Los atractores son ejemplos. El Gran Atractor o Superatracción

Los atractores se clasifican según:

1. Formalizaciones del concepto de aspiración: distinguir entre un atractor máximo, un conjunto no errante, un atractor de Milnor, un centro de Birkhoff, un atractor estadístico y un atractor mínimo.
2. Regularidades del atractor en sí: los atractores se dividen en regulares (que atraen un punto fijo, que atraen una trayectoria periódica, múltiples) y extraños (irregulares, a menudo fractales y/o en alguna sección dispuestos como un conjunto de Cantor; la dinámica sobre ellos suele ser caótica).
3. Localidad (“conjunto atrayente”) y globalidad (aquí el término “mínimo” significa “indivisible”).

Además, existen ejemplos “nominales” bien conocidos de atractores: Lorenz, Plykin, solenoide de Smale-Williams, atractor heteroclínico (el ejemplo de Bowen).

Propiedades y definiciones relacionadas

Para todas las definiciones, se supone que el atractor es un conjunto cerrado y (completamente) invariante.

El concepto de atractor también está estrechamente relacionado con el concepto de medida de Sinaí-Ruelle-Bowen: una medida invariante en él, a la que se le aplica el promedio de tiempo de un punto de partida típico (en el sentido de la medida de Lebesgue) o el promedio de tiempo. de iteraciones de la medida de Lebesgue tienden. Sin embargo, tal medida no siempre existe (como lo ilustra, en particular, el ejemplo de Bowen).

Tipos de formalización de la definición.

Dado que, en cualquier caso, la dinámica preserva todo el espacio de fases, la definición formal de atractor se puede dar basándose en la filosofía de que “un atractor es el conjunto más pequeño al que tiende todo”; en otras palabras, descartar todo lo que se pueda expulsado del espacio de fase.

Atractor máximo

Dejemos que al sistema dinámico se le dé un área $Ud.$, que se traduce estrictamente hacia adentro por dinámica:

$\backslash overline(f(U))\backslash subconjunto\; U$

Entonces atractor máximo de un sistema en una restricción sobre U es la intersección de todas sus imágenes bajo la influencia de la dinámica:

A_(max)=\bigcap_(n=1)^(\infty) f^n(U).

La misma definición se puede aplicar a los flujos: en este caso, es necesario exigir que el campo vectorial que define el flujo en el límite de la región se dirija estrictamente dentro de ella.

Esta definición se utiliza a menudo para caracterizar un conjunto como un atractor "natural" ("es el atractor máximo de su vecindad"). También se utiliza en ecuaciones diferenciales parciales.

Esta definición tiene dos deficiencias. Primero, para usarlo, necesitas encontrar una región absorbente. En segundo lugar, si dicha región se eligió sin éxito (por ejemplo, contenía un punto fijo repulsivo con su grupo de repulsión), entonces en el atractor máximo habrá puntos "extra", cerca de los cuales es realmente imposible estar cerca varias veces seguidas. , pero la elección actual de la región de este "no se siente."

atractor de milnor

Priorato, atractor de milnor de un sistema dinámico se llama el más pequeño por inclusión conjunto cerrado, que contiene conjuntos de límites ω de casi todos puntos de partida según medida de Lebesgue. En otras palabras, este es el conjunto más pequeño al que tiende la trayectoria. típico punto de partida.

Conjunto no errante

El punto x de un sistema dinámico se llama errante, si las iteraciones de algunas de sus vecindades U nunca cruzan esta vecindad:

\forall n>0 \quad f^n(U)\bigcap U =\emptyset. En otras palabras, un punto es errante si tiene una vecindad que cualquier trayectoria puede cruzar sólo una vez. El conjunto de todos los puntos que no son errantes se llama no errante muchos.

Atractor estadístico

Atractor estadístico $A\_(estadística)$, en cuya vecindad casi todos los puntos pasan casi todo el tiempo: para cualquier vecindad del mismo $Ud.$ para casi cualquier punto (en el sentido de la medida de Lebesgue) $X$ hecho

\frac(1)(N)\# \(j\le N \mid f^j(x)\in U \) \to 1, \quad N\to\infty.

Atractor mínimo

Atractor mínimo se define como el conjunto cerrado más pequeño con respecto a la inclusión $A\_(mín)$, en cuyo barrio casi toda la medida de Lebesgue pasa casi todo el tiempo: para cualquier barrio del mismo $Ud.$ hecho

\frac(1)(N)\sum_(j=0)^(N-1) (f_*^j (Leb))(U) \to 1, \quad N\to\infty.

