Merkezi perspektif projeksiyonu. Grafik API'sindeki perspektif matrisleri veya şeytan ayrıntılarda gizlidir

Merkezi projeksiyonlarda, görüntülenen nesnenin resim düzlemine paralel kenarları, şekil bozulması olmadan, ancak boyut bozulmasıyla gösterilir.

Şekil 24 Bir küpün merkezi izdüşümleri: a) bir nokta, b) iki nokta, c) üç nokta.

Resim düzlemine paralel olmayan herhangi bir dizi paralel çizginin merkezi izdüşümleri şu noktada birleşecektir: ufuk noktası. Koordinat eksenlerinden birine paralel doğruların ufuk noktasına denir. ana kaçış noktası. Çünkü Üç koordinat ekseni vardır, bu durumda üçten fazla ana ufuk noktası olamaz.

Koordinat eksenlerinin ve resim düzleminin konumuna bağlı olarak bir, iki ve üç noktalı merkezi projeksiyonlar ayırt edilir.

Tek nokta resim düzlemi koordinat düzlemlerinden biriyle çakıştığında (veya ona paralel olduğunda) bir projeksiyon elde edilir. Yani yalnızca bir koordinat ekseni resim düzlemine paralel değildir ve bir ana ufuk noktasına sahiptir.

Noktadan noktaya koordinat eksenlerinden yalnızca biri resim düzlemine paralel olduğunda bir projeksiyon elde edilir. Diğer iki koordinat ekseni resim düzlemine paralel değildir ve iki ana ufuk noktasına sahiptir. Dünyanın yüzeyinde bulunan nesneleri tasvir ederken, resim düzleminin paralel olduğu iki noktalı projeksiyon en sık kullanılır. dikey eksen koordinatlar Her iki ana ufuk noktası da aynı yerde bulunur yatay çizgi– ufuk çizgileri (Şekil 6.5). Şu tarihte: üç noktaüç projeksiyonun tümü koordinat eksenleri resim düzlemine paralel değildir ve bu nedenle üç ana ufuk noktası vardır.

Bir noktanın tek nokta izdüşümü durumunu daha ayrıntılı olarak ele alalım. R uçağa z= 0 projeksiyon merkezi ile İLE, eksen üzerinde yatıyor z(Şekil 25).

Nokta A olarak ekrana yansıtıldı A. Gözlemciden projeksiyon düzlemine olan mesafe k'dir. Noktanın koordinatlarını belirlemek gerekir Aekranda. Bunları belirtelim X e ve sen e. Üçgenlerin benzerliğinden A sen A z N Ve sen ah AÇIK bunu bulduk

(x.9)

x için de benzer şekilde:

.

(x.10)

Pirinç. 25. Merkezi projeksiyon formüllerinin türetilmesi.

Pirinç. 26. Merkezi perspektif projeksiyonundaki noktaların koordinatlarını hesaplamanın başka bir yolu. N= (0,0,-K'nin mesafe olduğunu ve gözlemcinin bu noktada olduğunu hatırlayın.). Gözlem noktası koordinatların orijinine ve projeksiyon düzlemi belli bir mesafeye yerleştirilirse AŞekil 26'da gösterildiği gibi, daha sonra formüller X ah ve şu formu alacaksınız:

,
(x.11)

Formüller (x.10), gözlemciyi projeksiyon düzlemine yaklaştırmak veya uzaklaştırmak gerektiğinde daha kullanışlıdır. Formüller (x.11), toplama işleminin olmaması nedeniyle hesaplamalar için daha az zaman gerektirir.

Üç boyutlu uzayda bir nokta düşünün ( A, B, C). Bu noktayı iki boyutlu uzaydaki bir noktanın homojen bir temsili olarak hayal edersek, koordinatları ( A/ C, B/ C). Bu koordinatları merkezi perspektif projeksiyonu için türetilen ikinci tip formüllerle karşılaştırdığımızda, bir noktanın koordinatlarla iki boyutlu temsilinin ( A, B, C) bir düzlem üzerindeki izdüşümüne benziyor z= 1, Şekil 2'de gösterildiği gibi. 27.

Pirinç. 27. Bir noktanın izdüşümü ( A, B, C) z = 1 düzlemine.

Benzer şekilde, üç boyutlu uzaydaki vektörler için homojen koordinatların kullanımı göz önüne alındığında, üç boyutlu uzay bir projeksiyon olarak temsil edilebilir. dört boyutlu uzay hiper düzleme w= 1 eğer ( X, sen, z)(wx, neden, wz, w) = (X, sen, z, 1). .

