Aşağıdaki denklemleri göz önünde bulundurun:

1. 2*x + 3*y = 15;

2.x2 + y2 = 4;

4. 5*x3 + y2 = 8.

Yukarıda sunulan denklemlerin her biri iki değişkenli bir denklemdir. Birçok puan koordinat düzlemi Koordinatları denklemi doğru sayısal eşitliğe dönüştüren şeye denir. iki bilinmeyenli bir denklemin grafiği.

İki Değişkenli Bir Denklemin Grafiğinin Çizilmesi

İki değişkenli denklemlerin grafikleri çok çeşitlidir. Örneğin, 2*x + 3*y = 15 denklemi için grafik düz bir çizgi olacaktır, x 2 + y 2 = 4 denklemi için grafik yarıçapı 2 olan bir daire olacaktır, y* denkleminin grafiği x = 1 bir hiperbol vb. olacaktır.

İki değişkenli tam denklemlerin de derece kavramı vardır. Bu derece, tek değişkenli bir denklemin tamamıyla aynı şekilde belirlenir. Bunu yapmak için denklemi forma getirin sol taraf bir polinom var standart görünüm ve sağdaki sıfırdır. Bu eşdeğer dönüşümler yoluyla yapılır.

Denklem sistemlerini çözmek için grafiksel yöntem

İki değişkenli iki denklemden oluşacak denklem sistemlerini nasıl çözeceğimizi bulalım. Bu tür sistemleri çözmek için grafiksel bir yöntem düşünelim.

Örnek 1. Denklem sistemini çözün:

(x2 + y2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Birinci ve ikinci denklemlerin grafiklerini aynı koordinat sisteminde oluşturalım. İlk denklemin grafiği, merkezi orijinde ve yarıçapı 5 olan bir daire olacaktır. İkinci denklemin grafiği, dalları aşağıya doğru uzanan bir parabol olacaktır.

Grafiklerdeki tüm noktaların her biri kendi denklemini karşılayacaktır. Hem birinci hem de ikinci denklemi sağlayacak noktaları bulmamız gerekiyor. Açıkçası bu iki grafiğin kesiştiği noktalar bunlar olacak.

Şekilimizi kullanarak bulduğumuz yaklaşık değerler Bu noktaların kesiştiği koordinatlar. Aşağıdaki sonuçları alıyoruz:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Bu, denklem sistemimizin dört çözümü olduğu anlamına gelir.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Bu değerleri sistemimizin denklemlerinde yerine koyarsak birinci ve üçüncü çözümlerin yaklaşık, ikinci ve dördüncü çözümlerin ise kesin olduğunu görebiliriz. Grafik yöntemi Genellikle köklerin sayısını ve yaklaşık sınırlarını tahmin etmek için kullanılır. Çözümler genellikle kesin olmaktan ziyade yaklaşıktır.

Bu derste iki değişkenli iki denklem sisteminin çözümüne bakacağız. İlk olarak, iki doğrusal denklem sisteminin grafiksel çözümüne ve bunların grafik setinin özelliklerine bakalım. Daha sonra grafik yöntemini kullanarak birkaç sistemi çözeceğiz.

Konu: Denklem sistemleri

Ders: Bir denklem sistemini çözmek için grafiksel yöntem

Sistemi düşünün

Sistemin hem birinci hem de ikinci denkleminin çözümü olan sayı çiftine ne ad verilir? bir denklem sistemini çözme.

Bir denklem sistemini çözmek, onun tüm çözümlerini bulmak veya hiçbir çözümün olmadığını tespit etmek anlamına gelir. Temel denklemlerin grafiklerine baktık, sistemleri dikkate almaya geçelim.

Örnek 1. Sistemi çözün

Çözüm:

Bunlar doğrusal denklemlerdir, her birinin grafiği düz bir çizgidir. Birinci denklemin grafiği (0; 1) ve (-1; 0) noktalarından geçer. İkinci denklemin grafiği (0; -1) ve (-1; 0) noktalarından geçer. Doğrular (-1; 0) noktasında kesişiyor, bu denklem sisteminin çözümüdür ( Pirinç. 1).

Sistemin çözümü bir sayı çiftidir. Bu sayı çiftini her denklemde yerine koyarak doğru eşitliği elde ederiz.

Elimizde tek çözüm doğrusal sistem.

