Vektör uzayı olan tüm kümelerin maksimum sayısı. Vektör doğrusal uzayı

Golovizin V.V. Cebir ve geometri üzerine dersler.

4

Cebir ve geometri üzerine dersler. 2. yarıyıl.

Ders 22. Vektör uzayları.

Özet: bir vektör uzayının tanımı, en basit özellikleri, vektör sistemleri, bir vektör sisteminin doğrusal birleşimi, önemsiz ve önemsiz olmayan doğrusal bileşim, doğrusal olarak bağımlı ve bağımsız vektör sistemleri, bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı veya bağımsızlığı için koşullar vektörler, bir vektör sisteminin alt sistemleri, bir aritmetik vektör uzayının sütun sistemleri.

Madde 1. Vektör uzayının tanımı ve en basit özellikleri.

Burada okuyucuya kolaylık sağlamak amacıyla 1. dersin 13. paragrafının içeriğini tekrarlıyoruz.

Tanım. Elemanlarına vektör diyeceğimiz rastgele, boş olmayan bir küme ve elemanlarına skaler diyeceğimiz K bir alan olsun. Bir küme üzerinde, + işaretiyle ve çağrı vektörü toplamasıyla göstereceğimiz bir iç ikili cebirsel işlem tanımlansın. Küme üzerinde, bir vektörün bir skalerle çarpımı diyeceğimiz ve çarpma işaretiyle gösterilen harici bir ikili cebirsel işlemin de tanımlandığını varsayalım. Başka bir deyişle, iki eşleme tanımlanır:

Aşağıdaki aksiyomlar geçerliyse, bu iki cebirsel işlemi içeren bir kümeye K alanı üzerinde bir vektör uzayı denir:

1. Ekleme ilişkiseldir, yani.

2. Sıfır vektör var, yani.

3. Herhangi bir vektör için bunun tersi vardır:

X vektörünün karşısındaki y vektörü genellikle -x ile gösterilir, dolayısıyla

4. Toplama değişmelidir, yani. .

5. Bir vektörün bir skalerle çarpımı, ilişkisellik yasasına uyar;

burada ürün, K alanında tanımlanan skalerlerin çarpımıdır.

6. , burada 1, K alanının birimidir.

7. Bir vektörün bir skalerle çarpımı, vektörlerin toplamına göre dağılımlıdır:

8. Bir vektörün bir skalerle çarpımı, skalerlerin toplamına göre dağılımsaldır: . Tanım. Vektör uzayı

reel sayılar alanı üzerindeki uzaya reel vektör uzayı denir.

Teorem. (Vektör uzaylarının en basit özellikleri.)

2. Vektör uzayında her vektörün kendine özgü bir karşıtı vardır.

3. veya
.

4. .

Kanıt. 1) Benzersizlik sıfır vektör aynı zamanda birim matrisin benzersizliği ve genel olarak herhangi bir dahili ikili cebirsel işlemin nötr öğesinin benzersizliği olarak da kanıtlanmıştır.

V vektör uzayının sıfır vektörü 0 olsun. O halde. İzin vermek
– başka bir sıfır vektörü. Daha sonra. İlk durumu ele alalım
ve ikincisinde –
. Daha sonra
Ve
, bundan şu sonuç çıkıyor
, vesaire.

2a) Öncelikle sıfır skaler ile herhangi bir vektörün çarpımının sıfır vektöre eşit olduğunu kanıtlıyoruz.

İzin vermek
. Daha sonra vektör uzayı aksiyomlarını uygulayarak şunu elde ederiz:

Toplama açısından bir vektör uzayı bir Abel grubudur ve iptal yasası herhangi bir grupta geçerlidir. İptal kanunu uygulandığında son eşitlikten yola çıkılır.

.

2b) Şimdi ifade 4)'ü kanıtlıyoruz. İzin vermek
– keyfi vektör. Daha sonra

Hemen şunu takip eder: vektör
x vektörünün tersidir.

2c) Şimdi izin ver
. Daha sonra vektör uzayı aksiyomlarını kullanarak,
Ve
şunu elde ederiz:

2d) İzin ver
ve varsayalım ki
. Çünkü
, burada K bir cisimdir, o zaman
. Eşitliği çarpalım
açık kaldı
:
, aşağıdaki
veya
veya
.

Teorem kanıtlandı.

Madde 2. Vektör uzaylarına örnekler.

1) Fonksiyonların eklenmesi ve bir fonksiyonun bir sayı ile çarpılması gibi olağan işlemlere göre (0; 1) aralığında sürekli olan, tek değişkenli sayısal gerçek fonksiyonlar kümesi.

2) Polinomların eklenmesi ve polinomların bir skalerle çarpımı ile ilgili olarak K alanından katsayıları olan bir harften oluşan bir polinom seti.

3) Çok karmaşık sayılar Karmaşık sayıların toplanması ve bir gerçek sayıyla çarpılmasıyla ilgili.

4) Matris toplama ve matrisin bir skalerle çarpımı açısından K alanındaki öğelerle aynı büyüklükte bir matris kümesi.

Aşağıdaki örnek, Örnek 4'ün önemli bir özel durumudur.

5) Keyfi bir doğal sayı olsun. Yüksekliği n olan tüm sütunların kümesiyle gösterelim; K boyutunda bir alan üzerindeki matrisler kümesi
.

Küme, K alanı üzerinde bir vektör uzayıdır ve K alanı üzerinde n yüksekliğindeki sütunların aritmetik vektör uzayı olarak adlandırılır.

