Matrices equivalentes. Transformaciones del sistema elemental.

Matrices equivalentes

Como se mencionó anteriormente, el menor de una matriz de orden s es el determinante de una matriz formada a partir de elementos de la matriz original ubicados en la intersección de cualquier s filas y s columnas seleccionadas.

Definición. En una matriz de orden mn, una menor de orden r se llama básica si no es igual a cero, y todos los menores de orden r+1 y superiores son iguales a cero o no existen en absoluto, es decir r coincide con el menor de m o n.

Las columnas y filas de la matriz sobre las que se encuentra la base menor también se denominan base.

Una matriz puede tener varias bases menores diferentes que tengan el mismo orden.

Definición. El orden de la base menor de una matriz se llama rango de la matriz y se denota por Rg A.

Muy propiedad importante Las transformaciones matriciales elementales es que no cambian el rango de la matriz.

Definición. Las matrices obtenidas como resultado de una transformación elemental se denominan equivalentes.

Cabe señalar que matrices iguales y matrices equivalentes son conceptos completamente diferentes.

Teorema. numero mas grande Las columnas linealmente independientes de una matriz son iguales al número de filas linealmente independientes.

Porque las transformaciones elementales no cambian el rango de la matriz, entonces el proceso de encontrar el rango de la matriz se puede simplificar significativamente.

Ejemplo. Determine el rango de la matriz.

2. Ejemplo: Determine el rango de la matriz.

Si, utilizando transformaciones elementales, no es posible encontrar una matriz equivalente a la original, pero de menor tamaño, entonces para encontrar el rango de la matriz se debe comenzar calculando los menores del orden más alto posible. En el ejemplo anterior, estos son menores de orden 3. Si al menos uno de ellos no es igual a cero, entonces el rango de la matriz es igual al orden de este menor.

El teorema de la base menor.

Teorema. En una matriz A arbitraria, cada columna (fila) es una combinación lineal de las columnas (filas) en las que se encuentra la base menor.

Entonces el rango matriz arbitraria A es igual a número máximo Filas (columnas) linealmente independientes en una matriz.

Si A es una matriz cuadrada y det A = 0, entonces al menos una de las columnas es una combinación lineal de las columnas restantes. Lo mismo ocurre con las cuerdas. Esta declaración se deriva de la propiedad. dependencia lineal con el determinante igual a cero.

Resolver sistemas arbitrarios de ecuaciones lineales.

Como se indicó anteriormente, método matricial y el método de Cramer son aplicables sólo a aquellos sistemas ecuaciones lineales, en el que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones. A continuación, consideramos sistemas arbitrarios de ecuaciones lineales.

Definición. Sistema de m ecuaciones con n incógnitas en vista general está escrito de la siguiente manera:

donde aij son coeficientes y bi son constantes. Las soluciones del sistema son n números que, cuando se sustituyen en el sistema, convierten cada una de sus ecuaciones en una identidad.

Definición. Si un sistema tiene al menos una solución, se llama conjunto. Si un sistema no tiene una solución única, se dice que es inconsistente.

Definición. Un sistema se dice determinado si tiene una sola solución e indefinido si tiene más de una.

Definición. Para un sistema de ecuaciones lineales la matriz

A = se llama matriz del sistema y la matriz

A*= se llama matriz extendida del sistema

Definición. Si b1, b2,…,bm = 0, entonces el sistema se llama homogéneo. sistema homogéneo siempre conjunta, porque siempre tiene solución cero.

Transformaciones del sistema elemental.

Las transformaciones elementales incluyen:

1) Sumar a ambos lados de una ecuación las partes correspondientes de la otra, multiplicadas por el mismo número, distinto de cero.

2) Reorganizar las ecuaciones.

3) Quitar del sistema las ecuaciones que son identidades para todo x.

Teorema de Kronecker-Kapeli (condición de consistencia del sistema).

(Leopold Kronecker (1823-1891) matemático alemán)

Teorema: Un sistema es consistente (tiene al menos una solución) si y sólo si el rango de la matriz del sistema es igual al rango de la matriz extendida.

Obviamente, el sistema (1) se puede escribir en la forma.

Dejar R Y S dos espacios vectoriales dimensiones norte Y metro respectivamente sobre el campo numérico k, y deja A operador lineal mostrando R V S. Averigüemos cómo cambia la matriz del operador. A al cambiar bases en espacios R V S.

Elijamos bases arbitrarias en los espacios. R V S y denotar por y respectivamente. Entonces (ver operadores lineales) la igualdad vectorial

corresponde a la igualdad matricial

Dónde incógnita Y en vectores incógnita Y y, presentado en forma de columnas de coordenadas en las bases y, respectivamente.

Elijamos ahora en los espacios. R Y S otras bases Y . En las nuevas bases, la igualdad vectorial (1) corresponderá a la igualdad matricial

Entonces, teniendo en cuenta (3) y (4), tenemos

Definición 1. Dos matrices rectangulares A y B mismos tamaños se dice que son equivalentes si existen dos matrices cuadradas no singulares PAG Y t tal que se cumple la igualdad

Tenga en cuenta que si A-matriz de orden mxn, Eso PAG Y t matrices de orden cuadrado metro Y norte, respectivamente.

