Doğrudan ters ayrık Fourier dönüşümü. Ayrık Fourier dönüşümü

Bu, dijital sinyal işleme algoritmalarında yaygın olarak kullanılan Fourier dönüşümlerinden biridir (modifikasyonları MP3'te ses sıkıştırmada, JPEG'de görüntü sıkıştırmada vb. kullanılır) ve ayrık frekansların analiziyle ilgili diğer alanlarda (örneğin, örneğin dijitalleştirilmiş analog sinyal. Ayrık dönüşüm Fourier girdi olarak gerektirir ayrık fonksiyon. Bu tür işlevler genellikle örnekleme yoluyla oluşturulur (değerlerin örneklenmesi) sürekli fonksiyonlar). Ayrık Fourier dönüşümleri kısmi çözümün çözümüne yardımcı olur diferansiyel denklemler ve evrişim gibi işlemleri gerçekleştirin. Ayrık Fourier dönüşümleri istatistikte, zaman serilerinin analizinde de aktif olarak kullanılmaktadır. Dönüşümler tek boyutlu, iki boyutlu ve hatta üç boyutlu olabilir.

Doğrudan dönüşüm:

Ters dönüşüm:

Tanımlar:

§ N- bir süre boyunca ölçülen sinyal değerlerinin sayısı ve ayrıca ayrışma bileşenlerinin sayısı;

§ - ölçülen sinyal değerleri (doğrudan dönüşüm için giriş verileri ve ters dönüşüm için çıkış verileri olan sayılarla ayrık zaman noktalarında;

§ - N orijinal sinyali oluşturan sinüzoidal sinyallerin karmaşık genlikleri; doğrudan dönüşüm için çıkış verileri ve ters dönüşüm için giriş verileridir; Genlikler karmaşık olduğundan, onlardan hem genliği hem de fazı hesaplamak mümkündür;

§ k'inci sinüzoidal sinyalin olağan (gerçek) genliğidir;

§ arg( Xk) - k'inci sinüzoidal sinyalin fazı (karmaşık bir sayının argümanı);

§ k- k'inci sinyalin frekansı, eşit, burada T- giriş verilerinin alındığı süre.

İkincisinden, dönüşümün sinyali, periyot başına N salınımından periyot başına bir salınımına kadar frekanslara sahip sinüzoidal bileşenlere (bunlara harmonikler denir) ayrıştırdığı açıktır. Örnekleme frekansının kendisi periyot başına N örneğe eşit olduğundan, yüksek frekanslı bileşenler doğru şekilde görüntülenemez; hareli etkisi oluşur. Bu, N kompleks genliklerinin ikinci yarısının aslında birincinin ayna görüntüsü olduğu ve ek bilgi taşımadığı gerçeğine yol açmaktadır.

Bazı periyodik sinyalleri ele alalım X(T) periyodu T'ye eşit. Bunu bir Fourier serisine genişletelim:

Her periyotta N örnek olacak şekilde sinyali örnekleyelim. Ayrık sinyali örnekler biçiminde temsil edelim: xn = X(tn), burada Fourier serisi üzerinden yapılan bu okumalar aşağıdaki gibi yazılacaktır:

: ilişkisini kullanarak şunu elde ederiz:

Nerede

Yani elimizde ters ayrık Fourier dönüşümü.

Şimdi ifadeyi skaler olarak çarpalım. xn açık ve şunu elde ediyoruz:

Burada şunu kullanıyoruz: a) toplam için ifade sonlu sayıüyeler (katılımcı) geometrik ilerleme ve b) Euler fonksiyonlarının oranının limiti olarak Kronecker sembolünün ifadesi karmaşık sayılar. Bundan şu sonuç çıkıyor:

Bu formül açıklamaktadır doğrudan ayrık Fourier dönüşümü.

Literatürde çarpanın ters dönüşümle yazılması gelenekseldir ve bu nedenle dönüşüm formülleri genellikle aşağıdaki biçimde yazılır:

Ayrık Fourier dönüşümü, zaman örneklerinin bir vektörünü aynı uzunluktaki spektral örneklerin bir vektörüne dönüştüren doğrusal bir dönüşümdür. Yani dönüşüm çarpma olarak uygulanabilir kare matris vektöre:

Doğrudan ve ters Fourier dönüşümünün program kodu verilmiştir. Hızlı Fourier dönüşümü dikkate alınır.

Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) güçlü araç Dijital sinyal işleme (DSP) alanında yaygın olarak kullanılan analiz. Doğrudan ve ters Fourier dönüşümleri vardır. Doğrudan ayrık Fourier dönüşümü, bir sinyali zaman alanından frekans alanına dönüştürür ve sinyalin frekans spektrumunu analiz etmek için kullanılır. Ters dönüşüm tam tersini yapar: frekans spektrumu sinyal, sinyali zaman alanında yeniden yapılandırır.

Fourier dönüşümünü hesaplamak için genellikle hızlandırılmış bir hesaplama prosedürü kullanılır - sözde. hızlı Fourier dönüşümü (FFT). Bu, oldukça karmaşık ve kaynak yoğun matematiksel hesaplamalar için işlemci süresini önemli ölçüde azaltmanıza olanak tanır.

1 Karmaşık sayılar

Öncelikle karmaşık sayıları tanımlayacak bir yardımcı sınıfa ihtiyacımız var. Karmaşık sayılar özel tür Matematikte sayılar. Her karmaşık sayı gerçek ve sanal olmak üzere iki bölümden oluşur. Artık karmaşık sayıların DFT'ye göre gerçek kısmının sinyal genliği hakkında bilgi depoladığını ve sanal kısmın faz hakkında bilgi depoladığını bilmek bizim için yeterlidir.

Karmaşık sayıları açıklamak için sınıf kodu(arkasını döner) """

""" Karmaşık sayı. """

Genel Sınıf Karmaşık Sayı """

""" Karmaşık bir sayının gerçek kısmı. """

Genel Real As Double = 0 """

""" Karmaşık sayının sanal kısmı. """

Genel İmgesel As Double = 0 Public Sub New() Gerçek = 0 Imaginary = 0 End Sub """

""" Karmaşık bir sayı oluşturur. """

""" Karmaşık bir sayının gerçek kısmı. """ Karmaşık bir sayının sanal kısmı. Public Sub New(ByVal r As Double, Optional ByVal im As Double = 0) Real = r Imaginary = im End Sub Private usCult As New Globalization.CultureInfo("en-US") ""en-US" kültürünü kullanıyoruz bütün ve Kesirli kısımların virgülle değil noktayla ayrıldığını """

""" Sekme karakteriyle ayrılmış, gerçek ve sanal kısımdan oluşan bir dize döndürür. """

Genel Olarak ToString() İşlevini Geçersiz Kılır String Return olarak (Real.ToString(usCult) & ControlChars.Tab & Imaginary.ToString(usCult)) End Function End Class

2 Doğrudan ayrık hızlı Fourier dönüşümü

Fonksiyon girişine bir dizi karmaşık sayı iletilir. Gerçek kısmı, düzenli aralıklarla örneklerle keyfi ayrık bir sinyali temsil eder. Sanal kısım sıfırlar içerir. Sinyaldeki örnek sayısı ikinin üssüne eşit olmalıdır. Sinyaliniz daha kısaysa, onu 2'nin katlarına kadar sıfırlarla doldurun: 256, 512, 1024, vb. Sinyal ne kadar uzun olursa, hesaplanan spektrumun frekans çözünürlüğü de o kadar yüksek olur.

VB.NET'te doğrudan hızlı Fourier dönüşümünü hesaplamak için kod(arkasını döner) """

""" Hızlı Fourier Dönüşümü yöntemini kullanarak bir sinyalin spektrumunu hesaplar. Yalnızca (N/2+1) dönüş değerlerini kullanın (örnekleme hızının yarısına kadar). """

