Doğrusal uzayların alt uzaylarına örnekler. Vektör uzayı

herhangi bir şekilde doğrusal uzay böyle bir alt kümeyi tanımlamak mümkündür vektörler, operasyonlara göre kendisi doğrusal bir uzaydır. Bu yapılabilir çeşitli şekillerde ve bu tür alt kümelerin yapısı doğrusal uzayın kendisi hakkında önemli bilgiler taşır.

Tanım 2.1. Alt küme doğrusal uzay isminde doğrusal altuzay, aşağıdaki iki koşul karşılanırsa:

Tanım 2.1 aslında doğrusal bir altuzayın herhangi bir şey olduğunu söyler. alt küme verilen doğrusal uzay, nispeten kapalı doğrusal işlemler, onlar. bu alt kümeye ait vektörlere doğrusal işlemler uygulamak, alt kümenin dışındaki sonucu vermez. Doğrusal alt uzayın olduğunu gösterelim. N bağımsız bir nesne olarak, ortamdaki doğrusal uzayda belirtilen işlemlere göre doğrusal bir alandır. Aslında bu işlemler kümenin herhangi bir elemanı için ve dolayısıyla alt kümenin elemanları için tanımlanır. N. Tanım 2.1 aslında şunu gerektirir: N operasyonların sonucu da aitti H. Bu nedenle Madde 1'de belirtilen işlemler daha dar bir kümedeki işlemler olarak değerlendirilebilir. H. Setteki bu işlemler için N doğrusal uzay aksiyomları a)-b) ve e)-h), 'de geçerli olduklarından dolayı sağlanır. Ek olarak, Geriye kalan iki aksiyom da karşılanmıştır, çünkü Tanım 2.1'e göre şu durumda:

1) ve 0- sıfır vektör V N;

2) .

Herhangi bir doğrusal uzayda her zaman iki doğrusal alt uzay vardır: doğrusal uzayın kendisi Ve boş alt uzay {0}, tek bir elementten oluşan 0. Bu doğrusal alt uzaylara denir senin değil, diğer tüm doğrusal altuzaylar çağrılırken sahip olmak. Uygun doğrusal alt uzaylara örnekler verelim.

Örnek 2.1.Üç boyutlu uzayın serbest vektörlerinden oluşan doğrusal bir uzayda, doğrusal bir alt uzay şu şekilde oluşturulur:

a) belirli bir düzleme paralel tüm vektörler;

b) belirli bir çizgiye paralel olan tüm vektörler.

Bu, aşağıdaki değerlendirmelerden kaynaklanmaktadır. Serbest vektörlerin toplamının tanımından iki vektörün ve bunların toplamlarının aynı düzlemde olduğu sonucu çıkar (Şekil 2.1, a). Bu nedenle, eğer ve belirli bir düzleme paralelse, bunların toplamı aynı düzleme paralel olacaktır. Bu, a) durumu için Tanım 2.1'in 1) koşulunun karşılandığını ortaya koymaktadır. Vektör bir sayı ile çarpılırsa sonuç orijinaline eşdoğrusal bir vektör olur (Şekil 2.1,6). Bu, Tanım 2.1'in 2) koşulunun karşılandığını kanıtlar. Durum b) benzer şekilde gerekçelendirilmiştir.

Doğrusal uzay, doğrusal bir alt uzayın ne olduğunun görsel bir temsilini verir. Aslında uzayda belli bir noktayı sabitliyoruz. O zaman bu noktadan geçen farklı düzlemler ve farklı düz çizgiler, farklı doğrusal altuzaylara karşılık gelecektir (Şekil 2.2).

Başka uygun alt uzayın olmadığı o kadar açık değildir. Doğrusal bir alt uzayda ise N sıfırdan farklı vektör yoktur, o halde N - sıfır doğrusal alt uzay, ki bu uygunsuz. Eğer içindeyse N sıfır olmayan bir vektördür ve herhangi iki vektör N eşdoğrusal ise, bu doğrusal alt uzayın tüm vektörleri sabit bir noktadan geçen bir doğruya paraleldir. Buradan, N b) durumunda açıklanan doğrusal alt uzaylardan biriyle çakışır. Eğer içindeyse N Doğrusal olmayan iki vektör varsa ve herhangi üç vektör eş düzlemliyse, bu tür bir doğrusal alt uzayın tüm vektörleri sabit bir noktadan geçen bir düzleme paraleldir. Bu a) durumudur. Doğrusal altuzayı içeri alalım N eş düzlemli olmayan üç vektör vardır. Sonra oluşurlar temel V. Herhangi bir serbest vektör şu şekilde temsil edilebilir: doğrusal kombinasyon bu vektörler. Bu, tüm serbest vektörlerin doğrusal alt uzaya düştüğü anlamına gelir N, ve bu nedenle ile çakışıyor. Bu durumda uygunsuz bir doğrusal altuzay elde ederiz. Dolayısıyla tüm özaltuzaylar sabit bir noktadan geçen düzlemler veya düz çizgiler olarak temsil edilebilir.

