Kosinüs değerlerinin [-1; 1], yani -1 ≤ çünkü α ≤ 1. Dolayısıyla |a| > 1 ise cos x = a denkleminin kökü yoktur. Örneğin cos x = -1,5 denkleminin kökü yoktur.
Birkaç problemi ele alalım.
Çünkü x = 1/2 denklemini çözün.
Çözüm.
Cos x'in, P (1; 0) noktasının orijin etrafında bir x açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen, yarıçapı 1'e eşit olan bir daire üzerindeki bir noktanın apsisi olduğunu hatırlayın.
Apsis 1/2, M 1 ve M 2 çemberinin iki noktasındadır. 1/2 = cos π/3 olduğundan, P (1; 0) noktasından M 1 noktasını x 1 = π/3 açısıyla ve ayrıca x = π/3 + 2πk açısıyla döndürerek elde edebiliriz; burada k = +/-1, +/-2, …
M 2 noktası, P (1; 0) noktasından x 2 = -π/3 açısıyla ve ayrıca -π/3 + 2πk açılarıyla döndürülerek elde edilir, burada k = +/-1, +/-2 , ...
Dolayısıyla cos x = 1/2 denkleminin tüm kökleri aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,
Sunulan iki formül bir formülde birleştirilebilir:
x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.
Denklemi çözün çünkü x = -1/2.
Çözüm.
M 1 ve M 2 çemberi üzerindeki iki noktanın apsisi -1/2'ye eşittir. -1/2 = cos 2π/3 olduğundan, açı x 1 = 2π/3 ve dolayısıyla açı x 2 = -2π/3 olur.
Sonuç olarak cos x = -1/2 denkleminin tüm kökleri şu formül kullanılarak bulunabilir: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.
Dolayısıyla cos x = 1/2 ve cos x = -1/2 denklemlerinin her biri sonsuz küme kökler 0 ≤ x ≤ π aralığında, bu denklemlerin her birinin yalnızca bir kökü vardır: x 1 = π/3 denklemin köküdür çünkü cos x = 1/2 ve x 1 = 2π/3 denklemin köküdür cos x = -1/2.
π/3 sayısına 1/2 sayısının arkkosinüsü denir ve şöyle yazılır: arccos 1/2 = π/3, 2π/3 sayısına ise (-1/2) sayısının arkkosinüsü denir ve yazılır : arccos (-1/2) = 2π/3 .
Genel olarak, -1 ≤ a ≤ 1 olan cos x = a denkleminin 0 ≤ x ≤ π aralığında yalnızca bir kökü vardır. a ≥ 0 ise kök aralığın içinde yer alır; Eğer bir< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.
Böylece a sayısının ark kosinüsü € [-1; 1 ], kosinüsü a'ya eşit olan bir a € sayısıdır:
arccos а = α, eğer cos α = а ve 0 ≤ а ≤ π (1) ise.
Örneğin, arccos √3/2 = π/6, çünkü cos π/6 = √3/2 ve 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, çünkü cos 5π/6 = -√3/2 ve 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
Problem 1 ve 2'yi çözme sürecinde yapıldığı gibi, denklemin tüm köklerinin cos x = a olduğu gösterilebilir, burada |a| ≤ 1, formülle ifade edilir
x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).
Cos x = -0,75 denklemini çözün.
Çözüm.
Formül (2)'yi kullanarak x = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z'yi buluruz.
Açıölçer kullanılarak açı ölçülerek şekildeki arcos değeri (-0,75) yaklaşık olarak bulunabilir. Ark kosinüsünün yaklaşık değerleri, özel tablolar (Bradis tabloları) veya bir mikro hesap makinesi kullanılarak da bulunabilir. Örneğin, arccos'un değeri (-0,75) bir mikro hesap makinesinde hesaplanabilir; Yaklaşık değer 2.4188583. Yani arccos (-0,75) ≈ 2,42. Bu nedenle arccos (-0,75) ≈ 139°.
Cevap: arccos (-0,75) ≈ 139°.
(4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0 denklemini çözün.
Çözüm.
1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.
2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.
Cevap. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.
Herhangi bir € [-1; 1] adil Arcco formülü(-а) = π – arccos а (3).
Bu formül ark kosinüs değerlerini ifade etmenizi sağlar negatif sayılar pozitif sayıların yay kosinüsleri aracılığıyla. Örneğin:
arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;
arccos (-√2/2) = π – arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4
formül (2)'den, a = 0, a = 1 ve a = -1 için denklemin kökleri cos x = a'nın daha basit formüller kullanılarak bulunabileceği sonucu çıkar:
çünkü x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)
çünkü x = 1 x = 2πn, n € Z (5)
çünkü x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
İyi geceler çok ilginç bir soru sordunuz: çünkü x = 3 çözüm. Bu en yaygın görevdir. Ve evet, her zaman öncelikle bildiğiniz her şeyi hesaba katarak hemen karar vermeye başlayabilirsiniz. Ve evet, masada arccos 3'ü bulamamanız bile bir engel değil O yüzden şunu söyleyeyim. korkunç sır. Sin ve cos gibi fonksiyonlar birden büyük bir sayıya eşit olamaz. Yani çözümlerin olduğunu varsaymak mantıklıdır. verilen denklem HAYIR. Gelecekte aptalca hatalar yapmamak için bunu hatırlamanız gerekiyor. Benzer bir şeyi çözmeye çalışalım ama çözümü olan bir şey. Bu görev gibi değil. Örneğin:
Şimdi bunun çözümüne geçelim. belirli kural Her zaman kullanılması gereken ve aşağıdaki genel formu alacak olan benzer denklemlerin çözümü:
Bir kez hallettikten sonra genel karar, o zaman şimdi denkleminizi çözmeye devam edebiliriz:
Tabloyu kullanarak değeri bulacağız. Ve bundan şunu anlıyoruz 
Temelleri çözdüğümüze göre artık denkleminizi tamamen çözebiliriz.