Doğrusal bir sistemi çözerken aşağıdaki durumların mümkün olduğunu hatırlayın:

sistemin benzersiz bir çözümü var - çizgiler kesişiyor,

sistemin çözümü yok - çizgiler paralel,

sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır - düz çizgiler çakışır.

İnceledik özel durum p(x; y) ve q(x; y), x ve y'nin doğrusal ifadeleri olduğu sistemler.

Örnek 2. Bir denklem sistemini çözün

Çözüm:

Birinci denklemin grafiği düz bir çizgi, ikinci denklemin grafiği ise bir dairedir. İlk grafiği noktalara göre oluşturalım (Şekil 2).

Çemberin merkezi O(0; 0) noktasındadır ve yarıçapı 1'dir.

Grafikler A(0; 1) noktasında ve B(-1; 0) noktasında kesişir.

Örnek 3. Sistemi grafiksel olarak çözün

Çözüm: İlk denklemin grafiğini oluşturalım; merkezi t.O(0; 0) ve yarıçapı 2 olan bir dairedir. İkinci denklemin grafiği bir paraboldür. Orijine göre 2 birim yukarı kaydırılır, yani. tepe noktası (0; 2) noktasıdır (Şekil 3).

Grafiklerde bir tane var ortak nokta- t(0;2). Sistemin çözümüdür. Doğru olup olmadığını kontrol etmek için denklemin içine birkaç sayı koyalım.

Örnek 4. Sistemi çözün

Çözüm: İlk denklemin grafiğini oluşturalım - bu, merkezi t.O(0; 0) ve yarıçapı 1 olan bir dairedir (Şekil 4).

Fonksiyonu çizelim. Bu kesikli bir çizgidir (Şekil 5).

Şimdi onu oy ekseni boyunca 1 aşağı kaydıralım. Bu fonksiyonun grafiği olacak

Her iki grafiği de aynı koordinat sistemine yerleştirelim (Şekil 6).

Üç kesişim noktası elde ederiz - A noktası(1; 0), B noktası(-1; 0), C(0; -1) noktası.

Sistemleri çözmek için grafiksel yönteme baktık. Her denklemin grafiğini çizip kesişme noktalarının koordinatlarını bulabilirseniz bu yöntem oldukça yeterlidir.

Ancak çoğu zaman grafiksel yöntem, sistemin yalnızca yaklaşık bir çözümünü bulmayı veya çözüm sayısıyla ilgili soruyu yanıtlamayı mümkün kılar. Bu nedenle, daha doğru olan başka yöntemlere ihtiyaç vardır ve bunları sonraki derslerde ele alacağız.

1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Ders Kitabı. Genel eğitim için Kurumlar.- 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: hasta.

2. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Öğrenciler için problem kitabı. eğitim kurumları/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina ve diğerleri - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta.

3. Makarychev N. Cebir. 9. sınıf: eğitici. genel eğitim öğrencileri için. kurumlar / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. baskı, rev. ve ek - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Cebir. 9. sınıf. 16. baskı. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A.G. Cebir. 9. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. baskı, silindi. - M.: 2010. - 224 s.: hasta.

6. Cebir. 9. sınıf. 2 bölüm halinde Bölüm 2. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina ve diğerleri; Ed. A. G. Mordkovich. — 12. baskı, rev. - M.: 2010.-223 s.: hasta.

1. College.ru'nun matematik bölümü ().

2. İnternet projesi “Görevler” ().

3. Eğitim portalı“KULLANIMI ÇÖZECEĞİM” ().

1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, vb. - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta. 105, 107, 114, 115.

Video eğitimi " Grafik yöntemi Denklem sistemlerinin çözümleri" sunar eğitim materyali Bu konuya hakim olmak için. Malzeme içerir genel konsept bir denklem sistemini çözmenin yanı sıra detaylı açıklama Bir denklem sisteminin grafiksel olarak nasıl çözüldüğüne dair bir örnek kullanarak.

Görsel yardım, yapıları daha kullanışlı ve anlaşılır kılmak için animasyondan yararlanıyor. farklı yollar deşarj önemli kavramlar ve materyalin derinlemesine anlaşılması ve daha iyi ezberlenmesi için ayrıntılar.

