Vektör uzayları vektör uzaylarına örnektir. Vektör doğrusal uzayı

1) X+en=en+X(toplamanın değişebilirliği);

2)(X+en) +z=X+ (sen+z) (eklemenin ilişkilendirilebilirliği);

3) sıfır vektör var 0 (veya boş vektör) koşulu karşılayan X+ 0 =X: herhangi bir vektör için X;

4) herhangi bir vektör için X zıt bir vektör var enÖyle ki X+en = 0 ,

5) 1 adet=X,

6) A(bx) = (ab)X(çarpımın ilişkilendirilebilirliği);

7) (A+B)X=Ah+bx (dağılma özelliği sayısal faktöre göre);

8) A(X+en) =Ah+evet(vektör çarpanına göre dağılım özelliği).

Bir vektör (veya doğrusal) uzayı bir kümedir R, Koşulları karşılayan gerçek sayılarla elemanların eklenmesi ve elemanların çarpılması işlemlerinin tanımlandığı, herhangi bir nitelikteki elemanlardan oluşan (vektörler adı verilen) A(koşullar 1-3, Vektör uzayı, onu değişmeli bir gruba dönüştürür). İfade

a 1 e 1+a 2 e 2+ … +bir n e n (1)

Vektörlerin doğrusal birleşimi denir e 1 , e 2 ,..., en n ihtimalli bir 1, bir 2,..., BİR . Doğrusal kombinasyon (1), katsayılardan en az birinin olması durumunda önemsiz olmayan olarak adlandırılır. a 1 , a 2 ,..., a n sıfırdan farklı. Vektörler e 1 , e 2 ,..., en n sıfır vektör olan önemsiz olmayan bir kombinasyon (1) varsa doğrusal bağımlı olarak adlandırılırlar. Aksi takdirde (yani, vektörlerin yalnızca önemsiz bir kombinasyonu varsa) e 1 , e 2 ,..., en n sıfıra eşit) vektörleri e 1, e 2 ,..., e n doğrusal bağımsız denir.

Üç boyutlu uzayın vektörleri (serbest) aşağıdaki koşulu karşılar (B koşulu): üç doğrusal vardır bağımsız vektör; herhangi dört vektör doğrusal olarak bağımlıdır (aynı düzlemde yer almayan sıfırdan farklı herhangi üç vektör doğrusal olarak bağımsızdır).

Vektör uzayı n boyutlu olarak adlandırılır (veya “boyuta sahiptir) N"), eğer varsa N doğrusal bağımsız unsurlar e 1 , e 2 ,..., en , ve herhangi biri N+ 1 elemanlar doğrusal olarak bağımlıdır (genelleştirilmiş durum B). Vektör uzayı içinde herhangi bir doğal durum varsa sonsuz boyutlu olarak adlandırılır N var N doğrusal bağımsız vektörler. Herhangi N doğrusal bağımsız n boyutlu vektörler Vektör uzayı bu alanın temelini oluşturur. Eğer e 1 , e 2 ,..., en n- temel Vektör uzayı, o zaman herhangi bir vektör X bu uzay benzersiz bir şekilde temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir:

X=a 1 e 1+a 2 e 2+... +bir n e n.

Aynı zamanda rakamlar a 1 , a 2, ..., a n vektör koordinatları denir X bu temelde.

Örnekler Vektör uzayı Üç boyutlu uzayın tüm vektörlerinin kümesi açıkça oluşur Vektör uzayı Daha karmaşık örnek n-boyutlu olarak hizmet edebilir aritmetik uzay. Bu uzayın vektörleri sıralı sistemlerdir. N gerçek sayılar: l 1, l 2,..., l n.İki vektörün toplamı ve bir sayının çarpımı ilişkilerle belirlenir:

(l 1 , l 2 , …, l n) + (m 1, m 2, …, m n) = (ben 1+m 1, l 2+m 2 , …, l n+m n);

A(l 1 , l 2 , …, l n) = (al 1, al 2, …, al n).