Homojen koordinatlarda merkezi perspektifin dönüşümü bir matris işlemiyle belirlenebilir. Bu matris şu şekilde yazılır:

Bu matrisin, homojen koordinatlarda belirtilen bir nesne noktasının perspektif projeksiyon noktasına (ayrıca homojen koordinatlar). İzin vermek P= (X, sen, z) – noktaya gelin üç boyutlu uzay. Homojen sunumu v= (wx, neden, wz, w). V'yi şununla çarpın: P:

bu, merkezi perspektif için türetilen formülleri (x.10) tam olarak tekrarlamaktadır.

İnsan görüşünün özellikleri nedeniyle, gözlemciden uzaktaki nesnelere, ortografik veya aksonometrik nesnelere oldukça yakın nesnelere (kol uzunluğunda) perspektif projeksiyonu ve daha da yakın nesnelere ters perspektif projeksiyonu uygulamak daha iyidir.

Oluşturmak stereo görüntüler merkezleri varsayımsal bir gözlemcinin gözlerinin konumuyla çakışan iki merkezi projeksiyon kullanılır; resim düzlemine paralel düz bir çizgi üzerinde birbirlerinden biraz uzakta bulunurlar. Projeksiyon tamamlandıktan sonra, sol ve sağ gözler için nesnenin iki görüntüsü elde edilir. Çıkış cihazı bu görüntüleri kullanıcının her gözüne ayrı ayrı sağlamalıdır. Bu amaçla renk veya polarizasyon filtrelerinden oluşan bir sistem kullanılabilir. Daha karmaşık çıktı cihazları (kasklar gibi), görüntülerin her birini, her göz için ayrı ekranlara sunar.

Yukarıda tartışılan tüm projeksiyonlar daire sınıfına aittir. geometrik projeksiyonlar, Çünkü projeksiyon bir düzlem üzerinde (kavisli bir yüzey yerine) ve bir grup düz çizgi (eğriler yerine) kullanılarak yapılır. Bu projeksiyon sınıfı en sık olarak kullanılır. bilgisayar grafikleri. Buna karşılık, haritacılıkta genellikle düzlemsel olmayan veya geometrik olmayan projeksiyonlar kullanılır.

Önceki bölümde önerilen perspektif projeksiyon türleri bilgilendirici değildi, çünkü her durumda küpün yalnızca bir yüzü her projeksiyon merkezinden görülebiliyordu. Bir gözlemcinin bir cismin üç boyutlu şeklini tek bir açıdan algılayabilmesi için o cismin birden fazla yüzünün görülebilmesi gerekir. Küp gibi basit nesneler için en az üç yüzün görünür olması gerekir. Sabit bir merkeze ve projeksiyon düzlemine sahip tek noktalı perspektif projeksiyonundan çok yüzlü bir görünüm elde edilebilir, yöne dik nesnenin daha önce aktarılmış ve/veya döndürülmüş olup olmadığına bakın. Böylece projeksiyonun merkezi nesneye çok yakın olmadığı sürece gerçekçi bir görüntü elde edilir.

Pirinç. 3-31 Üç noktalı perspektif, (a) Orijinal küp; (B) perspektif projeksiyonu uçağa; (c) bozuk küp.

İlk olarak, bir nesnenin basit bir transferini ve ardından bir düzlem üzerine ve izdüşümü merkezi noktasında olacak şekilde tek nokta izdüşümünü düşünelim. Gerekli dönüşüm formda yazılmıştır.

, (3-59)

Pirinç. 3-32 Yönlerde ötelemeli tek noktalı perspektif projeksiyonu.

Denklem (3-59) ve Şekil 2. Şekil 3-32, nesnenin yönlerde çevrildiğini ve ek yüzlerin açıldığını göstermektedir. Küp şeklindeki basit bir nesnenin üç yüzünü ortaya çıkarmak için bu yönlerin her ikisinde de öteleme gereklidir. Şek. Şekil 3-32, orijine göre ortalanmış bir küpün düz bir çizgi boyunca ve tek nokta izdüşümü boyunca bir düzlem üzerine aktarılmasının sonuçlarını göstermektedir. Ön yüz için şunu unutmayın: gerçek boyut ve şekil.

