Etkinlik hedefi: Öğrencilerin dersin konusuyla ilgili materyali genelleme, yapılandırma ve sistematik hale getirme becerilerini geliştirmek.

Eğitim hedefi: Eğitim materyalini sistematik hale getirin ve konunun içerik çizgisinin gelişim mantığını belirleyin, ana ve ana konu arasındaki bağlantıları güçlendirin. ek eğitim MIPT'deki ZFTSH seçmeli dersi temelinde, öğrencileri Birleşik Devlet Sınavında yüksek düzeyde karmaşıklıktaki sorunları çözmeye hazırlamak.

Eğitim hedefi: Sorunları bağımsız olarak çözmeye yönelik ilgiyi uyandırın, öğrencileri cesaretlendirin. aktif arama sorunları çözmenin rasyonel yolları, kişinin bir tartışmada kendi konumunu ifade etme yeteneğini geliştirmek, sonuçlara ulaşmaya yönelik öneriler formüle etme ve tartışma yeteneğini geliştirmek.

Eğitim hedefleri: standart dışı sorunları çözme ihtiyacının önündeki engelin aşılması; Bir parametreyle ilgili problemleri çözmek için algoritmik yöntemlerden oluşan bir veri tabanı oluşturmak, daha önce çalışılan materyalin genelleştirilmesine dayalı olarak problemleri çözmek için yöntemler seçmek, bu aşamadaki başarıları değerlendirmek ve daha ileri kendi kendine eğitim için planlar oluşturmak, ev ödevi sistemini optimize etmek, aşina olmak olasılıklar uzaktan eğitim dersin konusu hakkında.

Gelişimsel görevler: mantıksal düşünmenin, hafızanın, gözlemin geliştirilmesi, verileri doğru bir şekilde özetleme ve sonuç çıkarma yeteneği, edinilen bilgiyi uygulama becerilerinin geliştirilmesini teşvik etmek standart dışı koşullar Sebep-sonuç ilişkileri kurma becerilerinin geliştirilmesi, geliştirilmesi eleştirel düşünme.

Eğitimsel görevler:çalışılan konuya olumlu ilgiyi beslemek, öğrencilerin problem ve araştırma problemlerini çözmek için algoritmaya hakim olmaları için koşullar sağlamak, kolektif bir yaratıcı ortamı güçlendirmek, kendi bakış açılarını ifade etme yeteneğini geliştirmek için koşullar sağlamak.

Formlar, yöntemler ve pedagojik teknikler.

• Öğretim yöntemleri: problemli sunum, araştırma.
• Hipotez tanımlama sonucu tasarlamak, iş planlaması.
• Ana odak noktası öğrencilerin faaliyetlerini motive etmektir.
• Kolektif metodoloji yaratıcı aktivite, bilgi ve iletişim metodolojisi, problem arama metodolojisi.
• Ön kontrol Derse hazır olun - zor bir soru hazırlayın.
• Bireysel zorlukların güncellenmesi ve kaydedilmesi.
• Bir problemden kurtulmak için bir proje oluşturmak.
• Eğitim faaliyetlerine yansıma.

Öğrenme modelleri.

• Öğretimin iletişimsel, tartışma modeli
• Bilgi ve iletişim (bilgi kaynaklarının kullanımı).
• Grup ve gruplar arası etkileşim, değişen öğrenci etkinlikleri

Eleştirel düşüncenin gelişimi: meydan okuma, anlama, yansıtma.

Tartışma sonrasında ödevi tamamlama olanakları:

• Önerilen sorunlara tam çözüm.
• Şuna göre kümeler oluşturma: bireysel görevler grup ve değerlendirilmesi için kriterlerin seçimi.

Ödevlerde olası değişiklikler dersin ilerleyişine bağlıdır. Aslında öğrenciler ilerlemiş durumda. Ev ödevi bağımsız çalışma için.

Resepsiyon “Sorun durumu”

Eğitim bu sınıf“Cebir ve analizin başlangıcı” dersi S.M. Nikolsky, M.K. Potapova, N.N. Reshetnikova, A.V. Shevkina. Bu derste “Trigonometrik Denklemlerin Parametrelerle Çözülmesi” konusuna zaman ayrılmamaktadır. Sınıftaki birçok öğrenci için ilgili problemler oldukça karmaşıktır ve öğrenciler bu tür problemleri ders sırasında çözmeyi beklemezler. son sertifika. Ancak üniversite olimpiyatlarına katılmaya hazırlanırken bu konunun önüne geçilemez. Bu ders Temel fonksiyonların grafikleri, çözüm gibi dersin ana konularının incelenmesinde bağlantı aşamalarından biridir. ikinci dereceden denklemler ve eşitsizlikler ve aralıklar yöntemi kullanılarak bunlara indirgenebilecek problemler, eşdeğer geçişlerin diyagramlarının hazırlanması.

Öğrencilere önceden (dersten bir hafta önce) 5-6 kişilik gruplara ayrılarak evde tamamlayacakları 10 görev sunulur. Her gruptan çözümünü sınıf arkadaşlarına gösterebilecekleri üç problem seçmeleri istenir (bu problemlerin tasarımı sunum şeklinde sunulmalıdır); çözümlerden birinin mutlaka yanlış olması gerekir;

Bu tekniğin uygulanması şunları içerir:

• bilinenle bilinmeyen arasında bir çelişki durumu yaratıyor. Araştırma ve çözümün olası tüm aşamaları bilinmektedir.
• Bilinmeyen ise bu aşamalar arasında bağlantı kurularak çözüm algoritmasının oluşturulabilme olasılığıdır.
• mini gruplar halinde bireysel görevleri çözmek ve sunmak için bağımsız seçim;
• sonuçların toplu olarak doğrulanması;
• bu konuyla ilgili görevleri çözmeye hazır olma düzeyinin öz değerlendirmesiyle yansıması.

