Integrale standarde. Integrale të funksioneve eksponenciale dhe funksioneve hiperbolike

Në këtë faqe do të gjeni:

1. Në fakt, tabela e antiderivativëve - mund të shkarkohet në format PDF dhe të printohet;

2. Video se si të përdoret kjo tabelë;

3. Një mori shembujsh të llogaritjes së antiderivativit nga tekste dhe teste të ndryshme.

Në vetë videon, ne do të analizojmë shumë probleme ku duhet të llogaritni antiderivativët e funksioneve, shpesh mjaft komplekse, por më e rëndësishmja, ato nuk janë funksione të fuqisë. Të gjitha funksionet e përmbledhura në tabelën e propozuar më sipër duhet të njihen përmendësh, si derivatet. Pa to, studimi i mëtejshëm i integraleve dhe aplikimi i tyre për zgjidhjen e problemeve praktike është i pamundur.

Sot vazhdojmë të studiojmë antiderivativët dhe kalojmë në pak më shumë temë komplekse. Nëse në herën e fundit Ne konsideruam antiderivatet vetëm nga funksionet e fuqisë dhe ndërtimet pak më komplekse, por sot do të analizojmë trigonometrinë dhe shumë më tepër.

Siç thashë në mësimin e fundit, antiderivativët, ndryshe nga derivatet, nuk zgjidhen kurrë "menjëherë" duke përdorur ndonjë rregull standard. Për më tepër, lajmi i keq është se, ndryshe nga derivati, antiderivativi mund të mos merret parasysh fare. Nëse shkruajmë absolutisht funksion i rastësishëm dhe përpiquni të gjeni derivatin e tij, atëherë kjo është shumë probabilitet të lartë do të kemi sukses, por antiderivati ​​nuk do të llogaritet pothuajse kurrë në këtë rast. Por ka një lajm të mirë: ekziston një klasë mjaft e madhe funksionesh të quajtura funksione elementare, antiderivativët e të cilave llogariten shumë lehtë. Dhe të gjitha strukturat e tjera më komplekse që jepen në të gjitha llojet e testeve, testeve dhe provimeve të pavarura, në fakt, përbëhen nga këto funksione elementare përmes mbledhjes, zbritjes dhe veprimeve të tjera të thjeshta. Prototipet e funksioneve të tilla janë llogaritur dhe përpiluar prej kohësh në tabela të veçanta. Janë këto funksione dhe tabela me të cilat do të punojmë sot.

Por ne do të fillojmë, si gjithmonë, me një përsëritje: le të kujtojmë se çfarë është një antiderivativ, pse ka pafundësisht shumë prej tyre dhe si t'i përkufizojmë ato pamje e përgjithshme. Për ta bërë këtë, unë zgjodha dy probleme të thjeshta.

Zgjidhja e shembujve të thjeshtë

Shembulli #1

Le të vërejmë menjëherë se $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ dhe në përgjithësi prania e $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ menjëherë na lë të kuptohet se antiderivati ​​i kërkuar i funksionit lidhet me trigonometrinë. Dhe, në të vërtetë, nëse shikojmë tabelën, do të zbulojmë se $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nuk është asgjë më shumë se $\text(arctg)x$. Pra, le ta shkruajmë atë:

Për të gjetur, duhet të shkruani sa vijon:

\[\frac(\pi)(6)=\tekst(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\tekst( )) (3)+C\]

Shembulli nr. 2

Edhe këtu po flasim për O funksionet trigonometrike. Nëse shikojmë tabelën, atëherë, në të vërtetë, kjo është ajo që ndodh:

Ne duhet të gjejmë midis të gjithë grupit të antiderivativëve atë që kalon në pikën e treguar:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(6)+C\]

Le ta shkruajmë më në fund:

Është kaq e thjeshtë. Problemi i vetëmështë të numërohen antiderivatet funksione të thjeshta, ju duhet të mësoni tabelën e antiderivativëve. Megjithatë, pas studimit të tabelës së derivateve për ju, mendoj se kjo nuk do të jetë problem.

Zgjidhja e problemeve që përmbajnë një funksion eksponencial

Për të filluar, le të shkruajmë formulat e mëposhtme:

\[((e)^(x))\në ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\në \frac(((a)^(x)))(\n a)\]

Le të shohim se si funksionon e gjithë kjo në praktikë.