Özellikle, keyfi bir K alanı yerine alanı alırsak gerçek sayılar, sonra vektör uzayı
yüksekliği n olan sütunların gerçek aritmetik vektör uzayı denir.

Benzer şekilde, bir vektör uzayı da K boyutunda bir alan üzerindeki matrisler kümesidir
veya başka bir deyişle n uzunluğunda dizeler. Aynı zamanda K alanı üzerinde n uzunluğundaki dizilerin aritmetik vektör uzayı olarak da adlandırılır ve buna aynı zamanda denir.

Madde 3. Vektör uzayı vektör sistemleri.

Tanım. Bir vektör uzayındaki vektörler sistemi, bu uzaydaki herhangi bir sonlu, boş olmayan vektör kümesidir.

Tanım:
.

Tanım. İfade

, (1)

K alanının skalerleri nerede, V vektör uzayının vektörleri, vektör sisteminin doğrusal birleşimi olarak adlandırılır
. Skalerlere bu doğrusal kombinasyonun katsayıları denir.

Tanım. Doğrusal bir kombinasyonun (1) tüm katsayıları sıfıra eşitse, bu tür bir doğrusal kombinasyona önemsiz, aksi halde önemsiz denir.

Örnek. İzin vermek
V vektör uzayındaki üç vektörden oluşan sistem. Daha sonra

– belirli bir vektör sisteminin önemsiz doğrusal kombinasyonu;

belirli bir vektör sisteminin önemsiz olmayan doğrusal birleşimidir, çünkü bu kombinasyonun ilk katsayısı
.

Tanım. V vektör uzayının herhangi bir x vektörü şu şekilde temsil edilebilir:

daha sonra x vektörünün sistemin vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiğini söylüyorlar
. Bu durumda ayrıca sistemin
x vektörünü doğrusal olarak temsil eder.

Yorum. Bu ve önceki tanımda “doğrusal” kelimesi sıklıkla atlanır ve sistemin bir vektörü temsil ettiği veya vektörün sistem vektörleri vb. cinsinden ifade edildiği söylenir.

Örnek. İzin vermek
yüksekliği 2 olan sütunlardan oluşan bir aritmetik gerçek vektör uzayının iki sütunundan oluşan bir sistemdir.
sistemin sütunları aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir veya bu sistem sütunlar x sütununu doğrusal olarak temsil eder. Gerçekten mi,

Madde 4. Bir vektör uzayında doğrusal bağımlı ve doğrusal bağımsız vektör sistemleri.

Sıfır skalerin herhangi bir vektörle çarpımı sıfır vektör olduğundan ve sıfır vektörlerin toplamı sıfır vektöre eşit olduğundan, herhangi bir vektör sistemi için eşitlik

Buradan sıfır vektörünün herhangi bir vektör sisteminin vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiği veya başka bir deyişle herhangi bir vektör sisteminin sıfır vektörünü doğrusal olarak temsil ettiği sonucu çıkar.

Örnek. İzin vermek
. Bu durumda boş sütun sistemin sütunları aracılığıyla doğrusal olarak birden fazla şekilde ifade edilebilir:

veya

Sıfır vektörünün doğrusal temsiline ilişkin bu yöntemler arasında ayrım yapmak için aşağıdaki tanımı sunuyoruz.

Tanım. Eşitlik geçerliyse

ve aynı zamanda tüm katsayılar, o zaman sistemin olduğunu söylüyorlar
boş vektörü önemsiz bir şekilde temsil eder. Eşitlik (3) ise katsayılardan en az biri
Olumsuz sıfıra eşit, sonra vektörler sisteminin olduğunu söylüyorlar
boş vektörü önemsiz olmayan bir şekilde temsil eder.

Son örnekten sıfır vektörünü önemsiz olmayan yollarla temsil edebilen vektör sistemlerinin olduğunu görüyoruz. İtibaren aşağıdaki örnek sıfır vektörünü önemsiz olmayan bir şekilde temsil edemeyen vektör sistemlerinin olduğunu göreceğiz.

Örnek. İzin vermek
– bir vektör uzayından iki sütunlu bir sistem. Eşitliği düşünün:

,

Nerede
Henüz bilinmeyen katsayılar. Bir sütunu bir skalerle (sayı) çarpma ve sütunları ekleme kurallarını kullanarak eşitliği elde ederiz:

.

Matris eşitliğinin tanımından şu sonuç çıkar:
Ve
.

Dolayısıyla bu sistem boş sütunu önemsiz olmayan bir şekilde temsil edemez.

Yukarıdaki örneklerden iki tür vektör sisteminin olduğu anlaşılmaktadır. Bazı sistemler boş vektörü önemsiz olmayan bir şekilde temsil ederken diğerleri bunu yapmaz. Herhangi bir vektör sisteminin önemsiz bir şekilde sıfır vektörünü temsil ettiğini tekrar unutmayın.

Tanım. Bir vektör uzayında YALNIZCA boş vektörü önemsiz bir şekilde temsil eden bir vektörler sistemine doğrusal bağımsız denir.

Tanım. Sıfır vektörünü önemsiz olmayan bir şekilde temsil edebilen bir vektör uzayındaki vektörler sistemine doğrusal bağımlı denir.

Son tanım daha ayrıntılı olarak verilebilir.

Tanım. Vektör sistemi
Böyle sıfır olmayan bir K alan skaler kümesi varsa, V vektör uzayının doğrusal bağımlı olduğu söylenir.

