Ön açıklamalar. Fourier görüntüsünü bulalım D-fonksiyonlar.
Açıkçası adil ve ters dönüşüm Fourier:
Ve:
1. Sürecin kendi akışına bırakılmasına izin verin sabit değer x(t)=A o . Daha önce de belirtildiği gibi, böyle bir sürecin korelasyon fonksiyonu şuna eşittir: Sürecin spektral yoğunluğunu şu şekilde bulalım: doğrudan dönüşüm Fourier fonksiyonları R(t):
Sürecin spektrumu, orijinde bulunan dürtü fonksiyonu tipinin tek bir zirvesinden oluşur. Bu nedenle, eğer bir süreçte yalnızca bir frekans varsa w=0, bu, sürecin tüm gücünün bu frekansta yoğunlaştığı anlamına gelir, bu da fonksiyonun biçimini doğrular S(w). Rastgele bir fonksiyon sabit bir bileşen içeriyorsa; ortalama değer, o zaman S(w) Orijinde bir süreksizlik olacak ve mevcudiyeti ile karakterize edilecektir. D-bir noktada çalışır w=0.
2. İçin harmonik fonksiyon X=A o sin(w 0 t+j) korelasyon fonksiyonu:
Spektral yoğunluk
Takvim S(w) koordinatların orijinine göre simetrik olarak yerleştirilmiş, dürtü fonksiyonu tipinin iki zirvesine sahip olacaktır. w=+w 0 ve w=-w 0. Bu, sürecin gücünün iki frekansta yoğunlaştığını gösteriyor + w 0 ve - w 0 .
Rastgele bir fonksiyonun harmonik bileşenleri varsa, spektral yoğunlukta bazı noktalarda süreksizlikler vardır. w= ± w 0 ve bu noktalarda bulunan iki delta fonksiyonunun varlığı ile karakterize edilir.
Beyaz gürültü . Beyaz gürültü rastgele bir süreçtir. aynı değerler spektral yoğunluk-¥ ile +¥ arasındaki tüm frekanslarda : S( w) = Sabit.
Belirli varsayımlar altında böyle bir prosesin örneği termal gürültüdür, kozmik radyasyon vb. Böyle bir sürecin korelasyon fonksiyonu şuna eşittir:
Böylece R(t) temsil etmek dürtü fonksiyonu, başlangıç noktasında bulunur.
Bu süreç tamamen rastgele bir süreçtir, çünkü herhangi T¹0 rastgele fonksiyonun sonraki ve önceki değerleri arasında korelasyon yoktur. Böyle bir spektral yoğunluğa sahip bir süreç fiziksel olarak gerçekçi değildir çünkü sonsuz büyük varyansa ve rastgele değişkenin ortalama karesine karşılık gelir:
Böyle bir süreç sonsuz büyük bir güce ve sonsuz büyük enerjiye sahip bir kaynağa karşılık gelir.
2. Bant sınırlı beyaz gürültü. Bu süreç, formun spektral yoğunluğu ile karakterize edilir.
S(w)=C en ½w½<w N,
S(w)=0 saat ½w½>w n.
Nerede (- w N, w n) spektral yoğunluk için frekans bandı.
Bu, söz konusu kontrol sistemini etkileyebilecek frekans aralığında spektral yoğunluğu neredeyse sabit kalan rastgele bir süreçtir; Sistem tarafından iletilen frekans aralığında. Eğri türü S(w) bu aralığın dışında olması önemli değil çünkü eğrinin karşılık gelen kısmı daha yüksek frekanslar, sistemin çalışmasını etkilemeyecektir. Bu süreç korelasyon fonksiyonuna karşılık gelir
Süreç varyansı eşittir
5. Bir izleme sisteminin tipik giriş sinyali. Grafiği Şekil 63'te gösterilen sinyal, tipik bir sinyal olarak alınır. Servo sistemin tahrik milinin dönüş hızı korunur sabit değer belirli süreler için t 1, t 2,...
Bir değerden diğerine geçiş anında gerçekleşir. Zaman aralıkları Poisson dağılım yasasına uyar. Beklenen değer
Şekil 63. Tipik sinyal
Bu tür bir grafik, izleme sırasında ilk yaklaşım olarak elde edilir Radar Hareketli bir hedefin arkasında. Sabit hız değerleri hedefin düz bir çizgide hareket etmesine karşılık gelir. Hızın işaretinde veya büyüklüğündeki bir değişiklik, hedef manevraya karşılık gelir.
İzin vermek M-1 saniyedeki ortalama hız değişikliği sayısı. Daha sonra T=1/m açısal hızın sabit değerini koruduğu zaman aralıklarının ortalama değeri olacaktır. Uygulanan Radar bu değer hedefin düz bir çizgide hareket ettiği ortalama süre olacaktır. Korelasyon fonksiyonunu belirlemek için ürünün ortalama değerini bulmak gerekir.
