Ley grandes números es la ley central de la teoría de la probabilidad debido a que formula la conexión fundamental entre regularidad y aleatoriedad. En concreto, sostiene que un gran número de accidentes genera un patrón que permite predecir el curso de los acontecimientos. en la mayoría forma general el se expresa teorema de chebyshev:

Dejar ( Χ1; X2; … X norte ; ...) variables aleatorias independientes (se supone que son numero infinito). Y dejemos que sus variaciones sean uniformemente limitadas (es decir, las variaciones de todas estas variables aleatorias no exceder alguna constante CON):

Entonces no importa lo poco numero positivo, se satisface la relación de probabilidad límite:

si el número de variables aleatorias es lo suficientemente grande. O, lo que es lo mismo, probabilidad

Así, el teorema de Chebyshev establece que si consideramos un número suficientemente grande norte variables aleatorias independientes ( Χ1; X2; … Xn), entonces el evento puede considerarse casi confiable (con una probabilidad cercana a la unidad) de que la desviación de la media aritmética de estas variables aleatorias de la media aritmética de sus expectativas matemáticas será de acuerdo con valor absoluto tan pequeño como quieras.

Prueba. Χ1; X2; … Xn):

(4)

; (5)

Teniendo en cuenta las condiciones (1), establecemos que

(6)

Por tanto, cuando la varianza es . Es decir, cuando la dispersión de valores de una variable aleatoria a su alrededor expectativa matemática disminuye indefinidamente. Y esto significa que cuando el valor, es decir, . O, para ser más precisos, la probabilidad de que una variable aleatoria se desvíe al menos de alguna manera de su expectativa matemática (una constante) tiende a cero. Es decir, para cualquier número positivo arbitrariamente pequeño

Entonces, según el probado teorema de Chebyshev, la media aritmética de un gran número de variables aleatorias independientes ( Χ1; X2; … Xn), al ser una variable aleatoria, en realidad pierde el carácter de aleatoriedad y se convierte, de hecho, en una constante inmutable. Esta constante es igual a la media aritmética de las expectativas matemáticas de los valores ( Χ1; X2; … Xn). Esta es la ley de los grandes números.

Se puede dar otra prueba del teorema de Chebyshev. Para ello utilizamos la desigualdad de Chebyshev. Es válido tanto para variables aleatorias discretas como continuas y tiene valor en sí mismo. La desigualdad de Chebyshev nos permite estimar la probabilidad de que la desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática no exceda un número positivo en valor absoluto. Presentemos una prueba de la desigualdad de Chebyshev para variables aleatorias discretas.

La desigualdad de Chebyshev: La probabilidad de que la desviación de una variable aleatoria incógnita de su expectativa matemática en valor absoluto es menor que un número positivo, no menor que:

.

Prueba: Desde eventos consistentes en la implementación de desigualdades. Y , son opuestos, entonces la suma de sus probabilidades es igual a 1, es decir . De ahí la probabilidad que nos interesa. (*)

encontraremos . Para esto encontremos la varianza variable aleatoria INCÓGNITA.

Todos los términos de esta suma no son negativos. Descartemos aquellos términos para los cuales (para los términos restantes ), por lo que el importe sólo puede disminuir. Aceptemos asumir, para mayor certeza, que k los primeros términos (supondremos que en la tabla de distribución los valores posibles están numerados exactamente en este orden). De este modo,

Dado que ambos lados de la desigualdad son positivas, por lo tanto al elevarlas al cuadrado obtenemos la desigualdad equivalente . Usemos esta observación, reemplazando cada uno de los factores en la suma restante. número (en este caso la desigualdad solo puede aumentar), obtenemos. (**)

Según el teorema de la suma, la suma de las probabilidades es la probabilidad de que incógnita tomará uno, sin importar cuál, de los valores , y para cualquiera de ellos la desviación satisface la desigualdad . De ello se deduce que la suma expresa la probabilidad . Esto nos permite reescribir la desigualdad (**) de la siguiente manera: . (***).

sustituyamos (***) V (*) y obtenemos , que era lo que había que demostrar.

Prueba del teorema 2 de Chebyshev:

Introduzcamos una nueva variable aleatoria en consideración: la media aritmética de variables aleatorias ( Χ1; X2; … Xn):

Utilizando las propiedades de expectativa matemática y dispersión, obtenemos:

; . (*)

Aplicando la desigualdad de Chebyshev a la cantidad, tenemos.