Bu uzaydaki temel örneğin şu şekilde olabilir: sonraki sistem itibaren N vektörler e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1).

Birçok R tüm polinomlar 0+1 sen+ … +bir n u n(herhangi bir derece N) gerçek katsayılı tek değişkenden a 0 , a 1 ,..., a n sıradan cebirsel kurallar polinomları toplama ve polinomları gerçek sayılarla çarpma formları Vektör uzayı Polinomlar 1, sen, sen 2,..., sen(herhangi biri için N) doğrusal olarak bağımsızdır R, Bu yüzden R- sonsuz boyutlu Vektör uzayı

Derece polinomları şu değerden yüksek değil: N biçim Vektör uzayı boyutlar N+ 1 ; temeli polinomlar olabilir 1, sen, sen 2,..., sen n .

Alt uzaylar Vektör uzayı İÇİNDE . P. R" alt uzay denir R, Eğer R"Í R(yani uzayın her vektörü R" ayrıca bir uzay vektörü de var R) ve her vektör için if v О r" ve her iki vektör için v1 Ve v2(v 1 , v 2 О R") vektör seviye(herhangi biri için ben) ve vektör v1+v2 vektörlerin dikkate alınıp alınmamasına bakılmaksızın aynı v, v1 , v2 uzayın unsurları olarak R" veya R. Doğrusal kabuk vektörleri x 1 , x 2 ,... x p bu vektörlerin tüm olası doğrusal kombinasyonlarının kümesi denir, yani formdaki vektörler 1 x 1+2 x 2+ … +a p x p. Üç boyutlu uzayda birinin doğrusal kabuğu değildir. sıfır vektör x 1 açıkça vektör tarafından tanımlanan çizgi üzerinde yer alan tüm vektörlerin kümesi olacaktır x 1. Aynı doğru üzerinde yer almayan iki vektörün doğrusal açıklığı x 1 Ve x 2 vektörler tarafından tanımlanan düzlemde bulunan tüm vektörlerin koleksiyonu olacaktır x 1 Ve x 2.İÇİNDE genel durum keyfi Vektör uzayı R doğrusal kabuk vektörler x 1 , x 2 ,..., xp bu uzayın uzayın bir alt uzayı olduğu R boyutlar R. n boyutlu Vektör uzayı tüm boyutların daha küçük alt uzayları var R. Herhangi bir sonlu boyutlu (belirli bir boyutun k) alt uzay R" Vektör uzayı R herhangi bir şeyin doğrusal bir açıklığı var k doğrusal olarak bağımsız vektörler R". Tüm derece polinomlarından oluşan uzay £n(polinomların doğrusal aralığı 1, sen, sen 2,..., sen), Orada ( N+ 1 )- uzayın boyutlu alt uzayı R tüm polinomlar.

Öklid uzayları. Gelişim için geometrik yöntemler teoride Vektör uzayı vektör uzunluğu, vektörler arasındaki açı vb. kavramları genelleştirmenin yollarını belirtmeniz gerekir. Bir tanesi olası yollar herhangi iki vektör için bu mu X Ve en itibaren R ile gösterilen sayı ( x, y) ve vektörlerin skaler çarpımı olarak adlandırılır X Ve sen. Bu durumda aşağıdaki aksiyomların sağlanması gerekir. nokta çarpım:

1) (x, y) = (y, x) (değişebilirlik);

2) (x 1+x2,y) = (x 1, y) + (x2,y) (dağıtım özelliği);

3) (balta, y) =A(x, y),

4) (x, x) ³ 0 herkes için X, Ve ( x, x) = 0 yalnızca X= 0 .

