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1. Número más pequeño El tetraedro tiene 6 aristas.
2. Un prisma tiene n caras. ¿Qué polígono se encuentra en su base?
(n - 2) - cuadrado.
3. ¿Es recto un prisma si sus dos caras laterales adyacentes son perpendiculares al plano de la base?
Sí, lo es.
4. ¿En qué prisma son los bordes laterales paralelos a su altura?
En un prisma recto.
5. ¿Es un prisma regular si todas sus aristas son iguales entre sí?
No, puede que no sea directo.
6. ¿La altura de una de las caras laterales de un prisma inclinado puede ser también la altura del prisma?
Sí, si esta cara es perpendicular a la base.
7. ¿Existe un prisma en el que: a) el borde lateral sea perpendicular a un solo borde de la base; b) ¿sólo una cara lateral es perpendicular a la base?
a) sí. b) no.
8. Un prisma triangular regular se divide en dos prismas mediante un plano que pasa por las líneas medias de las bases. ¿Cuál es la razón de las áreas de las superficies laterales de estos prismas?
Por el teorema 27 encontramos que las superficies laterales están en la proporción 5: 3
9. ¿Será regular la pirámide si sus caras laterales son triángulos regulares?
10. ¿Cuántas caras perpendiculares al plano de la base puede tener una pirámide?
11. ¿Existe una pirámide cuadrangular cuyas caras laterales opuestas sean perpendiculares a la base?
No, de lo contrario habría al menos dos líneas rectas que pasarían por la cima de la pirámide, perpendiculares a las bases.
12. ¿Pueden todas las caras de una pirámide triangular ser triángulos rectángulos?
Sí (Figura 183).
poliedros
El principal objeto de estudio de la estereometría son los cuerpos espaciales. Cuerpo representa una parte del espacio limitada por una determinada superficie.
Poliedro Se llama cuerpo cuya superficie está formada por Número finito polígonos planos. Un poliedro se llama convexo si está ubicado a un lado del plano de cada polígono plano en su superficie. una parte común dicho plano y la superficie de un poliedro se llaman borde. Las caras de un poliedro convexo son planas. polígonos convexos. Los lados de las caras se llaman bordes del poliedro, y los vértices son vértices del poliedro.
Por ejemplo, un cubo consta de seis cuadrados, que son sus caras. Contiene 12 aristas (los lados de los cuadrados) y 8 vértices (las partes superiores de los cuadrados).
Los poliedros más simples son los prismas y las pirámides, que estudiaremos más a fondo.
Prisma
Definición y propiedades de un prisma.
Prisma es un poliedro que consta de dos polígonos planos que se encuentran en planos paralelos compatible transferencia paralela, y todos los segmentos que conectan los puntos correspondientes de estos polígonos. Los polígonos se llaman bases de prisma, y los segmentos que conectan los vértices correspondientes de los polígonos son bordes laterales del prisma.
altura del prisma se llama distancia entre los planos de sus bases (). El segmento que une dos vértices de un prisma que no pertenecen a la misma cara se llama prisma diagonal(). El prisma se llama n-carbono, si su base es un n-gon.
Cualquier prisma tiene las siguientes propiedades, resultante del hecho de que las bases del prisma se combinan mediante traslación paralela:
1. Las bases del prisma son iguales.
2. Los bordes laterales del prisma son paralelos e iguales.
La superficie del prisma consta de bases y superficie lateral. La superficie lateral del prisma consta de paralelogramos (esto se desprende de las propiedades del prisma). El área de la superficie lateral de un prisma es la suma de las áreas de las caras laterales.
Prisma recto
El prisma se llama derecho, si sus bordes laterales son perpendiculares a las bases. De lo contrario el prisma se llama inclinado.
Las caras de un prisma recto son rectángulos. La altura de un prisma recto es igual a sus caras laterales.
Superficie de prisma completa se llama suma del área de la superficie lateral y las áreas de las bases.
Con el prisma correcto llamado prisma recto con un polígono regular en su base.
Teorema 13.1. El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro por la altura del prisma (o, lo que es lo mismo, por el borde lateral).
Prueba. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos, cuyas bases son los lados de los polígonos en las bases del prisma y las alturas son las aristas laterales del prisma. Entonces, por definición, el área de la superficie lateral es:
,
¿Dónde está el perímetro de la base de un prisma recto?
Paralelepípedo
Si en las bases de un prisma hay paralelogramos, entonces se llama paralelepípedo. Todas las caras de un paralelepípedo son paralelogramos. Donde caras opuestas los paralelepípedos son paralelos e iguales.
Teorema 13.2. Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en un punto y se dividen por la mitad por el punto de intersección.