Considerando la relación (*),

Por condición se entiende . (***) Sustituyendo el lado derecho (***) en la desigualdad (**) tenemos

De aquí, pasando al límite en , obtenemos

Como la probabilidad no puede exceder uno, finalmente obtenemos:

Que es lo que necesitábamos demostrar.

Detengámonos en un caso particular importante del teorema de Chebyshev. Es decir, considere el caso en el que variables aleatorias independientes ( Χ1; X2; … Xn) tener mismas leyes distribuciones, y por lo tanto las mismas características numéricas:

(8)

Entonces para la variable aleatoria , según (5), tenemos:

(9)

La relación de probabilidad límite (7) en este caso tomará la forma:

(10)

La conclusión que sigue de (10) es gran valor para combatir errores aleatorios al realizar varios tipos de mediciones.

Digamos, por ejemplo, que necesita medir una determinada cantidad. A. Produciremos no uno, sino varios ( norte) mediciones repetidas independientes del valor de esta cantidad. Cualquier medición es inherente a un error aleatorio asociado con la imperfección del dispositivo de medición, todo tipo de interferencias aleatorias en la medición, etc. Por lo tanto los resultados ( Χ1; X2; … Xn) mediciones secuenciales individuales del valor deseado A, en términos generales, no se darán: serán variables aleatorias. Además, con cantidades que tienen distribuciones idénticas, porque las mediciones se realizan repetidamente, es decir, a constante condiciones externas. Luego, para la cantidad, la media aritmética de los resultados de todos. norte mediciones - se cumplirá la relación de probabilidad límite (10). Esto significa que esta media aritmética pierde el carácter de aleatoriedad, convirtiéndose en A– valor real de la cantidad medida. Esto, por cierto, se evidencia en las fórmulas (9), según las cuales:

(11)

Es decir, habiendo realizado un número suficientemente grande de mediciones repetidas de la cantidad deseada A, en cada uno de los cuales es posible un error de medición aleatorio, y luego encontrar el promedio resultados aritméticos Para estas medidas utilizamos la fórmula

A(12)

podemos obtener el valor y prácticamente sin errores aleatorios.

Esta conclusión es consecuencia de la ley de los grandes números. EN en este caso esta ley se manifiesta en el hecho de que al resumir los resultados de la medición en (4) errores aleatorios Las dimensiones individuales, que en principio aparecen con la misma frecuencia con un signo más y un signo menos, generalmente se anulan entre sí. Y el error restante aún se dividirá en norte, es decir, disminuirá aún más en norte una vez. Entonces cuando valores grandes norte el valor será casi exactamente igual al valor medido A. Naturalmente, esta conclusión se utiliza ampliamente en la práctica.

Nota. En magnitud se anulan entre sí sólo errores aleatorios mediciones, es decir, errores asociados a la acción de factores aleatorios (interferencia). Pero los errores sistemáticos (permanentes), es decir, los errores inherentes a cada medición, naturalmente permanecen en . Por ejemplo, una flecha derribada (no ajustada) en un dispositivo provoca un error constante (sistemático) en cada medición y, por tanto, lo provoca en la media aritmética de los resultados de estas mediciones. Los errores sistemáticos deben eliminarse incluso antes de realizar las mediciones y no deben permitirse durante el proceso de medición.

Entonces, si α es el valor de división del dispositivo de medición, entonces todas las mediciones repetidas se realizan con una precisión de α. Pero entonces, naturalmente, la media aritmética de los resultados de todas las mediciones solo puede indicarse con una precisión de α, es decir, con una precisión determinada por la precisión del dispositivo.

Por lo tanto, no se debe pensar que, habiendo realizado un número suficientemente grande de mediciones repetidas de la cantidad A y luego encontrando la media aritmética de los resultados de estas mediciones, obtenemos exacto significado A. Lo obtendremos sólo dentro de la precisión del dispositivo de medición. Y aun así, si excluimos error sistemático medidas.

Aquí hay otro importante. caso especial ley de los grandes números. Dejar x=k– el número de ocurrencias de algún evento A V norte pruebas repetidas ( incógnita– variable aleatoria). Y deja y – probabilidad de ocurrencia y no ocurrencia de un evento A en una sola prueba. Considere una variable aleatoria: la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento A V norte pruebas. Presentemos también norte variables aleatorias ( X 1, X 2, …X n), que representan el número de ocurrencias del evento. A en el primero, segundo,... norte-ésimas pruebas. Entonces k = X 1 + X 2 +…+ X p y la ocurrencia de un evento A prácticamente coincide con la probabilidad de que ocurra el evento A en una sola prueba. Esta conclusión se basa en encontrar las probabilidades de muchos eventos aleatorios, cuyas probabilidades no se pueden encontrar de otra manera (teóricamente).