Shembulli #1

Nëse shikojmë përmbajtjen e kllapave, do të vërejmë se në tabelën e antiderivativëve nuk ekziston një shprehje e tillë që $((e)^(x))$ të jetë në një katror, ​​kështu që ky katror duhet të zgjerohet. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulat e shkurtuara të shumëzimit:

Le të gjejmë antiderivativin për secilin prej termave:

\[((e)^(2x))=((\majtas(((e)^(2)) \djathtas))^(x))\to \frac(((\majtas((e)^ (2)) \djathtas))^(x)))(\n ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\majtas(((e)^(-2)) \djathtas))^(x))\to \frac(((\majtas((e )^(-2)) \djathtas))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Tani le të mbledhim të gjithë termat në një shprehje të vetme dhe të marrim antiderivativin e përgjithshëm:

Shembulli nr. 2

Këtë herë shkalla është më e madhe, kështu që formula e shkurtuar e shumëzimit do të jetë mjaft komplekse. Pra, le të hapim kllapat:

Tani le të përpiqemi të marrim antiderivatin e formulës sonë nga ky ndërtim:

Siç mund ta shihni, në primitivë funksioni eksponencial nuk ka asgjë të komplikuar apo të mbinatyrshme. Të gjitha ato janë llogaritur përmes tabelave, por studentët e vëmendshëm ndoshta do të vërejnë se antiderivati ​​$((e)^(2x))$ është shumë më afër thjesht $((e)^(x))$ sesa me $((a )^(x))$. Pra, ndoshta ka edhe më shumë rregull i veçantë, e cila lejon, duke ditur antiderivativin $((e)^(x))$, për të gjetur $((e)^(2x))$? Po, një rregull i tillë ekziston. Dhe, për më tepër, është një pjesë integrale e punës me tabelën e antiderivativëve. Tani do ta analizojmë duke përdorur të njëjtat shprehje me të cilat sapo kemi punuar si shembull.

Rregullat për të punuar me tabelën e antiderivativëve

Le të shkruajmë përsëri funksionin tonë:

Në rastin e mëparshëm, ne përdorëm formulën e mëposhtme për të zgjidhur:

\[((a)^(x))\te \frac(((a)^(x)))(\emri i operatorit(lna))\]

Por tani le ta bëjmë pak më ndryshe: le të kujtojmë se mbi çfarë baze $((e)^(x))\në ((e)^(x))$. Siç thashë tashmë, për shkak se derivati ​​$((e)^(x))$ nuk është asgjë më shumë se $((e)^(x))$, prandaj antiderivati ​​i tij do të jetë i barabartë me të njëjtin $((e) ^ (x))$. Por problemi është se ne kemi $((e)^(2x))$ dhe $((e)^(-2x))$. Tani le të përpiqemi të gjejmë derivatin e $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \djathtas))^(\prime ))=(e)^(2x))\cdot ((\ left(2x \djathtas))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Le të rishkruajmë ndërtimin tonë përsëri:

\[((\majtas(((e)^(2x)) \djathtas))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\majtas(\frac(((e)^(2x)))(2) \djathtas))^(\prime ))\]

Kjo do të thotë që kur gjejmë antiderivativin $((e)^(2x))$, marrim sa vijon:

\[((e)^(2x))\në \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Siç mund ta shihni, morëm të njëjtin rezultat si më parë, por nuk përdorëm formulën për të gjetur $((a)^(x))$. Tani kjo mund të duket marrëzi: pse të komplikohen llogaritjet kur ekziston një formulë standarde? Megjithatë, në pak më shumë shprehje komplekse do të shihni se kjo teknikë është shumë efektive, d.m.th. duke përdorur derivate për të gjetur antiderivativë.

Si një ngrohje, le të gjejmë antiderivativin e $((e)^(2x))$ në një mënyrë të ngjashme:

\[((\left(((e)^(-2x)) \djathtas))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \djathtas)\]

\[((e)^(-2x))=((\majtas(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \djathtas))^(\prime ))\]

Gjatë llogaritjes, ndërtimi ynë do të shkruhet si më poshtë:

\[((e)^(-2x))\në -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\në -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Ne morëm saktësisht të njëjtin rezultat, por morëm një rrugë tjetër. Është kjo rrugë, e cila tani na duket pak më e ndërlikuar, që në të ardhmen do të jetë më efektive për llogaritjen e antiderivativëve më kompleksë dhe përdorimin e tabelave.

Kushtojini vëmendje! Kjo është shumë pikë e rëndësishme: antiderivativët, si derivatet, mund të konsiderohen një grup në mënyra të ndryshme. Sidoqoftë, nëse të gjitha llogaritjet dhe llogaritjet janë të barabarta, atëherë përgjigja do të jetë e njëjtë. Ne sapo e pamë këtë me shembullin e $((e)^(-2x))$ - nga njëra anë, ne e llogaritëm këtë antiderivativ "përfundimisht", duke përdorur përkufizimin dhe duke e llogaritur atë duke përdorur transformime, nga ana tjetër, ne kujtuam se $ ((e)^(-2x))$ mund të përfaqësohet si $((\left(((e)^(-2)) \djathtas))^(x))$ dhe vetëm atëherë kemi përdorur antiderivativi për funksionin $( (a)^(x))$. Megjithatë, pas të gjitha transformimeve, rezultati ishte i njëjtë, siç pritej.

Dhe tani që i kuptojmë të gjitha këto, është koha për të kaluar në diçka më domethënëse. Tani do të analizojmë dy ndërtime të thjeshta, por teknika që do të përdoret gjatë zgjidhjes së tyre është një mjet më i fuqishëm dhe më i dobishëm sesa thjesht "vrapimi" midis antiderivativëve fqinjë nga tabela.