Örnek 2.2. Herhangi bir çözüm homojen sistem doğrusal cebirsel denklemler (SLEA) N değişkenler bir vektör olarak düşünülebilir doğrusal aritmetik uzaylar . Tüm bu tür vektörlerin kümesi doğrusal bir altuzaydır. Aslında homojen bir SLAE'nin çözümleri bileşen bazında toplanabilir ve şu şekilde çarpılabilir: gerçek sayılar yani 'den vektör ekleme kurallarına göre. Operasyonun sonucu yine homojen bir SLAE çözümü olacaktır. Bu, doğrusal bir alt uzayı tanımlamak için her iki koşulun da karşılandığı anlamına gelir.

Denklemin bir dizi çözümü vardır; doğrusal alt uzay c.Fakat bu aynı denklem dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemin denklemi olarak da düşünülebilir. Düzlem orijinden geçer ve düzlemdeki tüm noktaların yarıçap vektörleri doğrusal uzayda iki boyutlu bir alt uzay oluşturur.

Homojen bir SLAE'nin çözüm kümesi

aynı zamanda doğrusal bir altuzay oluşturur. Aynı zamanda bu sistem şu şekilde de düşünülebilir. doğrunun genel denklemleri uzayda, bazı dikdörtgen koordinat sistemlerinde belirtilir. Bu çizgi orijinden geçer ve tüm noktalarının yarıçap vektörleri kümesi, içinde tek boyutlu bir altuzay oluşturur.

Örnek 2.3. Mertebeden kare matrislerin doğrusal uzayında N doğrusal alt uzay şu şekilde oluşturulur:

a) tüm simetrik matrisler;

b) tüm çarpık simetrik matrisler;

c) tüm üst (alt) üçgen matrisler.

Bu tür matrisleri toplarken veya bir sayıyla çarptığımızda aynı türden bir matris elde ederiz. Buna karşılık, tekil matrislerin alt kümesi doğrusal bir alt uzay değildir, çünkü iki tekil matrisin toplamı tekil olmayan bir matris olabilir:

Örnek 2.4. Segment üzerinde sürekli fonksiyonların doğrusal uzayında, aşağıdaki doğrusal alt uzaylar ayırt edilebilir:

a) bir aralıkta sürekli olan ve (0,1) aralığında sürekli türevlenebilen bir dizi fonksiyon (bu ifade türevlenebilir fonksiyonların özelliklerine dayanmaktadır: türevlenebilir fonksiyonların toplamı türevlenebilir bir fonksiyondur, türevlenebilir bir fonksiyonun çarpımıdır) bir sayıya göre fonksiyon türevlenebilir bir fonksiyondur);

b) tüm polinomların kümesi;

c) birçok dereceden yüksek olmayan tüm polinomlar N.

Bir V doğrusal uzayının boş olmayan bir alt kümesi L olarak adlandırılır doğrusal alt uzay uzay V eğer

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(altuzay toplama işlemine göre kapalıdır);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in L ve herhangi bir sayı \lambda (alt uzay, bir vektörün bir sayı ile çarpılması işlemine göre kapalıdır).

Doğrusal bir alt uzayı belirtmek için L\triangleleft V gösterimini kullanacağız ve kısa olması açısından “doğrusal” kelimesini çıkaracağız.

Notlar 8.7

1. Tanımdaki 1 ve 2 numaralı koşullar tek bir koşulla değiştirilebilir: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in L ve herhangi bir sayı \lambda ve \mu . Tabii burada ve tanımda ne var hakkında konuşuyoruz O keyfi sayılar V uzayının tanımlandığı sayı alanından.

2. Herhangi bir V doğrusal uzayında iki doğrusal alt uzay vardır:

a) V uzayının kendisi, yani V\üçgensol V ;

b) bir taneden oluşan sıfır alt uzayı \(\mathbf(o)\) sıfır vektör uzay V, yani . Bu altuzaylara uygun olmayanlar denir ve geri kalanların hepsine uygun denir.

