Kuklalar için olasılık teorisi ve matematiksel istatistik. Olasılık teorisi formülleri ve problem çözme örnekleri

Nizhny Novgorod Devlet Teknik Üniversitesi

onlara. A.E. Alekseeva

Disiplin olasılık teorisinin özeti

Tamamlayan: Ruchina N.A gr 10MEnz

Kontrol eden: Gladkov V.V.

Nijniy Novgorod, 2011

Olasılık teorisi……………………………………

Olasılık teorisinin konusu…………………………

Olasılık teorisinin temel kavramları……………

Rastgele olaylar, olayların olasılıkları………………………………………………………………

Limit teoremleri……………………………………

Rastgele süreçler………………………………………………………

Tarihsel arka plan……………………………………………………

Kullanılan literatür…………………………………………………………

Olasılık teorisi

Olasılık teorisi - bazı olasılıklara izin veren matematik bilimi rastgele olaylar birincisiyle bir şekilde ilişkili olan diğer rastgele olayların olasılıklarını bulun.

Bir olayın olasılık dahilinde gerçekleştiğini belirten ifade , Örneğin 0,75'e eşit olması tek başına nihai bir değeri temsil etmez, çünkü güvenilir bilgi için çabalıyoruz. Nihai bilişsel değer, olasılık teorisinin, herhangi bir olayın meydana gelme olasılığını belirtmemize olanak tanıyan sonuçlarıdır. A birliğe çok yakın veya (aynı şey) olayın gerçekleşmeme olasılığı Açok küçük. "Yeterince küçük olasılıkların ihmal edilmesi" ilkesi uyarınca böyle bir olayın pratikte kesin olduğu kabul edilir. Bilimsel ve pratik açıdan ilgi çekici olan bu tür sonuçlar genellikle bir olayın meydana gelip gelmediği varsayımına dayanmaktadır. A birbirleriyle çok az ilişkili olan çok sayıda rastgele faktöre bağlıdır . Dolayısıyla olasılık teorisinin çok sayıda rastgele faktörün etkileşimi sırasında ortaya çıkan örüntüleri aydınlatan bir matematik bilimi olduğunu da söyleyebiliriz.

Olasılık teorisinin konusu

Olasılık teorisinin konusu. Belirli koşullar arasındaki doğal ilişkiyi tanımlamak yük yoğunluğu dalgaları ve olay A, Belirli koşullar altında oluşup oluşmaması kesin olarak belirlenebilen doğa bilimleri genellikle aşağıdaki iki şemadan birini kullanır:

a) Koşullar karşılandığında yük yoğunluğu dalgaları bir olay geliyor A.Örneğin, klasik mekaniğin tüm yasaları bu forma sahiptir; bu, verilenler için şunu belirtir: başlangıç koşulları ve bir cisme veya cisimler sistemine etki eden kuvvetler, hareket benzersiz bir şekilde tanımlanmış bir şekilde meydana gelecektir.

b) Koşullar altında yük yoğunluğu dalgaları etkinlik A belli bir olasılık var P(GİBİ), eşit R.Örneğin, radyoaktif radyasyon yasaları, her radyoaktif madde için belirli bir olasılığın bulunduğunu belirtmektedir. verilen miktar Belirli bir süre içerisinde bir maddenin bozunması N atomlar.

Buna olayın sıklığı diyelim A bu seride N testler (yani N koşulların tekrar tekrar uygulanması yük yoğunluğu dalgaları) davranış h = m/n sayılar M hangi testler A toplam sayılarına ulaştılar N. Etkinlik kullanılabilirliği A koşullar altında yük yoğunluğu dalgaları belirli bir olasılık eşittir P, hemen hemen her yeterince uzun test serisinde olayın sıklığının artmasıyla kendini gösterir. A yaklaşık olarak eşit R.

İstatistiksel modeller, yani (b) tipi bir şemayla tanımlanan modeller, ilk olarak zar gibi kumar oyunlarında keşfedildi. Doğum ve ölüme ilişkin istatistiksel kalıplar da çok uzun zamandır bilinmektedir (örneğin, yeni doğmuş bir bebeğin erkek olma olasılığı 0,515'tir). 19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın 1. yarısı. fizik, kimya, biyoloji vb. alanlarda çok sayıda istatistiksel yasanın keşfiyle işaretlenmiştir.

Olasılık teorisi yöntemlerinin birbirinden çok uzak bilim alanlarıyla ilgili istatistiksel modellerin incelenmesine uygulanma olasılığı, olayların olasılıklarının her zaman belirli basit ilişkileri sağlaması gerçeğine dayanmaktadır. Olay olasılıklarının özelliklerinin bu basit ilişkiler temelinde incelenmesi olasılık teorisinin konusudur.

Olasılık teorisinin temel kavramları

Olasılık teorisinin temel kavramları. Matematiksel bir disiplin olarak olasılık teorisinin temel kavramları, en basit şekilde, temel olasılık teorisi olarak adlandırılan çerçeve içerisinde tanımlanır. Her test T, Temel olasılık teorisinde dikkate alınan olaylardan yalnızca biriyle sonuçlanacak şekildedir. e 1 , E 2 ,..., E S (duruma bağlı olarak öyle ya da böyle). Bu olaylara deneme sonuçları denir. Her sonuçla e k pozitif sayı ilişkili R İle - bu sonucun olasılığı. Sayılar P k bire kadar eklemelisiniz. Daha sonra olaylar değerlendirilir A,“meydana gelir veya e Ben , veya e J ,..., veya e k" Sonuçlar e Ben , E J ,..., E k uygun denir A, ve tanım gereği olasılığı varsayıyorlar R(A) olaylar A, miktara eşit Olumlu sonuçların olasılıkları:

P(A) =P Ben +P S +… +P k . (1)

Özel durum P 1 =P 2 =...P s = 1/S formüle yol açar

R(A) =r/s.(2)

Formül (2), bir olayın olasılığının buna göre klasik olasılık tanımını ifade eder. A sayının oranına eşit R olumlu sonuçlar A, numaraya S tüm “eşit derecede mümkün” sonuçlar. Olasılığın klasik tanımı, “olasılık” kavramını sadece “eşit olasılık” kavramına indirgemekte ve net bir tanım yapılmamaktadır.

Örnek. İki zar atıldığında 36 olası sonucun her biri () ile gösterilebilir. Ben,J), Nerede Ben- ilk zarda atılan puanların sayısı, J- ikincisinde. Sonuçların eşit derecede olası olduğu varsayılmaktadır. Etkinlik A -“puanların toplamı 4” ise üç sonuç olumludur (1; 3), (2; 2), (3; 1). Buradan, R(A) = 3/36= 1/12.

Verilen herhangi bir olaya dayanarak iki yeni olay belirlenebilir: bunların birleşimi (toplam) ve kombinasyonu (çarpım).

Etkinlik İÇİNDE olay havuzu denir A 1 , A 2 ,..., A R ,-, şu şekilde ise: “gelir veya A 1 , veya A 2 ,..., veya A R ».

C olayına olayların birleşimi denir A 1 , A. 2 ,..., A R , eğer şu şekildeyse: “gelir ve A 1 , Ve A 2 ,..., Ve A R » . Olayların birleşmesi  işaretiyle, birleşimi ise  işaretiyle gösterilir. Böylece şunu yazıyorlar:

B =A 1  A 2  …  A R , C = A 1  A 2  …  A R .

Olaylar A Ve İÇİNDE Eş zamanlı uygulanması imkansızsa, yani test sonuçları arasında tek bir olumlu sonuç yoksa uyumsuz olarak adlandırılır ve A Ve İÇİNDE.

Olayların birleştirilmesi ve birleştirilmesiyle ilgili tanıtılan işlemler, olasılık teorisinin iki ana teoremi ile ilişkilidir - olasılıkların toplanması ve çarpılması teoremleri.

Olasılık toplama teoremi: Eğer olaylar A 1 ,A 2 ,...,A R her ikisi de uyumsuz ise birleşme olasılıkları olasılıklarının toplamına eşittir.

Yani, yukarıdaki iki zar atma örneğinde olay İÇİNDE -“puanların toplamı 4'ü geçmiyor”, birbiriyle bağdaşmayan üç olayın birleşimi var A 2 ,A 3 ,A 4, puanların toplamının sırasıyla 2, 3, 4'e eşit olması gerçeğinden oluşur. Bu olayların olasılığı 1/36'dır; 2/36; 3/36. Toplama teoremine göre olasılık R(İÇİNDE) eşit

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Olaylar A 1 ,A 2 ,...,A Her birinin koşullu olasılığı, diğerlerinden herhangi birinin gerçekleşmesi koşuluyla, "koşulsuz" olasılığına eşitse bağımsız olarak adlandırılır.

Olasılık çarpımı teoremi: Olayları birleştirme olasılığı A 1 ,A 2 ,...,A r olayın olasılığına eşittir A 1 , olayın olasılığı ile çarpılır A 2 şartla alındı A 1 meydana geldi,..., olayın olasılığı ile çarpıldı Aşu şartla ki A 1 ,A 2 ,...,A r-1 geldi. Bağımsız olaylar için çarpma teoremi şu formüle yol açar:

P(A 1 A 2 …A R) =P(A 1 )P(A 2 )· … · P(A R), (3)

yani bağımsız olayların bir araya gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Formül (3) her iki kısmında da bazı olayların karşıtlarıyla değiştirilmesi durumunda geçerliliğini korur.

Örnek. Atış başına isabet olasılığı 0,2 olan hedefe 4 atış yapılır. Farklı atışlardan elde edilen hedef isabetlerinin bağımsız olaylar olduğu varsayılır. Hedefi tam olarak üç kez vurma olasılığı nedir?

Her test sonucu dört harften oluşan bir diziyle gösterilebilir [örneğin, (y, n, n, y), birinci ve dördüncü atışların isabet ettiği (başarılı) ve ikinci ve üçüncü atışların isabet etmediği (başarısız) anlamına gelir). Toplam 2·2·2·2 = 16 sonuç olacaktır. Bireysel atış sonuçlarının bağımsızlığı varsayımına uygun olarak, bu sonuçların olasılıklarını belirlemek için formül (3) ve buna ilişkin bir not kullanılmalıdır. Bu nedenle, sonucun olasılığı (y, n. n, n) 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024'e eşit olarak ayarlanmalıdır; burada 0,8 = 1-0,2 tek atışta ıskalama olasılığıdır. “Hedefe üç kez vurulması” olayı (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) sonuçları tarafından tercih edilmektedir. (n, y, y, y), her birinin olasılığı aynıdır:

0,2 0,2 0,2 0,8 =...... =0,8 0,2 0,2 0,2 = 0,0064;

bu nedenle gerekli olasılık eşittir

4·0,0064 = 0,0256.