Bu değeri bulurken iki durum söz konusu olabilir.
1. Zamandaki anlar T Ve t+t aynı aralığa aittir. O zaman açısal hızların çarpımının ortalaması ortalamanın karesine eşit olacaktır. açısal hız veya varyans:
2. Zamandaki anlar T Ve t+t farklı aralıklara aittir. O zaman hızların çarpımının ortalaması sıfıra eşit olacaktır, çünkü miktarlar W(t) Ve W(t+t) farklı aralıklar için düşünülebilir bağımsız miktarlar:
Korelasyon fonksiyonu şuna eşittir:
burada P 1, t ve t+t zaman anlarını aynı aralıkta bulma olasılığıdır ve P 2 =1- P 1 bunları farklı aralıklarda bulma olasılığıdır.
P 1'in değerini tahmin edelim. Kısa bir Dt zaman aralığında hız değişiminin meydana gelme olasılığı bu aralıkla orantılıdır ve mDt veya Dt/T'ye eşittir. Aynı aralıkta hızda değişiklik olmaması olasılığı 1-Dt/T'ye eşit olacaktır. Bir t zaman aralığı için hızda herhangi bir değişiklik olmaması olasılığı; aynı sabit hız aralığında t ve t+t zamanlarını bulma olasılığı, her temel aralık Dt'de hızda herhangi bir değişiklik olmaması olasılığının çarpımına eşit olacaktır, çünkü bu olaylar bağımsızdır. Sonlu bir aralık için aralık sayısının t/Dt'ye eşit olduğunu ve
Sınıra geçerek şunu elde ederiz
Ana hedefler
Çözümü rastgele fonksiyonlar teorisinin kullanılmasını gerektiren iki ana problem türünü ayırt edebiliriz.
Doğrudan görev (analiz): belirli bir cihazın parametreleri ve olasılıksal özellikler“Girdisine” ulaşan fonksiyonun (sinyal, süreç) (matematiksel beklentiler, korelasyon fonksiyonları, dağılım yasaları); cihazın "çıkışındaki" özelliklerin belirlenmesi gerekir (bunlar cihazın çalışmasının "kalitesini" yargılamak için kullanılır).
Ters problem (sentez):“giriş” ve “çıkış” fonksiyonlarının olasılıksal özellikleri belirtilmiştir; belirli bir giriş fonksiyonunu böyle bir şeye dönüştüren optimal bir cihazın tasarlanması (parametrelerinin bulunması) gereklidir. çıkış fonksiyonu Verilen özelliklere sahip olan. Bu problemin çözümü, rastgele çekim fonksiyonları aparatına ek olarak diğer disiplinleri de gerektirir. bu kitap dikkate alınmadı.
Rastgele fonksiyonun tanımı
Rastgele işlev rastgele olmayan bir argümanın fonksiyonu olarak adlandırılır T, argümanın her sabit değeri için rastgele bir değişkendir. Rastgele Özellikler argüman T belirtmek büyük harflerle X(t), Y(t) vesaire.
Örneğin, eğer U- rastgele değişken, ardından fonksiyon X(!)=C U - rastgele. Aslında, argümanın her sabit değeri için bu fonksiyon bir rastgele değişkendir: t ( = 2
rastgele bir değişken elde ederiz Xx = Avustralya en t 2= 1,5 - rastgele değişken X 2 = 2,25 sen vesaire.
Daha fazla sunumun kısa olması için bölüm kavramını tanıtıyoruz.
Bölüm Rastgele fonksiyon, bir rastgele fonksiyonun argümanının sabit bir değerine karşılık gelen rastgele bir değişkendir. Örneğin rastgele bir fonksiyon için X(t) = t2U, yukarıda verilen argüman değerleri 7, = 2 ve t 2= 1,5 buna göre elde edildi rastgele değişkenler X ( = AUn X 2 = 2,2577, verilen rastgele fonksiyonun bölümleridir.
Dolayısıyla, bir rastgele fonksiyon, parametreye bağlı olarak bir dizi rastgele değişken (X(?)) olarak düşünülebilir. T. Uygulama kavramını ortaya koyarsak, rastgele bir fonksiyonun başka bir yorumu mümkündür.
Uygulama (Yörünge, seçici fonksiyon) rastgele fonksiyon X(t) rastgele olmayan bir argüman işlevini çağırın T, test sonucunda buna eşit bir rastgele fonksiyonun ortaya çıkabileceği.