Por ejemplo, supongamos que la prueba sea lanzar una moneda deformada (asimétrica) y el evento A Para este desafío, es una caída de cresta. probabilidad de evento A Por fórmula clásica o de alguna otra manera formula teorica es difícil de encontrar, porque dicha fórmula debe reflejar de alguna manera las características de la deformación de la moneda. Por tanto, el verdadero camino que conduce a la meta es uno: lanzar la moneda repetidamente (cuanto mayor sea el número de lanzamientos norte, mejor) y determinar empíricamente la frecuencia relativa de aparición del escudo de armas. Si norte es grande, entonces de acuerdo con la ley de los grandes números es posible con alta probabilidad afirmar que .

La ley de los grandes números se manifiesta en muchos fenómenos naturales y sociales.

Ejemplo 1. Como es sabido, el gas colocado en un recipiente cerrado ejerce presión sobre las paredes del recipiente. Según las leyes del estado gaseoso, a temperatura constante del gas, esta presión es constante. La presión del gas es causada por impactos caóticos de moléculas individuales contra las paredes del recipiente. Las velocidades y direcciones de movimiento de todas las moléculas son diferentes, por lo tanto, las fuerzas de impacto de diferentes moléculas en las paredes del recipiente también son diferentes. Sin embargo, la presión del gas en las paredes del recipiente no está determinada por la fuerza de impacto de las moléculas individuales, sino por su promedio por la fuerza. Pero ella es como la promedio. gran número a pesar de todo fuerzas activas, según la ley de los grandes números, se mantendrá prácticamente sin cambios. Por tanto, la presión del gas en las paredes del recipiente permanece prácticamente sin cambios.

Ejemplo 2. Una compañía de seguros que se ocupa, por ejemplo, de seguros de automóviles, paga diferentes importes de seguro para diferentes eventos asegurados (accidentes de tráfico y accidentes de tráfico). Sin embargo, el valor promedio de este monto de seguro, como promedio de muchos diferentes norte Los importes de los seguros independientes, según la ley de los grandes números, se mantendrán prácticamente sin cambios. Puede determinarse examinando las estadísticas reales de reclamaciones de seguros. Para que una compañía de seguros evite pérdidas, la prima de seguro promedio cobrada a sus clientes debe ser mayor que la prima promedio pagada por la compañía a sus clientes. Pero esta prima no debería ser demasiado alta para que la empresa sea competitiva (para competir en atractivo con otras compañías de seguros).

Realizamos esta prueba en dos etapas. Primero, supongamos que sí y observe que en este caso D(S°) según el teorema de dispersión de la suma. Según la desigualdad de Chebyshev, para cualquier t > 0

Para t > norte lado izquierdo menor que, y el último valor tiende a cero. Esto completa la primera parte de la prueba.

Descartemos ahora la condición restrictiva para la existencia de D(). Este caso se reduce al anterior mediante el método de truncamiento.

Definamos dos nuevos conjuntos de variables aleatorias dependiendo de, de la siguiente manera:

Uk =, Vk =0, si (2.2)

U k = 0, V k =, si

Aquí k=1,… , n y es fijo. Entonces

para todos k.

Sea (f(j)) la distribución de probabilidad de variables aleatorias (la misma para todos los j). Supusimos que = M() existe, por lo que la suma

finito. Entonces también hay

donde la suma se realiza sobre todos aquellos j para los cuales. Tenga en cuenta que aunque depende de n, es lo mismo para

U 1, U 2, ..., U n. Además, para, y por lo tanto, para arbitrario > 0 y todo n suficientemente grande

U k son mutuamente independientes, y su suma U 1 +U 2 +…+U n se puede tratar exactamente de la misma manera que con X k en el caso de dispersión finita, aplicando la desigualdad de Chebyshev, obtenemos algo similar a (2.1)

Debido a (2.6), se deduce que

Como la serie (2.4) converge, la última suma tiende a cero a medida que n aumenta. Por lo tanto, para un n suficientemente grande

y por lo tanto

P(V 1 +…+V norte 0). (2.12)

Pero, tanto de (2.9) como de (2.12) obtenemos

Como son arbitrarios, lado derecho Se puede hacer tan pequeño como se desee, lo que completa la prueba.

