër minimal muajsh një pensionist mund të marrë një kredi në mënyrë që pagesat mujore të mos jenë më shumë se 220 mijë rubla?

Në shikim të parë, detyra nuk ndryshon nga ajo e mëparshme. Përveç nëse pensionistja u bë më e arsyeshme, kështu që ajo mori vetëm 1.1 milion dhe, përveç kësaj, interesi mujor është vetëm 3%, jo 10%, dhe pagesat mujore nuk duhet të jenë më shumë se 220 mijë rubla.

Hapi i parë: shkruani të dhënat e njohura

Le të rishkruajmë formulën tonë të interesit të përbërë:

Ku $C$ është shuma totale e kredisë, $x$ është interesi, $P$ është pagesa mujore, $n$ është afati për të cilin është marrë kredia.

Le të shkruajmë të dhënat e njohura:

Kredi = 1100000

Pagesa = 220000

Hapi i dytë: krijoni një ekuacion duke përdorur formulën e interesit të përbërë

Të gjitha këto të dhëna i zëvendësojmë në formulë. Sërish nuk e dimë afatin, d.m.th. $n$:

\[((1,3)^(n))=2\cdot \majtas(1,03-1 \djathtas)\cdot \frac(10)(3)\majtas| 3\djathtas.\]

Le të prezantojmë zëvendësimin:

\[((1.03)^(n))=t\]

Dhe këtu hasim problemin e parë, i cili nuk ishte i pranishëm në problemin e mëparshëm: $\frac(20)(17)$ nuk përkthehet në një thyesë dhjetore "të bukur" dhe na duhet thyesa dhjetore, sepse kur bëjmë tabelën, atëherë ne do të ngremë $1.03$ në fuqi të ndryshme, dhe ajo, duke qenë një thyesë dhjetore në shkallë të ndryshme, gjithashtu do të japë dhjetore. Në fakt, zgjidhja është e thjeshtë: thjesht ndani dhe lini katër karakteret e para:

\[\frac(20)(17)=1,17647...\]

Duke iu rikthyer problemit tonë, marrim sa vijon:

Le të barazojmë të dyja pjesët:

\[((1.03)^(n))=1.17647...\]

Për analogji me detyrë e mëparshmeËshtë e lehtë të shihet se nuk ka $n$ të natyrshëm të tillë që 1.03 $ për këtë fuqi të na japë $1.17647...$, kështu që me qetësi e zëvendësojmë barazinë tonë me shenjën e pabarazisë:

\[((1.03)^(n))>1.17647...\]

Në të njëjtën kohë, kur vendosni të kësaj pabarazie përgjigja do të jetë $n$ më e vogël. Le të bëjmë përsëri një tabelë, ku përsëri do të shkruajmë muaj në të majtë dhe koeficientin në të djathtë:

Hapi i katërt: gjeni kufirin e sipërm dhe të poshtëm duke përdorur "metodën e vlerësimit"

Jemi përballë një problemi tjetër: ndërsa numri i muajit rritet, vëllimi i llogaritjeve bëhet thjesht katastrofik, kështu që llogaritjet e mëtejshme duhet të kryhen duke përdorur ndonjë mjet tjetër, përndryshe thjesht do të mbytemi në vëllimin e llogaritjeve. Ky problem është tipik për të gjitha problemet në të cilat përqindja është më e vogël se dhjetë. Pra, sapo të shihni përqindje të vogla, mos mendoni se jeni në vështirësi. detyrë e lehtë Përkundrazi, do të ketë probleme. Megjithatë, të gjitha këto probleme mund të zgjidhen lehtësisht me ndihmën e një mjeti të mrekullueshëm të quajtur metoda e vlerësimit. Tani do t'ju tregoj se çfarë është dhe si ta përdorni duke përdorur shembullin e kësaj detyre.

Pra, ne duhet të gjejmë fuqinë e katërt, të pestë dhe të gjashtë prej 1,03 $. E gjetëm duke përdorur të mëparshmen, duke e shumëzuar me 1,03$. Sidoqoftë, tashmë në hapin e tretë vëllimi i llogaritjeve doli të ishte mjaft i madh. Prandaj, për të mos mbytur në llogaritjet, le të kryejmë manipulimin e mëposhtëm: le të shohim numrat që kemi marrë kur kuadrohemi dhe në fuqinë e tretë. Së pari, le të shohim se çfarë ndodhi në shesh:

\[{{1,03}^{2}}=1,0609\]

Le të presim dy shifra dhjetore dhe thjesht të shkruajmë $1.06$. Ne do të bëjmë të njëjtën gjë me fuqinë e tretë, në të cilën kemi marrë shprehjen e mëposhtme:

\[{{1,03}^{3}}=1,092727\]

Le të presim dy shifra dhjetore dhe të marrim 1,09 $. Në të dyja rastet marrim vetëm dy shenjat e para. Çfarë do të na japë kjo? Çështja është që në çdo rast 1,0609$, d.m.th. kuptimin e vërtetë fuqia e dytë do të jetë më e madhe se vlera e sapo gjetur:

E njëjta gjë mund të thuhet për shkallën e tretë:

Tani le ta marrim dhe t'u shtojmë "një" këtyre numrave në shifrën e fundit. Ne marrim:

Vetia e jashtëzakonshme e këtyre numrave është se në rastin e parë

Por në rastin e dytë do të ketë pabarazinë e mëposhtme:

Le ta shkruajmë kështu:

Vlerat që rezultojnë quhen vlerësime të sipërme dhe të poshtme, ose rrumbullakosje poshtë dhe rrumbullakosje lart. Dhe në vend që të luftojmë me një sasi të madhe llogaritjesh, ne thjesht do t'i shumëzojmë këto numra. Si dhe mbi çfarë baze? Le të vërejmë sa vijon:

\[((1.03)^(4))=((1.03)^(2))\cdot ((1.03)^(2))\]

\[((1.03)^(5))=((1.03)^(3))\cdot ((1.03)^(2))\]

\[((1.03)^(6))=((1.03)^(3))\cdot ((1.03)^(3))\]

Hapi i pestë: gjeni vlerën më të vogël

Le ta mbushim tabelën deri në fund:

Çfarë na thonë të gjitha këto vlerësime të sipërme dhe të poshtme? Së pari, sasia e llogaritjeve zvogëlohet ndjeshëm, dhe së dyti, le të shohim vlerat më të fundit:\[((1,1)^(2))=1.21\]

\[{{1,09}^{2}}=1,1881\]

Çfarë do të thotë? Dhe fakti është se për $n=6$ ne patjetër do ta tejkalojmë vlerën e kërkuar. Ne tashmë e dimë atë

\[((1.03)^(n))=1.17647<1,1881<{{1,03}^{6}}<1,21\]

Në parim, ne jemi tashmë të kënaqur me "gjashtë" - ky është një kandidat për përgjigjen. Por problemi është se problemi kërkon që ne të gjejmë numrin minimal të muajve. Po sikur numri minimal i muajve të ishte "pesë"? Le të numërojmë dhe përsërisim të gjitha llogaritjet e njëjta për "pesë":

Por vlerësime të tilla nuk do të na japin asgjë. Pse? Sepse nëse vizatojmë një vijë numerike dhe shënojmë kufijtë e poshtëm dhe të sipërm në të, marrim si vijon: midis $1,1554$ dhe $1,177$ ka $((1,03)^(5))$. Por mes tyre ka edhe 1,17647 dollarë, të cilat duhet t'i tejkalojmë. Nëse ky numër qëndron në të djathtë të 1,17647 $, atëherë ne jemi të kënaqur me gjithçka, dhe përgjigja do të jetë "pesë". Sidoqoftë, nëse është në të majtë, atëherë "pesë" nuk na përshtatet dhe përgjigja do të jetë "gjashtë". Si mund të kontrollojmë se cili numër na përshtatet? Fatkeqësisht, është e pamundur t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje brenda vlerësimeve të sipërme dhe të poshtme që kemi shkruar - thjesht na mungon saktësia. Pra, le të shkruajmë përsëri vlerat për $n=2$ dhe $n=3$.

Kështu, çfarëdo që $n$ të jetë në shprehjen $((1,03)^(n))$, ajo në çdo rast do të jetë më e madhe se $1,06\cdot 1,092$, por në çdo rast më pak se $1,061 \cdot $1,093.

Le të shkruajmë llogaritjet:

Kjo do të thotë se supozimet tona janë të sakta. Vlera e dëshiruar, nëse përsëri përpiqemi ta vizatojmë në vijën numerike, do të kufizohet më poshtë me 1,1554$ dhe më lart me 1,159673$. Ato. $((1.03)^(5))$ me siguri do të jetë më pak se $1.159673$ dhe aq më tepër më pak se $1.17647...$Dhe kjo do të thotë se supozimi ynë fillestar që në $ n=5$ ne tashmë do ta tejkalojmë vlerën e $1,17647...$ është e pasaktë. Kjo do të thotë se muaji i pestë ende nuk do të na përshtatet. Por muaji i gjashtë, për të cilin menduam fillimisht, është vërtet i tillë. Pra, përgjigja përfundimtare është gjashtë. Problemi zgjidhet dhe justifikohet plotësisht.

Këshilla të dobishme për zgjidhjen e problemeve duke përdorur formulën e interesit të përbërë

Gjëja më e rëndësishme në këtë detyrë është të kuptoni se si ndryshojnë vlerësimet nga rrumbullakimi. Marrim dy shifrat pas presjes dhjetore, presim gjithçka që vjen pas tyre dhe i shkruajmë ato numra në të majtë. Natyrisht, meqenëse ka disa shifra në numrin real në vijim, ky numër do të jetë ai që morëm në të majtë (shih tabelën). Këta numra që janë në të majtë quhen pikë të vogla. Pastaj u shtojmë "një" në shifrën e fundit (në shifrën e fundit), dhe marrim një numër që është një më i madh në fund, për shembull, ishte 1.06$ u bë 1.07$, etj. Këto do të jenë vlerësimet kryesore. Dhe më tej, pavarësisht se çfarë bëjmë, pavarësisht se çfarë shkalle dhe numri muajsh llogarisim, vlera e vërtetë e vlerës sonë do të vazhdojë të përmbahet midis shkallëve të vlerësimeve të sipërme dhe të poshtme.