Ejemplos de desajustes

Localidad, minimalismo y globalidad.

Atractores regulares y extraños

Atractores regulares

Punto fijo atractivo

(ejemplo: péndulo con fricción)

ciclo límite

Atractores extraños

(ejemplos: atractor de Lorentz, atractor de Rössler, solenoide de Smale-Williams; comentario sobre el efecto mariposa y el caos dinámico).

Un atractor extraño es un conjunto atractivo de trayectorias inestables en el espacio de fase de un sistema dinámico disipativo. A diferencia de un atractor, no es una variedad, es decir, no es una curva o una superficie. La estructura de un atractor extraño es fractal. La trayectoria de dicho atractor no es periódica (no se cierra) y el modo de funcionamiento es inestable (pequeñas desviaciones del modo aumentan). El criterio principal para determinar la naturaleza caótica de un atractor es el aumento exponencial del tiempo de pequeñas perturbaciones. La consecuencia de esto es la "mezcla" en el sistema, la no periodicidad en el tiempo de cualquiera de las coordenadas del sistema, un espectro de potencia continuo y una función de autocorrelación que disminuye en el tiempo.

La dinámica de los atractores extraños suele ser caótica: predecir una trayectoria que cae en un atractor es difícil, ya que una pequeña inexactitud en los datos iniciales puede, al cabo de un tiempo, provocar una fuerte discrepancia entre la trayectoria prevista y la trayectoria real. La imprevisibilidad de una trayectoria en sistemas dinámicos deterministas se llama caos dinámico, distinguiéndolo de caos estocástico que surge en sistemas dinámicos estocásticos. Este fenómeno también se llama efecto mariposa, lo que implica la posibilidad de transformar corrientes de aire débiles y turbulentas provocadas por el batir de las alas de una mariposa en un punto del planeta en un poderoso tornado en el otro lado debido a su amplificación múltiple en la atmósfera durante un período de tiempo. Pero, de hecho, el aleteo de una mariposa no suele crear un tornado, ya que en la práctica existe tal tendencia que fluctuaciones tan pequeñas en promedio no cambian la dinámica de sistemas tan complejos como la atmósfera del planeta, y el propio Lorenz dijo sobre esto: Y esto es quizás algo importante y sorprendente, sin el cual sería difícil, si no imposible, estudiar la dinámica caótica (dinámica que es sensible a los más mínimos cambios en las condiciones iniciales del sistema).

Entre los atractores extraños se encuentran aquellos cuya dimensión de Hausdorff es diferente de la dimensión topológica y es fraccionaria. Uno de los atractores más famosos es el atractor de Lorentz.

Ejemplos nominales

Atractor de Lorentz

Sistema ecuaciones diferenciales, creando el atractor de Lorentz, tiene la forma:

\punto x = \sigma (y - x)

\punto y = x (r - z) - y

\punto z = x y - b z

Solenoide Smale-Williams

Solenoide Smale-Williams- un ejemplo de un sistema dinámico reversible, similar en el comportamiento de las trayectorias a la duplicación del mapa en un círculo. Más precisamente, este sistema dinámico se define sobre un toro sólido y durante una iteración la coordenada angular se duplica; de donde surge automáticamente la divergencia exponencial de trayectorias y dinámicas caóticas. También solenoide El atractor máximo de este sistema también se llama (de donde, de hecho, proviene el nombre): está estructurado como una (incontable) unión de “hilos” enrollados a lo largo de un toro sólido.

atractor plykin

El ejemplo de Bowen o atractor heteroclínico

atractor de Hainault

www.ibiblio.org/e-notes/Chaos/ru/strange_r.htm

Hipótesis

conjetura de palis

Las hipótesis de Ruel.

ver también

Escribe una reseña sobre el artículo "Atractor"

Notas

Enlaces y literatura

• A. Gorodetski, Yu. Ilyashenko. Atractores mínimos y extraños, Revista Internacional de Bifurcación y Caos, vol. 6, núm. 6 (1996), págs. 1177-1183.
• A. S. Gorodetsky. Atractores mínimos y conjuntos parcialmente hiperbólicos de sistemas dinámicos. Disentimiento. Doctor. n., Universidad Estatal de Moscú, 2001.
• Artículo de J. Milnor, Scholarpedia.
• . LENTA.RU. Consultado el 28 de marzo de 2013.
• E. V. Nikulchev. método geométrico Reconstrucción de sistemas a partir de datos experimentales // Cartas a la Física Técnica. 2007. T. 33. Edición. 6. págs. 83-89.
• E. V. Nikulchev.