Analiz edilen örneğin mantığını özetleyerek olasılık teorisinin temel formüllerinden birini türetebiliriz: eğer olaylar A 1 , A 2 ,..., A N bağımsızdır ve her olasılığa sahiptir P, o zaman gerçekleşme olasılığı tam olarak M hangisi eşittir

P N (M)= C N M P M (1 - s) n-m ; (4)

Burada C N M kombinasyon sayısını ifade eder N tarafından elemanlar M. Genel olarak N formül (4) kullanılarak yapılan hesaplamalar zorlaşır.

Temel olasılık teorisinin temel formülleri arasında aynı zamanda sözde toplam olasılık formülü: eğer olaylar A 1 , A 2 ,..., A R ikili olarak uyumsuzdur ve birleşmeleri güvenilir bir olaydır, o zaman herhangi bir olay için İÇİNDE olasılığı bunların toplamına eşittir.

Olasılık çarpım teoremi özellikle bileşik testler dikkate alındığında faydalıdır. Bunun bir test olduğunu söylüyorlar T testlerden oluşan T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T N, Eğer her test sonucu T bazı sonuçların bir kombinasyonu var A Ben ,B J ,..., X k ,Y ben ilgili testler T 1 , T 2 ,..., T n-1 , T N. Şu ya da bu nedenle olasılıklar genellikle bilinir

P(A Ben), P(B J /A Ben), …,P(e ben /A Ben B J …X k). (5)

Çarpma teoremi kullanılarak olasılıklardan (5) olasılıklar belirlenebilir R(e) tüm sonuçlar için e bileşik test ve aynı zamanda bu testle ilişkili tüm olayların olasılığı. Pratik açıdan bakıldığında, iki tür bileşik test en önemlileri gibi görünmektedir:

a) Testin bileşenleri bağımsızdır, yani olasılıklar (5) koşulsuz olasılıklara eşittir P(A Ben), P(B J),..., P(e ben);

b) herhangi bir testin sonuçlarının olasılıkları yalnızca hemen önceki testin sonuçlarından etkilenir, yani olasılıklar (5) sırasıyla eşittir: P(A Ben), P(B J /A Ben),..., P(e Ben /X k). Bu durumda Markov zincirine bağlı testlerden bahsediyoruz. Bileşik bir testle ilgili tüm olayların olasılıkları burada tamamen başlangıç olasılıkları tarafından belirlenir. R(A Ben) ve geçiş olasılıkları P(B J /A Ben),..., P(e ben /X k).

Olasılık teorisindeki temel formüller

Olasılık teorisinin formülleri.

1. Kombinatoriklerin temel formülleri

a) yeniden düzenlemeler.

\b) yerleştirme

c) kombinasyonlar .

2. Olasılığın klasik tanımı.

Olay için elverişli sonuçların sayısı nerede, eşit derecede olası tüm temel sonuçların sayısıdır.

3. Olayların toplamının olasılığı

Uyumsuz olayların olasılıklarını eklemek için teorem:

Ortak olayların olasılıklarını eklemek için teorem:

4. Olayların gerçekleşme olasılığı

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpmak için teorem:

Bağımlı olayların olasılıklarını çarpmak için teorem:

Koşullu olasılık Olayın gerçekleşmesi şartıyla olaylar,

Olayın meydana geldiği göz önüne alındığında, bir olayın koşullu olasılığı.

Kombinatorik, verilen nesnelerden belirli koşullara bağlı olarak kaç farklı kombinasyonun yapılabileceğiyle ilgili soruları inceleyen bir matematik dalıdır. Kombinatoriğin temelleri rastgele olayların olasılıklarını tahmin etmek için çok önemlidir, çünkü Olayların gelişimi için temelde mümkün olan farklı seçeneklerin sayısını hesaplamamıza izin verenler onlardır.

Kombinatoriklerin temel formülü

K tane element grubu olsun ve i'inci grup ni elementten oluşsun. Her gruptan bir öğe seçelim. Daha sonra toplam sayı Böyle bir seçimin yapılabileceği N yol, N=n1*n2*n3*...*nk ilişkisiyle belirlenir.

Örnek 1. Bu kuralı basit bir örnekle açıklayalım. İki element grubu olsun ve ilk grup n1 elementten, ikincisi ise n2 elementten oluşsun. Bu iki gruptan, her gruptan bir eleman bulunacak şekilde kaç farklı eleman çifti oluşturulabilir? Diyelim ki ilk gruptan ilk elemanı aldık ve onu değiştirmeden tüm olası çiftleri inceledik, yalnızca ikinci grubun elemanlarını değiştirdik. Bu eleman için böyle n2 tane çift var. Daha sonra birinci gruptan ikinci elemanı alıyoruz ve onun için mümkün olan tüm çiftleri de oluşturuyoruz. Ayrıca bu tür n2 tane çift olacaktır. İlk grupta yalnızca n1 eleman bulunduğundan toplam olası seçenekler n1*n2 olacaktır.

Örnek 2. Eğer rakamlar tekrarlanabiliyorsa, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarından kaç tane üç basamaklı çift sayı yapılabilir?

Çözüm: n1=6 (çünkü 1, 2, 3, 4, 5, 6'dan herhangi bir sayıyı ilk rakam olarak alabilirsiniz), n2=7 (çünkü 0'dan herhangi bir sayıyı ikinci rakam olarak alabilirsiniz, 1, 2) , 3, 4, 5, 6), n3=4 (çünkü 0, 2, 4, 6'dan herhangi bir sayı üçüncü rakam olarak alınabilir).

Yani N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

Tüm grupların aşağıdakilerden oluşması durumunda aynı numara elemanlar, yani n1=n2=...nk=n her seçimin aynı gruptan yapıldığını ve seçimden sonraki elemanın gruba geri döndüğünü varsayabiliriz. O halde tüm seçim yöntemlerinin sayısı nk'ye eşittir. Bu seçim yöntemine geri dönüşlü örnekleme adı verilir.

Örnek. 1, 5, 6, 7, 8 rakamlarından kaç tane dört basamaklı sayı oluşturulabilir?

Çözüm. Dört basamaklı bir sayının her basamağı için beş olasılık vardır, bu da N=5*5*5*5=54=625 anlamına gelir.

N elemandan oluşan bir küme düşünün. Bu kümeye genel popülasyon adını vereceğiz.

Tanım 1. N elemanın m'ye göre düzenlenmesi m'nin herhangi bir sıralı kümesidir çeşitli unsurlar, arasından seçilmiş nüfus n elemanlı.

Örnek. Üç elemanın (1, 2, 3) ikişer ikişer farklı düzenlemeleri (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) kümeleri olacaktır. , 2 ). Yerleşimler hem öğeler hem de sıralama açısından birbirinden farklı olabilir.

Yerleşimlerin sayısı A, n'den m ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

Not: n!=1*2*3*...*n (okuyun: "en faktöriyel"), ayrıca 0!=1 olduğu varsayılır.

Örnek 5. Onlar basamağı ve birler basamağı farklı ve tek olan kaç tane iki basamaklı sayı vardır?

Çözüm: çünkü Beş tek rakam varsa, yani 1, 3, 5, 7, 9, bu görev, beş farklı rakamdan ikisini seçip iki farklı konuma yerleştirmekten ibarettir; belirtilen sayılar şöyle olacaktır:

Tanım 2. m'nin n öğesinin birleşimi, n öğeden oluşan bir popülasyondan seçilen m farklı öğeden oluşan herhangi bir sırasız kümedir.

Örnek 6. Bir (1, 2, 3) kümesi için kombinasyonlar (1, 2), (1, 3), (2, 3)'tür.

Kombinasyonların sayısı Cnm ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

Tanım 3. N elemanlı bir permütasyon, bu elemanların herhangi bir sıralı kümesidir.

Örnek 7a. Üç elemandan (1, 2, 3) oluşan bir kümenin tüm olası permütasyonları şunlardır: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

N elemanın farklı permütasyonlarının sayısı Pn ile gösterilir ve Pn=n! formülüyle hesaplanır.

Örnek 8. Farklı yazarların yedi kitabı bir rafta tek sıra halinde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm: Bu problem yedinin permütasyon sayısıyla ilgilidir. farklı kitaplar. Kitapları düzenlemenin P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 yolu vardır.

Tartışma. Olası kombinasyon sayısının farklı kurallara (permütasyonlar, kombinasyonlar, yerleşimler) göre hesaplanabileceğini ve sonucun farklı olacağını görüyoruz çünkü Hesaplama prensibi ve formüllerin kendisi farklıdır. Tanımlara dikkatlice baktığınızda sonucun aynı anda birçok faktöre bağlı olduğunu fark edeceksiniz.

Öncelikle kümelerini kaç elementten birleştirebiliriz (elemanların toplamı ne kadar büyük).

İkinci olarak sonuç, ihtiyacımız olan eleman setlerinin boyutuna bağlıdır.

Son olarak kümedeki elemanların sırasının bizim için önemli olup olmadığını bilmek önemlidir. Son faktörü aşağıdaki örnekle açıklayalım.

Örnek. Veli toplantısında 20 kişi bulunuyor. Eğer 5 kişiden oluşması gerekiyorsa veli komitesinin oluşumu için kaç farklı seçenek vardır?

Çözüm: Bu örnekte komite listesindeki isimlerin sırası ile ilgilenmiyoruz. Sonuç olarak aynı kişilerin bu işin bir parçası olduğu ortaya çıkarsa, o zaman bizim açımızdan bu da aynı seçenektir. Bu nedenle 5'in 20 elementinin kombinasyon sayısını saymak için bir formül kullanabiliriz.

Her komite üyesinin başlangıçta belirli bir çalışma alanından sorumlu olması durumunda işler farklı olacaktır. O halde, komitenin aynı liste bileşimine sahip olması durumunda, içinde muhtemelen 5 kişi vardır! önemli olan permütasyonlar. Farklı (hem kompozisyon hem de sorumluluk alanı açısından) seçeneklerin sayısı bu durumda 20 elementin 5'lik yerleşim sayısına göre belirlenir.