Zgjidhja e problemit: gjetja e antiderivativit të një funksioni

Shembulli #1

Le ta zbërthejmë shumën që është në numërues në tre thyesa të veçanta:

Ky është një tranzicion mjaft i natyrshëm dhe i kuptueshëm - shumica e studentëve nuk kanë probleme me të. Le ta rishkruajmë shprehjen tonë si më poshtë:

Tani le të kujtojmë këtë formulë:

Në rastin tonë do të marrim sa vijon:

Për të hequr qafe të gjitha këto fraksione trekatëshe, unë sugjeroj të bëni sa më poshtë:

Shembulli nr. 2

Ndryshe nga thyesa e mëparshme, emëruesi nuk është një produkt, por një shumë. Në këtë rast, ne nuk mund ta ndajmë më thyesën tonë në shumën e disa thyesat e thjeshta, por duhet të përpiqeni disi të siguroheni që numëruesi të përmbajë afërsisht të njëjtën shprehje si emëruesi. NË në këtë rastështë mjaft e thjeshtë ta bësh këtë:

Ky shënim, i cili në gjuhën matematikore quhet "shtimi i një zero", do të na lejojë të ndajmë përsëri thyesën në dy pjesë:

Tani le të gjejmë atë që po kërkonim:

Këto janë të gjitha llogaritjet. Pavarësisht kompleksitetit të dukshëm më të madh se sa në detyrë e mëparshme, sasia e llogaritjeve doli të jetë edhe më e vogël.

Nuancat e zgjidhjes

Dhe këtu qëndron vështirësia kryesore e punës me antiderivatet tabelare, kjo është veçanërisht e dukshme në detyrën e dytë. Fakti është se për të zgjedhur disa elementë që llogariten lehtësisht përmes tabelës, duhet të dimë se çfarë saktësisht kërkojmë dhe pikërisht në kërkimin e këtyre elementeve përbëhet e gjithë llogaritja e antiderivativëve.

Me fjalë të tjera, nuk mjafton vetëm të mësosh përmendësh tabelën e antiderivativëve - duhet të jesh në gjendje të shohësh diçka që nuk ekziston ende, por çfarë do të thoshte autori dhe përpiluesi i këtij problemi. Kjo është arsyeja pse shumë matematikanë, mësues dhe profesorë argumentojnë vazhdimisht: "Çfarë është marrja e antiderivativëve apo integrimit - është thjesht një mjet apo është një art i vërtetë?" Në fakt, për mendimin tim personal, integrimi nuk është aspak një art - nuk ka asgjë sublime në të, është vetëm praktikë dhe më shumë praktikë. Dhe për të praktikuar, le të zgjidhim tre shembuj më seriozë.

Ne trajnojmë integrimin në praktikë

Detyra nr. 1

Le të shkruajmë formulat e mëposhtme:

\[((x)^(n))\në \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\në \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\në \tekst(arctg)x\]

Le të shkruajmë sa vijon:

Problemi nr. 2

Le ta rishkruajmë si më poshtë:

Antiderivati ​​total do të jetë i barabartë me:

Problemi nr. 3

Vështirësia e kësaj detyre është se, ndryshe nga funksionet e mëparshme më sipër, nuk ka fare variabël $x$, d.m.th. nuk është e qartë për ne se çfarë të shtojmë apo të zbresim për të marrë të paktën diçka të ngjashme me atë që është më poshtë. Mirëpo, në fakt, kjo shprehje konsiderohet edhe më e thjeshtë se çdo shprehje nga ndërtimet e mëparshme, sepse këtë funksion mund të rishkruhet si më poshtë:

Tani mund të pyesni: pse këto funksione janë të barabarta? Le të kontrollojmë:

Le ta rishkruajmë përsëri:

Le ta transformojmë pak shprehjen tonë:

Dhe kur ua shpjegoj të gjitha këto studentëve të mi, lind pothuajse gjithmonë i njëjti problem: me funksionin e parë gjithçka është pak a shumë e qartë, me të dytin mund ta kuptosh edhe me fat apo praktikë, por çfarë lloj ndërgjegjeje alternative keni? duhet të ketë për të zgjidhur shembullin e tretë? Në fakt, mos kini frikë. Teknika që kemi përdorur gjatë llogaritjes së antiderivativit të fundit quhet "zbërthimi i një funksioni në më të thjeshtën e tij", dhe kjo është një teknikë shumë serioze dhe do t'i kushtohet një mësim i veçantë video.

Ndërkohë, unë propozoj të kthehemi në atë që sapo kemi studiuar, domethënë, te funksionet eksponenciale dhe disi të ndërlikojmë problemet me përmbajtjen e tyre.

Probleme më komplekse për zgjidhjen e funksioneve eksponenciale antiderivative

Detyra nr. 1

Le të vërejmë sa vijon:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\majtas(2\cdot 5 \djathtas))^(x))=((10)^(x) )\]

Për të gjetur antiderivativin e kësaj shprehjeje, thjesht përdorni formulën standarde - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Në rastin tonë, antiderivati ​​do të jetë si ky:

Sigurisht, krahasuar me dizajnin që sapo zgjidhëm, ky duket më i thjeshtë.

