Documento: es decir. El rango de la matriz se conserva al realizar las siguientes operaciones:
1. Cambiar el orden de las líneas.
2. Multiplicar una matriz por un número distinto de cero.
3. Transposición.
4. Eliminar una cadena de ceros.
5. Agregar otra cadena a una cadena, multiplicada por un número arbitrario.
La primera transformación dejará algunos menores sin cambios, pero cambiará el signo de algunos por el contrario. La segunda transformación también dejará algunos menores sin cambios, mientras que otros se multiplicarán por un número distinto de cero. La tercera transformación preservará a todos los menores. Por tanto, al aplicar estas transformaciones también se conservará el rango de la matriz (segunda definición). Eliminar una fila cero no puede cambiar el rango de la matriz, porque dicha fila no puede ingresar un menor distinto de cero. Consideremos la quinta transformación.
Supondremos que la base menor Δp se ubica en las primeras p filas. Sumemos una cadena arbitraria b a la cadena a, que es una de estas cadenas, multiplicada por algún número λ. Aquellos. a la cadena a se le agrega una combinación lineal de cadenas que contienen la base menor. En este caso, la base menor Δp permanecerá sin cambios (y será diferente de 0). Otros menores colocados en las primeras p líneas también permanecen sin cambios, lo mismo ocurre con todos los demás menores. Eso. V en este caso se conservará el rango (según la segunda definición). Consideremos ahora el menor Ms, que no tiene todas las filas de las primeras p (y quizás no tenga ninguna).
Sumando una cadena arbitraria b a la cadena ai, multiplicada por el número λ, obtenemos una nueva menor Ms‘, y Ms‘=Ms+λ Ms, donde
Si s>p, entonces Ms=Ms=0, porque todos los menores de orden mayor que p de la matriz original son iguales a 0. Pero entonces Ms'=0, y el rango de las transformaciones matriciales no aumenta. Pero tampoco pudo disminuir, ya que el menor básico no sufrió ningún cambio. Por tanto, el rango de la matriz permanece sin cambios.
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Nuestro objetivo inmediato es demostrar que cualquier matriz se puede reducir a alguna tipos estándar. El lenguaje de matrices equivalentes es útil en este camino.
Déjalo ser. Diremos que una matriz es l_equivalente (n_equivalente o equivalente) a una matriz y denotaremos (o) si la matriz se puede obtener a partir de una matriz usando numero finito transformaciones elementales de fila (columna o fila y columna, respectivamente). Está claro que l_equivalente y n_ matrices equivalentes son equivalentes.
Primero mostraremos que cualquier matriz se puede reducir a tipo especial, llamado reducido.
Déjalo ser. Se dice que una fila distinta de cero de esta matriz tiene la forma reducida si contiene un elemento igual a 1 de modo que todos los elementos de la columna distintos de sean iguales a cero. Al elemento único marcado de la línea lo llamaremos elemento principal de esta línea y lo encerraremos en un círculo. En otras palabras, una fila de una matriz tiene la forma reducida si esta matriz contiene una columna de la forma
Por ejemplo, en la siguiente matriz
la línea tiene la siguiente forma, desde. Prestemos atención al hecho de que en este ejemplo un elemento también pretende ser el elemento principal de la línea. En el futuro, si una línea del tipo dado contiene varios elementos que tienen propiedades principales, seleccionaremos solo uno de ellos de manera arbitraria.
Se dice que una matriz tiene forma reducida si cada una de sus filas distintas de cero tiene forma reducida. Por ejemplo, matriz
tiene la siguiente forma.
Proposición 1.3 Para cualquier matriz existe una matriz equivalente de forma reducida.
De hecho, si la matriz tiene la forma (1.1) y, luego de realizar transformaciones elementales en ella
obtenemos la matriz
en el que la cadena tiene la siguiente forma.
En segundo lugar, si se redujo la fila de la matriz, luego de realizar transformaciones elementales (1.20) se reducirá la fila de la matriz. De hecho, desde dado, hay una columna tal que
pero luego y, en consecuencia, después de realizar las transformaciones (1.20) la columna no cambia, es decir . Por tanto, la línea tiene la siguiente forma.
Ahora está claro que al transformar cada fila distinta de cero de la matriz de la manera anterior, después de un número finito de pasos obtendremos una matriz de forma reducida. Dado que solo se utilizaron transformaciones elementales de fila para obtener la matriz, es equivalente a una matriz. >
Ejemplo 7. Construir una matriz de forma reducida, l_equivalente a la matriz
Los primeros tres párrafos de este capítulo están dedicados a la doctrina de la equivalencia de matrices polinómicas. Con base en esto, en los siguientes tres párrafos construimos la teoría analítica de los divisores elementales, es decir, la teoría de reducir una matriz cuadrada constante (pocos nominales) a forma normal. Los dos últimos párrafos del capítulo ofrecen dos métodos para construir una matriz de transformación.