Olasılığın geometrik tanımı

Rastgele bir testin, bir G geometrik bölgesine (düz bir çizgi, düzlem veya uzay üzerinde) rastgele bir nokta atılması olarak hayal edilsin. Temel sonuçlar G'nin bireysel noktalarıdır, herhangi bir olay bu alanın bir alt kümesidir, G'nin temel sonuçların uzayıdır. G'nin tüm noktalarının “eşit” olduğunu varsayabiliriz ve bu durumda bir noktanın belirli bir alt kümeye düşme olasılığı şöyledir: ölçüsüyle (uzunluk, alan, hacim) orantılıdır ve konumuna ve şekline bağlı değildir.

A olayının geometrik olasılığı aşağıdaki ilişkiyle belirlenir: burada m(G), m(A), temel sonuçların ve A olayının tüm uzayının geometrik ölçümleridir (uzunluklar, alanlar veya hacimler).

Örnek. Yarıçapı r () olan bir daire, grafiği 2d genişliğinde paralel şeritlerle çizilen ve eksen çizgileri arasındaki mesafe 2D'ye eşit olan bir düzlem üzerine rastgele atılıyor. Çemberin belirli bir şeritle kesişme olasılığını bulun.

Çözüm. Bu testin temel sonucu olarak, dairenin merkezinden daireye en yakın şeridin merkez çizgisine kadar olan x mesafesini dikkate alacağız. O halde temel sonuçların tüm uzayı bir segmenttir. Bir dairenin bir şeritle kesişmesi, merkezi şeridin içine düşerse, yani veya şeridin kenarından yarıçaptan daha az bir mesafede bulunursa, yani.

İstenilen olasılık için şunu elde ederiz: .

Olayların olası, olası ve rastgele olarak sınıflandırılması. Basit ve karmaşık temel olay kavramları. Olaylara ilişkin işlemler. Rastgele bir olayın olasılığının klasik tanımı ve özellikleri. Olasılık teorisinde kombinatorik unsurları. Geometrik olasılık. Olasılık teorisinin aksiyomları.

1. Olayların sınıflandırılması

Olasılık teorisinin temel kavramlarından biri olay kavramıdır. Bir olay, bir deneyim veya test sonucunda ortaya çıkabilecek herhangi bir olgudur. Deneyim veya test derken, belirli bir dizi koşulun uygulanmasını kastediyoruz.

Olay örnekleri:

- silahla ateş edildiğinde hedefi vurmak (deneyim - atış yapmak; olay - hedefi vurmak);

– üç kez yazı tura atıldığında iki amblemin kaybı (deneyim - üç kez yazı tura atma; olay - iki amblemin kaybı);

– bir hedefe olan mesafeyi ölçerken, belirlenen sınırlar dahilinde bir ölçüm hatasının ortaya çıkması (deneyim - menzil ölçümü; olay - ölçüm hatası).

Buna benzer sayısız örnek verilebilir. Etkinlikler belirlendi büyük harflerle Latin alfabesi vesaire.

Ortak ve ortak olmayan olaylar arasında bir ayrım yapılır. Birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini engellemiyorsa bu olaylara ortak olaylar denir. Aksi takdirde olaylara uyumsuz denir. Örneğin iki zar atılıyor. Etkinlik - ilk zarda üç puan almak, etkinlik - ikinci zarda üç puan almak ve-. ortak etkinlikler. Mağazanın aynı tarz ve bedende bir grup ayakkabı almasına izin verin, ancak farklı renkler. Etkinlik - rastgele alınan bir kutuda siyah ayakkabılar bulunur, etkinlik - kutuda kahverengi ayakkabılar bulunur ve - uyumsuz olaylar.

Belirli bir deneyimin koşulları altında gerçekleşeceği kesin olan bir olaya güvenilir denir.

Belirli bir deneyimin koşulları altında gerçekleşemeyen bir olaya imkansız denir. Örneğin, standart parçalardan oluşan bir partiden standart bir parçanın alınması durumu güvenilirdir ancak standart olmayan bir parçanın alınması imkansızdır.

Bir olay, deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkabiliyor ancak görünmeyebilirse, olası veya rastgele olarak adlandırılır. Rastgele bir olaya örnek olarak, bir bitmiş ürün grubunun denetimi sırasında ürün kusurlarının belirlenmesi, işlenmiş ürünün boyutu ile belirtilen ürün arasındaki tutarsızlık veya otomatik kontrol sistemindeki bağlantılardan birinin arızası verilebilir.

Test koşullarına göre bu olaylardan hiçbiri nesnel olarak diğerlerinden daha olası değilse, olaylara eşit derecede mümkün denir. Örneğin, birkaç üretim tesisinin bir mağazaya (ve eşit miktarlarda) ampul tedarik ettiğini varsayalım. Bu fabrikaların herhangi birinden ampul satın alınmasını içeren etkinlikler de aynı derecede mümkündür.

Önemli kavram olayların tam grubudur. Bu deney formundaki çeşitli olaylar tam grup, eğer deney sonucunda bunlardan en az birinin ortaya çıkacağından eminseniz. Örneğin, bir kavanozda altısı kırmızı, dördü beyaz ve beşi sayılara sahip on top vardır. - bir çekilişte kırmızı bir topun ortaya çıkması, - beyaz bir topun ortaya çıkması, - üzerinde rakam bulunan bir topun ortaya çıkması. Etkinlikler, ortak etkinliklerin tam bir grubunu oluşturur.

Karşıt veya ek olay kavramını tanıtalım. Zıt bir olay, bir olayın meydana gelmemesi durumunda mutlaka meydana gelmesi gereken bir olaydır. Zıt olaylar uyumsuzdur ve mümkün olan tek olaylardır. Tam bir olay grubu oluştururlar. Örneğin, eğer üretilmiş bir ürün grubu iyi ve kusurlu ürünlerden oluşuyorsa, o zaman bir ürün çıkarıldığında, bunun ya iyi bir olay, ya da kusurlu bir olay olduğu ortaya çıkabilir.

2. Olaylara ilişkin işlemler

Olasılık teorisinde rastgele olayları incelemek için bir aparat ve metodoloji geliştirirken, olayların toplamı ve çarpımı kavramı çok önemlidir.

Matematik dersi okul çocukları için pek çok sürpriz hazırlıyor, bunlardan biri de olasılık teorisiyle ilgili bir problem. Öğrenciler neredeyse yüzde yüz bu tür görevleri çözmede sorun yaşıyor. Anlamak ve anlamak bu sorun, temel kuralları, aksiyomları, tanımları bilmeniz gerekir. Kitaptaki metni anlamak için tüm kısaltmaları bilmeniz gerekir. Bütün bunları öğrenmeyi teklif ediyoruz.

Bilim ve uygulaması

teklif ettiğimizden beri hızlandırılmış kurs“kuklalar için olasılık teorisi”, daha sonra ilk önce temel kavramları tanıtmanız ve harf kısaltmaları. Başlangıç olarak “olasılık teorisi” kavramını tanımlayalım. Bu nasıl bir bilimdir ve neden gereklidir? Olasılık teorisi, matematiğin inceleyen dallarından biridir. rastgele olaylar ve büyüklük. Ayrıca bu rastgele değişkenlerle gerçekleştirilen desenleri, özellikleri ve işlemleri de dikkate alıyor. Ne için? Çalışmada bilim yaygınlaştı doğal olaylar. Herhangi bir doğal ve fiziksel süreçlerşansın varlığı olmadan yapamaz. Deney sırasında sonuçlar mümkün olduğu kadar doğru kaydedilse bile aynı test tekrarlanırsa sonuç büyük olasılıkla aynı olmayacaktır.

Kesinlikle görev örneklerine bakacağız, kendiniz görebilirsiniz. Sonuç birçok şeye bağlıdır çeşitli faktörler dikkate alınması veya kaydedilmesi neredeyse imkansızdır, ancak yine de deneyin sonucu üzerinde büyük bir etkiye sahiptirler. Canlı örnekler Gezegenlerin yörüngesini belirleme veya hava tahminini belirleme, işe giderken tanıdık bir kişiyle tanışma olasılığı ve bir sporcunun atlama yüksekliğini belirleme görevleri hizmet edebilir. Olasılık teorisi aynı zamanda borsalardaki komisyonculara da büyük yardım sağlamaktadır. Olasılık teorisindeki bir problem, daha önce çözümü pek çok problemle karşı karşıya olan bir problem, aşağıda verilen üç veya dört örnekten sonra sizin için önemsiz bir şey haline gelecektir.

Olaylar

Daha önce de belirtildiği gibi bilim olayları inceler. Olasılık teorisi, biraz sonra problem çözme örneklerine bakacağız, yalnızca tek bir türü inceliyor - rastgele. Ancak yine de olayların üç türden olabileceğini bilmeniz gerekir:

İmkansız.
Güvenilir.
Rastgele.

Her birini biraz tartışmayı öneriyoruz. İmkansız bir olay hiçbir koşulda gerçekleşmeyecektir. Örnekler şunları içerir: sıfırın üzerindeki sıcaklıklarda suyun dondurulması, bir torba toptan bir küpün çıkarılması.

Tüm koşullar yerine getirilirse her zaman %100 garantiyle güvenilir bir olay meydana gelir. Örneğin: aldınız ücretler yapılan iş için daha yüksek bir diploma aldı mesleki eğitim, eğer vicdanlı bir şekilde çalıştıysanız, sınavları geçtiyseniz ve diplomanızı savunduysanız vb.

Her şey biraz daha karmaşık: Deney sırasında gerçekleşebilir veya gerçekleşmeyebilir, örneğin en fazla üç deneme yaptıktan sonra kart destesinden bir as çekmek. Sonucu ya ilk denemede alabilirsiniz ya da hiç alamayabilirsiniz. Bilimin incelediği bir olayın gerçekleşme olasılığıdır.

Olasılık

Bu genel anlamda olayın gerçekleştiği deneyimin başarılı bir sonuç verme olasılığının değerlendirilmesi. Olasılık şu şekilde tahmin edilmektedir: kalite seviyesiözellikle eğer nicelik belirleme imkansız veya zor. Olasılık teorisindeki bir problemin çözümü veya daha doğrusu bir tahmini, başarılı bir sonucun mümkün olan en yüksek payını bulmayı içerir. Matematikte olasılık bir olayın sayısal özellikleridir. P harfi ile gösterilen sıfırdan bire kadar değerler alır. P sıfıra eşitse olay gerçekleşemez; bir ise olay yüzde yüz olasılıkla gerçekleşecektir. P bire ne kadar yaklaşırsa, başarılı bir sonucun olasılığı o kadar güçlü olur ve bunun tersi de sıfıra yakınsa, o zaman olay düşük olasılıkla gerçekleşecektir.