Yorum. Herhangi bir vektör sistemi
boş vektörü önemsiz bir şekilde temsil edebilir:

Ancak bu, belirli bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı mı yoksa doğrusal olarak bağımsız mı olduğunu bulmak için yeterli değildir. Tanımdan, doğrusal olarak bağımsız bir vektör sisteminin sıfır vektörünü önemsiz olmayan bir şekilde temsil edemeyeceği, ancak yalnızca önemsiz bir şekilde temsil ettiği sonucu çıkar. Bu nedenle, belirli bir vektörler sisteminin doğrusal bağımsızlığını doğrulamak için, sıfırın bu vektörler sisteminin keyfi bir doğrusal birleşimiyle temsilini dikkate almamız gerekir:

Bu doğrusal kombinasyonun en az bir katsayısının sıfırdan farklı olması koşuluyla bu eşitlik imkansızsa, o zaman bu sistem tanımı gereği doğrusal olarak bağımsızdır.

Yani önceki paragrafın örneklerinde sütun sistemi
doğrusal olarak bağımsızdır ve sütun sistemi
doğrusal bağımlıdır.

Sütun sisteminin doğrusal bağımsızlığı benzer şekilde kanıtlanır. ,, ... ,

K'nin keyfi bir alan olduğu uzaydan, n keyfi bir doğal sayıdır.

Aşağıdaki teoremler, vektör sistemlerinin doğrusal bağımlılığı ve buna bağlı olarak doğrusal bağımsızlığı için çeşitli kriterler sağlar.

Teorem. (Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı için gerekli ve yeterli koşul.)

Bir vektör uzayındaki bir vektörler sistemi, ancak ve ancak sistemin vektörlerinden birinin bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmesi durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt. Gereklilik. Sisteme izin ver
doğrusal bağımlı. Daha sonra tanım gereği sıfır vektörünü önemsiz olmayan bir şekilde temsil eder, yani. sıfır vektörüne eşit olan bu vektörler sisteminin önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu vardır:

bu doğrusal kombinasyonun katsayılarından en az birinin sıfıra eşit olmadığı yer. İzin vermek
,
.

Önceki eşitliğin her iki tarafını da bu sıfır olmayan katsayıya bölelim (yani :

Şunu belirtelim:
, Nerede.

onlar. Sistemin vektörlerinden biri, bu sistemin diğer vektörleri vb. aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir.

Yeterlilik. Sistemin vektörlerinden birinin bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilmesine izin verin:

Vektörü hareket ettirelim V sağ taraf bu eşitlik:

Vektörün katsayısından beri eşittir
, o zaman sıfırın bir vektörler sistemi tarafından önemsiz olmayan bir temsiline sahibiz
, bu, bu vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir, vb.

Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar.

1. Bir vektör uzayındaki bir vektörler sistemi, ancak ve ancak sistemin vektörlerinden hiçbiri bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmiyorsa doğrusal olarak bağımsızdır.

2. Bir veya iki sıfır vektör içeren bir vektör sistemi eşit vektör, doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt.

1) Gereklilik. Sistemin doğrusal bağımsız olmasına izin verin. Bunun tersini varsayalım ve sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilen bir vektörü vardır. O zaman teoreme göre sistem doğrusal bağımlıdır ve bir çelişkiye varırız.

Yeterlilik. Sistemin vektörlerinden hiçbirinin diğerleri cinsinden ifade edilmesine izin vermeyin. Tam tersini varsayalım. Sistemin doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin, ancak o zaman teoremden, bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilen sistemin bir vektörünün olduğu sonucu çıkar ve yine bir çelişkiye geliriz.

2a) Sistemin sıfır vektör içermesine izin verin. Kesinlik için vektörün olduğunu varsayalım.
:. O zaman eşitlik açıktır

onlar. sistemin vektörlerinden biri bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir. Teoremden böyle bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu vb. sonucu çıkar.

Bu gerçeğin doğrudan doğrusal bağımlı bir vektör sisteminin tanımıyla kanıtlanabileceğini unutmayın.

Çünkü
, o zaman aşağıdaki eşitlik açıktır

Bu sıfır vektörünün basit olmayan bir temsilidir, yani sistem
doğrusal bağımlıdır.

2b) Sistemin iki eşit vektörü olsun. Kesinlik için izin ver
. O zaman eşitlik açıktır

Onlar. ilk vektör aynı sistemin geri kalan vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir. Teoremden bu sistemin doğrusal olarak bağımlı olduğu vb. sonucu çıkar.

Bir öncekine benzer şekilde, bu ifade doğrusal bağımlı bir sistem tanımlanarak doğrudan kanıtlanabilir.

Gerçekten de o zamandan beri
o zaman eşitlik doğrudur

onlar. sıfır vektörünün önemsiz olmayan bir temsiline sahibiz.

Soruşturma kanıtlandı.

Teorem (Bir vektörden oluşan bir sistemin doğrusal bağımlılığı üzerine.

Bir vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak bu vektörün sıfır olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt.

Gereklilik. Sisteme izin ver
doğrusal olarak bağımlı, yani sıfır vektörünün önemsiz olmayan bir temsili var

,

Nerede
Ve
. Vektör uzayının en basit özelliklerinden şu sonuç çıkar:
.

Yeterlilik. Sistemin bir sıfır vektörden oluşmasına izin verin
. O zaman bu sistem önemsiz olmayan bir şekilde sıfır vektörünü temsil eder

,

nereden geliyor doğrusal bağımlılık sistemler
.

Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar. Bir vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak bu vektör sıfırdan farklı ise doğrusal olarak bağımsızdır.

Kanıt okuyucuya bir alıştırma olarak bırakılmıştır.

Wikipedia'dan materyal - özgür ansiklopedi

Vektör(veya doğrusal) uzay- birbirleriyle toplama ve bir sayıyla çarpma işlemlerinin tanımlandığı, vektör adı verilen bir dizi öğeden oluşan matematiksel bir yapı - bir skaler. Bu işlemler sekiz aksiyoma tabidir. Skalerler gerçek, karmaşık veya başka herhangi bir sayı alanının elemanları olabilir. Böyle bir uzayın özel bir durumu, vektörleri örneğin fiziksel kuvvetleri temsil etmek için kullanılan olağan üç boyutlu Öklid uzayıdır. Vektör uzayının bir elemanı olarak bir vektörün, mutlaka yönlendirilmiş bir parça biçiminde belirtilmesinin gerekmediğine dikkat edilmelidir. "Vektör" kavramını herhangi bir nitelikteki bir vektör uzayının bir öğesine genellemek, yalnızca terimlerin karışmasına neden olmakla kalmaz, aynı zamanda keyfi nitelikteki uzaylar için geçerli olan bir takım sonuçların anlaşılmasını ve hatta tahmin edilmesini de mümkün kılar.

Vektör uzayları doğrusal cebirin konusudur. Bir vektör uzayının temel özelliklerinden biri boyutudur. Boyut: maksimum sayı doğrusal bağımsız unsurlar uzay, yani kaba yöntemlere başvurmak geometrik açıklama, yalnızca bir skalerle toplama ve çarpma işlemleri kullanılarak birbirleri aracılığıyla ifade edilemeyen yönlerin sayısı. Vektör uzayı, norm veya iç çarpım gibi ek yapılarla donatılabilir. Bu tür uzaylar matematiksel analizde doğal olarak öncelikle sonsuz boyutlu fonksiyon uzayları biçiminde görünür ( İngilizce), burada işlevler . Çoğu analiz problemi, bir vektör dizisinin yakınsayıp yakınlaşmadığını bulmayı gerektirir. bu vektör. Bu tür soruların dikkate alınması vektör uzaylarında mümkündür ek yapıçoğu durumda yakınlık ve süreklilik kavramlarını tanımlamamıza olanak tanıyan uygun bir topoloji. Bu tür topolojik vektör uzayları, özellikle Banach ve Hilbert uzayları daha derin çalışmalara olanak sağlar.

Vektörlerin yanı sıra, doğrusal cebir aynı zamanda daha yüksek dereceli tensörler üzerinde de çalışır (bir skaler, sıra 0 tensör olarak kabul edilir, bir vektör, derece 1 tensör olarak kabul edilir).

Vektör uzayı kavramının ortaya çıkmasını öngören ilk çalışmalar 17. yüzyıla kadar uzanmaktadır. O zaman analitik geometri, matris doktrini, doğrusal denklem sistemleri ve Öklid vektörleri gelişmeye başladı.

Tanım

Doğrusal, veya vektör uzayı $V\backslash sol(F\backslash sağ)$ alanın üzerinde $F$- bu sıralı dörtlü $(V,F,+,\backslash cdot)$, Nerede

• $V$- keyfi nitelikteki boş olmayan bir dizi öğe vektörler;
• $F$- (cebirsel) elemanları adı verilen alan skalerler;
• İşlem tanımlandı ek vektörler $V\backslash çarpı\; V\backslash to\; V$ her bir öğe çiftini ilişkilendiren $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ setleri $V$ $V$ onları aradım miktar ve belirlenmiş $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• İşlem tanımlandı vektörlerin skalerlerle çarpılması $F\backslash time\; V\backslash to\; V$, her öğeyle eşleşen $\backslash lambda$ alanlar $F$ ve her öğe $\backslash mathbf(x)$ setleri $V$ kümenin tek elemanı $V$, belirtilen $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ veya $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Aynı öğe kümesinde, ancak farklı alanlar üzerinde tanımlanan vektör uzayları, farklı vektör uzayları olacaktır (örneğin, gerçek sayı çiftleri kümesi). $\backslash mathbb(R)^2$ gerçek sayılar alanı üzerinde iki boyutlu bir vektör uzayı veya karmaşık sayılar alanı üzerinde tek boyutlu bir vektör uzayı olabilir).

En basit özellikler

1. Bir vektör uzayı toplama işlemi altındaki bir Abel grubudur.
2. Nötr eleman $\backslash mathbf(0)\; \backslash in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ herkes için $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. Herkes için $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ zıt eleman $-\backslash mathbf(x)\backslash in\; V$ grup özelliklerinden çıkan tek şeydir.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ herkes için $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ herhangi biri için $F\text{'}de\; \backslash alfa\; \backslash$ Ve $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ herkes için $F\text{'}de\; \backslash alfa\; \backslash$.

İlgili tanımlar ve özellikler

Altuzay

Cebirsel tanım: Doğrusal altuzay veya vektör alt uzayı - boş olmayan alt küme $k$ doğrusal uzay $V$Öyle ki $k$ kendisi de tanımlananlara göre doğrusal bir uzaydır $V$ bir skalerle toplama ve çarpma işlemleri. Tüm altuzayların kümesi genellikle şu şekilde gösterilir: $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Bir alt kümenin alt uzay olabilmesi için gerekli ve yeterli olması

1. herhangi bir vektör için $\backslash mathbf(x)\backslash in\; K$, vektör $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ aynı zamanda aitti $k$, herhangi biri için $F\text{'}de\; \backslash alfa\backslash$;
2. tüm vektörler için $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektör $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ aynı zamanda aitti $k$.