Por ka një problem: në një moment të caktuar zbulojmë se si numri ashtu edhe vlera e dëshiruar qëndrojnë brenda të njëjtave kufij. Kufijtë janë marrë, natyrisht, duke llogaritur shkallët e vlerësimeve. Në situatën tonë, ky problem lindi në llogaritjen e vlerës për muajin e pestë: vlerësimi i majtë na dha $1,1554 $ dhe ai i djathtë na dha $ 1,177 $. Midis këtyre dy numrave qëndron edhe vlera e dëshiruar, të cilën ne nuk e dimë, edhe vlera jonë e dëshiruar, d.m.th. $((1,03)^(n))$. Rruga për të dalë nga kjo situatë sugjeron vetë: nëse na mungon saktësia, atëherë thjesht duhet të rrisim saktësinë e vlerësimeve fillestare, d.m.th. pas presjes dhjetore marrim jo dy, por tre shifra. Por duke qenë se ne jemi të interesuar kryesisht për kufijtë e sipërm, ne do ta rrisim secilin prej këtyre numrave me një në shifër, do ta shkruajmë dhe do ta shumëzojmë. Si rezultat, marrim sa vijon: vlerësimi i ri i sipërm për numrin tonë, për muajin e pestë, do të jetë ndërmjet 1,1554$ dhe 1,159673$.

Në fakt, muaji i pestë do të japë një koeficient që do të jetë në intervalin e mësipërm, i cili është qartësisht më i vogël se vlera e dëshiruar prej 1,174647 dollarë... Në pamje të parë, mund të duket se kompleksiteti dhe vëllimi i të gjitha këtyre llogaritjeve do të jetë dukshëm më i madh se sa nëse thjesht i ngrinim numrat në fuqinë e katrorit, kubit, etj. Në fakt kjo nuk është e vërtetë. Tashmë në shkallën e tretë dhe të katërt shfaqen numra të mëdhenj, por thjesht nuk do të arrini muajin e pestë dhe të gjashtë.

Si të përcaktohet një përgjigje e kandidatit bazuar në kushtet e detyrës

Si shënim i fundit për video tutorialin e sotëm, do të doja t'ju tregoja një mjet tjetër mjaft të zgjuar që do t'ju lejojë, në shikim të parë të problemit, të vlerësoni përafërsisht se cili muaj do të numërohet dhe cili muaj ka më shumë gjasa të jetë kandidat për përgjigje.

Le të shohim formulën origjinale. Shuma totale e kredisë për t'u shlyer është 1.1 milion, ndërsa 220 mijë rubla duhet të paguhen çdo muaj. Le ta ndajmë borxhin total me pagesën mujore. Në këtë rast, ne do të marrim numrin e muajve që do të duhej të shpenzoheshin për shlyerjen e kredisë nëse nuk do të na grumbullohej interes. Sidoqoftë, interesi në vetvete është i vogël - në rastin tonë, vetëm 3% në muaj. Kjo do të thotë se nuk ka gjasa që borxhi të grumbullohet për më shumë se një muaj dhe, për këtë arsye, ne duhet të shtojmë një njësi tjetër në vlerën që rezulton dhe do të marrim kandidatin më të mundshëm për përgjigjen.

Në rastin tonë, nëse 1.1 milion. pjesëtuar me 220 mijë, atëherë marrim pesë muaj, por duke përjashtuar interesin e përllogaritur. Prandaj, do të duhet edhe një muaj për të shlyer interesin. Dhe ne do të marrim të njëjtën përgjigje.

Megjithatë, dua t'ju paralajmëroj se në asnjë rrethanë nuk duhet ta përdorni këtë teknikë si justifikimin e vetëm të mundshëm për përgjigjen që merrni në një problem! Sepse po zgjidhim një nga problemet më të vështira të Provimit të Unifikuar të Shtetit: kërkon të japim jo vetëm përgjigjen, por edhe të gjitha llogaritjet dhe arsyetimet e detajuara. Kjo teknikë është vetëm një sugjerim për veten tonë, në mënyrë që të kuptojmë se cilët muaj, cilat gradë duhet të numërojmë. Hapi tjetër është të vërtetojmë se, për shembull, një numër i barabartë me pesë muaj nuk na përshtatet, por gjashtë muaj patjetër që na përshtaten. Si mund të bëhet kjo? Për shembull, duke përdorur një linjë numerike, llogaritje më të sakta, një metodë vlerësimi ose çfarëdo që është më e përshtatshme për ju. Sido që të jetë, unë dhe studentët e mi së fundmi jemi bindur se kjo aluzion i bën llogaritjet shumë më të lehta dhe të paktën jep një ide se cila duhet të jetë përgjigja.

Praktikoni, zgjidhni problemet, përmirësoni aftësitë tuaja me llogaritjen e rezultateve të sipërme dhe të poshtme. Ky nuk është mësimi i fundit në zgjidhjen e problemeve me përmbajtje ekonomike, pasi vetë problemet janë bërë mjaft të shumta dhe kushtet e tyre janë bërë më të ndryshme. Pra, qëndroni të sintonizuar!

Zgjidhja e problemeve matematikore duke përdorur konceptet bazë të përqindjes.

Problemet që përfshijnë përqindjet mësohen të zgjidhen që në klasën e 5-të.

Zgjidhja e problemeve të këtij lloji është e lidhur ngushtë me tre algoritme:

1. gjetja e përqindjes së një numri,
2. gjetja e një numri sipas përqindjes së tij,
3. gjetja e përqindjes.

Gjatë mësimeve me studentët, ata kuptojnë se një e qindta e një metri është një centimetër, një e qindta e një rubla është një qindarkë, një e qindta e një centneri është një kilogram. Njerëzit kanë vënë re prej kohësh se të qindtat e sasive janë të përshtatshme në praktikë. Prandaj u shpik një emër i veçantë për ta - përqindje.

Kjo do të thotë që një kopek është një për qind e një rubla dhe një centimetër është një për qind e një metri.

Një për qind është një e qindta e një numri. Në simbolet matematikore, një për qind shkruhet si më poshtë: 1%.

Përkufizimi i një përqind mund të shkruhet si: 1% = 0.01. A

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3, etj.

Si të gjeni 1% të një numri?

Meqenëse 1% është një e qindta pjesë, duhet ta ndani numrin me 100. Pjesëtimi me 100 mund të zëvendësohet duke shumëzuar me 0,01. Prandaj, për të gjetur 1% të një numri të caktuar, duhet ta shumëzoni atë me 0.01. Dhe nëse duhet të gjeni 5% të një numri, atëherë shumëzojeni këtë numër me 0,05, etj.

Shembull. Gjeni: 25% nga 120.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

Rregulli 1. Për të gjetur një përqindje të caktuar të një numri, duhet t'i shkruani përqindjet si thyesë dhjetore dhe më pas ta shumëzoni numrin me këtë thyesë dhjetore.

Shembull. Turneri ktheu 40 pjesë në një orë. Duke përdorur një prerës të bërë prej çeliku më të fortë, ai filloi të rrotullonte 10 pjesë të tjera në orë. Me sa përqind u rrit produktiviteti i punës së tornerit?

Për të zgjidhur këtë problem, ne duhet të zbulojmë se sa përqind janë 10 pjesë nga 40. Për ta bërë këtë, së pari gjejmë se cila pjesë është numri 10 nga numri 40. Ne e dimë se duhet të pjesëtojmë 10 me 40. Rezultati është 0.25. Tani le ta shkruajmë si përqindje - 25%.

Përgjigje: produktiviteti i punonjësit të tornos u rrit me 25%.

Rregulli 2. Për të gjetur se sa përqind është një numër i një tjetri, duhet të pjesëtoni numrin e parë me të dytin dhe të shkruani thyesën që rezulton si përqindje.

Shembull. Me një objektiv të planifikuar prej 60 makinash në ditë, fabrika prodhonte 66 makina. Sa për qind e përmbushi uzina planin?

66: 60 = 1.1 - kjo pjesë përbëhet nga makina të prodhuara nga numri i makinave sipas planit. Le ta shkruajmë si përqindje = 110%.

Përgjigje: 110%.

Shembull. Bronzi është një aliazh i kallajit dhe bakrit. Sa përqind e aliazhit është bakri në një copë bronzi që përbëhet nga 6 kg kallaj dhe 34 kg bakër?

1. 6+ 34 =40 (kg) - masa e të gjithë aliazhit.
2. 34: 40 = 0,85 = 85 (%) - aliazhi është bakër.

Përgjigje: 85%.

Shembull. Elefanti i vogël humbi 20% peshë në pranverë, pastaj fitoi 30% peshë gjatë verës, humbi 20% peshë përsëri në vjeshtë dhe fitoi 10% peshë gjatë dimrit. Pesha e tij ka mbetur e njëjtë këtë vit? Nëse ka ndryshuar, në çfarë përqindje dhe në çfarë drejtimi?

1. 100 - 20 = 80 (%) - pas pranverës.
2. 80 + 80 . 0,3 = 104 (%) - pas verës.
3. 104 - 104. 0,2 = 83,2 (%) - pas vjeshtës.
4. 83,2 + 83,2. 0,1 = 91,52 (%) - pas dimrit.

Përgjigje: humbi peshën 8.48%.

Shembull. Lëmë për ruajtje 20 kg patëllxhanë, kokrrat e të cilave përmbajnë 99% ujë. Përmbajtja e ujit në manaferrat u ul në 98%. Sa patëllxhanë do të merrni si rezultat?