""" İkinin katı olan ve bir gerçek ve bir sanal kısımdan oluşan çok sayıda örnek içeren bir sinyal. Sinyalin tüm hayali kısımları sıfırlarla doldurulur. """ Karmaşık spektrum sayılarından oluşan bir dizi döndürür. """ Yalnızca ilk N/2+1 anlamlıdır, geri kalanı negatif frekanslara karşılık gelen simetrik kısımdır. """ Spektrumun ilk değeri sabit bileşendir, sonuncusu örnekleme frekansının yarısına karşılık gelir (Nyquist) sıklık). """ Örnekleme sıklığının yarısının üzerindeki değerler - kullanmayın. """ Genel Paylaşımlı İşlev FFT(ByVal signal As ComplexNumber()) As ComplexNumber() Dim order As Integer = signal.Length "DFT order CheckFftOrder(order) "Sırayı kontrol edin güce eşit iki Dim spektrumLen As Tamsayı = düzen \ 2 Dim j As Tamsayı = spektrumLen "Bit ters sıralama: i için As Tamsayı = 1 Sıralamak için - 2 If (i< j) Then Dim tmpRe As Double = signal(j).Real Dim tmpIm As Double = signal(j).Imaginary signal(j).Real = signal(i).Real signal(j).Imaginary = signal(i).Imaginary signal(i).Real = tmpRe signal(i).Imaginary = tmpIm End If Dim k As Integer = spectrumLen Do Until (k >j) j -= k k \= 2 Döngü j += k Sonraki "Genişletme seviyeleri arasında döngü: seviye için As Integer = 1 To CInt(Math.Log(order) / Math.Log(2)) Dim lvl As Integer = CInt (2 ^ seviye) Dim lvl2 As Integer = lvl \ 2 Dim tmp As Double = Math.PI / lvl2 Dim sr As Double = Math.Cos(tmp) Dim si As Double = -Math.Sin(tmp) Dim tr As Double = 0 Dim ur As Double = 1 Dim ui As Double = 0 jj için As Integer = 1 To lvl2 "Bir seviye içinde spektrumlar arasında geçiş yap i için As Integer = (jj - 1) To (order - 1) Adım lvl "Döngü geçişi bireysel "kelebekler" Dim ip As Tamsayı = i + lvl2 tr = sinyal(ip).Gerçek * ur - sinyal(ip).Hayali * ui "Kelebek operasyonu" Dim ti As Double = sinyal(ip).Gerçek * ui + sinyal (ip).Hayali * ur sinyali(ip).Gerçek = sinyal(i).Gerçek - tr sinyali(ip).Hayali = sinyal(i).Hayali - ti sinyali(i).Gerçek = sinyal(i).Gerçek + tr signal(i).Imaginary = signal(i).Imaginary + ti Sonraki tr = ur ur = tr * sr - ui * si ui = tr * si + ui * sr Sonraki Sonraki "İşlenen karmaşık sayılar dizisini doldurun FFT ile: Dim spektrum(sıra - 1) KarmaşıkSayı olarak i için As Tamsayı = 0 Sıraya - 1 Sinyal(i) ile spektrum(i) = Yeni KarmaşıkNumber(.Real, .Imaginary) End Sonraki Dönüş spektrumuyla End Fonksiyonu

3 Ters ayrık hızlı Fourier dönüşümü

Hesaplama aşamalarından biri olan ters ayrık Fourier dönüşümü (IDFT), bir karmaşık sayılar dizisi üzerinde doğrudan bir DFT içerir; burada sanal kısım, spektrumun sanal kısmının X eksenine göre ters çevrilmesidir.

VB.NET'te ters hızlı Fourier dönüşümünü hesaplamak için kod(arkasını döner) """

""" Ters hızlı Fourier dönüşümü yöntemini kullanarak bir sinyali spektrumundan geri yükler. """

""" İkinin katı olan ve bir gerçek ve bir sanal kısımdan oluşan çok sayıda örnek içeren bir sinyal spektrumu. Public Shared Function InverseFFT(ByVal spektrum As ComplexNumber()) As ComplexNumber() Dim order As Integer = spektrum.Length "Ters DFT sırası. CheckFftOrder(order) "Hayali parçanın elemanlarının aritmetik işaretini değiştirme: For i As Integer = 0 Spektruma göre Uzunluk - 1 spektrum(i).Imaginary = -spectrum(i).Imaginary Next "Doğrudan FFT'nin hesaplanması: Dim directFFT As ComplexNumber() = FFT(spectrum) "Değişerek zaman tanım kümesindeki sıraya göre bölme hayali kısmın aritmetik işareti: Dim sinyali (directFFT.Length - 1) KarmaşıkSayı Olarak i İçin As Integer = 0 To directFFT.Length - 1 Dim ReX As Double = directFFT(i).Real / order Dim ImX As Double = - directFFT(i).Imaginary / order signal( i) = New ComplexNumber(ReX, ImX) Sonraki Dönüş sinyali Son Fonksiyon