Teoría de los juegos "inofensivos"

En un análisis más profundo de la esencia de la ley de los grandes números, utilizaremos la terminología tradicional de jugadores, aunque nuestras consideraciones permiten igualmente y aplicaciones más serias, y nuestros dos supuestos básicos son más realistas en estadística y física que en juego. Primero, supongamos que el jugador tiene capital ilimitado, de modo que ninguna pérdida puede provocar que el juego termine. (Rechazar esta suposición conduce al problema de la ruina del jugador, que siempre intriga a los estudiantes de la teoría de la probabilidad.) En segundo lugar, supongamos que el jugador no tiene el temperamento para interrumpir el juego cuando quiera: el número n de intentos debe fijarse de antemano y No debe depender de los juegos de movimientos. De lo contrario, el jugador, bendecido con un capital ilimitado, esperaría una serie de éxitos y en el momento adecuado pararía el juego. Un jugador así no está interesado en la fluctuación probable en un momento dado, sino en las fluctuaciones máximas en una larga serie de juegos, que están descritas por la ley del logaritmo iterado más que por la ley de los grandes números.

Introduzcamos la variable aleatoria k como el pago (positivo o negativo) de késima repetición juegos. Entonces la suma S n = 1 +…+ k son las ganancias totales después de n repeticiones del juego. Si antes de cada repetición el jugador paga una contribución (no necesariamente positiva) por el derecho a participar en el juego, entonces n representa la contribución total pagada por él y S n son las ganancias netas totales. La ley de los grandes números se aplica si p=M(k) existe. En términos generales, para n grande es bastante plausible que la diferencia S n - parezca pequeña en comparación con n. Por lo tanto, si es menor que p, entonces para n grande el jugador probablemente obtendrá una recompensa del orden de magnitud. Del mismo modo, es casi seguro que una contribución resulta en una pérdida. En resumen, el azar es favorable al jugador y el azar es desfavorable.

Tenga en cuenta que todavía no hemos dicho nada sobre el caso. En este caso, la única conclusión posible es que si y es lo suficientemente grande, la ganancia o pérdida total S n - n será con una probabilidad muy alta pequeña en comparación con n. Pero no se sabe si S n - n resultará. ser positivo o negativo, es decir, si el juego será rentable o ruinoso. Esto no fue tomado en cuenta teoría clásica, que llamó un precio inofensivo y un juego con “inofensivo”. Es necesario comprender que un juego "inofensivo" puede ser claramente rentable y ruinoso.

Está claro que en el “caso normal” no sólo existe M(k), sino también D(k). En este caso, la ley de los grandes números se complementa con el teorema del límite central, y este último dice que es muy plausible que en un juego “inofensivo” la ganancia neta como resultado de un juego largo S n - n sea de del orden de n 1/2 y que para n suficientemente grande esta ganancia será aproximadamente igualdad de oportunidades positivo o negativo. Por tanto, si se aplica el teorema central del límite, entonces el término juego "inofensivo" está justificado, aunque incluso en este caso estamos ante un teorema del límite, que se enfatiza con las palabras "como resultado de un juego largo". Análisis exhaustivo muestra que la convergencia en (1.3) empeora a medida que aumenta la dispersión. Si es grande, entonces aproximación normal será efectivo sólo para n extremadamente grande.

En concreto, imaginemos una máquina en la que, al colocar un rublo en ella, el jugador puede ganar (10--1) rublos con una probabilidad de 10, y en otros casos pierde el rublo rebajado. Aquí tenemos las pruebas de Bernoulli y el juego es "inofensivo". Habiendo completado un millón de pruebas, el jugador pagará por ello un millón de rublos. Durante este tiempo puede ganar 0, 1,2,... veces. Según la aproximación de Poisson para distribución binomial, con una precisión de unos pocos decimales, la probabilidad de ganar exactamente k veces es igual a e -1 /k!. Así, con una probabilidad de 0,368. . . el jugador perderá un millón y con la misma probabilidad sólo recuperará sus gastos; tiene una probabilidad de 0,184... de adquirir exactamente un millón, etc. Aquí, 10 6 intentos equivalen a un solo intento en un juego con pagos que tienen una distribución de Poisson.