Üç boyutlu uzaydaki olağan skaler çarpım bu aksiyomları karşılar. Vektör uzayı Listelenen aksiyomları karşılayan bir skaler çarpımın tanımlandığı , Öklid uzayı olarak adlandırılır; sonlu boyutlu (n-boyutlu) veya sonsuz boyutlu olabilir. Sonsuz boyutlu bir Öklid uzayına genellikle denir Hilbert uzayı. Uzunluk | X| vektör X ve vektörler arasındaki açı X Ve enÖklid uzayları formüllerle skaler çarpım aracılığıyla tanımlanır

Öklid uzayına bir örnek, vektör hesabında tanımlanan skaler çarpımı olan sıradan bir üç boyutlu uzaydır. Öklid n boyutlu (aritmetik) uzay E n tanımlayarak elde ederiz N boyutlu aritmetik Vektör uzayı vektörlerin nokta çarpımı X = (l 1 , …, l n)ve sen= (m 1 , …, m n) oran

(x, y) =ben 1 m 1+ben 2 m2+… +l n m n . (2)

Bu durumda, 1)-4) arasındaki gereksinimler açıkça karşılanmaktadır.

Öklid uzaylarında dik (dik) vektör kavramı tanıtıldı. vektörler X Ve en skaler çarpımları sıfıra eşitse bunlara dik denir: ( x, y) = 0. Düşünülen alanda E n vektör ortogonallik koşulu X= (l 1 , …, l n) Ve sen= (m 1 , …, m n), ilişki (2)'den şu şekildedir:

ben 1 m 1+ben 2 m2+… +ben n m n= 0. (3)

V. p'nin uygulanması. Konsept Vektör uzayı(ve çeşitli genellemeler) matematikte ve onun doğa bilimlerine uygulanmasında yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, R- doğrusal bir homojenin tüm çözümlerinin kümesi diferansiyel denklem e-n+1(X)sen (N+ 1 ) + … +BİR(X)sen= 0 . İki çözümün toplamı ve bir çözümün bir sayı ile çarpımının bu denklemin çözümleri olduğu açıktır. Böylece, R A koşullarını karşılıyor. R Genelleştirilmiş koşul B sağlanır. Röyle Vektör uzayı Göz önünde bulundurulan herhangi bir temel Vektör uzayı isminde temel sistem bilgisi, söz konusu denklemin tüm çözümlerini bulmayı sağlayan çözümlerdir. Öklid uzayı kavramı, homojen doğrusal denklem sistemleri teorisini tamamen geometrileştirmemize olanak tanır:

Öklid uzayını düşünün E n vektörler bir ben = (a i1 , a i2 ,…, a in),Ben=1, 2,..., n ve vektör çözümü sen= (sen 1, sen 2,..., sen). Vektörlerin skaler çarpımı için formül (2)'nin kullanılması Tr, Sistem (4)'e aşağıdaki formu verelim:

(bir ben, sen) =0,ben=1, 2, …, m. (5)

İlişkiler (5) ve formül (3)'ten, vektör çözümü şu şekildedir: sen tüm vektörlere dik bir ben. Başka bir deyişle, bu vektör, vektörlerin doğrusal gövdesine diktir. bir ben,çözüm bu sen vektörlerin doğrusal gövdesinin ortogonal tamamlayıcısından herhangi bir vektördür bir ben. Önemli rol Sonsuz boyutluluk matematik ve fizikte de oynanır doğrusal uzaylar. Böyle bir mekana örnek olarak mekan İLE sürekli fonksiyonlar gerçek sayılarla olağan toplama ve çarpma işlemiyle bir segment üzerinde. Yukarıda bahsedilen tüm polinomların uzayı, uzayın bir alt uzayıdır İLE.

Yandı: Alexandrov P. S., Dersler analitik geometri, M., 1968; Gelfand I, M., Lineer cebir üzerine dersler, M. - L., 1948.

E. G. Poznyak.

Kelimeyle ilgili makale " Vektör uzayı"Bolşoy'da Sovyet Ansiklopedisi 20505 kez okundu

Ders 6. Vektör uzayı.

Temel sorular.