Prueba. Consideremos dos diagonales arbitrarias, por ejemplo, y . Porque las caras de un paralelepípedo son paralelogramos, entonces y , lo que significa según To hay dos rectas paralelas a la tercera. Además, esto significa que las líneas rectas y se encuentran en el mismo plano (plano). Este plano intersecta planos paralelos y a lo largo de rectas paralelas y . Así, un cuadrilátero es un paralelogramo, y por la propiedad del paralelogramo, sus diagonales se cortan y se dividen por la mitad por el punto de intersección, que era lo que había que demostrar.
Un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo se llama paralelepípedo rectangular. Todas las caras de un paralelepípedo rectangular son rectángulos. Las longitudes de los bordes no paralelos de un paralelepípedo rectangular se denominan dimensiones lineales (dimensiones). Hay tres tamaños de este tipo (ancho, alto, largo).
Teorema 13.3. En un paralelepípedo rectangular, el cuadrado de cualquier diagonal igual a la suma cuadrados de sus tres dimensiones 
(probado aplicando la T de Pitágoras dos veces).
Paralelepípedo rectangular, que tiene todos los lados iguales, se llama cubo.
Tareas
13.1 ¿Cuántas diagonales tiene? norte-prisma de carbono
13.2 En un prisma triangular inclinado, las distancias entre los bordes laterales son 37, 13 y 40. Encuentre la distancia entre el borde lateral mayor y el borde lateral opuesto.
13.3Por el lateral de la base inferior del correcto prisma triangular se dibuja un plano que se cruza caras laterales a lo largo de segmentos cuyo ángulo es . Encuentra el ángulo de inclinación de este plano con respecto a la base del prisma.
Los polígonos ABCDE y FHKMP que se encuentran en planos paralelos se llaman bases del prisma, la perpendicular OO 1 bajada desde cualquier punto de la base al plano de otro se llama altura del prisma. Paralelogramos ABHF, BCKH, etc. se denominan caras laterales del prisma, y sus lados SC, DM, etc., que conectan los vértices correspondientes de las bases, se denominan aristas laterales. En un prisma, todas las aristas laterales son iguales entre sí como segmentos de rectas paralelas encerradas entre planos paralelos.
Un prisma se llama línea recta ( Figura 282, segundo) u oblicuo ( Figura 282, c) dependiendo de si sus nervaduras laterales son perpendiculares o inclinadas a las bases. Un prisma recto tiene caras laterales rectangulares. El borde lateral se puede tomar como la altura de dicho prisma.
Un prisma recto se dice regular si sus bases son polígonos regulares. En tal prisma, todas las caras laterales son rectángulos iguales.
Para representar un prisma en un dibujo complejo, es necesario conocer y poder representar los elementos que lo componen (un punto, una línea recta, una figura plana).
y su imagen en el dibujo complejo (Fig. 283, a - i)
a) Dibujo complejo de un prisma. La base del prisma está ubicada en el plano de proyección P 1; una de las caras laterales del prisma es paralela al plano de proyección P 2.
b) Cerca de la base del prisma DEF - figura plana - triangulo regular, ubicado en el plano P 1; el lado del triángulo DE es paralelo al eje x 12 - La proyección horizontal se fusiona con la base dada y, por tanto, es igual a su tamaño natural; La proyección frontal se fusiona con el eje x 12 y es igual al lado de la base del prisma.
c) La base superior del prisma ABC es una figura plana, un triángulo ubicado en plano horizontal. La proyección horizontal se fusiona con la proyección de la base inferior y la cubre, ya que el prisma es recto; proyección frontal: recta, paralela al eje x 12, a una distancia de la altura del prisma.
d) La cara lateral del prisma ABED es una figura plana, un rectángulo que se encuentra en plano frontal. Proyección frontal: un rectángulo igual al tamaño natural de la cara; La proyección horizontal es una línea recta igual al lado de la base del prisma.
e) y f) Las caras laterales de los prismas ACFD y CBEF son figuras planas: rectángulos que se encuentran en planos salientes horizontales ubicados en un ángulo de 60° con respecto al plano de proyección P 2. Las proyecciones horizontales son líneas rectas, ubicadas con respecto al eje x 12 en un ángulo de 60°, y son iguales al tamaño natural de los lados de la base del prisma; Las proyecciones frontales son rectángulos cuyas imágenes son más pequeñas que el tamaño natural: dos lados de cada rectángulo son iguales a la altura del prisma.
g) El borde AD del prisma es una línea recta, perpendicular al plano de proyección P 1. Proyección horizontal - punto; frontal - recto, perpendicular al eje x 12, igual a costilla lateral prisma (altura del prisma).
h) El lado AB de la base superior es recto, paralelo a los planos P 1 y P 2. Las proyecciones horizontal y frontal son rectas, paralelas al eje x 12 e iguales al lado de la base dada del prisma. La proyección frontal está separada del eje x 12 a una distancia igual a la altura del prisma.
i) Los vértices del prisma. Punto E: la parte superior de la base inferior está ubicada en el plano P 1. La proyección horizontal coincide con el punto mismo; frontal: se encuentra en el eje x 12. El punto C, la parte superior de la base superior, está ubicado en el espacio. La proyección horizontal tiene profundidad; frontal - altura, igual a la altura de este prisma.