Problemi nr. 2

Përsëri, është e lehtë të shihet se ky funksion mund të ndahet lehtësisht në dy terma të veçantë - dy fraksione të veçanta. Le të rishkruajmë:

Mbetet për të gjetur antiderivativin e secilit prej këtyre termave duke përdorur formulën e përshkruar më sipër:

Pavarësisht nga kompleksiteti i dukshëm më i madh i funksioneve eksponenciale në krahasim me funksionet e fuqisë, vëllimi i përgjithshëm i llogaritjeve dhe llogaritjeve doli të ishte shumë më i thjeshtë.

Sigurisht për studentë të ditur ajo që sapo kemi diskutuar (veçanërisht në sfondin e asaj që kemi diskutuar deri tani) mund të duket si shprehje elementare. Megjithatë, kur zgjodha këto dy probleme për mësimin e sotëm me video, nuk i vura vetes qëllim t'ju tregoja një teknikë tjetër komplekse dhe të sofistikuar - gjithçka që doja t'ju tregoja është se nuk duhet të keni frikë të përdorni teknika standarde algjebër për të transformuar funksionet origjinale. .

Duke përdorur një teknikë "të fshehtë".

Si përfundim, do të doja të shikoja një teknikë tjetër interesante, e cila, nga njëra anë, shkon përtej qëllimit të asaj që diskutuam kryesisht sot, por, nga ana tjetër, ajo, së pari, nuk është aspak e ndërlikuar, d.m.th. edhe studentët fillestarë mund ta zotërojnë atë, dhe, së dyti, ajo gjendet mjaft shpesh në të gjitha llojet e testeve dhe testeve. punë e pavarur, d.m.th. njohja e tij do të jetë shumë e dobishme përveç njohjes së tabelës së antiderivativëve.

Detyra nr. 1

Natyrisht, ajo që kemi përpara është diçka shumë e ngjashme funksioni i fuqisë. Çfarë duhet të bëjmë në këtë rast? Le të mendojmë për këtë: $x-5$ nuk është shumë i ndryshëm nga $x$ - ata thjesht shtuan $-5$. Le ta shkruajmë kështu:

\[((x)^(4))\në \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\majtas(\frac(((x)^(5)))(5) \djathtas))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Le të përpiqemi të gjejmë derivatin e $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\majtas((\majtas(x-5 \djathtas))^(5)) \djathtas))^(\prime ))=5\cdot ((\majtas(x-5 \djathtas)) ^(4))\cdot ((\majtas(x-5 \djathtas))^(\prime ))=5\cdot ((\majtas(x-5 \djathtas))^(4))\]

Nga kjo rrjedh:

\[((\majtas(x-5 \djathtas))^(4))=((\majtas(\frac(((\majtas(x-5 \djathtas))^(5)))(5) \ djathtas))^(\prime ))\]

Nuk ka një vlerë të tillë në tabelë, kështu që ne tani e kemi nxjerrë vetë këtë formulë duke përdorur formula standarde antiderivativ për një funksion fuqie. Le ta shkruajmë përgjigjen kështu:

Problemi nr. 2

Shumë studentë që shikojnë zgjidhjen e parë mund të mendojnë se gjithçka është shumë e thjeshtë: thjesht zëvendësoni $x$ në funksionin e fuqisë me një shprehje lineare dhe gjithçka do të bjerë në vend. Fatkeqësisht, gjithçka nuk është aq e thjeshtë, dhe tani do ta shohim këtë.

Për analogji me shprehjen e parë, ne shkruajmë sa vijon:

\[((x)^(9))\në \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\majtas((\majtas(4-3x \djathtas))^(10)) \djathtas))^(\prime ))=10\cdot ((\majtas(4-3x \djathtas)) ^(9))\cdot ((\majtas(4-3x \djathtas))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\majtas(4-3x \djathtas))^(9)\cdot \left(-3 \djathtas)=-30\cdot ((\majtas(4-3x \djathtas)) ^ (9))\]

Duke u kthyer te derivati ​​ynë, mund të shkruajmë:

\[((\majtas((\majtas(4-3x \djathtas))^(10)) \djathtas))^(\prime ))=-30\cdot ((\majtas(4-3x \djathtas) )^(9))\]

\[((\majtas(4-3x \djathtas))^(9))=(\majtas(\frac((\majtas(4-3x \djathtas))^(10)))(-30) \djathtas))^(\prime ))\]

Kjo pason menjëherë:

Nuancat e zgjidhjes

Ju lutemi vini re: nëse asgjë nuk ka ndryshuar në thelb herën e fundit, atëherë në rastin e dytë, në vend të -10 $, u shfaq -30 $. Cili është ndryshimi midis -10 $ dhe -30 $? Natyrisht, me një faktor prej -3 $. Pyetje: nga erdhi? Duke parë nga afër, mund të shihni se është marrë si rezultat i llogaritjes së derivatit funksion kompleks- koeficienti që qëndronte në $x$ shfaqet në antiderivativin më poshtë. Kjo është shumë rregull i rëndësishëm, të cilin fillimisht nuk kisha në plan ta diskutoja fare në video-tutorialin e sotëm, por pa të prezantimi i antiderivativëve tabelare do të ishte i paplotë.

