Homojen diferansiyel denklem sistemlerinin temel sistemi. Temel karar sistemi (özel örnek)

N'inci dereceden LDE - ur-e, bilinmeyen fonksiyona ve türevlerine göre doğrusaldır ve şu şekle sahiptir:

a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y'+a n (x)y=φ(x)|: a 0 (x) )

φ(x)≠0- LNOU

y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g(x)- (1) verilen formda ur-e

*Eğer y 1 LOU'nun bir çözümüyse, o zaman C y 1 (burada C isteğe bağlı bir sabittir), bu denklemin de bir çözümüdür.

*LOE'nin y 1 + y 2 çözümlerinin toplamı aynı seviyede bir çözümdür.

1 0 Rasgele çözüm sabitleri y 1 , y 2 ,…, y m LOU ile doğrusal kombinasyon aynı denklemin bir çözümüdür.

*eğer gerçek katsayıları p i (x)∈R olan LOU (1) kapsamlı çözüm y(x)=u(x)+iv(x), o zaman bu çözümün gerçel kısmı Rey=u(x) ve imajiner kısmı Imy=v(x) aynı denklemin ayrı ayrı çözümleridir.

y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) fonksiyonları çağrılır doğrusal bağımlı eğer varsa, bir (a,b) aralığında sabitler a1,a2,…,an≠0 öyle ki (a,b) aralığının tüm x'leri için özdeşlik a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+a n -1 (x)y' + doğrudur ve a n y n (x)=0'dır. Fonksiyonlar doğrusal olarak bağımlıysa, bunlardan en az biri diğerlerinin doğrusal birleşimidir.

Kimlik yalnızca a1=a2=…=an=0 için geçerliyse, y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) fonksiyonları çağrılır Doğrusal bağımsız(a,b) aralığında.

*eğer fonksiyonlar y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) ise doğrusal bağımlı(a,b) aralığında, ardından determinant (Vronsky Adası)

W(x)=W= =0 bu aralıkta.

Durum doğrusal bağımsızlıközel çözümler:

* eğer doğrusal bağımsız fonksiyonlar y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x), katsayıları pi (x) (a,b) aralığında sürekli olan LOE (1)'in çözümleriyse, o zaman onlar için derlenirler Wronski determinantı (a,b) aralığının hiçbir noktasında = 0 değildir.

LOU (1)'in (a,b) (i=1,2,...,n) üzerinde sürekli olan p i (x) katsayılı genel çözümü, aynı kısmi aralıkta doğrusal olarak bağımsız y oo = n doğrusal bir birleşimidir. keyfi çözümler sabit katsayılar.

1 0 azami sayı doğrusal bağımsız kararlar LOU sırasına eşittir.

FSR- n'inci dereceden herhangi n bağımsız kısmi çözüm LOU'su.

*y on =y oo +y chn

Doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklemin genel çözümünün yapısı. N'inci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulmak için keyfi sabitlerin değişimi yöntemi.

LPDE'ler keyfi sabitlerin değiştirilmesi yöntemiyle çözülür. Birincisi ortak karar homojen denklem , aynı şeye sahip Sol Taraf, orijinali olarak homojen olmayan denklem. Daha sonra denklemin çözümü formda bulunur, yani. C sabitlerinin bağımsız değişken x'in f-mi'si olduğu varsayılmaktadır. Bu durumda sistemin çözümü olarak C 1(x) ve C2(x) fonksiyonları elde edilebilir.

U o = sen oo + u çn

Bir denklemin maksimum çözüm sayısı sırasına eşittir.

ortak karar

44*. Doğrusal homojen diferansiyel denklem sabit katsayılarla. Karakteristik polinom ve karakteristik denklem. Yapı temel sistem durumlarda çözümler basit kökler karakteristik polinom(gerçek ve karmaşık).

y"+p(x)y=f(x) formundaki denklem; burada p(x), f(x) a aralığında sürekli fonksiyonlardır

Eğer f(x)= 0 ise denklem homojen olarak adlandırılır.