§ 1. Transformaciones elementales de una matriz polinómica.
Definición 1. Una matriz polinómica o -matriz es una matriz rectangular cuyos elementos son polinomios en:
Aquí está el mayor grado de los polinomios.
Podemos representar una matriz polinómica como un polinomio matricial con respecto a , es decir, como un polinomio con coeficientes matriciales:
Introduzcamos en consideración las siguientes operaciones elementales sobre una matriz polinomial:
1. Multiplicar alguna línea, por ejemplo la th, por un número.
2. Sumar a alguna, por ejemplo la línea ésima, otra, por ejemplo la línea ésima, previamente multiplicada por un polinomio arbitrario.
3. Intercambie dos líneas cualesquiera, por ejemplo la ésima y la ésima.
Invitamos al lector a comprobar que las operaciones 1, 2, 3 equivalen a multiplicar una matriz polinómica de la izquierda, respectivamente, por las siguientes matrices cuadradas de orden:
(1)
es decir, como resultado de aplicar las operaciones 1, 2, 3, la matriz se transforma, respectivamente, en las matrices , , . Por tanto, las operaciones de tipo 1, 2, 3 se denominan operaciones elementales de izquierda.
Las operaciones elementales correctas en una matriz polinómica se definen de manera completamente similar (estas operaciones no se realizan en las filas, sino en las columnas de la matriz polinómica) y las matrices correspondientes (de orden ):
Como resultado de aplicar la operación elemental correcta, la matriz de la derecha se multiplica por la matriz correspondiente.
A las matrices de tipo (o, lo que es lo mismo, tipo ), las llamaremos matrices elementales.
El determinante de cualquier matriz elemental no depende de cero y es diferente de cero. Por lo tanto, para cada operación elemental izquierda (derecha) hay operación inversa, que también es una operación elemental de izquierda (respectivamente de derecha).
Definición 2. Dos matrices polinómicas se denominan 1) equivalente izquierda, 2) equivalente derecha, 3) equivalente si una de ellas se obtiene de la otra aplicando, respectivamente, 1) operaciones elementales de izquierda, 2) operaciones elementales de derecha, 3) operaciones elementales de izquierda y operaciones elementales correctas.
Deje que la matriz se obtenga usando operaciones elementales de izquierda correspondientes a matrices. Entonces
. (2).
Denotando por el producto , escribimos la igualdad (2) en la forma
, (3)
donde , como cada una de las matrices, tiene un determinante constante distinto de cero.
En la siguiente sección demostraremos que toda matriz cuadrada con un determinante constante distinto de cero se puede representar como un producto de matrices elementales. Por tanto, la igualdad (3) es equivalente a la igualdad (2) y por tanto significa la equivalencia izquierda de las matrices y .
En el caso de equivalencia de derechos matrices polinomiales y en lugar de igualdad (3) tendremos la igualdad
, (3")
y en el caso de equivalencia (bilateral) – igualdad
Aquí nuevamente y hay matrices con determinantes independientes y distintos de cero.
Por tanto, la Definición 2 puede sustituirse por una definición equivalente.
Definición 2". Dos matrices rectangulares se denominan 1) equivalente izquierdo, 2) equivalente derecho, 3) equivalente si, respectivamente
1)
, 2) , 3) ,
donde y son matrices cuadradas polinomiales con determinantes constantes y distintos de cero.
Ilustramos todos los conceptos introducidos anteriormente utilizando el siguiente ejemplo importante.
Considere un sistema de lineal homogéneo. ecuaciones diferenciales-ésimo orden con funciones de argumento desconocido con coeficientes constantes:
(4)
Ecuación de Mu de una nueva función desconocida; la segunda operación elemental significa la introducción de una nueva función desconocida 
(en lugar de ); la tercera operación significa cambiar lugares en las ecuaciones de términos que contienen y (es decir, 
).
1. Sean dados dos espacios vectoriales y, en consecuencia, medidas sobre un campo numérico y un operador lineal mapeado en . En esta sección descubriremos cómo cambia la matriz correspondiente a un operador lineal dado cuando cambian las bases en y.
Elijamos bases arbitrarias y . En estas bases, el operador corresponderá a la matriz. Igualdad de vectores
corresponde a la igualdad matricial
donde y son las columnas de coordenadas para vectores y en bases y .