Pra, le ta bëjmë përsëri. Le të jetë funksioni ynë kryesor i fuqisë:

\[((x)^(n))\në \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Tani, në vend të $x$, le të zëvendësojmë shprehjen $kx+b$. Çfarë do të ndodhë atëherë? Duhet të gjejmë sa vijon:

\[((\left(kx+b \djathtas))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \djathtas))^(n+1)))(\majtas(n+ 1 \djathtas)\cdot k)\]

Mbi çfarë baze e pretendojmë këtë? Shumë e thjeshtë. Le të gjejmë derivatin e ndërtimit të shkruar më sipër:

\[((\majtas(\frac((\majtas(kx+b \djathtas))^(n+1)))(\majtas(n+1 \djathtas)\cdot k) \djathtas))^( \prime ))=\frac(1)(\majtas(n+1 \djathtas)\cdot k)\cdot \left(n+1 \djathtas)\cdot ((\ left(kx+b \djathtas))^ (n))\cdot k=((\majtas(kx+b \djathtas))^(n))\]

Kjo është e njëjta shprehje që ekzistonte fillimisht. Kështu, kjo formulë është gjithashtu e saktë dhe mund të përdoret për të plotësuar tabelën e antiderivativëve, ose është më mirë thjesht të mësoni përmendësh të gjithë tabelën.

Përfundime nga teknika "sekret:"

• Të dy funksionet që sapo kemi ekzaminuar, në fakt, mund të reduktohen në antiderivativët e treguar në tabelë duke zgjeruar shkallët, por nëse pak a shumë mund ta përballojmë disi shkallën e katërt, atëherë as që do ta konsideroja shkallën e nëntë të guximshme. për të zbuluar.
• Nëse do të zgjeronim kompetencat, do të merrnim një vëllim të tillë llogaritjesh që detyrë e thjeshtë do të merrte hua nga ne në mënyrë të pamjaftueshme numër i madh koha.
• Kjo është arsyeja pse probleme të tilla, të cilat përmbajnë shprehje lineare, nuk kanë nevojë të zgjidhen “me kokë”. Sapo të hasni në një antiderivativ që ndryshon nga ai në tabelë vetëm nga prania e shprehjes $kx+b$ brenda, kujtoni menjëherë formulën e shkruar më sipër, zëvendësojeni atë në antiderivativin e tabelës tuaj dhe gjithçka do të dalë shumë. më shpejt dhe më lehtë.

Natyrisht, për shkak të kompleksitetit dhe seriozitetit të kësaj teknike, ne do të kthehemi në shqyrtimin e saj shumë herë në mësimet e ardhshme video, por kjo është e gjitha për sot. Shpresoj se ky mësim do t'i ndihmojë vërtet ata studentë që duan të kuptojnë antiderivativët dhe integrimin.

Integralet kryesore që duhet të dijë çdo nxënës

Integralet e listuara janë baza, baza e bazave. Këto formula duhet patjetër të mbahen mend. Kur llogaritet më shumë integrale komplekse do t'ju duhet t'i përdorni vazhdimisht.

Ju lutemi paguani vëmendje të veçantë në formulat (5), (7), (9), (12), (13), (17) dhe (19). Mos harroni të shtoni një konstante arbitrare C në përgjigjen tuaj kur integroheni!

Integral i një konstante

Integrimi i një funksioni të energjisë

Në fakt, ishte e mundur të kufizoheshim vetëm në formulat (5) dhe (7), por pjesa tjetër e integraleve nga ky grup ndodhin aq shpesh sa ia vlen t'u kushtohet pak vëmendje.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrale të funksioneve eksponenciale dhe funksioneve hiperbolike

Sigurisht, formula (8) (ndoshta më e përshtatshme për memorizimin) mund të konsiderohet si rast i veçantë formulat (9). Formulat (10) dhe (11) për integrale të sinus hiperbolik Dhe kosinus hiperbolik përftohen lehtësisht nga formula (8), por është më mirë të mbani mend thjesht këto marrëdhënie.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integralet bazë të funksioneve trigonometrike

Një gabim që shpesh bëjnë nxënësit është se ata ngatërrojnë shenjat në formulat (12) dhe (13). Duke kujtuar se derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin, për disa arsye shumë njerëz besojnë se integrali i funksionet sinx e barabartë me cosx. Kjo nuk është e vërtetë! Integrali i sinusit është i barabartë me "minus kosinus", por integrali i cosx është i barabartë me "vetëm sinus":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrale që reduktohen në funksione trigonometrike të anasjellta

