Tam bir ikinci dereceden denklemin tamamlanmamış bir denkleme dönüştürülmesi şuna benzer (\(b=0\ durumu için):

\(c=0\) veya her iki katsayının sıfıra eşit olduğu durumlarda her şey benzerdir.

Lütfen \(a\)'nın sıfıra eşit olmasının söz konusu olmadığını unutmayın; bu durumda şuna dönüşecektir:

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

Her şeyden önce, tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemin hala bir olduğunu ve bu nedenle sıradan bir ikinci dereceden denklemle aynı şekilde (üzerinden) çözülebileceğini anlamalısınız. Bunu yapmak için denklemin eksik bileşenini sıfır katsayılı olarak ekleriz.

Örnek : \(3x^2-27=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm :

Cevap : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Örnek : \(-x^2+x=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm :

Video eğitimi 2: İkinci Dereceden Denklemleri Çözme

Ders: İkinci dereceden denklemler

Denklem- bu, değişkenin bulunduğu ifadelerde bir tür eşitliktir.

Denklemi çözün- değişken yerine onu doğru eşitliğe getirecek bir sayı bulmak anlamına gelir.

Bir denklemin tek bir çözümü olabilir, birkaç çözümü olabilir veya hiç çözümü olmayabilir.

Herhangi bir denklemi çözmek için mümkün olduğunca aşağıdaki forma basitleştirilmelidir:

Doğrusal: a*x = b;

Kare: a*x 2 + b*x + c = 0.

Yani herhangi bir denklemin çözülmeden önce standart forma dönüştürülmesi gerekir.

Herhangi bir denklem iki şekilde çözülebilir: analitik ve grafiksel.

Grafikte denklemin çözümü, grafiğin OX eksenini kestiği noktalar olarak kabul edilir.

İkinci dereceden denklemler

a*x 2 + b*x + c = 0.

burada a, b, c denklemin sıfırdan farklı katsayılarıdır. A "X"- denklemin kökü. İkinci dereceden bir denklemin iki kökü olduğuna veya hiç çözümü olmayabileceğine inanılmaktadır. Ortaya çıkan kökler aynı olabilir.

"A"- karekökten önceki katsayı.

"B"- birinci derecede bilinmeyenin önünde durur.

"İle" - Ücretsiz Üye denklemler

Örneğin, şu formda bir denklemimiz varsa:

2x2 -5x+3=0

Burada “2” denklemin baş teriminin katsayısı, “-5” ikinci katsayı ve “3” serbest terimdir.

İkinci dereceden denklem çözme

İkinci dereceden bir denklemi çözmenin çok çeşitli yolları vardır. Ancak, okul kursu Matematikte çözüm, diskriminantın yanı sıra Vieta teoremi kullanılarak incelenir.

Diskriminant çözümü:

ile çözerken Bu method diskriminantın aşağıdaki formülü kullanarak hesaplanması gerekir:

Hesaplamalar sırasında diskriminantın olduğunu fark ederseniz Sıfırdan daha az, Bu demektir verilen denklem hiçbir çözümü yok.

Eğer diskriminant sıfıra eşit, o zaman denklemin iki tane var özdeş çözümler. Bu durumda polinom, kısaltılmış çarpma formülü kullanılarak toplamın veya farkın karesine daraltılabilir. Daha sonra bunu doğrusal denklem olarak çözün. Veya şu formülü kullanın:

Eğer diskriminant Sıfırın üstünde, o zaman aşağıdaki yöntemi kullanmanız gerekir:

Vieta teoremi

Denklem verilirse, baş terim için bir katsayı vardır. bire eşit, o zaman kullanabilirsiniz Vieta teoremi.

O halde denklemin şöyle olduğunu varsayalım:

Denklemin kökleri şu şekilde bulunur:

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem

Şekli katsayıların varlığına bağlı olan, tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem elde etmek için birkaç seçenek vardır.