Esto implica: Al diseñar cualquier poliedro, es necesario dividirlo mentalmente en los elementos que lo componen y determinar el orden de su representación, que consta de operaciones gráficas sucesivas. Las figuras 284 y 285 muestran ejemplos de operaciones gráficas secuenciales al realizar un dibujo complejo y una representación visual (axonometría) de prismas.
(Figura 284).
Dado:
1. La base está ubicada en el plano de proyección P 1.
2. Ninguno de los lados de la base es paralelo al eje x 12.
I. Dibujo complejo.
I a.
Diseñamos la base inferior: un polígono que, por condición, se encuentra en el plano P1.
Yo, b. Diseñamos la base superior: un polígono igual a la base inferior con lados correspondientemente paralelos a la base inferior, espaciados de la base inferior por la altura H del prisma dado.
Yo G. Dado: proyección horizontal F 1 del punto F en la base superior y proyección frontal K 2 del punto K en la cara lateral. Se requiere determinar las ubicaciones de sus segundas proyecciones.
Para el punto F. La segunda proyección (frontal) F 2 del punto F coincidirá con la proyección de la base superior, como un punto que se encuentra en el plano de esta base; su lugar está determinado por la línea de comunicación vertical.
Para el punto K - La segunda proyección (horizontal) K 1 del punto K coincidirá con la proyección horizontal de la cara lateral, como un punto que se encuentra en el plano de la cara; su lugar está determinado por la línea de comunicación vertical.
II. Desarrollo de la superficie del prisma.- una figura plana formada por caras laterales - rectángulos, en los que dos lados son iguales a la altura del prisma, y los otros dos son iguales a los lados correspondientes de la base, y de dos bases iguales entre sí - polígonos irregulares .
En los salientes se revelan las dimensiones naturales de las bases y lados de los paramentos necesarios para la construcción del desarrollo; nos basamos en ellos; En línea recta trazamos secuencialmente los lados AB, BC, CD, DE y EA del polígono, las bases del prisma, tomadas de la proyección horizontal. Sobre las perpendiculares trazadas desde los puntos A, B, C, D, E y A, trazamos la altura H de este prisma tomada desde la proyección frontal y trazamos una línea recta que pasa por las marcas. Como resultado, obtenemos un escaneo de las caras laterales del prisma.
Si a este desarrollo unimos las bases del prisma, obtenemos el desarrollo superficie completa prismas. Las bases del prisma deben fijarse a la cara lateral correspondiente mediante el método de triangulación.
En la base superior del prisma, usando los radios R y R 1, determinamos la ubicación del punto F, y en la cara lateral, usando los radios R 3 y H 1, determinamos el punto K.
III. Una representación visual de un prisma en dimetría.
III, a. Representamos la base inferior del prisma según las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E (Fig. 284 I, a).
III, b. Representamos la base superior paralela a la inferior, espaciada de ella por la altura H del prisma.
III, c. Representamos los bordes laterales conectando los vértices correspondientes de las bases con líneas rectas. Determinamos los elementos visibles e invisibles del prisma y los delimitamos con las líneas correspondientes,
III, d. Determinamos los puntos F y K en la superficie del prisma - el punto F - en la base superior se determina utilizando las dimensiones i y e; punto K - en la cara lateral usando i 1 y H".
Para imagen isométrica prismas y determinar las ubicaciones de los puntos F y K deben seguir la misma secuencia.
Figura 285).
Dado:
1. La base está ubicada en el plano P 1.
2. Las nervaduras laterales son paralelas al plano P 2.
3. Ningún lado de la base es paralelo al eje x 12
I. Dibujo complejo.
I a. Diseñamos según esta condición
: la base inferior es un polígono que se encuentra en el plano P1 y el borde lateral es un segmento paralelo al plano P2 e inclinado al plano P1. Yo, b. Diseñamos los bordes laterales restantes: segmentos iguales y paralelo al primero
costilla CE. Yo, c. Diseñamos la base superior del prisma como un polígono igual y paralelo a la base inferior, obtenemos dibujo complejo
prismas.