3. Bir V doğrusal uzayının herhangi bir alt uzayı L, onun alt kümesidir: L\triangleleft V~\Rightarrow~L\subset V, ancak her M\altküme V alt kümesi doğrusal bir altuzay değildir, çünkü doğrusal işlemlere göre kapalı olmadığı ortaya çıkabilir.

4. Bir V doğrusal uzayının alt uzayı L'nin kendisi, V uzayındaki gibi vektörlerin toplanması ve bir vektörün bir sayı ile çarpılması işlemlerinin aynısını içeren bir doğrusal uzaydır, çünkü 1-8 aksiyomları onlar için karşılanmıştır. Dolayısıyla alt uzayın boyutundan, temelinden vs. bahsedebiliriz.

5. V doğrusal uzayının herhangi bir L alt uzayının boyutu, uzayın boyutunu aşmaz V\iki nokta üst üste\,\dim(L)\leqslant \dim(V). Eğer L\triangleleft V alt uzayının boyutu sonlu boyutlu uzay V'nin boyutuna eşitse (\dim(L)=\dim(V)), o zaman altuzay uzayın kendisiyle çakışır: L=V.

Bu, Teorem 8.2'den (bir vektörler sisteminin bir tabana tamamlanmasıyla ilgili) kaynaklanmaktadır. Aslında, L alt uzayını temel alarak onu V uzayının tabanına tamamlayacağız. Eğer bu mümkünse, \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Doğrusal bir V uzayının herhangi bir M alt kümesi için, doğrusal gövde, V'nin bir alt uzayıdır ve M\altküme \operatöradı(Lin)(M)\triangleleft V.

Aslında, eğer M=\varnothing (boş küme), o zaman tanım gereği \operatöradı(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\) yani sıfır alt uzayıdır ve \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangleleft V. M\ne\varhiçbir şey olsun. kümesinin olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. \operatöradı(Lin)(M) elemanlarını toplama ve elemanlarını bir sayıyla çarpma işlemlerine göre kapalıdır. Doğrusal kabuğun elemanlarının olduğunu hatırlayın \operatöradı(Lin)(M) M'den vektörlerin doğrusal kombinasyonları olarak hizmet eder. Vektörlerin doğrusal kombinasyonlarının doğrusal birleşimi bunların doğrusal birleşimi olduğundan, 1. noktayı dikkate alarak şu sonuca varırız: \operatöradı(Lin)(M) V'nin bir alt uzayıdır, yani \operatöradı(Lin)(M)\triangleleft V. Etkinleştirme M\altküme \operatöradı(Lin)(M)- açıktır, çünkü M'deki herhangi bir \mathbf(v)\ vektörü 1\cdot\mathbf(v) doğrusal kombinasyonu olarak temsil edilebilir, yani bir kümenin elemanı olarak \operatöradı(Lin)(M).

7. Doğrusal kabuk \operatöradı(Lin)(L) L\triangleleft V altuzayı L altuzayı ile çakışır, yani. .

Aslında, L doğrusal altuzayı vektörlerinin tüm olası doğrusal kombinasyonlarını içerdiğinden, o zaman \operatöradı(Lin)(L)\altküme L. Zıt dahil etme (L\altküme \operatöradı(Lin)(L)) 6. noktadan itibaren devam eder. Bu şu anlama gelir: \operatöradı(Lin)(L)=L.

Doğrusal alt uzay örnekleri

Örnekleri daha önce ele alınan doğrusal uzayların bazı altuzaylarını gösterelim. Önemsiz durumlar dışında, doğrusal bir uzayın tüm altuzaylarını listelemek imkansızdır.

1. V uzayının bir sıfır vektöründen oluşan \(\mathbf(o)\) uzayı bir altuzaydır, yani \(\mathbf(o)\)\triangleleft V.

2. Daha önce olduğu gibi, V_1,\,V_2,\,V_3'ün sırasıyla uzayda düz bir çizgi, düzlem üzerinde vektörler (yönlendirilmiş parçalar) kümesi olmasına izin verin. Eğer çizgi düzleme aitse, o zaman V_1\triangleleft V_2\triangleleft V_3. Aksine, birim vektörler kümesi doğrusal bir altuzay değildir, çünkü bir vektörü bire eşit olmayan bir sayıyla çarptığımızda kümeye ait olmayan bir vektör elde ederiz.