1. İkinci ve üçüncü katsayılar sıfır ise (b = 0, c = 0), o zaman ikinci dereceden denklem şöyle görünecektir:

Bu denklem tek karar. Eşitlik ancak denklemin çözümü sıfır olduğunda doğru olacaktır.

Bununla matematik programı Yapabilirsiniz ikinci dereceden denklemi çöz.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm sürecini de iki şekilde gösteriyor:
- diskriminant kullanmak
- Vieta teoremini kullanarak (mümkünse).

Üstelik cevap yaklaşık olarak değil kesin olarak gösteriliyor.
Örneğin, \(81x^2-16x-1=0\) denklemi için cevap aşağıdaki biçimde görüntülenir:

Bu program lise öğrencileri için faydalı olabilir orta okul hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olduğu kadar çabuk halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz. küçük kardeşler veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.

Giriş kurallarına aşina değilseniz ikinci dereceden polinom, bunlara aşina olmanızı öneririz.

İkinci dereceden polinom girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb.

Sayılar tam veya kesirli sayı olarak girilebilir.
Dahası, kesirli sayılar yalnızca ondalık sayı olarak değil aynı zamanda sıradan bir kesir olarak da girilebilir.

Ondalık kesir girme kuralları.
Ondalık sayılarda kesir bütünden nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin, girebilirsiniz ondalık sayılarşu şekilde: 2,5x - 3,5x^2

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz.

Girerken sayısal kesir Pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Bütün parça kesirden bir ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Sonuç: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Bir ifade girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemi çözerken, tanıtılan ifade ilk önce basitleştirilir.
Örneğin: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuyu yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

İkinci dereceden denklem ve kökleri. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

Denklemlerin her biri
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
benziyor
\(ax^2+bx+c=0, \)
burada x bir değişkendir, a, b ve c sayılardır.
Birinci denklemde a = -1, b = 6 ve c = 1.4, ikincisinde a = 8, b = -7 ve c = 0, üçüncüsünde ise a = 1, b = 0 ve c = 4/9 bulunmaktadır. Bu tür denklemlere denir ikinci dereceden denklemler.

Tanım.
İkinci dereceden denklem ax 2 +bx+c=0 biçiminde bir denklem denir; burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve \(a \neq 0 \).

a, b ve c sayıları ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır. A sayısına birinci katsayı, b sayısına ikinci katsayı, c sayısına ise serbest terim denir.

ax 2 +bx+c=0 formundaki denklemlerin her birinde (burada \(a\neq 0\), x değişkeninin en büyük kuvveti bir karedir. Bu nedenle adı: ikinci dereceden denklem.

İkinci dereceden bir denklemin ikinci dereceden bir denklem olarak da adlandırıldığını unutmayın, çünkü sol tarafı ikinci dereceden bir polinomdur.

x 2 katsayısının 1'e eşit olduğu ikinci dereceden denklem denir verilen ikinci dereceden denklem. Örneğin, verilen ikinci dereceden denklemler denklemlerdir
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

İkinci dereceden bir denklemde ax 2 +bx+c=0 b veya c katsayılarından en az biri sıfıra eşitse, böyle bir denklem denir tamamlanmamış ikinci dereceden denklem. Dolayısıyla -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 denklemleri tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir. Bunlardan ilkinde b=0, ikincisinde c=0, üçüncüsünde b=0 ve c=0 olur.

Üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem vardır:
1) ax 2 +c=0, burada \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, burada \(b \neq 0 \);
3) balta 2 =0.

Bu türlerin her birinin denklemlerini çözmeyi düşünelim.

\(c \neq 0 \ için) ax 2 +c=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözmek için, serbest terimini sağ tarafa taşıyın ve denklemin her iki tarafını da a'ya bölün:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \) olduğundan \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Eğer \(-\frac(c)(a)>0\), o zaman denklemin iki kökü vardır.