1. Vektör doğrusal uzay.

2. Uzayın temeli ve boyutu.

3. Uzay yönelimi.

4. Bir vektörün esaslara göre ayrıştırılması.

5. Vektör koordinatları.

1. Vektör doğrusal uzayı.

Tanımlandıkları herhangi bir nitelikteki öğelerden oluşan bir küme doğrusal işlemler: İki elemanın toplanmasına ve bir elemanın bir sayı ile çarpılmasına denir boşluklar ve bunların unsurları vektörler bu alan ve aynı şekilde belirlenir vektör miktarları geometride: . Vektörler Bu tür soyut uzayların kural olarak sıradan geometrik vektörlerle hiçbir ortak yanı yoktur. Soyut uzayların elemanları fonksiyonlar, bir sayı sistemi, matrisler vb. ve belirli bir durumda sıradan vektörler olabilir. Bu nedenle, bu tür boşluklara genellikle denir vektör uzayları .

Vektör uzayları, Örneğin, bir dizi eşdoğrusal vektör, belirtilen V1 , ayarlamak eş düzlemli vektörler V2 , sıradan (gerçek uzay) vektörler kümesi V3 .

Bu özel durum için şunu verebiliriz: aşağıdaki tanım vektör uzayı.

Tanım 1. Vektörler kümesine denir vektör uzayı, eğer bir kümenin herhangi bir vektörünün doğrusal birleşimi aynı zamanda bu kümenin bir vektörü ise. Vektörlerin kendilerine denir elemanlar vektör uzayı.

Hem teorik hem de uygulamalı olarak daha önemli olan, genel (soyut) vektör uzayı kavramıdır.

Tanım 2. Birçok R herhangi iki öğe için ve https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> olarak adlandırılan herhangi bir öğe için toplamın belirlendiği öğeler vektör(veya doğrusal) uzay Eğer vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayı ile çarpma işlemleri aşağıdaki koşulları sağlıyorsa, ve onun elemanları vektörlerdir ( aksiyomlar) :

1) toplama değişmelidir, yani..gif" width="184" height="25">;

3) öyle bir öğe (sıfır vektör) var ki, herhangi bir https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width = "45" height = "20">.gif" width= için " 99" yükseklik = "27">;

5) herhangi bir vektör ve herhangi bir λ sayısı için eşitlik geçerlidir;

6) herhangi bir vektör ve herhangi bir sayı için λ Ve µ eşitlik doğrudur: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> ve herhangi bir sayı λ Ve µ adil ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Bir vektör uzayını tanımlayan en basit aksiyomlar şunlardır: sonuçlar :

1. Bir vektör uzayında yalnızca bir sıfır vardır - eleman - sıfır vektörü.

2. Vektör uzayında her vektörün tek bir zıt vektörü vardır.

3. Her element için eşitlik sağlanmıştır.

4. Herhangi bir gerçek sayı için λ ve sıfır vektör https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width = "68" height = "25">.

5..gif" genişlik = "145" yükseklik = "28">

6..gif" width = "15" height = "19 src = ">.gif" width = "71" height = "24 src = ">, https://pandia.ru/text eşitliğini karşılayan bir vektördür /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Yani aslında hepsinin çokluğu geometrik vektörler doğrusal (vektör) bir uzaydır, çünkü bu kümenin elemanları için formüle edilmiş aksiyomları karşılayan bir sayı ile toplama ve çarpma eylemleri tanımlanmıştır.

2. Uzayın temeli ve boyutu.

Bir vektör uzayının temel kavramları taban ve boyut kavramlarıdır.

Tanım. Alınan doğrusal bağımsız vektörlerin bir kümesi belli bir sırayla uzayın herhangi bir vektörünün doğrusal olarak ifade edilebildiği şeye denir temel bu alan. Vektörler. Uzayın temelini oluşturan bileşenlere denir temel .

Rastgele bir çizgi üzerinde bulunan bir dizi vektörün temeli, bu çizgiye eşdoğrusal bir vektör olarak düşünülebilir.

Uçağın temeli bu düzlemde belirli bir sırayla alınan, aynı doğrultuda olmayan iki vektörü çağıralım https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Temel vektörler ikili olarak dik (dik) ise, tabana denir. ortogonal ve eğer bu vektörlerin uzunluğu varsa, bire eşit, o zaman taban çağrılır ortonormal .