Evidentemente, no tiene sentido aplicar la ley de los grandes números en este tipo de situaciones. Este plan incluye seguros contra incendios, accidentes automovilísticos, etc. Una gran cantidad está expuesta al riesgo, pero la probabilidad correspondiente es muy pequeña. Sin embargo, aquí normalmente sólo hay una prueba por año, por lo que el número n de pruebas nunca llega a ser grande. Para el asegurado, el juego no es necesariamente “inofensivo”, aunque puede resultar bastante rentable económicamente. La ley de los grandes números no tiene nada que ver con eso. En cuanto a la compañía de seguros, se ocupa de una gran cantidad de juegos, pero debido a la gran variación, todavía aparecen fluctuaciones aleatorias. Las primas de seguro deben fijarse para evitar grandes pérdidas en determinados años y, por tanto, la empresa está más interesada en el problema de la ruina que en la ley de los grandes números.

Cuando la varianza es infinita, el término juego "inofensivo" deja de tener sentido; no hay razón para creer que la ganancia neta total S n - n fluctúe alrededor de cero. En realidad. Hay ejemplos de juegos “inofensivos” en los que la probabilidad de que el jugador sufra una pérdida neta como resultado tiende a uno. La ley de los grandes números sólo establece que esta pérdida será de menor orden que n. Sin embargo, no se puede afirmar nada más. Si n forma una secuencia arbitraria y n /n0, entonces es posible organizar un juego “inofensivo” en el que la probabilidad de que la pérdida neta total como resultado de n repeticiones del juego exceda a n tienda a uno.

La "ley de los grandes números" en la teoría de la probabilidad se entiende como una serie de teoremas matemáticos, cada uno de los cuales, bajo ciertas condiciones, establece el hecho de que las características promedio de un gran número de experimentos se aproximan a ciertas constantes.

Se basa en la desigualdad de Chebyshev:

La probabilidad de que la desviación de una variable aleatoria X de su expectativa matemática en valor absoluto sea menor que un número positivo ε no es menor que:

Válido para r.v. discreto y continuo.

53. Teorema de Chebyshev.

Sea una secuencia infinita de variables aleatorias independientes. con la misma expectativa matemática y varianzas limitadas por la misma constante C:

Entonces, cualquiera que sea el número positivo, la probabilidad del evento tiende a uno.

54. Teorema de Bernoulli.

Sea n producido pruebas independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad de ocurrencia del evento A es igual a p.

55. El concepto del teorema del límite central de Lyapunov.

La distribución de la suma de un gran número de variables aleatorias independientes en condiciones muy generales se aproxima a la distribución normal.

Se sabe que las variables aleatorias normalmente distribuidas están ampliamente distribuidas en la práctica. La explicación de esto la dio A.M. Lyapunov en el teorema del límite central: si una variable aleatoria es la suma de un número muy grande de variables aleatorias mutuamente independientes, la influencia de cada una de las cuales sobre la suma total es insignificante, entonces tiene una distribución cercana a la normal.

56. Población general y muestra: definiciones y conceptos básicos.

La estadística matemática es una ciencia que se ocupa del desarrollo de métodos para obtener, describir y procesar datos experimentales con el fin de estudiar los patrones de fenómenos de masas aleatorios.

Problemas de estadística matemática:

Estimación de una función de distribución desconocida basada en los resultados de la medición.

Calificación parámetros desconocidos distribuciones.

Pruebas de hipótesis estáticas.

Estudiemos alguna característica cuantitativa x.

Entonces se entiende la totalidad como el conjunto de todos sus valores posibles.

Para estudiar propiedades de esta característica de población una parte de los elementos se selecciona aleatoriamente mediante variantes Xi, que forman una población muestral o muestra.

El número de elementos de una colección se llama objeto n.

Muestreo: 1) muestreo repetido, en el que el objeto seleccionado (antes de seleccionar el siguiente) se devuelve a la población general.

2) muestreo sin repetición, en el que el objeto seleccionado se devuelve a la población general.

Para poder utilizar los datos muestrales para juzgar con suficiente confianza sobre la característica de la población general que nos interesa, es necesario que la muestra sea representativa)

En virtud de la ley de los grandes números, se puede argumentar que una muestra será representativa si se realiza de forma aleatoria: cada objeto de la población debe tener la misma probabilidad de ser incluido en la muestra.

Si el objeto de la población es lo suficientemente grande y la muestra constituye sólo una pequeña parte de esta población, entonces se borra la distinción entre muestras repetidas y no repetitivas.

Una lista de opciones dispuestas en orden ascendente se denomina serie de variación.

El número de observaciones de una opción dada se llama frecuencia ni, y la relación entre la frecuencia ni y el objeto de muestra es la frecuencia n-relativa wi.