Ve elbette, geçirilen dizinin eleman sayısını kontrol eden kullanılan yöntemi de anlatalım:

"""

""" FFT emrinin ikinin kuvveti olup olmadığını kontrol eder ve değilse bir istisna atar. """

""" FFT siparişi.Özel Paylaşımlı Alt CheckFftOrder(ByVal order As Integer) Dim chk As Double = Math.Abs(Math.Floor(Math.Log(order, 2)) - Math.Log(order, 2)) If (chk > 0.0001) Then Throw New ArgumentException(String.Format("Dizinin uzunluğu ((0)) ikinin katı değil.", order)) End If End Sub

4 İleri ve geri kontrol etme Fourier dönüşümü

Şimdi fonksiyonlarımızın çalışıp çalışmadığını kontrol edelim. Bunu yapmak için, doğrudan Fourier dönüşümü mekanizmasından rastgele bir sinyal geçirelim ve ardından onu ters Fourier dönüşümünü kullanarak tekrar "bir araya getirelim". Yeniden oluşturulan sinyal pratik olarak orijinal sinyalle örtüşmelidir. Bilgisayarda sayılarla çalışırken ortaya çıkan yuvarlama hataları meydana gelir, bu nedenle sinyaller tamamen aynı olmayacaktır, ancak birbirlerinden sapmaları ihmal edilebilir düzeyde olmalıdır.

Örneğin kaynak sinyali olarak sinüs fonksiyonunu alalım ve 128 örnek uzunluğunda veriyi şu şekilde üretelim:

Dim cn(127) As ComplexNumber For i As Integer = 0 To cn.Length - 1 cn(i) = New ComplexNumber(Math.Sin(i * 3 * Math.PI / 180)) Sonraki

Bu sinyali alıyoruz:

Burada X ekseni zaman alanındaki örneklerin sayısını, Y ekseni ise genliği göstermektedir. Lütfen sinyalin yalnızca gerçek kısımlardan oluştuğunu ve tüm segment boyunca sanal kısmın "0"a eşit olduğunu unutmayın.

Şimdi bu sinyali FFT() fonksiyonunun girişine aktaralım. Doğrudan Fourier dönüşümü sırasında elde edilen karmaşık sayı dizilerini kullanarak iki grafik oluşturacağız: spektrumun gerçek (Re) ve sanal (Im) kısımları:

Burada X ekseni boyunca okumalar var frekans alanı, Y ekseni boyunca - genlik. Gerçek frekans değerlerini elde etmek için, Y ekseninin "0" değerinin sıfır frekansa karşılık geldiği, Y ekseninin maksimumunun örnekleme frekansına karşılık geldiği dikkate alınarak bunların hesaplanması gerekir.

Ortaya çıkan sinyal spektrumunu ters Fourier dönüşümü fonksiyonu IFFT()'ye aktaracağız. Gerçek kısmın yeniden oluşturulan sinyali içereceği bir karmaşık sayılar dizisi elde edelim:

Gördüğünüz gibi yeniden oluşturulan sinyal orijinal sinyali tamamen tekrarlıyor.

Birçok sinyali sinüzoidlere (harmoniklere) ayrıştırarak analiz etmek uygundur. Bunun birkaç nedeni var. Örneğin insan kulağı da benzer şekilde çalışır. Sesi farklı frekanslardaki bireysel titreşimlere ayrıştırır. Ek olarak sinüzoidlerin " kendi fonksiyonları"doğrusal sistemler (içinden geçtikleri için) doğrusal sistemler, şekli değiştirmeden, ancak yalnızca fazı ve genliği değiştirebilir). Diğer bir neden ise Kotelnikov teoreminin sinyal spektrumu cinsinden formüle edilmiş olmasıdır.

Fourier dönüşümü, fonksiyonların sinüzoidlere ayrıştırılmasıdır (bundan sonra kosinüs fonksiyonları sinüzoidleri olarak da adlandıracağız, çünkü bunlar "gerçek" sinüzoidlerden yalnızca faz bakımından farklılık gösterir). Fourier dönüşümünün birkaç türü vardır.