Extracto que caracteriza al Atractor.

El regimiento del príncipe Andrei estaba en reservas, que hasta la segunda hora permaneció inactivo detrás de Semenovsky, bajo un intenso fuego de artillería. En la segunda hora, el regimiento, que ya había perdido a más de doscientas personas, avanzó hacia un campo de avena pisoteado, hacia ese espacio entre Semenovsky y la batería de Kurgan, donde ese día murieron miles de personas y en el que, en A partir de la segunda hora del día, varios centenares de cañones enemigos lanzaron fuego intensamente concentrado.
Sin abandonar este lugar y sin disparar una sola carga, el regimiento perdió aquí otro tercio de su gente. Delante y sobre todo con lado derecho, en el humo persistente, los cañones retumbaron y de la misteriosa zona de humo que cubría toda el área de adelante, sin cesar, con un silbido rápido y sibilante, salieron volando balas de cañón y granadas que silbaban lentamente. A veces, como si se diera un descanso, pasaba un cuarto de hora, durante el cual todas las balas y granadas volaban, pero a veces en un minuto varias personas eran arrancadas del regimiento, y constantemente arrastraban a los muertos y llevaban a los heridos. lejos.
Con cada nuevo golpe, quedaban cada vez menos posibilidades de vida para aquellos que aún no habían sido asesinados. El regimiento estaba en columnas de batallón a una distancia de trescientos pasos, pero a pesar de esto, toda la gente del regimiento estaba bajo la influencia del mismo estado de ánimo. Toda la gente del regimiento estaba igualmente silenciosa y sombría. Rara vez se escuchó una conversación entre las filas, pero esta conversación se callaba cada vez que se escuchaba un golpe y un grito: “¡Camilla!” Mayoría En ese momento, la gente del regimiento, por orden de sus superiores, se sentó en el suelo. Algunos, habiéndose quitado el shako, desenredaron y volvieron a montar cuidadosamente los conjuntos; que usaba arcilla seca, la extendía en las palmas y pulía la bayoneta; quien amasó el cinturón y apretó la hebilla del cabestrillo; quien cuidadosamente enderezó y volvió a doblar los dobladillos y se cambió los zapatos. Algunos construyeron casas con tierras cultivables de Kalmyk o tejieron cestería con rastrojos de paja. Todos parecían bastante inmersos en estas actividades. Cuando las personas eran heridas y muertas, cuando las camillas eran arrastradas, cuando las nuestras regresaban, cuando eran visibles a través del humo. grandes masas enemigos, nadie prestó atención a estas circunstancias. Cuando la artillería y la caballería avanzaban, los movimientos de nuestra infantería eran visibles y se escuchaban comentarios de aprobación de todos lados. Pero la mayoría gran atención Eventos completamente ajenos que no tenían nada que ver con la batalla merecida. Era como si la atención de estas personas moralmente atormentadas se centrara en estos acontecimientos cotidianos y ordinarios. Una batería de artillería pasó por delante del frente del regimiento. En una de las cajas de artillería se colocó la línea de amarre. “¡Oye, el amarre!… ¡Enderezalo! Caerá... ¡Eh, no lo ven!... - gritaban por igual desde las filas de todo el regimiento. En otra ocasión, llamó la atención de todos un pequeño perro marrón con la cola firmemente levantada que, Dios sabe de dónde venía, corrió al frente de las filas con un trote ansioso y de repente chilló por una bala de cañón que se acercaba y, con su cola entre sus piernas, corriendo hacia un lado. Se escucharon carcajadas y chillidos en todo el regimiento. Pero este tipo de entretenimiento duró minutos, y la gente llevaba más de ocho horas parada sin comer y sin nada que hacer bajo el persistente horror de la muerte, y sus rostros pálidos y con el ceño fruncido se volvieron cada vez más pálidos y con el ceño fruncido.
El príncipe Andréi, como todos los miembros del regimiento, pálido y con el ceño fruncido, caminaba de un lado a otro por el prado cerca del campo de avena, con las manos detrás y la cabeza gacha. No tenía nada que hacer ni ordenar. Todo sucedió por sí solo. Arrastraron a los muertos detrás del frente, transportaron a los heridos y cerraron las filas. Si los soldados huían, inmediatamente regresaban apresuradamente. Al principio, el príncipe Andrés, considerando que era su deber despertar el coraje de los soldados y darles ejemplo, caminó entre las filas; pero luego se convenció de que no tenía nada ni nada que enseñarles. Toda la fuerza de su alma, como la de todo soldado, estaba inconscientemente dirigida a abstenerse de contemplar el horror de la situación en la que se encontraban. Caminó por el prado arrastrando los pies, rascando el pasto y observando el polvo que cubría sus botas; o caminaba a grandes zancadas, tratando de seguir las huellas dejadas por los cortacéspedes a través del prado, luego, contando sus pasos, hacía cálculos de cuántas veces debía caminar de límite en límite para recorrer una milla, luego limpiaba el ajenjo flores que crecían en el límite, y las frotó en sus palmas y olió la fragante amarga, olor fuerte. De todo el trabajo de pensamiento de ayer no quedó nada. No pensó en nada. Escuchó con oídos cansados ​​los mismos sonidos, distinguiendo los silbidos de los vuelos del estruendo de los disparos, miró más de cerca a los rostros de la gente del 1.er batallón y esperó. “Aquí está ella… ¡ésta viene hacia nosotros otra vez! - pensó, escuchando el silbido de algo que se acercaba zona cerrada fumar. - ¡Uno, otro! ¡Más! Entendido... Se detuvo y miró las filas. “No, fue pospuesto. Pero éste acertó”. Y empezó a caminar de nuevo, tratando de dar pasos largos para llegar al límite en dieciséis pasos.