Kısaltmalar

Yakında karşılaşacağınız olasılık problemi aşağıdaki kısaltmaları içerebilir:

P ve P(X);
A, B, C, vb;

Bazıları da mümkündür: gerektiğinde ek açıklamalar yapılacaktır. Öncelikle yukarıda sunulan kısaltmaları açıklığa kavuşturmanızı öneririz. Listemizdeki ilk faktör faktöriyeldir. Daha açık hale getirmek için örnekler veriyoruz: 5!=1*2*3*4*5 veya 3!=1*2*3. Sonraki, içinde kıvırcık parantez verilen kümeleri yazın, örneğin: (1;2;3;4;...;n) veya (10;140;400;562). Aşağıdaki gösterim settir doğal sayılar Olasılık teorisi ile ilgili görevlerde oldukça sık bulunur. Daha önce de belirtildiği gibi, P bir olasılıktır ve P(X), X olayının meydana gelme olasılığıdır. Olaylar Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir, örneğin: A - anladım beyaz top, B - mavi, C - kırmızı veya sırasıyla . Küçük harf n, tüm olası sonuçların sayısıdır ve m, başarılı olanların sayısıdır. Buradan bulma kuralını elde ederiz klasik olasılık V temel görevler: P=m/n. "Aptallar için" olasılık teorisi muhtemelen bu bilgiyle sınırlıdır. Şimdi pekiştirmek için çözüme geçelim.

Problem 1. Kombinatorik

Öğrenci grubu, aralarından bir muhtar, onun yardımcısı ve bir sendika liderinin seçilmesi gereken otuz kişiden oluşuyor. Bunu yapmanın birkaç yolunu bulmak gerekiyor bu eylem. Benzer bir görev Birleşik Devlet Sınavında da görünebilir. Şu anda ele aldığımız problemlerin çözümü olan olasılık teorisi, kombinatorik sürecindeki problemleri, klasik olasılığı bulmayı, geometrik ve temel formüller. İÇİNDE bu örnekte Kombinatorik kursundan bir problem çözüyoruz. Çözüme geçelim. Bu görev en basit olanıdır:

n1=30 - öğrenci grubunun olası başkanları;
n2=29 - Milletvekili görevini üstlenebilecek olanlar;
n3=28 kişi sendikacı pozisyonuna başvuruyor.

Tek yapmamız gereken olası seçenek sayısını bulmak, yani tüm göstergeleri çarpmak. Sonuç olarak şunu elde ederiz: 30*29*28=24360.

Bu, sorulan sorunun cevabı olacaktır.

Sorun 2. Yeniden Düzenleme

Konferansta 6 katılımcı konuşmaktadır, sıralama kura ile belirlenmektedir. miktarını bulmamız lazım olası seçenekler kura çekmek. Bu örnekte altı elementin permütasyonunu düşünüyoruz, yani 6'yı bulmamız gerekiyor!

Kısaltmalar paragrafında ne olduğundan ve nasıl hesaplandığından bahsetmiştik. Toplamda 720 çizim seçeneğinin olduğu ortaya çıkıyor. İlk bakışta zor bir işin çok kısa ve basit bir çözümü vardır. Bunlar olasılık teorisinin dikkate aldığı görevlerdir. Sorunları daha fazla nasıl çözebilirim? yüksek seviye, aşağıdaki örneklerde inceleyeceğiz.

Sorun 3

Yirmi beş kişilik bir öğrenci grubu altı, dokuz ve on kişilik üç alt gruba ayrılmalıdır. Elimizde: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Değerleri değiştirmeye devam ediyor gerekli formül, şunu elde ederiz: N25(6,9,10). Basit hesaplamalardan sonra cevabı alıyoruz - 16.360.143.800. Görev neyin elde edilmesi gerektiğini söylemiyorsa. sayısal çözüm, o zaman bunu faktöriyel şeklinde verebiliriz.

Sorun 4

Üç kişi birden ona kadar sayıları tahmin etti. Birinin numaralarının eşleşme olasılığını bulun. Öncelikle tüm sonuçların sayısını bulmalıyız - bizim durumumuzda bu bindir, yani on üzeri üçüncü kuvvettir. Şimdi herkesin tahmin ettiği seçenek sayısını bulalım farklı sayılar Bunu yapmak için on, dokuz ve sekizi çarpıyoruz. Bu rakamlar nereden geldi? İlki bir sayı tahmin ediyor, on seçeneği var, ikincinin zaten dokuzu var ve üçüncünün kalan sekizden seçim yapması gerekiyor, böylece 720 olası seçeneğe sahip oluyoruz. Daha önce hesapladığımız gibi toplamda 1000 seçenek var ve tekrarlar olmadan 720 seçenek var, dolayısıyla geri kalan 280 ile ilgileniyoruz. Şimdi klasik olasılığı bulmak için bir formüle ihtiyacımız var: P = . Cevabını aldık: 0,28.

Bölüm 12. Olasılık teorisi.

1. Giriş

2. Olasılık teorisinin en basit kavramları

3. Olayların cebiri

4. Rastgele bir olayın olasılığı

5. Geometrik olasılıklar

6. Klasik olasılıklar. Kombinatorik formüller.

7. Koşullu olasılık. Olayların bağımsızlığı.

8. Formül tam olasılık ve Bayes formülleri

9. Tekrarlanan test şeması. Bernoulli formülü ve asimptotikleri

10. Rastgele değişkenler (RV)

11. Sıra DSV dağıtımları

12. İntegral fonksiyonu dağıtım

13. NSV dağıtım işlevi

14. NSV'nin olasılık yoğunluğu

15. Sayısal özellikler rastgele değişkenler

16. Önemli SV dağılımlarına örnekler

16.1. Binom dağılımı DSV.

16.2. Poisson dağılımı

16.3. Düzgün dağılım NSV.

16.4. Normal dağılım.

17. Olasılık teorisinin limit teoremleri.

giriiş

Olasılık teorisi, diğer birçok matematik disiplini gibi, uygulamanın ihtiyaçlarından doğmuştur. Aynı zamanda gerçek bir süreci incelerken gerçek sürecin soyut bir matematiksel modelini oluşturmak gerekiyordu. Genellikle ana, en önemli itici güçler Rastgele olarak adlandırılan ikincil olanları dikkate almayarak gerçek süreç. Elbette neyin asıl sayıldığı, neyin ikincil olduğu ayrı bir görevdir. Bu sorunun çözümü soyutluğun, basitliğin veya karmaşıklığın düzeyini belirler matematiksel model ve modelin gerçek sürece uygunluk düzeyi. Özünde, herhangi bir soyut model iki karşıt isteğin sonucudur: basitlik ve gerçekliğe uygunluk.

Örneğin atış teorisinde, bir noktada bulunan bir silahtan çıkan merminin uçuş yolunu belirlemek için oldukça basit ve kullanışlı formüller geliştirilmiştir (Şekil 1).

Belirli koşullar altında, söz konusu teori, örneğin büyük topçu hazırlıkları sırasında yeterlidir.

Ancak aynı koşullar altında tek bir silahla birden fazla atış yapılması durumunda yörüngelerin yakın da olsa yine de farklı olacağı açıktır. Ve eğer hedef boyutu saçılma alanıyla karşılaştırıldığında küçükse, o zaman özellikle önerilen modelde dikkate alınmayan faktörlerin etkisiyle ilgili spesifik sorular ortaya çıkar. Bu durumda ek faktörlerin de dikkate alınması, karmaşık model ki bunu kullanmak neredeyse imkansızdır. Ayrıca bu rastgele faktörlerin birçoğu vardır ve bunların doğası çoğunlukla bilinmemektedir.

Yukarıdaki örnekte bunun ötesine geçen spesifik sorular deterministik model, örneğin şu şekildedir: Hedefin belirli bir güvenle vurulmasını garanti etmek için kaç atış yapılması gerekir (örneğin, )? Hedefi vurmak için en az mermiyi kullanmak amacıyla sıfırlama nasıl yapılmalıdır? vesaire.

Daha sonra göreceğimiz gibi, "rastgele" ve "olasılık" kelimeleri daha kesin hale gelecektir. matematiksel terimler. Ancak günlük yaşamda oldukça yaygındırlar. günlük konuşma. "Rastgele" sıfatının "doğal" kelimesinin zıttı olduğuna inanılıyor. Ancak durum böyle değildir, çünkü doğa öyle tasarlanmıştır ki rastgele süreçler kalıpları keşfedin, ancak belirli koşullar altında.

Ana koşul denir kitlesel karakter.

Mesela parayı attığınızda ne çıkacağını tahmin edemezsiniz, arma mı, sayı mı, sadece tahmin edebilirsiniz. Ancak, eğer bu parayı atarsanız büyük sayı armaların düşen oranının 0,5'e yakın belirli bir sayıdan pek farklı olmayacağı (ileride bu sayıya olasılık adını vereceğiz). Üstelik atış sayısının artmasıyla bu sayıdan sapma azalacaktır. Bu özelliğe denir sürdürülebilirlik ortalama göstergeler (içinde bu durumda- arma payları). Olasılık teorisinin ilk adımlarında, pratikte kararlılık özelliğinin varlığını doğrulamak gerektiğinde, büyük bilim adamlarının bile kendi doğrulamalarını gerçekleştirmenin zor olduğunu düşünmedikleri söylenmelidir. Böylece, 4040 kez yazı tura atan ve arması 2048 kez ortaya çıkan Buffon'un ünlü deneyi, dolayısıyla kesir (veya bağıl frekans Armanın ) değeri 0,508 olup, sezgisel olarak beklenen 0,5 sayısına yakındır.

Bu nedenle genellikle tanım verilir. Kütlesel rastgele süreçlerin kalıplarını inceleyen bir matematik dalı olarak olasılık teorisinin konusu.

Olasılık teorisinin en büyük başarılarının geçen yüzyılın başlarına dayanmasına rağmen, özellikle de şunu söylememiz gerekir: aksiyomatik yapı A.N.'nin çalışmalarındaki teoriler. Kolmogorov'a (1903-1987) göre kaza araştırmalarına ilgi uzun zaman önce ortaya çıktı.