3. N boyutlu aritmetik uzayı \mathbb(R)^n'de, formun “yarım sıfır” sütunlarından oluşan L kümesini düşünün x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^T son (n-m) elemanları sıfıra eşit olacak şekilde. "Yarım sıfır" sütunların toplamı aynı türden bir sütundur, yani. L'de toplama işlemi kapalıdır. Bir "yarım sıfır" sütununu bir sayıyla çarpmak, "yarım sıfır" sütununu verir; bir sayıyla çarpma işlemi L'de kapalıdır. Bu yüzden L\triangleleft\mathbb(R)^n ve \dim(L)=m . Buna karşılık, \mathbb(R)^n sıfır olmayan sütunların alt kümesi doğrusal bir altuzay değildir, çünkü sıfırla çarpma, söz konusu kümeye ait olmayan bir sıfır sütunu üretir. Diğer \mathbb(R)^n alt uzaylarının örnekleri bir sonraki paragrafta verilmiştir.

4. n bilinmeyenli homojen bir denklem sisteminin çözüm uzayı \(Ax=o\), n boyutlu aritmetik uzayı \mathbb(R)^n'nin bir alt uzayıdır. Bu alt uzayın boyutu sistem matrisi tarafından belirlenir: \dim\(Ax=o\)=n-\operatöradı(rg)A.

Homojen olmayan bir sistemin (b\ne o için) çözüm kümesi \(Ax=b\) bir \mathbb(R)^n alt uzayı değildir, çünkü iki çözümün toplamı homojen değildir; sistem aynı sisteme çözüm olmayacaktır.

5. n mertebeden kare matrislerin M_(n\times n) uzayında iki alt kümeyi düşünün: simetrik matrisler kümesi ve M_(n\çarpı n)^(\text(kos))çarpık simetrik matrisler. Simetrik matrislerin toplamı simetrik bir matristir, yani. ekleme işlemi kapalı M_(n\çarpı n)^(\text(sim)). Simetrik bir matrisin bir sayıyla çarpılması da simetriyi bozmaz; bir matrisi bir sayıyla çarpma işlemi kapalıdır M_(n\çarpı n)^(\text(sim)). Sonuç olarak, simetrik matrisler kümesi, kare matrislerin uzayının altındadır, yani. M_(n\times n)^(\text(sim))\triangleleft M_(n\times n). Bu alt uzayın boyutunu bulmak zor değil. Standart temel şunlardan oluşur: ana köşegen üzerinde sıfırdan farklı (bire eşit) tek öğeli matrisler: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, ayrıca ana köşegene göre simetrik olan iki sıfır olmayan (bire eşit) öğeye sahip matrisler: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i, i+1,\ldots, n. Toplamda temel olacak (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matrisler Buradan, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). Benzer şekilde bunu anlıyoruz M_(n\times n)^(\text(kos))\triangleleft M_(n\times n) Ve \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

N'inci dereceden tekil kare matrisler kümesi bir M_(n\times n) alt uzayı değildir, çünkü iki tekil matrisin toplamı tekil olmayan bir matris olarak ortaya çıkabilir, örneğin M_(2\ kez2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. Gerçek katsayılı P(\mathbb(R)) polinomları uzayında, doğal bir altuzaylar zincirini gösterebiliriz

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

Çift polinomlar kümesi (p(-x)=p(x)) P(\mathbb(R))'nin doğrusal bir alt uzayıdır, çünkü çift polinomların toplamı ve bir çift polinomun bir sayıya göre çarpımı çift olacaktır. polinomlar. Tek polinomlar kümesi (p(-x)=-p(x)) aynı zamanda doğrusal bir uzaydır. Gerçek kökleri olan polinomlar kümesi doğrusal bir altuzay değildir, çünkü bu tür iki polinomun eklenmesi gerçek kökleri olmayan bir polinomla sonuçlanabilir, örneğin, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. C(\mathbb(R)) uzayında alt uzayların doğal zincirini belirtebilirsiniz:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

P(\mathbb(R)) içindeki polinomlar \mathbb(R) üzerinde tanımlanan fonksiyonlar olarak düşünülebilir. Polinom herhangi bir mertebeden türevleriyle birlikte sürekli bir fonksiyon olduğundan şunu yazabiliriz: P(\mathbb(R))\triangleleft C(\mathbb(R)) Ve P_n(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). Trigonometrik binomların uzayı T_(\omega) (\mathbb(R)) fonksiyonun herhangi bir mertebeden türevleri olduğundan, C^m(\mathbb(R))'nin bir alt uzayıdır f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t süreklidir, yani T_(\omega)(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m\in \mathbb(N). Sürekli periyodik fonksiyonlar kümesi C(\mathbb(R))'nin bir alt uzayı değildir, çünkü iki periyodik fonksiyonun toplamı periyodik olmayan bir fonksiyon olarak ortaya çıkabilir, örneğin, \sin(t)+\sin(\pi t).

