Olasılıklara göre hareket etme ihtiyacı, bazı olayların olasılıkları bilindiğinde ortaya çıkar ve bu olaylarla ilişkili diğer olayların olasılıklarını hesaplamak gerekir.

Olasılıkların eklenmesi, rastgele olayların bir kombinasyonunun veya mantıksal toplamının olasılığını hesaplamanız gerektiğinde kullanılır.

Olayların toplamı A Ve B belirtmek A + B veya A ∪ B. İki olayın toplamı, yalnızca ve yalnızca olaylardan en az birinin meydana gelmesi durumunda meydana gelen bir olaydır. Bu şu anlama geliyor A + B– yalnızca gözlem sırasında meydana gelmesi durumunda meydana gelen bir olay A veya olay B veya aynı anda A Ve B.

Eğer olaylar A Ve B birbiriyle tutarsız ise ve olasılıkları veriliyorsa, olasılıkların toplanmasıyla bu olaylardan birinin bir deneme sonucunda ortaya çıkma olasılığı hesaplanır.

Olasılık toplama teoremi.İki şeyden birinin gerçekleşme olasılığı Olumsuz ortak etkinlikler, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

Örneğin avlanırken iki el ateş edilir. Etkinlik A– İlk atışta ördeğe vurmak, olay İÇİNDE– ikinci atıştan vuruş, olay ( A+ İÇİNDE) – birinci veya ikinci atışta veya iki atışta yapılan vuruş. Yani eğer iki olay A Ve İÇİNDE– uyumsuz olaylar, o halde A+ İÇİNDE- Bu olaylardan en az birinin veya iki olayın meydana gelmesi.

Örnek 1. Bir kutuda 30 top vardır aynı boyutlar: 10 kırmızı, 5 mavi ve 15 beyaz. Renkli (beyaz olmayan) bir topun bakmadan alınma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. hadiseyi varsayalım A- “kırmızı top alınır” ve olay İÇİNDE- “Mavi top alındı.” Daha sonra olay "renkli (beyaz değil) bir topun alınmasıdır." Olayın olasılığını bulalım A:

ve olaylar İÇİNDE:

Olaylar A Ve İÇİNDE– karşılıklı olarak uyumsuz, çünkü bir top alınırsa toplar alınamaz farklı renkler. Bu nedenle olasılıkların toplamını kullanıyoruz:

Birkaç uyumsuz olay için olasılıkların eklenmesine ilişkin teorem. Eğer olaylar tam bir olaylar dizisi oluşturuyorsa, olasılıklarının toplamı 1'e eşittir:

Zıt olayların olasılıklarının toplamı da 1'e eşittir:

Zıt olaylar tam bir olaylar dizisi oluşturur ve tam bir olaylar dizisinin olasılığı 1'dir.

Zıt olayların olasılıkları genellikle küçük harflerle gösterilir P Ve Q. özellikle,

bundan sonra ne olacak aşağıdaki formüller Zıt olayların olasılıkları:

Örnek 2. Atış poligonunda hedef 3 bölgeye ayrılmıştır. Belirli bir atıcının birinci bölgedeki hedefe atış yapma olasılığı 0,15, ikinci bölgede 0,23, üçüncü bölgede ise 0,17'dir. Atıcının hedefi vurma olasılığını ve atıcının hedefi ıskalama olasılığını bulun.

Çözüm: Atıcının hedefi vurma olasılığını bulun:

Atıcının hedefi ıskalama olasılığını bulalım:

Olasılıkların hem toplanması hem de çarpımını kullanmanız gereken daha karmaşık problemler için "Olasılıkların toplanması ve çarpımını içeren çeşitli problemler" sayfasına bakın.

Karşılıklı eşzamanlı olayların olasılıklarının eklenmesi

Bir olayın meydana gelmesi aynı gözlemde ikinci bir olayın meydana gelmesini dışlamıyorsa iki rastgele olaya ortak olay adı verilir. Örneğin fırlatırken zar etkinlik A 4 sayısının piyasaya sürüldüğü düşünülüyor ve etkinlik İÇİNDE– çift sayıyı yuvarlamak. 4 sayısı olduğundan çift ​​sayı, bu iki olay uyumludur. Uygulamada, karşılıklı eşzamanlı olaylardan birinin meydana gelme olasılığının hesaplanmasında sorunlar vardır.

Ortak olaylar için olasılık toplama teoremi. Ortak olaylardan birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir; bu durumdan olasılık çıkarılmıştır. genel saldırı her iki olay da olasılıkların ürünüdür. Ortak olayların olasılıkları formülü aşağıdaki biçimdedir:

Olaylardan bu yana A Ve İÇİNDE uyumlu, etkinlik A+ İÇİNDEüçünden biri meydana gelirse meydana gelir olası olaylar: veya AB. Uyumsuz olayların toplanması teoremine göre aşağıdaki gibi hesaplıyoruz:

Etkinlik A iki uyumsuz olaydan birinin meydana gelmesi durumunda meydana gelecektir: veya AB. Ancak birbiriyle bağdaşmayan birden fazla olaydan bir olayın meydana gelme olasılığı, tüm bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

Aynı şekilde:

(6) ve (7) numaralı ifadeleri (5) numaralı ifadede değiştirerek, ortak olaylar için olasılık formülünü elde ederiz:

Formül (8) kullanılırken olayların dikkate alınması gerekir. A Ve İÇİNDE Belki:

• karşılıklı olarak bağımsız;
• karşılıklı bağımlı.

Birbirinden bağımsız olaylar için olasılık formülü:

Birbirine bağlı olaylar için olasılık formülü:

Eğer olaylar A Ve İÇİNDE tutarsızsa, bu durumda tesadüfleri imkansız bir durumdur ve bu nedenle, P(AB) = 0. Uyumsuz olaylar için dördüncü olasılık formülü şöyledir:

Örnek 3. Otomobil yarışlarında, ilk arabayı kullandığınızda kazanma şansınız daha yüksektir, ikinci arabayı kullandığınızda ise kazanma şansınız daha yüksektir. Bulmak:

• her iki arabanın da kazanma olasılığı;
• en az bir arabanın kazanma olasılığı;

1) İlk arabanın kazanma olasılığı ikinci arabanın sonucuna bağlı değildir, dolayısıyla olaylar A(ilk araba kazanır) ve İÇİNDE(ikinci araba kazanacak) – bağımsız etkinlikler. Her iki arabanın da kazanma olasılığını bulalım:

2) İki arabadan birinin kazanma olasılığını bulun:

Olasılıkların hem toplanması hem de çarpımını kullanmanız gereken daha karmaşık problemler için "Olasılıkların toplanması ve çarpımını içeren çeşitli problemler" sayfasına bakın.

Olasılıkların toplamı problemini kendiniz çözün ve ardından çözüme bakın.

Örnek 4.İki madeni para atılıyor. Etkinlik A- ilk madeni paranın üzerindeki armanın kaybı. Etkinlik B- ikinci madalyonun üzerindeki armanın kaybı. Bir olayın olasılığını bulun C = A + B .

Olasılıkların Çarpılması

Olasılık çarpımı, olayların mantıksal çarpımının olasılığının hesaplanması gerektiğinde kullanılır.

Bu durumda rastgele olayların bağımsız olması gerekir. Bir olayın meydana gelmesi ikinci olayın meydana gelme olasılığını etkilemiyorsa iki olaya karşılıklı bağımsız denir.

Bağımsız olaylar için olasılık çarpımı teoremi.İki bağımsız olayın aynı anda meydana gelme olasılığı A Ve İÇİNDE bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek 5. Para art arda üç kez atılıyor. Armanın üç kez de ortaya çıkma olasılığını bulun.

Çözüm. Armanın ilk, ikinci ve üçüncü atışta görünme olasılığı. Armanın üç kez de görünme olasılığını bulalım:

Olasılık çarpım problemlerini kendi başınıza çözün ve ardından çözüme bakın

Örnek 6. Dokuz yeni tenis topu içeren bir kutu var. Oynamak için üç top alınır ve oyundan sonra geri konur. Top seçimi yapılırken oynanan toplar, oynanmayan toplardan ayırt edilmez. Bundan sonra olma olasılığı nedir? üç oyun Kutuda oynanmamış top kaldı mı?

Örnek 7. Kesilmiş alfabe kartlarına Rus alfabesinin 32 harfi yazılmıştır. Beş kart rastgele arka arkaya çekilir ve görünüm sırasına göre masaya yerleştirilir. Harflerin "son" kelimesini oluşturma olasılığını bulun.

Örnek 8. Tam bir kart destesinden (52 sayfa) aynı anda dört kart çıkarılır. Bu kartların dördünün de farklı türden olma olasılığını bulun.