İlk ilgi alanları kumara sayısal bir yaklaşım uygulamaya çalışmaktı. İlk olanlar yeterli ilginç sonuçlar olasılık teorileri genellikle L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) ve N. Tartaglia'nın (1556) çalışmalarıyla ilişkilendirilir.

Daha sonra B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) temelleri attılar klasik teori olasılıklar. 18. yüzyılın başında J. Bernoulli (1654-1705), uygun şansların sayısının tüm olası şansların sayısına oranı olarak rastgele bir olayın olasılığı kavramını oluşturdu. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) teorilerini kümenin ölçü kavramının kullanımı üzerine kurdular.

Küme kuramı bakış açısı en eksiksiz haliyle 1933'te sunuldu. BİR. Kolmogorov "Olasılık Teorisinin Temel Kavramları" monografisinde. Bu andan itibaren olasılık teorisi katı bir matematik bilimi haline gelir.

Rus matematikçiler P.L. olasılık teorisinin gelişimine büyük katkı sağladı. Çebyşev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) ve diğerleri.

Olasılık teorisi günümüzde hızla gelişmektedir.

Olasılık teorisinin en basit kavramları

Herhangi bir matematik disiplini gibi olasılık teorisi de tanımlanmayan, yalnızca açıklanan en basit kavramların tanıtılmasıyla başlar.

Temel temel kavramlardan biri deneyim. Deneyim, sınırsız sayıda yeniden üretilebilen belirli bir koşullar dizisi olarak anlaşılmaktadır. Bu kompleksin her uygulanmasına bir deneyim veya test diyeceğiz. Deneyin sonuçları farklı olabilir ve rastlantısallık unsurunun kendini gösterdiği yer burasıdır. Bir deneyimin çeşitli sonuçları veya sonuçları denir. olaylar(daha doğrusu rastgele olaylar). Böylece deneyin uygulanması sırasında şu veya bu olay meydana gelebilir. Başka bir deyişle, rastgele bir olay, deneyin uygulanması sırasında meydana gelebilecek (ortaya çıkabilecek) veya oluşmayabilecek bir deneyin sonucudur.

Deneyim harfle gösterilir ve rastgele olaylar genellikle büyük harflerle gösterilir.

Çoğu zaman bir deneyde, en basit olarak adlandırılabilecek ve daha basit olanlara ayrıştırılamayan sonuçlarını önceden belirlemek mümkündür. Bu tür olaylara denir temel olaylar(veya durumlarda).

Örnek 1. Yazı tura atalım. Deneyin sonuçları şunlardır: armanın kaybı (bu olayı harfle belirtiyoruz); sayı kaybı ( ile gösterilir). O halde şunu yazabiliriz: deneyim = (yazı-tura), sonuçlar: Şurası açıktır ki, temel olaylar bu deneyim. Başka bir deyişle, hepsini listelemek temel olaylar deneyim bunu tamamen açıklıyor. Bu bakımdan deneyimin temel olayların mekanı olduğunu söyleyeceğiz ve bizim durumumuzda deneyim kısaca şu şekilde yazılabilir: = (yazı-tura) = (G; C).

Örnek 2. =(para iki kez atılıyor)= İşte deneyimin sözlü bir açıklaması ve tüm temel olayların bir listesi: Bu, ilk olarak, ilk yazı tura atıldığında bir arma düştüğü, ikincisinde arma da düştüğü anlamına gelir; armanın ilk atışta, sayının ikinci atışta geldiği anlamına gelir, vb.

Örnek 3. Koordinat sisteminde noktalar bir kareye atılır. Bu örnekte temel olaylar, verilen eşitsizlikleri karşılayan koordinatlara sahip noktalardır. Kısaca şu şekilde yazılmıştır:

Kıvrımlı parantez içindeki iki nokta üst üste, noktalardan oluştuğu anlamına gelir, ancak herhangi bir noktayı değil, yalnızca iki nokta üst üsteden sonra belirtilen koşulu (veya koşulları) karşılayan noktalardan oluşur (örneğimizde bunlar eşitsizliklerdir).

Örnek 4.İlk arması görünene kadar para atılır. Başka bir deyişle yazı tura atılana kadar yazı tura atılır. Bu örnekte temel olaylar listelenebilir, ancak bunlar sonsuz sayı:

Örnek 3 ve 4'te temel olaylar uzayının sonsuz sayıda sonuca sahip olduğuna dikkat edin. Örnek 4'te bunlar listelenebilir; yeniden hesapla. Böyle bir kümeye sayılabilir denir. Örnek 3'te boşluk sayılamaz.

Herhangi bir deneyimde mevcut olan ve büyük teorik öneme sahip iki olayı daha tanıtalım.

Hadi olayı çağıralım imkansız, deneyimin bir sonucu olarak mutlaka meydana gelmediği sürece. Bunu boş kümenin işaretiyle göstereceğiz. Tam tersine, yaşanılan tecrübeler sonucunda meydana geleceği kesin olan olaylara denir. güvenilir. Güvenilir bir olay, temel olayların alanıyla aynı şekilde - harfle - belirtilir.

Örneğin fırlatırken zar bir etkinlik (9 puandan az olan) güvenilirdir ve bir etkinlik (tam olarak 9 puan alan) imkansızdır.

Böylece, temel olayların alanı verilebilir sözlü açıklama, tüm temel olaylarını listeleyen, tüm temel olaylarının elde edildiği kuralları veya koşulları belirten.

Olayların cebiri

Şu ana kadar yalnızca deneyimin doğrudan sonuçları olan temel olaylardan bahsettik. Ancak tecrübe çerçevesinde temel olayların yanı sıra başka rastgele olaylardan da bahsedebiliriz.

Örnek 5. Zar atarken, sırasıyla bir, iki,..., altının düşmesi gibi temel olaylara ek olarak, başka olaylardan da bahsedebiliriz: (çift sayıdan düşme), (tek sayıdan düşme) , (üçün katı olan bir sayının çıkarılması), (4'ten küçük bir sayının çıkarılması) vb. Bu örnekte, belirtilen olaylar hariç sözlü görev, temel olayları listeleyerek belirtilebilir:

Temel olaylardan ve diğer olaylardan yeni olayların oluşumu, olaylar üzerindeki işlemler (veya eylemler) kullanılarak gerçekleştirilir.

Tanım.İki olayın çarpımı, deney sonucunda gerçekleşmesinden oluşan bir olaydır. Ve etkinlik , Ve olay, yani her iki olay da birlikte (aynı anda) meydana gelecektir.

Ürün işareti (nokta) sıklıkla atlanır:

Tanım.İki olayın toplamı, deney sonucunda gerçekleşmesinden oluşan bir olaydır. veya etkinlik , veya etkinlik , veya ikisi birlikte (aynı anda).

Her iki tanımda da bağlaçları bilinçli olarak vurguladık Ve Ve veya- Sorunları çözerken okuyucunun dikkatini konuşmanıza çekmek için. Eğer “ve” bağlacını telaffuz edersek, o zaman hakkında konuşuyoruz olayların meydana gelmesi hakkında; Eğer “veya” bağlacı telaffuz ediliyorsa olayların eklenmesi gerekir. Aynı zamanda, günlük konuşmada "veya" bağlacının sıklıkla şu ikisinden birini dışlamak anlamında kullanıldığını da not ediyoruz: "yalnızca veya yalnızca". Olasılık teorisinde böyle bir istisna varsayılmaz: ve , ve , ve bir olayın meydana geldiği anlamına gelir

Temel olaylar numaralandırılarak verilirse, karmaşık olaylar belirtilen işlemler kullanılarak kolayca elde edilebilir. Elde etmek için, her iki olaya ait tüm temel olayları bulmanız gerekir; eğer hiçbiri yoksa, o zaman Olayların Toplamını oluşturmak da kolaydır: iki olaydan herhangi birini alıp buna aşağıdaki temel olayları eklemeniz gerekir. birincisine dahil olmayan diğer olay.

Örnek 5'te elde ettiğimiz, özellikle

Tanıtılan işlemlere ikili denir çünkü iki olay için tanımlandı. Aşağıdaki tekli işlem (tek bir olay için tanımlanmış) büyük önem taşımaktadır: olaya denir zıt Belirli bir deneyimde olayın meydana gelmediği gerçeğinden oluşuyorsa olay. Tanımdan, her olayın ve onun karşıtının var olduğu açıktır. aşağıdaki özellikler: Girilen işlem çağrılır ek olaylarA.

Buradan, eğer temel olayların bir listesi verilirse, o zaman olayın spesifikasyonunu bilerek, uzaya ait olmayan tüm temel olayları, örneğin 5 olaydan oluştuğunu elde etmek kolaydır.

Parantez yoksa, işlemleri gerçekleştirirken aşağıdaki öncelik belirlenir: toplama, çarpma, toplama.

Böylece, tanıtılan operasyonların yardımıyla, temel olayların alanı, sözde olayları oluşturan diğer rastgele olaylarla doldurulur. olayların cebiri.

Örnek 6. Atıcı hedefe üç el ateş etti. Olayları göz önünde bulundurun = (atıcı hedefi vurduğunda i-inci atış), ben = 1,2,3.

Bu olaylardan bazı olaylar oluşturalım (karşıt olanları da unutmayalım). Uzun yorumlar yapmıyoruz; Okuyucunun bunları bağımsız olarak yürüteceğine inanıyoruz.

Olay B = (üç atışın tümü hedefi vurdu). Daha fazla ayrıntı: B = ( Ve Birinci, Ve ikinci, Veüçüncü atış hedefi vurdu). Kullanılan rakor Ve, bu nedenle olaylar çoğalır:

Aynı şekilde:

C = (atışların hiçbiri hedefe isabet etmedi)

E = (bir atış hedefe ulaştı)

D = (ikinci atışta hedefin vurulması) = ;

F = (iki atışla vurulan hedef)

N = (en az bir vuruş hedefi vuracaktır)

Bilindiği üzere matematikte büyük değer Analitik nesnelerin, kavramların ve formüllerin geometrik yorumuna sahiptir.