Dolayısıyla, eğer bir deneyde rastgele bir fonksiyon gözlenirse, gerçekte bunun olası uygulamalarından biri gözlemlenir; Açıkçası deney tekrarlandığında farklı bir uygulama gözlemlenecektir.
İşlev uygulamaları X(t) belirtmek Küçük harfler x t (t) t x 2 (t) vb., burada indeks test numarasını gösterir. Örneğin, eğer X(t)= (/günah T, Nerede sen- ilk testte olası bir değeri alan sürekli bir rastgele değişken ve ( = 3 ve ikinci testte ve 2 = 4.6, ardından uygulamalar X(t) sırasıyla rastgele olmayan fonksiyonlardır X ( (T) = 3sin T Ve x 2 (t) = 4.6sin T.
Dolayısıyla rastgele bir fonksiyon, onun olası uygulamalarının bir kümesi olarak düşünülebilir.
Rastgele (stokastik) işlem rastgele bir argüman işlevi çağırın T, zaman olarak yorumlanır. Örneğin, bir uçağın belirli bir hızda uçması gerekiyorsa sabit hız, gerçekte, etkisi önceden dikkate alınamayan rastgele faktörlerin (sıcaklık dalgalanmaları, rüzgar gücündeki değişiklikler vb.) etkisi nedeniyle hız değişir. Bu örnekte uçağın hızı sürekli değişen bir argümanın (zamanın) rastgele bir fonksiyonudur; hız rastgele bir süreçtir.
Rastgele bir fonksiyonun argümanı ayrı ayrı değişirse, o zaman rastgele fonksiyonun karşılık gelen değerlerinin (rastgele değişkenler) oluştuğunu unutmayın. rastgele dizi.
Rastgele bir fonksiyonun argümanı yalnızca zaman olamaz. Örneğin, bir dokuma ipliğinin çapı uzunluğu boyunca ölçülürse, rastgele faktörlerin etkisiyle ipliğin çapı değişir. Bu örnekte çap, sürekli değişen bir argümanın (ipliğin uzunluğu) rastgele bir fonksiyonudur.
Açıkçası, rastgele bir fonksiyonu analitik olarak (bir formülle) tanımlamak genellikle imkansızdır. Belirli durumlarda, bir rastgele fonksiyonun biçimi biliniyorsa ve onu tanımlayan parametreler rastgele değişkenler ise analitik olarak belirtilebilir. Örneğin rastgele işlevler şunlardır:
X(t)= sin Qf, burada Q rastgele bir değişkendir,
X(t)= G/sin T, Nerede U- rastgele değer,
X(t) = G/sin Qt, burada HAKKINDA. Ve .
Özellikle Y==0 için D z ( T)= M[| (T)|] 2 =Dx(T), yani gereksinim (**) karşılanmıştır.
Hesaba katıldığında beklenen değer toplam, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir, elimizdeki
Dz(T)=M[| (T)| 2 ]=M{[ (T)] 2 + [ (T) 2 ]}=M[ (T)] 2 +M[ (T) 2 ]=Dx(T)+Gün(T).
Bu yüzden, karmaşık bir rastgele fonksiyonun varyansı, gerçek ve sanal kısımlarının varyanslarının toplamına eşittir:
D z ( T)=Dx(T)+Gün(T).
Gerçek bir rastgele fonksiyonun korelasyon fonksiyonunun olduğu bilinmektedir. X(T) en Farklı anlamlar varyansa eşit argümanlar Dx(T). Korelasyon fonksiyonunun tanımını karmaşık rastgele fonksiyonlara genelleştirelim. Z(T) böylece ne zaman eşit değerler argümanlar T 1 =t 2 =t korelasyon fonksiyonu k z(T,T) varyansa eşitti Dz(T), yani gereksinimin karşılanması için
k z(T,T)=Dz(T). (***)
Karmaşık rastgele fonksiyon Z'nin korelasyon fonksiyonu(T) arandı korelasyon anı bölümler ( T 1) ve ( T 2)
k z(T 1 ,T 2)= M.
Özellikle argümanların eşit değerleri ile
k z(T,T)= M=M[| | 2 ]=Dz(T).
yani gereksinim (***) karşılanmıştır.
Gerçek rastgele fonksiyonlar ise X(T) Ve e(T) ilişkilidir, o zaman
k z(T 1 ,T 2)= Kx(T 1 ,T 2)+K y(T 1 ,T 2)+ [Rxy(T 2 ,T 1)]+ [Rxy(T 1 ,T 1)].
Eğer X(T) Ve e(T) ilişkili değilse, o zaman
k z(T 1 ,T 2)= Kx(T 1 ,T 2)+K y(T 1 ,T 2).