LO ur-ii y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0 ise

Tüm pi katsayıları sabittir, bu durumda kısmi çözümleri y=e kx formunda bulunabilir; burada k bir sabittir. Ur'da ikame

(k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0

e kx ile azaltarak sözde elde ederiz Karakteristik seviye

k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0

N'inci derecedeki bu denklem, y= e kx'in sabit katsayılı orijinal diferansiyel denklemin bir çözümü olduğu k değerlerini belirler.

1.k 1 , k 2 ,…,k n – gerçek ve farklı

FSR: ek 1 x , ek 2 x ,…, e knx

2. k 1 = k 2 =…=k m =k ~ ,

k ~ - m - ur-i'nin çoklu kökü ve diğer tüm n-m kökleri farklıdır

FSR: ek ~ x ,x ek ~ x ,…, x m -1 ek ~ x , e km +1 x , ek n x

ayrıca bkz. Lineer diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözme
Genel durumda temel bir çözüm sistemi bulmak oldukça zor bir iştir. Ancak bu sorunun oldukça kolay çözülebileceği bir denklem sınıfı vardır. Artık bu dersi çalışmaya başlıyoruz.
(*)

Bu denklemdeki katsayılar sabitse, yani a i (x)=sabit ise, doğrusal diferansiyel denkleme (*) sabit katsayılı bir denklem diyelim. Bu durumda karşılık gelen homojen denklem L(y)=0 şu şekle sahip olacaktır:
. (6)
Denklem (6)'ya y = e rx formunda bir çözüm arayacağız. O zaman y" = r e rx , y"" = r 2 e rx ,…, y (n) = r n e rx . (6)'yı yerine koyarsak şunu elde ederiz:

.

Örnek. y""-3y" + 2y=0 denklemi için, r 2 - 3r + 2 = 0 karakteristik denkleminin kökleri r 1 = 1, r 2 = 2'ye eşittir (kökler bulma hizmeti aracılığıyla bulunmuştur) diskriminant) Sonuç olarak, temel çözüm sistemi y 1 = e x, y 2 = e 2 x fonksiyonlarından oluşur ve genel çözüm y = C 1 e x + C 2 e 2 x olarak yazılır.
2. Karakteristik denklemin kökleri arasında katlar vardır. r1'in α çokluğuna sahip olduğunu ve tüm diğerlerinin farklı olduğunu varsayalım. İlk önce r 1 = 0 durumunu ele alalım. O zaman karakteristik denklem şu şekilde olur:

.

Teknolojimizi geliştirmeye devam edeceğiz temel dönüşümler Açık homojen doğrusal denklem sistemi.
İlk paragraflara bakıldığında materyal sıkıcı ve vasat görünebilir ancak bu izlenim aldatıcıdır. Tekniklerin daha da geliştirilmesine ek olarak birçok yeni bilgi de ortaya çıkacak, bu nedenle lütfen bu makaledeki örnekleri ihmal etmemeye çalışın.

Homojen doğrusal denklem sistemi nedir?

Cevap kendini gösteriyor. Bir doğrusal denklem sistemi eğer serbest terim varsa homojendir. herkes Sistemin denklemi sıfırdır. Örneğin:

Kesinlikle açıktır ki homojen bir sistem her zaman tutarlıdır yani her zaman bir çözümü vardır. Ve her şeyden önce gözünüze çarpan şey sözde önemsizçözüm . Sıfatın anlamını hiç anlamayanlar için önemsiz, gösterişsiz anlamına gelir. Tabii ki akademik olarak değil ama anlaşılır bir şekilde =) ...Neden bu kadar lafı uzatmayalım ki, gelin bu sistemin başka çözümleri var mı öğrenelim:

örnek 1

Çözüm: Homojen bir sistemi çözmek için şunu yazmak gerekir: sistem matrisi ve temel dönüşümlerin yardımıyla onu kademeli bir forma getirin. Lütfen burada dikey çubuğu ve serbest terimlerin sıfır sütununu yazmaya gerek olmadığını unutmayın - sonuçta sıfırlarla ne yaparsanız yapın, bunlar sıfır olarak kalacaktır:

(1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Birinci satır üçüncü satıra -3 ile çarpılarak eklendi.

