Böylece vektörün uzunluğu, koordinatlarının karelerinin toplamının karekökü olarak hesaplanır.
. N boyutlu bir vektörün uzunluğu benzer şekilde hesaplanır
. Bir vektörün her koordinatının, son ve başlangıç ​​koordinatları arasındaki fark olduğunu hatırlarsak, parçanın uzunluğu için formülü elde ederiz, yani. Noktalar arasındaki Öklid uzaklığı.

Skaler çarpım bir düzlemdeki iki vektör, bu vektörlerin uzunluklarının ve aralarındaki açının kosinüsünün çarpımıdır:
. İki vektörün skaler çarpımının olduğu kanıtlanabilir. = (x 1, x 2) ve = (y 1 , y 2) bu vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının çarpımlarının toplamına eşittir:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

N boyutlu uzayda X= (x 1, x 2,...,x n) ve Y= (y 1, y 2,...,y n) vektörlerinin skaler çarpımı, çarpımların toplamı olarak tanımlanır. karşılık gelen koordinatlarının: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Vektörleri birbirleriyle çarpma işlemi, bir satır matrisini bir sütun matrisiyle çarpma işlemine benzer. Sonucun vektör değil sayı olacağını vurguluyoruz.

Vektörlerin skaler çarpımı aşağıdaki özelliklere (aksiyomlara) sahiptir:

1) Değişme özelliği: X*Y=Y*X.

2) Toplama işlemine göre dağılma özelliği: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Herhangi bir gerçek sayı için 
.

4)
, eğerX sıfır vektör değilse;
ifX sıfır bir vektördür.

Karşılık gelen dört aksiyomu karşılayan vektörlerin skaler çarpımının verildiği doğrusal bir vektör uzayına denir. Öklid doğrusal vektöruzay.

Herhangi bir vektörü kendisiyle çarptığımızda uzunluğunun karesini elde ettiğimizi görmek kolaydır. Yani bu farklı uzunluk bir vektör, skaler karesinin karekökü olarak tanımlanabilir:.

Vektör uzunluğu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, burada gerçek sayıdır;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Cauchy-Bunyakovsky eşitsizliği);

4) |X+Y||X|+|Y| ( üçgen eşitsizliği).

N boyutlu uzayda vektörler arasındaki  açısı, skaler çarpım kavramına göre belirlenir. Aslında eğer
, O
. Bu kesir birden büyük değildir (Cauchy-Bunyakovsky eşitsizliğine göre), dolayısıyla buradan 'yi bulabiliriz.

İki vektör denir dikey veya dik, eğer skaler çarpımları sıfıra eşitse. Skaler çarpımın tanımından sıfır vektörünün herhangi bir vektöre dik olduğu sonucu çıkar. Her iki ortogonal vektör de sıfır değilse, cos= 0, yani=/2 = 90 o.

Şekil 7.4'e tekrar bakalım. Şekilden, vektörün eğim açısının  açısının kosinüsünün yatay eksenşu şekilde hesaplanabilir
ve vektörün açısının kosinüsü dikey eksen Nasıl
. Bu numaralara genellikle denir yön kosinüsleri. Yön kosinüslerinin karelerinin toplamının her zaman bire eşit olduğunu doğrulamak kolaydır: cos 2 +cos 2 = 1. Benzer şekilde, yön kosinüs kavramları daha yüksek boyutlu uzaylar için tanıtılabilir.

Vektör uzayı temeli

Vektörler için kavramları tanımlayabiliriz doğrusal kombinasyon,doğrusal bağımlılık Ve bağımsızlık bu kavramların matris satırları için nasıl tanıtıldığına benzer. Ayrıca, vektörler doğrusal olarak bağımlıysa, bunlardan en az birinin diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilebileceği de doğrudur (yani, bunların doğrusal bir birleşimidir). Tersi ifade de doğrudur: Eğer vektörlerden biri diğerlerinin doğrusal birleşimi ise, o zaman tüm bu vektörler birlikte doğrusal olarak bağımlıdır.

a l , a 2 ,...a m vektörleri arasında sıfır bir vektör varsa, o zaman bu vektörler kümesinin zorunlu olarak doğrusal bağımlı olduğuna dikkat edin. Aslında, örneğin sıfır vektöründeki  j katsayısını bire ve diğer tüm katsayıları sıfıra eşitlersek,  l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 elde ederiz. Bu durumda tüm katsayılar sıfıra eşit olmayacaktır ( j ≠ 0).

Ek olarak, bir vektör kümesindeki vektörlerin bir kısmı doğrusal olarak bağımlıysa, bu vektörlerin tümü doğrusal olarak bağımlıdır. Aslında, eğer bazı vektörler, her ikisi de sıfır olmayan katsayılarla doğrusal kombinasyonlarında sıfır vektör veriyorsa, o zaman geri kalan vektörler sıfır katsayılarıyla çarpılarak bu çarpımların toplamına eklenebilir ve bu yine bir sıfır vektör olacaktır.