Olasılık teorisinde, deneyimi, rastgele olayları ve bunlar üzerindeki işlemleri sözde (geometrik yorumlama) görsel olarak temsil etmek uygundur. Euler-Venn diyagramları. İşin özü, her deneyimin belirli bir kareye puan atılmasıyla özdeşleştirilmesi (yorumlanması). Noktalar rastgele atılır, böylece tüm noktaların o karenin herhangi bir yerine düşme şansı eşit olur. Kare söz konusu deneyimin çerçevesini tanımlar. Deneyimin içindeki her olay, meydanın belirli bir alanıyla özdeşleşiyor. Başka bir ifadeyle bir olayın meydana gelmesi vurmak anlamına gelir. rastgele nokta harfle gösterilen alanın içinde Daha sonra olaylar üzerinde yapılan işlemler geometrik olarak kolayca yorumlanır (Şekil 2).

A + B: herhangi biri

Kuluçka

Şekil 2 a)'da, netlik sağlamak amacıyla, A olayı dikey gölgelemeyle, B olayı ise yatay gölgelemeyle vurgulanmıştır. Daha sonra çarpma işlemi çift taramaya karşılık gelir - olay, karenin çift taramayla kaplanan kısmına karşılık gelir. Üstelik o zaman bunlara uyumsuz olaylar denir. Buna göre, ekleme işlemi herhangi bir taramaya karşılık gelir - olay, karenin herhangi bir taramayla gölgelenen bir kısmı anlamına gelir - dikey, yatay ve çift. Şekil 2 b)'de olay gösterilmektedir; karenin gölgeli kısmına karşılık gelir - alana dahil olmayan her şey. Tanıtılan operasyonlar, bazıları aynı isimdeki operasyonlar için geçerli olan aşağıdaki temel özelliklere sahiptir. sayılar üzerinde, ancak belirli olanlar da var.

1 0. çarpımın değişme özelliği;

2 0. toplamanın değişmezliği;

3 0. çarpmanın ilişkilendirilebilirliği;

4 0. ek ilişkisellik,

5 0. Çarpmanın toplamaya göre dağılımı,

6 0. toplamanın çarpmaya göre dağılımı;

9 0 . de Morgan'ın dualite yasaları,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Örnek 7. Ivan ve Peter T saatlik bir zaman aralığında, örneğin (0,T) buluşmaya karar verdiler. Aynı zamanda toplantıya gelirken her birinin diğerini bir saatten fazla beklemeyeceği konusunda anlaştılar.

Bu örneği verelim geometrik yorumlama. Şunu belirtelim: İvan'ın toplantıya geliş zamanı; Peter'ın toplantıya varış zamanı. Kararlaştırıldığı gibi: 0 . O zaman koordinat sisteminde şunu elde ederiz: = Örneğimizde temel olayların uzayının bir kare olduğunu fark etmek kolaydır. 1

0 x karenin bu çizginin üzerinde yer alan kısmına karşılık gelir ve benzer şekilde ikinci eşitsizlik y≤x+'ye karşılık gelir ve; ve eğer tüm öğeler çalışmıyorsa çalışmaz; .Böylece De Morgan'ın ikinci dualite yasası: ne zaman gerçekleşir? paralel bağlantı unsurlar.

Yukarıdaki örnek, olasılık teorisinin neden fizikte, özellikle de gerçek teknik cihazların güvenilirliğinin hesaplanmasında yaygın olarak kullanıldığını göstermektedir.

GİRİİŞ

Pek çok şeyin bizim için anlaşılmaz olmasının nedeni kavramlarımızın zayıf olması değildir;
ama bunlar bizim kavram kapsamımıza dahil olmadığı için.
Kozma Prutkov

Ortaöğretimde matematik eğitiminin temel amacı eğitim kurumlarıöğrencilere matematiği bir dereceye kadar kullanan diğer program disiplinlerini incelemek, pratik hesaplamalar yapma yeteneği, mantıksal düşüncenin oluşumu ve gelişimi için gerekli bir dizi matematiksel bilgi ve beceri kazandırmaktır.

Bu çalışmada, program ve Orta Mesleki Eğitim Devlet Eğitim Standartları (Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı. M., 2002) tarafından sağlanan “Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistiklerin Temelleri” matematik bölümünün tüm temel kavramları yer almaktadır. ), tutarlı bir şekilde tanıtılıyor, çoğu kanıtlanmamış ana teoremler formüle ediliyor. Temel sorunlar ve bunları çözme yöntemleri ve bu yöntemleri pratik sorunların çözümüne uygulamak için kullanılan teknolojiler dikkate alınır. Sunuma ayrıntılı yorumlar ve çok sayıda örnek eşlik ediyor.

Metodolojik talimatlar, üzerinde çalışılan materyale ilk aşinalık sağlamak, derslerle ilgili not alırken, derse hazırlanmak için kullanılabilir. pratik dersler Edinilen bilgi, beceri ve yeteneklerin pekiştirilmesi. Ayrıca kılavuz, lisans öğrencileri için bir referans aracı olarak da faydalı olacak ve daha önce çalışılan konuları hızlı bir şekilde hatırlamalarına olanak tanıyacaktır.

Çalışmanın sonunda öğrencilerin öz kontrol modunda gerçekleştirebilecekleri örnekler ve görevler bulunmaktadır.

Yönergeler yarı zamanlı ve tam zamanlı öğrencilere yöneliktir.

TEMEL KAVRAMLAR

Olasılık teorisi, kitlesel rastgele olayların nesnel kalıplarını inceler. Gözlemsel sonuçların toplanması, tanımlanması ve işlenmesine yönelik yöntemlerin geliştirilmesiyle ilgilenen matematiksel istatistiğin teorik temelidir. Gözlemler yoluyla (testler, deneyler), yani. deneyim geniş anlamda kelimelerle, gerçek dünyanın fenomenlerinin bilgisi ortaya çıkar.

Onun pratik aktiviteler Sonucu tahmin edilemeyen, sonucu şansa bağlı olaylarla sıklıkla karşılaşıyoruz.

Rastgele bir olay, meydana gelme sayısının deneme sayısına oranıyla karakterize edilebilir; her birinde, tüm denemelerde aynı koşullar altında meydana gelebilir veya meydana gelmeyebilir.

Olasılık teorisi, rastgele olayların (olayların) incelendiği ve toplu olarak tekrarlandığında örüntülerin belirlendiği bir matematik dalıdır.

Matematiksel istatistik, konusu bilimsel temelli sonuçlar elde etmek ve kararlar vermek için istatistiksel verileri toplama, sistemleştirme, işleme ve kullanma yöntemlerinin incelenmesi olan bir matematik dalıdır.

Bu durumda istatistiksel veriler, incelenen nesnelerin bizi ilgilendiren özelliklerinin niceliksel özelliklerini temsil eden bir dizi sayı olarak anlaşılmaktadır. İstatistiksel veriler özel olarak tasarlanmış deney ve gözlemler sonucunda elde edilir.

İstatistiksel veriler doğası gereği birçok rastgele faktöre bağlıdır, bu nedenle matematiksel istatistik teorik temeli olan olasılık teorisi ile yakından ilgilidir.

I. OLASILIK. OLASILIKLARIN TOPLANMASI VE ÇARPLANMASI TEOREMLERİ

1.1. Kombinatoriğin temel kavramları

Kombinatorik adı verilen matematik dalında kümelerin dikkate alınması ve bu kümelerin elemanlarının çeşitli kombinasyonlarının bileşimi ile ilgili bazı problemler çözülmektedir. Örneğin 0, 1, 2, 3,: , 9 gibi 10 farklı sayıyı alıp bunların kombinasyonlarını yaparsak şunu elde ederiz: farklı sayılarörneğin 143, 431, 5671, 1207, 43 vb.

Bu kombinasyonlardan bazılarının yalnızca rakamların sırasına göre (örneğin, 143 ve 431), diğerlerinin - içerdikleri rakamlarda (örneğin, 5671 ve 1207) ve diğerlerinin de rakam sayısında farklılık gösterdiğini görüyoruz. (örneğin, 143 ve 43).

Böylece ortaya çıkan kombinasyonlar çeşitli koşulları karşılar.

Kompozisyon kurallarına bağlı olarak üç tür kombinasyon ayırt edilebilir: permütasyonlar, yerleşimler, kombinasyonlar.

Öncelikle konsepti tanıyalım faktöriyel.

1'den n'ye kadar olan tüm doğal sayıların çarpımına ne ad verilir? n-faktöriyel ve yaz.

Hesaplayın: a) ; B) ; V) .

Çözüm. A) .

b) O zamandan beri o zaman parantezlerin dışına çıkarabiliriz

Sonra alırız

V) .

Yeniden düzenlemeler.

Birbirinden yalnızca elemanların sırasına göre farklılık gösteren n adet elemanın birleşimine permütasyon denir.

Permütasyonlar sembolüyle gösterilir P n burada n, her permütasyona dahil edilen öğelerin sayısıdır. ( R- Fransızca bir kelimenin ilk harfi permütasyon- yeniden düzenleme).

Permütasyon sayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir

veya faktöriyel kullanarak:

Bunu hatırlayalım 0!=1 ve 1!=1.

Örnek 2. Altı farklı kitap bir rafa kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

Çözüm. Gerekli yol sayısı 6 elementin permütasyon sayısına eşittir, yani.

Yerleşimler.

Gönderen gönderiler M içindeki elementler N her birinde, elementlerin kendileri (en az bir tane) veya düzenlenme sırasına göre birbirlerinden farklı olan bu tür bileşiklere denir.

Yerleşimler sembolle gösterilir; M- mevcut tüm elemanların sayısı, N- her kombinasyondaki eleman sayısı. ( A- ilk harf Fransızca kelime ayarlama"yerleştirme, sıraya koyma" anlamına gelir.

Aynı zamanda inanılıyor ki nm.

Yerleşim sayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir

onlar. hepsinin sayısı olası yerleşimler itibaren M tarafından elemanlar Nürüne eşittir N en büyüğü olan ardışık tam sayılar M.

Bu formülü faktöriyel formda yazalım:

Örnek 3. Beş başvuru sahibi için üç kuponun çeşitli profillerdeki sanatoryumlara dağıtılması için kaç seçenek derlenebilir?

Çözüm. Gerekli seçenek sayısı, 3 öğenin 5 öğesinin yerleşim sayısına eşittir, yani.

Kombinasyonlar.

Kombinasyonlar aşağıdakilerin tüm olası kombinasyonlarıdır: M tarafından elemanlar N birbirinden en az bir öğe ile farklılık gösteren (burada M Ve N- doğal sayılar ve n m).

Kombinasyon sayısı M tarafından elemanlar N( ile gösterilir) İLE-Fransızca bir kelimenin ilk harfi kombinasyon- kombinasyon).