Çapraz korelasyon fonksiyonunun tanımını karmaşık rastgele fonksiyonlara genelleştirelim. Z 1 (T)=X 1 (T)+e 1 (T)Ben Ve Z 2 (T)=X 2 (T)+e 2 (T)Ben yani özellikle ne zaman e 1 =E 2 = 0 gereksinim karşılandı
İki karmaşık rastgele fonksiyonun çapraz korelasyon fonksiyonu bir işlevi çağırmak (rastgele olmayan)
Özellikle ne zaman e 1 =E 2 =0 elde ederiz
yani gereklilik (****) karşılanmıştır.
İki karmaşık rastgele fonksiyonun çapraz korelasyon fonksiyonu, bunların gerçek ve sanal kısımlarının çapraz korelasyon fonksiyonları aracılığıyla ifade edilir. aşağıdaki formül:
Görevler
1. Rasgele fonksiyonların matematiksel beklentisini bulun:
A) X(T)=Ut 2 nerede U- rastgele değişken ve M(sen)=5 ,
B)X(T)=Ü cos2 t+Vt, Nerede sen Ve V- rastgele değişkenler ve M(sen)=3 ,M(V)=4 .
Temsilci a) mx(t)=5t2; b) t x (t)=3 cos2t+4t.
2. k x(T 1 ,T 2) rastgele fonksiyon X(T). Rasgele fonksiyonların korelasyon fonksiyonlarını bulun:
A) e(T)=X(T)+t; B) e(T)=(T+1)X(T); V) e(T)=4X(T).
Temsilci a) K y (t 1,t 2)= K x (t 1,t 2); b) K y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) K x (t 1 ,t 2); c) K y (t 1 ,t 2)=16 K x (t 1 ,t 2)=.
3. Fark belirtildi Dx(T) rastgele fonksiyon X(T). Rasgele fonksiyonların varyansını bulun: a) e(T)=X(T)+e tb)e(T)=tX(T).
Cevap vermek. A) Dy(T)=Dx(T); B) Dy(T)=t 2 Dx(T).
4. Bul: a) matematiksel beklenti; b) korelasyon fonksiyonu; c) rastgele bir fonksiyonun varyansı X(T)=Usin 2T, Nerede U- rastgele değişken ve M(sen)=3 ,D(sen)=6 .
Cevap vermek. A) m x(T) =3günah 2T; B) k x(T 1 ,T 2)= 6günah 2T 1 günah 2T 2; V) Dx(T)=6günah 2 2T.
5. Rastgele fonksiyonun normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonunu bulun X(T), korelasyon fonksiyonunu bilerek k x(T 1 ,T 2)=3çünkü(T 2 -T 1).
Temsilci ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).
6. Bul: a) çapraz korelasyon fonksiyonu; b) iki rastgele fonksiyonun normalleştirilmiş çapraz korelasyon fonksiyonu X(T)=(T+1)sen ve Y( T)= (T 2 + 1)sen, Nerede U- rastgele değişken ve D(sen)=7.
Cevap vermek. A) Rxy(T 1 ,T 2)=7(T 1 +l)( T 2 2 +1); B) ρxy(T 1 ,T 2)=1.
7. Rastgele fonksiyonlar verilmiştir X(T)= (T- 1)sen Ve e(T)=T 2 sen, Nerede sen Ve V- ilişkisiz rastgele değişkenler ve M(sen)=2, M(V)= 3,D(sen)=4 , D(V)=5 . Bulgular: a) matematiksel beklenti; b) korelasyon fonksiyonu; c) toplamın varyansı Z(T)=X(T)+Y(T).
Not. Verilen rastgele fonksiyonların çapraz korelasyon fonksiyonunun sıfıra eşit olduğundan emin olun ve bu nedenle, X(T) Ve e(T) ilişkili değildir.
Cevap vermek. A) m z(T)=2(T- 1)+3T 2; B) k z(T 1 ,T 2)=4(T 1 - ben)( T 2 - 1)+6T 1 2 T 2 2; V) Dz(T)=4(T- 1) 2 +64.
8. Matematiksel beklenti verilmiştir m x(T)=T 2 +1 rastgele fonksiyon X(T). Türevinin matematiksel beklentisini bulun.
9. Matematiksel beklenti verilmiştir m x(T)=t 2 +3 rastgele fonksiyon X(T). Rastgele bir fonksiyonun matematiksel beklentisini bulun e(T)=tX"(T)+t 3.
Temsilci m y (t)=t 2 (t+2).
10. Korelasyon fonksiyonu verilmiştir k x(T 1 ,T 2)= rastgele fonksiyon X(T). Türevinin korelasyon fonksiyonunu bulun.
11. Korelasyon fonksiyonu verilmiştir k x(T 1 ,T 2)= rastgele fonksiyon X(T). Çapraz korelasyon fonksiyonlarını bulun.