Vektörlerin doğrusal bağımlı olup olmadığı nasıl belirlenir?

Örneğin üç vektör alalım: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) ve a 3 = (3, 1, 4, 3). Onlardan sütun olacakları bir matris oluşturalım:

Daha sonra doğrusal bağımlılık sorunu bu matrisin sıralamasının belirlenmesine indirgenecektir. Üçe eşit olduğu ortaya çıkarsa, o zaman üç sütunun tümü doğrusal olarak bağımsızdır ve daha az olduğu ortaya çıkarsa, bu, vektörlerin doğrusal bir bağımlılığını gösterecektir.

Rank 2 olduğundan vektörler doğrusal olarak bağımlıdır.

Sorunun çözümünün doğrusal bağımsızlığın tanımına dayanan akıl yürütmeyle de başlayabileceğini unutmayın. Yani,  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0 vektör denklemi oluşturun; bu denklem,  l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, -) formunu alacaktır. 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Sonra bir denklem sistemi elde ederiz:

Bu sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözmek aynı sonucu elde etmeye indirgenecektir. adım matrisi, yalnızca bir tane daha sütunsuz üyeye sahip olacak. Hepsi sıfıra eşit olacak çünkü doğrusal dönüşümler Sıfırlar farklı bir sonuca yol açamaz. Dönüştürülen denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Bu sistemin çözümü (-с;-с;с) olacaktır; burada с keyfi bir sayıdır; örneğin, (-1;-1;1). Bunun anlamı, eğer  l = -1; 2 =-1 ve  3 = 1 alırsak, o zaman  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0 olur, yani. vektörler aslında doğrusal olarak bağımlıdır.

Çözülmüş örnekten, vektörlerin sayısını uzayın boyutundan daha büyük alırsak, bunların mutlaka doğrusal olarak bağımlı olacağı açıkça ortaya çıkıyor. Aslında bu örnekte beş vektör alırsak, derecesi dörtten büyük olamayacak 4 x 5'lik bir matris elde ederiz. Onlar. doğrusal olarak bağımsız sütunların maksimum sayısı yine de dörtten fazla olmayacaktır. İki, üç veya dört dört boyutlu vektör doğrusal olarak bağımsız olabilir, ancak beş veya daha fazlası olamaz. Sonuç olarak, düzlemde ikiden fazla vektör doğrusal olarak bağımsız olamaz. İki boyutlu uzaydaki herhangi üç vektör doğrusal olarak bağımlıdır. Üç boyutlu uzayda herhangi dört (veya daha fazla) vektör her zaman doğrusal olarak bağımlıdır. Ve benzeri.

Bu yüzden boyut uzay, içinde bulunabilecek doğrusal olarak bağımsız vektörlerin maksimum sayısı olarak tanımlanabilir.

N boyutlu bir R uzayının n adet doğrusal bağımsız vektör kümesine denir temel bu alan.

Teorem. Doğrusal uzayın her vektörü, temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak ve benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.

Kanıt. El , e 2 ,...e n vektörlerinin bir R temel boyutlu uzayı oluşturmasına izin verin. Herhangi bir X vektörünün bu vektörlerin doğrusal bir birleşimi olduğunu kanıtlayalım. X vektörüyle birlikte vektörlerin sayısı (n +1) olacağından, bu (n +1) vektörler doğrusal olarak bağımlı olacaktır; aynı anda sıfıra eşit olmayan  l ,  2 ,...,  n , sayıları vardır, öyle ki

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

Bu durumda 0, çünkü aksi halde  l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 elde ederiz, burada tüm  l , 2 ,..., n katsayıları sıfıra eşit değildir. Bu, temel vektörlerin doğrusal olarak bağımlı olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, ilk denklemin her iki tarafını da şu şekilde bölebiliriz:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

burada x j = -( j /),
.

Şimdi doğrusal kombinasyon biçimindeki böyle bir temsilin benzersiz olduğunu kanıtlıyoruz. Tam tersini varsayalım, yani. başka bir temsilin daha olduğunu:

X = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Daha önce elde edilen ifadeyi terim terim çıkaralım:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Temel vektörler doğrusal olarak bağımsız olduğundan (y j - x j) = 0 sonucunu elde ederiz,
, yani y j ​​= x j . Yani ifadenin aynı olduğu ortaya çıktı. Teorem kanıtlandı.

X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n ifadesine denir ayrışma el, e 2,...e n ve x l, x 2,...x n sayılarına dayalı X vektörü - koordinatlar x vektörü bu tabana göre veya bu tabana göre.