İÇİNDE genel durum sayısı M tarafından elemanlar N yerleşimlerin sayısına eşit M tarafından elemanlar N, permütasyon sayısına bölünür N elemanlar:

Yerleştirme ve permütasyon sayıları için faktöriyel formülleri kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek 4. 25 kişilik bir ekipte 4 kişiyi belli bir alanda çalışmak üzere ayırmanız gerekiyor. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm. Seçilen dört kişinin sırası önemli olmadığından bunu yapmanın yolları vardır.

İlk formülü kullanarak buluyoruz

Ayrıca problemleri çözerken kombinasyonların temel özelliklerini ifade eden aşağıdaki formüller kullanılır:

(tanım gereği ve varsayarlar);

1.2. Kombinatoryal problemleri çözme

Görev 1. Fakültede okutulan 16 konu bulunmaktadır. Pazartesi günü programınıza 3 konu koymanız gerekiyor. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm. 16 öğenin yerleşimini 3'e göre düzenleyebildiğiniz gibi, 16 öğeden üçünü planlamanın da birçok yolu vardır.

Görev 2. 15 nesneden 10 nesneyi seçmeniz gerekir. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

Görev 3. Yarışmaya dört takım katıldı. Koltukları aralarında dağıtmak için kaç seçenek mümkündür?

Problem 4. 80 asker ve 3 subay varsa, üç asker ve bir subaydan oluşan bir devriye kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Çözüm. Devriyedeki bir askeri seçebilirsiniz

yollar ve memurlar yollar. Herhangi bir subay, her bir asker ekibiyle gidebileceğinden, yalnızca belirli sayıda yol vardır.

Görev 5. Eğer biliniyorsa bulun.

O zamandan beri, alıyoruz

Bir kombinasyonun tanımı gereği şu şekildedir , . O. .

1.3. Rastgele bir olay kavramı. Olay türleri. Olayın olasılığı

Birkaç farklı sonucu olan herhangi bir eylem, olgu, gözlem, gerçekleştiğinde gerçekleştirilir. bu kompleksşartlar altında arayacağız test.

Bu eylemin veya gözlemin sonucuna denir. etkinlik .

Eğer olay verilen koşullar olabilir de olmayabilir de buna denir rastgele . Bir olayın olacağı kesinse buna denir güvenilir ve bunun açıkça gerçekleşemeyeceği durumda, - imkansız.

Olaylar denir uyumsuz , eğer her seferinde yalnızca bir tanesinin görünmesi mümkünse.

Olaylar denir eklem yeri Verilen koşullar altında bu olaylardan birinin meydana gelmesi, aynı test sırasında bir diğerinin meydana gelmesini dışlamıyorsa.

Olaylar denir zıt , test koşulları altında tek sonuçları olan bunlar uyumsuzsa.

Olaylar genellikle Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir: A, B, C, D, : .

Tam bir olaylar sistemi A 1 , A 2 , A 3 , : , An , belirli bir test sırasında en az birinin meydana gelmesi zorunlu olan bir dizi uyumsuz olaydır.

Tam bir sistem iki uyumsuz olaydan oluşuyorsa, bu tür olaylara zıt olaylar denir ve A ve .

Örnek. Kutuda 30 adet numaralandırılmış top bulunmaktadır. Aşağıdaki olaylardan hangilerinin imkansız, güvenilir veya aykırı olduğunu belirleyin:

numaralı bir top çıkardı (A);

çift sayılı bir top aldım (İÇİNDE);

tek sayılı bir top aldım (İLE);

numarasız bir top aldım (D).

Bunlardan hangisi tam bir grup oluşturur?

Çözüm . A- güvenilir olay; D- imkansız olay;

İçinde ve İLE- zıt olaylar.

Etkinlik grubunun tamamı aşağıdakilerden oluşur: A Ve D, V Ve İLE.

Bir olayın olasılığı bir ölçü olarak kabul edilir nesnel olasılık rastgele bir olayın meydana gelmesi.

1.4. Olasılığın klasik tanımı

Bir olayın meydana gelme objektif olasılığının ölçüsünü ifade eden sayıya ne denir? olasılık bu olay ve sembolüyle gösterilir R(A).

Tanım. Olayın olasılığı A saldırının lehine olan sonuçların sayısının oranı denir bu olayın A, numaraya N tüm sonuçlar (tutarsız, yalnızca mümkün ve eşit derecede mümkün), yani .

Bu nedenle, bir olayın olasılığını bulmak için, testin çeşitli sonuçlarını dikkate alarak tüm olası tutarsız sonuçları hesaplamak gerekir. N, ilgilendiğimiz sonuçların sayısını seçin ve oranı hesaplayın Mİle N.

Bu tanımdan aşağıdaki özellikler çıkar:

Herhangi bir testin olasılığı, negatif olmayan ve birini geçmeyen bir sayıdır.

Gerçekte, gerekli olayların sayısı m dahilindedir. Her iki parçayı da bölmek N, alıyoruz

2. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir çünkü .

3. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır çünkü .

Sorun 1. 1000 biletlik bir piyangoda 200 kazanan vardır. Bir bilet rastgele alınır. Bu biletin kazanma olasılığı nedir?

Çözüm. Farklı sonuçların toplam sayısı N=1000. Kazanmaya elverişli sonuçların sayısı m=200'dür. Formüle göre şunu elde ederiz:

Sorun 2. 18 parçadan oluşan bir partide 4 hatalı parça var. 5 parça rastgele seçilir. Bu 5 parçadan ikisinin bozuk olma olasılığını bulunuz.

Çözüm. Eşit derecede mümkün olan tüm bağımsız sonuçların sayısı N 18'e 5'lik kombinasyon sayısına eşittir;

A olayını destekleyen m sayısını sayalım. Rastgele alınan 5 parçadan 3'ü iyi, 2'si kusurlu olmalıdır. Mevcut 4 kusurlu parçadan iki kusurlu parçayı seçme yollarının sayısı, 4'e 2'lik kombinasyon sayısına eşittir:

Mevcut 14 kaliteli parçadan üç kaliteli parçayı seçme yollarının sayısı eşittir

Herhangi bir iyi parça grubu, herhangi bir kusurlu parça grubuyla birleştirilebilir; dolayısıyla toplam kombinasyon sayısı Mşuna eşittir:

A olayının gerekli olasılığı, bu olay için uygun m sonuçlarının sayısının eşit derecede olası tüm bağımsız sonuçların n sayısına oranına eşittir:

Miktar sonlu sayı olaylar, bunlardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.

İki olayın toplamı A+B sembolüyle gösterilir ve toplamı N A 1 +A 2 + : +A n sembolüyle olaylar.

Olasılık toplama teoremi.

Birbiriyle bağdaşmayan iki olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir.

Sonuç 1. A 1 , A 2 , : , A n olayları tam bir sistem oluşturuyorsa, bu olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir.

Sonuç 2. Zıt olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir.

Problem 1. 100 adet piyango bileti var. 5 biletin 20.000 ruble, 10 biletin 15.000 ruble, 15 biletin 10.000 ruble, 25 biletin 2.000 ruble kazandığı biliniyor. ve geri kalanı için hiçbir şey yok. Satın alınan biletin en az 10.000 ruble kazanma olasılığını bulun.

Çözüm. A, B ve C, satın alınan biletin sırasıyla 20.000, 15.000 ve 10.000 rubleye eşit bir kazanç elde etmesinden oluşan etkinlikler olsun. A, B ve C olayları uyumsuz olduğundan, o zaman

Görev 2. Açık yazışma departmanı teknik okul şehirlerden matematik sınavları alıyor A, B Ve İLE. Kabul olasılığı deneme çalışmasışehirden Aşehirden 0,6'ya eşit İÇİNDE- 0.1. Bir sonraki testin şehirden gelme olasılığını bulun İLE.

Olasılık teorisinin ortaya çıkışı M.Ö. 17. yüzyılın ortaları yüzyılda matematikçiler kumarbazlar tarafından ortaya atılan ve şimdiye kadar matematik alanında çalışılmayan problemlerle ilgilenmeye başladı. Bu problemlerin çözümü sürecinde olasılık ve olasılık gibi kavramlar matematiksel beklenti. Aynı zamanda, o zamanın bilim adamları - Huygens (1629-1695), Pascal (1623-1662), Fermat (1601-1665) ve Bernoulli (1654-1705) büyük rastgelelik temelinde net modellerin ortaya çıkabileceğine ikna olmuşlardı. olaylar. Ve yalnızca doğa biliminin durumu şu gerçeği ortaya çıkardı: kumar Uzun bir süre boyunca olasılık teorisi kavram ve yöntemlerinin oluşturulduğu neredeyse tek somut materyal olarak kalmaya devam ettiler. Bu durum aynı zamanda olasılık teorisinde ortaya çıkan problemlerin çözüldüğü resmi matematik aygıtına da damgasını vurdu: yalnızca temel aritmetik ve kombinatoryal yöntemlere indirgendi.

Doğa bilimlerinden ve sosyal uygulamalardan gelen ciddi talepler (gözlem hataları teorisi, atış teorisi sorunları, istatistik sorunları, öncelikle nüfus istatistikleri) bu ihtiyacın ortaya çıkmasına neden oldu. daha fazla gelişme olasılık teorisi ve daha gelişmiş bir analitik cihazın kullanımı. Gelişimde özellikle önemli rol analitik yöntemler Olasılık teorileri Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson (1781-1840) tarafından oynanmıştır. Biçimsel analitik açıdan bakıldığında, Öklid dışı geometrinin yaratıcısı Lobaçevski'nin (1792-1856) çalışması, bir küre üzerindeki ölçümlerdeki hatalar teorisine adanmıştır ve evrene hakim bir geometrik sistem kurma hedefiyle gerçekleştirilmiştir. , aynı yöne bitişiktir.

Olasılık teorisi, matematiğin diğer dalları gibi, uygulamanın ihtiyaçlarından geliştirildi: özet formu kitlesel nitelikteki rastgele olayların doğasında bulunan kalıpları yansıtır. Bu modeller özel olarak oynanır önemli rol fizikte ve doğa bilimlerinin diğer alanlarında, çeşitli teknik disiplinlerde, ekonomide, sosyolojide, biyolojide. Seri ürünler üreten işletmelerin yaygın gelişimi ile bağlantılı olarak, olasılık teorisinin sonuçları yalnızca halihazırda üretilmiş ürünleri reddetmek için değil, aynı zamanda üretim sürecinin kendisini organize etmek için de (üretimde istatistiksel kontrol) kullanılmaya başlandı.