Örnek 9.Örnek 8'deki görevin aynısı, ancak her kart çıkarıldıktan sonra desteye geri gönderilir.

Olasılıkların hem toplamasını hem de çarpmasını kullanmanız ve ayrıca çeşitli olayların çarpımını hesaplamanız gereken daha karmaşık problemler, "Olasılıkların toplanması ve çarpılmasıyla ilgili çeşitli problemler" sayfasında bulunabilir.

Birbirinden bağımsız olaylardan en az birinin meydana gelme olasılığı, zıt olayların olasılıklarının çarpımının 1'den çıkarılmasıyla, yani aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Örnek 10. Kargo üç ulaşım yöntemiyle teslim edilir: nehir, demiryolu ve karayolu taşımacılığı. Kargonun teslim edilme ihtimali nehir taşımacılığı 0,82'dir, demiryolu ile 0,87, motorlu taşıtlarla 0,90. Kargonun aşağıdakilerden en az biri tarafından teslim edilme olasılığını bulun üç tip taşıma.

Ders 1.

Olasılık

Olasılık teorisi, spesifik sonuçları yalnızca deneyin koşulları (rastgele) tarafından değil, sonuçlara göre belirlenen bu tür olguları veya deneyleri dikkate alır. büyük sayı ortalama deneyler tahmin edilebilir (özellik istatistiksel kararlılık).

Temel bir olay (temel bir sonuç) Herhangi bir olaya, diğer olayların birleşimi olarak temsil edilemeyen bir deneyimin sonucu denir. Deneyin sonucu rastgele olduğundan, herhangi bir temel olay rastgeledir; bundan sonra, onların rastgeleliğini vurgulamadan sadece olaylardan bahsedeceğiz.

Temel olayların alanıW(sonuçlar) tüm temel olayların (sonuçların) kümesi olarak adlandırılır. (w 1 , …w n … ), eğer deney sonucunda aşağıdakilerden herhangi biri varsa temel sonuçlar ve yalnızca bir tanesi (bir sonuç diğerini dışlar). Temel olayların uzayı sonlu, sayılabilir ve hatta olabilir. sonsuz küme temel olaylar.

Rastgele olay(etkinlik) temel olaylar uzayının bir alt kümesi olarak adlandırılır. Herhangi bir küme, öğelerin bir koleksiyonudur. Etkinlik öğeleri şunlardır: temel olaylar, bu olayı oluşturuyor.

Örnek. Bir madeni para atıldığında tura (w 1 =G) ya da yazı (w 1 =P) gelebilir. W=(G,P).

Örnek. İki madeni para atılıyor W = ((G, G), (G,P), (P,G), (P,P))

Örnek. Dikdörtgen bir alana bir yağmur damlası düşüyor.

W= ((x,y), a

Güvenilir olay– her zaman belirli bir deneyimin sonucu olarak ortaya çıkan, tüm temel olayları içeren ve W ile gösterilen bir olay.

İmkansız olay– belirli bir deneyimin sonucu olarak meydana gelemeyen bir olay; temel olayları içermez ve Æ ile gösterilir.

Olaylara ilişkin eylemler.

Olaylar kümeler olarak tanımlanır, dolayısıyla bunlar üzerindeki eylemler kümelerdeki eylemlere benzer ve Venn diyagramları ile iyi bir şekilde gösterilmektedir.

Uzay W bir dikdörtgeni, temel bir olayı - dikdörtgenin bir noktasını ve her olayı - bu dikdörtgenin noktalarının bir alt kümesini göstereceğiz. Olaylara ilişkin işlemin sonucu gölgelenecektir.

Kartların bir kart destesinden seçilmesine izin verin. A olayı – kırmızı kart seçimi, B olayı – on kart seçimi

Olay İşlemlerinin Özellikleri

1. = Ø 6. A = bir

2. bir + bir = bir 7. AØ = Ø Kısa. Eğer A İÇİNDE, O

3. bir bir = bir 8 = AA + B = B

4. A + = 9. Bir B = Bir

5. A + Ø = A 10. = Ø

Operasyonların değişebilirliği

A + B = B + A; Bir B = B bir

Operasyonların ilişkilendirilebilirliği

bir + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C A(B C) = (A B) C = A B C

Toplama işleminin çarpma işlemine göre dağılımı

bir (B + C) = A B + A C

Çarpma işleminin toplamaya göre dağılımı

A + (B C) = (A + B)(A + C)

Örnek. (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC'yi hesaplayalım.

Aslında BAÌA, ACÌA, AA=A, sonra AA+BA=A, A+AC=A.

Dualite kuralı (de Morgan teoremi)

Olayların toplamı ve çarpımı (sayılabilir sayıda olsa bile) aracılığıyla ifade edilen herhangi bir karmaşık olay için, olayların karşıtlarıyla değiştirilmesi ve çarpımın işaretinin toplamın işaretiyle değiştirilmesiyle zıt olay elde edilebilir. İşlem sırasını değiştirmeden toplamın çarpım işaretiyle gösterilmesi

Örnek .

Olayların cebiri.

Temel olayların uzayı W olsun. S olaylarının bir cebiri, S rastgele olayların bir sistemidir, öyle ki

1) SÉW, 2) " A, B Ì S Þ A+BÌS, ABÌS, ABÌS.

Sonuç Æ= WW Ì S

W'nin sonlu sayıda eleman içermesine izin verin, W= (w 1 ,…w n ). O halde S cebiri, W'nin tüm alt kümelerinin kümesi olarak oluşturulabilir.

S=(Æ, (w 1 ), … (w n ), (w 1 ,w 2 ), …(w 1 ,w n ), …(w n -1 ,w n ), …(w 1, …, w n )) , sadece 2 n elemanı var

Sayılabilir sayıda olay için cebir benzer şekilde oluşturulur.

Deney sonucunda A, B olaylarının gerçekleşip gerçekleşmediği biliniyorsa, o zaman A + B, AB, AB olaylarının gerçekleşip gerçekleşmediği sonucuna varabiliriz, bu nedenle olayların belirli bir sınıftan seçilmesi gerekir - olayların cebiri.

Sonsuz (sayılamaz) sayıda olay için olay sınıfının daraltılması gerekir. Olayların s-cebiri tanıtıldı.

Sigma cebiri (S-cebir) olaylarınB temel olayların uzayının alt kümelerinin boş olmayan bir sistemidir, öyle ki

2) A 1 , A 2 , …A n , …ÌBÞ(A 1 +A 2 + …+A n +, …)ÌB, …ÌB.

Olayların herhangi bir sigma cebiri, olayların cebiridir, ancak bunun tersi geçerli değildir.

Olasılık.

Olay olasılığının klasik tanımı

Olasılığın klasik tanımında, temel olayların uzayının Ω hepsi eşit derecede mümkün olan sınırlı sayıda temel sonuç içerir.

Vakalar tam bir grup oluşturan eşit derecede olası, uyumsuz olaylara denir.

Olasılığın klasik tanımında şu anlamda durumlar çerçevesindeyiz: temel olaylar da aynı derecede mümkündür; vakaları temsil eder.

İzin vermek N– toplam vaka sayısı Ω , A NA – bir olayı oluşturan vakaların sayısı A(veya dedikleri gibi, olaya uygun A).

Tanım. A olayının olasılığı sayı oranı denir Yok A olayının lehine olan vakaların toplam N vaka sayısına oranı, yani P(A) = . Bir olayın olasılığının bu tanımına genellikle denir. olasılığın klasik tanımı.

Örnekler. 1. Zar atmak. Ω = {w 1 , w 2 ,…, w 6 } N = 6.

A – nokta sayısı üçün katıdır A = ( w 3 , w 6 } Yok = 2.

2. 2 zar atmak. Ω = {w 11 , w 12 ,…, w 66 }; N =36.

wkl = (bir k, b l), k, ben =

A– sayıların (puanların) toplamı 5’tir. A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; Yok = 4

.

3. Bir kavanozda bir beyaz ve bir siyah top bulunmaktadır. Deneyim - bir top çekilir.

A – siyah top.

Olasılığın klasik tanımına dayanarak olasılığın özelliklerini kanıtlamak kolaydır:

1)P( Ω ) = 1 (Yok = N);

3) Eğer AB= Ø ise P(A + B) = P(A) + P(B)( Yok + B= Yok+ N B)

ve sonuçları

4) R(Ø) = 0 ( N Ø) = 0;

5) P() = 1- P(A) ( = Ø, P(A) + P( ) = 1);

6) Eğer öyleyse P(A) P(B) (Yok N B).

Klasik olasılık formülünün pratik uygulamasında en zor şey, eşit derecede olası sonuçların toplam sayısını ve olumlu sonuçların sayısını belirlemektir.