N boyutlu bir Öklid uzayının sıfırdan farklı vektörlerinin çiftler halinde dik olması durumunda bunların bir temel oluşturduğu kanıtlanabilir. Aslında eşitliğin her iki tarafını da  l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0'ı herhangi bir e i vektörüyle çarpalım. Şunu elde ederiz:  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = i için 0.

N boyutlu Öklid uzay formunun vektörleri el , e 2 ,...e n ortonormal temel, eğer bu vektörler ikili dikse ve her birinin normu bire eşitse, yani; i≠j и |е i | için e i *e j = 0 ise | = 1 için i.

Teorem (kanıt yok). Her n boyutlu Öklid uzayında bir ortonormal taban vardır.

Ortonormal temele bir örnek, i'inci bileşenin bire ve geri kalan bileşenlerin sıfıra eşit olduğu n birim vektör e i'den oluşan bir sistemdir. Bu tür vektörlerin her birine denir ort. Örneğin (1, 0, 0), (0, 1, 0) ve (0, 0, 1) vektör vektörleri üç boyutlu uzayın temelini oluşturur.

Vektörlerin skaler çarpımı (bundan sonra SP olarak anılacaktır). sevgili arkadaşlar! Matematik sınavı vektörlerin çözümüne ilişkin bir grup problem içerir. Zaten bazı sorunları değerlendirdik. Bunları “Vektörler” kategorisinde görebilirsiniz. Genel olarak vektör teorisi karmaşık değildir, asıl önemli olan onu tutarlı bir şekilde incelemektir. Vektörlerle hesaplamalar ve işlemler okul kursu Matematik basit, formüller karmaşık değil. Şuna baksana. Bu yazıda vektörlerin SP'si (Birleşik Devlet Sınavına dahil) ile ilgili sorunları analiz edeceğiz. Şimdi teoriye “daldırma”:

H Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, sonunun koordinatlarından çıkarmanız gerekir.kökeninin karşılık gelen koordinatları

Ve ilerisi:

*Vektör uzunluğu (modül) aşağıdaki şekilde belirlenir:

Bu formüller unutulmamalı!!!

Vektörler arasındaki açıyı gösterelim:

0 ila 180 0 arasında değişebileceği açıktır.(veya 0'dan Pi'ye kadar radyan cinsinden).

Skaler çarpımın işareti hakkında bazı sonuçlar çıkarabiliriz. Vektör uzunlukları pozitif değer, Bu apaçık. Bu, skaler çarpımın işaretinin, vektörler arasındaki açının kosinüs değerine bağlı olduğu anlamına gelir.

Olası durumlar:

1. Vektörler arasındaki açı dar ise (0 0'dan 90 0'a kadar), açının kosinüsü pozitif bir değere sahip olacaktır.

2. Vektörler arasındaki açı genişse (90 0'dan 180 0'a kadar), açının kosinüsü negatif bir değere sahip olacaktır.

*Sıfır derecede, yani vektörler aynı yöne sahip olduğunda kosinüs bire eşit ve buna göre sonuç olumlu olacaktır.

180°'de, yani vektörler zıt yönler, kosinüs eksi bire eşittir,ve buna göre sonuç negatif olacaktır.

Şimdi ÖNEMLİ NOKTA!

90°'de, yani vektörler birbirine dik olduğunda kosinüs sıfıra eşit ve bu nedenle SP sıfıra eşittir. Bu gerçek (sonuç, sonuç) bahsettiğimiz birçok problemin çözümünde kullanılır. göreceli konum dahil edilen problemler dahil olmak üzere vektörler açık banka matematik ödevleri.

İfadeyi formüle edelim: Skaler çarpım, ancak ve ancak bu vektörlerin dik çizgiler üzerinde yer alması durumunda sıfıra eşittir.

Yani, SP vektörleri için formüller:

Vektörlerin koordinatları veya başlangıç ​​ve bitiş noktalarının koordinatları biliniyorsa, vektörler arasındaki açıyı her zaman bulabiliriz:

Görevleri ele alalım:

27724 a ve b vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

Vektörlerin skaler çarpımını iki formülden birini kullanarak bulabiliriz:

Vektörler arasındaki açı bilinmiyor ancak vektörlerin koordinatlarını kolaylıkla bulup ilk formülü kullanabiliriz. Her iki vektörün orijini koordinatların orijini ile çakıştığı için bu vektörlerin koordinatları uçlarının koordinatlarına eşittir, yani

Bir vektörün koordinatlarının nasıl bulunacağı bölümünde açıklanmaktadır.

Hesaplıyoruz:

Cevap: 40

Vektörlerin koordinatlarını bulalım ve formülü kullanalım:

Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, başlangıcının karşılık gelen koordinatlarını vektörün bitişinin koordinatlarından çıkarmak gerekir; bu şu anlama gelir:

Skaler çarpımı hesaplıyoruz:

Cevap: 40

a ve b vektörleri arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

Vektörlerin koordinatları şu şekilde olsun:

Vektörler arasındaki açıyı bulmak için vektörlerin skaler çarpımı formülünü kullanırız:

Vektörler arasındaki açının kosinüsü:

Buradan:

Bu vektörlerin koordinatları eşittir:

Bunları formülde yerine koyalım:

Vektörler arasındaki açı 45 derecedir.