Son iki ifade aşağıdakine eşdeğerdir:

Tüm vektörler için $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektör $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ aynı zamanda aitti $k$ herhangi biri için $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

Özellikle, yalnızca bir sıfır vektörden oluşan bir vektör uzayı, herhangi bir uzayın bir alt uzayıdır; her uzay kendisinin bir alt uzayıdır. Bu ikisiyle örtüşmeyen altuzaylara denir. sahip olmak veya önemsiz değil.

Alt uzayların özellikleri

• Herhangi bir alt uzay ailesinin kesişimi yine bir alt uzaydır;
• Alt uzayların toplamı $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ mümkün olan tüm elemanların toplamını içeren bir küme olarak tanımlanır $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Sonlu bir alt uzay ailesinin toplamı yine bir alt uzaydır.

Doğrusal kombinasyonlar

Formun son toplamı

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Doğrusal kombinasyon denir:

Temel. Boyut

Vektörler $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ denir doğrusal bağımlı, bunların sıfıra eşit önemsiz bir doğrusal kombinasyonu varsa:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Aksi takdirde bu vektörlere denir doğrusal bağımsız.

Bu tanım aşağıdaki genellemeyi mümkün kılar: iblis sonlu küme gelen vektörler $V$ isminde doğrusal bağımlı bazıları doğrusal bağımlı ise son bunun bir alt kümesi ve doğrusal bağımsız eğer varsa son alt küme doğrusal olarak bağımsızdır.

Bazın özellikleri:

• Herhangi $N$ doğrusal bağımsız elemanlar $N$ boyutlu uzay formu temel bu alan.
• Herhangi bir vektör $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$(benzersiz olarak) sonlu bir doğrusal kombinasyon olarak temsil edilebilir temel unsurlar:

Doğrusal kabuk

Doğrusal kabuk $\backslash mathcal\; V(X)$ alt kümeler $X$ doğrusal uzay $V$- tüm alt uzayların kesişimi $V$ içeren $X$.

Doğrusal açıklık bir altuzaydır $V$.

Doğrusal kabuk da denir altuzay oluşturuldu $X$. Bunu da söylüyorlar doğrusal kabuk $\backslash mathcal\; V(X)$- uzay, uzanmış birçok $X$.

Doğrusal kabuk $\backslash mathcal\; V(X)$ elemanların çeşitli sonlu alt sistemlerinin olası tüm doğrusal kombinasyonlarından oluşur. $X$. Özellikle eğer $X$ o halde sonlu bir kümedir $\backslash mathcal\; V(X)$ elemanların tüm doğrusal kombinasyonlarından oluşur $X$. Dolayısıyla sıfır vektörü her zaman doğrusal gövdeye aittir.

Eğer $X$ doğrusal olarak bağımsız bir küme ise bu bir tabandır $\backslash mathcal\; V(X)$ ve böylece boyutunu belirler.

Örnekler

• Tek elemanı sıfır olan bir sıfır uzayı.
• Tüm fonksiyonların alanı $X\backslash \text{'}den\; F\text{'}ye$ sonlu desteğe sahip, önem derecesine eşit boyutta bir vektör uzayı oluşturur $X$.
• Gerçel sayılar alanı, rasyonel sayılar alanı üzerinde sürekli boyutlu bir vektör uzayı olarak düşünülebilir.
• Herhangi bir alan kendisinin üstünde tek boyutlu bir uzaydır.

Ek yapılar

Ayrıca bakınız

"Vektör uzayı" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Notlar

Edebiyat

• Gelfand I.M. Lineer cebir üzerine dersler. - 5'inci. - M .: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 s. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I.M. Lineer cebir üzerine dersler. 5. baskı. - M .: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 s. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A.I., Manin Yu I. Doğrusal cebir ve geometri. 2. baskı. - M .: Nauka, 1986. - 304 s.
• Kostrikin A.I. Cebire giriş. Bölüm 2: Doğrusal cebir. - 3.. - M .: Nauka., 2004. - 368 s. - (Üniversite ders kitabı).
• Maltsev A. I. Doğrusal cebirin temelleri. - 3.. - M .: Nauka, 1970. - 400 s.

• Postnikov M. M. Lineer cebir (Geometri dersleri. Yarıyıl II). - 2.. - M .: Nauka, 1986. - 400 s.
• Strang G. Lineer cebir ve uygulamaları = Lineer Cebir ve onun Uygulamalar. - M .: Mir, 1980. - 454 s.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Doğrusal cebir. 6. baskı. - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 s. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmos P. Sonlu Boyutlu Vektör Uzayları. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 s.
• Faddeev D.K. Cebir üzerine dersler. - 5'inci. - St.Petersburg. : Lan, 2007. - 416 s.
• Shafarevich I.R., Remizov A.O. Doğrusal cebir ve geometri. - 1.. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 s.
• Schreyer O., Sperner G. Geometrik gösterimde doğrusal cebire giriş = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (Almancadan çeviri). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 s.