Burada kullanılıyor kombinatoriğin temel ilkesi: bazı P operasyonlarının her biri m r yolla gerçekleştirilebilen n işlem Pk (k=1, …n) dizisi olmasına izin verin. Daha sonra P işlemi çeşitli yollarla gerçekleştirilebilir.

N adet elemandan m adet elemanı (örneğin top) tek tek seçelim. Bir sonraki topu (n top sayısına kadar) geri getirebiliriz, ardından her sonraki seçimde aynı n toplara sahip oluruz. Böyle bir numuneye numune denir tekrar hoşgeldiniz. Veya topu geri vermeyebiliriz, o zaman her seçimde giderek daha az sayıda top arasından seçim yaparız. Böyle bir numuneye numune denir geri dönüş yok.Öte yandan dikkate alabiliriz emir topların görünümü. Böyle bir numuneye sıralı veya konaklamaNtoplarMtoplar. Seçim yaparken topların sırası dikkate alınmazsa, yalnızca hangi topların seçildiği önemlidir, ancak hangi sırayla seçildiği önemli değildir, o zaman böyle bir seçim denir. düzensiz veya kombinasyonuNtoplarMtoplar. Belirli bir numunenin kaç farklı şekilde yapılabileceğini bulalım

Yerleştirme formülleri kombinatorik prensibinden kolaylıkla elde edilebilir. Yerleşimlerden (dönüşsüz) kombinasyonlara (dönüşsüz) geçiş yapmak için seçimleri sıralamanız gerekir; yalnızca öğelerin sırasına göre farklılık gösterenleri hariç tutun. Yalnızca elementlerin sıraları farklı olan örneklere denir. permütasyonlar. m elemanının permütasyon sayısı P m ==m!'ye eşittir. Bu yüzden .

Tekrarlı kombinasyonlar için formülü kanıt olmadan kabul edeceğiz (kanıtı XV1 sayısında, s. 50 – 51'de verilmiştir).

Örnek. İçinde 3 top (n=3) bulunan bir torbadan iki top (m=2) seçiliyor. Bu örnekleri sunalım.

1) Dönüşlü konaklamalar

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 3 2 = 9.

2) Konaklama (geri ödemesiz) (1.2) (1.3) (2.1) (2.3) (3.1) (3.2) .

3) Getirili Kombinasyonlar (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

4) Kombinasyonlar (dönüşsüz) (1,2) (1,3) (2,3) .

Örnek. Arızalı parçalardan numune alma sorunu.

N tane özdeş parçadan oluşan bir partide M kusurludur. N parçayı (geri dönmeden) seçer. Bunların arasında tam m tane kusurlu olma olasılığı nedir?

Toplam vaka sayısı (N parçanın n'ye göre birleşimi) eşittir. M adet kusurlu parça arasından m adet kusurlu parçayı seçiyoruz ama aynı zamanda hatasız N-M parça arasından da (n-m) adet hatasız parçayı seçiyoruz. O halde kombinatoriğin temel ilkesine göre böyle bir seçim vakalar tarafından tercih edilir. Bu nedenle istenilen olasılık eşittir.

Geometrik olasılık

Klasik olasılık formülü yalnızca durum şemasında uygulanır ve bu oldukça nadirdir. Davranış P(A)=Yok/ N tüm olası sonuçlar arasında olumlu sonuçların “kesirini” temsil eder. Benzer şekilde, bazı daha karmaşık durumlarda bir olayın olasılığı hesaplanır. sonsuz sayı eşit derecede mümkün sonuçlar.

Örnek. Toplantı sorunu.İki öğrenci saat 10'dan 11'e kadar belli bir yerde buluşmak üzere sözleşir ve oraya ilk gelen, bir arkadaşını 15 dakika bekleyip ayrılır. Karşılaşma olasılığı nedir?

Koordinat sisteminin başlangıç ​​noktasını (10, 10) noktasında seçelim. Koordinat sisteminin eksenleri boyunca x - birinci öğrencinin varış zamanı, y - ikinci öğrencinin varış zamanı - grafiğini çizelim.

O zaman |x-y| kümesi<1/4, 0

öğrenciler için buluşma noktaları (etkinlikler) içerir. Ölçüsü (alanı) mesA 1- (3/4) 2 = 7/16'ya eşittir. mesW =1 olduğuna göre P(A) = 7/16.

İstatistiksel olasılık

Klasik olasılık ve geometrik olasılık formülleri yalnızca durum için geçerlidir. eşit derecede mümkün sonuçlar. Gerçekte, pratikte elimizde eşit derecede mümkün sonuçlar. Bu durumlarda rastgele bir olayın olasılığını şu kavramı kullanarak belirleyebilirsiniz: olay sıklığı . Bir testte bir olayın meydana gelme olasılığını belirlememiz gerektiğini varsayalım. A. Bunu yapmak için testler aynı koşullar altında gerçekleştirilir ve her birinde iki sonuç mümkündür: A Ve . Sıklık olaylara A sayısının oranını diyeceğiz Yok A olayının toplam sayıya kaydedildiği denemeler N testler.

A olayının olasılığı deneme sayısındaki sınırsız artışla A olayının sıklığının sınırı denirN, onlar. . Bu şekilde belirleniyor bir olayın istatistiksel olasılığı .

Klasik, geometrik ve istatistiksel tanımlara göre, bir P(A) olayının olasılığının üç ana özelliğe sahip olduğuna dikkat edin:

P(A)³0, 2) P(W)=1, 3) P(A 1 + …+A n) = P(A 1) + …+P(A n), eğer A 1, An n ikili ise tutarsız. Ancak bu tanımlarda temel olayların da eşit derecede mümkün olduğu varsayılmaktadır.

BİR. Kolmogorov, temel olayların eşit olasılığı varsayımını terk etti, olayların sigma cebirini tanıttı ve üçüncü özelliği sayılabilir sayıda olaya genişletti. Bu, bir olayın olasılığının aksiyomatik bir tanımını vermeyi mümkün kıldı.

Olasılığın aksiyomatik tanımı(A.N. Kolmogorov'a göre).

Olasılık P(A), üç aksiyomu karşılayan olayların sigma cebiri üzerinde tanımlanan sayısal bir fonksiyondur:

1) negatif olmayan P(A)³0, "AÎB - sigma – W üzerindeki olayların cebiri

2) normalleştirme P(W) = 1

3) genişletilmiş toplama aksiyomu: herhangi bir çift uyumsuz olay için A 1 , ... A n ... tatmin edici

P(A 1 + …+A n + …) = P(A 1) + …+P(A n) +…

(sayılabilir toplamsallık).

Yani A.N.'ye göre. Kolmogorov olasılık (olasılık ölçüsü), olayların sigma cebiri üzerinde tanımlanan, sayısal, negatif olmayan, normalleştirilmiş sayılabilir bir toplama fonksiyonudur (kümeler - olaylar).

Eğer W sonlu veya sayılabilir sayıda olaydan oluşuyorsa, olayların S cebiri B sigma cebiri olarak düşünülebilir. O halde aksiyom 3'e göre herhangi bir A olayının olasılığı, A'yı oluşturan temel olayların olasılıklarının toplamına eşittir.

Olasılık alanıüçlü (W, B, P) olarak adlandırılır.

Olasılığın Özellikleri

1) . Aslında uyumsuzlar. Aksiyom 3'e göre.

2) P(Æ) = 0. "A A+Æ = A olduğundan, 3 aksiyomuna göre P(A+Æ) = P(A) + P(Æ) = P(A) ÞP(Æ) = 0

3) Eğer AÌ B ise P(A) £ P(B). B = A+ BA olduğundan, 3 aksiyomuna göre P(B) = P(A) + P(BA), ancak 1 aksiyomuna göre P(BA)³0

Örnek. Üzerinde 1, 2, 3, 4 numaralı dört top bulunan bir torbadan rastgele üç kez bir top alınıyor ve numarası yazılıyor a) topları geri veriyor b) topları geri döndürmeden. 1) 111'in bir kombinasyonunu elde etme, 2) Topların sayılarından artan bir dizi oluşturma olasılığı nedir?

a) durumunda geri dönüşlü yerleşimlerimiz var, N = 4 3, 1), N A =1, P = ¼ 3, 2) N A =, artan bir dizi her zaman tekrarlanmayan sayılardan oluşabileceğinden, P = / 4 3.

b) N = ,1) P = 0 olması durumunda, topların sayıları tekrarlanmadığından N A =0, 2) P = 1, çünkü N = N A = .

Örnek. Beş vagondan oluşan metroya beş kişi biniyor. Farklı arabalara binme olasılıkları nedir?

Temel olayların toplam sayısı, beş unsurun tekrarlandığı yerleştirme sayısına eşittir N = 5 5 . A'yı oluşturan temel olayların sayısı 5'tir! Bu nedenle P = 5!/ 5 5.