Video dersi konunun tanıtılmasıyla başlar. Öğrencilere denklem sisteminin ne olduğu ve 7. sınıftan itibaren hangi denklem sistemlerine aşina oldukları hatırlatılır. Daha önce öğrencilerin ax+by=c formundaki denklem sistemlerini çözmeleri gerekiyordu. Denklem sistemlerini çözme kavramını derinleştirmek ve bunları çözme yeteneğini geliştirmek için, bu video dersi, ikinci dereceden iki denklemin yanı sıra ikinci dereceden bir denklem ve ikinci dereceden oluşan bir sistemin çözümünü inceliyor. birinci dereceden. Bir denklem sistemini çözmenin ne olduğunu hatırlatırız. Bir sistemin çözümünün tanımı, doğru bir eşitlikle değiştirildiğinde denklemlerini tersine çeviren değişkenlerin bir çift değeri olarak ekranda görüntülenir. Sistem çözümünün tanımına uygun olarak görev belirlenir. Bir sistemi çözmenin, uygun çözümlerin bulunması veya yokluğunun kanıtlanması anlamına geldiğini hatırlamak için ekranda görüntülenir.

Belirli bir denklem sistemini çözmek için grafiksel bir yönteme hakim olunması önerilmektedir. Başvuru bu yöntem x 2 +y 2 =16 ve y=-x 2 +2x+4 denklemlerinden oluşan bir sistemin çözümü örneği kullanılarak ele alınmıştır. Grafik çözümü Sistem bu denklemlerin her birinin grafiğini çizerek başlar. Açıkçası, x 2 + y 2 = 16 denkleminin grafiği bir daire olacaktır. Belirli bir daireye ait noktalar denklemin çözümüdür. Denklemin yanında, koordinat düzlemi üzerinde orijinde O merkezli, yarıçapı 4 olan bir daire oluşturulur. İkinci denklemin grafiği, dalları aşağıya doğru indirilmiş bir paraboldür. Denklemin grafiğine karşılık gelen bu parabol koordinat düzleminde inşa edilmiştir. Herhangi bir nokta bir parabole ait, y=-x 2 +2x+4 denkleminin bir çözümüdür. Bir denklem sisteminin çözümünün, her iki denklemin grafiklerine aynı anda ait olan grafikler üzerindeki noktalar olduğu açıklanmaktadır. Bu, oluşturulan grafiklerin kesişme noktalarının denklem sisteminin çözümü olacağı anlamına gelir.

Grafiksel yöntemin, sistemin her denkleminin çözüm kümesini yansıtan iki grafiğin kesişiminde bulunan noktaların koordinatlarının yaklaşık değerini bulmaktan oluştuğu belirtilmektedir. Şekil iki grafiğin bulunan kesişme noktalarının koordinatlarını göstermektedir: A, B, C, D[-2;-3.5]. Bu noktalar grafiksel olarak bulunan bir denklem sisteminin çözümleridir. Bunları denklemde yerine koyarak ve adil bir eşitlik elde ederek doğruluğunu kontrol edebilirsiniz. Noktaları denklemde yerine koyduktan sonra bazı noktaların verdiği açıktır. kesin değerçözümler ve parça, denklemin çözümünün yaklaşık değerini temsil eder: x 1 =0, y 1 =4; x 2 =2, y 2 ≈3,5; x 3 ≈3,5, y 3 = -2; x4 = -2, y4 ≈-3,5.

Video eğitimi, bir denklem sistemini çözmenin grafiksel yönteminin özünü ve uygulamasını ayrıntılı olarak açıklamaktadır. Bu, bu konuyu çalışırken okuldaki cebir dersinde video eğitimi olarak kullanmayı mümkün kılar. Materyal aynı zamanda şu amaçlar için de yararlı olacaktır: kendi kendine çalışma uzaktan eğitim sırasında konunun açıklanmasına yardımcı olabilir.

Giriş seviyesi

Fonksiyon grafiklerini kullanarak denklemleri, eşitsizlikleri ve sistemleri çözme. Görsel kılavuz (2019)

Tamamen cebirsel olarak hesaplamaya alışkın olduğumuz birçok görev çok daha kolay ve daha hızlı çözülebilir; fonksiyon grafiklerini kullanmak bu konuda bize yardımcı olacaktır. “Nasıl yani?” diyorsun. bir şey çiz ve ne çizmeli? İnan bana, bazen daha rahat ve daha kolaydır. Başlayalım mı? Denklemlerle başlayalım!