Denklem (3-59) ayrıca eksen boyunca transferin yani; Projeksiyonun merkezine doğru veya merkezden uzağa doğru, ölçekte bariz bir değişiklikle sonuçlanır (öğeden dolayı). Bu etki, fiziksel gerçekliğe karşılık gelir, çünkü gözlemciden uzakta bulunan nesneler daha küçük görünür. Yansıtma merkezi sonsuza yaklaştıkça ölçeklendirme olgusunun ortadan kalktığını unutmayın. Bu etki Şekil 2'de şematik olarak gösterilmektedir. 3-33. Bu şekilde gösterildiği gibi nesne, projeksiyonun merkezinin her iki tarafında da olabilir. Nesne ve projeksiyon düzlemi merkezin aynı tarafındaysa, Şekil 2'de gösterildiği gibi. 3-33'te doğrudan bir görüntü elde edilir. Nesne ve projeksiyon düzlemi birlikte uzanıyorsa farklı taraflar merkezden ters bir görüntü elde edilir.

Pirinç. 3-33 Tek noktalı perspektif projeksiyonu için bir eksen boyunca hareket ederken ölçeklendirme efekti.

Şek. Şekil 3-34'te bir nesnenin üç yönde de hareket ettirilmesinin sonuçları gösterilmektedir. Burada küp üç boyutlu bir çizgi boyunca bir noktadan diğerine hareket eder. Boyutta belirgin bir artış fark edilir ve tüm türlerde koruma fark edilir gerçek biçim, ancak ön yüzün boyutu değil.

Bu fikirler örnekte daha ayrıntılı olarak özetlenmiştir.

Nesne döndürmeyi kullanırsanız birkaç kenar da görünür olacaktır. Bir döndürme bir nesnenin en az iki yüzünü ortaya çıkarırken, farklı eksenler etrafında iki veya daha fazla döndürme en az üç yüzü ortaya çıkaracaktır.

Bir eksen etrafında bir açıyla dönme ve ardından projeksiyon merkezinin bulunduğu bir düzleme tek noktalı perspektif projeksiyonu için dönüşüm matrisi:

. (3-60)

Benzer şekilde, bir eksen etrafında bir açıyla dönme ve ardından projeksiyon merkezi bir noktada olan bir düzleme tek noktalı perspektif projeksiyon için dönüşüm matrisi şu şekildedir:

. (3-61)

Her iki (3-60) ve (3-61) denkleminde de dönüşüm matrisinin dördüncü sütunundaki perspektif dönüşümünden (perspektif) sorumlu iki unsur sıfıra eşit değildir. Yani bir dönüş ana eksen, buna dik Projeksiyonun merkezinin bulunduğu eksen iki noktalı perspektif dönüşümüne eşdeğerdir. Projeksiyonun merkezinin bulunduğu eksen etrafında dönerken böyle bir etki oluşmaz. Bir dönüş için, dönüş eksenine ilişkin perspektif öğesinin değişmeden kaldığını, örneğin denklemler (3-60) ve (3-61)'de ve öğelerinin sırasıyla sıfıra eşit olduğunu unutmayın.

İÇİNDE genel durum ana eksen etrafındaki dönüş, yeterli bir üç boyutlu gösterim için gereken yüz sayısını (en az üç) ortaya çıkarmaz. Bunu yapmak için eksen boyunca hareketle birleştirilmelidir. Sonraki örnek bunu gösteriyor.

Paralel eksenlerin ve düz çizgilerin eksen üzerinde yer alan ufuk noktalarına yakınlaşmasına dikkat edelim.

Bu kaybolma noktaları Bölüm 3-25'teki Örnek 3-25'te tanımlanmıştır. 3-17.

.

Pirinç. 3-35 Tek eksen etrafında dönüşlü iki noktalı perspektif projeksiyonu.

Benzer şekilde, üç noktalı perspektif dönüşümü, iki veya daha fazla ana eksen etrafında döndürülerek ve ardından tek noktalı perspektif dönüşümüyle gerçekleştirilir. Örneğin, eksen etrafında dönüş, daha sonra eksen etrafında dönüş ve projeksiyon merkezi noktadaki bir düzleme perspektif projeksiyonu aşağıdaki dönüşüm matrisine sahiptir:

Bu sonuçlardan, ana eksenler etrafında ve boyunca dönmeler ve ötelemeler kullanılarak bir, iki veya üç noktalı perspektif dönüşümünün oluşturulabileceği, ardından izdüşümü merkezinin üzerinde yer aldığı tek noktalı bir perspektif dönüşümünün oluşturulabileceği açıktır. ana eksenlerden biridir. Bu sonuçlar uzayda keyfi bir eksen etrafında dönme için de geçerlidir. Bu nedenle kullanıldığında grafik sistemi Sabit bir projeksiyon merkezine ve manipüle edilmiş bir nesneye sahip paradigmalar, eksen üzerinde projeksiyon merkezi olan bir düzlemde yalnızca tek noktalı perspektif projeksiyonun oluşturulmasını sağlamak için gereklidir.