(2) Üçüncü satıra ikinci satır -1 ile çarpılarak eklendi.

Üçüncü satırı 3'e bölmek pek bir anlam ifade etmiyor.

Temel dönüşümler sonucunda eşdeğer bir homojen sistem elde edilir Gauss yönteminin tersini kullanarak çözümün benzersiz olduğunu doğrulamak kolaydır.

Cevap:

Açık bir kriter formüle edelim: homojen bir doğrusal denklem sistemi vardır sadece önemsiz bir çözüm, Eğer sistem matris sıralaması(bu durumda 3) değişken sayısına eşittir (bu durumda – 3 adet).

Hadi ısınalım ve radyomuzu temel dönüşüm dalgasına göre ayarlayalım:

Örnek 2

Homojen bir doğrusal denklem sistemini çözün

Nihayet algoritmayı pekiştirmek için son görevi analiz edelim:

Örnek 7

Homojen bir sistemi çözün, cevabı vektör formunda yazın.

Çözüm: Sistemin matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

(1) Birinci satırın işareti değiştirildi. Birçok kez karşılaşılan ve bir sonraki eylemi önemli ölçüde basitleştirmenize olanak tanıyan bir tekniğe bir kez daha dikkat çekiyorum.

(1) 2. ve 3. satırlara ilk satır eklendi. İlk satırın 2 ile çarpılması 4. satıra eklendi.

(3) Son üç satır orantılı olup ikisi çıkarılmıştır.

Sonuç olarak standart bir adım matrisi elde edilir ve çözüm tırtıllı yol boyunca devam eder:

– temel değişkenler;
– serbest değişkenler.

Temel değişkenleri serbest değişkenler cinsinden ifade edelim. 2. denklemden:

– 1. denklemde yerine koyun:

Yani genel çözüm şudur:

Söz konusu örnekte üç serbest değişken olduğundan, temel sistem üç vektör içerir.

Üçlü değerlerin yerine koyalım genel çözüme dönüştürün ve koordinatları homojen sistemin her denklemini karşılayan bir vektör elde edin. Ve yine, alınan her vektörü kontrol etmenin şiddetle tavsiye edildiğini tekrar ediyorum - fazla zaman almayacak, ancak sizi hatalardan tamamen koruyacaktır.

Üçlü değerler için vektörü bul

Ve son olarak üçümüz için üçüncü vektörü elde ederiz:

Cevap: , Nerede

Kesirli değerlerden kaçınmak isteyenler üçüzleri düşünebilir ve eşdeğer biçimde bir cevap alın:

Kesirlerden bahsetmişken. Problemde elde edilen matrise bakalım ve kendimize şu soruyu soralım: ilerideki çözümü basitleştirmek mümkün mü? Sonuçta burada önce temel değişkeni kesirlerle, sonra temel değişkeni kesirlerle ifade ettik ve şunu söylemeliyim ki bu süreç en basit ve en keyifli süreç değildi.

İkinci çözüm:

Fikir denemektir diğer temel değişkenleri seç. Matrise bakalım ve üçüncü sütunda iki tanesine dikkat edelim. Peki neden üstte sıfır olmasın? Bir temel dönüşüm daha gerçekleştirelim:

Ne olduğunu anlamak için temel karar sistemi Aynı örneğe ait eğitim videosunu tıklayarak izleyebilirsiniz. Şimdi gerekli tüm çalışmaların asıl açıklamasına geçelim. Bu, bu konunun özünü daha ayrıntılı olarak anlamanıza yardımcı olacaktır.

Doğrusal bir denklemin temel çözüm sistemi nasıl bulunur?

Örneğin aşağıdaki doğrusal denklem sistemini ele alalım:

Bu doğrusal denklem sisteminin çözümünü bulalım. Başlangıç ​​olarak biz sistemin katsayı matrisini yazmanız gerekir.