Cevap: 45

Vektörlerin nokta çarpımı

Vektörlerle uğraşmaya devam ediyoruz. İlk derste Aptallar için vektörler Vektör kavramına, vektörlerle yapılan işlemlere, vektör koordinatlarına ve vektörlerle ilgili en basit problemlere baktık. Bu sayfaya ilk kez bir arama motorundan geldiyseniz yukarıdakileri okumanızı şiddetle tavsiye ederim. giriş makalesiçünkü materyale hakim olmak için kullandığım terimlere ve adlandırmalara aşina olmak gerekiyor. temel bilgi Vektörler hakkında bilgi sahibi olmak ve çözebilmek temel görevler. Bu ders konunun mantıksal bir devamı ve üzerinde ayrıntılı olarak analiz edeceğim tipik görevler vektörlerin skaler çarpımını kullanan. Bu çok ÖNEMLİ etkinlik . Örnekleri atlamamaya çalışın, faydalı bir bonusla birlikte gelirler; pratik yapmak, ele aldığınız materyali pekiştirmenize ve sık karşılaşılan sorunları çözmede daha iyi olmanıza yardımcı olacaktır. analitik geometri.

Vektörlerin toplanması, bir vektörün bir sayıyla çarpılması... Matematikçilerin başka bir şey bulmadıklarını düşünmek saflık olur. Halihazırda tartışılan eylemlere ek olarak, vektörlerle yapılan bir dizi başka işlem de vardır: vektörlerin nokta çarpımı, vektörlerin vektör çarpımı Ve vektörlerin karışık çarpımı. Vektörlerin skaler çarpımı bize okuldan aşinadır, diğer iki çarpım ise geleneksel olarak dersle ilgilidir. yüksek Matematik. Konular basit, birçok problemin çözümüne yönelik algoritma basit ve anlaşılır. Sadece bir şey. Yeterli miktarda bilgi var, bu nedenle HER ŞEYE BİR ANDA hakim olmaya ve çözmeye çalışmak istenmez. Bu özellikle aptallar için geçerli; inanın yazar kesinlikle matematikten gelen Chikatilo gibi hissetmek istemiyor. Tabii matematikten de değil =) Daha hazırlıklı öğrenciler materyalleri seçici olarak kullanabilirler. belli bir anlamda, eksik bilgiyi “alın”, sizin için ben zararsız Kont Drakula olacağım =)

Hadi nihayet kapıyı açalım ve iki vektör karşılaştığında neler olacağını heyecanla izleyelim...

Vektörlerin skaler çarpımının tanımı.
Skaler çarpımın özellikleri. Tipik görevler

Nokta çarpım kavramı

Hakkında ilk vektörler arasındaki açı. Sanırım herkes sezgisel olarak vektörler arasındaki açının ne olduğunu anlıyor, ancak her ihtimale karşı biraz daha ayrıntı. Ücretsiz düşünelim sıfır vektörleri Ve . Bu vektörleri çizersek keyfi nokta, birçok kişinin zaten kafasında hayal ettiği bir resim elde edersiniz:

İtiraf ediyorum, burada durumu sadece anlayış düzeyinde anlattım. Vektörler arasındaki açının kesin bir tanımına ihtiyacınız varsa, pratik problemler için lütfen ders kitabına bakın, prensip olarak bunun bizim için hiçbir faydası yoktur. Ayrıca BURADA VE BURADA, pratik önemlerinin düşük olması nedeniyle yerlerdeki sıfır vektörleri göz ardı edeceğim. Daha sonraki bazı açıklamaların teorik eksikliği nedeniyle beni suçlayabilecek ileri düzey site ziyaretçileri için özel olarak rezervasyon yaptırdım.

Literatürde açı sembolü sıklıkla atlanır ve basitçe yazılır.

Tanım:İki vektörün skaler çarpımına SAYI denir, ürüne eşit bu vektörlerin uzunlukları aralarındaki açının kosinüsüne göre:

Şimdi bu oldukça katı bir tanım.

Temel bilgilere odaklanıyoruz:

Tanım: skaler çarpım veya basitçe gösterilir.

İşlemin sonucu bir NUMBER: Vektör, vektörle çarpılır ve sonuç bir sayıdır. Aslında, eğer vektörlerin uzunlukları sayı ise, bir açının kosinüsü bir sayıdır, o zaman bunların çarpımı aynı zamanda bir sayı olacaktır.