Merkezi projeksiyonlarda, görüntülenen nesnenin resim düzlemine paralel kenarları, şekil bozulması olmadan, ancak boyut bozulmasıyla gösterilir.

Şekil 24 Bir küpün merkezi izdüşümleri: a) bir nokta, b) iki nokta, c) üç nokta.

Resim düzlemine paralel olmayan herhangi bir dizi paralel çizginin merkezi izdüşümleri şu noktada birleşecektir: ufuk noktası. Koordinat eksenlerinden birine paralel doğruların ufuk noktasına denir. ana kaçış noktası. Çünkü Üç koordinat ekseni vardır, bu durumda üçten fazla ana ufuk noktası olamaz.

Koordinat eksenlerinin ve resim düzleminin konumuna bağlı olarak bir, iki ve üç noktalı merkezi projeksiyonlar ayırt edilir.

Tek nokta resim düzlemi aşağıdakilerden biriyle çakıştığında projeksiyon elde edilir koordinat düzlemleri(veya ona paralel). Yani yalnızca bir koordinat ekseni resim düzlemine paralel değildir ve bir ana ufuk noktasına sahiptir.

Noktadan noktaya koordinat eksenlerinden yalnızca biri resim düzlemine paralel olduğunda bir projeksiyon elde edilir. Diğer iki koordinat ekseni resim düzlemine paralel değildir ve iki ana ufuk noktasına sahiptir. Dünyanın yüzeyinde bulunan nesneleri tasvir ederken, çoğunlukla dikey koordinat ekseninin resim düzlemine paralel olduğu iki noktalı bir projeksiyon kullanılır. Her iki ana ufuk noktası da aynı yatay çizgide - ufuk çizgisinde - bulunur (Şekil 6.5). Şu tarihte: üç nokta projeksiyonda, üç koordinat ekseninin tümü resim düzlemine paralel değildir ve bu nedenle üç ana ufuk noktası vardır.

Bir noktanın tek nokta izdüşümü durumunu daha ayrıntılı olarak ele alalım. R uçağa z= 0 projeksiyon merkezi ile İLE, eksen üzerinde yatıyor z(Şekil 25).

Nokta A olarak ekrana yansıtıldı A¢. Gözlemciden projeksiyon düzlemine olan mesafe k'dir. Noktanın koordinatlarını belirlemek gerekir A¢ ekranda. Bunları belirtelim X e ve sen e. Üçgenlerin benzerliğinden A y A z N Ve evet AÇIK bunu bulduk

(x.9)

x için de benzer şekilde:

Pirinç. 25. Merkezi projeksiyon formüllerinin türetilmesi.

Pirinç. 26. Merkezi perspektif projeksiyonundaki noktaların koordinatlarını hesaplamanın başka bir yolu.

K'nin mesafe olduğunu ve gözlemcinin bu noktada olduğunu hatırlayın. N = (0,0,-K'nin mesafe olduğunu ve gözlemcinin bu noktada olduğunu hatırlayın.). Gözlem noktası koordinatların başlangıç ​​noktasına ve projeksiyon düzlemi belirli bir mesafeye yerleştirilirse AŞekil 26'da gösterildiği gibi, daha sonra formüller x e ve şu formu alacaksınız:

Formüller (x.10), gözlemciyi projeksiyon düzlemine yaklaştırmak veya uzaklaştırmak gerektiğinde daha kullanışlıdır. Formüller (x.11), toplama işleminin olmaması nedeniyle hesaplamalar için daha az zaman gerektirir.

Üç boyutlu uzayda bir nokta düşünün ( ABC). Bu noktayı iki boyutlu uzaydaki bir noktanın homojen bir temsili olarak hayal edersek, koordinatları ( klima,b/c). Bu koordinatları merkezi perspektif projeksiyonu için türetilen ikinci tip formüllerle karşılaştırdığımızda, bir noktanın koordinatlarla iki boyutlu temsilinin ( ABC) bir düzlem üzerindeki izdüşümüne benziyor z= 1, Şekil 2'de gösterildiği gibi. 27.

Pirinç. 27. Bir noktanın izdüşümü ( ABC) z = 1 düzlemine.

Benzer şekilde, üç boyutlu uzayın vektörleri için homojen koordinatların kullanımı göz önüne alındığında, üç boyutlu uzay, dört boyutlu uzayın bir hiperdüzlem üzerine izdüşümü olarak temsil edilebilir. w= 1 ise ( x,y,z)®( wx,wy,wz,w) = (x,y,z, 1). .