Identificamos elementos invisibles en proyecciones. La proyección frontal del borde del VM y la proyección horizontal del lado del CD base se representan mediante líneas discontinuas como invisibles. I, g. Dada la proyección frontal Q 2 del punto Q sobre la proyección A 2 K 2 F 2 D 2 de la cara lateral; necesitas encontrar su proyección horizontal. Para hacer esto, dibuje una línea auxiliar a través del punto Q 2 en la proyección A 2 K 2 F 2 D 2 de la cara del prisma, paralela a los bordes laterales de esta cara. Encontramos la proyección horizontal de la línea auxiliar y sobre ella usando linea vertical
conexión, determinamos la ubicación de la proyección horizontal deseada Q 1 del punto Q.
II. Desarrollo de la superficie del prisma.
Teniendo las dimensiones naturales de los lados de la base en la proyección horizontal y las dimensiones de las nervaduras en la proyección frontal, es posible construir un desarrollo completo de la superficie de un prisma determinado.
Haremos rodar el prisma, girándolo cada vez alrededor del borde lateral, luego cada cara lateral del prisma en el plano dejará un rastro (paralelogramo) igual a su tamaño natural. Construiremos el escaneo lateral en el siguiente orden: a) de los puntos A 2, B 2, D 2. . . mi 2 ( proyecciones frontales
vértices de las bases) dibujan líneas rectas auxiliares perpendiculares a las proyecciones de los bordes;
b) con un radio R (igual al lado de la base CD), hacemos una muesca en el punto D en una recta auxiliar trazada desde el punto D2; conectando los puntos rectos C 2 y D y trazando líneas rectas paralelas a E 2 C 2 y C 2 D, obtenemos la cara lateral CEFD;
c) luego, disponiendo de manera similar las siguientes caras laterales, obtenemos un desarrollo de las caras laterales del prisma. Para obtener un desarrollo completo de la superficie de este prisma, lo fijamos a las caras correspondientes de la base.
III. Una representación visual de un prisma en isometría.
III, a. Representamos la base inferior del prisma y el borde CE, usando coordenadas según ( Prisma Definición. polígono igual y con respectivamente lados paralelos, y todos los bordes que no se encuentran en estos planos son paralelos.
Dos caras iguales se llaman bases de prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Todas las demás caras del prisma se llaman caras laterales(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Todas las caras laterales se forman superficie lateral prismas .
Todas las caras laterales del prisma son paralelogramos. .
Las aristas que no se encuentran en las bases se llaman aristas laterales del prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
prisma diagonal es un segmento cuyos extremos son dos vértices de un prisma que no se encuentran en la misma cara (AD 1).
La longitud del segmento que conecta las bases del prisma y perpendicular a ambas bases al mismo tiempo se llama altura del prisma .
Designación:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Primero, en orden transversal, se indican los vértices de una base, y luego, en el mismo orden, los vértices de otra; los extremos de cada borde lateral se designan con las mismas letras, solo se designan los vértices que se encuentran en una base por letras sin índice, y en el otro - con índice)
El nombre del prisma está asociado con la cantidad de ángulos en la figura que se encuentran en su base, por ejemplo, en la Figura 1 hay un pentágono en la base, por eso el prisma se llama prisma pentagonal. Pero porque tal prisma tiene 7 caras, entonces heptaedro(2 caras - las bases del prisma, 5 caras - paralelogramos, - sus caras laterales)
Entre los prismas rectos destaca vista privada: prismas correctos.
Un prisma recto se llama correcto, si sus bases son polígonos regulares.
Paralelepípedo
Paralelepípedo- Este prisma cuadrangular, en cuya base se encuentra un paralelogramo (un paralelepípedo inclinado). paralelepípedo derecho- un paralelepípedo cuyos bordes laterales son perpendiculares a los planos de la base.Paralelepípedo rectangular- un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo.
Propiedades y teoremas:
Algunas propiedades de un paralelepípedo son similares. propiedades conocidas paralelogramo. Un paralelepípedo rectangular que tiene medidas iguales, son llamados cubo
.Todas las caras de un cubo son cuadrados iguales El cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones. 
,
donde d es la diagonal del cuadrado;
a es el lado del cuadrado.
Una idea de prisma viene dada por:
- varios estructuras arquitectónicas;
- Juguetes de los niños;
- cajas de embalaje;
- artículos de diseño, etc.
El área de la superficie total y lateral del prisma.
Superficie total del prisma es la suma de las áreas de todas sus caras Superficie lateral se llama suma de las áreas de sus caras laterales. Las bases del prisma son polígonos iguales, luego sus áreas son iguales. Es por esoS completo = lado S + 2S principal,
Dónde S lleno- superficie total, lado S-superficie lateral, base S- área de la base
El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma..
lado S= P básico * h,
Dónde lado S-área de la superficie lateral de un prisma recto,
P principal - perímetro de la base de un prisma recto,
h es la altura del prisma recto, igual al borde lateral.
Volumen del prisma
Volumen del prisma igual al productoárea de la base a la altura.