1. 100 - 99 = 1 (%) = 0,01 - së pari proporcioni i lëndës së thatë në patëllxhanë.
2. 20 . 0,01 = 0,2 (kg) - lëndë e thatë.
3. 100 - 98 = 2 (%) = 0.02 - përqindja e lëndës së thatë në patëllxhanë pas ruajtjes.
4. 0.2: 0.02 = 10 (kg) - u bënë patëllxhanë.

Përgjigje: 10 kg.

Shembull. Çfarë do të ndodhë me çmimin e një produkti nëse fillimisht rritet me 25% dhe më pas ulet me 25%?

Le të jetë çmimi i produktit x rub., pastaj pas rritjes produkti kushton 125% të çmimit të mëparshëm, d.m.th. 1.25x, dhe pas një ulje prej 25%, kostoja e tij është 75% ose 0.75 e çmimit të rritur, d.m.th.

0.75 .1.25x= 0.9375x,

atëherë çmimi i produktit u ul me 6.25%, sepse

x - 0,9375x = 0,0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Përgjigje: Çmimi fillestar i produktit është ulur me 6.25%.

Rregulli 3. Për të gjetur raportin e përqindjes së dy numrave A dhe B, duhet të shumëzoni raportin e këtyre numrave me 100%, domethënë të llogarisni (A: B). 100%.

Shembull. Gjeni një numër nëse 15% e tij është 30.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x - numri i dhënë;
0.15. x = 300;
x = 200.

Përgjigje: 200.

Shembull. Pambuku i papërpunuar prodhon 24% fibra. Sa pambuk i papërpunuar duhet për të marrë 480 kg fibra?

Le të shkruajmë 24% si thyesë dhjetore 0,24 dhe të marrim problemin e gjetjes së një numri nga pjesa e tij e njohur (fraksioni).
480: 0,24= 2000 kg = 2 t

Përgjigje: 2 t.

Shembull. Sa kg kërpudha porcini duhet të mblidhen për të marrë 1 kg kërpudha të thata, nëse gjatë përpunimit të kërpudhave të freskëta mbetet 50% e masës së tyre dhe gjatë tharjes mbetet 10% e masës së kërpudhave të përpunuara?

1 kg kërpudha të thata është 10% ose 0,01 pjesë e përpunuar, d.m.th.
1 kg: 0,1=10 kg kërpudha të përpunuara, që është 50% ose 0,5 kërpudha të mbledhura, d.m.th.
10 kg: 0,05=20 kg.

Përgjigje: 20 kg.

Shembull. Kërpudhat e freskëta përmbanin 90% ujë ndaj peshës, dhe kërpudhat e thata përmbanin 12%. Sa kërpudha të thata do të merrni nga 22 kg kërpudha të freskëta?

1. 22. 0,1 = 2,2 (kg) - kërpudha në masë në kërpudha të freskëta; (0.1 është 10% lëndë e thatë);
2. 2.2: 0.88 = 2.5 (kg) - kërpudha të thata të marra nga ato të freskëta (sasia e lëndës së thatë nuk ka ndryshuar, por përqindja e saj në kërpudha ka ndryshuar dhe tani 2.2 kg është 88% ose 0.88 kërpudha të thata).

Përgjigje: 2.5 kg.

Rregulli 4. Për të gjetur një numër duke pasur parasysh përqindjet e tij, duhet t'i shprehni përqindjet si thyesë dhe më pas të ndani vlerën e përqindjes me këtë thyesë.

Në problemet që kanë të bëjnë me llogaritjet bankare, zakonisht hasen interesa të thjeshta dhe të përbëra. Cili është ndryshimi midis rritjes së interesit të thjeshtë dhe të përbërë? Me rritje të thjeshtë, përqindja llogaritet çdo herë në bazë të vlerës fillestare, dhe me rritje komplekse, llogaritet nga vlera e mëparshme. Me rritje të thjeshtë, 100% është shuma fillestare, dhe me rritje komplekse, 100% është çdo herë e re dhe e barabartë me vlerën e mëparshme.

Shembull. Banka paguan një të ardhur prej 4% në muaj nga shuma e depozitës. 300 mijë rubla u depozituan në llogari, të ardhurat grumbullohen çdo muaj. Llogaritni shumën e depozitës pas 3 muajsh.

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1.04 - pesha e rritjes së depozitës në krahasim me muajin paraardhës.
2. 300. 1.04 = 312 (mijë rubla) - shuma e depozitës pas 1 muaji.
3. 312. 1.04 = 324.48 (mijë rubla) - shuma e depozitës pas 2 muajsh.
4. 324,48. 1.04 = 337.4592 (mijë rubla) = 337,459.2 (r) - shuma e depozitës pas 3 muajsh.

Ose mund të zëvendësoni pikat 2-4 me një, duke përsëritur konceptin e gradës me fëmijët: 300.1043 = 337.4592 (mijë rubla) = 337.459.2 (r) - shuma e kontributit pas 3 muajsh.

Përgjigje: 337,459,2 rubla

Shembull. Vasya lexoi në gazetë se gjatë 3 muajve të fundit, çmimet e ushqimeve janë rritur mesatarisht me 10% çdo muaj. Me sa përqind janë rritur çmimet në 3 muaj?

Shembull. Paratë e investuara në aksione të një kompanie të njohur sjellin 20% të ardhura në vit. Për sa vite do të dyfishohet shuma e investuar?

Le të shohim një plan të ngjashëm detyrash duke përdorur shembuj specifikë.

Shembull. (Opsioni 1 Nr. 16. OGE-2016. Matematikë. Test tipik. detyra_ed. Yashchenko_2016 -80)

Dyqani i sportit është duke mbajtur një promovim. Çdo kërcyes kushton 400 rubla. Kur blini dy kërcyes, përfitoni 75% zbritje në kërcyesin e dytë. Sa rubla do të duhet të paguani për të blerë dy kërcyes gjatë periudhës së promovimit?

Sipas kushteve të problemit, rezulton se kërcyesi i parë blihet për 100% të kostos së tij origjinale, dhe i dyti për 100 - 75 = 25 (%), d.m.th. Në total, blerësi duhet të paguajë 100 + 25 = 125 (%) të kostos origjinale. Zgjidhja mund të konsiderohet më pas në tre mënyra.

1 mënyrë.

Ne pranojmë 400 rubla si 100%. Atëherë 1% përmban 400: 100 = 4 (fshij.), dhe 125%
4 . 125 = 500 (fshij.)

Metoda 2.

Përqindja e një numri gjendet duke shumëzuar numrin me thyesën që i përgjigjet përqindjes ose duke shumëzuar numrin me përqindjen e dhënë dhe duke pjesëtuar me 100.
400. 1,25 = 500 ose 400. 125/100 = 500.

3 mënyra.

Zbatimi i vetive të proporcionit:
400 fshij. - 100 %
x fshij. - 125%, marrim x = 125. 400 / 100 = 500 (fshij.)

Përgjigje: 500 rubla.

Shembull. (Opsioni 4 Nr. 16. OGE-2016. Matematikë. Test tipik. detyra_ed. Yashchenko_2016 -80)

Pesha mesatare e djemve të së njëjtës moshë me Gosha është 57 kg. Pesha e Goshës është 150% e peshës mesatare. Sa kilogramë peshon Gosha?

Ngjashëm me shembullin e diskutuar më sipër, mund të krijoni një proporcion:

57 kg - 100%
x kg - 150%, marrim x = 57. 150 / 100 = 85,5 (kg)

Përgjigje: 85.5 kg.

Shembull. (Opsioni 7 Nr. 16. OGE-2016. Matematikë. Test tipik. detyra_ed. Yashchenko_2016 - vitet '80)

Pas shënjimit të televizorit, çmimi i tij i ri ishte 0,52 i atij të vjetër. Me sa përqind u ul çmimi si rezultat i rënies?

1 mënyrë.

Le të gjejmë së pari fraksionin e uljes së çmimit. Nëse çmimi fillestar merret si 1, atëherë 1 - 0.52 = 0.48 është pjesa e uljes së çmimit. Pastaj marrim 0.48. 100% = 48%. Ato. Çmimi u ul me 48% si rezultat i uljes.

Metoda 2.

Nëse çmimi origjinal merret si A, atëherë pas shënjimit çmimi i ri i televizorit do të jetë i barabartë me 0.52A, d.m.th. do të ulet me A - 0,52A = 0,48A.

Le të bëjmë një proporcion:
A - 100%
0,48A - x%, marrim x = 0,48A. 100/A = 48 (%).

Përgjigje: çmimi u ul me 48% si rezultat i uljes.

Shembull. (Opsioni 9 Nr. 16. OGE-2016. Matematikë. Test tipik. detyra_ed. Yashchenko_2016 - 80)

Artikulli në shitje u zbrit me 15%, dhe tani kushton 680 rubla. Sa rubla kushtoi produkti para shitjes?

Para uljes së çmimit, produkti vlente 100%. Çmimi i produktit pas shitjes u ul me 15%, d.m.th. u bë 100 - 15 = 85 (%), në rubla kjo vlerë është e barabartë me 680 rubla.

1 mënyrë.

680: 85 = 8 (fshij.) - në 1%
8 . 100 = 800 (fshij.) - kostoja e produktit para shitjes.

Metoda 2.

Ky problem i gjetjes së një numri me përqindjen e tij zgjidhet duke e pjesëtuar numrin me përqindjen përkatëse dhe duke e kthyer thyesën që rezulton në përqindje, duke shumëzuar me 100, ose duke pjesëtuar me thyesën e fituar gjatë konvertimit nga përqindjet.
680:85. 100 = 800 (fshij.) ose 680: 0,85 = 800 (fshij.)

3 mënyra.

Përdorimi i proporcionit:
680 fshij. - 85%
x fshij. - 100%, marrim x = 680. 100 / 85 = 800 (fshij.)

Përgjigje: Artikulli kushtoi 800 rubla para shitjes.

Zgjidhja e problemeve për përzierjet dhe lidhjet, duke përdorur konceptet "përqindje", "përqendrim", "zgjidhje%".

Detyrat më të thjeshta të këtij lloji janë dhënë më poshtë.