Homojen koordinatlarda merkezi perspektif dönüşümü tanımlanabilir matris işlemi. Bu matris şu şekilde yazılır:

Bu matrisin, homojen koordinatlarda belirtilen bir nesne noktasının perspektif projeksiyon noktasına (homojen koordinatlarda da) dönüştürülmesini belirlediğini gösterelim. İzin vermek P = (x,y,z) – üç boyutlu uzayda bir nokta. Homojen sunumu v = (wx,wy,wz,w). V'yi şununla çarpın: P:

bu, merkezi perspektif için türetilen formülleri (x.10) tam olarak tekrarlamaktadır.

İnsan görüşünün özellikleri nedeniyle, gözlemciden uzaktaki nesnelere, ortografik veya aksonometrik nesnelere oldukça yakın nesnelere (kol uzunluğunda) perspektif projeksiyonu ve daha da yakın nesnelere ters perspektif projeksiyonu uygulamak daha iyidir.

Oluşturmak stereo görüntüler merkezleri varsayımsal bir gözlemcinin gözlerinin konumuyla çakışan iki merkezi projeksiyon kullanılır; resim düzlemine paralel düz bir çizgi üzerinde birbirlerinden biraz uzakta bulunurlar. Projeksiyon tamamlandıktan sonra, sol ve sağ gözler için nesnenin iki görüntüsü elde edilir. Çıkış cihazı bu görüntüleri kullanıcının her gözüne ayrı ayrı sağlamalıdır. Bu amaçla renk veya polarizasyon filtrelerinden oluşan bir sistem kullanılabilir. Daha karmaşık çıktı cihazları (kasklar gibi), görüntülerin her birini, her göz için ayrı ekranlara sunar.

Yukarıda tartışılan tüm projeksiyonlar düz geometrik projeksiyonlar sınıfına aittir çünkü projeksiyon bir düzlem üzerinde (kavisli bir yüzey yerine) ve bir grup düz çizgi (eğriler yerine) kullanılarak yapılır. Bu projeksiyon sınıfı en çok bilgisayar grafiklerinde kullanılır. Buna karşılık, haritacılıkta genellikle düzlemsel olmayan veya geometrik olmayan projeksiyonlar kullanılır.

Son dersimizde afin geometride kullanılan en önemli izdüşümlerden bahsetmiştik. Şimdi perspektif geometrisini ve birkaç yeni projeksiyon türünü ele almaya geçelim.

Fotoğraflarda, resimlerde ve ekranlarda görüntüler bize doğal ve doğru görünür. Bu görüntülere perspektif denir. Özellikleri öyledir ki, daha uzaktaki nesneler daha küçük ölçekte tasvir edilir, paralel çizgiler genellikle paralel değildir. Sonuç olarak, görüntünün geometrisi oldukça karmaşık hale gelir ve nesnenin belirli bölümlerinin boyutunu bitmiş görüntüden belirlemek zordur.

Geleneksel perspektif projeksiyonu merkezi projeksiyon Projeksiyonun merkezinden geçen doğrudan ışınlarla düzlem üzerine. Projeksiyon ışınlarından biri projeksiyon düzlemine diktir ve ana ışın olarak adlandırılır. Bu ışının projeksiyon düzlemiyle kesiştiği nokta resmin ana noktasıdır.

Üç koordinat sistemi vardır. Tipik olarak bir programcı dünya koordinatlarındaki geometrik nesnelerle ilgili verileri çalışır ve saklar. Gerçekçiliği artırmak için, bir görüntüyü ekranda göstermeye hazırlanırken, dünya koordinatlarındaki nesneler hakkındaki veriler görünüm koordinatlarına dönüştürülür. Ve ancak görüntü doğrudan görüntüleme ekranında görüntülendiği anda, ekranın piksel numaraları olan ekran koordinatlarına geçerler.

İlk iki sistem çok boyutlu koordinat sistemlerinde kullanılabilir, ancak ikincisi yalnızca iki boyutlu olanlarda kullanılabilir. İşlemler geri döndürülemez, yani iki boyutlu bir projeksiyon görüntüsünden üç boyutlu bir görüntüyü geri yüklemek imkansızdır.

Genel Perspektif Dönüşüm Matrisi

Bu matristeki elemanlar A, D, eölçeklendirmeden sorumludur, M, N, L yer değiştirme için, P, Q, R projeksiyon için, S kapsamlı ölçeklendirme için X rotasyon için.