1. ve 2. dersler V.F.'nin derslerine dayanarak yazılmıştır. Orijinal malzeme ve örneklerin eklenmesiyle Panov

Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce, en yararlı kaynaklar için gezginimize dikkat edin.

Olasılık nedir?

Bu terimle ilk karşılaştığımda ne olduğunu anlamazdım. Bu nedenle net bir şekilde açıklamaya çalışacağım.

Olasılık, istediğimiz olayın gerçekleşme ihtimalidir.

Mesela bir arkadaşınızın evine gitmeye karar verdiniz, girişini, hatta oturduğu katı hatırlıyorsunuz. Ama dairenin numarasını ve yerini unuttum. Ve şimdi merdivende duruyorsunuz ve önünüzde seçim yapabileceğiniz kapılar var.

İlk kapı zilini çaldığınızda arkadaşınızın kapıyı sizin yerinize açma şansı (olasılığı) nedir? Sadece daireler var ve sadece birinin arkasında bir arkadaş yaşıyor. Eşit şansla herhangi bir kapıyı seçebiliriz.

Peki bu şans nedir?

Kapı, sağ kapı. İlk kapıyı çalarak tahmin etme olasılığı: . Yani üçte birinden birini doğru tahmin edeceksiniz.

Bir kez aradıktan sonra kapıyı ne sıklıkla tahmin edeceğimizi bilmek istiyoruz. Tüm seçeneklere bakalım:

1. aradın 1. kapı
2. aradın 2. kapı
3. aradın 3. kapı

Şimdi bir arkadaşın olabileceği tüm seçeneklere bakalım:

A. İçin 1. kapı
B. İçin 2. kapı
V. İçin 3. kapı

Tüm seçenekleri tablo biçiminde karşılaştıralım. Seçiminiz bir arkadaşınızın konumuyla çakıştığında bir onay işareti seçenekleri, çakışmadığında ise bir çarpı işareti gösterir.

Herşeyi nasıl görüyorsun Belki seçenekler arkadaşınızın konumu ve hangi kapıyı çalacağınızın seçimi.

A hepsinin olumlu sonuçları . Yani kapı zilini bir kez çalarak bir kez tahmin edeceksiniz, yani. .

Bu olasılıktır; olumlu bir sonucun (seçiminiz arkadaşınızın konumuyla örtüştüğünde) olası olayların sayısına oranıdır.

Tanım formüldür. Olasılık genellikle p ile gösterilir, dolayısıyla:

Böyle bir formül yazmak pek uygun değil, bu yüzden olumlu sonuçların sayısını ve toplam sonuç sayısını alacağız.

Bunu yapmak için olasılık yüzde olarak yazılabilir; elde edilen sonucu şu şekilde çarpmanız gerekir:

“Sonuçlar” kelimesi muhtemelen dikkatinizi çekmiştir. Matematikçiler çeşitli eylemlere (bizim durumumuzda böyle bir eylem kapı zilidir) deney adını verdikleri için, bu tür deneylerin sonucuna genellikle sonuç denir.

Evet, olumlu ve olumsuz sonuçlar var.

Örneğimize geri dönelim. Diyelim ki kapılardan birini çaldık ama kapıyı bir yabancı açtı. Doğru tahmin etmedik. Geriye kalan kapılardan birini çalarsak arkadaşımızın bize açma olasılığı nedir?

Eğer öyle düşündüysen bu bir hatadır. Hadi çözelim.

Geriye iki kapımız kaldı. Yani olası adımlarımız var:

1) Ara 1. kapı
2) Ara 2. kapı

Arkadaş tüm bunlara rağmen kesinlikle birinin arkasında (sonuçta bizim aradığımızın arkasında değildi):

a) Arkadaş için 1. kapı
b) Arkadaş için 2. kapı

Tabloyu tekrar çizelim:

Gördüğünüz gibi sadece uygun olan seçenekler var. Yani olasılık eşittir.

Neden?

Düşündüğümüz durum şu bağımlı olaylara örnek Birinci olay birinci kapı zili, ikinci olay ise ikinci kapı zilidir.

Ve bağımlı olarak adlandırılırlar çünkü aşağıdaki eylemleri etkilerler. Sonuçta, eğer ilk çalıştan sonra kapı zili bir arkadaşınız tarafından açılsaydı, onun diğer ikisinden birinin arkasında olma olasılığı ne olurdu? Sağ, .

Ancak bağımlı olaylar varsa, o zaman aynı zamanda olması gerekir. bağımsız? Doğru, bunlar oluyor.

Bir ders kitabı örneği yazı tura atmaktır.

1. Bir kez yazı tura atın. Örneğin tura gelme olasılığı nedir? Bu doğru - çünkü tüm seçenekler var (ya tura ya da yazı, madalyonun kenarına düşme olasılığını ihmal edeceğiz), ancak bu yalnızca bize uyuyor.
2. Ama kafalar karıştı. Tamam, tekrar atalım. Şimdi tura gelme olasılığı nedir? Hiçbir şey değişmedi, her şey aynı. Kaç seçenek? İki. Kaç kişiden memnunuz? Bir.

Ve art arda en az bin kez tura gelmesine izin verin. Aynı anda tura gelme olasılığı aynı olacaktır. Her zaman seçenekler ve uygun olanlar vardır.

Bağımlı olayları bağımsız olaylardan ayırmak kolaydır:

1. Deney bir kez yapılırsa (bir kez yazı tura atarlar, bir kez kapı zili çalarlar vb.), o zaman olaylar her zaman bağımsızdır.
2. Bir deney birkaç kez yapılırsa (bir kez para atılır, kapı zili birkaç kez çalınır), o zaman ilk olay her zaman bağımsızdır. Ve eğer olumlu olanların sayısı veya tüm sonuçların sayısı değişirse, o zaman olaylar bağımlıdır, değilse de bağımsızdır.

Olasılığı belirlemeye biraz çalışalım.

Örnek 1.

Para iki kez atılıyor. Art arda iki kez tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Tüm olası seçenekleri ele alalım:

1. Kartal-kartal
2. Yazı-tura
3. Kuyruk-Kafalar
4. Kuyruk-kuyruk

Gördüğünüz gibi sadece seçenekler var. Bunlardan sadece biz memnunuz. Yani olasılık:

Koşul sizden yalnızca olasılığı bulmanızı isterse, yanıtın ondalık kesir biçiminde verilmesi gerekir. Cevabın yüzde olarak verilmesi gerektiği belirtilmiş olsaydı, o zaman çarpardık.

Cevap:

Örnek 2.

Bir kutu çikolatada tüm çikolatalar aynı ambalajda paketlenir. Ancak tatlılardan - fındıklı, konyaklı, kirazlı, karamelli ve nugalı.

Bir şeker alıp fındıklı bir şeker alma olasılığı nedir? Cevabınızı yüzde olarak verin.

Çözüm:

Kaç olası sonuç var? .

Yani bir şeker alırsanız, kutuda bulunan şekerlerden biri olacaktır.

Kaç tane olumlu sonuç var?

Çünkü kutuda sadece fındıklı çikolatalar yer alıyor.

Cevap:

Örnek 3.

Bir kutu balonun içinde. bunlardan beyaz ve siyahtır.

1. Beyaz bir topun çekilme olasılığı nedir?
2. Kutuya daha fazla siyah top ekledik. Şimdi beyaz bir top çekme olasılığı nedir?

Çözüm:

a) Kutuda yalnızca toplar vardır. Bunlardan beyaz.

Olasılık:

b) Artık kutuda daha fazla top var. Ve bir o kadar da beyaz kaldı - .

Cevap:

Toplam olasılık

Diyelim ki bir kutuda kırmızı ve yeşil toplar var. Kırmızı topun çekilme olasılığı nedir? Yeşil top mu? Kırmızı mı yeşil top mu?

Kırmızı top çekme olasılığı

Yeşil top:

Kırmızı veya yeşil top:

Gördüğünüz gibi tüm olası olayların toplamı ()'ye eşittir. Bu noktayı anlamak birçok sorunu çözmenize yardımcı olacaktır.

Örnek 4.

Kutuda işaretleyiciler var: yeşil, kırmızı, mavi, sarı, siyah.

Kırmızı işaret DEĞİL çizme olasılığı nedir?

Çözüm:

Sayıyı sayalım olumlu sonuçlar.

Kırmızı bir işaret DEĞİLDİR, bu yeşil, mavi, sarı veya siyah anlamına gelir.

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı

Bağımsız olayların ne olduğunu zaten biliyorsunuz.

İki (veya daha fazla) bağımsız olayın arka arkaya meydana gelme olasılığını bulmanız gerekiyorsa ne olur?