Bu matrisi üçgene dönüştürelim.İlk satırı değişiklik yapmadan yeniden yazıyoruz. Ve $a_(11)$'ın altındaki tüm öğeler sıfırlanmalıdır. $a_(21)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için, birinciyi ikinci satırdan çıkarmanız ve farkı ikinci satıra yazmanız gerekir. $a_(31)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için üçüncü satırdan birinciyi çıkarıp farkı üçüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(41)$ elemanının yerine sıfır yapmak için dördüncü satırdan ilk 2 ile çarpımı çıkarıp farkı dördüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(31)$ elemanının yerine sıfır yapmak için beşinci satırdan ilk 2 ile çarpımı çıkarmanız ve farkı beşinci satıra yazmanız gerekir.

Birinci ve ikinci satırları değişiklik yapmadan yeniden yazıyoruz. Ve $a_(22)$'ın altındaki tüm öğeler sıfırlanmalıdır. $a_(32)$ elemanının yerine sıfır yapmak için üçüncü satırdan ikincinin 2 ile çarpımını çıkarıp farkı üçüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(42)$ elemanının yerine sıfır yapmak için dördüncü satırdan ikincinin 2 ile çarpımını çıkarmanız ve farkı dördüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(52)$ elemanının yerine sıfır yapmak için beşinci satırdan ikincinin 3 ile çarpımını çıkarmanız ve farkı beşinci satıra yazmanız gerekir.

Bunu görüyoruz son üç satır aynı yani üçüncüyü dördüncü ve beşinciden çıkarırsanız sıfır olur.

Bu matrise göre yeni bir denklem sistemi yazın.

Yalnızca üç doğrusal bağımsız denklemimiz ve beş bilinmeyenimiz olduğunu görüyoruz, dolayısıyla temel çözüm sistemi iki vektörden oluşacaktır. Yani biz son iki bilinmeyeni sağa taşımamız gerekiyor.

Artık sol taraftaki bilinmeyenleri sağ taraftaki bilinmeyenlerle ifade etmeye başlıyoruz. Son denklemle başlıyoruz, önce $x_3$'ı ifade ediyoruz, sonra elde edilen sonucu ikinci denklemde yerine koyup $x_2$'yi, sonra da ilk denklemi ifade ediyoruz ve burada $x_1$'ı ifade ediyoruz. Böylece sol taraftaki tüm bilinmeyenleri, sağ taraftaki bilinmeyenler aracılığıyla ifade etmiş olduk.

Daha sonra, $x_4$ ve $x_5$ yerine herhangi bir sayıyı değiştirebiliriz ve $x_1$, $x_2$ ve $x_3$'ı bulabiliriz. Bu sayıların her beşi orijinal denklem sistemimizin kökleri olacaktır. Dahil edilen vektörleri bulmak için FSR$x_4$ yerine 1 yazmamız ve $x_5$ yerine 0 yazmamız, $x_1$, $x_2$ ve $x_3$ bulmamız ve sonra da tam tersi $x_4=0$ ve $x_5=1$ bulmamız gerekiyor.

İkinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemler

İkinci dereceden diferansiyel denklem şu şekildedir:

Tanım.İkinci dereceden bir denklemin genel çözümü, herhangi bir değer için bu denklemin çözümü olan bir fonksiyondur.

Tanım.İkinci dereceden doğrusal homojen bir denkleme denklem denir. Katsayılar sabitse, yani. bağlı değilse bu denkleme sabit katsayılı denklem denir ve şu şekilde yazılır: .

Denklem biz buna doğrusal homojen olmayan denklem diyeceğiz.

Tanım. Bir doğrusal homojen denklemden, fonksiyonun bir ve karşılık gelen kuvvetleri ile değiştirilmesiyle elde edilen denkleme karakteristik denklem denir.

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantına bağlı olarak bir çözümü olduğu bilinmektedir: , yani if , o zaman kökler ve farklı gerçek sayılardır. Eğer öyleyse. Eğer, yani , o zaman sanal bir sayı olacak ve kökler ve karmaşık sayılar olacaktır. Bu durumda belirtmeyi kabul ediyoruz.

Örnek 4. Denklemi çözün.

Çözüm. Dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin diskriminantı .