Dersin formüle edilmiş amacı “Trigonometrik denklemleri çözmek ve trigonometrik fonksiyonları incelemek için yöntem ve tekniklerin genelleştirilmesi” dir.

Öğrencilerden gelebilecek olası bir soru: “Parametrelerin bununla ne ilgisi var?” Öğrencileri şu sonuca varmanız tavsiye edilir: "Eğer sadece bir problemi değil, bütün bir problem bloğunu çözebilirseniz, o zaman gelecekteki faaliyetlerdeki fırsatlarınız önemli ölçüde genişler."

Derse hazır olup olmadığı kontrol ediliyor.

Öğrenciler ödev sonuçlarını sunmaya hazırlandıkları gruplar halinde otururlar.

Başlangıç ​​koşullarını değerlendirmek için öğretmen gruplara tablolar dağıtır ve önerilen sınıflandırmaya göre görev numaralarının atanmasını önerir.

Önerilen görevler.

Görev 1. Her biri için a parametresinin tüm değerlerini bulun çünkü denklem 3 x –(4a+1)cos 2 x+(3a 2 +4a)cosx-3a 2 = 0'ın parça üzerinde çift sayıda kökü vardır.

Görev 2. (a+1)cos4x -26acos 2 x +14a +1= 0, 4sin 3 x +6sin 2 x – 2sinx -3 = 0 denklemlerinin eşdeğer olduğu a parametresinin tüm değerlerini bulun.

Görev 3. Denklemin olduğu a parametresinin tüm değerlerini bulun bir çözümü var.

Görev 4. A parametresinin tüm değerleri için x 2 -2xcosa+1=0 denklemini çözün.

Görev 5. A parametresinin tüm değerleri için 9cos4x -12acos2x +2a 2 +9= denklemini çözün.

Görev 6. A parametresinin tüm değerleri için sin 4 x + cos 4 x a eşitsizliğini çözün.

Görev 7. a parametresinin hangi değerleri için cos 2 2x - (a 2 – 3)cos2x +a 2 – 4 =0 denkleminin aralıkta tam olarak iki kökü vardır

Görev 8. Her biri için fonksiyonun değer kümesi olan a parametresinin tüm değerlerini bulun. bir bölüm içerir.

Görev 9. T parametresinin hangi değerleri için sinx + cosx – sinxcosx =t denkleminin bir çözümü var?

Görev 10. Her biri için denklem olan k parametresinin tüm değerlerini bulun. aralıkta en az bir çözümü var

Sınıflandırma görevi - önerilen görevleri sınıflandırın:

1) zorluk seviyesine göre

2) trigonometrik ifadeleri dönüştürmek için kullanılan yöntemlere göre

3) Trigonometrik ifadelerin tanım alanına ilişkin karar bilgilerini kullanarak

4) trigonometrik fonksiyonların değer kümesi hakkındaki bilgileri çözümlerinde kullanmak

5) ikinci dereceden bir denklem veya eşitsizliğin çözüm kümesinin incelenmesine indirgenmesi

6) ifadeleri çarpanlarına ayırma becerisi gerektiren

7) önermek analitik yöntemçözümler

8) Koordinat-parametrik çözüm yönteminin varsayılması

9) “değişken – değer” düzlemini kullanarak geometrik yorumlamanın kullanımını içerir.

Not: Aynı görev çeşitli sınıflandırma başlıklarına girebilir.

• Kendi bakış açınıza göre çözebileceğiniz görevleri seçin.
• Kendi bakış açınıza göre çözmek istediğiniz görevleri seçin.
• Seçiminizi haklı çıkaracak argümanlar bulmaya çalışın.

Sınıflandırmayı yapmadan önce grupların önceden hazırladığı “zor” soruları sorabilirsiniz.

Görevlerin beş gruptan öğrenciler tarafından sunulma sırası ortaklaşa oluşturulur.

Öğrenciler 2, 3, 4, 5, 7, 9 numaralı problemleri çözmeyi seçtikleri için problem numarası grup halinde kurayla seçilmiş ve çözümü için bir algoritma sunulmuştur (öğrencilerin dikkatini dağıtmamak için detaylar Öğrenci gruplarının cevaplarının örtüşüp örtüşmediği kontrol edilmemiştir).

Öğrenci çözümlerinin sunumları öğretmenin iş istasyonunu kullanarak ekranda görüntülenir.

Çözümlerin tartışılmasına ilişkin kısa yorumlar.

Görev 2'ye verilen yanıtlardaki çelişkiler, (-1) ve (0) noktalarının dahil edilmesi ve hariç tutulmasıyla ilgili tartışma. Öğretmen algoritmanın tüm sonuçlarını takip etme ihtiyacına öğrencilerin dikkatini çeker.

Gruplardan biri temsil ediyor 3. sorunun yanlış çözümü. Çözüm öğretmenin önerdiğinden farklıdır ve mantıksızlıktan kurtulmaktan ibarettir. Öğrenciler denklemin sağ tarafının negatif olmaması gerekliliğini unutuyorlar.

Öğretmen, zorluk olarak “=” işaretini “” veya “” ile değiştirerek denklemler yerine eşitsizlikleri çözmeyi önerir. Öğrenciler, irrasyonel eşitsizlikleri çözerken daha önce çalışılmış eşdeğer geçiş şemalarına dikkat çekmeye teşvik edilir.