Diyelim ki parayı bir kez atarsak iki kez tura gelme olasılığının ne olduğunu bilmek istiyoruz?

Zaten düşündük - .

Bir kez yazı tura atarsak ne olur? Bir kartalı iki kez üst üste görme olasılığı nedir?

Toplam olası seçenekler:

1. Kartal-kartal-kartal
2. Yazı-tura-yazı
3. Yazı-yazı-tura
4. Yazı-yazı-yazı
5. Kuyruk-tura-kafa
6. Yazı-tura-yazı
7. Kuyruk-yazı-kafa
8. Kuyruk-kuyruk-kuyruk

Sizi bilmem ama ben bu listeyi derlerken birkaç kez hata yaptım. Vay! Ve yalnızca seçenek (ilk) bize uygundur.

5 atış için olası sonuçların bir listesini kendiniz yapabilirsiniz. Ama matematikçiler sizin kadar çalışkan değiller.

Bu nedenle, belirli bir bağımsız olaylar dizisinin olasılığının her seferinde bir olayın olasılığı kadar azaldığını önce fark ettiler ve sonra kanıtladılar.

Başka bir deyişle,

Aynı talihsiz madalyonun örneğine bakalım.

Bir meydan okumada kafa alma olasılığı? . Şimdi parayı bir kez çeviriyoruz.

Art arda tura gelme olasılığı nedir?

Bu kural yalnızca aynı olayın art arda birkaç kez meydana gelme olasılığını bulmamız istendiğinde işe yaramaz.

Ardışık atışlar için KUYRUK-KAFA-KUYRUK sırasını bulmak isteseydik aynısını yapardık.

Yazı gelme olasılığı - , tura - .

KUYRUK-KAFA-KUYRUK-KUYRUK dizisini alma olasılığı:

Bir tablo yaparak kendiniz kontrol edebilirsiniz.

Uyumsuz olayların olasılıklarını ekleme kuralı.

Öyleyse dur! Yeni tanım.

Hadi çözelim. Eskimiş paramızı alıp bir kez atalım.
Olası seçenekler:

1. Kartal-kartal-kartal
2. Yazı-tura-yazı
3. Yazı-yazı-tura
4. Yazı-yazı-yazı
5. Kuyruk-tura-kafa
6. Yazı-tura-yazı
7. Kuyruk-yazı-kafa
8. Kuyruk-kuyruk-kuyruk

Yani uyumsuz olaylar belirli, belirli bir olaylar dizisidir. - bunlar uyumsuz olaylardır.

İki (veya daha fazla) uyumsuz olayın olasılığını belirlemek istiyorsak, bu olayların olasılıklarını toplarız.

Yazı ve turaların iki bağımsız olay olduğunu anlamalısınız.

Bir dizinin (veya başka herhangi bir dizinin) meydana gelme olasılığını belirlemek istiyorsak, olasılıkları çarpma kuralını kullanırız.
İlk atışta tura, ikinci ve üçüncü atışta yazı gelme olasılığı nedir?

Ancak eğer birkaç diziden birini alma olasılığının ne olduğunu bilmek istersek, örneğin tura tam olarak bir kez geldiğinde, yani; seçenekleri ve sonra bu dizilerin olasılıklarını toplamamız gerekir.

Toplam seçenekler bize uygundur.

Her dizinin oluşma olasılığını toplayarak aynı sonucu elde edebiliriz:

Bu nedenle, belirli, tutarsız olay dizilerinin olasılığını belirlemek istediğimizde olasılıkları ekliyoruz.

Ne zaman çarpacağınız ve ne zaman ekleyeceğiniz konusunda kafa karışıklığından kaçınmanıza yardımcı olacak harika bir kural vardır:

Bir kez yazı tura attığımız ve bir kez tura gelme olasılığını bilmek istediğimiz örneğe geri dönelim.
Ne olmalı?

Düşmeli:
(tura VE yazı VE yazı) VEYA (yazı VE yazı VE yazı) VEYA (yazı VE yazı VE yazı).
Şu şekilde ortaya çıkıyor:

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 5.

Kutunun içinde kalemler var. kırmızı, yeşil, turuncu ve sarı ve siyah. Kırmızı veya yeşil kalem çekme olasılığı nedir?

Çözüm:

Örnek 6.

Bir zar iki kez atıldığında toplamının 8 gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm.

Nasıl puan alabiliriz?

(ve) veya (ve) veya (ve) veya (ve) veya (ve).

Bir (herhangi) yüz alma olasılığı.

Olasılığı hesaplıyoruz:

Eğitim.

Sanırım artık olasılıkları ne zaman hesaplamanız gerektiğini, ne zaman eklemeniz gerektiğini ve ne zaman çarpmanız gerektiğini anladınız. Değil mi? Biraz pratik yapalım.

Görevler:

Maça, kupa, 13 sinek ve 13 karo içeren kartların bulunduğu bir kart destesini alalım. Her renkten As'a kadar.

1. Sineklerin art arda çekilmesi olasılığı nedir (çıkarılan ilk kartı desteye geri koyarız ve karıştırırız)?
2. Siyah kart (maça veya sinek) çekme olasılığı nedir?
3. Bir resmin (vale, kız, papaz veya as) çekilme olasılığı nedir?
4. Arka arkaya iki resim çekme olasılığı nedir (desteden çekilen ilk kartı çıkarırız)?
5. İki kart alarak bir kombinasyon (vale, kız veya papaz) ve bir as toplama olasılığı nedir? Kartların çekilme sırası önemli değildir.

Cevaplar:

Tüm sorunları kendiniz çözebildiyseniz, o zaman harikasınız! Artık Birleşik Devlet Sınavında olasılık teorisi problemlerini deli gibi çözeceksiniz!

OLASILIK TEORİSİ. ORTA SEVİYE

Bir örneğe bakalım. Diyelim ki bir zar attık. Bu ne tür bir kemik biliyor musun? Buna, yüzlerinde sayılar bulunan küp diyorlar. Kaç tane yüz, şu kadar çok sayı: kaçtan kaça kadar? İle.

Yani zar atıyoruz ve gelmesini istiyoruz. Ve anlıyoruz.

Olasılık teorisinde ne olduğunu söylüyorlar hayırlı olay(müreffeh ile karıştırılmamalıdır).

Eğer öyle olsaydı, olay da olumlu olurdu. Toplamda yalnızca iki olumlu olay gerçekleşebilir.

Kaç tanesi olumsuz? Olası olayların tamamı mevcut olduğundan, bu, olumsuz olanların olaylar olduğu anlamına gelir (bu, if veya fallout'tur).

Tanım:

Olasılık, olumlu olayların sayısının tüm olası olayların sayısına oranıdır. Yani olasılık, olası tüm olayların ne kadarının olumlu olduğunu gösterir.

Olasılık bir Latin harfiyle gösterilir (görünüşe göre İngilizce olasılık - olasılık kelimesinden gelir).

Olasılığı yüzde olarak ölçmek gelenekseldir (bkz. konular ve). Bunu yapmak için olasılık değerinin çarpılması gerekir. Zar örneğinde olasılık.

Ve yüzde olarak: .

Örnekler (kendiniz karar verin):

1. Bir madeni para atıldığında tura gelme olasılığı nedir? Yazıların gelme olasılığı nedir?
2. Bir zar atıldığında çift sayı gelme olasılığı kaçtır? Hangisi tuhaf?
3. Basit, mavi ve kırmızı kalemlerden oluşan bir kutuda. Rastgele bir kalem çiziyoruz. Basit bir tane alma olasılığı nedir?

Çözümler:

1. Kaç seçenek var? Yazı ve tura - sadece iki. Bunlardan kaçı olumlu? Yalnızca biri kartaldır. Yani olasılık

   Kuyruklar için de durum aynıdır: .

2. Toplam seçenekler: (küpün kaç tarafı var, şu kadar farklı seçenek). Olumlu olanlar: (bunların hepsi çift sayılardır :).
   Olasılık. Elbette tek sayılarda da durum aynı.
3. Toplam: . Uygun: . Olasılık: .

Toplam olasılık

Kutudaki tüm kalemler yeşildir. Kırmızı kalem çizme olasılığı nedir? Şans yok: olasılık (sonuçta olumlu olaylar -).

Böyle bir olaya imkansız denir.

Yeşil kalem çizme olasılığı nedir? Toplam olay sayısıyla tam olarak aynı sayıda olumlu olay vardır (tüm olaylar olumludur). Yani olasılık veya'ya eşittir.

Böyle bir olaya güvenilir denir.

Bir kutuda yeşil ve kırmızı kalemler varsa, yeşil veya kırmızı kalemlerin çizilme olasılığı nedir? Tekrar. Şunu not edelim: Yeşili çekme olasılığı eşittir, kırmızı da eşittir.