Eğer \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi \(b \neq 0 \) ile çözmek için genişletin Sol Taraf faktörlere göre ve denklemi elde edin
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

Bu, \(b \neq 0 \) için ax 2 +bx=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin her zaman iki kökü olduğu anlamına gelir.

ax 2 =0 formundaki tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklem, x 2 =0 denklemine eşdeğerdir ve bu nedenle tek bir kökü 0'dır.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

Şimdi hem bilinmeyenlerin katsayılarının hem de serbest terimin sıfırdan farklı olduğu ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğine bakalım.

İkinci dereceden denklemi genel formda çözelim ve sonuç olarak köklerin formülünü elde edelim. Bu formül daha sonra herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için kullanılabilir.

İkinci dereceden denklemi çözün ax 2 +bx+c=0

Her iki tarafı a'ya bölerek eşdeğer indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Binomun karesini seçerek bu denklemi dönüştürelim:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

Radikal ifadeye denir ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı ax 2 +bx+c=0 (Latince'de “ayırıcı” - ayrımcı) D harfiyle belirtilir, yani.
\(D = b^2-4ac\)

Şimdi diskriminant gösterimini kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerinin formülünü yeniden yazıyoruz:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), burada \(D= b^2-4ac \)

Şu açıktır:
1) D>0 ise ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır.
2) Eğer D=0 ise ikinci dereceden denklemin bir kökü vardır \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Eğer D Dolayısıyla, diskriminantın değerine bağlı olarak, ikinci dereceden bir denklemin iki kökü olabilir (D > 0 için), bir kökü olabilir (D = 0 için) veya hiç kökü olmayabilir (D için) Bunu kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken formülü aşağıdaki şekilde yapmanız önerilir:
1) diskriminantı hesaplayın ve sıfırla karşılaştırın;
2) Diskriminant pozitif veya sıfıra eşitse kök formülü kullanın; diskriminant negatifse kök olmadığını yazın.

Vieta teoremi

Verilen ikinci dereceden ax 2 -7x+10=0 denkleminin kökleri 2 ve 5'tir. Köklerin toplamı 7, çarpımı ise 10'dur. Köklerin toplamının buradan alınan ikinci katsayıya eşit olduğunu görüyoruz. zıt işaret ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Kökleri olan herhangi bir indirgenmiş ikinci dereceden denklem bu özelliğe sahiptir.

Yukarıdaki ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir.

Onlar. Vieta teoremi, ikinci dereceden indirgenmiş x 2 +px+q=0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2'nin şu özelliğe sahip olduğunu belirtir:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

5x(x-4) = 0

5 x = 0 veya x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Birinci dereceden denklemleri çözmeyi öğrendikten sonra, elbette başkalarıyla, özellikle ikinci dereceden denklemlerle, aksi takdirde ikinci dereceden olarak adlandırılanlarla çalışmak istersiniz.

İkinci dereceden denklemler ax² + bx + c = 0 gibi değişkenin x olduğu, sayıların a, b, c olduğu, a'nın sıfıra eşit olmadığı denklemlerdir.

İkinci dereceden bir denklemde katsayılardan biri veya diğeri (c veya b) sıfıra eşitse, bu denklem tamamlanmamış ikinci dereceden denklem olarak sınıflandırılacaktır.

Öğrenciler şimdiye kadar yalnızca birinci dereceden denklemleri çözebilmişse, tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür? Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri düşünün farklı şekiller ve bunları çözmenin basit yolları.

a) Eğer c katsayısı 0'a eşitse ve b katsayısı sıfıra eşit değilse, ax ² + bx + 0 = 0, ax ² + bx = 0 formundaki bir denkleme indirgenir.

Böyle bir denklemi çözmek için, eksik ikinci dereceden bir denklemi çözme formülünü bilmeniz gerekir; bu, sol tarafının çarpanlara ayrılmasından ve daha sonra ürünün sıfıra eşit olması koşulunun kullanılmasından oluşur.

Örneğin, 5x² - 20x = 0. Alışılagelmiş işlemleri yaparken denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırıyoruz. matematiksel operasyon: götürmek ortak çarpan parantez dışında

5x(x-4) = 0

Çarpımların sıfıra eşit olması koşulunu kullanıyoruz.