Vektör Uzayını karakterize eden bir alıntı

İncelemeden dönen Kutuzov, Avusturyalı generalin eşliğinde ofisine gitti ve emir subayını çağırarak, gelen birliklerin durumuyla ilgili bazı belgelerin ve ileri orduya komuta eden Arşidük Ferdinand'dan alınan mektupların kendisine verilmesini emretti. . Prens Andrei Bolkonsky gerekli evraklarla başkomutanın ofisine girdi. Kutuzov ve Gofkriegsrat'ın Avusturyalı bir üyesi, masanın üzerinde ortaya konan planın önünde oturuyordu.
“Ah…” dedi Kutuzov, Bolkonsky'ye bakarak, sanki bu sözle emir subayını beklemeye davet ediyormuş gibi ve Fransızca başlattığı konuşmaya devam etti.
Kutuzov, sizi yavaşça söylenen her kelimeyi dikkatle dinlemeye zorlayan hoş bir ifade ve tonlama zarafetiyle, "Sadece bir şey söylüyorum, General" dedi. Kutuzov'un kendisini dinlemekten keyif aldığı açıktı. "Sadece tek bir şey söylüyorum General, eğer konu benim kişisel isteğime bağlı olsaydı, o zaman Majesteleri İmparator Franz'ın vasiyeti uzun zaman önce yerine getirilmiş olurdu." Arşidük'e uzun zaman önce katılırdım. Ve inanın şerefim ki, Avusturya'da çok sayıda bulunan ordunun en yüksek komutanlığını benden daha bilgili ve yetenekli bir generale devretmek ve tüm bu ağır sorumluluktan vazgeçmek kişisel olarak benim için mutluluk olacaktır. Ama koşullar bizden daha güçlü General.
Ve Kutuzov sanki şöyle diyormuş gibi bir ifadeyle gülümsedi: “Bana inanmamaya hakkınız var ve bana inanıp inanmamanız umurumda bile değil, ama bunu bana söylemek için hiçbir nedeniniz yok. Ve bütün mesele bu."
Avusturyalı general tatminsiz görünüyordu ama Kutuzov'a aynı tonda cevap vermekten kendini alamadı.
"Aksine" dedi, söylediği sözlerin pohpohlayıcı anlamının tam tersine, huysuz ve öfkeli bir ses tonuyla, "tam tersine, Ekselanslarının katılımı. ortak neden Majesteleri tarafından çok değer verilen; ancak mevcut yavaşlamanın, şanlı Rus birliklerini ve onların başkomutanlarını, savaşlarda toplamaya alıştıkları defneden mahrum bıraktığına inanıyoruz” diye tamamladı, görünüşe göre hazırlanmış cümlesini.
Kutuzov gülümsemesini değiştirmeden eğildi.
"Ve o kadar ikna oldum ki, Majesteleri Arşidük Ferdinand'ın beni onurlandırdığı son mektuba dayanarak, General Mack gibi yetenekli bir asistanın komutası altındaki Avusturya birliklerinin artık kesin bir zafer kazandığını ve artık kesin bir zafer kazandığını varsayıyorum. Yardımımıza ihtiyacımız var” dedi Kutuzov.
General kaşlarını çattı. Avusturyalıların yenilgisine ilişkin olumlu bir haber olmamasına rağmen, genel olumsuz söylentileri doğrulayan pek çok durum vardı; ve bu nedenle Kutuzov'un Avusturyalıların zaferine ilişkin varsayımı alay konusu olmaya çok benziyordu. Ancak Kutuzov, hala aynı ifadeyle, bunu üstlenmeye hakkı olduğunu söyleyen uysal bir şekilde gülümsedi. Gerçekten mi, son mektup Mack'in ordusundan aldığı mektup ona zafer ve en karlı yol hakkında bilgi verdi. stratejik konum ordu.
Kutuzov, Prens Andrey'e dönerek, "Bana bu mektubu ver," dedi. - Lütfen bakın. - Ve Kutuzov, dudaklarının ucunda alaycı bir gülümsemeyle Avusturyalı generale Arşidük Ferdinand'ın bir mektubundan Almanca olarak şu pasajı okudu: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir connen, da wir Meister von Ulm, den Vortheil, ve von beiden von beiden der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; Augenblick, Wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communications Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren ve dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue mit mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee, çok sayıda entgegenharren ve sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, yani karara varıldı.” [Yaklaşık 70.000 kişilik oldukça yoğun bir gücümüz var, böylece Lech'i geçerse düşmana saldırıp onu yenebiliriz. Zaten Ulm'a sahip olduğumuz için, Tuna Nehri'nin her iki yakasına da komuta etme avantajını koruyabiliriz, bu nedenle, her dakika, eğer düşman Lech'i geçmezse, Tuna'yı geçin, iletişim hattına koşun, aşağıdan Tuna'yı geçip geri dönün. Düşman, tüm gücünü sadık müttefiklerimize yöneltmeye karar verirse, bu niyetinin gerçekleşmesini engelleyecektir. Böylece imparatorluğun geleceği zamanı neşeyle bekleyeceğiz. Rus ordusu Tamamen hazır olacağız ve sonra hep birlikte düşmanın hak ettiği kaderi hazırlama fırsatını kolayca bulacağız.”]

4.3.1 Doğrusal uzayın tanımı

İzin vermek ā , , - bazı kümelerin elemanları ā , , Kara λ , μ - gerçek sayılar, λ , μ R..

L kümesi denirdoğrusal veyavektör uzayı, iki işlem tanımlanmışsa:

1 0 . Ek. Bu kümenin her bir eleman çifti aynı kümenin bir elemanı ile ilişkilendirilir ve bunların toplamı denir.