Denklemlerin grafik çözümü

Doğrusal denklemlerin grafiksel çözümü

Bildiğiniz gibi, doğrusal bir denklemin grafiği düz bir çizgidir, dolayısıyla bu türün adı da buradan gelir. Doğrusal denklemlerin cebirsel olarak çözülmesi oldukça kolaydır - tüm bilinmeyenleri denklemin bir tarafına, bildiğimiz her şeyi diğer tarafına aktarıyoruz ve işte! Kökünü bulduk. Şimdi size nasıl yapılacağını göstereceğim grafiksel olarak.

Yani denkleminiz var:

Nasıl çözülür?
Seçenek 1 ve en yaygın olanı bilinmeyenleri bir tarafa, bilinenleri ise diğer tarafa taşımaktır, şunu elde ederiz:

Şimdi inşa edelim. Ne aldın?

Sizce denklemimizin kökü nedir? Doğru, grafiklerin kesişme noktasının koordinatı:

Cevabımız:

Grafik çözümün tüm bilgeliği budur. Kolayca kontrol edebileceğiniz gibi denklemimizin kökü bir sayıdır!

Yukarıda da söylediğim gibi, bu en yaygın seçenektir. cebirsel çözüm, ancak bunu farklı şekilde çözebilirsiniz. Değerlendirme için alternatif çözüm Denklemimize dönelim:

Bu sefer hiçbir şeyi bir yandan diğer yana taşımayacağız, ancak grafikleri şu anda olduğu gibi doğrudan oluşturacağız:

İnşa mı edildi? Görelim!

Bu sefer çözüm ne? Bu doğru. Aynı şey grafiklerin kesişme noktasının koordinatı:

Ve yine cevabımız şu:

Gördüğünüz gibi ile doğrusal denklemler her şey son derece basittir. Daha karmaşık bir şeye bakmanın zamanı geldi... Örneğin, İkinci dereceden denklemlerin grafik çözümü.

İkinci dereceden denklemlerin grafik çözümü

Şimdi ikinci dereceden denklemi çözmeye başlayalım. Diyelim ki bu denklemin köklerini bulmanız gerekiyor:

Elbette artık diskriminant yoluyla veya Vieta teoremine göre saymaya başlayabilirsiniz, ancak birçok kişi çarpma veya kare alma sırasında hata yapar, özellikle de örnek şu şekildeyse: büyük sayılar Ve bildiğiniz gibi sınavda hesap makineniz olmayacak... O yüzden bu denklemi çözerken biraz rahatlayıp çizim yapmaya çalışalım.

Çözümleri grafiksel olarak bulun verilen denklem Olabilmek çeşitli şekillerde. Farklı seçeneklere bakalım ve hangisini en çok beğendiğinizi seçebilirsiniz.

Yöntem 1. Doğrudan

Bu denklemi kullanarak basitçe bir parabol oluşturuyoruz:

Bunu hızlı bir şekilde yapmak için size küçük bir ipucu vereceğim: Parabolün tepe noktasını belirleyerek inşaata başlamak uygundur. Aşağıdaki formüller bir parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirlemeye yardımcı olacaktır:

“Durun!” diyeceksiniz. Formülü diskriminant bulma formülüne çok benziyor” evet öyle ve bu, köklerini bulmak için “doğrudan” bir parabol oluşturmanın büyük bir dezavantajı. Ancak, sonuna kadar sayalım ve sonra size bunu nasıl çok (çok!) daha kolay yapabileceğinizi göstereceğim!

Saydın mı? Parabolün tepe noktası için hangi koordinatları aldınız? Hadi birlikte çözelim:

Tamamen aynı cevap mı? Tebrikler! Ve şimdi tepe noktasının koordinatlarını zaten biliyoruz, ancak bir parabol oluşturmak için daha fazla noktaya ihtiyacımız var. Sizce minimum kaç puana ihtiyacımız var? Sağ, .

Bir parabolün tepe noktasına göre simetrik olduğunu biliyorsunuz, örneğin:

Buna göre parabolün sol veya sağ dalında iki noktaya daha ihtiyacımız var ve gelecekte bu noktaları simetrik olarak karşı tarafa yansıtacağız:

Parabolümüze dönelim. Bizim durumumuzda nokta. İki puana daha ihtiyacımız var, pozitif puanları mı alalım, negatif puanları mı? Sizin için en uygun noktalar hangileri? Olumlu olanlarla çalışmak benim için daha uygun, bu yüzden ve'de hesaplayacağım.