En büyük sayı uzayın doğrusal bağımsız vektörlerine denir boyut yani uzayın boyutu bu uzayın temel vektörlerinin sayısıyla çakışmaktadır.

Yani bu tanımlara göre:

1. Tek boyutlu uzay V1 düz bir çizgidir ve temeli şunlardan oluşur: bir eşdoğrusal vektör https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width = "39" height = "23 src = "> .

3. Normal uzay üç boyutlu uzay V3 temeli şunlardan oluşan üç eş düzlemli olmayan vektörler

Buradan, gerçek uzaydaki düz bir çizgi üzerindeki, bir düzlem üzerindeki temel vektörlerin sayısının, geometride genellikle düz bir çizginin, düzlemin, uzayın boyut (boyut) sayısı olarak adlandırılan sayıyla çakıştığını görüyoruz. Bu nedenle daha genel bir tanım getirilmesi doğaldır.

Tanım. Vektör uzayı R isminde N– eğer daha fazlası yoksa boyutlu N doğrusal olarak bağımsız vektörler ve gösterilir R N. Sayı N isminde boyut uzay.

Alanın boyutuna uygun olarak bölünmüştür sonlu boyutlu Ve sonsuz boyutlu. Sıfır uzayının boyutu tanım gereği sıfıra eşit kabul edilir.

Not 1. Her alanda istediğiniz kadar taban belirleyebilirsiniz, ancak tüm tabanlar verilen alan aynı sayıda vektörden oluşur.

Not 2.İÇİNDE N– boyutlu bir vektör uzayında, herhangi bir sıralı koleksiyon temeldir N doğrusal bağımsız vektörler.

3. Uzay yönelimi.

Bunun için Mekanı yönlendirmek için bir temel oluşturmak ve bunu olumlu ilan etmek gerekiyor. .

Uzayın tüm tabanlarından oluşan kümenin iki sınıfa, yani iki ayrı alt kümeye ayrıldığı gösterilebilir.

a) bir alt kümeye (sınıfa) ait tüm bazlar aynısı yönlendirme (aynı adı taşıyan üsler);

b) ait olan herhangi iki baz çeşitli alt kümeler (sınıflar), tam tersi yönlendirme, ( farklı isimler bazlar).

Bir uzayın tabanlarının iki sınıfından biri pozitif, diğeri negatif olarak bildirilirse bu uzaya denir. odaklı .

Çoğu zaman, alanı yönlendirirken bazı üslere denir Sağ ve diğerleri - sol .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width = "61" height = "24 src = "> çağrılır Sağ, eğer üçüncü vektörün sonundan gözlemlerken, birinci vektörün en kısa dönüşü https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > gerçekleştirilir saat yönünün tersine(Şekil 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" genişlik = "16" yükseklik = "24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" genişlik = "15" yükseklik = "23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" genişlik = "13" yükseklik = "19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" genişlik = "16" yükseklik = "23">

Pirinç. 1.8. Sağ taban (a) ve sol taban (b)

Genellikle mekanın doğru temeli pozitif bir temel olarak beyan edilir

Alanın sağ (sol) temeli aynı zamanda "sağ" ("sol") vida veya burgu kuralı kullanılarak da belirlenebilir.

Buna benzetme yapılarak sağ ve sol kavramı tanıtılmıştır. üçlü sıralanması gereken eş düzlemli olmayan vektörler (Şekil 1.8).

Bu nedenle, genel durumda, aynı düzlemde olmayan vektörlerin iki sıralı üçlüsü uzayda aynı yönelime (aynı ad) sahiptir. V3 her ikisi de sağda veya her ikisi de soldaysa ve - biri sağda, diğeri soldaysa ters yönde (karşıt).

Aynı şey boşluk durumunda da yapılır V2 (uçak).

4. Bir vektörün esaslara göre ayrıştırılması.

Akıl yürütmeyi kolaylaştırmak için, bu soruyu üç boyutlu vektör uzayı örneğini kullanarak ele alalım. R3 .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> bu uzayın isteğe bağlı bir vektörü olsun.