Sadece birkaç ısınma örneği:

örnek 1

Çözüm: Formülü kullanıyoruz . İÇİNDE bu durumda:

Cevap:

Kosinüs değerleri şurada bulunabilir: trigonometrik tablo. Yazdırmanızı öneririm - kulenin hemen hemen tüm bölümlerinde buna ihtiyaç duyulacak ve birçok kez ihtiyaç duyulacaktır.

Tamamen ile matematiksel nokta Görünüm açısından skaler çarpım boyutsuzdur, yani bu durumda sonuç sadece bir sayıdır ve hepsi bu. Fizik problemleri açısından bakıldığında, skaler çarpımın her zaman belirli bir değeri vardır. fiziksel anlam yani sonuçtan sonra birini veya diğerini belirtmeniz gerekir fiziksel birim. Bir kuvvetin işini hesaplamanın kanonik bir örneğini herhangi bir ders kitabında bulabilirsiniz (formül tam olarak skaler bir üründür). Bir kuvvetin işi Joule cinsinden ölçülür, bu nedenle cevap oldukça spesifik olarak yazılacaktır, örneğin, .

Örnek 2

Eğer varsa bul ve vektörler arasındaki açı eşittir.

Bu bir örnektir bağımsız karar sorusunun cevabı dersin sonundadır.

Vektörler ile nokta çarpım değeri arasındaki açı

Örnek 1'de skaler çarpım pozitif çıktı ve Örnek 2'de negatif çıktı. Skaler çarpımın işaretinin neye bağlı olduğunu bulalım. Formülümüze bakalım: . Sıfır olmayan vektörlerin uzunlukları her zaman pozitiftir: yani işaret yalnızca kosinüs değerine bağlı olabilir.

Not: Aşağıdaki bilgileri daha iyi anlamak için kılavuzdaki kosinüs grafiğini incelemek daha iyidir. Fonksiyon grafikleri ve özellikleri. Kosinüsün segmentte nasıl davrandığını görün.

Daha önce belirtildiği gibi, vektörler arasındaki açı, ve aşağıdaki durumlar mümkündür:

1) Eğer köşe vektörler arasında baharatlı: (0'dan 90 dereceye kadar), ardından , Ve nokta çarpımı pozitif olacak ortak yönetmen, o zaman aralarındaki açı sıfır olarak kabul edilir ve skaler çarpım da pozitif olacaktır. 'den bu yana formül basitleştirir: .

2) Eğer köşe vektörler arasında köreltmek: (90'dan 180 dereceye kadar), ardından ve buna bağlı olarak, nokta çarpımı negatif: . Özel bir durum: eğer vektörler zıt yönler sonra aralarındaki açı dikkate alınır genişletilmiş: (180 derece). Skaler çarpım da negatiftir, çünkü

Bunun tersi ifadeler de doğrudur:

1) Eğer ise bu vektörler arasındaki açı dardır. Alternatif olarak vektörler eş yönlüdür.

2) Eğer ise bu vektörler arasındaki açı geniştir. Alternatif olarak vektörler zıt yönlerdedir.

Ancak özel ilgiüçüncü durumu temsil eder:

3) Eğer köşe vektörler arasında dümdüz: (90 derece), ardından skaler çarpım sıfırdır: . Bunun tersi de doğrudur: if ,then . Bu ifade kısaca şu şekilde formüle edilebilir: İki vektörün skaler çarpımı ancak ve ancak vektörler dikse sıfırdır. Kısa matematiksel gösterim:

! Not : Tekrar edelim matematiksel mantığın temelleri: Çift taraflı bir mantıksal sonuç simgesi genellikle "eğer ve ancak eğer", "eğer ve ancak eğer" şeklinde okunur. Gördüğünüz gibi, oklar her iki yöne de yönlendiriliyor - "bundan bunu takip eder ve tam tersi - bundan bunu takip eder." Bu arada, tek yönlü takip simgesinden farkı nedir? Simge durumları Sadece bu, "bundan şu çıkar" ve bunun tersinin doğru olduğu bir gerçek değil. Örneğin: , ancak her hayvan panter değildir, dolayısıyla bu durumda simgeyi kullanamazsınız. Aynı zamanda simge yerine Olabilmek tek taraflı simgeyi kullanın. Örneğin problemi çözerken vektörlerin dik olduğu sonucuna vardık: - böyle bir giriş doğru ve hatta daha uygun olacaktır. .

Üçüncü durumun büyük pratik önemi var, çünkü vektörlerin dik olup olmadığını kontrol etmenize olanak tanır. Bu görev dersin ikinci bölümünde çözeceğiz.

Nokta çarpımın özellikleri

İki vektörün olduğu duruma dönelim ortak yönetmen. Bu durumda aralarındaki açı sıfırdır ve skaler çarpım formülü şu şekli alır: .