Normalmente dicen que caos es más forma alta Sin embargo, es más correcto considerar el caos como otra forma de orden; inevitablemente, en cualquier sistema dinámico, al orden en su comprensión habitual le sigue el caos, y al caos le sigue el orden. Si definimos el caos como desorden, entonces en tal desorden definitivamente podremos ver el nuestro, forma especial orden.

Por ejemplo, humo de cigarro primero se levanta en una columna ordenada bajo la influencia ambiente externo Toma formas cada vez más extrañas y sus movimientos se vuelven caóticos. Otro ejemplo de caos en la naturaleza. hoja de cualquier árbol. Se puede argumentar que encontrará muchas hojas similares, por ejemplo de roble, pero ni un solo par de letras idénticas. La diferencia está determinada por la temperatura, el viento, la humedad y muchos otros. factores externos excepto puramente razones internas(por ejemplo, diferencia genética).

Teoría del caos

El movimiento del orden al caos y viceversa, aparentemente, es la esencia del Universo; no hemos estudiado los factores que contribuyen a su manifestación. Incluso en cerebro humano hay un elemento ordenado y caótico al mismo tiempo.

El primero corresponde al hemisferio izquierdo del cerebro y el segundo al derecho. Hemisferio izquierdo es responsable del comportamiento humano consciente, de la producción reglas lineales y estrategias en el comportamiento humano, donde “si... entonces...” está claramente definido. En el hemisferio derecho reinan la no linealidad y el caos. La intuición es una de las manifestaciones del hemisferio derecho del cerebro.

Teoría del caos Estudia el orden de un sistema caótico que parece aleatorio y desordenado. Al mismo tiempo, la teoría del caos ayuda a construir un modelo de dicho sistema sin plantear el problema. predicción precisa comportamiento de un sistema caótico en el futuro.

Historia de la teoría del caos.

Los primeros elementos de la teoría del caos aparecieron en el siglo XIX, pero en la actualidad Desarrollo científico Esta teoría fue recibida en la segunda mitad del siglo XX, junto con las obras. Eduardo Lorenz(Edward Lorenz) de Massachusetts Instituto de Tecnologia y el matemático franco-estadounidense Benoit B. Mandelbrot.

Edward Lorenz en algún momento (principios de los años 60 del siglo XX, trabajo publicado en 1963) analizó las dificultades en el pronóstico del tiempo.

Antes del trabajo de Lorenz, en el mundo de la ciencia prevalecían dos opiniones sobre la posibilidad de pronosticar con precisión el tiempo durante un período infinitamente largo.

Primer enfoque formulado en 1776 matemático francés Pierre Simón Laplace. Laplace afirmó que “... si imaginamos una mente que en un momento dado ha comprendido todas las conexiones entre los objetos del Universo, entonces podrá establecer la posición, los movimientos y las posiciones correspondientes. impactos generales todos estos objetos en cualquier momento del pasado o del pasado en el futuro."

Este enfoque era muy similar al palabras famosas Arquímedes: “Dame un punto de apoyo y cambiaré el mundo entero”. Así, Laplace y sus partidarios afirmaron que para una previsión meteorológica precisa sólo es necesario recopilar más información sobre todas las partículas del Universo, su ubicación, velocidad, masa, dirección de movimiento, aceleración, etc. Laplace creía que mas gente sabrá, más precisa será su previsión sobre el futuro.