Bir V doğrusal uzayının boş olmayan bir alt kümesi L olarak adlandırılır doğrusal alt uzay uzay V eğer

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(altuzay toplama işlemine göre kapalıdır);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in L ve herhangi bir sayı \lambda (alt uzay, bir vektörün bir sayı ile çarpılması işlemine göre kapalıdır).

Doğrusal bir alt uzayı belirtmek için L\triangleleft V gösterimini kullanacağız ve kısa olması açısından “doğrusal” kelimesini çıkaracağız.

Notlar 8.7

1. Tanımdaki 1 ve 2 numaralı koşullar tek bir koşulla değiştirilebilir: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in L ve herhangi bir sayı \lambda ve \mu . Elbette burada ve tanımda, üzerinde V uzayının tanımlandığı sayı alanındaki keyfi sayılardan bahsediyoruz.

2. Herhangi bir V doğrusal uzayında iki doğrusal alt uzay vardır:

a) V uzayının kendisi, yani

V\üçgensol V ;

b) V uzayının bir sıfır vektöründen oluşan sıfır alt uzayı \(\mathbf(o)\) , yani . Bu altuzaylara uygun olmayanlar denir ve geri kalanların hepsine uygun denir. 3. Bir V doğrusal uzayının herhangi bir alt uzayı L, onun alt kümesidir: L\triangleleft V~\Rightarrow~L\subset V

, ancak her M\altküme V alt kümesi doğrusal bir altuzay değildir, çünkü doğrusal işlemlere göre kapalı olmadığı ortaya çıkabilir.

5. 4. Bir V doğrusal uzayının alt uzayı L'nin kendisi, V uzayındaki gibi vektörlerin toplanması ve bir vektörün bir sayı ile çarpılması işlemlerinin aynısını içeren bir doğrusal uzaydır, çünkü 1-8 aksiyomları onlar için karşılanmıştır. Dolayısıyla alt uzayın boyutundan, temelinden vs. bahsedebiliriz. V doğrusal uzayının herhangi bir L alt uzayının boyutu, uzayın boyutunu aşmaz. Eğer L\triangleleft V alt uzayının boyutu sonlu boyutlu uzay V'nin (\dim(L)=\dim(V)) boyutuna eşitse, o zaman alt uzay uzayın kendisiyle çakışır: L=V .

Bu, Teorem 8.2'den (bir vektör sisteminin bir tabana tamamlanmasıyla ilgili) kaynaklanmaktadır. Aslında, L alt uzayını temel alarak onu V uzayının tabanına tamamlayacağız. Eğer bu mümkünse, \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Doğrusal bir V uzayının herhangi bir M alt kümesi için, doğrusal gövde, V'nin bir alt uzayıdır ve M\altküme \operatöradı(Lin)(M)\triangleleft V.

7. Doğrusal kabuk \operatöradı(Lin)(L) L\triangleleft V altuzayı L altuzayıyla çakışır, yani. .

Doğrusal alt uzay örnekleri

Örnekleri daha önce ele alınan doğrusal uzayların bazı altuzaylarını gösterelim. Önemsiz durumlar dışında, doğrusal bir uzayın tüm altuzaylarını listelemek imkansızdır.

1. V uzayının bir sıfır vektöründen oluşan \(\mathbf(o)\) uzayı bir alt uzaydır, yani \(\mathbf(o)\)\triangleleft V.

3. N boyutlu aritmetik uzayı \mathbb(R)^n'de, formun “yarım sıfır” sütunlarından oluşan L kümesini düşünün x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^T son (n-m) elemanları sıfıra eşit olacak şekilde. "Yarı sıfır" sütunların toplamı aynı türden bir sütundur, yani. toplama işlemi L'de kapalıdır. Bir "yarım sıfır" sütununu bir sayıyla çarpmak, "yarım sıfır" sütununu verir; bir sayıyla çarpma işlemi L'de kapalıdır. Bu yüzden L\triangleleft\mathbb(R)^n ve \dim(L)=m . Buna karşılık, \mathbb(R)^n sıfır olmayan sütunların alt kümesi doğrusal bir altuzay değildir, çünkü sıfırla çarpma, söz konusu kümeye ait olmayan bir sıfır sütunu üretir. Diğer \mathbb(R)^n alt uzaylarının örnekleri bir sonraki paragrafta verilmiştir.