Yanıta parametre değerlerinin dahil edilmesinin hatalı durumu analiz edilir görev 7'de.İki dalın çözümlerinin çakışması tek çözüm olarak kabul edilir. Düşünmeye değer olarak (cos2x-1)(cos2x-a 2 +4) 0 eşitsizliğini sunabilir ve denklemlerin çoklu kökleri konusunda bir tartışma başlatabilirsiniz.

Karar hararetli tartışmalara yol açtı görevler 9.Öğrenci gruplarından biri sol taraftaki fonksiyon için Advanced Grapher programında elde edilen grafiği sunmuştur. orijinal denklem ve değerleri kümesinin [-2;1] segmenti olduğu sonucunu aldı. Yarışmacı öğrenci grubu hemen bu grafiği karşılık gelen yatay kılavuzlarla oluşturdu ve ölçeği artırarak t = -2 çizgisine hiçbir teğetlik olmadığını gösterdi. Ölçeğin arttırılması üst yatay çizgiye dokunulduğunda durumda bir değişikliğe yol açmadığından, birinci grup sorunun çözümünün en azından kısmen itibar edilmesinde ısrar etti.

Rakiplerin tek önemli argümanı, Birleşik Devlet Sınavında herhangi bir grafik çiziciyi kullanma fırsatının olmamasıydı. Bununla birlikte, sayısal hesaplamaların sonuçlarına hangi gerçek koşullar altında güvenilebileceği ve sınavlarda cevaplarda sayısal değerlerin yuvarlanmasına neden çoğunlukla izin verilmediği sorusu açık kaldı.

Şekil 1

Şekil 2

Görev 9'un doğru bir çözümü yoktur. sinx + cosx = p değişkenlerini değiştirmek için bir öneride bulunulur, öğrenciler bir “çelişki” dile getirir: 1 + sin2x = p 2 .

t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2, t(x)'in oluşturulan grafiği t fonksiyonu için tamamen farklı bir değerler kümesi verir.

Şekil 3

Çelişki dikkatli bir değiştirme gerekliliği ile ortadan kaldırılır: t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2 yalnızca sinx +cosx 0 için

Noktaların koordinatlarının eşitsizliği karşıladığı çizgiler taramayla vurgulanır.

Şekil 4

sinx +cosx olduğunda<0:

t(x) = -karek(1+sin(2x))-sin(2x)/2.

K noktalarının koordinatlarının eşitsizliği karşıladığı çizgiler tarama ile vurgulanır.

Şekil 5

Ders hızla sona eriyor. Görevler 1, 6, 8, 10 hayranlarını bulamadı. Öğretmen, gruplar tarafından seçilen problemlerin çözümüne yönelik algoritmalar sunarken dersin başında öğrencilerin gerçekleştirdiği görevlerin sınıflandırmasını gözden geçirdi. Tablolardaki bilgilere bakılırsa, 1, 8, 10. görevler öğrenciler tarafından özellikle zor olarak değerlendiriliyor ve bunları çözmek için herhangi bir fikir yok. Görev 6, ön aşamada cevaplarda tutarsızlıklara neden olduğundan öğrenciler bunu sunum için seçmediler.

Ödev: Tartışılan sorunları değiştirin ve onlara kendi çözümünüzü sunun. Olası değişiklikler: Verilen denklemleri eşitsizliklere çevirin; sayısal katsayıları değiştirin, problem koşullarına göre diğer soruları formüle edin.

Öğretmen ayrıca öğrencilerin seçtiği problemlere kendi analitik çözümünü düşünmeyi ve bir sonraki ders için çözümlerin avantaj ve dezavantajları hakkında yorum yapmayı önerir.

Refleks.

Öğrenciler dışsal bir özellik olarak yansıtmaya ihtiyaç duyarlar “ALTI ŞAPKA.”

Mevcut olmadıkları için, 5 gruptan her birinin zihinsel olarak şapkanın rengini, kırmızı hariç herhangi bir rengi (tartışma sırasında yeterince duygu olduğu için) seçtiğini ve geçmiş derse yönelik tutumlarını ifade ettiğini kabul ediyoruz.

“Beyaz şapka”: Önerilen on görevden yalnızca 6'sı dikkate alındı. Çoğu görevin çözümünde kusurlar vardı. Hazırlık aşamasında bilgisayarın yardımcı olarak kullanılması hatalı delillere dönüşmüştür. Trigonometrik eşitsizlikleri nasıl çözeceğimizi bilmiyoruz.

“Siyah Şapka”: Görevlerin düzeyi açıkça yeteneklerimizi aşıyor. Birleşik Devlet Sınavında trigonometri yalnızca tam çözümü olan en basit problemdedir; parametreli Birleşik Devlet Sınavı problemi için benzer modellere ihtiyacımız yoktur. Trigonometrik denklemlerin aralıklarda köklerini seçerken hatalarımız oluyor, eğitimlerde buna zaman ayırmamız gerekiyor. Grupların bileşimi eşit değildir. Çekiliş, ilk grupların daha basit görevleri seçmesine izin verdi; bu, notlarda dikkate alınmadı. Kararlarda hata yapılmasını özellikle önermeye gerek yoktu ve bu olmadan da pek çok hata ortaya çıkıyordu.

“Sarı Şapka” 11. sınıfın sonunda değil de şimdi zor problemler görmemiz iyi oldu. Ele alınan problemlerin onları çözmek için algoritmaları var, sadece beyninizi bunlara alıştırmanız gerekiyor. Ders kitabında, 11. paragrafın tüm alt paragrafları, çözümleri benzer algoritmalara dayandığından “parametreli problemler” ailelerini temsil etmektedir.