VEKTÖR UZAYI (doğrusal uzay), aşağıdakilerden biri temel kavramlar cebir, (serbest) vektörlerden oluşan bir koleksiyon kavramının genelleştirilmesi. Vektör uzayında vektörler yerine sayılarla toplanabilen ve çarpılabilen nesneler dikkate alınır; bu, ana şeyin olmasını gerektirir cebirsel özellikler Bu işlemler temel geometrideki vektörlerle aynıydı. İÇİNDE kesin tanım sayılar herhangi bir K alanının elemanları ile değiştirilir. K alanı üzerindeki bir vektör uzayı, V'den elemanların eklenmesi işlemi ve V'den elemanların K alanındaki elemanlarla çarpılması işlemine sahip bir V kümesidir ve aşağıdaki özelliklere sahiptir:

V'den herhangi bir x, y için x + y = y + x, yani toplamaya göre V bir Abel grubudur;

K'den herhangi bir λ ve V'den x, y için λ(x + y) = λ χ + λу;

(λ + μ)x = λx + μx herhangi bir λ için, μ K'dan ve x V'den;

(λ μ)х = λ(μх) herhangi bir λ, K'dan μ ve V'den x için;

V'den herhangi bir x için 1x = x, burada 1, K alanının birimi anlamına gelir.

Bir vektör uzayının örnekleri şunlardır: temel geometrideki tüm vektörlerin L 1 , L 2 ve L 3 kümeleri, sırasıyla düz bir çizgide, bir düzlemde ve uzayda, vektörleri toplama ve bir sayıyla çarpma gibi olağan işlemlerle; Elemanlarının tümü n uzunluğundaki olası satırlar (vektörler) ve K alanındaki elemanlardan oluşan K n vektör uzayına koordinatlanır ve işlemler formüllerle verilir.

sabit bir M kümesi üzerinde tanımlanan ve K alanındaki değerleri alan tüm fonksiyonların F(M, K) kümesi, fonksiyonlar üzerindeki olağan işlemlerle:

E 1 ..., e n vektör uzayının elemanlarına doğrusal bağımsız denir, eğer λ 1 e 1 + ... +λ n e n = 0 Є V eşitliğinden tüm λ 1, λ 2,..., λ sonucu çıkarsa n = 0 Є K. Aksi halde e 1, e 2, ···> e n elemanlarına doğrusal bağımlı denir. Bir V vektör uzayında herhangi bir n + 1 eleman e 1,..., e n+1 doğrusal olarak bağımlıysa ve n adet doğrusal olarak bağımsız eleman varsa, o zaman V'ye n boyutlu bir vektör uzayı denir ve n, şunun boyutluluğudur: bir vektör uzayı V. Herhangi bir n doğal sayısı için bir V vektör uzayında doğrusal olarak bağımsız n vektör varsa, o zaman V'ye sonsuz boyutlu bir vektör uzayı denir. Örneğin L1, L2, L3 ve Kn vektör uzayı sırasıyla 1-, 2-, 3- ve n boyutludur; eğer M - sonsuz küme ise F(M, K) vektör uzayı sonsuz boyutludur.

Bir K alanı üzerindeki V ve U vektör uzayına, φ(x+y) = φ(x) + φ(y) olacak şekilde bire-bir φ : V -> U eşlemesi varsa izomorfik olduğu söylenir. V'den herhangi bir x, y ve K'den herhangi bir λ için ve V'den herhangi bir x için φ (λx) = λ φ(x). İzomorfik vektör uzayları cebirsel olarak ayırt edilemez. Sonlu boyutlu vektör uzaylarının izomorfizme kadar sınıflandırılması boyutlarına göre verilir: K alanı üzerindeki herhangi bir n boyutlu vektör uzayı, K n koordinat vektör uzayına izomorftur. Ayrıca bkz. Hilbert uzayı, Doğrusal cebir.

Basit bir alanın n elemanından oluşan bir dizi düşünün GF(q)(a^, a......bir p). Bu dizi denir l-po

sonuçlar alanın üzerinde GF)