ā + =

2°.Bir sayıyla çarpmak. Herhangi bir gerçek sayı λ ve eleman ā L aynı kümenin bir elemanıyla eşleşir λ ā L ve aşağıdaki özellikler karşılanır:

1. a+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. var sıfır eleman
öyle ki ā +=ā ;

4. var zıt eleman -
Öyle ki ā +(-ā )=.

Eğer λ , μ - o zaman gerçek sayılar:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Doğrusal uzayın elemanları ā, , ... vektörler denir.

Egzersiz yapmak. Kendinize bu kümelerin doğrusal uzaylar oluşturduğunu gösterin:

1) Birçok geometrik vektörler uçakta;

2) Üç boyutlu uzayda birçok geometrik vektör;

3) Bir dereceye kadar polinomlar kümesi;

4) Aynı boyuttaki matrislerin bir kümesi.

4.3.2 Doğrusal olarak bağımlı ve bağımsız vektörler. Uzayın boyutu ve temeli

Doğrusal kombinasyon vektörler ā 1 , ā 2 , …, ā N Lformun aynı uzayının bir vektörü denir:

,

Nerede λ Ben gerçek sayılarım.

Vektörler ā 1 , .. , ā N denirdoğrusal bağımsız, doğrusal kombinasyonları sıfır vektör ise ancak ve ancak tüm λ ise Ben sıfıra eşittir, yani

λ ben =0

Doğrusal kombinasyon sıfır vektör ise ve aşağıdakilerden en az biri ise λ Ben sıfırdan farklı ise bu vektörlere doğrusal bağımlı denir. İkincisi, vektörlerden en az birinin diğer vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebileceği anlamına gelir. Aslında, örneğin,
. Daha sonra,
, Nerede

.

Maksimum doğrusal bağımsız sıralı vektör sistemine ne ad verilir? temel uzay L. Temel vektörlerin sayısına denir boyut uzay.

Var olduğunu varsayalım N doğrusal olarak bağımsız vektörler varsa, uzaya denir N-boyutlu. Diğer uzay vektörleri doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilebilir N temel vektörler. Temel başına N- boyutlu uzay alınabilir herhangi N bu uzayın doğrusal bağımsız vektörleri.

Örnek 17. Bu doğrusal uzayların tabanını ve boyutunu bulun:

a) bir doğru üzerinde yer alan bir dizi vektör (bir doğruya paralel)

b) düzleme ait bir dizi vektör

c) üç boyutlu uzayın bir dizi vektörü

d) derecesi ikiden yüksek olmayan bir dizi polinom.

Çözüm.

A) Düz bir çizgi üzerinde yer alan herhangi iki vektör, vektörler eşdoğrusal olduğundan doğrusal olarak bağımlı olacaktır.
, O
, λ - skaler. Sonuç olarak, belirli bir uzayın temeli sıfırdan farklı yalnızca bir (herhangi) vektördür.

Genellikle bu alan belirlenir R, boyutu 1'dir.

B) doğrusal olmayan herhangi iki vektör
doğrusal olarak bağımsız olacaktır ve düzlemdeki herhangi üç vektör doğrusal olarak bağımsız olacaktır. Herhangi bir vektör için , sayılar var  Ve  Öyle ki
. Uzaya iki boyutlu denir ve şu şekilde gösterilir: R 2 .

İki boyutlu uzayın temeli aynı doğrultuda olmayan herhangi iki vektör tarafından oluşturulur.

V) Eş düzlemli olmayan herhangi üç vektör doğrusal olarak bağımsız olacaktır, üç boyutlu uzayın temelini oluştururlar R 3 .

G) Derecesi ikiden yüksek olmayan polinomların uzayına temel olarak aşağıdaki üç vektörü seçebiliriz: ē 1 = X 2 ; ē 2 = X; ē 3 =1 .

(1, bire eşit bir polinomdur). Bu alanüç boyutlu olacak

Vektör(veya doğrusal) uzay- birbirleriyle toplama ve bir sayı ile çarpma işlemlerinin tanımlandığı, vektör adı verilen bir dizi öğeden oluşan matematiksel yapı - skaler. Bu işlemler sekiz aksiyoma tabidir. Skalerler gerçek, karmaşık veya başka herhangi bir sayı alanının elemanları olabilir. Böyle bir uzayın özel bir durumu, vektörleri örneğin fiziksel kuvvetleri temsil etmek için kullanılan olağan üç boyutlu Öklid uzayıdır. Vektör uzayının bir elemanı olarak bir vektörün, mutlaka yönlendirilmiş bir parça biçiminde belirtilmesinin gerekmediğine dikkat edilmelidir. "Vektör" kavramını herhangi bir nitelikteki bir vektör uzayının bir öğesine genellemek, yalnızca terimlerin karışmasına neden olmakla kalmaz, aynı zamanda keyfi nitelikteki uzaylar için geçerli olan bir takım sonuçların anlaşılmasını ve hatta tahmin edilmesini de mümkün kılar.

Vektör uzayları doğrusal cebirin konusudur. Bir vektör uzayının temel özelliklerinden biri boyutudur. Boyut, uzayın doğrusal olarak bağımsız elemanlarının maksimum sayısını, yani kaba bir geometrik tanımlamaya başvurularak, yalnızca bir skaler ile toplama ve çarpma işlemleriyle birbirleri aracılığıyla ifade edilemeyen yönlerin sayısını temsil eder. Vektör uzayı, örneğin bir norm veya bir iç çarpım gibi ek yapılarla donatılabilir. Bu tür uzaylar matematiksel analizde doğal olarak, çoğunlukla sonsuz boyutlu fonksiyon uzayları biçiminde görünür. (İngilizce), burada fonksiyonlar vektör görevi görür. Çoğu analiz problemi, bir vektör dizisinin belirli bir vektöre yakınsayıp yakınlaşmadığını bulmayı gerektirir. Bu tür soruların dikkate alınması, çoğu durumda yakınlık ve süreklilik kavramlarını tanımlamamıza olanak tanıyan uygun bir topolojiye sahip ek yapıya sahip vektör uzaylarında mümkündür. Bu tür topolojik vektör uzayları, özellikle Banach ve Hilbert uzayları daha derin çalışmalara olanak sağlar.