Yetkinliklerin “tavanını” belirlemek için zaman vardır. Ya da belki birisi yarışmalara veya olimpiyatlara katılmak ister? Onlara giden yolun başlangıcını zaten gördüğümüzü varsayabiliriz.

“Yeşil Şapka” Bana öyle geliyor ki bu tür sorunları çözmek programcılar için en uygun olanıdır. Programların takılmaması için koşullu atlamalar yapmaları, kritik değerleri atlamaları gerekiyor, muhtemelen trigonometri konularını dikkate alan bir program bankası var. Sadece bir programcı pozisyonunu kabul etmeniz gerekiyor ve işler yoluna girecek.

“Mavi Şapka” bir öğretmendir. Çok pragmatik olanlar dışında tüm yorum ve ifadelere katılıyorum. Ve pragmatistler, belirli bir durumda hayatın sizden ne isteyeceğini asla bilemeyeceğinizi akılda tutmalıdır.

Geriye kalan çözülmemiş sorunların çözümüne ilişkin bir istişare yapılması önerisi var, istişareye katılım gönüllüdür, yakın gelecekte kontrol ve teşhis çalışmalarında bu düzeyde karmaşıklıkta hiçbir görev olmayacaktır.

Özetle.

Arkadaşlar, bugün trigonometride yaratıcı çözüm arayışlarına doğru küçük de olsa birlikte bir adım attık. Trigonometrik denklemleri ve bunları çözmenin çeşitli yollarını daha iyi anladığınıza eminim.

Yazılı değerlendirme çalışmasını tamamlarken belirli bir görev türünü seçme fırsatına sahip olacaksınız. Umarım parametrelerle ilgili problemler dikkatiniz tarafından göz ardı edilmez.

Sınıftaki aktif çalışmanız için teşekkür ederiz. Ders bitti. Güle güle!

İÇİNDE Ek 1Önerilen sorunlara yönelik yorumları ve kısa bir çözümü içerir.

İÇİNDE Ek 2 dersin oluşturulmasında kullanılan literatürün bir listesi ve gerekli malzeme ve teknik donanım sağlanır.

İÇİNDE Ek 3 Derse hazırlıkta kullanılan Advanced Grapher programında oluşturulan grafikler sunulmuştur.

Sergiyev Posad, 2012

GİRİİŞ

Parametrelerle ilgili problemler, okul çocukları arasında mantıksal düşünme ve matematik kültürünün oluşmasında önemli rol oynamakta, ancak bunları çözmek onlara önemli zorluklar yaşatmaktadır. Bunun nedeni, parametreli her denklemin, her biri için bir çözüm elde edilmesi gereken bir dizi sıradan denklemi temsil etmesidir. Bu tür görevler birleşik devlet sınavında ve üniversitelere giriş sınavlarında sunulmaktadır.

Birleşik Devlet Sınavı 2011'in (Tablo 1) sonuçlarına dayanarak, öğrenciler için en büyük zorluğun parametrelerle problem çözmenin neden olduğu sonucuna varabiliriz. Yaklaşık %87,9'u bu tür görevleri tamamlamaya başlamıyor ve yalnızca %0,87'si maksimum puanı alıyor. Bunun nedeni ortaokul matematik programının parametreli problemlerin çözümüne çok fazla önem vermemesidir. Dolayısıyla her öğretmenin derste bu tür sorunları çözmeye zaman ayırması gerekir. Bu problemler tamamen matematiksel ilgiye sahiptir, öğrencilerin entelektüel gelişimine katkıda bulunur ve becerilerin uygulanması için iyi bir materyal görevi görür.

Tablo 1. C1-C6 görevlerini tamamlamaya ilişkin ortalama sonuçlar

Bu çalışmada ele alınan tüm görevlerin amacı, öğrencilerin parametrelerle trigonometrik denklemler ve onlarla bir denklem çözmenin ne anlama geldiği hakkında fikir sahibi olmalarına yardımcı olmaktır. Parametrelerle tanışmanın en başında öğrenciler, çelişkili özelliklerinden dolayı psikolojik bir engel yaşarlar. Bir yandan denklemdeki parametrenin bilinen bir büyüklük olarak kabul edilmesi gerekirken diğer yandan parametrenin spesifik değeri verilmemektedir. Bir taraftan parametre sabit bir değer iken diğer taraftan farklı değerler alabilmektedir. Denklemdeki parametrenin “bilinmeyen bir miktar”, “sabit bir değişken” olduğu ortaya çıktı. Bu çelişkili ifadeler öğrencilerin aşması gereken zorlukların özünü doğru bir şekilde yansıtmaktadır.

1. Parametreli denklem çözmenin teorik temelleri

Bir denklemde bazı katsayılar belirli sayısal değerlerle verilmeyip harflerle gösteriliyorsa bunlara parametre denir ve denklem parametriktir.

Doğal olarak, bu tür problemler çoğu kişinin asıl şeyi kavramasına izin vermiyor: Sabit ancak bilinmeyen bir sayı olan parametre ikili bir yapıya sahiptir. Birincisi, sözde şöhret, parametre ile sayı olarak “iletişim kurmanıza” izin verir ve ikincisi, iletişim özgürlüğünün derecesi, onun belirsizliği ile sınırlıdır. Dolayısıyla parametre içeren bir ifadeye bölmek ve bu tür ifadelerden çift dereceli kökün çıkarılması ön araştırma gerektirir. Tipik olarak bu çalışmaların sonuçları hem kararı hem de cevabı etkiler.