Plan:

1. El concepto del teorema del límite central (teorema de Lyapunov)

2. Ley de los grandes números, probabilidad y frecuencia (teoremas de Chebyshev y Bernoulli)

1. El concepto del teorema del límite central.

La distribución de probabilidad normal es de gran importancia en la teoría de la probabilidad. ley normal la probabilidad obedece al disparar a un objetivo, en mediciones, etc. En particular, resulta que la ley de distribución de la suma de un número suficientemente grande de variables aleatorias independientes con leyes arbitrarias la distribución es cercana a distribución normal. Este hecho se llama teorema del límite central o teorema de Lyapunov.

Se sabe que en la práctica se utilizan ampliamente variables aleatorias distribuidas normalmente. ¿Qué explica esto? Esta pregunta ha sido respondida

Teorema del límite central. Si una variable aleatoria X es la suma de un número muy grande de variables aleatorias mutuamente independientes, la influencia de cada una de las cuales en la suma total es insignificante, entonces X tiene una distribución cercana a la distribución normal.

Ejemplo. midamos algunos cantidad fisica. Cualquier medición proporciona solo un valor aproximado del valor medido, ya que el resultado de la medición está influenciado por muchos factores aleatorios independientes (temperatura, fluctuaciones del instrumento, humedad, etc.). Cada uno de estos factores genera un "error parcial" insignificante. Sin embargo, dado que el número de estos factores es muy grande, su efecto combinado da lugar a un notable "error total".

Considerando el error total como la suma de un número muy grande de errores parciales mutuamente independientes, podemos concluir que el error total tiene una distribución cercana a la distribución normal. La experiencia confirma la validez de esta conclusión.

Consideremos las condiciones bajo las cuales se cumple el “teorema del límite central”

X1,X2, ..., Xnorte– secuencia de variables aleatorias independientes,

METRO(X1),METRO(X2), ...,METRO(INCÓGNITAnorte) - las expectativas matemáticas finales de estas cantidades, respectivamente iguales METRO(xk)= Alaska

D (X1),D(X2), ...,D(INCÓGNITAnorte) - sus variaciones finales son respectivamente iguales D(incógnita k)= bk2

Introduzcamos la siguiente notación: S= X1+X2 + ...+Xn;

A k= X1+X2 + ...+Xn=; B2=D (X1)+D(Х2)+ ...+D(INCÓGNITAnorte) =

Escribamos la función de distribución de la suma normalizada:

Eso dicen por coherencia. X1,X2, ..., Xnorte El teorema del límite central se aplica si para cualquier incógnita la función de distribución de la suma normalizada cuando n ® ¥ tiende a función normal distribuciones:

Derecha " estilo="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

Considere una variable aleatoria discreta incógnita, especificado por la tabla de distribución:

Plantémonos la tarea de estimar la probabilidad de que la desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática no exceda un número positivo en valor absoluto. ε

Si ε es lo suficientemente pequeño, entonces estimaremos la probabilidad de que incógnita tomará valores bastante cercanos a su expectativa matemática. demostró una desigualdad que nos permite dar la estimación que nos interesa.

Lema de Chebyshev. Dada una variable aleatoria X, que toma solo valores no negativos con expectativa matemática M(X). Para cualquier número α>0 la expresión es válida:

La desigualdad de Chebyshev. La probabilidad de que la desviación de una variable aleatoria X de su expectativa matemática en valor absoluto sea menor que un número positivo ε , no menos de 1 – D(X) / ε 2:

P(|X-M(X)|< ε ) ³ 1 - D (X) / ε 2.

Comentario. La desigualdad de Chebyshev tiene una importancia práctica limitada, ya que a menudo proporciona una estimación aproximada y a veces trivial (sin interés).

La importancia teórica de la desigualdad de Chebyshev es muy grande. A continuación usaremos esta desigualdad para derivar el teorema de Chebyshev.

2.2. teorema de chebyshev

Si X1, X2, ..., Xn.. son variables aleatorias independientes por pares y sus varianzas están uniformemente limitadas (no exceden un número constante C), entonces no importa cuán pequeño sea el número positivo ε , probabilidad de desigualdad

÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε

será tan cercano a la unidad como se desee si el número de variables aleatorias es lo suficientemente grande.

P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε )=1.

El teorema de Chebyshev establece:

1. Se considera un número suficientemente grande de variables aleatorias independientes con varianzas limitadas,

Al formular el teorema de Chebyshev, asumimos que las variables aleatorias tienen expectativas matemáticas diferentes. En la práctica, sucede a menudo que las variables aleatorias tienen la misma expectativa matemática. Obviamente, si volvemos a suponer que las dispersiones de estas cantidades son limitadas, entonces el teorema de Chebyshev será aplicable a ellas.