Bir vektör kendisiyle çarpılırsa ne olur? Vektörün kendisiyle hizalı olduğu açıktır, bu nedenle yukarıdaki basitleştirilmiş formülü kullanırız:

Numara aranır skaler kare vektördür ve ile gösterilir.

Böylece, skaler kare vektör kareye eşit bu vektörün uzunluğu:

Bu eşitlikten vektörün uzunluğunu hesaplamak için bir formül elde edebiliriz:

Şu ana kadar belirsiz görünüyor, ancak dersin hedefleri her şeyi yerli yerine koyacaktır. İhtiyacımız olan sorunları çözmek için de nokta çarpımın özellikleri.

Rastgele vektörler ve herhangi bir sayı için, aşağıdaki özellikler:

1) – değişmeli veya değişmeli Skaler çarpım kanunu.

2) – dağıtım veya dağıtıcı Skaler çarpım kanunu. Basitçe parantezleri açabilirsiniz.

3) – ilişkisel veya çağrışımsal Skaler çarpım kanunu. Sabit, skaler çarpımdan türetilebilir.

Çoğu zaman, her türlü özellik (ki bunların da kanıtlanması gerekir!) Öğrenciler tarafından gereksiz çöpler olarak algılanır ve bunların yalnızca sınavdan hemen sonra ezberlenmesi ve güvenli bir şekilde unutulması gerekir. Görünüşe göre burada önemli olan, faktörlerin yeniden düzenlenmesinin sonucu değiştirmediğini birinci sınıftan itibaren herkes biliyor: . Yüksek matematikte böyle bir yaklaşımla işleri karıştırmanın kolay olduğu konusunda sizi uyarmalıyım. Yani örneğin değişme özelliği aşağıdakiler için doğru değildir: cebirsel matrisler. için de doğru değil vektörlerin vektör çarpımı. Bu nedenle, en azından, neyin yapılabileceğini ve neyin yapılamayacağını anlamak için yüksek matematik dersinde karşılaştığınız herhangi bir özelliği araştırmak daha iyidir.

Örnek 3

.

Çözüm:Öncelikle vektör ile durumu netleştirelim. Bu da ne? Vektörlerin toplamı iyi tanımlanmış bir vektördür ve ile gösterilir. Geometrik yorumlama vektörlerle yapılan eylemleri makalede bulabilirsiniz Aptallar için vektörler. Bir vektör ile aynı maydanoz, ve vektörlerinin toplamıdır.

Yani koşula göre skaler çarpımı bulmak gerekir. Teorik olarak çalışma formülünü uygulamanız gerekir ama sorun şu ki vektörlerin uzunluklarını ve aralarındaki açıyı bilmiyoruz. Ancak koşul vektörler için benzer parametreler verdiğinden farklı bir yol izleyeceğiz:

(1) Vektörlerin ifadelerini değiştirin.

(2) Parantezleri polinomların çarpımı kuralına göre açıyoruz, kaba dil bükücü makalede bulunabilir Karışık sayılar veya Kesirli-Rasyonel Fonksiyonun İntegrasyonu. Kendimi tekrarlamayacağım =) Bu arada skaler çarpımın dağılma özelliği parantezleri açmamıza olanak sağlıyor. Hakkımız var.

(3) İlk ve son terimlerde vektörlerin skaler karelerini kompakt bir şekilde yazıyoruz: . İkinci terimde skaler çarpımın değiştirilebilirliğini kullanıyoruz: .

(4) Sunuyoruz benzer terimler: .

(5) Birinci dönemde, çok uzun zaman önce sözü edilmeyen skaler kare formülünü kullanıyoruz. Buna göre son dönemde de aynı şey işe yarıyor: . İkinci terimi buna göre genişletiyoruz standart formül .

(6) Bu koşulları değiştirin ve son hesaplamaları DİKKATLİCE gerçekleştirin.

Cevap:

Olumsuz anlam Skaler çarpım, vektörler arasındaki açının geniş olduğunu belirtir.

Sorun tipiktir, işte bunu kendiniz çözmek için bir örnek:

Örnek 4

Vektörlerin skaler çarpımını bulun ve biliniyorsa .

Şimdi başka bir ortak görev, tam da yeni formül vektör uzunluğu. Buradaki notasyon biraz örtüşecek, bu yüzden netlik sağlamak için onu farklı bir harfle yeniden yazacağım:

Örnek 5

Eğer vektörün uzunluğunu bulun .

Çözüm aşağıdaki gibi olacaktır:

(1) Vektörün ifadesini sağlıyoruz.

(2) Uzunluk formülünü kullanırız: ve ifadesinin tamamı “ve” vektörü gibi davranır.

(3) Kullanım okul formülü toplamın karesi. Burada bunun nasıl ilginç bir şekilde çalıştığına dikkat edin: – bu aslında farkın karesidir ve aslında bu böyledir. Dileyenler vektörleri yeniden düzenleyebilirler: - Terimlerin yeniden düzenlenmesine kadar aynı şey olur.