Artık üç noktamız var ve iki noktayı yansıtarak parabolümüzü kolayca oluşturabiliriz. son noktalar tepesine göre:

Sizce denklemin çözümü nedir? Bu doğru, hangi noktalar, yani ve. Çünkü.

Ve eğer bunu söylersek, bunun da eşit olması gerektiği anlamına gelir veya.

Sadece? Denklemi karmaşık grafiksel bir şekilde çözmeyi sizinle birlikte bitirdik, yoksa daha fazlası olacak!

Elbette cevabımızı cebirsel olarak kontrol edebilirsiniz - kökleri Vieta teoremini veya Diskriminant'ı kullanarak hesaplayabilirsiniz. Ne aldın? Aynısı? Anlıyorsun! Şimdi çok basit bir grafik çözümüne bakalım, gerçekten beğeneceğinize eminim!

Yöntem 2. Çeşitli işlevlere ayrılmıştır

Aynı denklemimizi alalım: , ancak biraz farklı yazacağız:

Bunu şu şekilde yazabilir miyiz? Dönüşüm eşdeğer olduğundan bunu yapabiliriz. Daha ileriye bakalım.

İki fonksiyonu ayrı ayrı oluşturalım:

- program şöyle basit parabol Formülleri kullanarak köşeyi tanımlamadan ve diğer noktaları belirlemek için bir tablo çizmeden bile kolayca oluşturabileceğiniz.
- grafik, hesap makinesine bile başvurmadan kafanızdaki değerleri tahmin ederek kolayca oluşturabileceğiniz düz bir çizgidir.

İnşa mı edildi? Aldıklarımla karşılaştıralım:

Sizce öyle mi bu durumda denklemin kökleri nelerdir? Sağ! İki grafiğin kesişmesiyle elde edilen koordinatlar ve yani:

Buna göre bu denklemin çözümü:

Sen ne diyorsun? Katılıyorum, bu çözüm yöntemi öncekinden çok daha kolay ve hatta ayrımcı aracılığıyla kökleri aramaktan daha kolay! Eğer öyleyse, bu yöntemi kullanarak aşağıdaki denklemi çözmeyi deneyin:

Ne aldın? Grafiklerimizi karşılaştıralım:

Grafikler cevapların şöyle olduğunu gösteriyor:

Başarabildin mi? Tebrikler! Şimdi denklemlere biraz daha karmaşık bakalım, yani çözüme karışık denklemler yani farklı türde fonksiyonlar içeren denklemler.

Karışık denklemlerin grafik çözümü

Şimdi aşağıdakileri çözmeye çalışalım:

Tabii ki her şeyi getirebiliriz ortak payda ODZ'yi hesaba katmayı unutmadan ortaya çıkan denklemin köklerini bulun, ancak önceki tüm durumlarda yaptığımız gibi yine grafiksel olarak çözmeye çalışacağız.

Bu sefer aşağıdaki 2 grafiği oluşturalım:

- grafik bir hiperboldür
- Grafik, hesap makinesine bile başvurmadan kafanızdaki değerleri tahmin ederek kolayca oluşturabileceğiniz düz bir çizgidir.

Anladın mı? Şimdi inşaata başlayın.

İşte elde ettiklerim:

Bu resme bakarak bana denklemimizin köklerinin neler olduğunu söyleyin?

Bu doğru ve. İşte onay:

Köklerimizi denklemin içine yerleştirmeyi deneyin. İşe yaradı mı?

Bu doğru! Katılıyorum, bu tür denklemleri grafiksel olarak çözmek bir zevk!

Denklemi grafiksel olarak kendiniz çözmeye çalışın:

Size bir ipucu vereceğim: denklemin bir kısmını şuraya taşıyın: sağ taraf böylece her iki tarafta da oluşturulabilecek en basit işlevler bulunur. İpucunu aldın mı? Harekete geçin!

Şimdi ne elde ettiğinizi görelim:

Sırasıyla:

- kübik parabol.
- sıradan düz çizgi.

Peki, hadi inşa edelim:

Uzun zaman önce yazdığınız gibi, bu denklemin kökü - .

Buna karar verdikten sonra büyük sayıörnekler, eminim denklemleri ne kadar hızlı ve kolay çözebileceğinizi fark etmişsinizdir grafiksel olarak. Sistemleri bu şekilde nasıl çözeceğimizi bulmanın zamanı geldi.