5. n mertebesinden kare matrislerin M_(n\times n) uzayında, iki alt kümeyi düşünün: simetrik matrisler kümesi ve M_(n\çarpı n)^(\text(kos))çarpık simetrik matrisler. Simetrik matrislerin toplamı simetrik bir matristir, yani. ekleme işlemi kapalı M_(n\çarpı n)^(\text(sim)). Simetrik bir matrisin bir sayıyla çarpılması da simetriyi bozmaz; bir matrisi bir sayıyla çarpma işlemi kapalıdır M_(n\çarpı n)^(\text(sim)). Sonuç olarak, simetrik matrisler kümesi, kare matrislerin uzayının altındadır, yani. M_(n\times n)^(\text(sim))\triangleleft M_(n\times n). Bu alt uzayın boyutunu bulmak zor değil. Standart temel şunlardan oluşur: ana köşegen üzerinde sıfırdan farklı (bire eşit) tek öğeli matrisler: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, ayrıca ana köşegene göre simetrik iki sıfır olmayan (bire eşit) öğeye sahip matrisler: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i, i+1,\ldots, n. Toplamda temel olacak (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matrisler Buradan, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). Benzer şekilde bunu anlıyoruz M_(n\times n)^(\text(kos))\triangleleft M_(n\times n) Ve \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

N'inci dereceden tekil kare matrisler kümesi bir M_(n\times n) alt uzayı değildir, çünkü iki tekil matrisin toplamı tekil olmayan bir matris olarak ortaya çıkabilir, örneğin M_(2\ kez2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. Gerçek katsayılı P(\mathbb(R)) polinomları uzayında, doğal bir altuzaylar zincirini gösterebiliriz

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

7. C(\mathbb(R)) uzayında alt uzayların doğal zincirini belirtebilirsiniz:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

Tanım 6.1. Altuzay Ln boyutlu uzay R tanımlanan eylemlere göre doğrusal bir uzay oluşturan bir vektörler kümesidir. R.

Başka bir deyişle, L uzayın alt uzayı denir R, eğer x, y∈Lşu şekildedir x+y∈L ve eğer X∈L, O λ X∈L, Nerede λ - herhangi bir gerçek sayı.

Bir alt uzayın en basit örneği sıfır alt uzayıdır, yani. uzayın alt kümesi R tek bir sıfır elemanından oluşur. Tüm uzay bir altuzay görevi görebilir R. Bu alt uzaylara denir önemsiz veya senin değil.

Altuzay N-boyutlu uzay sonlu boyutludur ve boyutu aşmaz n: loş L≤ loş R.

Alt uzayların toplamı ve kesişimi

İzin vermek L Ve M- uzayın iki alt uzayı R.

Miktar L+M vektörler kümesi denir x+y, Nerede X∈L Ve sen∈M. Açıkçası, vektörlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonu L+M ait L+M, buradan L+M uzayın bir alt uzayıdır R(boşlukla çakışabilir R).

Karşıya geçerek L∩M alt uzaylar L Ve M eş zamanlı olarak altuzaylara ait olan vektörler kümesidir L Ve M(yalnızca sıfır vektörden oluşabilir).

Teorem 6.1. Rastgele altuzayların boyutlarının toplamı L Ve M sonlu boyutlu doğrusal uzay R bu alt uzayların toplamının boyutuna ve bu alt uzayların kesişiminin boyutuna eşittir:

loş L+loş M=loş(L+M)+loş(L∩M).

Kanıt. Haydi belirtelim F=L+M Ve G=L∩M. İzin vermek G g boyutlu altuzay. İçinde bir temel seçelim. Çünkü G⊂L Ve G⊂M bu nedenle temel G temele eklenebilir L ve tabana M. Alt uzayın tabanı olsun L ve alt uzayın tabanını alalım M. Vektörlerin olduğunu gösterelim.

alt uzaya ait G=L∩M. Öte yandan vektör v alt uzayın temel vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilebilir G:

(6.5)

(6.4) ve (6.5) denklemlerinden şunu elde ederiz:

Alt uzayın tabanının doğrusal bağımsızlığından dolayı L sahibiz:

doğrusal bağımsız. Ancak herhangi bir vektör z itibaren F(alt uzayların toplamının tanımı gereği) toplamla temsil edilebilir x+y, Nerede X∈L, sen∈M. Sırayla X a vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilir sen- vektörlerin doğrusal birleşimi. Sonuç olarak, vektörler (6.10) altuzayı oluşturur F. (6.10) vektörlerinin bir temel oluşturduğunu bulduk F=L+M.