5 x = 0 veya x - 4 = 0

Cevap şu olacaktır: ilk kök 0'dır; ikinci kök 4'tür.

b) Eğer b = 0 ve serbest terim sıfıra eşit değilse, ax ² + 0x + c = 0 denklemi ax ² + c = 0 formundaki bir denkleme indirgenir. Denklemler iki şekilde çözülür. : a) Denklemin sol tarafındaki polinomunu çarpanlara ayırarak; b) aritmetiğin özelliklerini kullanmak kare kök. Böyle bir denklem aşağıdaki yöntemlerden biri kullanılarak çözülebilir:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Cevap şu olacak: ilk kök 5/2; ikinci kök - 5/2'ye eşittir.

c) Eğer b 0'a ve c 0'a eşitse, ax ² + 0 + 0 = 0, ax ² = 0 formundaki bir denkleme indirgenir. Böyle bir denklemde x, 0'a eşit olacaktır.

Gördüğünüz gibi, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin ikiden fazla kökü olamaz.

", yani birinci dereceden denklemler. Bu derste bunlara bakacağız ikinci dereceden denklem denir ve nasıl çözüleceği.

İkinci dereceden denklem nedir?

Önemli!

Bir denklemin derecesi bilinmeyenin bulunduğu en yüksek dereceye göre belirlenir.

Eğer maksimum derece, burada bilinmeyen "2"dir, bu da ikinci dereceden bir denkleminiz olduğu anlamına gelir.

İkinci dereceden denklem örnekleri

• 5x2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Önemli! İkinci dereceden bir denklemin genel formu şöyle görünür:

bir x 2 + b x + c = 0

• “a” birinci veya en yüksek katsayıdır;
• “b” ikinci katsayıdır;
• “c” ücretsiz bir üyedir.

“a”, “b” ve “c”yi bulmak için denkleminizi “ax 2 + bx + c = 0” ikinci dereceden denklemin genel formuyla karşılaştırmanız gerekir.

İkinci dereceden denklemlerde "a", "b" ve "c" katsayılarını belirlemeye çalışalım.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• bir = 1
• b = 0,25
• c = 0

• bir = 1
• b = 0
• c = −8

İkinci Dereceden Denklemler Nasıl Çözülür?

Farklı doğrusal denklemler ikinci dereceden denklemleri çözmek için özel bir kökleri bulma formülü.

Hatırlamak!

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için ihtiyacınız olan:

• ikinci dereceden denklemi şuna indirgeyin: Genel görünüm"ax 2 + bx + c = 0". Yani sağ tarafta sadece “0” kalmalı;
• kökler için formülü kullanın:

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için formülün nasıl kullanılacağına ilişkin bir örneğe bakalım. İkinci dereceden bir denklem çözelim.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 − 3x − 4 = 0" denklemi zaten "ax 2 + bx + c = 0" genel formuna indirgenmiştir ve ek basitleştirme gerektirmez. Bunu çözmek için uygulamamız yeterli İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü.

Bu denklem için “a”, “b” ve “c” katsayılarını belirleyelim.

İkinci dereceden herhangi bir denklemi çözmek için kullanılabilir.

“x 1;2 =” formülünde radikal ifade sıklıkla değiştirilir
“D” harfine “b 2 − 4ac” denir ve diskriminant olarak adlandırılır. Diskriminant kavramı “Discriminant nedir” dersinde daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

İkinci dereceden denklemin başka bir örneğine bakalım.

x 2 + 9 + x = 7x

Bu formda “a”, “b” ve “c” katsayılarını belirlemek oldukça zordur. Öncelikle denklemi “ax 2 + bx + c = 0” genel formuna indirgeyelim.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Artık kökler için formülü kullanabilirsiniz.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

İkinci dereceden denklemlerin köklerinin olmadığı zamanlar vardır. Bu durum, formülün kök altında negatif bir sayı içerdiğinde ortaya çıkar.