Segundo enfoque La posibilidad de predecir el tiempo fue formulada más claramente antes que nadie por otro matemático francés, Jules Henri Poincaré. En 1903 dijo: “Si supiéramos exactamente las leyes de la naturaleza y la posición del Universo en momento inicial, podríamos predecir con precisión la posición del mismo Universo en un momento posterior.

Pero incluso si las leyes de la naturaleza nos revelaran todos sus secretos, aún podríamos saberlo. posición inicial sólo aproximadamente. Si esto nos permitiera predecir la situación posterior con la misma aproximación, eso sería todo lo que necesitábamos, y podríamos decir que el fenómeno había sido predicho, que estaba gobernado por leyes.

Pero no siempre sucede que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales provoquen diferencias muy grandes en el fenómeno final. Un pequeño error en lo primero producirá un gran error en lo segundo. La predicción se vuelve imposible y estamos ante un fenómeno que se desarrolla por casualidad".

En estas palabras de Poincaré encontramos el postulado de la teoría del caos sobre la dependencia de las condiciones iniciales. Los avances posteriores en la ciencia, especialmente mecánica cuántica, refutó el determinismo de Laplace. En 1927, un físico alemán Werner Heisenberg descubierto y formulado principio de incertidumbre.

Este principio explica por qué algunos fenómenos aleatorios No obedecer al determinismo laplaciano. Heisenberg demostró el principio de incertidumbre con un ejemplo. desintegración radioactiva granos. Así, debido al tamaño tan pequeño del núcleo, es imposible conocer todos los procesos que ocurren en su interior. Por lo tanto, no importa cuánta información recopilemos sobre el núcleo, es imposible predecir con precisión cuándo se desintegrará.

Herramientas de la teoría del caos

¿Qué herramientas tiene la teoría del caos? En primer lugar, se trata de atractores y fractales.

Un atractor (del inglés atraer - atraer) es una estructura geométrica que caracteriza el comportamiento en espacio de fase al final de mucho tiempo.

Eso es atractor- esto es lo que el sistema se esfuerza por lograr, lo que le atrae.

El tipo de atractor más simple es un punto. Un atractor de este tipo es característico de un péndulo en presencia de fricción. A pesar de todo velocidad inicial y posición, dicho péndulo siempre quedará en reposo, es decir exactamente.

El siguiente tipo de atractor es el ciclo límite, que tiene la forma de una línea curva cerrada. Un ejemplo de tal atractor es un péndulo, que no se ve afectado por la fricción. Otro ejemplo de ciclo límite es el de los latidos del corazón. La frecuencia del latido puede disminuir y aumentar, pero siempre tiende a su atractor, su curva cerrada.

El tercer tipo de atractor es un toroide. En la Figura 1, el toroide se muestra en la esquina superior derecha.

Figura 1 - Principales tipos de atractores

Arriba se muestran tres atractores simples y predecibles. A continuación se muestran tres atractores caóticos.

A pesar de la complejidad del comportamiento de los atractores caóticos, a veces llamados atractores extraños, el conocimiento del espacio de fases nos permite representar el comportamiento del sistema en forma geometrica y predecirlo en consecuencia. Y aunque la presencia del sistema en un momento determinado es punto específico El espacio de fase es casi imposible, el área donde se ubica el objeto y su tendencia hacia el atractor son predecibles.

Atractor de Lorentz

El primer atractor caótico fue el atractor de Lorentz.

Figura 2 — Atractor caótico de Lorenz

Atractor de Lorentz calculado sobre la base de sólo tres grados de libertad: tres ecuaciones diferenciales ordinarias, tres constantes y tres condiciones iniciales. Sin embargo, a pesar de su simplicidad, el sistema de Lorentz se comporta de forma pseudoaleatoria (caótica).

Tras simular su sistema en un ordenador, Lorenz identificó la causa de su comportamiento caótico: la diferencia en las condiciones iniciales. Incluso una desviación microscópica de dos sistemas al comienzo del proceso de evolución condujo a una acumulación exponencial de errores y, en consecuencia, a su desacuerdo estocástico.

Además, cualquier atractor tiene dimensiones límite, por lo que la divergencia exponencial de dos trayectorias diferentes sistemas no puede continuar indefinidamente. Tarde o temprano las órbitas volverán a converger y pasarán una al lado de la otra o incluso coincidirán, aunque esto último es muy poco probable. Por cierto, la coincidencia de trayectorias es una regla de comportamiento de atractores simples y predecibles.