(4) Aşağıdakiler önceki iki sorundan zaten tanıdıktır.

Cevap:

Uzunluktan bahsettiğimiz için boyutu - “birimleri” belirtmeyi unutmayın.

Örnek 6

Eğer vektörün uzunluğunu bulun .

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.

Nokta çarpımdan faydalı şeyleri sıkıştırmaya devam ediyoruz. Formülümüze tekrar bakalım . Orantı kuralını kullanarak vektörlerin uzunluklarını sol taraftaki paydaya sıfırlarız:

Parçaları değiştirelim:

Bu formülün anlamı nedir? İki vektörün uzunlukları ve bunların skaler çarpımı biliniyorsa, bu vektörler arasındaki açının kosinüsü ve dolayısıyla açının kendisi hesaplanabilir.

Nokta çarpımı bir sayı mıdır? Sayı. Vektör uzunlukları sayı mıdır? Sayılar. Bu, kesrin aynı zamanda bir sayı olduğu anlamına gelir. Ve eğer açının kosinüsü biliniyorsa: , o zaman ters fonksiyonu kullanarak açının kendisini bulmak kolaydır: .

Örnek 7

Vektörler arasındaki açıyı bulun ve biliniyorsa.

Çözüm: Formülü kullanıyoruz:

Açık son aşama hesaplamalarda paydadaki mantıksızlığı ortadan kaldıran teknik bir teknik kullanıldı. İrrasyonelliği ortadan kaldırmak için pay ve paydayı ile çarptım.

Yani eğer , O:

Ters değerler trigonometrik fonksiyonlar tarafından bulunabilir trigonometrik tablo. Bu nadiren olmasına rağmen. Analitik geometri problemlerinde, çok daha sık olarak bazı beceriksizler gibi davranırlar ve açının değerinin bir hesap makinesi kullanılarak yaklaşık olarak bulunması gerekir. Aslında böyle bir resmi birden çok kez göreceğiz.

Cevap:

Yine boyutları - radyan ve derece - belirtmeyi unutmayın. Kişisel olarak, açıkça "tüm soruları çözmek" için her ikisini de belirtmeyi tercih ediyorum (tabii ki koşul, cevabın yalnızca radyan veya yalnızca derece cinsinden sunulmasını gerektirmediği sürece).

Artık bağımsız olarak daha fazlasıyla başa çıkabilirsiniz zor görev:

Örnek 7*

Vektörlerin uzunlukları ve aralarındaki açı verilmiştir. Vektörler arasındaki açıyı bulun.

Görev çok adımlı olduğu için o kadar da zor değil.
Çözüm algoritmasına bakalım:

1) Koşula göre vektörler arasındaki açıyı bulmanız ve formülü kullanmanız gerekir. .

2) Skaler çarpımı bulun (bkz. Örnekler No. 3, 4).

3) Vektörün uzunluğunu ve vektörün uzunluğunu bulun (bkz. Örnekler No. 5, 6).

4) Çözümün sonu Örnek 7 ile örtüşmektedir - sayıyı biliyoruz, bu da açının kendisini bulmanın kolay olduğu anlamına gelir:

Hızlı Çözüm ve dersin sonunda cevap.

Dersin ikinci bölümü aynı skaler çarpıma ayrılmıştır. Koordinatlar. İlk bölüme göre daha da kolay olacak.

Vektörlerin nokta çarpımı,
ortonormal bazda koordinatlarla verilir

Cevap:

Koordinatlarla uğraşmanın çok daha keyifli olduğunu söylemeye gerek yok.

Örnek 14

Vektörlerin skaler çarpımını bulun ve eğer

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Burada işlemin ilişkilendirilebilirliğini kullanabilirsiniz, yani saymayın, ancak hemen skaler çarpımın dışındaki üçlüyü alıp sonuncuyla çarpabilirsiniz. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Paragrafın sonunda bir vektörün uzunluğunun hesaplanmasına ilişkin kışkırtıcı bir örnek:

Örnek 15

Vektörlerin uzunluklarını bulun , Eğer

Çözüm:Önceki bölümdeki yöntem yine kendisini akla getiriyor: ancak başka bir yol daha var:

Vektörü bulalım:

Ve önemsiz formüle göre uzunluğu :

Nokta çarpımı burada hiç alakalı değil!

Bir vektörün uzunluğunu hesaplarken de kullanışlı değildir:
Durmak. Vektör uzunluğunun bariz özelliğinden faydalanmamız gerekmez mi? Vektörün uzunluğu hakkında ne söyleyebilirsiniz? Bu vektör Vektörden 5 kat daha uzun. Yön ters ama bunun bir önemi yok çünkü uzunluktan bahsediyoruz. Açıkçası, vektörün uzunluğu ürüne eşittir modül vektör uzunluğu başına sayılar:
– modül işareti sayının olası eksisini “yiyor”.