Sistemlerin grafik çözümü

Sistemlerin grafiksel olarak çözülmesi, denklemlerin grafiksel olarak çözülmesinden esasen farklı değildir. Ayrıca iki grafik oluşturacağız ve bunların kesişim noktaları bu sistemin kökleri olacak. Bir grafik bir denklemdir, ikinci grafik başka bir denklemdir. Her şey son derece basit!

En basit şeyle başlayalım; doğrusal denklem sistemlerini çözerek.

Doğrusal denklem sistemlerini çözme

Diyelim ki aşağıdaki sisteme sahibiz:

İlk önce, onu, solda bağlantılı olan her şey ve sağda bağlantılı olan her şey olacak şekilde dönüştürelim. Başka bir deyişle, bu denklemleri her zamanki formumuzda bir fonksiyon olarak yazalım:

Şimdi sadece iki düz çizgi oluşturuyoruz. Bizim durumumuzda çözüm nedir? Sağ! Bunların kesiştiği nokta! Ve burada çok ama çok dikkatli olmalısın! Bir düşünün, neden? Size bir ipucu vereyim: Bir sistemle karşı karşıyayız: Sistemde her ikisi de var ve... İpucunu anladınız mı?

Bu doğru! Bir sistemi çözerken sadece denklem çözerken değil, her iki koordinata da bakmalıyız! Bir diğer önemli nokta- Bunları doğru bir şekilde yazın ve anlamın nerede olduğunu ve anlamın nerede olduğunu karıştırmayın! Bunu yazdın mı? Şimdi her şeyi sırayla karşılaştıralım:

Ve cevaplar: ve. Bir kontrol yapın - bulunan kökleri sisteme yerleştirin ve bunu grafiksel olarak doğru çözüp çözmediğimizden emin olun?

Doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözme

Peki ya tek bir düz çizgi yerine ikinci dereceden denklem? Sorun değil! Düz bir çizgi yerine sadece bir parabol oluşturuyorsunuz! Bana inanmıyor musun? Aşağıdaki sistemi çözmeyi deneyin:

Bir sonraki adımımız nedir? Doğru, grafik oluşturmamızı kolaylaştıracak şekilde yazın:

Artık her şey küçük meselelerden ibaret; hızlı bir şekilde oluşturun ve işte çözümünüz! Biz inşa ediyoruz:

Grafikler aynı mı çıktı? Şimdi sistemin çözümlerini şekilde işaretleyin ve belirlenen cevapları doğru bir şekilde yazın!

Her şeyi yaptın mı? Notlarımla karşılaştırın:

Her şey yolunda mı? Tebrikler! Zaten tıklıyorsunuz benzer görevler fındık gibi! Öyleyse size daha karmaşık bir sistem verelim:

Ne yapıyoruz? Sağ! Sistemi, inşa edilmesi uygun olacak şekilde yazıyoruz:

Sistem çok karmaşık göründüğü için size küçük bir ipucu vereceğim! Grafikleri oluştururken onları “daha fazla” oluşturun ve en önemlisi kesişme noktalarının sayısına şaşırmayın.

Öyleyse gidelim! Nefes aldın mı? Şimdi inşa etmeye başlayın!

Peki nasıl? Güzel? Kaç tane kesişim noktası elde ettiniz? Üç tane var! Grafiklerimizi karşılaştıralım:

Ayrıca? Şimdi sistemimizin tüm çözümlerini dikkatlice yazın:

Şimdi sisteme tekrar bakın:

Bunu sadece 15 dakikada çözdüğünüzü hayal edebiliyor musunuz? Katılıyorum, matematik hala basit, özellikle bir ifadeye baktığınızda hata yapmaktan korkmuyorsunuz, sadece onu alın ve çözün! Harikasın!

Eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Doğrusal eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Sonrasında son örnek Her şeyin üstesinden gelebilirsin! Şimdi nefes verin; önceki bölümlerle karşılaştırıldığında bu çok ama çok kolay olacak!

Her zamanki gibi grafiksel bir çözümle başlayacağız doğrusal eşitsizlik. Örneğin, bu:

İlk önce en basit dönüşümleri gerçekleştirelim - parantezleri açalım tam kareler ve benzer terimler verin:

Eşitsizlik katı değildir, bu nedenle aralığa dahil edilmez ve çözüm, daha fazla, daha fazla vb. olduğundan sağdaki tüm noktalar olacaktır:

Cevap:

İşte bu! Kolayca? İki değişkenli basit bir eşitsizliği çözelim:

Koordinat sisteminde bir fonksiyon çizelim.