Formula (16), që çon te arktangjentja, është natyrisht një rast i veçantë i formulës (17) për a=1. Në mënyrë të ngjashme, (18) është një rast i veçantë i (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = harku x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = harksin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integrale më komplekse

Këshillohet gjithashtu të mbani mend këto formula. Ato përdoren gjithashtu mjaft shpesh, dhe prodhimi i tyre është mjaft i lodhshëm.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 hark x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23) ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Rregullat e përgjithshme të integrimit 1) Integrali i shumës së dy funksioneve e barabartë me shumën

integralet përkatëse: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integral i ndryshimit të dy funksioneve

e barabartë me diferencën integralet përkatëse: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26) 3) Konstanta mund të hiqet nga shenja integrale: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Është e lehtë të shihet se vetia (26) është thjesht një kombinim i vetive (25) dhe (27).

4) Integral i një funksioni kompleks, nëse funksioni i brendshëmështë lineare: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Këtu F(x) është një antiderivativ për funksionin f(x). Ju lutemi vini re: kjo formulë funksionon vetëm kur funksioni i brendshëm është Ax + B.

E rëndësishme: nuk ekziston formula universale për integralin e prodhimit të dy funksioneve, si dhe për integralin e një thyese:

∫ f (x) g (x) d x = ?

Le të përdorim formulat (25) dhe (26) (integrali i shumës ose ndryshimit të funksioneve është i barabartë me shumën ose ndryshimin e integraleve përkatëse. Përftojmë: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Le të kujtojmë se konstanta mund të hiqet nga shenja integrale (formula (27)). Shprehja shndërrohet në formë

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​d x + 12 ∫ 1 d x

Tani le të përdorim vetëm tabelën e integraleve bazë. Do të na duhet të aplikojmë formulat (3), (12), (8) dhe (1). Le të integrojmë funksionin e fuqisë, sinus, eksponencial dhe konstant 1. Mos harroni të shtoni një konstante arbitrare C në fund:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Pas transformimet elementare marrim përgjigjen përfundimtare:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Provoni veten me diferencim: merrni derivat i funksionit që rezulton dhe sigurohuni që të jetë e barabartë me shprehjen origjinale të integrandit.

Tabela përmbledhëse e integraleve

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | (x + x 2 − a 2 | + C (a > 0), Shkarkoni tabelën e integraleve (pjesa II) nga ky link Nëse jeni duke studiuar në një universitet, nëse keni vështirësi me matematikë e lartë analiza matematikore

algjebër lineare

, teoria e probabilitetit, statistikat), nëse keni nevojë për shërbimet e një mësuesi të kualifikuar, shkoni në faqe dhe metodat e integrimit. Rregulli për integrimin e një shume ose diferencë. Lëvizja e konstantës jashtë shenjës integrale. Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm. Formula për integrimin sipas pjesëve. Një shembull i zgjidhjes së një problemi.

Katër metodat kryesore të integrimit janë renditur më poshtë.

1) Rregulli për integrimin e një shume ose diferencë.
.
Këtu dhe më poshtë u, v, w janë funksionet e ndryshores së integrimit x.

2) Lëvizja e konstantës jashtë shenjës integrale.
Le të jetë c një konstante e pavarur nga x.

3) Pastaj mund të hiqet nga shenja integrale.
Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm.
Le të shqyrtojmë integralin e pacaktuar. Nëse mund të gjejmë një funksion të tillë φ(x)
,
nga x, pra
.

4) atëherë, duke zëvendësuar ndryshoren t = φ(x) , kemi
,
Formula për integrimin sipas pjesëve.

ku u dhe v janë funksione të ndryshores së integrimit. Qëllimi përfundimtar Llogaritja e integraleve të pacaktuar nënkupton, nëpërmjet shndërrimeve, reduktimin e një integrali të dhënë në integralet më të thjeshta, të cilat quhen integrale tabelare. Integralet e tabelës shprehen përmes funksionet elementare Nga.
formulat e njohura

Shih tabelën e integraleve >>>

Shembull

Njehsoni integralin e pacaktuar

Zgjidhje
Vëmë re se integrandi është shuma dhe ndryshimi i tre termave:
, Dhe . 1 .

Aplikimi i metodës 5, 4, Dhe 2 Më pas, vërejmë se integrantët e integraleve të rinj shumëzohen me konstante 2 .

, respektivisht. Aplikimi i metodës
.
Në tabelën e integraleve gjejmë formulën 2 Duke supozuar n =

, gjejmë integralin e parë.
.
Le ta rishkruajmë integralin e dytë në formë

Ne vërejmë se. Pastaj.
.
Le të përdorim metodën e tretë. Ndryshojmë variablin t = φ

(x) = log x Në tabelën e integraleve gjejmë formulën Që nga viti

variabli i integrimit
.
atëherë mund të shënohet me çdo shkronjë
Le ta rishkruajmë integralin e tretë në formë
Zbatojmë formulën e integrimit sipas pjesëve.
;
;

;
;
.