De (6) se deduce que dos matrices correspondientes al mismo operador lineal A para diferentes opciones de bases en espacios R Y S son equivalentes entre sí. Lo contrario también es cierto. Si la matriz A corresponde al operador A, y la matriz B es equivalente a la matriz A, entonces corresponde al mismo operador lineal A para otras bases en R Y S.

Averigüemos en qué condiciones dos matrices son equivalentes.

Teorema. Para que dos matrices del mismo tamaño sean equivalentes es necesario y suficiente que tengan el mismo rango.

Prueba. Necesidad. Dado que multiplicar una matriz por una matriz cuadrada no singular no puede cambiar el rango de la matriz, entonces de (7) tenemos:

Adecuación. Sea un operador lineal dado A, representando el espacio R V S y deja que este operador sea respondido por la matriz A tamaño mxn en bases en R y en S, respectivamente. Denotemos por r el número es lineal vectores independientes de entre ae 1 , ae 2 ,..., aenorte. Sean los primeros linealmente independientes. r vectores ae 1 , ae 2 ,..., aer. Luego el resto n-r los vectores se expresan linealmente en términos de estos vectores:

Definamos una nueva base en el espacio. R:

Complementemos estos vectores con algunos vectores. basarse en S.

Entonces la matriz de operadores A en nuevas bases , según (9) y (10) tendrá la siguiente forma:

donde en la matriz mi" - en la diagonal principal se encuentran r unidades y los elementos restantes son cero.

Desde las matrices A Y mi" coincide con el mismo operador A, entonces son equivalentes entre sí. Arriba mostramos que las matrices equivalentes tienen el mismo rango, de ahí el rango de la matriz original. A es igual r.

De lo anterior se deduce que arbitrario mxn matriz de rango r es equivalente a la matriz mi" - orden mxn. Pero mi" - se determina de forma única especificando la dimensión mxn matriz y su rango r. Por lo tanto, todas las matrices rectangulares de orden mxn y rango r son equivalentes a la misma matriz mi" y, por tanto, son equivalentes entre sí.■

Documento: es decir. El rango de la matriz se conserva al realizar las siguientes operaciones:

1. Cambiar el orden de las líneas.

2. Multiplicar una matriz por un número distinto de cero.

3. Transposición.

4. Eliminar una cadena de ceros.

5. Agregar otra cadena a una cadena, multiplicada por un número arbitrario.

La primera transformación dejará algunos menores sin cambios, pero cambiará el signo de algunos por el contrario. La segunda transformación también dejará algunos menores sin cambios, mientras que otros se multiplicarán por un número distinto de cero. La tercera transformación preservará a todos los menores. Por tanto, al aplicar estas transformaciones también se conservará el rango de la matriz (segunda definición). Eliminar una fila cero no puede cambiar el rango de la matriz, porque dicha fila no puede ingresar un menor distinto de cero. Consideremos la quinta transformación.

Supondremos que la base menor Δp ​​​​se ubica en las primeras p filas. Sumemos una cadena arbitraria b a la cadena a, que es una de estas cadenas, multiplicada por algún número λ. Aquellos. a la cadena a se le agrega una combinación lineal de cadenas que contienen la base menor. En este caso, la base menor Δp ​​​​permanecerá sin cambios (y será diferente de 0). Otros menores colocados en las primeras p líneas también permanecen sin cambios, lo mismo ocurre con todos los demás menores. Eso. V en este caso se conservará el rango (según la segunda definición). Consideremos ahora el menor Ms, que no tiene todas las filas de las primeras p (y quizás no tenga ninguna).

Sumando una cadena arbitraria b a la cadena ai, multiplicada por el número λ, obtenemos una nueva menor Ms‘, y Ms‘=Ms+λ Ms, donde

Si s>p, entonces Ms=Ms=0, porque todos los menores de orden mayor que p de la matriz original son iguales a 0. Pero entonces Ms'=0, y el rango de las transformaciones matriciales no aumenta. Pero tampoco pudo disminuir, ya que el menor básico no sufrió ningún cambio. Por tanto, el rango de la matriz permanece sin cambios.

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Los primeros tres párrafos de este capítulo están dedicados a la doctrina de la equivalencia de matrices polinómicas. Con base en esto, en los siguientes tres párrafos construimos la teoría analítica de los divisores elementales, es decir, la teoría de reducir una matriz cuadrada constante (pocos nominales) a forma normal. Los dos últimos párrafos del capítulo ofrecen dos métodos para construir una matriz de transformación.

§ 1. Transformaciones elementales de una matriz polinómica.

Definición 1. Una matriz polinómica o -matriz es una matriz rectangular cuyos elementos son polinomios en:

Aquí está el mayor grado de los polinomios.