Özetle bu olasılıklar tamamen eşittir. Yani, Tüm olası olayların olasılıklarının toplamı veya'ya eşittir.

Örnek:

Bir kutu kalemin içinde mavi, kırmızı, yeşil, düz, sarı, geri kalanlar ise turuncu renktedir. Yeşil çizilmeme olasılığı nedir?

Çözüm:

Tüm olasılıkların toplandığını hatırlıyoruz. Ve yeşile dönme olasılığı eşittir. Bu, yeşil çizilmeme olasılığının eşit olduğu anlamına gelir.

Bu hileyi unutmayın: Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, olayın meydana gelme olasılığının eksisine eşittir.

Bağımsız olaylar ve çarpma kuralı

Bir kez yazı tura atıyorsunuz ve her iki seferde de tura gelmesini istiyorsunuz. Bunun olasılığı nedir?

Tüm olası seçenekleri gözden geçirelim ve kaç tane olduğunu belirleyelim:

Yazı-tura, yazı-tura, yazı-yazı, yazı-yazı. Başkaları ne?

Toplam seçenekler. Bunlardan bize yakışan sadece biri: Kartal-Kartal. Toplamda olasılık eşittir.

İyi. Şimdi bir kez yazı tura atalım. Matematiği kendiniz yapın. İşe yaradı mı? (cevap).

Sonraki her atışın eklenmesiyle olasılığın yarı yarıya azaldığını fark etmiş olabilirsiniz. Genel kural denir çarpma kuralı:

Bağımsız olayların olasılıkları değişir.

Bağımsız olaylar nelerdir? Her şey mantıklı: bunlar birbirine bağlı olmayanlar. Örneğin, birkaç kez para attığımızda, her defasında yeni bir atış yapılır ve bunun sonucu önceki atışların tümüne bağlı değildir. Aynı anda iki farklı parayı da kolaylıkla atabiliyoruz.

Daha fazla örnek:

1. Zarlar iki kez atılır. Her iki seferde de gelme olasılığı nedir?
2. Para bir kez atılıyor. İlk seferde tura, sonra iki kez yazı gelme olasılığı nedir?
3. Oyuncu iki zar atar. Üzerlerindeki sayıların toplamının eşit olma olasılığı nedir?

Cevaplar:

1. Olaylar bağımsızdır, yani çarpma kuralı çalışır: .
2. Tura olasılığı eşittir. Yazı gelme olasılığı aynıdır. Çarp:
3. 12 yalnızca iki -ki yuvarlanırsa elde edilebilir: .

Uyumsuz olaylar ve ekleme kuralı

Birbirini tam olasılık noktasına kadar tamamlayan olaylara uyumsuz denir. Adından da anlaşılacağı gibi aynı anda gerçekleşemezler. Örneğin, bir parayı havaya attığımızda yazı ya da tura gelebilir.

Örnek.

Bir kutu kalemin içinde mavi, kırmızı, yeşil, düz, sarı, geri kalanlar ise turuncu renktedir. Yeşil veya kırmızı çizme olasılığı nedir?

Çözüm .

Yeşil kalem çekme olasılığı eşittir. Kırmızı - .

Genel olarak olumlu olaylar: yeşil + kırmızı. Bu, yeşil veya kırmızı çekme olasılığının eşit olduğu anlamına gelir.

Aynı olasılık şu biçimde temsil edilebilir: .

Bu ekleme kuralıdır: uyumsuz olayların olasılıkları artar.

Karışık tip problemler

Örnek.

Para iki kez atılıyor. Zar atışlarının sonuçlarının farklı olma olasılığı nedir?

Çözüm .

Bu, ilk sonucun tura olması durumunda ikincisinin yazı olması gerektiği ve bunun tersinin de geçerli olduğu anlamına gelir. İki çift bağımsız olay olduğu ve bu çiftlerin birbiriyle uyumsuz olduğu ortaya çıktı. Nerede çarpılacağı ve nereye ekleneceği konusunda kafanız nasıl karışmaz?

Bu tür durumlar için basit bir kural vardır. “VE” veya “VEYA” bağlaçlarını kullanarak ne olacağını açıklamaya çalışın. Örneğin bu durumda:

(Yazı ve yazı) veya (yazı ve yazı) gelmeli.

“Ve” bağlacının olduğu yerde çarpma, “veya” bağlacının olduğu yerde ise toplama işlemi yapılır:

Kendiniz deneyin:

1. Bir madeni para iki kez atıldığında her ikisinde de aynı yüze gelme olasılığı nedir?
2. Zarlar iki kez atılır. Toplam puan alma olasılığı nedir?

Çözümler:

Başka bir örnek:

Bir kez yazı tura atın. En az bir kez tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

OLASILIK TEORİSİ. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Olasılık, olumlu olayların sayısının tüm olası olayların sayısına oranıdır.

Bağımsız etkinlikler

Birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa iki olay bağımsızdır.

Toplam olasılık

Tüm olası olayların olasılığı ()'ye eşittir.

Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, olayın meydana gelme olasılığının eksisine eşittir.

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı

Belirli bir bağımsız olaylar dizisinin olasılığı, her olayın olasılıklarının çarpımına eşittir

Uyumsuz olaylar

Uyumsuz olaylar, bir deneyin sonucunda aynı anda meydana gelmesi mümkün olmayan olaylardır. Bir dizi uyumsuz olay, tam bir olaylar grubunu oluşturur.

Uyumsuz olayların olasılıkları artar.

“AND” veya “OR” bağlaçlarını kullanarak ne olması gerektiğini anlattıktan sonra “AND” yerine çarpma işareti, “OR” yerine ise toplama işareti koyuyoruz.

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle girmek ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR

Evet, ders kitabımızda bu tür 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Ve sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Olasılık teorisine ilişkin testin yanıtları Matematik disiplinlerini okuyan birinci sınıf öğrencilerine yardımcı olacaktır. Ödevler çok sayıda teorik materyali kapsamaktadır ve çözümlerinin gerekçesi her öğrenci için faydalı olacaktır.

Problem 1. Tüm kenarları boyalı olan bir küp, aynı büyüklükte 1000 küp halinde kesiliyor. Rastgele çizilen bir küpün aşağıdaki özelliklere sahip olma olasılığını belirleyin:

• a) bir boyalı kenar;
• b) iki gölgeli yüz.

Hesaplamalar: Bir küp aynı büyüklükte küpler halinde kesilirse tüm yüzler 100 kareye bölünür. (Yaklaşık olarak resimdeki gibi)
Ayrıca, duruma göre küpün bir gölgeli yüzü olmalıdır - bu, küplerin dış yüzeye ait olması gerektiği ancak küpün kenarlarında (2 gölgeli yüzey) ve köşelerde bulunmaması gerektiği anlamına gelir - üç gölgeli yüzeye sahiptirler yüzeyler.
Dolayısıyla gerekli miktar 8*8 boyutunda bir karedeki 6 yüz ile küp sayısının çarpımına eşittir.
6*8*8=384 – 1 boyalı yüzeyi olan küpler.
Olasılık, olumlu olayların sayısının toplam sayılarına eşittir P=384/1000=0,384.
b) İki gölgeli yüzün kenarları boyunca küpün köşeleri olmayan küpler bulunur. Bir kenarda bu tür 8 küp olacak. Küpte toplam 12 kenar vardır, dolayısıyla iki gölgeli yüz
8*12=96 küp.
Ve onları 1000'in arasından çıkarma olasılığı eşittir
P=96/1000=0,096.
Bu görev çözüldü ve bir sonrakine geçiyoruz.

Görev 2. A, A, A, N, N, C harfleri aynı kartlara yazılmıştır. Kartları rastgele bir sıraya yerleştirdiğimizde ANANAS kelimesini elde etme olasılığı nedir?
Hesaplamalar: Daima bilinenlerden yola çıkarak mantık yürütmelisiniz. A, 2-H ve 1 – C olmak üzere 3 harf verildiğinde toplamda 6 adet “ananas” kelimesi için harf seçmeye başlayalım. İlk harf A'dır ve bunu 6 üzerinden 3 şekilde seçebiliriz. Çünkü bilinen 6 harf arasında 3 adet A harfi vardır. Bu nedenle A'yı ilk çekme olasılığı
P 1 =3/6=1/2.
İkinci harf H ama unutmamalıyız ki A çekildikten sonra seçilebilecek 5 harf kalıyor. Bu nedenle 2 H sayısını çekme olasılığı eşittir
P2 =2/5.
Sonraki Geriye kalan 4 kişi arasından çekiliş yapma olasılığı
P3 =2/4.
Daha sonra olasılıktan H çıkarılabilir
P4 =1/3.
Sona ne kadar yakınsa olasılık da o kadar artar ve zaten A'yı şu anda çıkarabiliriz.
P5 =1/2.
Bundan sonra geriye yalnızca bir C kartı kaldığı için onu çekme olasılığı yüzde 100'dür veya
P 6 =1.
ANANAS kelimesinin oluşma olasılığı olasılıkların çarpımına eşittir
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
Olasılık teorisindeki benzer problemler buna dayanmaktadır.