Olasılık teorisinin temel kavramları

Olasılık teorisi, rastgele olayları ve rastgele değişkenleri yöneten çeşitli kalıpları açıklar ve araştırır. Etkinlik gözlem veya deneyim sonucu ifade edilebilecek herhangi bir gerçektir. Gözlem veya deneyim, bir olayın meydana gelebileceği belirli koşulların farkına varılmasıdır.

Deneyim, söz konusu koşulların bilinçli olarak yaratıldığı anlamına gelir. Gözlem sırasında, bu koşulların gözlem kompleksi onu yaratmaz veya etkilemez. Ya doğanın güçleri ya da diğer insanlar tarafından yaratılmıştır.

Olayların olasılıklarını belirlemek için bilmeniz gerekenler

İnsanların kendilerini gözlemlediği veya yarattığı tüm olaylar şu şekilde ayrılır:

güvenilir olaylar;
imkansız olaylar;
rastgele olaylar.

Güvenilir etkinlikler her zaman belirli koşullar yaratıldığında ortaya çıkar. Örneğin çalışırsak bunun için bir ödül alırız; sınavları geçersek ve yarışmayı geçersek öğrenci sayısına dahil olacağımızdan emin olabiliriz. Fizik ve kimyada güvenilir olaylar gözlemlenebilir. İktisatta güvenilir olaylar mevcut toplumsal yapı ve mevzuatla ilişkilendirilir. Örneğin, bir bankaya para yatırırsak ve onu belirli bir süre içinde almak istediğimizi belirtirsek parayı alırız. Bu güvenilir bir olay olarak kabul edilebilir.

İmkansız olaylar belli koşullar yaratılmışsa kesinlikle oluşmaz. Örneğin sıcaklık artı 15 santigrat derece olursa su donmaz, elektrik olmadan üretim yapılmaz.

Rastgele Etkinlikler Belirli bir dizi koşul gerçekleştiğinde bunlar oluşabilir veya oluşmayabilir. Örneğin parayı bir kez atarsak, arma düşebilir veya düşmeyebilir, bir piyango bileti kazanabilir veya kazanmayabilir, üretilen bir ürün kusurlu olabilir veya olmayabilir. Kusurlu bir ürünün ortaya çıkması, uygun ürünlerin üretilmesinden daha nadir görülen rastgele bir olaydır.

Rastgele olayların beklenen gerçekleşme sıklığı olasılık kavramıyla yakından ilgilidir. Rastgele olayların oluşma ve oluşmama kalıpları olasılık teorisi ile incelenir.

Eğer kompleks gerekli koşullar yalnızca bir kez uygulanırsa, rastgele olay hakkında yeterli bilgi alamıyoruz çünkü gerçekleşebilir veya gerçekleşmeyebilir. Bir dizi koşul birçok kez uygulanırsa bilinen modeller ortaya çıkar. Örneğin bir mağazada bir sonraki müşterinin hangi kahve makinesine ihtiyaç duyacağını asla bilmek mümkün değildir, ancak uzun süredir en çok talep gören kahve makinelerinin markaları biliniyorsa bu verilere dayanarak Talebi karşılamak için üretim veya tedariki organize etmek.

Kitlesel rastgele olayları yöneten kalıpların bilgisi, bu olayların ne zaman gerçekleşeceğini tahmin etmemizi sağlar. Örneğin, daha önce de belirtildiği gibi, yazı tura atmanın sonucunu önceden tahmin etmek imkansızdır, ancak yazı tura birçok kez atılırsa armanın düşeceğini tahmin etmek mümkündür. Hata küçük olabilir.

Olasılık teorisi yöntemleri yaygın olarak kullanılmaktadır. çeşitli endüstriler doğa bilimleri, teorik fizik, jeodezi, astronomi, teori otomatik kontrol, hata gözlem teorisi ve diğer birçok teorik ve pratik bilimler. Olasılık teorisi, üretim planlama ve organizasyonda, ürün kalite analizinde, teknolojik süreçler, sigorta, nüfus istatistikleri, biyoloji, balistik ve diğer endüstriler.

Rastgele olaylar genellikle belirtilir büyük harflerle Latin alfabesi A, B, C vb.

Rastgele olaylar şunlar olabilir:

uyumsuz;
eklem yeri.

A, B, C... olaylarına denir uyumsuz , eğer bir test sonucunda bu olaylardan biri meydana gelebiliyorsa ancak iki veya daha fazla olay meydana gelemiyorsa.

Rastgele bir olayın meydana gelmesi başka bir olayın meydana gelmesini engellemiyorsa bu tür olaylara denir. eklem yeri . Örneğin, bir taşıma bandından başka bir parça çıkarılırsa ve A olayı "parçanın standardı karşıladığı" ve B olayı "parçanın standardı karşılamadığı" anlamına gelirse, bu durumda A ve B uyumsuz olaylardır. C olayı “II. derecenin bir kısmının alındığı” anlamına geliyorsa bu olay A olayıyla ortaktır ancak B olayıyla bağdaşmaz.

Her gözlemde (testte) uyumsuz rastgele olaylardan yalnızca birinin meydana gelmesi gerekiyorsa, bu olaylar olayların tam seti (sistemi) .

Güvenilir bir olay tam bir olaylar dizisinden en az bir olayın meydana gelmesidir.

Olayların tamamını oluşturan olaylar ise ikili tutarsız O zaman gözlem sonucunda bu olaylardan yalnızca biri meydana gelebilir. Örneğin, bir öğrencinin iki test problemini çözmesi gerekir. Aşağıdaki olaylardan biri ve yalnızca biri mutlaka gerçekleşecektir:

birinci sorun çözülecek, ikinci sorun çözülmeyecek;
ikinci sorun çözülecek, birinci sorun çözülmeyecek;
her iki sorun da çözülecek;
sorunların hiçbiri çözülmeyecek.

Bu olaylar şekil tam bir uyumsuz olaylar dizisi .

Olayların tamamı yalnızca iki uyumsuz olaydan oluşuyorsa, bunlara denir. karşılıklı zıt veya alternatif olaylar.

Olayın karşısındaki olay ile gösterilir. Örneğin, bir yazı tura atılması durumunda, değer () veya arması () görünebilir.

Olaylar denir eşit derecede mümkün , eğer hiçbirinin nesnel avantajları yoksa. Bu tür olaylar aynı zamanda olayların tamamını oluşturur. Bu, gözlem veya test sonucunda aşağıdakilerden en az birinin mutlaka gerçekleşmesi gerektiği anlamına gelir. olası olaylar.

Örneğin, bir yazı tura atıldığında mezhep ve amblemin kaybolması, basılı bir metin sayfasında 0, 1, 2, 3 ve 3'ten fazla hatanın bulunmasıyla tam bir olaylar grubu oluşur.

Olasılığın tanımları ve özellikleri

Olasılığın klasik tanımı. Bir fırsat veya olumlu bir durum, belirli bir dizi koşulun uygulanması sırasında bir olayın meydana geldiği durumdur. A olmak. Olasılığın klasik tanımı, uygun durum veya fırsatların sayısının doğrudan hesaplanmasını içerir.

Klasik ve istatistiksel olasılık. Olasılık formülleri: klasik ve istatistiksel

Olayın olasılığı A Bu olay için elverişli fırsatların sayısının eşit derecede mümkün olan tüm uyumsuz olayların sayısına oranını çağırın N tek bir deneme veya gözlem sonucunda ortaya çıkabilir. Olasılık formülü olaylar A:

Bir olayın hangi olasılığından bahsettiğimiz tamamen açıksa, olasılık küçük bir harfle gösterilir. P, olay tanımını belirtmeden.

Olasılığı hesaplamak için klasik çözünürlüklü Eşit derecede mümkün olan tüm uyumsuz olayların sayısını bulmak ve bunlardan kaçının olayın tanımına uygun olduğunu belirlemek gerekir. A.

Örnek 1. Bir zar atıldığında 5 sayısının gelme olasılığını bulunuz.

Çözüm. Altı yüzün de zirveye çıkma şansının aynı olduğu biliniyor. 5 rakamı yalnızca bir tarafta işaretlenmiştir. Eşit derecede olası tüm uyumsuz olayların sayısı 6'dır ve bunlardan yalnızca bir tanesi 5 sayısıdır ( M= 1). Bu, 5 sayısını yuvarlamanın istenen olasılığı anlamına gelir.

Örnek 2. Bir kutuda aynı büyüklükte 3 kırmızı ve 12 beyaz top vardır. Bir top bakmadan alındı. Kırmızı topun alınma olasılığını bulunuz.

Çözüm. Gerekli olasılık

Olasılıkları kendiniz bulun ve ardından çözümü görün

Örnek 3. Zarlar atılır. Etkinlik B- çift sayıyı yuvarlamak. Bu olayın olasılığını hesaplayınız.

Örnek 5. Bir torbada 5 beyaz ve 7 siyah top vardır. Rastgele 1 top çekiliyor. Etkinlik A- beyaz bir top çekilir. Etkinlik B- siyah bir top çekiliyor. Bu olayların olasılıklarını hesaplayınız.

Klasik olasılık da denir önceki olasılıkÇünkü test veya gözlem başlamadan önce hesaplanır. Klasik olasılığın a priori doğasından şu sonuç çıkar: ana dezavantaj: yalnızca nadir durumlarda, gözlem başlamadan önce, olumlu olaylar da dahil olmak üzere eşit derecede olası tüm uyumsuz olayları hesaplamak mümkündür. Bu tür fırsatlar genellikle oyunlara benzer durumlarda ortaya çıkar.

Kombinasyonlar. Olayların sırası önemli değilse olası olayların sayısı kombinasyon sayısı olarak hesaplanır:

Örnek 6. Grupta 30 öğrenci bulunmaktadır. Üç öğrenci bir bilgisayar ve projektör alıp getirmek için bilgisayar bilimleri bölümüne gitmelidir. Belirli üç öğrencinin bunu yapma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. Olası olayların sayısını formül (2) kullanarak hesaplıyoruz:

Belirli üç öğrencinin bölüme gitme olasılığı:

Örnek 7. 10 adet satıldı cep telefonları. 3 tanesinde arıza var. Alıcı 2 telefon seçti. Seçilen her iki telefonun da kusurlu olma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. Eşit derecede olası tüm olayların sayısı formül (2) kullanılarak bulunur: