Doğrusal homojen olmayan bir durum için diferansiyel denklem N- ilk sipariş
sen(N) + A 1(X)sen(N- 1) + ... + BİR- 1 (X) sen" + BİR(X)sen = f(x),
Nerede sen = sen(X) - Olumsuz bilinen fonksiyon, A 1(X),A 2(X), ..., BİR- 1(X), BİR(X), F(X) - bilinen, sürekli, adil:
1) eğer sen 1(X) Ve sen 2(X) - iki çözüm değil homojen denklem, ardından fonksiyon
sen(X) = sen 1(X) - sen 2(X) - karşılık gelen homojen denklemin çözümü;
2) eğer sen 1(X) çözüm homojen olmayan denklem, A sen 2(X) karşılık gelen homojen denklemin çözümüdür, o zaman fonksiyon
sen(X) = sen 1(X) + sen 2(X) - homojen olmayan bir denklemin çözümü;
3) eğer sen 1(X), sen 2(X), ..., ay(X) - N homojen bir denklemin doğrusal bağımsız çözümleri ve evet(X) - keyfi karar homojen olmayan denklem,
o zaman herhangi biri için başlangıç değerleri
X 0, sen 0, sen 0,1, ..., sen 0,N- 1
İfade
sen(X)=C 1 sen 1(X) + C 2 sen 2(X) + ... + cn yn(X) +evet(X)
isminde genel karar doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklem N-inci sipariş.
Homojen olmayan diferansiyel denklemlerin kısmi çözümlerini bulmak için sabit katsayılar formun sağ tarafları ile:
Pk(X)exp(a X)çünkü( bx) + S M(X)exp(a X)günah( bx),
Nerede Pk(X), Q M(X) - derece polinomları k Ve M Buna göre, belirli bir çözümü oluşturmak için basit bir algoritma vardır. seçim yöntemi.
Seçim yöntemi veya yöntemi belirsiz katsayılar, aşağıdaki gibidir.
Denklemin gerekli çözümü şu şekilde yazılır:
(PR(X)exp(a X)çünkü( bx) + Qr(X)exp(a X)günah( bx))xs,
Nerede PR(X), Qr(X) - derece polinomları R= maksimum( k, M) İle bilinmiyor katsayılar
halkla ilişkiler , pr- 1, ..., P 1, P 0, QR, QR- 1, ..., Q 1, Q 0.
Böylece, bulmak genel çözüm sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklem aşağıdaki gibidir
karşılık gelen homojen denklemin genel çözümünü bulun (karakteristik denklemi yazın, tüm kökleri bulun karakteristik denklem ben 1, ben 2, ... , içinde, yaz temel sistemçözümler sen 1(X), sen 2(X), ..., ay(X));
homojen olmayan denklemin herhangi bir özel çözümünü bulun evet(X);
Genel çözümün ifadesini yazın
sen(X)=C 1 sen 1(X) + C 2 sen 2(X) + ... + cn yn(X) + evet(X);
Sabit katsayılı ikinci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemler sağ tarafözel tip. Belirsiz katsayılar yöntemi.
Formun diferansiyel denklemi (1)
burada f, sabit katsayılı, n'inci dereceden doğrusal diferansiyel denklem olarak adlandırılan bilinen bir fonksiyondur. Eğer öyleyse, o zaman denklem (1) homojen, aksi takdirde - homojen olmayan olarak adlandırılır.
Sabit katsayılı ve özel bir formun sağ tarafı olan, yani fonksiyonların toplamları ve çarpımlarından oluşan doğrusal homojen olmayan denklemler için belirsiz katsayılar yöntemiyle özel bir çözüm aranabilir. Özel çözümün türü karakteristik denklemin köklerine bağlıdır. Aşağıda, özel bir sağ tarafı olan doğrusal homojen olmayan bir denklemin kısmi çözüm türlerinin bir tablosu bulunmaktadır.
Karmaşık düzlem. Karmaşık bir sayının modülü ve argümanı. Argümanın ana anlamı. Geometrik anlam
Karmaşık sayılar şu şekilde yazılır: a+bi. Burada a ve b var gerçek sayılar ve ben – hayali birim, yani ben 2 = –1. a sayısına apsis denir ve b, a+bi karmaşık sayısının ordinatıdır. a+bi ve a-bi olmak üzere iki karmaşık sayıya eşlenik karmaşık sayılar denir.
Geometrik gösterim karmaşık sayılar. Gerçek sayılar sayı doğrusu üzerindeki noktalarla temsil edilir:
Burada A noktası –3 sayısını, B noktası 2 sayısını, O ise sıfırı temsil etmektedir. Bunun tersine, karmaşık sayılar noktalarla temsil edilir. koordinat düzlemi. Bu amaçla her iki eksende aynı ölçeklere sahip dikdörtgen (Kartezyen) koordinatları seçiyoruz. Daha sonra karmaşık sayı a+bi apsis a ve ordinat b ile P noktası ile temsil edilecektir (şekle bakınız). Bu koordinat sistemine karmaşık düzlem denir.
Bir karmaşık sayının modülü, koordinat (karmaşık) düzleminde bir karmaşık sayıyı temsil eden OP vektörünün uzunluğudur. a+ bi karmaşık sayısının modülü | a+ bi | veya r harfi ve şuna eşittir:
Eşlenik karmaşık sayılar aynı modüle sahiptir. __
Karmaşık bir sayının argümanı, OX ekseni ile bu karmaşık sayıyı temsil eden OP vektörü arasındaki açıdır. Dolayısıyla tan = b/a.
Bir denklemin temel çözüm sisteminin bilgisi, bu denklemin genel bir çözümünü oluşturmayı mümkün kılar. Diferansiyel denklemin genel çözümünün tanımını hatırlayalım N-inci sıra
İşlev 
değişkenlerin bazı varyasyon alanlarında tanımlanmış 
Her noktasında Cauchy probleminin çözümünün varlığı ve tekliği olan ve göre sürekli kısmi türevleri olan X siparişe kadar N aşağıdaki durumlarda, belirtilen bölgedeki denklemin (15) genel çözümü denir:
denklem sistemi
keyfi sabitlere göre belirtilen bölgede çözülebilir 
, Bu yüzden
(16)
2. işlev 
keyfi sabitlerin tüm değerleri için denklem (15)'in bir çözümüdür 
formül (16) ile ifade edilir, nokta 
incelenen alana aittir.
Teorem 1. (Doğrusal homojen diferansiyel denklemin genel çözümünün yapısı hakkında). Eğer işlevler 
,
,
…,
homojen bir doğrusal denklemin temel çözüm sistemini oluşturur N-inci sıra 
aralıkta 
, yani katsayıların sürekliliği aralığında, o zaman fonksiyon 
bölgedeki bu denklemin genel bir çözümüdür D:
,
,
.
Kanıt. Belirtilen bölgenin her noktasında Cauchy probleminin çözümünün varlığı ve tekliği vardır. Şimdi fonksiyonun olduğunu gösterelim. 
denklemin genel çözüm tanımını karşılar N-inci sipariş.
denklem sistemi
etki alanında çözülebilir D keyfi sabitlere göre 
çünkü bu sistemin determinantı, temel çözüm sistemi (12) için Wronski determinantıdır ve bu nedenle sıfırdan farklıdır.
2. İşlev 
homojen bir doğrusal denklemin çözümlerinin özelliği ile denklemin bir çözümüdür 
keyfi sabitlerin tüm değerleri için 
.
Bu nedenle fonksiyon 
denklemin genel bir çözümüdür 
bölgede D. Teorem kanıtlandı.
Örnek.
.
Bu denklemin çözümleri açıkça fonksiyonlardır. 
,
. Bu kararlar temel bir kararlar sistemini oluşturur, çünkü
.
Bu nedenle genel çözüm orijinal denklem fonksiyondur.
N'inci mertebeden homojen olmayan bir doğrusal denklemin genel çözümünün yapısı.
Heterojen bir durumu ele alalım doğrusal denklem N-inci sıra
Birinci dereceden doğrusal homojen olmayan bir denklem durumunda olduğu gibi, eğer homojen olmayan denklemin (1) özel bir çözümü biliniyorsa, denklem (1)'in entegrasyonunun homojen bir denklemin entegrasyonuna indirgendiğini gösterelim.
İzin vermek 
- denklem (1)'in özel bir çözümü, yani.
,
. (2)
Hadi koyalım 
, Nerede z– yeni bilinmeyen işlev X. Daha sonra denklem (1) şu şekli alacaktır:
veya 
,
dolayısıyla özdeşlik (2) sayesinde şunu elde ederiz:
. (3)
Bu homojen bir doğrusal denklemdir, sol taraf bu, dikkate alınan homojen olmayan denklem (1) ile aynıdır. Onlar. bu homojen olmayan denkleme (1) karşılık gelen homojen bir denklem elde ettik.
,
,
…,
,
homojen denklemin (3) temel çözüm sistemidir. O zaman bu denklemin tüm çözümleri genel çözüm formülünde yer alır, yani.
.
Bu değeri yerine koyalım z formülün içine 
, alıyoruz
.
Ortaya çıkan fonksiyon bölgedeki denklem (1)'in genel bir çözümüdür. D.
Böylece, doğrusal homojen olmayan denklemin (1) genel çözümünün, bu denklemin bazı özel çözümlerinin ve karşılık gelen homojen doğrusal denklemin genel çözümünün toplamına eşit olduğunu göstermiş olduk.
Örnek. Denklemin genel çözümünü bulun
.
Çözüm. Bu homojen olmayan doğrusal denklemin özel bir çözümü şu şekildedir:
.
Karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü 
daha önce de gösterdiğimiz gibi şu forma sahiptir:
Bu nedenle orijinal denklemin genel çözümü şu şekildedir: 
.