Bir açıklama yapalım. Parametreli denklemleri çözmenin önemli bir adımı cevabı yazmaktır. Bu özellikle çözümün parametre değerlerine bağlı olarak "dallara ayrıldığı" örnekler için geçerlidir. Bu gibi durumlarda bir yanıt oluşturmak, daha önce elde edilen sonuçların bir derlemesidir. Ve burada çözümün tüm aşamalarını cevaba yansıtmayı unutmamak çok önemlidir.

Bu tür sorunları çözmeye nasıl başlanır? Her şeyden önce, parametrelerle ilgili problemleri çözerken, herhangi bir denklemi veya eşitsizliği çözerken yapılanları yapmanız gerekir - verilen denklemleri veya eşitsizlikleri daha basit bir forma indirin, eğer bu elbette mümkünse: rasyonel ifadeyi çarpanlara ayırın; bir trigonometrik polinomun çarpanlarına ayrılması; modüllerden, logaritmalardan vb. kurtulun. Daha sonra görevi tekrar tekrar okumanız gerekir.

Parametreli ana görev türleri:

Tip 1. Tüm parametre değerleri için veya belirli bir aralıktaki parametre değerleri için çözülmesi gereken problemler.

Tip 2. Parametrenin değerine bağlı olarak çözüm sayısını bulmanız gereken problemler.

Tip 3. Sorunun belirli sayıda çözümü olduğu parametre değerlerini bulmanın gerekli olduğu sorunlar

Tip 4. Çözüm kümesinin belirtilen koşulları karşıladığı parametre değerlerini bulmanın gerekli olduğu problemler.

Bu çalışma, bu tür zor görevlerin çözümünde yardımcı olabilecek parametreler ve belirli algoritmalar içeren trigonometrik denklemleri incelemektedir.

O halde denklemi ele alalım

F ( x, y, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (F)

bilinmeyenler x, y, ..., z ve α, β, ..., γ parametreleriyle ; kabul edilebilir herhangi bir parametre değerleri sistemi için α 0 ,β 0 , ..., γ 0 denklem (F) denklem haline gelir F(x, y, ..., z; α 0 ,β 0 , ..., γ 0 ) = 0 (F 0 )

bilinmeyenlerle x, y,..., z, hiçbir parametre içermez. Denklem ( Fo ) bazı iyi tanımlanmış (belki de boş) çözüm kümesine sahiptir.

Tanım. Parametreler içeren bir denklemi (veya sistemi) çözmek için bu, kabul edilebilir her parametre değerleri sistemi için şu anlama gelir:

Belirli bir denklemin (sistemin) tüm çözümlerinin kümesi.

Parametreleri içeren bir denkleme uygulanan eşdeğerlik kavramı aşağıdaki şekilde oluşturulur.

Tanım. İki denklem (sistemler)

F(x, y, ..., z; α,β, ..., γ) = 0(F), Ф (x, y, ..., z; α, β, ..., γ) = 0 (K)

bilinmeyen x, y,..., z ve α, β, ..., γ parametreleriyle, her iki denklem (sistem) için kabul edilebilir parametre değerleri sistemleri kümesi aynıysa ve kabul edilebilir her biri için eşdeğer olarak adlandırılır. değerler sistemi, parametreler her iki denklem (denklem sistemi) eşdeğerdir.

Bu yüzden, kabul edilebilir herhangi bir değer sistemi için eşdeğer denklemler

parametreler aynı çözüm kümesine sahiptir.

Kabul edilebilir parametre değerleri sistemleri kümesini değiştiren bir denklemin dönüşümü, verilen denkleme eşdeğer olmayan bir denklemin oluşmasına yol açar.

En basit trigonometrik denklemleri çözmek için formüller şunlardır:

1. Parametrelerle trigonometrik denklemlerin çözümüne yönelik yaklaşımlar

Örnek 1. (Ek değişkenlerin tanıtılması,)

Her biri için denklem olan a parametresinin tüm değerlerini bulun.

Bir çözümü var.

Çözüm .

Yeni bir değişken tanıtalım: x, t . O zaman bu denklem şu şekli alır: t 2 – (a + 2)t – (a + 3) = 0.

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi t değişkeniyle çözmek için onun diskriminantını buluyoruz: D = a 2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a 2 + 8a + 16 = (a + 4) 2 . D≥0 olduğundan ikinci dereceden denklemin bir çözümü vardır

t 1,2 = = ;

t1 =

t2 =

-1 sayısı aralığa ait değilBöylece bize bir parametreyle verilen trigonometrik denklemin şu koşul altında bir çözümü vardır:

0 ≤ a +3 ≤ 1, -3 ≤ a ≤ -2.

Cevap. Denklemiçin bir çözümü var.

Örnek 2. (Ek değişkenlerin tanıtılması,)

Denklemin verildiği p parametresinin tüm değerlerini bulun

6sin 3 x = p – 10cos2x’in kökü yoktur.

Çözüm:

6sin 3 x = p – 10cos2x;

6sin 3 x + 10cos2x = p;

6sin 3 x + 10(1 – 2sin 2 x) = p;

6sin 3 x – 20sin 2 x + 10 = p.

Yeni bir değişken tanıtalım:,T o zaman trigonometrik denklem 6t formunu alacaktır 3 – 20t 2 + 10 = p.

y = 6t fonksiyonunu düşünün 3 – 20t 2 +10 ve segmentteki en büyük ve en küçük değerler açısından inceleyin

Türevi bulma:

Fonksiyonun kritik noktalarını belirliyoruz:

2 numara aralığa ait değil0 noktasında ve segmentin uçlarında fonksiyonun değerlerini hesaplıyoruz:

y(0) = 0 – 0 + 10 = 10,

y(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

y(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

segmentte maksimum y(t) = 10, min y(t) = -16.