Denotemos la expectativa matemática de cada una de las variables aleatorias por A;

En el caso considerado, la media aritmética de las expectativas matemáticas, como es fácil de ver, también es igual a A.

Podemos formular el teorema de Chebyshev para el caso particular que estamos considerando.

"Si X1, X2, ..., Xn.. son variables aleatorias independientes por pares que tienen la misma expectativa matemática a, y si las varianzas de estos valores son uniformemente limitadas, entonces no importa cuán pequeño sea el número ε >Oh, la probabilidad de desigualdad.

÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - a | < ε

será tan cercano a la unidad como se desee si el número de variables aleatorias es lo suficientemente grande" .

En otras palabras, bajo las condiciones del teorema

P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - a |< ε ) = 1.

2.3. La esencia del teorema de Chebyshev.

Aunque las variables aleatorias independientes individuales pueden tomar valores alejados de sus expectativas matemáticas, es muy probable que la media aritmética de un número suficientemente grande de variables aleatorias tome valores cercanos a cierto numero constante, es decir, al número

(m (xj) + M(X2)+... + M (Х„))/п o al numero y en caso especial.

En otras palabras, las variables aleatorias individuales pueden tener una dispersión significativa y su media aritmética es dispersamente pequeña.

Por lo tanto, es imposible predecir con certeza cuál posible significado tomará cada una de las variables aleatorias, pero puedes predecir qué valor tomará su media aritmética.

Entonces, la media aritmética de un número suficientemente grande de variables aleatorias independientes (cuyas varianzas son uniformemente limitadas) pierde el carácter de una variable aleatoria.

Esto se explica por el hecho de que las desviaciones de cada valor de sus expectativas matemáticas pueden ser tanto positivas como negativas, y en la media aritmética se cancelan entre sí.

El teorema de Chebyshev es válido no sólo para variables aleatorias discretas, sino también continuas; es un ejemplo que confirma la validez de la doctrina de la conexión entre azar y necesidad.

2.4. La importancia del teorema de Chebyshev para la práctica

Demos ejemplos de la aplicación del teorema de Chebyshev a la resolución de problemas prácticos.

Habitualmente, para medir una determinada cantidad física se realizan varias mediciones y se toma su media aritmética como el tamaño deseado. ¿En qué condiciones se puede considerar correcto este método de medición? La respuesta a esta pregunta la da el teorema de Chebyshev (su caso especial).

De hecho, considere los resultados de cada medición como variables aleatorias.

X1, X2, ..., Xn

El teorema de Chebyshev se puede aplicar a estas cantidades si:

1) Son independientes por pares.

2) tener la misma expectativa matemática,

3) sus variaciones son uniformemente limitadas.

El primer requisito se cumple si el resultado de cada medición no depende de los resultados de las demás.

El segundo requisito se cumple si las mediciones se realizan sin errores sistemáticos (del mismo signo). En este caso, las expectativas matemáticas de todas las variables aleatorias son iguales e iguales. tamaño real A.

El tercer requisito se cumple si el dispositivo proporciona una cierta precisión de medición. Aunque los resultados de las mediciones individuales son diferentes, su dispersión es limitada.

Si se cumplen todos los requisitos especificados, tenemos derecho a aplicar el teorema de Chebyshev a los resultados de la medición: para una cantidad suficientemente grande norte probabilidad de desigualdad

| (X1 + Xa+...+X")/n - a |< ε tan cerca de la unidad como quieras.

En otras palabras, con suficiente gran número mediciones es casi seguro que su media aritmética difiere tan poco como se desea de verdadero significado cantidad medida.

El teorema de Chebyshev indica las condiciones bajo las cuales se puede aplicar el método de medición descrito. Sin embargo, es un error pensar que aumentando el número de mediciones se puede lograr una precisión arbitrariamente alta. El hecho es que el dispositivo en sí proporciona lecturas solo con una precisión de ± α, por lo tanto, cada uno de los resultados de la medición y, por lo tanto, su media aritmética se obtendrá solo con una precisión que no exceda la precisión del dispositivo.

El método de muestreo ampliamente utilizado en estadística se basa en el teorema de Chebyshev, cuya esencia es que para un número relativamente pequeño muestra aleatoria juzgar el conjunto completo (población general) de los objetos en estudio.