Görev 3. Satıcı, bir ürün partisinden rastgele numuneler seçer. Rastgele alınan bir ürünün en yüksek kalitede olma olasılığı 0,8'dir. Seçilen 3 ürün arasında en yüksek kaliteye sahip iki ürünün olma olasılığını bulunuz?
Hesaplamalar: Bu örnek Bernoulli formülünün uygulanmasına dayanmaktadır.
p=0.8; q=1-0,8=0,2.
Formülü kullanarak olasılığı hesaplıyoruz

Formül diliyle anlatmazsan ikisi olumlu, biri olumsuz üç olayın birleşimini yapmak zorunda kalırsın. Bu ürünlerin toplamı olarak yazılabilir.

Her iki seçenek de eşdeğerdir, yalnızca birincisi tüm görevlerde, ikincisi ise dikkate alınana benzer görevlerde uygulanabilir.

Problem 4. Beş atıcıdan ikisi hedefi 0,6 olasılıkla, üçü ise 0,4 olasılıkla vurdu. Hangisi daha muhtemel: Rastgele seçilen bir atıcı hedefi vuruyor mu vurmuyor mu?
Hesaplamalar: Toplam olasılık formülünü kullanarak atıcının vurma olasılığını belirliyoruz.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Olasılık P'den küçük<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
Vurmama olasılığı

veya
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.

Problem 5. Sınava gelen 20 öğrenciden 10'u mükemmel hazırlanmış (tüm soruları biliyordu), 7'si iyi hazırlanmış (her biri 35 soru biliyordu) ve 3'ü kötü hazırlanmıştı (10 soru). Programda 40 soru bulunmaktadır. Rastgele çağrılan bir öğrenci biletteki üç soruyu yanıtladı. Hazırlıklı olma olasılığı nedir?

• a) mükemmel;
• b) kötü.

Hesaplamalar: Sorunun özü, öğrencinin biletteki üç soruyu, yani sorulan her şeyi yanıtlamasıdır, ancak şimdi bunları alma olasılığının ne olduğunu hesaplayacağız.
Öğrencinin üç soruyu doğru cevaplama olasılığını bulalım. Bu, öğrenci sayısının tüm gruba oranı ile tüm olasılar arasında bildikleri bilet çekme olasılıklarının çarpımı olacaktır.

Şimdi bir öğrencinin “mükemmel” hazırlanmış bir gruba ait olma olasılığını bulalım. Bu, ön olasılığın ilk teriminin olasılığın kendisine oranına eşdeğerdir.

Bir öğrencinin kötü hazırlanmış bir gruba ait olma olasılığı oldukça küçük olup 0,00216'ya eşittir.

Bu görev tamamlandı. Sınavlarda ve testlerde yaygın olduğu için bunu iyi anlayın ve nasıl hesaplayacağınızı unutmayın.

Soru 6. Bir madeni para 5 kez atılıyor. Armanın 3 defadan az görünme olasılığını bulunuz?
Hesaplamalar: Armanın veya kuyruğun çizilme olasılığı 0,5'e eşdeğerdir. 3 defadan az olması, armanın 0, 1 veya 2 defa görünebileceği anlamına gelir. Toplama işlemlerindeki “Veya” her zaman olasılık cinsinden ifade edilir.
Bernoulli formülünü kullanarak olasılıkları buluyoruz

p=q=0,5 olduğundan olasılık şu şekildedir:

Olasılık 0,5'tir.

Sorun 7. Metal terminalleri damgalarken standart olanların ortalama% 90'ı elde edilir. 900 terminalden en az 790, en fazla 820 terminalin standart olma olasılığını bulun.

Hesaplamalar: Hesaplamalar yapılmalıdır

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik

1. Olasılık teorisinin konusu ve ekonomik ve teknik sorunların çözümündeki önemi. Olasılık ve tanımı

Uzun bir süre boyunca insanlık faaliyetleri için yalnızca sözde deterministik kalıpları inceledi ve kullandı. Ancak tesadüfi olaylar bizim isteğimiz olmadan hayatımıza girip sürekli etrafımızı sardığından, üstelik hemen hemen tüm doğa olayları doğası gereği tesadüfi olduğundan, bunları nasıl inceleyeceğimizi öğrenmek ve bu amaçla çalışma yöntemleri geliştirmek gerekir.

Nedensel ilişkilerin tezahür biçimine göre, doğa ve toplum yasaları iki sınıfa ayrılır: deterministik (önceden belirlenmiş) ve istatistiksel.

Örneğin, gök mekaniği yasalarına dayanarak, güneş sistemindeki gezegenlerin şu anda bilinen konumlarına dayanarak, zaman içinde herhangi bir noktadaki konumları neredeyse kesin bir şekilde tahmin edilebilir; güneş ve ay tutulmaları da dahil olmak üzere, çok doğru bir şekilde tahmin edilebilir. Bu deterministik yasaların bir örneğidir.

Ancak tüm olaylar doğru bir şekilde tahmin edilemez. Bu nedenle, uzun vadeli iklim değişiklikleri ve kısa vadeli hava değişiklikleri, başarılı tahminler için nesneler değildir; birçok yasa ve kalıp deterministik bir çerçeveye çok daha az uyuyor. Bu tür yasalara istatistik yasaları denir. Bu yasalara göre sistemin gelecekteki durumu kesin olarak belirlenmemekte, yalnızca belirli bir olasılıkla belirlenmektedir.

Olasılık teorisi, diğer matematik bilimleri gibi, uygulamanın ihtiyaçlarından yola çıkılarak yeniden canlandırıldı ve geliştirildi. Kitlesel rastgele olayların doğasında bulunan kalıpları inceliyor.

Olasılık teorisi, belirli bir koşullar kümesi yeniden üretildiğinde birçok kez tekrarlanabilen kütlesel rastgele olayların özelliklerini inceler. Herhangi bir rastgele olayın ana özelliği, doğası ne olursa olsun, onun meydana gelme olasılığı veya ölçüsüdür.

Gözlemlediğimiz olaylar (olgular) üç türe ayrılabilir: güvenilir, imkansız ve rastgele.

Olması kesin olan olaya kesin denir. Olmayacağını bildiğimiz olaya imkansız denir. Rastgele bir olay, gerçekleşebilecek veya gerçekleşmeyebilecek bir olaydır.

Olasılık teorisi, rastgele bir olay üzerindeki tüm nedenlerin etkisini hesaba katmak imkansız olduğundan, tek bir olayın gerçekleşip gerçekleşmeyeceğini tahmin etme görevini kendisine vermez. Öte yandan, yeterince büyük sayıda homojen rastgele olayın, spesifik doğalarına bakılmaksızın belirli kalıplara, yani olasılıksal kalıplara tabi olduğu ortaya çıktı.

Dolayısıyla olasılık teorisinin konusu, kütlesel homojen rastgele olayların olasılıksal modellerinin incelenmesidir.

Kütlesel rastgele olaylarla ilgili bazı problemler, 17. yüzyılın başlarında uygun matematik araçları kullanılarak çözülmeye çalışılıyordu. Çeşitli şans oyunlarının gidişatını ve sonuçlarını inceleyen B. Pascal, P. Fermat ve H. Huygens, 17. yüzyılın ortalarında klasik olasılık teorisinin temellerini attılar. Çalışmalarında olasılık kavramlarını ve rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini üstü kapalı olarak kullandılar. Sadece 18. yüzyılın başında. J. Bernoulli olasılık kavramını formüle eder.

Olasılık teorisi Moivre, Laplace, Gauss, Poisson ve diğerlerine daha fazla başarı borçludur.

P.L. gibi Rus ve Sovyet matematikçiler olasılık teorisinin gelişimine büyük katkılarda bulundular. Chebyshev, A.A. Markov, A.M. Lyapunov, S.N. Bernstein, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, A. Prokhorov, vb.

Olasılık teorisinin gelişiminde özel bir yer, önde gelen temsilcileri akademisyen V.I. olan Özbek ekolüne aittir. Romanovsky, S.Kh. Sirazhdinov, T.A. Sarymsakov, T.A. Azlarov, Ş.K. Farmanov, profesör I.S. Badalbaev, M.U. Gafurov, S.A. Haşimov ve diğerleri.