Bu şu anlama gelir: p Orijinal denklemin kökleri yoktur.

Cevap. Denklem 6sin 3 x=p–10Cos2x'in p'de kökü yoktur

Örnek 3. (Ek değişkenlerin tanıtılması,)

A parametresinin hangi değerleri için 2 + cosx(3cosx + asinx) ifadesi herhangi bir x değeri için sıfıra eşit değildir?

Çözüm:

Yani 2 + cosx(3cosx + asinx)=0 denkleminin kökü olmayan a parametresinin tüm değerlerini bulmak gerekiyor.

2+cosx(3cosx + asinx)=0;

2(cos 2 x + sin 2 x) + cosx(3cosx + asinx)=0;

2cos 2 x + 2sin 2 x + 3cos 2 x + asinxcosx = 0;

2sin 2 x + asinxcosx + 5cos 2 x = 0 ikinci dereceden homojen bir denklemdir.

Eğer cosx = 0 ise sinx = 0 olur ki bu imkansızdır çünkü cos 2 x + günah 2 x = 1 olduğundan homojen denklemin sol ve sağ taraflarını ikiye böleriz.

2tg formunda bir denklem elde ederiz 2 x + atgx + 5 = 0. Bu denklemi çözmek için yeni bir değişken ekledik: t = tgx, t o zaman 2t 2 + + 5 = 0'da.

Yöntem 1.

Öncelikle elde edilen ikinci dereceden denklemin çözülebildiği a parametresinin tüm değerlerinin kümesini bulalım. Bu setin R'ye eklenmesi istenen cevap olacaktır.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ancak ve ancak D≥0 ise vardır.

D = a 2 – 40, a 2 – 40 ≥ 0, a 2 ≥ 40,

A ] ; ).

Bu kümenin R'ye tamamlayıcısı (-2) aralığıdır.

Yöntem 2. İkinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri yoktur ancak ve ancak D ise

D = a 2 – 40, a 2 – 40 ve 2 40,

A; ).

Cevap. 2+cosx(3cosx + asinx) ifadesi, herhangi bir x değeri için sıfıra eşit değildir.; ).

Örnek 4. (Fonksiyon şu şekilde verilmiştir:)

Denklem a ve b'nin hangi değerleri için yapılır?

Tek bir çözümü var mı?

Çözüm:

Sorunun çözümü şuna dayanmaktadır: eğer fonksiyon F eşitlikle verilenise A=B, C=0 koşulları denklem için gerekli ve yeterli koşullardır. f(x)=0 tek bir çözümü vardı. Böylece problemin çözümü sistemin a ve b parametrelerine ilişkin bir çözüme indirgenir:

Sistemin ilk denkleminden şunu buluyoruz:

Ve o zamandan beri

sonra sistemleri dikkate almaya geliriz

Görüldüğü gibi ikinci sistemin çözümlerinin tamamı parametre değerleridir. A, eşitlikle tanımlanmış

İlk sisteme gelince, uyumsuz olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle sistemin ikinci denklemi dikkate alınarak gerekli parametrelerin aranması a ve b sisteme çözüm bulmaya geliyor:

Buradaki cevap açıktır:

Örnek 5. (Klasik formüllerin uygulanması)

Bir parametrenin en büyük tam sayı değerini bulun A , bunun için denklem

cos2x + asinx = 2 a – 7’nin bir çözümü var.

Çözüm:

Verilen denklemi dönüştürelim:

cos2x + a sinx = 2 a – 7;

1 – 2sin 2 x + asinx = 2 a – 7;

günah 2 x - a sinx + a – 4 = 0;

Denklemin çözümü
verir:

1. (sinх – 2) = 0;

sinx=2;

Hiçbir çözüm yok veya .

≤ 1 olduğunda.

Eşitsizlik ≤ 1'in çözümü vardır 2 ≤ A ≤ 6, a parametresinin en büyük tamsayı değerinin 6 olduğu anlamına gelir.

Cevap: 6.

Örnek 6. Klasik formüllerin uygulanması

Denklemi çöz

Çözüm:

Denklem kolayca şuna dönüştürülebilir:

Eğer o zaman ve denklemin kökleri yoktur.

Eğer Son denklemin kökleri varsa

Daha sonra

Cevap: ne zaman

kök yok.

Örnek 7. (Değişkenlerin ve parametrelerin olası değer aralığını bölme)

Çözüm:

Şu tarihte: Denklemin çözümü yoktur.

Şu tarihte:

Cevap:

Örnek 8. (Değişkenlerin ve parametrelerin olası değer aralığını bölme)

Denklemi çöz

Çözümleri için parametreler ve yöntemlerle aşkın denklemler

tez

2.4 Parametreli trigonometrik denklemler

Trigonometrik denklem - bilinmeyen bir argümanın trigonometrik fonksiyonlarını içeren bir denklem.

En basit trigonometrik denklemleri çözmek için formüller:

Trigonometrik denklemleri çözerken aşağıdaki ilkeleri kullanmak uygundur:

1. En basit trigonometrik denklemi çözerken, argümanını değiştirerek derecesini azaltmak uygundur.

2. Doğrulama gerekliyse, denklemin yerine bulunan argümanın değerini değil, çözümde kullanılan trigonometrik fonksiyonların değerlerini koymak uygundur.

Örnek 1. A parametresinin tüm geçerli değerleri için denklemi çözün

Denklemi dönüştürelim.