Por ejemplo, la calidad de una bala de algodón puede determinarse mediante un pequeño haz formado por fibras seleccionadas al azar de diferentes partes de la bala. Aunque el número de fibras en un haz es significativamente menor que en un fardo, el propio haz contiene suficiente gran número fibras, que se cuentan por centenares.

Como otro ejemplo, podemos señalar la determinación de la calidad del grano a partir de una pequeña muestra. Y en este caso, el número de granos seleccionados al azar es pequeño en comparación con la masa total del grano, pero en sí mismo es bastante grande.

Ya de los ejemplos dados podemos concluir que el teorema de Chebyshev tiene una importancia invaluable para la práctica.

2.5. TeoremaBernoulli

Producido norte pruebas independientes (no eventos, sino pruebas). En cada uno de ellos, la probabilidad de que ocurra un evento. A igual a r.

surge la pregunta cuanto sera aproximadamente? frecuencia relativa ocurrencias del evento? Esta pregunta es respondida por un teorema demostrado por Bernoulli, que se llamó la "ley de los grandes números" y sentó las bases de la teoría de la probabilidad como ciencia.

Teorema de Bernoulli. Si en cada uno de norte probabilidad de prueba independiente r ocurrencia de un evento A es constante, entonces la probabilidad de que la desviación de la frecuencia relativa de la probabilidad sea arbitrariamente cercana a la unidad r en valor absoluto será arbitrariamente pequeño si el número de pruebas es lo suficientemente grande.

En otras palabras, si ε >0 es un número arbitrariamente pequeño, entonces, sujeto a las condiciones del teorema, la igualdad se cumple

PAG(|metro /p-p|< ε)= 1

Comentario. Sería erróneo concluir, basándose en el teorema de Bernoulli, que a medida que aumenta el número de intentos, la frecuencia relativa tiende constantemente a la probabilidad pag; en otras palabras, el teorema de Bernoulli no implica la igualdad (t/p) = p,

EN teorema estamos hablando de sólo sobre la probabilidad de que, con un número suficientemente grande de pruebas, la frecuencia relativa difiera tan poco como se desea de la probabilidad constante ocurrencia de un evento en cada ensayo.

Tarea 7-1.

1. Estima la probabilidad de que en 3600 tiradas de dados el número de 6 puntos sea al menos 900.

Solución. Sea x el número de apariciones de 6 puntos en 3600 lanzamientos de moneda. La probabilidad de conseguir 6 puntos en un tiro es p=1/6, entonces M(x)=3600·1/6=600. Usemos la desigualdad de Chebyshev (lema) para un dado α = 900

= PAG(incógnita³ 900) £ 600 / 900 =2 / 3

Respuesta 2 / 3.

2. Se realizaron 1000 pruebas independientes, p=0,8. Encuentre la probabilidad de que el número de ocurrencias del evento A en estas pruebas se desvíe de su expectativa matemática en magnitud en menos de 50.

Solución. x es el número de ocurrencias del evento A en n – 1000 ensayos.

M(X)= 1000·0,8=800. D(x)=100·0,8·0,2=160

Usemos la desigualdad de Chebyshev para un dado ε = 50

P(|x-M(X)|< ε) ³ 1 - D(x)/ ε 2

R(|x-800|< 50) ³ / 50 2 = 1-160 / 2500 = 0,936.

Respuesta. 0,936

3. Utilizando la desigualdad de Chebyshev, estime la probabilidad de que |X-M(X)|< 0,1, если D (X) = 0,001. Ответ Р³0,9.

4. Dado: P(|X- M(X)\< ε) ³ 0,9; D (incógnita)= 0,004. Usando la desigualdad de Chebyshev, encuentre ε . Respuesta. 0,2.

Preguntas y tareas de prueba

1. Propósito del teorema del límite central

2. Condiciones de aplicabilidad del teorema de Lyapunov.

3. Diferencia entre el lema y el teorema de Chebyshev.

4. Condiciones de aplicabilidad del teorema de Chebyshev.

5. Condiciones de aplicabilidad del teorema de Bernoulli (ley de los grandes números)

Requisitos de conocimientos y habilidades.

El estudiante debe conocer la formulación semántica general del teorema del límite central. Ser capaz de formular teoremas particulares para variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente. Comprender la desigualdad de Chebyshev y la ley de los grandes números en forma de Chebyshev. Tener una idea de la frecuencia de un evento, la relación entre los conceptos de “probabilidad” y “frecuencia”. Comprender la ley de los grandes números en forma de Bernoulli.

(1857-1918), destacado matemático ruso