1. Periyodik olmayan sürekli sinyal Fourier integraline genişletilebilir.

2. Periyodik sürekli bir sinyal sonsuz bir Fourier serisine genişletilebilir.

3. Periyodik olmayan ayrık bir sinyal, Fourier integraline genişletilebilir.

4. Periyodik bir ayrık sinyal, sonlu bir Fourier serisine genişletilebilir.

Bir bilgisayar yalnızca sınırlı miktarda veriyle çalışabilir, bu nedenle gerçekte yalnızca son Fourier dönüşüm türünü hesaplayabilir. Şimdi ona daha yakından bakalım.

Karmaşık DFT

Şu ana kadar DFT'leri gerçek sinyallerden ele aldık. Şimdi DFT'yi karmaşık sinyaller durumuna genelleştirelim. x[n], n=0,…,N-1 - N karmaşık sayıdan oluşan orijinal karmaşık sinyal olsun. X[k], k=0,…N-1'i - yine N karmaşık sayıdan oluşan karmaşık spektrumunu - gösterelim. Daha sonra doğrudan ve için aşağıdaki formüller ters dönüşümler Fourier:

Bu formülleri kullanarak gerçek bir sinyali spektruma ayrıştırırsak, spektrumun ilk N/2+1 karmaşık katsayıları, "karmaşık" formda sunulan "olağan" gerçek DFT'nin spektrumu ile çakışacaktır ve geri kalan katsayılar örnekleme frekansının yarısına göre simetrik yansımaları olacaktır. Kosinüs katsayıları için yansıma çifttir ve sinüs katsayıları için yansıma tektir.

2D DFT

İki boyutlu bir sinyal olan görüntüler için spektrum da iki boyutlu bir sinyaldir. Fourier dönüşümünün temel fonksiyonları şu şekildedir:

Ayrıca aşamalar da farklı olabilir. Görüntüde bu temel fonksiyonların her biri, belirli bir frekansa, belirli bir yönelime ve belirli bir faza sahip bir dalgayı temsil eder.

Burada N1 xN2 orijinal sinyalin boyutudur ve bu aynı zamanda spektrumun boyutudur. k 1 ve k 2, temel fonksiyonların sayılarıdır (bu fonksiyonların bulunduğu iki boyutlu DFT'nin katsayılarının sayıları). Spektrum boyutundan beri boyuta eşit kaynak sinyali, o zaman k 1 = 0,…,N 1 -1; k 2 = 0,…,N 2 -1.

n 1 ve n 2 temel fonksiyonların değişken argümanlarıdır. Temel fonksiyonların tanım alanı sinyalin tanım alanıyla çakıştığı için n 1 = 0,...,N 1 -1; n2 = 0,…,N2-1.

2D DFT (içinde karmaşık biçim) belirlenir aşağıdaki formüller(burada x orijinal sinyaldir ve X onun spektrumudur):

Yukarıdaki formülleri kullanarak iki boyutlu bir DFT'nin doğrudan hesaplanması, çok büyük hesaplama maliyetleri gerektirir. Ancak iki boyutlu DFT'nin ayrılabilirlik özelliğine sahip olduğu kanıtlanabilir; iki boyuttan ardışık olarak hesaplanabilir.

İki boyutlu bir DFT'yi hesaplamak için, görüntünün tüm satırlarının tek boyutlu karmaşık DFT'lerini hesaplamak ve ardından ortaya çıkan "görüntüdeki" tüm sütunların tek boyutlu karmaşık DFT'lerini hesaplamak yeterlidir.

Bu durumda tüm tek boyutlu karmaşık DFT'lerin sonuçları, bu DFT'lere ait orijinal verilerin yerine yazılmalıdır. Örneğin bir görüntünün ilk satırının tek boyutlu DFT'sini hesaplarken, bu görüntünün ilk satırına (aynı boyuttadır) DFT sonucunu yazmanız gerekir. Bunu yapmak için her "pikseli" karmaşık bir sayı olarak saklamanız gerekir.

Böylece, verimli algoritma Bir görüntünün DFT'sinin hesaplanması, önce görüntünün tüm satırlarından ve daha sonra tüm sütunlarından tek boyutlu FFT'lerin hesaplanmasından oluşur.

İzin vermek F(X 1 , X 2) – iki değişkenin bir fonksiyonu. Tek boyutlu Fourier dönüşümüne benzetme yaparak, iki boyutlu bir Fourier dönüşümünü tanıtabiliriz:

ω 1, ω 2'nin sabit değerlerine yönelik fonksiyon şunları açıklar: düzlem dalgası uçakta X 1 , X 2 (Şekil 19.1).

ω 1, ω 2 miktarları uzaysal frekanslar ve boyut anlamına gelir mm−1 ve F(ω 1, ω 2) fonksiyonu uzaysal frekansların spektrumunu belirler. Küresel bir mercek, bir optik sinyalin spektrumunu hesaplama yeteneğine sahiptir (Şekil 19.2). Şekil 19.2'de aşağıdaki gösterimler tanıtılmıştır: φ - odak uzaklığı,

Şekil 19.1 - Uzaysal frekansları belirlemek için

İki boyutlu Fourier dönüşümü, tek boyutlu dönüşümün tüm özelliklerine sahiptir; ayrıca, iki boyutlu Fourier dönüşümünün tanımından kolayca kanıtlanabilen iki ek özelliğe dikkat çekiyoruz.

Şekil 19.2 - Bir optik sinyalin spektrumunun aşağıdakileri kullanarak hesaplanması
küresel mercek

Faktorizasyon. İki boyutlu bir sinyal çarpanlara ayrılırsa,

daha sonra spektrumu da çarpanlara ayrılır:

Radyal simetri . İki boyutlu sinyal radyal olarak simetrikse, bu

Sıfır dereceli Bessel fonksiyonu nerede. Radyal olarak simetrik iki boyutlu bir sinyal ile onun uzaysal spektrumu arasındaki ilişkiyi tanımlayan formüle Hankel dönüşümü denir.

DERS 20. Ayrık Fourier dönüşümü. Düşük Geçişli Filtre

Doğrudan iki boyutlu ayrık Fourier dönüşümü (DFT), uzaysal olarak verilen bir görüntüyü dönüştürür. koordinat sistemi (x, y), bir frekans koordinat sisteminde belirtilen iki boyutlu ayrık bir görüntü dönüşümüne ( sen, v):

Ters ayrık Fourier dönüşümü (IDFT) şu şekildedir:

Görülüyor ki DFT karmaşık dönüşüm. Bu dönüşümün modülü, görüntü spektrumunun genliğini temsil eder ve DFT'nin gerçek ve sanal kısımlarının karelerinin toplamının karekökü olarak hesaplanır. Faz (faz kayma açısı), DFT'nin sanal kısmının gerçek kısma oranının arktanjantı olarak tanımlanır. Enerji spektrumu kareye eşit spektrumun genliği veya spektrumun sanal ve gerçek kısımlarının karelerinin toplamı.

Evrişim teoremi

Evrişim teoremine göre, uzaysal alandaki iki fonksiyonun evrişimi, bunların DFT çarpımının ODFT'si ile elde edilebilir, yani

Frekans alanında filtreleme, gerekli görüntü dönüşümünü sağlayan filtrenin frekans yanıtını seçmek için görüntünün DFT'sini kullanmanıza olanak tanır. En yaygın filtrelerin frekans özelliklerine bakalım.

Radyo mühendisliğinde iki sinyalin evrişimi kavramı sıklıkla kullanılır. Örneğin, dört bağlantı noktalı bir ağın çıkışındaki sinyal, dört bağlantı noktalı ağın giriş sinyali ve dürtü yanıtının evrilmesiyle bulunabilir. Ayrık ve dijital sinyaller dikkate alındığından, kavramı tanımlıyoruz. için paketler ayrık sinyaller , veya ayrık evrişim.

Ayrı bir sinyal olsun x D (t), oluşan N sayar x k ve aşağıdakilerden oluşan ayrı bir sinyal yd(G) N sayar İngiltere, Daha sonra ayrık evrişim bu iki sinyale sinyal denir zA(t), bunun için

Darbe modülasyon sistemlerinin oluşturulmasında ayrık sinyaller yaygınlaştı.

En basit durumda, numune alma cihazı bir süreliğine açılan kapılı bir kademedir (anahtar). t ve A periyodu ile (Şekil 4.7).

Pirinç. 4.

Örnekleme aralığı A sabit (tekdüze örnekleme) veya değişken (uyarlanabilir örnekleme) olabilir. Ayrıklaştırmanın en yaygın biçimi, Kotelnikov teoremine dayanan tek tiptir.