Çoğu durumda, aşağıdaki özelliği kullanırsanız, homojen olmayan bir denklemin belirli bir çözümünü bulma görevi daha kolaydır:
Teorem. Denklem (1)'de sağ taraf şu şekle sahipse
ve biliniyor ki 
, A 
- denklemin özel çözümü 
, o zaman bu özel çözümlerin toplamı 
+
denklemin (1) kısmi bir çözümü olacaktır.
Kanıt. Gerçekten de, koşul gereği 
denklemin özel bir çözümü var 
, A 
- denklemin özel çözümü 
, O
,
.
onlar. 
+
denklem (1)'in özel bir çözümüdür.
Böyle bir denklemin genel çözümünün yapısı aşağıdaki teorem ile belirlenir.
Teorem 1. Homojen olmayan denklemin (1) genel çözümü, bu denklemin bazı özel çözümlerinin toplamı olarak temsil edilir. y h ve karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü
Kanıt. Toplamın (3) olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Denklemin (1) genel bir çözümü vardır.
Öncelikle fonksiyon (3)'ün denklem (1)'in çözümü olduğunu kanıtlayalım. Onun yerine ikame en denklem (1)'deki toplam şu şekilde olacaktır:
- denklem (2)'nin bir çözümü olduğundan, denklem (4)'ün ilk parantezindeki ifade aynı şekilde sıfıra eşittir. Çünkü y h denklem (1)'in bir çözümü ise, ikinci parantezdeki (4) ifade şuna eşittir: f(x). Dolayısıyla eşitlik (4) bir özdeşliktir. Böylece teoremin ilk kısmı kanıtlanmıştır.
Şimdi ifade (3)'ün denklem (1)'in genel bir çözümü olduğunu kanıtlayalım; İçerisindeki keyfi sabitlerin şu şekilde seçilebileceğini kanıtlayalım: başlangıç koşulları (5)
sayılar ne olursa olsun x 0, y 0, ve (eğer yalnızca işlevlerin olduğu alanlar bir 1, bir 2 Ve f(x) sürekli).
Bunu şu şekilde temsil edebileceğimizi fark ederek 
, Nerede y 1 , y 2 doğrusal bağımsız çözümler denklem (2) ve C1 Ve C2 keyfi sabitlerdir, eşitliği (3) biçiminde yeniden yazabiliriz. Daha sonra koşul (5)'e göre bir sistemimiz olacak
.
Bu denklem sisteminden şunu belirlemek gerekir: C1 Ve C2. Sistemi formda yeniden yazalım.
(6)
Sistem belirleyicisi 
– çözümler için bir Wronski determinantı var 1'de Ve saat 2'de noktada. Bu fonksiyonlar koşula göre doğrusal olarak bağımsız olduğundan Wronski determinantı sıfıra eşit, dolayısıyla sistem (6) tek çözüm C1 Ve C2, yani öyle anlamlar var C1 Ve C2 burada formül (3), verilen başlangıç koşullarını karşılayan denklem (1)'in çözümünü belirler.
Dolayısıyla, eğer homojen denklemin (2) genel çözümü biliniyorsa, homojen olmayan denklemin (1) integrali alınırken asıl görev herhangi bir özel çözümü bulmaktır. y h.
Özel sağ tarafı olan sabit katsayılı ikinci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemler. Belirsiz katsayılar yöntemi.
Bazen entegrasyona başvurmadan daha basit bir çözüm bulmak mümkün olabilir. Bu gerçekleşir özel durumlar fonksiyon ne zaman f(x) sahip olmak özel tip.
Denklemi alalım, (1)
Nerede P Ve Q gerçek sayılar ve f(x)özel bir görünüme sahiptir. Denklem (1) için buna benzer birkaç olasılığı ele alalım.
Denklemin (1) sağ tarafı ürün olsun üstel fonksiyon bir polinoma, yani benziyor 
, (2)
n'inci dereceden bir polinom nerede. O zaman aşağıdaki durumlar mümkündür:
a) sayı – bir kök değil karakteristik denklem 
.
Bu durumda (3) formunda özel bir çözüm aranmalıdır.
onlar. bir polinom formunda da N-inci derece, nerede A 0, A 1,…, A n katsayıların belirlenmesi gerekmektedir.
Bunları belirlemek için ve türevlerini buluyoruz.
Değiştirme y h ve denklem (1)'e yerleştirip her iki tarafı da sahip olacağımız bir faktörle azaltarak:
Burada n'inci dereceden bir polinom, – (n-1)'inci dereceden bir polinom ve – (n-2)'inci dereceden bir polinom var.
Böylece eşittir işaretinin solunda ve sağında polinomlar vardır. N-inci derece. Katsayıların eşitlenmesi eşit derece X(bilinmeyen katsayıların sayısı eşittir), katsayıları belirlemek için bir denklem sistemi elde ederiz A 0, A 1, ..., A n.
Denklemin (1) sağ tarafı şu şekle sahipse:
