Verilen noktalarda bir vektörün bir vektöre izdüşümünü bulun. Doğrusal işlemlerin temel özellikleri

ve bir eksende veya başka bir vektörde onun geometrik izdüşümü ve sayısal (veya cebirsel) izdüşümü kavramları vardır. Geometrik projeksiyonun sonucu bir vektör olacak ve cebirsel projeksiyonun sonucu negatif olmayan bir sayı olacaktır. gerçek Numara. Ancak bu kavramlara geçmeden önce şunu hatırlayalım. gerekli bilgi.

Ön bilgi

Ana kavram, bir vektör kavramının kendisidir. Geometrik vektörün tanımını tanıtmak için parçanın ne olduğunu hatırlayalım. Aşağıdaki tanımı tanıtalım.

Tanım 1

Segment, nokta şeklinde iki sınırı olan düz bir çizginin parçasıdır.

Bir segmentin 2 yönü olabilir. Yönü belirtmek için parçanın sınırlarından birine başlangıcı, diğer sınırına da sonu diyeceğiz. Yön, segmentin başlangıcından sonuna kadar gösterilir.

Tanım 2

Bir vektör veya yönlendirilmiş bölüm, bölümün sınırlarının hangisinin başlangıç, hangisinin sonu olduğu bilinen bir bölüm olacaktır.

Tanım: İki harfle: $\overline(AB)$ – (burada $A$ başlangıcı ve $B$ sonudur).

Küçük bir harfle: $\overline(a)$ (Şekil 1).

Vektör kavramıyla ilgili birkaç kavramı daha tanıtalım.

Tanım 3

Sıfır olmayan iki vektöre aynı doğru üzerinde ya da birbirine paralel doğrular üzerinde yer alıyorlarsa eşdoğrusal diyeceğiz (Şekil 2).

Tanım 4

İki koşulu karşılıyorlarsa, sıfır olmayan iki vektöre eş yönlü diyeceğiz:

Bu vektörler doğrusaldır.
Bir yöne yönlendirilirlerse (Şekil 3).

Gösterim: $\overline(a)\overline(b)$

Tanım 5

İki koşulu karşılıyorlarsa, sıfır olmayan iki vektörü zıt yönlü olarak adlandıracağız:

Bu vektörler doğrusaldır.
Eğer yönlendirilirlerse farklı taraflar(Şekil 4).

Gösterim: $\overline(a)↓\overline(d)$

Tanım 6

$\overline(a)$ vektörünün uzunluğu, $a$ segmentinin uzunluğu olacaktır.

Gösterim: $|\overline(a)|$

İki vektörün eşitliğini belirlemeye geçelim

Tanım 7

İki koşulu karşılıyorlarsa iki vektöre eşit diyeceğiz:

Bunlar eş yönlüdür;
Uzunlukları eşittir (Şekil 5).

Geometrik projeksiyon

Daha önce de söylediğimiz gibi geometrik izdüşümün sonucu bir vektör olacaktır.

Tanım 8

$\overline(AB)$ vektörünün bir eksene geometrik izdüşümü, aşağıdaki şekilde elde edilen bir vektördür: $A$ vektörünün başlangıç noktası bu eksene izdüşümü yapılır. İstenilen vektörün başlangıcı olan $A"$ noktasını elde ederiz. $B$ vektörünün bitiş noktası bu eksene yansıtılır. İstenilen vektörün sonu olan $B"$ noktasını elde ederiz. $\overline(A"B")$ vektörü istenen vektör olacaktır.

Sorunu ele alalım:

örnek 1

Şekil 6'da gösterilen $l$ ekseni üzerine $\overline(AB)$ geometrik bir projeksiyon oluşturun.

$A$ noktasından $l$ eksenine bir dik çizelim, üzerinde $A"$ noktasını elde ederiz. Sonra $B$ noktasından $l$ eksenine bir dik çizeriz, $B noktasını elde ederiz. "Üzerinde $ var (Şek. 7).

Çizimlerdeki resimler geometrik cisimler projeksiyon yöntemiyle inşa edilmiştir. Ancak bunun için tek bir görüntü yeterli değildir; en az iki projeksiyona ihtiyaç vardır. Onların yardımıyla uzaydaki noktalar belirlenir. Bu nedenle bir noktanın izdüşümünü nasıl bulacağınızı bilmeniz gerekir.

Nokta projeksiyonu

Bunu yapmak için alanı dikkate almanız gerekecek Dihedral açı, içinde bir nokta (A) bulunur. Burada yatay P1 ve dikey P2 projeksiyon düzlemleri kullanılır. (A) noktası projeksiyon düzlemlerine dik olarak yansıtılır. Dik çıkıntı yapan ışınlara gelince, bunlar çıkıntı yapan bir düzlemde birleştirilir, düzlemlere dik projeksiyonlar. Böylece yatay P1 ve ön P2 düzlemlerini P2/P1 ekseni boyunca döndürerek birleştirdiğimizde düz bir çizim elde ediyoruz.

Daha sonra eksene dik olarak üzerinde projeksiyon noktaları bulunan bir çizgi gösterilir. Yani ortaya çıkıyor karmaşık çizim. Üzerinde inşa edilen bölümler sayesinde dikey çizgi Bağlantıyı kullanarak bir noktanın projeksiyon düzlemlerine göre konumunu kolayca belirleyebilirsiniz.

Projeksiyonun nasıl bulunacağını anlamayı kolaylaştırmak için şunları dikkate almanız gerekir: dik üçgen. Kısa kenarı bacak, uzun kenarı ise hipotenüstür. Bir ayağı hipotenüse yansıtırsanız iki parçaya bölünecektir. Değerlerini belirlemek için bir dizi başlangıç verisini hesaplamanız gerekir. Şuna bakalım verilen üçgen, ana projeksiyonları hesaplama yöntemleri.

Kural olarak, bu problemde N uzunluğunu ve izdüşümü bulunması gereken hipotenüs D uzunluğunu gösterirler. Bunu yapmak için bacağın izdüşümünü nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

Bacağın (A) uzunluğunu bulmak için bir yöntem düşünelim. Bacağın izdüşümünün ve hipotenüs uzunluğunun geometrik ortalamasının aradığımız bacağın değerine eşit olduğunu düşünürsek: N = √(D*Nd).

Projeksiyon uzunluğu nasıl bulunur?

Çarpımın kökü, istenen kenarın (N) uzunluğunun karesi alınarak ve ardından hipotenüs uzunluğuna bölünerek bulunabilir: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Değerleri belirtirken Kaynak verilerdeki yalnızca D ve N bacaklarının uzunluk projeksiyonları Pisagor teoremi kullanılarak bulunmalıdır.
Hipotenüs D'nin uzunluğunu bulalım. Bunu yapmak için, bacakların √ (N² + T²) değerlerini kullanmanız ve ardından ortaya çıkan değeri, projeksiyonu bulmak için aşağıdaki formülle değiştirmeniz gerekir: Nd = N² / √ (N² + T²).

Kaynak veriler, RD bacağının izdüşümünün uzunluğuna ilişkin verilerin yanı sıra D hipotenüsünün değerine ilişkin verileri içerdiğinde, ikinci bacak ND'nin izdüşümünün uzunluğu, basit bir çıkarma formülü kullanılarak hesaplanmalıdır: ND = D – RD.

Hız projeksiyonu

Hız projeksiyonunu nasıl bulacağımıza bakalım. İçin arka verilen vektör Hareketin bir açıklaması sunulduğunda, koordinat eksenlerine yansıtılacak şekilde yerleştirilmelidir. Bir koordinat ekseni (ışın), iki koordinat ekseni (düzlem) ve üç koordinat ekseni (uzay) vardır. Bir projeksiyon bulurken, vektörün uçlarından dikeyleri eksene indirmek gerekir.

İzdüşümün anlamını anlamak için bir vektörün izdüşümünü nasıl bulacağınızı bilmeniz gerekir.

Vektör projeksiyonu

Gövde eksene dik olarak hareket ettiğinde izdüşüm bir nokta olarak temsil edilecek ve şu değere sahip olacaktır: sıfıra eşit. Hareket koordinat eksenine paralel olarak gerçekleştirilirse projeksiyon vektör modülüyle çakışacaktır. Cismin hız vektörünün (x) eksenine göre φ açısıyla yönlendirileceği şekilde hareket etmesi durumunda, bu eksen üzerindeki izdüşüm bir parça olacaktır: V(x) = V cos(φ), burada V hız vektörünün modelidir. Hız vektörünün ve koordinat ekseninin yönleri çakıştığında projeksiyon pozitiftir ve bunun tersi de geçerlidir.

Aşağıdakileri ele alalım koordinat denklemi: x = x(t), y = y(t), z = z(t). İÇİNDE bu durumda hız fonksiyonu üç eksene yansıtılacak ve aşağıdaki forma sahip olacaktır: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). Buradan hızı bulmak için türev almanın gerekli olduğu sonucu çıkar. Hız vektörünün kendisi aşağıdaki formdaki bir denklemle ifade edilir: V = V(x) i + V(y ) j + V(z) k Burada i, j, k birim vektörlerdir. koordinat eksenleri sırasıyla x, y, z. Böylece hız modülü şu şekilde hesaplanır: aşağıdaki formül: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).

Vektör ile projeksiyon ekseni arasındaki açıyı bir ile gösterelim ve vektörü aktaralım

böylece orijini eksen üzerindeki bir noktaya denk gelir. Vektör bileşeninin ve eksenin yönleri aynıysa, a açısı dar olacaktır ve Şekil 2'de görülebileceği gibi. 24, bir,

burada a, a vektörünün modülüdür. Vektörün ve eksenin yönleri zıtsa, projeksiyonun işaretini hesaba katarsak (bkz. Şekil 24, b)

yani önceki ifade (bu durumda a açısının geniş olduğunu unutmamalısınız ve

Böylece, vektörün eksene izdüşümü, vektörün modülünün ve vektör ile eksen arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir:

Buna ek olarak münhasıran önemli vektörün eksene izdüşümü için formüller, bir tane daha verebilirsiniz. basit formül. Eksen üzerinde orijini ayarlayalım ve vektörlerin ölçeğine ortak olan bir ölçek seçelim. Bilindiği gibi bir noktanın koordinatı, seçilen bir ölçekte, eksenin orijininden, belirli bir noktanın eksene izdüşümüne kadar olan mesafeyi ifade eden bir sayıdır ve eğer noktanın koordinatı seçilmişse bu sayı artı işaretiyle alınır. noktanın izdüşümü eksen yönünde orijinden kaldırılır, aksi takdirde eksi işareti kullanılır. Yani, örneğin, A noktasının koordinatı (Şekil 23, b), parçanın uzunluğunu ifade eden işaretli bir sayı olacak ve B noktasının koordinatı, parçanın uzunluğunu belirleyen işaretli bir sayı olacaktır (biz bunu yaparız). bunun üzerinde durma

daha ayrıntılı olarak, okuyucunun bir noktanın koordinatları kavramına temel matematik dersinden aşina olduğu varsayılmaktadır).

Vektörün x ekseni üzerindeki başlangıç koordinatı ve bitiş koordinatı ile belirtelim. Daha sonra Şekil 2'den de görülebileceği gibi. 23, ah, sahip olacağız

Vektörün x eksenine izdüşümü şuna eşit olacaktır:

veya önceki eşitlikler dikkate alınarak,

Bu formülün olduğunu görmek kolaydır. genel karakter ve vektörün eksene ve orijine göre konumuna bağlı değildir. Aslında, Şekil 2'de gösterilen durumu düşünün. 23, b. Noktaların koordinatlarının tanımından ve vektörün projeksiyonundan başarılı bir şekilde elde ederiz

(okuyucu formülün geçerliliğini ve vektörün eksene ve orijine göre farklı bir konumunda kolayca kontrol edebilir).

(6.11)'den, vektörün eksen üzerindeki izdüşümünün, vektörün sonu ve başlangıcı koordinatları arasındaki farka eşit olduğu sonucu çıkar.

Bir vektörün bir eksene izdüşümünün hesaplanması çoğu durumda oldukça sık gerçekleşir. çeşitli sorunlar. Bu nedenle projeksiyonların hesaplanmasında sağlam becerilerin geliştirilmesi gerekmektedir. Projeksiyonların hesaplanması sürecini kolaylaştıran bazı teknikleri belirtebilirsiniz.

1. Eksen üzerindeki vektör projeksiyonunun işareti, kural olarak, doğrudan çizimden belirlenebilir ve projeksiyon modülü, formül kullanılarak hesaplanabilir.

Nerede - keskin köşe vektör ile projeksiyonların ekseni arasında - eğer ve eğer Bu teknik, temelde yeni bir şey getirmeden, biraz

Trigonometrik dönüşümler gerektirmediği için projeksiyon hesaplamasını kolaylaştırır.

2. Bir vektörün karşılıklı olarak dik iki eksen x ve y üzerindeki izdüşümlerini belirlemeniz gerekiyorsa (vektörün bu eksenlerin düzleminde yer aldığı varsayılır) ve vektör ile x ekseni arasındaki dar açı olduğu varsayılırsa, o zaman

(çıkıntıların işareti çizimden belirlenir).

Örnek. Şekil 2'de gösterilen kuvvetin x ve y koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerini bulun. 25. Çizimden her iki tahminin de negatif olacağı açıktır. Buradan,

3. Bazen aşağıdaki gibi çift tasarım kuralı uygulanır. Bir vektör ve düzlemde yer alan bir eksen verilsin. Vektörün ucundan düzleme ve düz çizgiye dikler bırakalım ve sonra diklerin tabanlarını bir düz çizgi parçasıyla birleştirelim (Şekil 26). Vektör ile düzlem arasındaki açıyı, arasındaki açı ile ve vektör ile izdüşüm ekseni arasındaki açıyı a ile gösterelim. Açı doğru olduğundan (yapısal olarak), o zaman

Birçok fiziksel özellikler tamamen belirli bir sayı belirtilerek belirlenir. Bunlar örneğin hacim, kütle, yoğunluk, vücut sıcaklığı vb.'dir. Bu tür büyüklüklere skaler denir. Bu nedenle sayılara bazen skaler denir. Ancak sadece bir sayı değil, aynı zamanda belirli bir yön belirtilerek belirlenen miktarlar da vardır. Örneğin, bir vücut hareket ettiğinde, yalnızca vücudun hareket ettiği hızı değil, aynı zamanda hareketin yönünü de belirtmelisiniz. Aynı şekilde herhangi bir kuvvetin etkisini incelerken, bu kuvvetin sadece değerini değil, aynı zamanda etki yönünü de belirtmek gerekir. Bu tür miktarlara denir vektör. Bunları tanımlamak için matematik için yararlı olduğu ortaya çıkan vektör kavramı tanıtıldı.

Vektör tanımı

Uzayda A'dan B'ye herhangi bir sıralı nokta çifti şunları tanımlar: yönlendirilmiş bölüm, yani üzerinde belirtilen yöne sahip bir segment. A noktası ilk ise, buna yönlendirilmiş parçanın başlangıcı, B noktası ise sonu olarak adlandırılır. Bir parçanın yönü, başından sonuna kadar olan yön olarak kabul edilir.

Tanım
Yönlendirilmiş bir parçaya vektör denir.

Bir vektörü \(\overrightarrow(AB) \ sembolüyle göstereceğiz; ilk harf vektörün başlangıcını, ikinci harf ise sonunu gösterir.

Başlangıcı ve sonu çakışan vektöre denir sıfır ve $\vec(0)$ veya basitçe 0 ile gösterilir.

Bir vektörün başlangıcı ile bitişi arasındaki mesafeye onun adı verilir. uzunluk ve $|\overrightarrow(AB)| $ veya $|\vec(a)| $ ile gösterilir.

$\vec(a) $ ve $\vec(b) $ vektörlerine denir doğrusal, eğer aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde yer alıyorlarsa. Doğrusal vektörler aynı veya zıt yönlere sahip olabilir.

Artık formüle edebiliriz önemli kavram iki vektörün eşitliği.

Tanım
$\vec(a) $ ve $\vec(b) $ vektörlerinin eşit olduğu söylenir ($\vec(a) = \vec(b) $) eğer doğrusallarsa, aynı değere sahiptirler yönleri ve uzunlukları eşittir.

İncirde. Solda gösterilen 1 tanesi eşit değildir ve sağda - eşit vektörler$\vec(a) $ ve $\vec(b) $. Vektörlerin eşitliği tanımından, belirli bir vektör kendisine paralel hareket ettirilirse sonucun verilene eşit bir vektör olacağı sonucu çıkar. Bu bağlamda vektörler analitik geometri isminde özgür.

Bir vektörün bir eksene izdüşümü

Uzayda eksen $u$ ve bir $\overrightarrow(AB)$ vektörü verilsin. A ve B noktalarından $u$ eksenine dik düzlemler çizelim. Bu düzlemlerin eksenle kesişme noktalarını A" ve B" ile gösterelim (bkz. Şekil 2).

$\overrightarrow(AB) $ vektörünün $u$ eksenine izdüşümü, $u$ ekseni üzerindeki yönlendirilmiş A"B" parçasının A"B" değeridir. şunu hatırlatalım
$A"B" = |\overrightarrow(A"B")| $ , eğer $\overrightarrow(A"B") $ yönü $u$ ekseninin yönüyle çakışıyorsa,
$A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| $ , eğer $\overrightarrow(A"B") $ yönü $u$ ekseninin yönünün tersi ise,
$\overrightarrow(AB)$ vektörünün $u$ eksenine izdüşümü şu şekilde gösterilir: $Pr_u \overrightarrow(AB)$.

Teorem
$\overrightarrow(AB) $ vektörünün $u$ eksenine izdüşümü, $\overrightarrow(AB) $ vektörünün uzunluğunun \ vektörü arasındaki açının kosinüsüyle çarpımına eşittir. (\overrightarrow(AB) \) ve eksen $ u$ , yani.

$Pr_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi $ burada $\varphi $, $\overrightarrow(AB) $ vektörü ile $u) ekseni arasındaki açıdır $.

Yorum
$\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) $ ve bazı eksenler $u$ belirtilmiş olsun. Teoremin formülünü bu vektörlerin her birine uygulayarak şunu elde ederiz:

$Pr_u \overrightarrow(A_1B_1) = Pr_u \overrightarrow(A_2B_2) $ yani. eşit vektörler var eşit projeksiyonlar aynı eksende.

Koordinat eksenlerinde vektör projeksiyonları

Bize uzayda verilsin dikdörtgen sistem Oxyz'i ve isteğe bağlı bir vektörü $\overrightarrow(AB)$ koordine eder. Ayrıca, $X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) $ olsun. X, Y, Z vektörünün $\overrightarrow(AB)$ koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerine denir koordinatlar. Aynı zamanda yazıyorlar
$\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) $

Teorem
A(x 1 ; y 1 ; z 1) ve B(x 2 ; y 2 ; z 2) iki noktası ne olursa olsun, $\overrightarrow(AB) $ vektörünün koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir. :

X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1

Yorum
Eğer $\overrightarrow(AB) $ vektörü orijinden ayrılırsa; x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, bu durumda $\overrightarrow(AB) $ vektörünün X, Y, Z koordinatları, sonunun koordinatlarına eşittir:
X = x, Y = y, Z = z.

Bir vektörün yön kosinüsleri

Rasgele bir vektör $\vec(a) = (X;Y;Z) $; $\vec(a) $'nin orijinden çıktığını ve herhangi bir koordinat düzleminde bulunmadığını varsayacağız. A noktasından geçen eksenlere dik düzlemler çizelim. Birlikte koordinat düzlemleri köşegeni OA segmenti olan dikdörtgen bir paralel boru oluştururlar (şekle bakınız).

Temel geometriden köşegen uzunluğunun karesinin olduğu bilinmektedir. dikdörtgen paralel yüzlü toplamına eşitüç boyutunun uzunluklarının kareleri. Buradan,
$|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 $
Ancak $|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| $; böylece elde ederiz
$|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 $
veya
$|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) $
Bu formül, rastgele bir vektörün uzunluğunu koordinatları aracılığıyla ifade eder.

$\alpha, \; \beta, \; \gamma $ ile $\vec(a) $ vektörü ile koordinat eksenleri arasındaki açıları gösterelim. Vektörün eksene izdüşümüne ve vektörün uzunluğuna ilişkin formüllerden elde ettiğimiz
$\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) $
$\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) $
$\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) $
$\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma $ denir $\vec(a) $ vektörünün yön kosinüsleri.

Önceki eşitliklerin her birinin sol ve sağ taraflarının karesini alıp elde edilen sonuçları toplayarak şunu elde ederiz:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 $
onlar. Herhangi bir vektörün yön kosinüslerinin karelerinin toplamı bire eşittir.

Vektörler üzerinde doğrusal işlemler ve temel özellikleri

Vektörler üzerinde doğrusal işlemler, vektörleri toplama, çıkarma ve vektörleri sayılarla çarpma işlemleridir.

İki vektörün eklenmesi

İki $\vec(a) $ ve $\vec(b) $ vektörü verilsin. $\vec(a) + \vec(b) $ toplamı, $\vec(a) $ vektörünün başlangıcından $\vec(b) vektörünün sonuna giden bir vektördür $ $\vec(b) $ vektörünün $\vec(a) $ vektörünün sonuna eklenmesi şartıyla (şekle bakın).

Yorum
Vektörleri çıkarma eylemi, toplama eyleminin tersidir, yani. $\vec(b) - \vec(a) $ vektörleri $\vec(b) $ ve $\vec(a) $ farkı, $\ vektörüyle toplamı olan bir vektördür vec(a ) $, $\vec(b) $ vektörünü verir (şekle bakın).