Doğrusal cebir, vektörlere ek olarak daha yüksek dereceli tensörleri de inceler (bir skaler, sıra 0 tensör olarak kabul edilir, bir vektör, derece 1 tensör olarak kabul edilir).

Vektör uzayı kavramının ortaya çıkmasını öngören ilk çalışmalar 17. yüzyıla kadar uzanmaktadır. O zaman analitik geometri, matris doktrini, doğrusal denklem sistemleri ve Öklid vektörleri gelişmeye başladı.

Ansiklopedik YouTube

• 1 / 5

  Doğrusal, veya vektör uzayı V (F) (\displaystyle V\sol(F\sağ)) alanın üzerinde F (\displaystyle F)- bu sıralı dörtlü (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Nerede

  • V (\displaystyle V)- keyfi nitelikteki boş olmayan bir dizi öğe vektörler;
  • F (\displaystyle F)- elemanları çağrılan bir alan skalerler;
  • İşlem tanımlandı ek vektörler V × V → V (\displaystyle V\times V\to V) her bir öğe çiftini ilişkilendiren x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y)) setleri V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) onları aradım miktar ve belirlenmiş x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y));
  • İşlem tanımlandı vektörlerin skalerlerle çarpılması F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), her öğeyle eşleşen λ (\displaystyle \lambda) alanlar F (\displaystyle F) ve her öğe x (\displaystyle \mathbf (x)) setleri V (\displaystyle V) kümenin tek elemanı V (\displaystyle V), belirtilen λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x)) veya λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x));

  Aynı öğe kümesinde, ancak farklı alanlar üzerinde tanımlanan vektör uzayları, farklı vektör uzayları olacaktır (örneğin, gerçek sayı çiftleri kümesi). R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) gerçek sayılar alanı üzerinde iki boyutlu bir vektör uzayı veya karmaşık sayılar alanı üzerinde tek boyutlu bir vektör uzayı olabilir).

  En basit özellikler

  1. Bir vektör uzayı toplama işlemi altındaki bir Abel grubudur.
  2. Nötr eleman 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
  3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0)) herkes için.
  4. Herkes için x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) zıt eleman − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) grup özelliklerinden çıkan tek şeydir.
  5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x)) herkes için x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
  6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) herhangi biri için ve x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
  7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) herkes için α ∈ F (F'de\displaystyle \alpha \).

  İlgili tanımlar ve özellikler

  Altuzay

  Cebirsel tanım: Doğrusal altuzay veya vektör alt uzayı- boş olmayan alt küme K (\displaystyle K) doğrusal uzay V (\displaystyle V)Öyle ki K (\displaystyle K) kendisi de tanımlananlara göre doğrusal bir uzaydır V (\displaystyle V) bir skalerle toplama ve çarpma işlemleri. Tüm altuzayların kümesi genellikle şu şekilde gösterilir: L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Bir alt kümenin alt uzay olabilmesi için gerekli ve yeterli olması

  Son iki ifade aşağıdakine eşdeğerdir:

  Tüm vektörler için x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \K cinsinden), vektör α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y)) aynı zamanda aitti K (\displaystyle K) herhangi biri için α , β ∈ F (F'de\displaystyle \alpha ,\beta \).

  Özellikle, yalnızca bir sıfır vektörden oluşan bir vektör uzayı, herhangi bir uzayın bir alt uzayıdır; her uzay kendisinin bir alt uzayıdır. Bu ikisiyle örtüşmeyen altuzaylara denir. sahip olmak veya önemsiz değil.

  Alt uzayların özellikleri

  Doğrusal kombinasyonlar

  Formun son toplamı

  α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

  Doğrusal kombinasyon denir:

  Temel. Boyut

  Vektörler x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) denir doğrusal bağımlı, bunların sıfıra eşit önemsiz bir doğrusal kombinasyonu varsa:

  α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0, |

  Aksi takdirde bu vektörlere denir doğrusal bağımsız.

  a 1 | + | gelen vektörler V (\displaystyle V) isminde doğrusal bağımlı bazıları doğrusal bağımlı ise son bunun bir alt kümesi ve doğrusal bağımsız eğer varsa son alt küme doğrusal olarak bağımsızdır.

  Bazın özellikleri:

  a 2 |.

  Doğrusal kabuk

  Doğrusal kabuk+ … + | α n | doğrusal uzay V (\displaystyle V)- tüm alt uzayların kesişimi V (\displaystyle V) içeren α n |.

  Doğrusal açıklık bir altuzaydır V (\displaystyle V).

  Doğrusal kabuk da denir altuzay oluşturuldu α n |≠ 0. (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf ( x) _(n)=\mathbf (0) ,\quad \ |\alpha _(1)|+|\alpha _(2)|+\ldots +|\alpha _(n)|\neq 0.) Bu tanım aşağıdaki genellemeye izin verir:- uzay, uzanmış birçok α n |.