Convergencia divergencia(también dicen componer y tirar, respectivamente) de un atractor caótico elimina sistemáticamente la información inicial y la reemplaza por otra nueva. A medida que las trayectorias se acercan, el efecto miopía comienza a aparecer: aumenta la incertidumbre de la información a gran escala. Cuando las trayectorias divergen, por el contrario, divergen y el efecto de la hipermetropía aparece cuando aumenta la incertidumbre de la información a pequeña escala.

Como resultado de la constante convergencia-divergencia de un atractor caótico, la incertidumbre crece rápidamente, lo que con cada momento nos priva de la oportunidad de hacer pronósticos precisos. Lo que tanto enorgullece a la ciencia: la capacidad de establecer conexiones entre causas y efectos, es imposible en sistemas caóticos. No existe una relación de causa y efecto entre el pasado y el futuro en el caos.

Cabe señalar aquí que la tasa de convergencia-divergencia es una medida del caos, es decir expresión numérica Qué caótico es el sistema. Otra medida estadística del caos es la dimensión del atractor.

Ver Sinergética. Grande diccionario psicológico. M.: Primer EUROZNAK. Ed. B.G. Meshcheryakova, acad. vicepresidente Zínchenko. 2003... Gran enciclopedia psicológica.

Atractor- el estado potencial del sistema al que evoluciona. Según Knyazeva: la última región de convergencia inevitable trayectorias de fase movimiento sistema complejo. El atractor puede ser un punto (foco estable) o algo más... ... Diccionario-libro de referencia de filosofía para estudiantes de facultades de medicina, pediatría y odontología.

atractor- 3.1.1 atractor: Factor en el autodesarrollo de un sistema, que afecta su autoorganización y la capacidad de interactuar con sus partes principales. Fuente … Diccionario-libro de referencia de términos de documentación normativa y técnica.

Atractor- (del latín attraho atraigo hacia mí) un área determinada hacia la cual todos se sienten atraídos (convergen) posibles trayectorias movimiento de sistemas... Principios ciencia natural moderna

atractor- Syn: punto de atracción... Tesauro de vocabulario empresarial ruso

ATRACTOR- estructura (función) que establece (determina) el estado estable de cualquier sistema. (Ver sinergias, pensamiento no lineal)... Filosofía de la ciencia: glosario de términos básicos

Atractor- (lat. atraer hacia mí) un punto o conjunto de puntos (curva cerrada), al que tienden los parámetros del estado de un sistema disipativo, el estado final de un sistema disipativo (ver Sistema disipativo) ... Conceptos de las ciencias naturales modernas. Glosario de términos básicos

El atractor de Rössler es un atractor caótico poseído por el sistema de ecuaciones diferenciales de Rössler... Wikipedia

Un ejemplo de un sistema dinámico en un disco cuyo atractor máximo es hiperbólico. En particular, este ejemplo es estructuralmente estable, ya que satisface el axioma A de Smale. Construcción El atractor de Plykin se construye como un factor de un difeomorfismo de toro, ... ... Wikipedia

Libros

• Caos dinámico y atractores hiperbólicos: de las matemáticas a la física, Kuznetsov S.P. El libro está dedicado a la consideración de la posibilidad de implementar en sistemas físicos un caos estructuralmente estable, causado por la presencia de atractores hiperbólicos homogéneos, como un solenoide...
• Caos dinámico y atractores hiperbólicos. De las matemáticas a la física, S. P. Kuznetsov. El libro está dedicado a la consideración de la posibilidad de implementar un caos estructuralmente estable en sistemas físicos, causado por la presencia de atractores homogéneamente hiperbólicos, como un solenoide...

Insecto. 5.1 de este capítulo se mostrará que la disipación no lineal sistemas dinámicos Esto conduce naturalmente al concepto de atractor extraño. Luego (Sección 5.2) se introduce la entropía de Kolmogorov como una medida funcional del movimiento caótico, después de lo cual (Sección 5.3) se considera el problema de la cantidad de información que se puede obtener de una señal aleatoria medida.

Insecto. 5.4 analiza la aparición de un atractor extraño en el modelo Ruel - Takens - Newhouse, que describe la transición a la turbulencia (en el tiempo) y proporciona algunos confirmación experimental Este modelo. La siguiente sección contiene la interpretación del grupo de renormalización de este modelo de transición al caos. El capítulo termina con una visión crítica de varios escenarios de transición y una serie de dibujos de atractores extraños y sus límites fractales.