Altuzay üslerini incelemek L Ve M ve altuzay temeli F=L+M(6.10), elimizde: loş L=g+l, loş M=g+m, loş (L+M)=g+l+m. Buradan:

loş L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Alt uzayların doğrudan toplamı

Tanım 6.2. Uzay F alt uzayların doğrudan toplamını temsil eder L Ve M, eğer her bir vektör X uzay F yalnızca toplam olarak temsil edilebilir x=y+z, Nerede sen∈ Kara z∈M.

Doğrudan miktar belirtilir L⊕M. Eğer diyorlar ki F=L⊕M, O F alt uzaylarının doğrudan toplamına ayrışır L Ve M.

Teorem 6.2.İçin N boyutlu uzay R alt uzayların doğrudan toplamıydı L Ve M, kavşak için yeterli L Ve M yalnızca sıfır elemanı içerdiğini ve R boyutunun alt uzayların boyutlarının toplamına eşit olduğunu L Ve M.

Kanıt. L alt uzayında bir baz ve M alt uzayında bir baz seçelim. Bunu kanıtlayalım.

(6.13)

(6.13) denkleminin sol tarafı alt uzayın bir vektörü olduğundan L ve sağ taraf altuzay vektörüdür M Ve L∩M=0 , O

Vektör(veya doğrusal) uzay- birbirleriyle toplama ve bir sayıyla çarpma işlemlerinin tanımlandığı, vektör adı verilen bir dizi öğeden oluşan matematiksel bir yapı - bir skaler. Bu işlemler sekiz aksiyoma tabidir. Skalerler gerçek, karmaşık veya başka herhangi bir sayı alanının elemanları olabilir. Böyle bir uzayın özel bir durumu, vektörleri örneğin fiziksel kuvvetleri temsil etmek için kullanılan sıradan üç boyutlu Öklid uzayıdır. Bir vektör uzayının bir elemanı olarak bir vektörün mutlaka yönlendirilmiş bir parça şeklinde belirtilmesinin gerekmediğine dikkat edilmelidir. "Vektör" kavramını herhangi bir nitelikteki bir vektör uzayının bir öğesine genellemek, yalnızca terimlerin karışmasına neden olmakla kalmaz, aynı zamanda keyfi nitelikteki uzaylar için geçerli olan bir takım sonuçların anlaşılmasını ve hatta tahmin edilmesini de mümkün kılar.

Vektör uzayları doğrusal cebirin konusudur. Bir vektör uzayının temel özelliklerinden biri boyutudur. Boyut, uzayın doğrusal olarak bağımsız elemanlarının maksimum sayısını, yani kaba bir geometrik yoruma başvurularak, yalnızca bir skaler ile toplama ve çarpma işlemleriyle birbirleri aracılığıyla ifade edilemeyen yönlerin sayısını temsil eder. Vektör uzayı, norm veya iç çarpım gibi ek yapılarla donatılabilir. Bu tür uzaylar matematiksel analizde doğal olarak öncelikle sonsuz boyutlu uzaylar biçiminde görünür. (İngilizce), burada fonksiyonlar vektörlerdir. Çoğu analiz problemi, bir vektör dizisinin belirli bir vektöre yakınsayıp yakınlaşmadığını bulmayı gerektirir. Bu tür soruların dikkate alınması, çoğu durumda yakınlık ve süreklilik kavramlarını tanımlamamıza olanak tanıyan uygun bir topolojiye sahip ek yapıya sahip vektör uzaylarında mümkündür. Bu tür topolojik vektör uzayları, özellikle Banach ve Hilbert uzayları daha derin çalışmalara olanak sağlar.

Vektör uzayı kavramının ortaya çıkmasını öngören ilk çalışmalar 17. yüzyıla kadar uzanmaktadır. O zaman analitik geometri, matris doktrini, doğrusal denklem sistemleri ve Öklid vektörleri gelişmeye başladı.

