Ne e dimë që vlerat e kosinusit janë në intervalin [-1; 1], d.m.th. -1 ≤ cos α ≤ 1. Prandaj, nëse |a| > 1, atëherë ekuacioni cos x = a nuk ka rrënjë. Për shembull, ekuacioni cos x = -1.5 nuk ka rrënjë.
Le të shqyrtojmë disa probleme.
Zgjidheni ekuacionin cos x = 1/2.
Zgjidhje.
Kujtojmë se cos x është abshisa e një pike në një rreth me rreze të barabartë me 1, e marrë duke rrotulluar pikën P (1; 0) me një kënd x rreth origjinës.
Abshisa 1/2 është në dy pika të rrethit M 1 dhe M 2. Meqenëse 1/2 = cos π/3, ne mund të marrim pikën M 1 nga pika P (1; 0) duke rrotulluar nga këndi x 1 = π/3, si dhe nga këndet x = π/3 + 2πk, ku k = +/-1, +/-2, …
Pika M 2 fitohet nga pika P (1; 0) duke u rrotulluar me një kënd x 2 = -π/3, si dhe nga këndet -π/3 + 2πk, ku k = +/-1, +/-2 ,...
Pra, të gjitha rrënjët e ekuacionit cos x = 1/2 mund të gjenden duke përdorur formulat
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,
Dy formulat e paraqitura mund të kombinohen në një:
x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.
Zgjidheni ekuacionin cos x = -1/2.
Zgjidhje.
Dy pika të rrethit M 1 dhe M 2 kanë një abshisë të barabartë me – 1/2. Meqenëse -1/2 = cos 2π/3, atëherë këndi x 1 = 2π/3, dhe për rrjedhojë këndi x 2 = -2π/3.
Rrjedhimisht, të gjitha rrënjët e ekuacionit cos x = -1/2 mund të gjenden duke përdorur formulën: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.
Kështu, secili prej ekuacioneve cos x = 1/2 dhe cos x = -1/2 ka grup i pafund rrënjët. Në intervalin 0 ≤ x ≤ π, secili prej këtyre ekuacioneve ka vetëm një rrënjë: x 1 = π/3 është rrënja e ekuacionit cos x = 1/2 dhe x 1 = 2π/3 është rrënja e ekuacionit cos x = -1/2.
Numri π/3 quhet arkozina e numrit 1/2 dhe shkruhet: arccos 1/2 = π/3, kurse numri 2π/3 quhet arkozina e numrit (-1/2) dhe shkruhet. : arccos (-1/2) = 2π/3 .
Në përgjithësi, ekuacioni cos x = a, ku -1 ≤ a ≤ 1, ka vetëm një rrënjë në intervalin 0 ≤ x ≤ π. Nëse a ≥ 0, atëherë rrënja përmbahet në intervalin ; nese nje< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.
Kështu, kosinusi i harkut të numrit a € [-1; 1 ] është një numër a € kosinusi i të cilit është i barabartë me a:
arccos а = α, nëse cos α = а dhe 0 ≤ а ≤ π (1).
Për shembull, arccos √3/2 = π/6, pasi cos π/6 = √3/2 dhe 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, pasi cos 5π/6 = -√3/2 dhe 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
Në të njëjtën mënyrë siç u bë në procesin e zgjidhjes së problemave 1 dhe 2, mund të tregohet se të gjitha rrënjët e ekuacionit cos x = a, ku |a| ≤ 1, shprehur me formulën
x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).
Zgjidheni ekuacionin cos x = -0,75.
Zgjidhje.
Duke përdorur formulën (2) gjejmë x = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.
Vlera e arkos (-0.75) mund të gjendet afërsisht në figurë duke matur këndin duke përdorur një raportor. Vlerat e përafërta të kosinusit të harkut mund të gjenden gjithashtu duke përdorur tabela speciale (tabelat Bradis) ose një mikrollogaritës. Për shembull, vlera e arccos (-0.75) mund të llogaritet në një mikrollogaritës, duke dhënë vlerë e përafërt 2.4188583. Pra, arccos (-0,75) ≈ 2,42. Prandaj, arccos (-0,75) ≈ 139°.
Përgjigje: arccos (-0,75) ≈ 139°.
Zgjidheni ekuacionin (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.
Zgjidhje.
1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.
2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.
Përgjigju. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.
Mund të vërtetohet se për çdo një € [-1; 1] është e drejtë formula arccos(-а) = π – arccos а (3).
Kjo formulë ju lejon të shprehni vlerat e kosinuseve të harkut numra negativ nëpër kosinuset e harkut të numrave pozitivë. Për shembull:
arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;
arccos (-√2/2) = π – arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4
nga formula (2) rrjedh se rrënjët e ekuacionit, cos x = a për a = 0, a = 1 dhe a = -1 mund të gjenden duke përdorur formula më të thjeshta:
cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)
cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)
cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).
faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.
Natën e mirë keni bërë një pyetje shumë interesante: cos x = 3 zgjidhje. Kjo është detyra më e zakonshme. Dhe po, gjithmonë para së gjithash, duke marrë parasysh gjithçka që dini, mund të filloni menjëherë të vendosni. Dhe po, edhe fakti që nuk do të gjeni arccos 3 në tabelë nuk është gjithashtu një pengesë, kështu që unë do t'ju them sekret i tmerrshëm. Funksionet si sin dhe cos nuk mund të barazohen me asnjë numër që është më i madh se një, domethënë është logjike të supozohet se zgjidhjet ekuacioni i dhënë Nr. Duhet ta mbani mend këtë në mënyrë që të mos bëni gabime të trashë në të ardhmen Le të përpiqemi të zgjidhim diçka të ngjashme, por diçka që ka një zgjidhje. Jo si kjo detyrë. Për shembull:
Tani le të shkojmë te zgjidhja për këtë rregull i caktuar zgjidhja e ekuacioneve të ngjashme, e cila duhet të përdoret gjithmonë dhe do të marrë formën e përgjithshme vijuese:
Pasi të jemi marrë me vendim i përgjithshëm, atëherë tani mund të vazhdojmë me zgjidhjen e ekuacionit tuaj:
Ne do ta gjejmë vlerën duke përdorur tabelën. Dhe nga kjo marrim atë 
Meqenëse kemi renditur bazat, tani mund ta zgjidhim plotësisht ekuacionin tuaj.