Yorum
İki vektörün toplamını belirleyerek istediğiniz sayıda vektörün toplamını bulabilirsiniz. Örneğin, üç vektör $\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) $ verilsin. $\vec(a) $ ve $\vec(b) $'yi ekleyerek $\vec(a) + \vec(b) $ vektörünü elde ederiz. Şimdi buna $\vec(c) \ vektörünü ekleyerek \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) $ vektörünü elde ederiz.

Bir vektör ile bir sayının çarpımı

$\vec(a) \neq \vec(0) $ vektörü ve $\lambda \neq 0 $ sayısı verilsin. $\lambda \vec(a) $ çarpımı $\vec(a) $ vektörüne eşdoğrusal olan ve uzunluğu $|\lambda| |\vec(a)| \'ye eşit olan bir vektördür ) ve yönü \(\vec(a) $ eğer $\lambda > 0 $ vektörüyle aynıysa ve tersi ise $\lambda) Geometrik anlam\(\vec(a) \neq \vec(0) $ vektörünü $\lambda \neq 0 $ sayısıyla çarpma işlemleri şu şekilde ifade edilebilir: if $|\lambda| >1 \ ), o zaman \(\vec(a) $ vektörü $\lambda $ sayısıyla çarpıldığında $\vec(a) $ vektörü $\lambda $ kez "uzatılır" ve eğer \ (|\lambda| 1 \ ).

Eğer $\lambda =0 $ veya $\vec(a) = \vec(0) $, o zaman $\lambda \vec(a) $ çarpımının sıfır vektörüne eşit olduğu kabul edilir.

Yorum
Bir vektörü bir sayıyla çarpma tanımını kullanarak, $\vec(a) $ ve $\vec(b) $ vektörlerinin eşdoğrusal ve $\vec(a) $ olduğunu kanıtlamak kolaydır. neq \vec(0) \), o zaman $\lambda $ sayısı vardır (ve yalnızca bir) öyle ki $\vec(b) = \lambda \vec(a) $

Doğrusal işlemlerin temel özellikleri

1. Toplamanın değişme özelliği
$\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) $

2. Eşleşen mülk ek
$(\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) $

3. Çarpmanın birleştirici özelliği
$\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) $

4. Dağılma özelliği sayıların toplamına göre
$(\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) $

5. Vektörlerin toplamına göre dağılım özelliği
$\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) $

Yorum
Bu özellikler doğrusal işlemler vektörler üzerinde sıradan cebirsel işlemlerin gerçekleştirilmesini mümkün kıldıkları için temel öneme sahiptirler. Örneğin, 4 ve 5 numaralı özelliklerden dolayı, bir skaler polinomu "terim terim" bir vektör polinomuyla çarpabilirsiniz.

Vektör projeksiyon teoremleri

Teorem
İki vektörün toplamının bir eksene izdüşümü, bu eksene izdüşümlerinin toplamına eşittir;
$Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) $

Teorem herhangi bir sayıda terimin durumuna genelleştirilebilir.

Teorem
$\vec(a) $ vektörü $\lambda $ sayısıyla çarpıldığında, eksene izdüşümü de bu sayıyla çarpılır, yani. $Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) $

Sonuçlar
Eğer $\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) $ ve $\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) $, o zaman
$\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) $

Sonuçlar
Eğer $\vec(a) = (x;y;z) $, o zaman $\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) $ \) herhangi bir sayı $\lambda $

Buradan bunu çıkarmak kolaydır Koordinatlarda iki vektörün eşdoğrusallık durumu.
Gerçekte, $\vec(b) = \lambda \vec(a) $ eşitliği $x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 $ eşitliğine eşdeğerdir. ) veya
$\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) $ yani. $\vec(a) $ ve $\vec(b) $ vektörleri ancak ve ancak koordinatları orantılıysa eşdoğrusaldır.

Bir vektörün tabana ayrıştırılması

$\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) $ vektörleri şöyle olsun: birim vektörleri koordinat eksenleri, yani $|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 $ ve bunların her biri karşılık gelen koordinat ekseniyle eşit olarak yönlendirilir (şekle bakın). $\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) $ vektörlerinin üçlüsü denir temel.
Aşağıdaki teorem geçerlidir.

Teorem
Herhangi bir $\vec(a) $ vektörü $\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; $ tabanı üzerinde benzersiz bir şekilde genişletilebilir, yani olarak sunuldu
$\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) $
burada $\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu $ bazı sayılardır.