Shembull. Sa kg kripë ka në 10 kg ujë të kripur nëse përqindja e kripës është 15%.

10 . 0,15 = 1,5 (kg) kripë.

Përgjigje: 1.5 kg.

Përqindja e një substance në një tretësirë ​​(për shembull, 15%) nganjëherë quhet një zgjidhje % (për shembull, tretësirë ​​kripe 15%).

Shembull. Lidhja përmban 10 kg kallaj dhe 15 kg zink. Sa është përqindja e kallajit dhe zinkut në aliazh?

Përqindja e një lënde në një aliazh është pjesa që pesha e një lënde të caktuar përbën nga pesha e të gjithë aliazhit.

1. 10 + 15 = 25 (kg) - aliazh;
2. 10:25. 100% = 40% - përqindja e kallajit në aliazh;
3. 15:25. 100% = 60% - përqindja e zinkut në aliazh.

Përgjigje: 40%, 60%.

Në detyrat e këtij lloji, koncepti kryesor është "përqendrimi". Çfarë është ajo?

Konsideroni, për shembull, një zgjidhje të acidit në ujë.

Lëreni enën të përmbajë 10 litra tretësirë, e cila përbëhet nga 3 litra acid dhe 7 litra ujë. Atëherë përmbajtja relative (në raport me të gjithë vëllimin) e acidit në tretësirë ​​është e barabartë. Ky numër përcakton përqendrimin e acidit në tretësirë. Ndonjëherë ata flasin për përqindjen e acidit në një zgjidhje. Në shembullin e dhënë, përqindja do të ishte: . Siç mund ta shihni, kalimi nga përqendrimi në përqindje dhe anasjelltas është shumë i thjeshtë.

Pra, le që një përzierje e masës M të përmbajë një substancë me masën m.

• përqendrimi i një lënde të caktuar në një përzierje (aliazh) quhet sasi;
• përqindja e një lënde të caktuar quhet vlera c×100%;

Nga formula e fundit rezulton se me vlerat e njohura të përqendrimit të substancës dhe masës totale të përzierjes (aliazhit), masa e kësaj substance përcaktohet me formulën m = c × M.

Problemet që përfshijnë përzierjet (aliazhet) mund të ndahen në dy lloje:

1. Për shembull, specifikohen dy përzierje (aliazhe) me masa m1 dhe m2 dhe me përqendrime të disa substancave në to të barabarta me c1 dhe c2, përkatësisht. Përzierjet (aliazhet) kullohen (përzihen). Kërkohet të përcaktohet masa e kësaj lënde në përzierjen (aliazhin) e ri dhe përqendrimi i saj i ri. Është e qartë se në përzierjen e re (aliazhin) masa e kësaj lënde është e barabartë me c1m1 + c2m2, dhe përqendrimi.
2. Përcaktohet një vëllim i caktuar i përzierjes (aliazhit) dhe nga ky vëllim fillojnë të hedhin (heqin) një sasi të caktuar të përzierjes (aliazhit) dhe më pas shtojnë (shtojnë) të njëjtën ose një sasi të ndryshme të përzierjes (aliazhit) me përqendrim të njëjtë të një lënde të caktuar ose me përqendrim të ndryshëm. Ky operacion kryhet disa herë.

Kur zgjidhni probleme të tilla, është e nevojshme të vendosni kontroll mbi sasinë e kësaj substance dhe përqendrimin e saj në çdo valë të ulët, si dhe me çdo shtim të përzierjes. Si rezultat i një kontrolli të tillë, marrim një ekuacion zgjidhës. Le të shohim detyrat specifike.

Nëse përqendrimi i një substance në një përbërje në masë është P%, atëherë kjo do të thotë se masa e kësaj substance është P% e masës së të gjithë përbërjes.

Shembull. Përqendrimi i argjendit në aliazhin 300 g është 87%. Kjo do të thotë se ka 261 g argjend të pastër në aliazh.

300. 0,87 = 261 (g).

Në këtë shembull, përqendrimi i substancës shprehet në përqindje.

Raporti i vëllimit të një përbërësi të pastër në një tretësirë ​​me të gjithë vëllimin e përzierjes quhet përqendrimi vëllimor i këtij përbërësi.

Shuma e përqendrimeve të të gjithë përbërësve që përbëjnë përzierjen është e barabartë me 1.

Nëse dihet përqindja e një substance, atëherë përqendrimi i saj gjendet duke përdorur formulën:
K = P/100%,
ku K është përqendrimi i substancës;
P është përqindja e substancës (në përqindje).

Shembull. (Opsioni 8 Nr. 22. OGE-2016. Matematikë. Test tipik. detyra_ed. Yashchenko_2016 - 80)

Frutat e freskëta përmbajnë 75% ujë, ndërsa frutat e thata përmbajnë 25%. Sa fruta të freskëta duhen për të përgatitur 45 kg fruta të thata?

Nëse frutat e freskëta përmbajnë 75% ujë, atëherë lënda e thatë do të jetë 100 - 75 = 25 (%), dhe frutat e thata do të përmbajnë 25%, atëherë lënda e thatë do të jetë 100 - 25 = 75 (%).

Kur formuloni një zgjidhje për një problem, mund të përdorni tabelën:

Fruta të freskëta x 25% = 0,25 0,25. X

Frutat e thata 45 75% = 0,75 0,75. 45 = 33,75

Sepse masa e lëndës së thatë për frutat e freskëta dhe të thata nuk ndryshon, marrim ekuacionin:

0.25. x = 33,75;
x = 33,75: 0,25;
x = 135 (kg) - nevojiten fruta të freskëta.

Përgjigje: 135 kg.

Shembull. (Opsioni 8 Nr. 11. Provim i Unifikuar Shtetëror-2016. Matematikë. Test tipik. ed. Yashchenko 2016 -56s)

Nga përzierja e tretësirave të acidit 70% dhe 60% dhe duke shtuar 2 kg ujë të pastër, përftuam një tretësirë ​​acidi 50%. Nëse në vend të 2 kg ujë shtoni 2 kg tretësirë ​​90% të të njëjtit acid, do të merrnim një tretësirë ​​acidi 70%. Sa kilogramë tretësirë ​​70% janë përdorur për të marrë përzierjen?

Pesha totale, kg | Përqendrimi i lëndës së thatë | Pesha e thatë
I x 70% = 0,7 0,7. X
II për 60% = 0,6 0,6. në
ujë 2 - -
I + II + ujë x + y + 2 50% = 0,5 0,5. (x + y + 2)
III 2 90% = 0,9 0,9. 2 = 1,8
I + II + III x + y + 2 70% = 0,7 0,7. (x + y + 2)

Duke përdorur kolonën e fundit nga tabela, ne krijojmë 2 ekuacione:

0.7. x + 0,6. y = 0,5. (x + y + 2) dhe 0.7. x + 0,6. y + 1,8 = 0,7. (x + y + 2).

Duke i kombinuar në një sistem dhe duke e zgjidhur atë, marrim se x = 3 kg.

Përgjigje: Për të marrë përzierjen janë përdorur 3 kilogramë tretësirë ​​70%.

Shembull. (Opsioni 2 Nr. 11. Provimi i Unifikuar Shtetëror-2016. Matematikë. Testi tipik. red. Yashchenko 2016 -56s)

Tre kilogramë qershi kushtojnë sa pesë kilogramë qershi dhe tre kilogramë qershi kushtojnë sa dy kilogramë luleshtrydhe. Sa përqind është një kilogram luleshtrydhe më e lirë se një kilogram qershi?

Nga fjalia e parë e problemit marrim barazitë e mëposhtme:

3h = 5v,
3v = 2k.
Nga të cilat mund të shprehim: h = 5v/3, k = 3v/2.

Në këtë mënyrë ju mund të krijoni një proporcion:
5v/3 - 100%
3v/2 - x%, marrim x = (3.100.v.3)/(2.5.v), x = 90% është kostoja e një kilogrami luleshtrydhe nga kostoja e një kilogrami qershi.

Kjo do të thotë se 100 - 90 = 10 (%) - një kilogram luleshtrydhe është më e lirë se një kilogram qershi.

Përgjigje: një kilogram luleshtrydhe është 10 për qind më lirë se një kilogram qershi.

Zgjidhja e problemeve që përfshijnë interesin "të përbërë", duke përdorur konceptin e një faktori rritje (ulje).

Për të rritur numrin pozitiv A me p përqind, duhet të shumëzoni numrin A me faktorin e rritjes K = (1 + 0.01p).

Për të reduktuar një numër pozitiv A me p përqind, duhet të shumëzoni numrin A me faktorin e reduktimit K = (1 - 0,01p).

Shembull. (Opsioni 29 Nr. 22. OGE-2015. Matematikë. Opsionet tipike të provimit: 36 opsione / redaktuar nga Yashchenko, 2015 - 224s)

Çmimi i produktit u ul dy herë me të njëjtën përqindje. Me çfarë përqindje u ul çmimi i produktit çdo herë nëse kostoja e tij fillestare ishte 5,000 rubla dhe kostoja përfundimtare ishte 4,050 rubla?

1 mënyrë.

Sepse çmimi i produktit u ul me të njëjtin numër %, le të shënojmë numrin e % si x. Le të ulet çmimi i produktit me x% për herë të parë dhe të dytë, pastaj pas uljes së parë çmimi i produktit u bë (100 - x)%.

Le të bëjmë një proporcion
5000 rubla. - 100%
në rubla - (100 - x)%, marrim y = 5000. (100 - x) / 100 = 50. (100 - x) rubla - kostoja e mallrave pas uljes së parë.

Le të krijojmë një proporcion të ri me një çmim të ri:
50 . (100 - x) fshij. - 100%
z fshij. - (100 - x)%, marrim z = 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0,5. (100 - x) 2 rubla - kostoja e mallrave pas uljes së dytë.

Marrim ekuacionin 0.5. (100 - x)2 = 4050. Pasi e kemi zgjidhur, gjejmë se x = 10%.