Darbe modülatörü - Bu, biri sağlanan iki girişi olan bir cihazdır. analog sinyal ve ikincisi, tekrarlama periyodu A olan kısa senkronizasyon darbelerini alır. Bu durumda, senkronizasyon darbesinin geldiği anda, hp(g) sinyalinin anlık değeri ölçülür. Modülatör çıkışında, her biri analog sinyalin karşılık gelen referans değeriyle orantılı bir alana sahip olan bir dizi darbe belirir (Şekil 4.7).

Sinyal Hmpn ( T) darbe modülatörünün çıkışında çağrılır modüle edilmiş darbe dizisi(MIP). Matematiksel olarak MIP şu şekilde yazılır:

A MIP spektral yoğunluğu aracılığıyla ifade edildi spektral yoğunluk analog sinyal aşağıdaki gibidir:

Ayrık sinyal modeli, bir analog sinyalin örnek değerlerinin zaman ekseninde sınırsız sayıda noktada elde edilebileceğini varsayar. Pratikte işleme her zaman sınırlı bir zaman aralığında gerçekleştirilir.

Bir aralıkta kendi okumalarıyla tanımlanan ayrı bir sinyalin spektral temsilinin özelliklerini ele alalım. x 0 ,x x ,...,x N _ x . Tam sayı sayar N-T/ A.

Bu tür ayrık sinyalleri inceleme tekniği, ortaya çıkan referans değerleri örneğinin zihinsel olarak tekrarlanmasıdır. sonsuz sayı bir kere. Sonuç olarak sinyal periyodik hale gelir (Şekil 4.8).

Böyle bir sinyali eşleştirerek matematiksel model Fourier serisi açılımını kullanabilir ve karşılık gelen genlik katsayılarını bulabilirsiniz. Bu katsayıların birleşimi ayrı bir periyodik sinyalin spektrumunu oluşturur.

Pirinç. 4.8.

Sınırlı bir periyodik sinyalin modelini delta darbeleri dizisi biçiminde yazalım:

Xmip (0) sinyalini Fourier serisine genişletelim:

Bu bir değişken değişimi mi? = f / A. Sonunda şunu elde ederiz:

Bu formül, oluşturan katsayıların sırasını belirler. ayrık Fourier dönüşümü (DFT) dikkate alınan sinyalin.

DFT aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. DFT doğrusal bir dönüşümdür; zk = axk + /? İngiltere, O

C "Z P ~ ^ C X p R Su p .

2. Farklı katsayıların sayısı Cq,Ci,...,Cn _i sayıya eşittir N dönem için sayılır, N = N katsayı CN= C0.

3. C 0, tüm okumaların ortalama değeridir C 0 = - ^xİle.

N'den=o

4. Eğer N- çift sayı, O N = -^(-1) k x k ile.
7 ^ ?=o
5. Eğer okumalar x k - gerçek sayılar Ve N o zaman çift sayıdır C N = C* N, / = 0; L/7 2 -1.
-+i - -Ben
6. Eğer y k =x k+m , m = l;JV-l,TO C, t =C, * e ~ j2rrkm,N .
2 tf-l
7. Eğer z k= -> T0 C z k =C X k C y k

ben/ben=0

DFT, tablolar veya grafiklerle belirtilen fonksiyonların spektrumlarını hesaplamak, deneysel verileri işlemek, ayrı bir filtrenin çıkışındaki sinyali bulmak vb. için kullanılır.

Okumalara dayalı ise x 0 ,x l ,...,x N _ l Bazı sinyaller için DFT katsayıları bulunur C 0 ,Ci,... 9 C n/2 , bunları kullanarak sınırlı spektrumlu bir analog sinyali yeniden oluşturabilirsiniz x(t). Böyle bir sinyalin Fourier serisi şu şekildedir (hatta N)

nerede |Q| - DFT katsayıları modülü; =arg - faz açısı (bağımsız değişken)

DFT katsayıları. Birinci harmonik frekans: f= -/ in = - = -/i- tek N formül (4.17)'deki son terim şuna eşittir:

Ayrık örnekleri hesaplamak için x k Mevcut DFT katsayılarına dayanarak aşağıdaki formül vardır:

Bu formül denir ters ayrık Fourier dönüşümü (IDFT).