Böylece:

Cevap:

Koordinatlarla belirtilen vektörler arasındaki açının kosinüsü formülü

şimdi elimizde full bilgi, böylece vektörler arasındaki açının kosinüsü için önceden türetilen formül vektör koordinatları aracılığıyla ifade edin:

Düzlem vektörler arasındaki açının kosinüsü ve ortonormal bazda belirtilen, formülle ifade edilir:
.

Uzay vektörleri arasındaki açının kosinüsü ortonormal bazda belirtilen, formülle ifade edilir:

Örnek 16

Bir üçgenin üç köşesi verilmiştir. Bul (köşe açısı).

Çözüm: Koşullara göre çizim gerekli değildir, ancak yine de:

Gerekli açı yeşil bir yay ile işaretlenmiştir. Bir açı için okul atamasını hemen hatırlayalım: – Özel dikkat Açık ortalama mektup - bu ihtiyacımız olan açının tepe noktasıdır. Kısa olması açısından basitçe de yazabilirsiniz.

Çizimden üçgenin açısının vektörler arasındaki açıyla çakıştığı oldukça açıktır ve başka bir deyişle: .

Analizin zihinsel olarak nasıl gerçekleştirileceğini öğrenmeniz tavsiye edilir.

Vektörleri bulalım:

Skaler çarpımı hesaplayalım:

Ve vektörlerin uzunlukları:

Açının kosinüsü:

Bu tam olarak aptallar için önerdiğim görevi tamamlama sırasıdır. Daha ileri düzey okuyucular hesaplamaları "tek satırda" yazabilirler:

İşte "kötü" kosinüs değerinin bir örneği. Ortaya çıkan değer nihai değildir, dolayısıyla paydadaki irrasyonellikten kurtulmanın pek bir anlamı yoktur.

Açının kendisini bulalım:

Çizime bakarsanız sonuç oldukça makul. Kontrol etmek için açı bir iletki ile de ölçülebilir. Monitör kapağına zarar vermeyin =)

Cevap:

Cevapta şunu unutmuyoruz üçgenin açısını sordu(ve vektörler arasındaki açı hakkında değil), kesin cevabı ve açının yaklaşık değerini belirtmeyi unutmayın: , hesap makinesi kullanılarak bulundu.

Süreci beğenenler açıları hesaplayabilir ve kanonik eşitliğin geçerliliğini doğrulayabilirler.

Örnek 17

Bir üçgen uzayda köşelerinin koordinatlarıyla tanımlanır. Kenarlar arasındaki açıyı bulun ve

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap

Küçük son bölüm Skaler çarpımın da dahil olduğu projeksiyonlara ayrılacaktır:

Bir vektörün bir vektör üzerine izdüşümü. Bir vektörün koordinat eksenlerine izdüşümü.
Bir vektörün yön kosinüsleri

Vektörleri göz önünde bulundurun ve:

Bunu yapmak için vektörün başından ve sonundan itibaren vektörü vektörün üzerine izdüşümleyelim; dikler vektöre (yeşil noktalı çizgiler). Işık ışınlarının vektöre dik olarak düştüğünü hayal edin. Daha sonra segment (kırmızı çizgi) vektörün “gölgesi” olacaktır. Bu durumda vektörün vektör üzerine izdüşümü parçanın UZUNLUĞU kadardır. Yani PROJEKSİYON BİR SAYIDIR.

Bu SAYI şu şekilde gösterilir: “büyük vektör” vektörü belirtir HANGİ proje, “küçük alt simge vektörü” vektörü belirtir AÇIK ki bu öngörülüyor.

Girişin kendisi şu şekilde okunur: "a" vektörünün "be" vektörüne izdüşümü."

"Be" vektörü "çok kısa" ise ne olur? “Be” vektörünü içeren düz bir çizgi çiziyoruz. Ve “a” vektörü zaten yansıtılacak "olmak" vektörünün yönüne, basitçe - “be” vektörünü içeren düz çizgiye. Aynı şey, "a" vektörü otuzuncu krallıkta ertelenirse de olacaktır - yine de "be" vektörünü içeren düz çizgiye kolayca yansıtılacaktır.

Eğer açı vektörler arasında baharatlı(resimde olduğu gibi), ardından

Eğer vektörler dikey, o zaman (izdüşüm, boyutları sıfır olarak kabul edilen bir noktadır).

Eğer açı vektörler arasında köreltmek(şekilde, vektör okunu zihinsel olarak yeniden düzenleyin), sonra (aynı uzunlukta, ancak eksi işaretiyle alınmıştır).

Bu vektörleri bir noktadan çizelim:

Açıkçası, bir vektör hareket ettiğinde izdüşümü değişmez