Daha önce de belirtildiği gibi, olasılık teorisinin ortaya çıkmasına katkıda bulunan uygulama ihtiyaçları, onun bir bilim olarak gelişimini beslemiş ve giderek daha fazla dal ve bölümün ortaya çıkmasına yol açmıştır. Matematiksel istatistik, görevi bir örneklemden genel popülasyonda var olan özellikleri belirli bir güvenilirlik derecesiyle yeniden oluşturmak olan olasılık teorisine dayanmaktadır. Rastgele süreçler teorisi, kuyruk teorisi, bilgi teorisi, güvenilirlik teorisi, ekonometrik modelleme vb. bilim dalları olasılık teorisinden ayrılmıştır.

Olasılık teorisinin en önemli uygulama alanları ekonomik ve teknik bilimlerdir. Şu anda, olasılık teorisine dayalı modelleme, korelasyon ve regresyon analizi modelleri, yeterlilik ve "hassas" uyarlanabilir modeller olmadan ekonomik ve teknik olayların incelenmesini hayal etmek zordur.

Trafik akışlarında meydana gelen olaylar, araba bileşenlerinin güvenilirlik derecesi, yollarda araba kazaları, yol tasarımı sürecindeki belirsizlikleri nedeniyle çeşitli durumlar, olasılık teorisi yöntemleri kullanılarak incelenen problemler kapsamına dahildir.

Olasılık teorisinin temel kavramları deneyim veya deney ve olaylardır. Belirli koşullar ve koşullar altında gerçekleştirilen eylemlere deney diyoruz. Bir deneyin her spesifik uygulamasına test denir.

Bir deneyin akla gelebilecek her sonucuna temel olay denir ve ile gösterilir. Rastgele olaylar belirli sayıda temel olaydan oluşur ve A, B, C, D,... ile gösterilir.

Öyle ki bir dizi temel olay

1) Bir deneyin sonucunda her zaman temel olaylardan biri meydana gelir;

2) bir deneme sırasında, temel olayların uzayı adı verilen ve ile gösterilen yalnızca bir temel olay meydana gelecektir.

Dolayısıyla herhangi bir rastgele olay, temel olaylar uzayının bir alt kümesidir. Temel olayların uzayının tanımı gereği, güvenilir bir olay şu şekilde belirtilebilir: İmkansız bir olay ile gösterilir.

Örnek 1: Bir zar atılıyor. Bu deneye karşılık gelen temel olayların uzayı aşağıdaki forma sahiptir:

Örnek 2. Torbanın içinde 2 kırmızı, 3 mavi ve 1 beyaz olmak üzere toplam 6 top olsun. Deney, bir kavanozdan rastgele topların çekilmesinden ibarettir. Bu deneye karşılık gelen temel olayların uzayı aşağıdaki forma sahiptir:

temel olayların aşağıdaki anlamlara sahip olduğu yerlerde: - beyaz bir top belirdi; - kırmızı bir top belirdi; - mavi bir top belirdi. Aşağıdaki olayları göz önünde bulundurun:

A - beyaz bir topun görünümü;

B - kırmızı bir topun görünümü;

C - mavi bir topun görünümü;

D - renkli (beyaz olmayan) bir topun görünümü.

Burada, bu olayların her birinin şu veya bu derecede olasılıklara sahip olduğunu görüyoruz: bazıları - daha büyük, diğerleri - daha az. Açıkçası, B olayının olasılık derecesi A olayınınkinden daha yüksektir; olaylar C - olaylardan B; D olayları - C olaylarına göre. Olayları olasılık derecesine göre niceliksel olarak karşılaştırmak için, elbette, her olayla belirli bir sayıyı ilişkilendirmek gerekir; bu sayı ne kadar büyükse, olay o kadar olasıdır.

Bu sayıyı A olayının olasılığı olarak adlandırıyoruz. Şimdi olasılığın tanımını verelim.

Temel olayların uzayı sonlu bir küme olsun ve elemanları da olsun. Bunların eşit derecede olası temel olaylar olduğunu varsayacağız; her temel olayın diğerlerinden daha fazla gerçekleşme şansı yoktur. Bilindiği gibi her A rastgele olayı bir alt küme olarak temel olaylardan oluşur. Bu temel olaylara A'nın lehine denir.

A olayının olasılığı formülle belirlenir

burada m, A için uygun temel olayların sayısıdır, n ise dahil edilen tüm temel olayların sayısıdır.

Örnek 1 A'da çift sayıda puanın atılacağı olayı belirtiyorsa, o zaman

Örnek 2'de olayların olasılıkları aşağıdaki değerlere sahiptir:

Olasılığın tanımından aşağıdaki özellikler çıkar:

1. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.

Gerçekten de eğer bir olay güvenilirse, o zaman tüm temel olaylar onu destekler. Bu durumda m=n ve dolayısıyla

2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Aslında bir olay imkansızsa, o zaman tek bir temel olay bile onu desteklemez. Bu durumda m=0 ve dolayısıyla

3. Rastgele bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasında pozitif bir sayıdır.

Aslına bakılırsa, temel olayların toplam sayısının yalnızca bir kısmı rastgele bir olayı desteklemektedir. Bu durumda ve dolayısıyla ve dolayısıyla,

Yani herhangi bir olayın olasılığı eşitsizlikleri karşılar

Bir olayın göreceli sıklığı, olayın meydana geldiği deneme sayısının gerçekte gerçekleştirilen toplam deneme sayısına oranıdır.

Böylece A olayının bağıl sıklığı aşağıdaki formülle belirlenir:

burada m olayın meydana gelme sayısıdır, n ise toplam deneme sayısıdır.

Olasılık ve göreceli sıklık tanımlarını karşılaştırdığımızda şu sonuca varıyoruz: Olasılığın tanımı testlerin gerçekten yapılmasını gerektirmez; bağıl frekansın belirlenmesi, testlerin gerçekten gerçekleştirildiğini varsayar.

Örnek 3. Rastgele seçilen 80 özdeş parçadan 3'ü hatalı parça olarak belirlendi. Arızalı parçaların göreceli sıklığı

Örnek 4. Yıl içerisinde tesislerden birinde 24 denetim gerçekleştirilmiş ve 19 yasa ihlali kayıt altına alınmıştır. Yasa ihlallerinin göreceli sıklığı

Uzun vadeli gözlemler, deneyler, her birinde test sayısı oldukça fazla olan aynı koşullar altında gerçekleştirilirse, göreceli frekansın çok az değiştiğini (ne kadar az olursa, o kadar çok test yapılır), belirli bir sabit etrafında dalgalandığını göstermiştir. sayı. Bu sabit sayının olayın gerçekleşme olasılığı olduğu ortaya çıktı.

Dolayısıyla, eğer bağıl frekans deneysel olarak belirlenirse, elde edilen sayı yaklaşık bir olasılık değeri olarak alınabilir. Bu olasılığın istatistiksel tanımıdır.

Sonuç olarak olasılığın geometrik tanımına bakalım.

Temel olayların uzayı, bir düzlemde veya uzayda belirli bir alan olarak ve A'nın da bunun alt kümesi olarak kabul edilirse, o zaman A olayının olasılığı, A'nın alanlarının veya hacimlerinin oranı olarak dikkate alınacak ve şu şekilde bulunacaktır: aşağıdaki formüllere göre:

Tekrar ve kontrole yönelik sorular:

1. Nedensel ilişkilerin tezahür biçimine göre doğa ve toplum yasaları hangi sınıflara ayrılır?

2. Ne tür etkinlikler ayrılabilir?

3. Olasılık teorisinin konusu nedir?

4. Olasılık teorisinin gelişim tarihi hakkında ne biliyorsunuz?

5. Olasılık teorisinin ekonomik ve teknik problemler açısından önemi nedir?

6. Deney, test, temel olay ve olay nedir, nasıl belirlenir?

7. Temel olayların uzayına ne denir?

8. Bir olayın olasılığı nasıl belirlenir?

9. Olasılığın hangi özelliklerini biliyorsunuz?

10. Bir olayın göreceli sıklığı hakkında ne biliyorsunuz?

11. Olasılığın istatistiksel tanımının özü nedir?

12. Olasılığın geometrik tanımı nedir?

A.N.'nin biyografisi ve eserleri.

Temel olasılık teorisi, olasılık teorisinin yalnızca sonlu sayıda olayın olasılıklarıyla ilgilenmesi gereken kısmıdır. Matematiksel bir disiplin olarak olasılık teorisi...

Vektör uzayı. Doğrusal programlama problemlerini grafiksel olarak çözme

Şimdi birkaç doğrusal programlama problemine bakalım ve bunları grafiksel olarak çözelim. Problem 1. maksimum Z = 1+ - , . Çözüm. Bu problemin eşitsizlik sistemi tarafından tanımlanan yarım düzlemlerin ortak noktalarının olmadığını unutmayın (Şekil 2).