Böyle bir program aldınız mı? Şimdi burada hangi eşitsizliğin olduğuna dikkatlice bakalım. Az? Bu, düz çizgimizin solundaki her şeyin üzerini boyayacağımız anlamına gelir. Ya daha fazlası olsaydı? Doğru, o zaman düz çizgimizin sağındaki her şeyin üzerini boyardık. Çok basit.

Tüm çözümler bu eşitsizliğin"gölgeli" turuncu. İşte bu, iki değişkenli eşitsizlik çözüldü. Bu, taralı alandaki herhangi bir noktanın koordinatlarının çözüm olduğu anlamına gelir.

İkinci dereceden eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Şimdi ikinci dereceden eşitsizliklerin grafiksel olarak nasıl çözüleceğini anlayacağız.

Ancak işe başlamadan önce ikinci dereceden fonksiyonla ilgili bazı materyalleri gözden geçirelim.

Ayrımcı neyden sorumludur? Grafiğin eksene göre konumu için bu doğru (bunu hatırlamıyorsanız ikinci dereceden fonksiyonlarla ilgili teoriyi mutlaka okuyun).

Her durumda, işte size küçük bir hatırlatma:

Artık hafızamızdaki tüm materyali yenilediğimize göre, işe koyulalım; eşitsizliği grafiksel olarak çözelim.

Bunu çözmek için iki seçeneğin olduğunu hemen söyleyeceğim.

Seçenek 1

Parabolümüzü fonksiyon olarak yazıyoruz:

Formülleri kullanarak parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirleriz (ikinci dereceden denklemleri çözerken olduğu gibi):

Saydın mı? Ne aldın?

Şimdi iki farklı noktayı daha alalım ve onlar için hesaplayalım:

Parabolün bir dalını oluşturmaya başlayalım:

Noktalarımızı simetrik olarak parabolün başka bir dalına yansıtıyoruz:

Şimdi eşitsizliğimize dönelim.

olmasına ihtiyacımız var sıfırdan az sırasıyla:

Eşitsizliğimizde işaret kesinlikle küçüktür, o zaman uç noktalar hariç tutuyoruz - "dikmek".

Cevap:

Uzun yol, değil mi? Şimdi size aynı eşitsizlik örneğini kullanarak grafiksel çözümün daha basit bir versiyonunu göstereceğim:

Seçenek 2

Eşitsizliğimize dönüyoruz ve ihtiyacımız olan aralıkları işaretliyoruz:

Katılıyorum, çok daha hızlı.

Şimdi cevabı yazalım:

Cebirsel kısmı basitleştiren başka bir çözümü düşünelim, ancak asıl önemli olan kafanızın karışmamasıdır.

Sol ve sağ tarafları şu şekilde çarpın:

Aşağıdakileri kendiniz çözmeye çalışın ikinci dereceden eşitsizlik dilediğiniz şekilde: .

Başarabildin mi?

Grafiğimin nasıl ortaya çıktığına bakın:

Cevap: .

Karışık eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Şimdi daha karmaşık eşitsizliklere geçelim!

Bunu nasıl buldun:

Ürkütücü, değil mi? Dürüst olmak gerekirse, bunu cebirsel olarak nasıl çözeceğime dair hiçbir fikrim yok... Ama bu gerekli değil. Grafiksel olarak bunda karmaşık bir şey yok! Gözler korkuyor ama eller yapıyor!

Başlayacağımız ilk şey iki grafik oluşturmaktır:

Her biri için bir tablo yazmayacağım - eminim bunu kendi başınıza mükemmel bir şekilde yapabilirsiniz (vay be, çözülecek o kadar çok örnek var ki!).

Boyadın mı? Şimdi iki grafik oluşturun.

Çizimlerimizi karşılaştıralım mı?

Senin için de aynı şey geçerli mi? Harika! Şimdi kesişim noktalarını düzenleyelim ve teoride hangi grafiğin daha büyük olması gerektiğini belirlemek için renk kullanalım. Bakın sonunda ne oldu:

Şimdi seçtiğimiz grafiğin grafikten nerede daha yüksek olduğuna bakalım. Bir kalem alıp bu alanı boyamaktan çekinmeyin! Karmaşık eşitsizliğimize çözüm olacak!