Metoda 2.

Sepse çmimi i produktit u ul me të njëjtin numër %, le të shënojmë numrin e % si x, x % = 0,01 x.

Duke përdorur konceptin e faktorit të reduktimit, marrim menjëherë ekuacionin:
5000. (1 - 0,01x) 2 = 4050.

Përgjigje: çmimi i produktit u ul me 10% çdo herë.

Shembull. (Opsioni 30 Nr. 22. OGE-2015. Matematikë. Opsionet tipike të provimit: 36 opsione / redaktuar nga Yashchenko, 2015 - 224s)

Çmimi i mallrave u rrit dy herë me të njëjtën përqindje. Me çfarë përqindje u rrit çmimi i produktit çdo herë nëse kostoja e tij fillestare ishte 3,000 rubla dhe kostoja përfundimtare ishte 3,630 rubla?

Sepse çmimi i produktit u rrit me të njëjtin numër%, le të shënojmë numrin% me x, x% = 0,01 x.

Duke përdorur konceptin e faktorit të zmadhimit, marrim menjëherë ekuacionin:
3000. (1 + 0,01x) 2 = 3630.

Pasi e kemi zgjidhur, gjejmë se x = 10%.

Përgjigje: çmimi i produktit u rrit me 10% çdo herë.

Shembull. (Opsioni 4 Nr. 11. Provim i Unifikuar Shtetëror-2016. Matematikë. Test tipik. ed. Yashchenko 2016 -56s)

Të enjten, aksionet e kompanisë u rritën me një numër të caktuar për qind dhe të premten u ulën me të njëjtin numër për qind. Si rezultat, ato filluan të kushtojnë 9% më lirë se në hapjen e tregtimit të enjten. Me sa përqind u rritën në çmim aksionet e kompanisë të enjten?

Le të rriten çmimet e aksioneve të kompanisë dhe të bien me x%, x% = 0,01 x, dhe çmimi fillestar i aksioneve ishte A. Duke përdorur të gjitha kushtet e problemit, marrim ekuacionin:

(1 + 0,01 x) (1 - 0,01 x) A = (1 - 0,09) A,
1 - (0,01 x) 2 = 0,91,
(0,01 x) 2 = (0,3) 2,
0,01 x = 0,3,
x = 30%.

Përgjigje: Aksionet e kompanisë u rritën me 30 për qind të enjten.

Zgjidhja e problemeve “bankare” në versionin e ri të Provimit të Unifikuar të Shtetit 2016 në matematikë.

Shembull. (Opsioni 2 Nr. 17. Provimi i Unifikuar Shtetëror-2016. Matematikë. 50 lloje. versioni ed. Yashchenko 2016)

Më 15 janar është planifikuar të merret një kredi bankare për 15 muaj. Kushtet për kthimin e tij janë si më poshtë:

Dihet se pagesa e tetë arriti në 108 mijë rubla. Sa shumë duhet t'i kthehet bankës gjatë gjithë afatit të kredisë?

Nga data 2 deri në datën 14 pagesa bëhet A/15 +0.01A.

Pas së cilës shuma e borxhit do të jetë 1.01A - A/15 - 0.01A = 14A/15.

Pas 2 muajsh marrim: 1.01. 14A/15.

Pagesa e dytë A/15 + 0.01. 14A/15.

Pastaj borxhi pas pagesës së dytë është 13A/15.

Në mënyrë të ngjashme, ne zbulojmë se pagesa e tetë do të duket si kjo:

A/15 + 0,01. 8A/15 = A/15. (1 + 0,08) = 1,08A/15.

Dhe sipas kushtit, është e barabartë me 108 mijë rubla. Kjo do të thotë që ne mund të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:

1.08A/15 = 108,

A=1500 (mijë rubla) - shuma fillestare e borxhit.

2) Për të gjetur shumën që duhet t'i kthehet bankës gjatë gjithë periudhës së kredisë, duhet të gjejmë shumën e të gjitha pagesave në kredi.

Shuma e të gjitha pagesave të kredisë do të jetë si më poshtë:

(A/15 + 0,01A) + (A/15 + 0,01. 14A/15) + (A/15 + 0,01. 13A/15) + … + (A/15 + 0,01. A /15) = A + 0,01 A/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = A + (0.01. 120A)/15 = 1.08A.

Pra 1.08. 1500 = 1620 (mijë rubla) = 1,620,000 rubla duhet të kthehen në bankë gjatë gjithë afatit të kredisë.

Përgjigje: 1,620,000 rubla.

Shembull. (Opsioni 6 Nr. 17. Provimi i Unifikuar Shtetëror-2016. Matematikë. 50 lloje. versioni ed. Yashchenko 2016)

Më 15 janar është planifikuar të merret një kredi bankare për 24 muaj. Kushtet për kthimin e tij janë si më poshtë:

• Në datën 1 të çdo muaji, borxhi rritet me 1% krahasuar me fundin e muajit të mëparshëm;
• nga data 2 deri në 14 të çdo muaji është e nevojshme të shlyhet një pjesë e borxhit;
• Në datën 15 të çdo muaji, borxhi duhet të jetë po aq më i vogël se ai i datës 15 të muajit paraardhës.

Dihet që në 12 muajt e parë duhet t'i paguani bankës 177.75 mijë rubla. Sa keni ndërmend të huazoni?

1) Le të jetë A shuma e kredisë, 1% = 0.01.

Pastaj 1.01A borxh pas muajit të parë.

Nga data 2 deri në datën 14 pagesa bëhet A/24 +0.01A.

Pas së cilës shuma e borxhit do të jetë 1.01A - A/24 - 0.01A = A - A/24 = 23A/24.

Me këtë skemë borxhi bëhet po aq më pak se borxhi i datës 15 të muajit paraardhës.

Pas 2 muajsh marrim: 1.01. 23A/24.

Pagesa e dytë A/24 + 0.01. 23A/24.

Atëherë borxhi pas pagesës së dytë është 1.01. 23A/24 - A/24 - 0,01. 23A/24 = 23A/24(1.01 - 0.01) - A/24 = 23A/24 - A/24 = 22A/24.

Kështu, marrim se për 12 muajt e parë ju duhet t'i paguani bankës shumën e mëposhtme:
A/24 +0,01A. 24/24 + A/24 + 0,01. 23A/24 + A/24 + 0,01. 22A/24 + … + A/24 + 0.01. 13A/24 =12A/24 + 0.01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200.

Dhe sipas kushtit, është e barabartë me 177.375 mijë rubla. Kjo do të thotë që ne mund të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:
711A/1200 = 177,75,
A = 300 (mijë rubla) = 300,000 rubla - është planifikuar të merret me kredi.

Përgjigje: 300,000 rubla.

“Interesi i thjeshtë dhe i përbërë»

Rëndësia e temës.

Të kuptuarit e interesit dhe aftësisë për të bërë llogaritjet e interesit janë aktualisht të nevojshme për çdo person: rëndësia e aplikuar e kësaj teme është shumë e madhe dhe ndikon në aspektet financiare, demografike, mjedisore, sociologjike dhe të tjera të jetës sonë.

Materiali është i rëndësishëm për të gjithë ata që janë në klasën e 11-të këtë vit.

Kur Yashchenko, i cili është i përfshirë drejtpërdrejt në përpilimin e CIM-ve në matematikë, erdhi në seminarin tonë në tetor, ai tha që të gjitha prototipet e detyrës 19 do të postoheshin në një kavanoz të hapur, pasi detyra ishte e re.

Detyra po zgjidhet për klasën time jo shumë të fortë dhe do të ishte e mundur të stërvitesha për të.

Pak teori...

"Interesi".

Ushtrimi 1

a) Si quhet interesi? (Një përqindje është një e qindta e një numri.)

b) Sa tregohet 1%? ( 1%? = 0,01 )

c) Si quhet 1% e njëqindpeshës? ( kg. ) Metër? (shih) Hektar? (ar ose e qindta)

d) Si quhet 1% për qind e një numri të dhënë a? (Përqindja e një numri të dhënë a është numri 0,01 a, d.m.th. 1% (a) = 0,01*a)

e) Si të përcaktohet p% e një numri të dhënë a? (gjeni numrin 0,01 p a, d.m.th.р% = 0,01*р*а)

f) Si të konvertohet një thyesë dhjetore në përqindje? ( shumëzo me 100 ). Po në lidhje me përqindjet në dhjetore? (pjesëtoje me njëqind, d.m.th. shumëzohet me 0.01)

g) Si të gjejmë përqindjen e një numri? (Për të gjetur një pjesë në nga numri x si përqindje, duhet ta ndani këtë pjesë me numrin dhe ta shumëzoni me 100, d.m.th. a(%)=(w/x)*100)

e) Si gjendet një numër sipas përqindjes së tij?(Nëse dihet se a% e x është e barabartë me b, atëherë x mund të gjendet duke përdorur formulën x = (v/a)*100)

Detyra 2

Paraqisni këto thyesa dhjetore si përqindje:

A)1; 0,5; 0,763; 1.7; 256.

b) Shprehni përqindjet me thyesa dhjetore: 2%; 12%; 12.5%; 0,1%; 200%.

Detyra 3

Gjeni përqindjen e numrit:

c) 0,1% e numrit 1200?(1,2)

d) 15% e numrit 2? (0.30)

Detyra 4

Gjeni një numër sipas përqindjes së tij:

e) Sa centera peshon një qese me sheqer të grimcuar nëse 13% është 6,5 kg?(50 kg. = 0,5 c.)

c) Sa përqind e 10 është 9?

Përgjigjet: a) 9%, b) 0,09%, c) 90%; d) 900%?

Interesi i thjeshtë dhe i përbërë.

Këto terma gjenden më shpesh në banka, në detyra financiare.

Bankat tërheqin fonde (depozita) me norma të caktuara interesi. Në varësi të normës së interesit, llogariten të ardhurat.

Në praktikë, përdoren dy qasje për vlerësimin e të ardhurave nga interesi - interesi i thjeshtë dhe i përbërë.

Kur aplikoni interes të thjeshtë, të ardhurat llogariten nga shuma fillestare e fondeve të investuara, pavarësisht nga periudha e investimit. Në transaksionet financiare, interesi i thjeshtë përdoret kryesisht për transaksionet financiare afatshkurtra.

Lëreni një sasi të jetë subjekt i ndryshimit gradual. Për më tepër, çdo herë ndryshimi i tij është një numër i caktuar përqindje i vlerës që kishte kjo vlerënë fazën fillestare. Kështu llogariteninteres i thjeshtë.

Kur aplikoni interes të përbërë, shuma e akumuluar e interesit i shtohet depozitës në fund të periudhës së ardhshme të akruacionit. Për më tepër, çdo herë ndryshimi i tij është një numër i caktuar përqindje i vlerës që kishte kjo vlerënë fazën e mëparshme. Në këtë rast kemi të bëjmë me “interesi i përbërë" (d.m.th., përdoren llogaritjet e "interesit të interesit")

Shuma fillestare dhe interesi i marrë së bashku quhen shuma e akumuluar (akumuluar).

Pra, nëse norma bankare është 10%, dhe shuma fillestare është 100 rubla, atëherë shuma e akumuluar gjatë pesë viteve, duke përdorur interesin e thjeshtë dhe të përbërë, do të duket si:

Tabela 1. Shuma e akumuluar duke përdorur interesin e thjeshtë dhe të përbërë.

Formulat për interesin e thjeshtë dhe të përbërë.

I. Le të rritet një vlerë e caktuar A n herë (n vit) dhe çdo herë me p%.

Ne prezantojmë shënimin: A 0 – vlera fillestare e sasisë A;

R – shuma konstante e interesit;

a norma e interesit; a=р/100 = 0,01*р

Një n – shuma e akumuluar për n herë (në fund të vitit të nëntë) - sipas formulës së thjeshtë të interesit;

S n - shuma e akumuluar për n herë (në fund të vitit të nëntë) - sipas formulës së interesit të përbërë.

Pastaj vlera e tij A 1 për interesin e thjeshtë pas rritjes së parë (në fund të vitit të parë) llogaritet me formulën: A 1 = A 0 + A 0 * (0,01p) = A 0 (1 + (0,01p) = A 0 (1 + p)

Në fund të fazës së dytë A 2 = A 1 + A 0 * (0.01r) = A 0 (1 + a) + A 0 * a = A 0 (1 + 2 a).

Në fund të fazës së tretë A 3 = A 2 + A 0 * (0.01r) = A 0 (1 + 2 a) + A 0 * a = A 0 (1 + 3 a).

Atëherë për interes të thjeshtë shuma ndër vite është e barabartë me:

A n = A 0 (1 + 0,01р*n) ose A n = A 0 (1 + ?* n) (1)

Për interesin e përbërë duket ndryshe:

Lëreni një sasi S 0 rritet n herë (n vit) dhe çdo herë me p%.

Pastaj kuptimi i saj S 1 për interesin e përbërë pas rritjes së parë (deri në fund të vitit të parë) llogaritet duke përdorur formulën:

S1 = S0 + S0 (0.01r) = S0 * (1 + 0.01r) = S0 * (1 + ?).

Në fund të fazës së dytë S 2 = S 1 + S 1 (0,01р) = S 1 * (1 + 0,01р) = S 0 (1 + ????р) 2 = S 0 (1 + ?) 2.

Në fund të fazës së tretë S 3 = S 2 + S 2 (0,01r) = S 2 * (1 +0,01r) = S 0 (1 +0,01r) 2 *(1 +0,01r)=S 0 (1 +0, 01р) 3 = S 0 (1 + a) 3.

Atëherë për interesin e përbërë shuma ndër vite është e barabartë me:

S n = S 0 (1 + 0,01р) n ose S n = S 0 (1 + a ) n (2)

Shembulli 1.

Banka ka hapur një depozitë me afat në shumën prej 50 mijë rubla. 12% për 3 vjet. Llogaritni shumën e akumuluar nëse interesi:

a) e thjeshtë; b) komplekse.

Zgjidhja 1.

Duke përdorur formulën e thjeshtë të interesit

Sn=(1+3*0.12)*50,000 = 68,000 fshij. (rez. 68,000 rubla.)

Duke përdorur formulën e thjeshtë të interesit

Sn=(1+0.12) 3 *50,000 = 70,246 rubla. (res. 70246 fshij.)

Formula e interesit të përbërë lidh katër sasi: depozitën fillestare, shumën e akumuluar (vlera e ardhshme e depozitës), normën vjetore të interesit dhe kohën në vite. Prandaj, duke ditur tre sasi, gjithmonë mund të gjeni të katërtën:

S n = S 0 * (1+0,01р) n

Për të përcaktuar numrin e përqindjes p është e nevojshme:

р = 100 * ((S n / S 0 ) 1/n – 1) (2.1)

Operacioni i gjetjes së depozitës fillestare S 0 , nëse dihet se në n vjet duhet të jetë shuma S n , quhet zbritje:

S 0 = S n * (1 + 0,01р) –n (2,2)

Sa vite është kontributi S 0 duhet të qëndrojë në bankë me p% në vit për të arritur vlerën S n.

n = (lnS n – lnS 0 ) / (ln(1 + 0,01р) (2,3)

Në praktikën bankare, interesi mund të grumbullohet më shumë se një herë në vit. Në këtë rast, norma bankare zakonisht përcaktohet në terma vjetorë. Formula e interesit të përbërë do të duket si kjo:

S n = (1 + ?/t) n t S 0 (3)

ku t është numri i riinvestimeve të interesit në vit.

Shembulli 2.

Banka ka hapur një depozitë me afat në shumën prej 50 mijë rubla. 12% për 3 vjet. Llogaritni shumën e përllogaritur nëse interesi llogaritet çdo tremujor.

Zgjidhja 2.

n=3

t = 4 (në vit - 4 tremujorë)

Duke përdorur formulën e interesit të përbërë

S 3 = (1+0,12/4) 3*4 *50000 = 1,03 12 *50000 = 71288 fshij. Reps. 71,288 rubla

Siç vijon nga shembujt 1 dhe 2, shuma e akumuluar do të rritet më shpejt, aq më shpesh rritet interesi.

Le të paraqesim një përgjithësim të formulës (2), kur rritja e vlerës së S në çdo fazë është e ndryshme. Le të O , vlera fillestare e S, në fund të fazës së parë përjeton një ndryshim me p 1 %, në fund të së dytës në f 2 %, dhe në fund të fazës së tretë në f 3 % etj. Në fund të fazës së n-të, vlera e S përcaktohet nga formula

S n = S 0 (1 + 0,01р 1 )(1 + 0,01р 2 )...(1 + 0,01р n ) (4)

Shembulli 3.

Baza tregtare bleu një grup mallrash nga prodhuesi dhe e dorëzoi në dyqan me një çmim me shumicë, që është 30% më i lartë se çmimi i prodhuesit. Dyqani vendosi çmimin me pakicë për produktin 20% më të lartë se çmimi i shitjes me shumicë. Gjatë shitjes, dyqani e uli këtë çmim me 10%. Sa rubla më shumë ka paguar blerësi në krahasim me çmimin e prodhuesit nëse ka blerë një artikull në një shitje për 140 rubla? 40 kopekë

Zgjidhja 3.

Le të jetë çmimi fillestar S rub., atëherë sipas formulës (4) kemi:

S 0 (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)***(1 – 0,01*10) = 140,4

S 0 *1,3*1,2*0,9 = S 0 *1,404 = 140,4

S 0 = 140.4: 1.404 = 100 (fshij.)

Gjeni ndryshimin midis çmimeve të fundit dhe atyre fillestare

140,4 – 100 = 40,4 Përgjigje. 40.4 fshij.

Shembuj të problemeve me zgjidhje

opsioni 1

Detyra 1. Pronari i pompës e ka rritur çmimin e benzinës me 10%. Duke parë se numri i klientëve kishte rënë ndjeshëm, ai uli çmimin me 10%. Si ndryshoi çmimi fillestar i benzinës pas kësaj? (rritur apo ulur dhe me sa %?)

Zgjidhje: Le të jetë S 0 - çmimi fillestar, S 2 – çmimi përfundimtar, x – numri i kërkuar i ndryshimit në përqindje, ku x = (1 - S 2 /S 0 )*100% (*)

Pastaj sipas formulës S n = S 0 (1 + 0,01р 1 )(1 + 0,01р 2 )***(1 + 0,01р n ) (4), marrim

S 2 = S 0 (1 + 0,01*10 )(1 - 0,01*10) = S 0 *1,1*0,9 = 0,99*S 0.

S 2 = 0,99 * S 0; 0,99 = 99%, vlera S 2 është 99% e kostos origjinale, që do të thotë 100% më e ulët - 99% = 1%.

Ose duke përdorur formulën (*) marrim: x = (1 – 0,99).)*100% = 1%.

Përgjigje: ulur me 1%.

Detyra 2. Gjatë vitit, ndërmarrja rriti prodhimin e saj dy herë me të njëjtën përqindje. Gjeni këtë numër nëse dihet se në fillim të vitit kompania prodhonte 600 produkte në muaj, dhe në fund të vitit filloi të prodhonte 726 produkte në muaj.

Zgjidhje: Le të jetë S 0 - çmimi fillestar, S 2 – çmimi përfundimtar, p – shuma konstante e interesit.

Sipas formulës (2.1) marrim: р = 100 * ((726/ 600 ) 1/2 – 1) = 10%.

Përgjigje: 10%

Detyra 3. Çmimi i pajisjeve kompjuterike u rrit me 44%. Pas kësaj, si rezultat i dy uljeve të njëpasnjëshme të përqindjes identike, çmimi i kompjuterëve ishte 19% më i ulët se çmimi fillestar. Me sa përqind e ulnin çmimin çdo herë?

Zgjidhja: Duke përdorur formulën (4), hartojmë ekuacionin

S 3 = S 0 (1 + 0,01*44)(1 - 0,01r)(1 - 0,01r) = S0 *1,44*(1 - 0,01r) 2 = S0 * (1-0,01*19). Duke zgjidhur ekuacionin, marrim 2 rrënjë: 175 dhe 25, ku 175 nuk i përshtatet kushteve të problemit. Prandaj p = 25%.

Përgjigje: 25%

Detyra 4. Për të përcaktuar regjimin optimal të rritjes së çmimeve, kompania vendosi që duke filluar nga 1 janari të rrisë çmimin e të njëjtit produkt në dy dyqane në dy mënyra. Në një dyqan - në fillim të çdo muaji (duke filluar në shkurt) me 2%, në një tjetër - çdo dy muaj, në fillim të të tretit (duke filluar në mars) me të njëjtin numër përqindjeje, dhe ashtu që pas gjashtë muajsh (1 korrik) çmimet u bënë sërish të njëjta. Me sa për qind duhet të rritet çmimi i produktit çdo dy muaj në dyqanin e dytë?

Zgjidhje: Le të jetë S 0 - çmimi fillestar,p – përqindje konstante.

Pastaj pas 6 muajsh (pas gjashtë rritjeve me 2%) në dyqanin e parë çmimi i produktit do të jetë i barabartë me S 0 (1 + 0,01*2) 6 , dhe në dyqanin e dytë (pas tre rritjesh me p%), çmimi i produktit do të jetë i barabartë me S 0 (1 + 0,01r) 3 . Marrim ekuacionin S 0 (1 + 0,01*2) 6 = S 0 (1 + 0,01р) 3 . Duke e zgjidhur atë, ne marrim

(1 + 0.01*2) 2 = (1 + 0.01r); 1,02 2 = (1 + 0,01r); p = 4,04

Përgjigje: 4.04%

Opsioni 2.

Detyra 1. Një makinë po lëvizte përgjatë një autostrade me një shpejtësi të caktuar. Duke hyrë në një rrugë fshati, ai uli shpejtësinë me 20%, dhe më pas në një pjesë të pjerrët përpjetë, ai uli shpejtësinë me 30%. Sa përqind është kjo shpejtësi e re më e ulët se origjinali?

Zgjidhje: Le të jetë V 0 - shpejtësia e nisjes,V është shpejtësia e re që fitohet pas dy ndryshimeve të ndryshme, p është përqindja e kërkuar.

Më pas, duke përdorur formulën (4), përpilojmë ekuacionin V 0 (1 - 0,01*20)(1 - 0,01*30) = V 0 (1 - 0.01r). Duke e zgjidhur atë marrim V 0 *0.8*0.7 = V 0 (1 - 0.01r); p = 44

Përgjigje: 44%

Detyra 2. Le të supozojmë se në temperaturën e dhomës uji avullon me 3% në ditë. Sa litra ujë do të mbeten pas 2 ditësh nga 100 litra? Sa ujë do të avullojë?

Zgjidhje: n=2; p=3%; S 0 = 100 l. Pastaj, sipas formulës (2), marrim

S 2 = S 0 (1 - 0.01p) 2 = 100*(1-0.01*3) 2 = 100*0.97 2 = 94.09; S 0 – S 2 = 100 - 94,09 = 5,91

Përgjigje: 94.09l.; 5,91l.

Detyra 3. Depozita e vendosur në bankë 2 vjet më parë arriti në 11,449 rubla. Cili ishte kontributi fillestar me 7% në vit? Cili është fitimi?

Zgjidhje: n=2; p=7%; S2 = 11449; S0 = ?

Në formulën (2.2) S 0 = S n * (1 + 0.01р) –n ne i zëvendësojmë këto vlera, marrim:

S 0 = 11449* (1 + 0,01*7) –2 = 11449/ (1,07) 2 =11449/ 1,1449 = 10000.

11449 – 10000 = 1449

Përgjigje: 10,000 rubla; 1449 fshij.

Detyra 4. Sberkassa grumbullon çdo vit 3% të shumës së depozitës. Për sa vite do të dyfishohet shuma?

Zgjidhje: p=3%; S 0 – shuma fillestare; n=?

Le të bëjmë një ekuacion: 2*S 0 = S 0 (1 + 0,01р) n ; 2*S 0 = S 0 (1 + 0.03) n; 2 = 1,03 n n=log 1,03 2; n ?23.

Punë e pavarur

niveli 1. Pas rindërtimit, uzina rriti prodhimin me 10%, dhe pas zëvendësimit të pajisjeve me 30%. Me sa përqind u rrit prodhimi fillestar?

(Përgjigje: 43%)

niveli i 2-të. Numri 50 u rrit tre herë me të njëjtin numër për qind, dhe më pas u ul me të njëjtin numër për qind. Rezultati ishte 69.12. Me sa përqind e keni rritur dhe më pas e keni ulur këtë numër?

(Përgjigje: 20%)

niveli i 3-të. Banka ngarkon çdo vit 7% të shumës së depozitës. Gjeni numrin më të vogël të viteve gjatë të cilave investimi rritet me më shumë se 20%.

(Përgjigje: 3 vjet)

nr 1. Banka e kursimeve grumbullon 5.5% në vit nga depozitat çdo vit. Depozituesi depozitoi 150 mijë rubla në bankë. Sa do të jetë shuma e depozitës pas 2 vitesh?

(Përgjigje: 166,953,75 RUB)

nr 3. Banka ofron dy mundësi depozitash

1) në 120% me interes të përllogaritur në fund të vitit;

2) në masën 100% me interes të përllogaritur në fund të çdo tremujori.

Përcaktoni një opsion më fitimprurës për vendosjen e depozitave për një vit.

Zgjidhje.

Opsioni më fitimprurës konsiderohet të jetë ai në të cilin shuma e rritur gjatë vitit do të jetë më e madhe. Për të vlerësuar opsionet, ne do të marrim shumën fillestare të barabartë me 100 rubla.

Sipas opsionit të parë, shuma e akumuluar do të jetë e barabartë me (1+1.2)*100 rubla. = 220 fshij.

Sipas opsionit të dytë, interesi përllogaritet çdo tremujor. Në fund të tremujorit të parë, shuma e akumuluar është (1+1.0/4)*100 rubla. = 125 fshij.

Në fund të tremujorit të dytë (1+1.0/4) 2 * 100 fshij. = 156 fshij.

Shuma e akumuluar për vitin është (1+1.0/4) 4 * 100 fshij. = 244 fshij.

Siç vijon nga llogaritjet, opsioni i dytë është shumë më fitimprurës (244 > 220). E vërtetë, vetëm nëse përdoret interesi i përbërë.

Një përzgjedhje prototipash për detyrën nr.19 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë 2015 në nivel profili.

19. Më 31 dhjetor 2012, Ekaterina mori 850,000 rubla me kredi nga banka me 15% në vit. Skema e shlyerjes së kredisë është si më poshtë: në 31 dhjetor të çdo viti të ardhshëm, banka ngarkon interes për shumën e mbetur të borxhit (d.m.th., rrit borxhin me 15%), më pas Ekaterina transferon një shumë të caktuar të pagesës vjetore. në bankë. Sa duhet të jetë shuma e pagesës vjetore që Katerina të shlyejë borxhin në tre pagesa të barabarta vjetore?

19. Një bankë i jep një familje të re një kredi me 20% në vit për të blerë një apartament.

Skema e shlyerjes së kredisë është si më poshtë: saktësisht një vit pas lëshimit të kredisë nga banka

ngarkon interesin për shumën e mbetur të borxhit (d.m.th., rrit borxhin me 20%),

atëherë kjo familje transferon një shumë të caktuar në bankë gjatë vitit të ardhshëm

shuma vjetore e pagesës (fikse). Familja Ivanov planifikon të paguajë

kredi me pagesa të barabarta mbi 4 vjet. Sa para mund t'u japë?

bankë, nëse Ivanovët janë në gjendje të paguajnë kredinë 810,000 në vit

rubla?

19. Një balonë 8 litra përmban një përzierje azoti dhe oksigjeni që përmban 32% oksigjen. Një sasi e caktuar e përzierjes u lirua nga balona dhe u shtua e njëjta sasi azoti; pastaj ata lëshuan përsëri të njëjtën sasi të përzierjes së re si herën e parë dhe shtuan të njëjtën sasi azoti. Si rezultat, përqindja e oksigjenit në përzierje ishte 12.5%. Sa litra përzierje lëshoheshin çdo herë?

19. Në bankë është bërë një depozitë me një interes bankar prej 10%. Një vit më vonë, pronari i depozitës tërhoqi 2000 rubla nga llogaria, dhe një vit më vonë depozitoi përsëri 2000 rubla. Megjithatë, si rezultat i këtyre veprimeve, tre vjet pas investimit fillestar të depozitës, ai mori një shumë më të vogël se sa ishte planifikuar (nëse nuk do të kishte transaksione të ndërmjetme me depozitën). Sa rubla më pak se shuma e planifikuar mori investitori në fund?

19. Në ditën e parë të punës të muajit, një numër traktorësh dolën nga linja e montimit të fabrikës. Çdo ditë pune pasuese, prodhimi i tyre rritej me 3 traktorë në ditë dhe plani mujor prej 55 traktorëve plotësohej para afatit dhe në një numër të plotë ditësh. Pas kësaj prodhoheshin 11 traktorë çdo ditë. Përcaktoni sa traktorë janë prodhuar në ditën e parë të punës dhe me çfarë përqindje është tejkaluar plani mujor, nëse dihet se ka pasur 26 ditë pune në muaj dhe puna e planifikuar ka zgjatur jo më pak se 3 dhe jo më shumë se 10. ditë.