5.1. Introducción y definición de atractores extraños.

En esta sección veremos sistemas disipativos, descrito por flujos o mapeos. Consideremos primero los flujos disipativos descritos. sistema autónomo ecuaciones diferenciales de primer orden:

Aquí el término "disipativo" significa que se comprime un volumen elemental V elegido arbitrariamente en el espacio de fase, limitado por la superficie S. La superficie S evoluciona de tal manera que cada uno de sus puntos se mueve a lo largo de la trayectoria definida por (5.1). Por tanto, por el teorema de la divergencia:

y luego, por definición, sistemas con

Un ejemplo de este tipo de flujo es el modelo de Lorentz:

para cual de

es decir, el volumen elemental se contrae exponencialmente en el tiempo

Si consideramos la trayectoria generada por las ecuaciones del modelo de Lorentz en (Fig.58), resulta que a) se siente atraído por área limitada en el espacio de fases; b) su movimiento es errante, es decir, la trayectoria hace un giro hacia la derecha, luego varios giros hacia la izquierda, luego hacia la derecha la trayectoria es muy sensible a pequeños cambios en las condiciones iniciales, es decir, si en lugar de las condiciones (0); ; 0.01; 0) tomamos condiciones cercanas, entonces la nueva solución pronto se desviará de la anterior y el número de vueltas será diferente. En la Fig. 59 muestra un gráfico de la dependencia del máximo de la variable con respecto a La visualización resultante es aproximadamente triangular, lo que corresponde, según el cap. 2, secuencia caótica

Arroz. 58. Atractor de Lorentz, calculado por computadora (Lanford, 1977).

Arroz. 59. Máximos consecutivos de la variable Z del atractor de Lorenz (Lorenz, 1963).

En resumen: la trayectoria es sensible a cambios en las condiciones iniciales; caótico; se siente atraído por una región limitada en el espacio de fases; el volumen de esta región (según (5.4)) tiende a cero. Esto significa que el flujo sistema tridimensional Lorentz genera un conjunto de puntos cuya dimensión es menor que 3, es decir, su volumen es espacio tridimensional es igual a 0. A primera vista, se le podría asignar el siguiente número entero, pero de menor dimensión: 2. Sin embargo, esto contradice el teorema de Poincaré-Bendixson, que establece que en una región limitada del espacio bidimensional no puede existir un flujo caótico . Nos referimos, por ejemplo, a prueba estricta de este teorema en la monografía (Hirsch, Smale, 1965). Arroz. 60 muestra que la continuidad de las líneas de corriente y el hecho de que la línea de corriente divide el avión en dos partes limitan la trayectoria tan fuertemente que los únicos atractores posibles en la región limitada son los ciclos límite y los puntos fijos. La solución a este problema es que el conjunto de puntos hacia los que se atrae la trayectoria en el sistema de Lorentz (el llamado atractor de Lorentz) tiene una dimensión de Hausdorff que no es entera, sino entre 2 y 3 ( valor exacto Esto conduce naturalmente al concepto de atractor extraño, que aparece en una variedad de sistemas físicos no lineales.

Un atractor extraño tiene las siguientes propiedades(La definición formal se puede encontrar en artículos de revisión (Eckmann, 1981; Ruelle, 1980):

a) es un atractor, es decir, ocupa una región limitada del espacio de fase a la que, después de un gran

Arroz. 60. Autocaptura de una línea de corriente en un área limitada de un avión. La divergencia exponencial de trayectorias contradice la continuidad (nota direcciones opuestas tirador).

intervalo de tiempo, todas las trayectorias suficientemente cercanas de la llamada región de atracción son atraídas. Tenga en cuenta que el área de atracción puede ser muy Estructura compleja(ver Fig. Sección 5.7). Además, el atractor en sí consta de una única trayectoria, es decir, la trayectoria debe pasar por cada punto del atractor a lo largo del tiempo. Un conjunto de puntos fijos aislados no es un atractor único;

b) la propiedad que hace extraño al atractor es la sensibilidad a condiciones iniciales, es decir, a pesar de la compresión del volumen, no hay reducción de las longitudes en todas las direcciones y de la distancia entre puntos inicialmente arbitrariamente cercanos en el atractor a través de suficientemente gran momento llegar a ser definitivo. Como se mostrará en la siguiente sección, esto conduce a una entropía de Kolmogorov positiva;

c) describir sistema fisico, el atractor debe ser estructuralmente estable y típico. En otras palabras, pequeños cambios en el parámetro en F (ver (5.1)) cambian la estructura del atractor de manera continua (caracterizaremos la estructura con más detalle; ahora nos referimos, por ejemplo, a la dimensión de Hausdorff del atractor) y el conjunto de parámetros para los cuales (5.1) genera atractor extraño, no debe ser un conjunto de medida 0; de lo contrario, el atractor no es típico ni físicamente significativo.