Karakteristik denklemin köklerinin formunu kullanarak homojen bir ikinci dereceden doğrusal denklemin genel çözümünün nasıl bulunacağını göstereceğiz.

Karakteristik denklemin gerçek kökleri ise, o zaman .

Karakteristik denklemin kökleri aynı ise; , daha sonra diferansiyel denklemin genel çözümü aşağıdaki formül kullanılarak aranır veya .

Karakteristik denklemin karmaşık kökleri varsa o zaman.

Örnek 5. Denklemin genel çözümünü bulun.

Çözüm. Bu diferansiyel denklem için bir karakteristik denklem oluşturalım: . Kökleri geçerli ve farklıdır. Bu nedenle genel çözüm .

Doğrusal homojen diferansiyel denklemin temel çözüm sistemi. Doğrusal homojen diferansiyel denklemin çözümlerinin genel çözümünün yapısına ilişkin bir teorem. Bu bölümde herhangi bir kümenin olduğunu kanıtlayacağız. N doğrusal bağımsız çözümleri.
Def. 14.5.5.1. temel çözüm sistemi. Temel çözüm sistemi doğrusal homojen diferansiyel denklem N -th mertebesi doğrusal olarak bağımsız herhangi bir sistemdir sen 1 (X ), sen 2 (X ), …, e-n (X ) onun N özel çözümler.
Doğrusal homojen diferansiyel denklemin genel çözümünün yapısına ilişkin Teorem 14.5.5.1.1. Ortak karar sen (X ) doğrusal bir homojen diferansiyel denklemin temel çözüm sisteminden bu denklemin fonksiyonlarının doğrusal bir kombinasyonudur:
sen (X ) = C 1 sen 1 (X ) + C 2 sen 2 (X ) + …+ C n y n (X ).
Belge. İzin vermek sen 1 (X ), sen 2 (X ), …, e-n (X ) doğrusal homojen diferansiyel denklemin temel çözüm sistemidir. Herhangi bir özel çözümün kanıtlanması gerekmektedir. sen Ne ( X ) bu denklemin formülünde bulunur sen (X ) = C 1 sen 1 (X ) + C 2 sen 2 (X ) + …+ C n y n (X ) belirli bir sabit kümesi için C 1 , C 2 , …, Cn . Herhangi bir noktayı alalım, bu noktadaki sayıları hesaplayalım ve sabitleri bulalım. C 1 , C 2 , …, Cn doğrusal homojen olmayan cebirsel denklemler sisteminin çözümü olarak

Böyle bir çözüm mevcuttur ve benzersizdir, çünkü bu sistemin determinantı eşittir. Doğrusal kombinasyonu düşünün sen (X ) = C 1 sen 1 (X ) + C 2 sen 2 (X ) + …+ C n y n (X ) sabitlerin bu değerleri ile temel çözüm sisteminden fonksiyonlar C 1 , C 2 , …, Cn ve bunu fonksiyonla karşılaştırın sen Ne ( X ). Fonksiyonlar sen (X ) Ve sen Ne ( X ) noktada aynı denklemi ve aynı başlangıç ​​koşullarını sağlar X Bu nedenle Cauchy probleminin çözümünün benzersizliği nedeniyle bunlar çakışmaktadır: sen Ne ( X ) = C 1 sen 1 (X ) + C 2 sen 2 (X ) + … + C n y n (X ). Teorem kanıtlandı.
Bu teoremden, sürekli katsayılı homojen bir denklemin kısmi çözümlerinin doğrusal uzayının boyutunun aşmadığı sonucu çıkar. N . Geriye bu boyutun daha az olmadığını kanıtlamak kalıyor. N .
Doğrusal homojen diferansiyel denklemin temel çözüm sisteminin varlığına ilişkin Teorem 14.5.5.1.2. Herhangi bir doğrusal homojen diferansiyel denklem N Sürekli katsayılı mertebenin temel bir çözüm sistemi vardır; sistemden N doğrusal bağımsız çözümler.
Belge. Herhangi bir sayısal determinantı alalım N -inci derece, sıfıra eşit değil