Yukarıda bahsedilen prensip 1'e göre sistemin ilk denklemini dönüştürüyoruz:

Dikkat.

Dolayısıyla denklem (1) sisteme eşdeğerdir:

Sonuç olarak denklem (1)'in çözümünün olmaması için eşitsizliğin sağlanması yeterlidir.

Artık (2) sisteminin ilk denkleminin her zaman çözümleri olduğuna göre, ikinci koşulunun yerine getirilmesine dikkat etmemiz gerekiyor.

Yukarıdaki prensibe dayanarak 2 eşdeğer dönüşüm:

Sistem (2)'yi şu şekle indirgeyelim:

Bu nedenle, bir parametre kısıtlandığında aşağıdaki ek koşullar ortaya çıkar: Denklemin (1) çözümlerinin olmaması için, x değişkeninin herhangi bir değerinin olması gerekli ve yeterlidir.

denklem setini sağladı:

1) Eğer öyleyse.

Ancak böyle bir a için denklem (3) şeklini alır ve her çözüm set (4)'ü karşılamaz.

Dolayısıyla, denklem (1)'in çözümleri olduğunda, x değişkeninin değerleri, yani.

2) Eğer öyleyse, yani.

A parametresinin bu değerleri için denklem (3) şu şekli alır:

Denklemin (1) bir çözüme sahip olması için, olması gerekir

O zaman geriye kalan budur.

Geri kalanı için denklemin şu şekilde bir çözümü vardır:

Cevap: Denklemin çözümü olmadığında; en; en; .

Örnek 2. Denklemin kök sayısını belirleyin

segmentte.

Sol tarafı dönüştürelim.

Daha sonra orijinal denklem şu şekli alacaktır:

Tüm terimleri sola taşıyıp denklemi yeniden dönüştürelim.

Segmentteki ilk denklemin dört kökü vardır:

İkinci denklemin kökleri yoktur. Eğer öyleyse, o zaman denklemin söz konusu aralıkta benzersiz bir çözümü olduğu açıktır. Eğer öyleyse, yani. bir segmentte denklemin iki kökü vardır.

'de, kümenin ikinci denkleminin köklerinin, birinci denklemin kökleri arasında yer aldığına dikkat edin.

Cevap: Denklemin dört kökü vardır; denklemin beş kökü olduğunda; denklemin altı kökü olduğunda.

Örnek 3. Denklemin verildiği a parametresinin tüm değerlerini bulun

tam olarak yedi çözümü var.

cOb koordinat düzleminde (2) sistemini sağlayan tüm noktaların kümesini oluşturuyoruz.

İlk denklem bir doğruya paralel bir doğrular ailesini belirtir.

İkinci denklem, merkezi orijinde olan yarıçaplı çemberlerin bir ailesidir.

Ancak koşullar yerine getirilirse ikinci denklem, birinci koordinat çeyreğinde bulunan dairenin dörtte biridir. c ve b aynı anda sıfıra eşit olamaz, aksi halde daire bir T noktasına dönüşür. Kök sayısının tek olması gerektiğinden, düz çizgilerden biri

çembere Mn noktasında dokunmalıdır.

Böyle bir dairenin yarıçapını bulalım.

Böylece, (3)

a parametresinin n'ye bağımlılığını ifade eder, burada.

Şekilden görüldüğü gibi çeyrek dairenin yarıçapı arttıkça (2) sisteminin çözüm sayısının ve dolayısıyla orijinal denklemin kök sayısının arttığı görülmektedir. Çemberin dörtte biri düz çizgilere değdiğinde tam olarak 7 tane olacak. Bu durumda formül (3)'e göre

Cevap: Denklemin yedi çözümü var.

Not. İlk bakışta denklemin verdiği doğruya teğet olan dairenin çeyreği ve noktalarından geçecek gibi görünebilir. Gerçekte durum böyle değildir çünkü böyle bir dairenin yarıçapı

Benzer şekilde, bir doğruya teğet olan çeyrek daire de noktalardan geçmeyecektir ve bu dairenin yarıçapı

Örnek 4. 2 sayısının denklemin kökü olduğu a parametresinin tüm değerlerini bulun

Bunu denklemde yerleştirelim. A parametresi için bir denklem elde ederiz:

Cevap: Denklemin kökü olduğu zaman.

Örnek 5. A parametresinin tüm geçerli değerleri için denklemi çözün

Fonksiyonu ele alalım. Açıkça, .

Fonksiyonu ele alalım.

İki pozitif sayının () aritmetik ortalaması ve geometrik ortalaması hakkındaki eşitsizliğin yanı sıra g(x) fonksiyonunun tuhaflık özelliğini kullanarak şunu elde ederiz:

Böylece elimizde

O halde Teorem 7'ye göre orijinal denklem iki sistemin toplamına eşdeğerdir.

Cevap: ne zaman, ; en; hiçbir çözüm olmadığında.

Trigonometrik denklemlerin yanı sıra parametrelerle ilgili problemler arasında ters trigonometrik fonksiyonlar içeren parametrelerle ilgili problemler de bulunmaktadır.

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımlarını hatırlayalım:

1., fonksiyonun tersi olan [-1;1] aralığında tanımlanan bir fonksiyondur. Böylece,

2. fonksiyonun tersi olan [-1;1] aralığında tanımlanan bir fonksiyondur. Böylece,

[-1;1] segmentindeki herhangi bir x için elimizde:

3. fonksiyonun tersi olan bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyondur. Böylece,

Herhangi bir x için elimizde:

4. fonksiyonun tersi olan bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyondur. Böylece,

Herhangi bir x için elimizde:

Fonksiyonlara ters trigonometrik fonksiyonlar veya yay fonksiyonları denir. Bazı önemli kimlikleri not edelim

Örnek 6. a parametresinin her geçerli değeri için denklemi çözün

Denklemin sol tarafını özdeşliği kullanarak dönüştürelim.