Todos los atractores extraños descubiertos hasta la fecha tienen una dimensión fraccionaria de Hausdorff. Dado que no existe una aceptación generalizada definicion formal atractor extraño (Ruelle, 1980; Mandelbrot, 1982), aún no está claro si la fraccionalidad de la dimensión de Hausdorff siempre se deriva de las propiedades “a” - “b” o si es adicionalmente necesaria para un atractor extraño.

Normalmente, un atractor extraño ocurre cuando un flujo de fase comprime un volumen elemental en algunas direcciones y lo estira en otras. Para permanecer en un área limitada, el volumen elemental se pliega simultáneamente. Este proceso de estiramiento y plegado da lugar a un movimiento caótico de la trayectoria en un atractor extraño, similar a lo que ocurría en el caso de los mapeos lineales por partes (Capítulo 2).

Dado que la definición anterior describe las propiedades de un conjunto de puntos, el concepto de atractor extraño no se limita a los flujos: los mapeos disipativos también pueden generar atractores extraños. Mostrar

se llama disipativo si conduce a una compresión de volumen en el espacio de fase, es decir, si el módulo del jacobiano J, por el que se multiplica el volumen elemental después de la iteración, es menor que 1:

El teorema de Poincaré-Bendixson, que limita la dimensión de los atractores extraños generados por flujos a valores mayores que dos, no es válido para mapeos. Esto se debe al hecho de que los mapeos generan puntos discretos y se eliminan las restricciones asociadas con la continuidad. Por tanto, los mapeos disipativos pueden conducir a atractores extraños cuya dimensión es menor que 2.

A modo de ilustración, consideremos dos ejemplos que, debido a su menor dimensión, son más fáciles de visualizar que el atractor de Lorentz.

La transformación del panadero. En la Fig. 61 mostrado conversión normal panadero: mapeo que preserva el área (que recuerda a las acciones de un panadero que extiende la masa) y transformación del panadero disipativo que no preserva el área. Matemático

Arroz. 61. a - Transformación de Baker; b - transformación disipativa de Baker.

expresión para este último

donde a es una transformación que conduce a un cambio de Bernoulli. Su exponente de Lyapunov (en x) que conduce a la sensibilidad a las condiciones iniciales; el objeto resultante de la exposición repetida de un cuadrado unitario a este mapeo es un atractor extraño. Este atractor es una secuencia infinita. lineas horizontales y su área de atracción incluye todos los puntos unidad cuadrada. El exponente de Lyapunov en una dirección y en esta dirección las escalas se reducen de tal manera que resultado general(estirarse y comprimirse) es la reducción del volumen necesaria para el mapeo disipativo.

La dimensión de Hausdorff DB de un atractor extraño se puede calcular de la siguiente manera. En la dirección, el atractor es simplemente unidimensional (como el mapeo) en el cap. 2). La dimensión de Hausdorff en la dirección y se deriva de la definición

y de la autosimilitud vertical del atractor (Fig. 61, b). Esto da

Arroz. 63. a - Imagen del atractor de Henon, construida por 104 puntos. Se numeran varios puntos sucesivos para ilustrar el movimiento errante del atractor; b, c - imágenes ampliadas de cuadrados de figuras anteriores; g - altura de cada columna - probabilidad relativa detectando un punto en una de las seis hojas del dibujo anterior (Farmer, 1982a, b).

estructura atractora. ¡Dimensión de Hausdorff del atractor de Henon!) para . ¡Este resultado se obtuvo superponiendo una cuadrícula cuadrada con una celda en el plano de visualización y contando el número de cuadrados ocupados por puntos y cálculos!) Si en la Fig. 63, la resolución le permite ver seis “hojas”, luego la probabilidad relativa de cada hoja se puede estimar simplemente contando el número de puntos que tiene. La altura de cada columna en la Fig. 63, r es la probabilidad relativa y el ancho es el espesor de la hoja correspondiente.

Varias alturas de columna en la Fig. 63d muestran que el atractor de Henon no es homogéneo. Esta heterogeneidad no puede describirse mediante una sola dimensión de Hausdorff, por lo que a continuación presentamos conjunto infinito dimensiones que caracterizan la estructura estática (es decir, la distribución de puntos)

atractor. Sin embargo, antes de hacer esto, es útil analizar la entropía de Kolmogorov, que describe el comportamiento dinámico de un atractor extraño.