Le ta themi. Pastaj Në më shumë material i hershëm u shqyrtua çështja e gjetjes së derivatit dhe e saj aplikacione të ndryshme: llogaritja

shpat

tangjente me grafikun, zgjidhjen e problemeve të optimizimit, studimin e funksioneve për monotoni dhe ekstreme. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Figura 1.

Është konsideruar gjithashtu problemi i gjetjes së shpejtësisë së menjëhershme $v(t)$ duke përdorur derivatin përgjatë një shtegu të njohur më parë, të shprehur me funksionin $s(t)$. shpejtësia e menjëhershme$v(t)$ gjendet si derivat i funksionit të rrugës $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Pra, për të vendosur problem i anasjelltë, domethënë, për të llogaritur shtegun, duhet të gjeni një funksion derivati ​​i të cilit do të jetë i barabartë me funksionin e shpejtësisë. Por ne e dimë se derivati ​​i shtegut është shpejtësia, domethënë: $s’(t) = v(t)$. Shpejtësia është e barabartë me kohën e nxitimit: $v=at$. Është e lehtë të përcaktohet se funksioni i rrugës së dëshiruar do të ketë formën: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Por kjo nuk është një zgjidhje mjaft e plotë. Zgjidhje e plotë do të ketë formën: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, ku $C$ është një konstante. Pse është kështu do të diskutohet më tej. Tani për tani, le të kontrollojmë korrektësinë e zgjidhjes së gjetur: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v( t)$.

Vlen të përmendet se gjetja e një rruge të bazuar në shpejtësi është kuptimi fizik antiderivativ.

Funksioni që rezulton $s(t)$ quhet antiderivativ i funksionit $v(t)$. Një emër mjaft interesant dhe i pazakontë, apo jo. Ai përmban shumë kuptime që shpjegon thelbin këtë koncept dhe çon në kuptimin e tij. Do të vini re se përmban dy fjalë "së pari" dhe "imazh". Ata flasin vetë. Domethënë, ky është funksioni që është ai fillestar për derivatin që kemi. Dhe duke përdorur këtë derivat, ne kërkojmë funksionin që ishte në fillim, ishte "i pari", "imazhi i parë", domethënë antiderivativ. Nganjëherë quhet edhe funksion primitiv ose antiderivativ.

Siç e dimë tashmë, procesi i gjetjes së derivatit quhet diferencim. Dhe procesi i gjetjes së antiderivativit quhet integrim. Operacioni i integrimit është i kundërt i operacionit të diferencimit. E kundërta është gjithashtu e vërtetë.

Përkufizimi. Një antiderivativ për një funksion $f(x)$ në një interval të caktuar është një funksion $F(x)$ derivati ​​i të cilit është i barabartë me këtë funksion $f(x)$ për të gjitha $x$ nga intervali i specifikuar: $F' (x)=f (x)$.

Dikush mund të ketë një pyetje: nga erdhën $F(x)$ dhe $f(x)$ në përkufizim, nëse fillimisht po flisnim për $s(t)$ dhe $v(t)$. Çështja është se $s(t)$ dhe $v(t)$ janë raste të veçanta të shënimit të funksionit, të cilat në këtë rast kanë kuptim specifik, pra është funksion i kohës dhe funksion i shpejtësisë. Është e njëjta gjë me variablin $t$ - tregon kohën. Dhe $f$ dhe $x$ janë varianti tradicional i përcaktimit të përgjithshëm të një funksioni dhe një ndryshoreje, respektivisht. Vlen t'i kushtohet vëmendje e veçantë shënimit të antiderivativit $F(x)$. Para së gjithash, $F$ është kapital. Janë caktuar antiderivatet me shkronja të mëdha. Së dyti, shkronjat janë të njëjta: $F$ dhe $f$. Kjo do të thotë, për funksionin $g(x)$ antiderivati ​​do të shënohet me $G(x)$, për $z(x)$ - me $Z(x)$. Pavarësisht nga shënimi, rregullat për gjetjen e një funksioni antiderivativ janë gjithmonë të njëjta.

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 1. Vërtetoni se funksioni $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ është një antiderivativ i funksionit $f(x)=\cos5x$.

Për ta vërtetuar këtë, ne do të përdorim përkufizimin, ose më mirë faktin që $F'(x)=f(x)$, dhe do të gjejmë derivatin e funksionit $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Kjo do të thotë $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ është antiderivativ i $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Shembulli 2. Gjeni cilat funksione u korrespondojnë antiderivativëve të mëposhtëm: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Për të gjetur funksionet e kërkuara, le të llogarisim derivatet e tyre:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Shembulli 3. Cili do të jetë antiderivati ​​për $f(x)=0$?
Le të përdorim përkufizimin. Le të mendojmë se cili funksion mund të ketë një derivat të barabartë me $0$. Duke kujtuar tabelën e derivateve, gjejmë se çdo konstante do të ketë një derivat të tillë. Ne zbulojmë se antiderivati ​​që kërkojmë është: $F(x)= C$.