Koordinat düzleminde tOb (Şekil 12), her birinin koordinat ve parametre değerleri karışık sistemi (2), (3) karşılayan tüm noktaların (t;b) kümesi bir parabolün parçasıdır (2), (3) sisteminin eşitsizliklerinin belirttiği bölgede yer almaktadır.

Bu nedenle eğer

Cevap: eğer öyleyse;

eğer öyleyse, o zaman hiçbir çözüm yoktur.

Örnek 7. Her biri için denklem olan a parametresinin tüm değerlerini bulun.

tam olarak üç çözümü var.

Orijinal denklemi formda yeniden yazalım.

Eşitlik buna eşdeğer olduğundan ve orijinal denklem trigonometrik denkleme eşdeğer olduğundan

Denklemi (1) çözelim.

Küme ve dolayısıyla denklem (1), (2) koşulunu karşılayan: biçiminde sonsuz sayıda köke sahip olduğunda. Yani görevin gereklerini yerine getirmiyor.

Denklem (1) şu şekilde sonsuz sayıda köke sahip olduğunda: .

Onlar için koşul (2) eşitsizliğe dönüşüyor

a parametresi ancak ve ancak bu eşitsizliğin tam olarak üç tamsayı çözümüne sahip olması durumunda cevaba dahil edilir. İki sayının farkının modülünün geometrik yorumunu kullanarak bunun eşitsizliğe eşdeğer olduğu açıktır.

Durumu dikkate alarak şunu elde ederiz:

Denklemin (1) çözümünün tümü gerçel sayılar ise, koşul (2) şu biçimi alır: , yani orijinal denklemin çözüm kümesi bir aralıktır. Bu küme sonsuz olduğundan değer cevaba dahil edilmez.

Cevap: Denklemin tam olarak üç çözümü olduğunda.

Ele alınan tüm sorunlara dayanarak, her olası parametre için değişkenin tüm değerlerini bulmak gerektiğinden, birinci ve dördüncü tip parametrelerle aşkın denklemleri “dallanma” yöntemini kullanarak çözmenin en iyisi olduğu sonucuna varabiliriz. değer (veya belirli bir aralıktaki parametre değerleri için) veya çözüm kümesinin belirli koşulları karşıladığı değer. Bununla birlikte, çözüm süreci oldukça uzun ve karmaşık olduğundan bu yöntem her zaman güvenilir değildir, bu nedenle başlangıçta, çözümü önemli ölçüde basitleştiren belirli bir denkleme işlevsel bir yaklaşımın uygulanmasının mümkün olup olmadığının belirlenmesi tavsiye edilir.

Ancak aşkın denklemleri ikinci ve üçüncü tip parametrelerle çözmek, grafik yöntemini kullanarak çok daha kolaydır, çünkü koşul yalnızca parametrenin değerine bağlı olarak çözüm sayısının veya tam tersine parametrenin değerlerinin belirlenmesini gerektirir. problemin belirli sayıda çözümü olduğu yer. Çizilen grafikler, belirtilen koşulların ne zaman karşılandığını açıkça gösterir.

Ancak her zaman şu veya bu yöntemi kullanmak mümkün olmayabilir; bazen bir değil birden fazla çözüm yönteminin kullanılmasını gerektiren sorunlar ortaya çıkabilir.

Grafikler ve işlevleri

Trigonometrik fonksiyonların okul müfredatında çalışılması nedeniyle, makalede bunlara çok az önem verilmektedir. Tüm ana hükümler tabloda belirtilmiş (bkz. Ek 12), grafikleri ise aşağıda verilmiştir (bkz. Ek 13)...

İrrasyonel fonksiyonların entegrasyonu

İrrasyonel fonksiyonların integralleri arasında, formdaki integrallerin büyük pratik uygulaması vardır. Bu tür integraller trigonometrik ikameler kullanılarak bulunabilir. Radikal işaretinin altında tam bir kare seçelim: ve sonra yerine başkasını koyalım...

Okul çocuklarının trigonometrik denklemleri çözme yeteneğini geliştirme sürecinde üç aşamayı ayırt etmeniz önerilir: 1. hazırlık, 2. basit trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözme yeteneğini geliştirme, 3...

Bilinmeyenler x, y, ..., z ve b,c, .. parametreleriyle F(x,y,...,z;b,c,...,z)=0 (1) denklemini düşünün. , g; kabul edilebilir herhangi bir parametre değeri sistemi için b0, b0, ..., z0, denklem (1), F(x, y,..., z; b0, b0,... , z0) = 0 ( 2) bilinmeyenler x, y,..., z... ile

Örnek 1: (a 2 -4) сosh=a+2 denkleminin a parametresinin hangi değerlerinde çözüme sahip olduğunu belirleyin. Çözüm: a 2 -4=0 a 2 =4.a=±2. a) Eğer a=2 ise bu denklem şu şekilde olur: 0 cos=4 0=4 – çözümü yoktur. b) Eğer a = -2 ise bu denklem şu şekilde olur: 0 cos = 0 0 = 0 - x R için doğrudur. Dolayısıyla a = -2 için x herhangi bir değerdir. c) Eğer a ±2 ise denklemi şu şekilde yazarız. Çünkü Cevap: a (- ;1] ) ise denklemin çözümleri vardır.