Tanım [ | ]

Doğrusal, veya vektör uzayı V (F) (\displaystyle V\sol(F\sağ)) alanın üzerinde F (\displaystyle F)- bu sıralı dörtlü (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Nerede

V (\displaystyle V)- keyfi nitelikteki boş olmayan bir dizi öğe vektörler;
F (\displaystyle F)- elemanları çağrılan bir alan skalerler;
İşlem tanımlandı ek vektörler V × V → V (\displaystyle V\times V\to V) her bir öğe çiftini eşleştirerek x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y)) setleri V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) onları aradım miktar ve belirlenmiş x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y));
İşlem tanımlandı vektörlerin skalerlerle çarpılması F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), her öğeyle eşleşen λ (\displaystyle \lambda) alanlar F (\displaystyle F) ve her öğe x (\displaystyle \mathbf (x)) setleri V (\displaystyle V) kümenin tek elemanı V (\displaystyle V), belirtilen λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x)) veya λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x));

Aynı öğe kümesinde, ancak farklı alanlar üzerinde tanımlanan vektör uzayları, farklı vektör uzayları olacaktır (örneğin, gerçek sayı çiftleri kümesi). R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) gerçek sayılar alanı üzerinde iki boyutlu bir vektör uzayı veya karmaşık sayılar alanı üzerinde tek boyutlu bir vektör uzayı olabilir).

En basit özellikler[ | ]

Bir vektör uzayı toplama işlemi altındaki bir Abel grubudur.
Nötr eleman 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) herkes için.
Herkes için x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) zıt eleman − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) grup özelliklerinden çıkan tek şeydir.
1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x)) herkes için x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
(− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) herhangi biri için ve x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) herkes için α ∈ F (F'de\displaystyle \alpha \).

İlgili tanımlar ve özellikler[ | ]

Altuzay[ | ]

Cebirsel tanım: Doğrusal altuzay veya vektör alt uzayı- boş olmayan alt küme K (\displaystyle K) doğrusal uzay V (\displaystyle V)Öyle ki K (\displaystyle K) kendisi de tanımlananlara göre doğrusal bir uzaydır V (\displaystyle V) bir skalerle toplama ve çarpma işlemleri. Tüm altuzayların kümesi genellikle şu şekilde gösterilir: L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Bir alt kümenin alt uzay olabilmesi için gerekli ve yeterli olması

Son iki ifade aşağıdakine eşdeğerdir:

Tüm vektörler için x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \K cinsinden) vektör α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y)) aynı zamanda aitti K (\displaystyle K) herhangi biri için α , β ∈ F (F'de\displaystyle \alpha ,\beta \).

Özellikle, yalnızca bir sıfır vektörden oluşan bir vektör uzayı, herhangi bir uzayın bir alt uzayıdır; her uzay kendisinin bir alt uzayıdır. Bu ikisiyle örtüşmeyen altuzaylara denir. sahip olmak veya önemsiz değil.

Alt uzayların özellikleri[ | ]

Doğrusal kombinasyonlar[ | ]

Formun son tutarı

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

Doğrusal kombinasyon denir:

Temel. Boyut[ | ]

Vektörler x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) denir doğrusal bağımlı, bunların sıfıra eşit önemsiz bir doğrusal kombinasyonu varsa:

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0, |

a 1 | + |.

bazıları doğrusal bağımlı ise

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

Doğrusal kabuk[ | ]

Doğrusal kabuk alt kümeler X (\displaystyle X) doğrusal uzay V (\displaystyle V)- tüm alt uzayların kesişimi V (\displaystyle V) içeren X (\displaystyle X).

Doğrusal açıklık bir altuzaydır V (\displaystyle V).

Doğrusal kabuk da denir altuzay oluşturuldu X (\displaystyle X). Aynı zamanda doğrusal kabuğun da olduğu söylenir. V (X) (\ displaystyle (\ mathcal (V)) (X))- uzay, uzanmış birçok X (\displaystyle X).

Doğrusal kabuk V (X) (\ displaystyle (\ mathcal (V)) (X)) elemanların çeşitli sonlu alt sistemlerinin tüm olası doğrusal kombinasyonlarından oluşur. X (\displaystyle X). Özellikle eğer X (\displaystyle X) o halde sonlu bir kümedir V (X) (\ displaystyle (\ mathcal (V)) (X)) elemanların tüm doğrusal kombinasyonlarından oluşur X (\displaystyle X). Dolayısıyla sıfır vektörü her zaman doğrusal gövdeye aittir.

Eğer X (\displaystyle X) doğrusal olarak bağımsız bir küme ise bu bir tabandır V (X) (\ displaystyle (\ mathcal (V)) (X)), 1980. - 454 s.