19. Më 8 mars, Lenya Golubkov mori 53,680 rubla nga banka me kredi për 4 vjet me 20% në vit për t'i blerë gruas së tij Rita një pallto të re leshi. Skema e shlyerjes së kredisë është si më poshtë: në mëngjesin e datës 8 mars të vitit të ardhshëm, banka ngarkon interes për shumën e mbetur të borxhit (d.m.th., rrit borxhin me 20%), dhe në mbrëmjen e së njëjtës ditë Lenya transferon një shumë të caktuar të pagesës vjetore në bankë (kjo shumë është e njëjtë për të katër vitet). Sa shumë që tejkalon 53,680 rubla të huazuara do t'i duhet Lenya Golubkov t'i paguajë bankës gjatë këtyre katër viteve?

19. Semyon Kuznetsov planifikoi të investonte të gjitha kursimet e tij në një llogari kursimi në bankën Navroda me 500%, duke pritur që të merrte A rubla në një vit. Sidoqoftë, kolapsi i Bankës Navrode ndryshoi planet e tij, duke parandaluar një akt të nxituar. Si rezultat, z. Kuznetsov vendosi një pjesë të parave në bankën e parë komunale, dhe pjesën tjetër në një kavanoz makaronash. Një vit më vonë, First Municipal rriti përqindjen e pagesës me dy herë e gjysmë dhe z. Kuznetsov vendosi të linte depozitën për një vit tjetër. Si rezultat, shuma e marrë në Bashkinë e Parë ishteDhe rubla. Përcaktoni se çfarë interesi grumbulloi Banka e Parë Komunale për vitin e parë nëse Semyon "investon" në një kanaçe me makarona Dhe rubla.

19. Banka planifikon të investojë 30% të fondeve të klientëve të saj në aksione të një fabrike të nxjerrjes së arit për 1 vit, dhe 70% të mbetur në ndërtimin e një kompleksi tregtar. Në varësi të rrethanave, projekti i parë mund t'i sjellë bankës një fitim prej 32% në 37% në vit, dhe projekti i dytë - nga 22% në 27% në vit. Në fund të vitit, banka është e detyruar t'u kthejë paratë klientëve dhe t'u paguajë interes me një normë të paracaktuar, niveli i të cilit duhet të variojë nga 10% deri në 20% në vit. Përcaktoni se cili është fitimi neto më i vogël dhe më i madh në përqindje në vit nga totali i investimeve në blerjen e aksioneve dhe ndërtimin e një kompleksi tregtar që mund të marrë banka.

“Një mësues i mirë duhet të kuptojë se asnjë detyrë nuk mund të shterohet deri në fund. Ai duhet ta rrënjos këtë pikëpamje te studentët e tij.”
D. Polya.

Prezantimi.

Vëmendje të veçantë i kushtoj problematikës me fjalë që përfshijnë përqindje, të cilat shpesh gjenden në praktikën e provimeve pranuese në universitetet ekonomike, por që nuk merren parasysh plotësisht në shkollë. Aftësia për të kryer llogaritjet e përqindjes është sigurisht një nga kompetencat matematikore më të nevojshme. Megjithatë, nuk janë vetëm ata që kanë mbaruar shkollën prej kohësh që janë të ndrojtur në pamjen e interesit. Edhe në Provimin e Unifikuar të Shtetit, zgjidhshmëria e problemeve që përfshijnë përqindje nuk i kalon 20%. Kjo sugjeron që ky lloj problemi duhet të zgjidhet jo vetëm në klasat e ulëta, ku studiohet kjo temë, por gjatë gjithë viteve të shkollës.

1. Gjatë zgjidhjes së problemeve që përfshijnë përqindje, përdoren formulat themelore të mëposhtme:

1% e a është e barabartë me a.

p% e numrit a është e barabartë me a.

Nëse dihet se një numër i caktuar a është p% e x, atëherë x mund të gjendet nga proporcioni

A− р%

X − 100%,

prej nga x=a.

Le të jenë numrat a, b dhe a

Numri b është 100% më i madh se numri a.

Numri a është 100% më i vogël se numri b.

2. Formula e interesit të përbërë.

Nëse depozita përmban një shumë të njësisë monetare, banka tarifon p% në vit, atëherë pas n vitesh shuma në depozitë do të jetë

a njësi monetare

3. Problemet që përfshijnë përqindjet.

Detyra 1.

Ka 45% më pak njerëz të zgjuar se sa njerëz të bukur 36% e njerëzve të zgjuar kanë një pamje të bukur. Sa është përqindja e njerëzve të zgjuar mes njerëzve të bukur?

Zgjidhja: Le të jetë x numri i njerëzve të bukur, pastaj numri i njerëzve të zgjuar:

x − 0,45x = 0,55x.

Ndër njerëzit e zgjuar, 36% janë njerëz të bukur, pra, numri i njerëzve të zgjuar dhe në të njëjtën kohë të bukur:

0,36 · 0,55x= 0,198x.

Le të bëjmë një proporcion:

Nga këtu marrim:

Përgjigje: 19,8%

Nxënësit janë të interesuar të zgjidhin problema me fjalë që përfshijnë përqindje që janë më afër jetës reale. Një "argëtim" i veçantë është prezantimi i problemeve jo nga një libër me probleme, por drejtpërdrejt nga një faqe gazete. Këtu nuk ka mendime për padobishmërinë e matematikës. Dhe "gazetaria e interesit" fjalë për fjalë po lulëzon në faqet e gazetave në lidhje me shpërthimin e krizës ekonomike.

Detyra 2.

Çmimet për turne janë rritur tashmë: për shembull, turne në Francë - me 20%. A mund të thuhet se sa për qind më herët ishte më i lirë një turne në Francë?

Zgjidhja: le të jetë x çmimi i vjetër dhe n çmimi i ri.

1) Le të bëjmë proporcionin e parë:

Marrim n=1.2x.

2) Le të bëjmë proporcionin e dytë:

x − (100-a%)

(100-a) 1.2x = 100x

Pasi kemi zgjidhur ekuacionin, marrim: a ≈17%.

Përgjigje: 17%.

4. Duke përdorur formulën e interesit të përbërë.

Detyra 3.

10 mijë rubla u depozituan në llogarinë bankare. Pasi paratë kishin qëndruar për një vit, 1 mijë rubla u tërhoqën nga llogaria. Një vit më vonë, kishte 11 mijë rubla në llogari. Përcaktoni se çfarë përqindje në vit ngarkon banka.

Zgjidhja: Lëreni bankën të paguajë p% në vit.

1) Shuma prej 10,000 rubla e depozituar në një llogari bankare në p% në vit do të rritet në një vit në shumën

2) Kur tërhiqen 1000 rubla nga llogaria, ajo do të mbetet atje 9000 + 100 rubla fshij.

3) Në një vit tjetër, vlera e fundit, për shkak të përllogaritjes së interesit, do të rritet në vlerë

Sipas kushtit, kjo vlerë është e barabartë me 11000:

Duke zgjidhur këtë ekuacion marrim: =10, =−200 - një rrënjë negative nuk është e përshtatshme.

Përgjigje: 10%

Detyra 4. (Provimi i Unifikuar i Shtetit-2015)

Banka pranoi një shumë të caktuar në një përqindje të caktuar. Një vit më vonë, një e katërta e shumës së akumuluar u tërhoq nga llogaria. Por banka rriti normën e interesit në vit me 40%. Deri në fund të vitit të ardhshëm, shuma e akumuluar 1.44 herë tejkaluar investimin fillestar. Sa është përqindja e re e prillit?

Zgjidhja: Situata nuk do të ndryshojë në varësi të shumës së depozitës. Le ta vendosim në bankë 4 rubla (e ndarë në 4 ). Në një vit, shuma në llogari do të rritet saktësisht p herë dhe do të bëhen të barabartë (4p) rubla

Le ta ndajmë me 4 pjesë, do t'i çojmë në shtëpi (p) rubla, do ta lëmë në bankë (3p) rubla

Dihet se deri në fund të vitit të ardhshëm banka përmbante 4 1,44 = 5,76 rubla Pra numri (3p) shndërruar në numër (5,76) . Sa herë është rritur?

Kështu, është gjetur koeficienti i dytë rritës k kavanoz.

Është interesante se produkti i të dy koeficientëve është i barabartë me 1,92 :

Nga kushti rrjedh se koeficienti i dytë në 0,4 më shumë se i pari.

Pasi të kemi hequr presjet, le të bëjmë një zëvendësim t = 10r:

Nga një ekuacion i tillë është mjaft e lehtë të merret 12.

Pra, p = 1,2, k = 1,6.

Shuma e depozitës u rrit 1.2 herë herën e parë, 1.6 herë herën e dytë.

Ishte 100%, u bë 160%. Përqindja e re në vit është 160%-100% = 60%.

Përgjigje: 60%.

Detyra 5. (Provimi i Unifikuar i Shtetit 2015)

Shuma e depozituar në bankë 3900 mijëra rubla nën 50% në vit. Në fund të secilit prej katër viteve të para të ruajtjes, pas llogaritjes së interesit, depozituesi ka bërë një depozitë shtesë të së njëjtës shumë fikse në llogari. Në fund të vitit të pestë, pas llogaritjes së interesit, rezultoi se

madhësia e depozitës u rrit në krahasim me atë fillestare me 725% .

Çfarë shume i shtoi investitori depozitës çdo vit?

Zgjidhja: Le të shtohen x rubla çdo vit nga depozituesi në depozitë.

50% në vit do të thotë që çdo vit shuma në llogarinë e depozituesit rritet me 1.5 herë. Nëse investitori nuk do të shtonte asgjë në shumën fillestare, atëherë pas një viti do të kishte 3900·1.5 në dy vjet - 3900·1,52 e kështu me radhë.

Le të llogarisim sa të ardhura kanë sjellë të katër shtesat.

x∙1,5 4 + x∙1,5 3 + x∙1,5 2 +x∙1,5

Për ta bërë këtë, le të nxjerrim X jashtë kllapës dhe njehsoni shumën e progresionit gjeometrik në të cilin b = 1,5 Dhe q = 1,5.

Dihet se madhësia e depozitës është rritur në krahasim me atë fillestar 725% .