Zgjidhja që rezulton mund të shpjegohet gjeometrikisht dhe fizikisht. Gjeometrikisht, do të thotë që tangjentja e grafikut $y=F(x)$ është horizontale në çdo pikë të këtij grafi dhe, për rrjedhojë, përkon me boshtin $Ox$. Fizikisht shpjegohet me faktin se një pikë ka një shpejtësi e barabartë me zero, mbetet në vend, pra rruga që ka përshkuar është e pandryshuar. Bazuar në këtë, ne mund të formulojmë teoremën e mëposhtme.

Teorema. (Shenja e qëndrueshmërisë së funksioneve). Nëse në një interval $F’(x) = 0$, atëherë funksioni $F(x)$ në këtë interval është konstant.

Shembulli 4. Përcaktoni se cilët funksione janë antiderivativë të a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, ku $a$ është një numër.
Duke përdorur përkufizimin e një antiderivativ, arrijmë në përfundimin se për të zgjidhur këtë problem duhet të llogarisim derivatet e funksioneve antiderivative që na janë dhënë. Kur llogaritni, mbani mend se derivati ​​i një konstante, domethënë i çdo numri, është i barabartë me zero.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\majtas(\frac(x^7)(7) – 3\djathtas)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Çfarë shohim? Disa funksione të ndryshme janë primitivë të të njëjtit funksion. Kjo sugjeron që çdo funksion ka pafundësisht shumë antiderivativë, dhe ata kanë formën $F(x) + C$, ku $C$ është një konstante arbitrare. Domethënë, operacioni i integrimit është shumëvlerësor, ndryshe nga operacioni i diferencimit. Bazuar në këtë, le të formulojmë një teoremë që përshkruan vetinë kryesore të antiderivativëve.

Teorema. (Vetia kryesore e antiderivave). Le të jenë funksionet $F_1$ dhe $F_2$ funksionet antiderivative$f(x)$ në një interval. Pastaj për të gjitha vlerat nga ky interval barazia e mëposhtme është e vërtetë: $F_2=F_1+C$, ku $C$ është një konstante.

Fakti i disponueshmërisë numër i pafund antiderivatet mund të interpretohen gjeometrikisht. Duke përdorur transferim paralel përgjatë boshtit $Oy$, mund të merren nga njëri-tjetri grafikët e çdo dy antiderivativësh për $f(x)$. Kjo është kuptimi gjeometrik antiderivativ.

Është shumë e rëndësishme t'i kushtohet vëmendje faktit që duke zgjedhur konstanten $C$ mund të siguroheni që grafiku i antiderivativit të kalojë në një pikë të caktuar.

Figura 3.

Shembulli 5. Gjeni antiderivativin për funksionin $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, grafiku i të cilit kalon në pikën $(3; 1)$.
Le të gjejmë fillimisht të gjithë antiderivativët për $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Më pas, do të gjejmë një numër C për të cilin grafiku $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ do të kalojë në pikën $(3; 1)$. Për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë koordinatat e pikës në ekuacionin e grafikut dhe e zgjidhim atë për $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Ne morëm një grafik $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, i cili korrespondon me antiderivativin $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Tabela e antiderivativëve

Një tabelë formulash për gjetjen e antiderivativëve mund të përpilohet duke përdorur formulat për gjetjen e derivateve.

Ju mund të kontrolloni korrektësinë e tabelës si më poshtë: për çdo grup antiderivativësh të vendosur në kolonën e djathtë, gjeni derivatin, duke rezultuar në funksionet përkatëse, duke qëndruar në kolonën e majtë.

Disa rregulla për gjetjen e antiderivativëve

Siç e dini, shumë funksione kanë më shumë pamje komplekse, në vend të atyre të treguara në tabelën e antiderivativëve dhe mund të përfaqësojnë çdo kombinim arbitrar të shumave dhe produkteve të funksioneve nga kjo tabelë. Dhe këtu lind pyetja: si të llogariten antiderivativët e funksioneve të tilla. Për shembull, nga tabela ne dimë se si të llogarisim antiderivativët e $x^3$, $\sin x$ dhe $10$. Si mund të llogaritet, për shembull, antiderivativi $x^3-10\sin x$? Duke parë përpara, vlen të përmendet se do të jetë e barabartë me $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Nëse $F(x)$ është antiderivativ për $f(x)$, $G(x)$ për $g(x)$, atëherë për $f(x)+g(x)$ antiderivativi do të jetë e barabartë me $ F(x)+G(x)$.
2. Nëse $F(x)$ është një antiderivativ për $f(x)$ dhe $a$ është një konstante, atëherë për $af(x)$ antiderivativi është $aF(x)$.
3. Nëse për $f(x)$ antiderivati ​​është $F(x)$, $a$ dhe $b$ janë konstante, atëherë $\frac(1)(a) F(ax+b)$ është antiderivativ për $f (ax+b)$.
Duke përdorur rregullat e marra mund të zgjerojmë tabelën e antiderivativëve.

Shembulli 5. Gjeni antiderivativë për:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.