Elijamos ahora en y otras bases y . En las nuevas bases, en lugar de , , tendremos: , , . Al mismo tiempo
Denotemos por y las matrices cuadradas no singulares de órdenes y , respectivamente, que realizan la transformación de coordenadas en espacios y en la transición de bases antiguas a nuevas (ver § 4):
Luego de (27) y (29) obtenemos:
Suponiendo , de (28) y (30) encontramos:
Definición 8. Dos matrices rectangulares y mismos tamaños se dice que son equivalentes si existen dos matrices cuadradas no singulares tales que
De (31) se deduce que dos matrices correspondientes al mismo operador lineal con diferentes opciones de bases en y son siempre equivalentes entre sí. Es fácil ver que, a la inversa, si una matriz corresponde a un operador para algunas bases en y, la matriz es equivalente a una matriz, entonces corresponde al mismo operador lineal para algunas otras bases en y.
Así, cada operador lineal mapea y corresponde a una clase de matrices equivalentes entre sí con elementos del campo.
2. El siguiente teorema establece un criterio para la equivalencia de dos matrices:
Teorema 2. Para que dos matrices rectangulares del mismo tamaño sean equivalentes, es necesario y suficiente que estas matrices tengan el mismo rango.
Prueba. La condición es necesaria. Al multiplicar una matriz rectangular por cualquier no singular matriz cuadrada(izquierda o derecha) el rango de la matriz rectangular original no puede cambiar (ver Capítulo I, página 27). Por lo tanto, de (32) se sigue
La condición es suficiente. Sea una matriz rectangular de tamaño. Define un operador lineal que asigna un espacio con una base a un espacio con una base. Denotemos por número linealmente vectores independientes entre los vectores 
. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que los vectores son linealmente independientes. 
, y el resto se expresan linealmente a través de ellos:
. (33)
Definamos una nueva base de la siguiente manera:
(34)
Entonces en virtud de (33)
. (35)
Los vectores son linealmente independientes. Complementémoslos con algunos vectores hasta una base en .
Luego la matriz correspondiente al mismo operador en nuevas bases; , según (35) y (36) tendrá la forma
. (37)
En la matriz, los unos van a lo largo de la diagonal principal de arriba a abajo; todos los demás elementos de la matriz son iguales a cero. Como las matrices y corresponden al mismo operador, son equivalentes entre sí. Según lo demostrado, las matrices equivalentes tienen el mismo rango. Por tanto, el rango de la matriz original es igual a.
Hemos demostrado que una matriz de rango rectangular arbitraria es equivalente a una matriz "canónica". Pero la matriz está completamente determinada especificando las dimensiones y los números. Por lo tanto, todas las matrices rectangulares de tamaños y rangos determinados son equivalentes a la misma matriz y, por tanto, equivalentes entre sí. El teorema ha sido demostrado.
3. Sea dado un operador lineal que represente -espacio dimensional en -dimensional. Un conjunto de vectores de la forma , donde , formas espacio vectorial. Denotaremos este espacio por ; forma parte del espacio o, como dicen, es un subespacio en el espacio.
Junto con el subespacio in, consideramos el conjunto de todos los vectores que satisfacen la ecuación
Estos vectores también forman un subespacio en ; Denotaremos este subespacio por .
Definición 9. Si un operador lineal se asigna a , entonces el número de dimensiones del espacio se denomina rango del operador, y el número de dimensiones del espacio que consta de todos los vectores que satisfacen la condición (38) se denomina defecto del operador. .
Entre todos los equivalentes matrices rectangulares, definiendo este operador en varias bases, hay matriz canónica[ver (37)]. Denotemos por y las bases correspondientes en y . Entonces
, 
.
De la definición y se deduce que los vectores forman una base en y los vectores comparan la base en . De esto se deduce que es el rango del operador y
Si es una matriz arbitraria correspondiente al operador, entonces es equivalente y por tanto tiene el mismo rango. Por tanto, el rango del operador coincide con el rango de la matriz rectangular.
,
operador definitorio en algunas bases 
Y 
.
Las columnas de la matriz contienen las coordenadas de los vectores. . Dado que se deduce que el rango del operador, es decir, el número de dimensiones, es igual a número máximo vectores linealmente independientes entre . Por tanto, el rango de la matriz coincide con el número de columnas linealmente independientes de la matriz. Dado que durante la transposición las filas de la matriz se convierten en columnas y el rango no cambia, el número de filas linealmente independientes de la matriz también es igual al rango de la matriz.
4. Que se den dos operador lineal y su trabajo.
Deje que el operador se asigne a y el operador se asigne a . Luego el operador se asigna a:
Introduzcamos matrices , , correspondientes a los operadores , , para una determinada elección de bases , y . Entonces el operador igualdad corresponderá a la igualdad matricial ., es decir en, .