Podemos representar una matriz polinómica como un polinomio matricial con respecto a , es decir, como un polinomio con coeficientes matriciales:

Introduzcamos en consideración las siguientes operaciones elementales sobre una matriz polinómica:

1. Multiplicar alguna línea, por ejemplo la th, por un número.

2. Sumar a alguna, por ejemplo la línea ésima, otra, por ejemplo la línea ésima, previamente multiplicada por un polinomio arbitrario.

3. Intercambie dos líneas cualesquiera, por ejemplo la ésima y la ésima.

Invitamos al lector a comprobar que las operaciones 1, 2, 3 equivalen a multiplicar una matriz polinómica de la izquierda, respectivamente, por las siguientes matrices cuadradas de orden:

(1)

es decir, como resultado de aplicar las operaciones 1, 2, 3, la matriz se transforma, respectivamente, en las matrices , , . Por tanto, las operaciones de tipo 1, 2, 3 se denominan operaciones elementales de izquierda.

Las operaciones elementales correctas en una matriz polinómica se definen de manera completamente similar (estas operaciones no se realizan en las filas, sino en las columnas de la matriz polinómica) y las matrices correspondientes (de orden ):

Como resultado de aplicar la operación elemental correcta, la matriz de la derecha se multiplica por la matriz correspondiente.

A las matrices de tipo (o, lo que es lo mismo, tipo ), las llamaremos matrices elementales.

Determinante cualquiera matriz elemental no depende de cero y es diferente de él. Por lo tanto, para cada operación elemental izquierda (derecha) hay operación inversa, que también es una operación elemental de izquierda (respectivamente de derecha).

Definición 2. Dos matrices polinómicas se denominan 1) equivalente izquierda, 2) equivalente derecha, 3) equivalente si una de ellas se obtiene de la otra aplicando, respectivamente, 1) operaciones elementales de izquierda, 2) operaciones elementales de derecha, 3) operaciones elementales de izquierda y operaciones elementales correctas.

Deje que la matriz se obtenga usando operaciones elementales de izquierda correspondientes a matrices. Entonces

. (2).

Denotando por el producto , escribimos la igualdad (2) en la forma

, (3)

donde , como cada una de las matrices, tiene un determinante constante distinto de cero.

En el siguiente párrafo se demostrará que cada matriz cuadrada con un determinante constante distinto de cero se puede representar como un producto de matrices elementales. Por tanto, la igualdad (3) es equivalente a la igualdad (2) y por tanto significa la equivalencia izquierda de las matrices y .

En el caso de equivalencia de derechos matrices polinomiales y en lugar de igualdad (3) tendremos la igualdad

, (3")

y en el caso de equivalencia (bilateral) – igualdad

Aquí nuevamente y hay matrices con determinantes independientes y distintos de cero.

Por tanto, la Definición 2 puede sustituirse por una definición equivalente.

Definición 2". Dos matrices rectangulares y se llaman 1) equivalente izquierdo, 2) equivalente derecho, 3) equivalente si, respectivamente

1) , 2) , 3) ,

donde y son matrices cuadradas polinómicas con determinantes constantes y distintos de cero.

Ilustramos todos los conceptos introducidos anteriormente utilizando el siguiente ejemplo importante.

Considere un sistema de lineal homogéneo. ecuaciones diferenciales-ésimo orden con funciones de argumento desconocido con coeficientes constantes:

(4)

Ecuación de Mu de una nueva función desconocida; la segunda operación elemental significa la introducción de una nueva función desconocida (en lugar de ); la tercera operación significa cambiar lugares en las ecuaciones de términos que contienen y (es decir, ).

Nuestro objetivo inmediato es demostrar que cualquier matriz se puede reducir a alguna tipos estándar. El lenguaje de matrices equivalentes es útil en este camino.

Déjalo ser. Diremos que una matriz es l_equivalente (n_equivalente o equivalente) a una matriz y denotaremos (o) si la matriz se puede obtener a partir de una matriz usando número finito transformaciones elementales de fila (columna o fila y columna, respectivamente). Está claro que las matrices l_equivalente y n_equivalente son equivalentes.

Primero mostraremos que cualquier matriz se puede reducir a tipo especial, llamado reducido.

Déjalo ser. Se dice que una fila distinta de cero de esta matriz tiene la forma reducida si contiene un elemento igual a 1 de modo que todos los elementos de la columna distintos de sean iguales a cero. Al elemento único marcado de la línea lo llamaremos elemento principal de esta línea y lo encerraremos en un círculo. En otras palabras, una fila de una matriz tiene la forma reducida si esta matriz contiene una columna de la forma

Por ejemplo, en la siguiente matriz

la línea tiene la siguiente forma, desde. Prestemos atención al hecho de que en este ejemplo un elemento también pretende ser el elemento principal de la línea. En el futuro, si una línea del tipo dado contiene varios elementos que tienen propiedades principales, seleccionaremos solo uno de ellos de manera arbitraria.

Se dice que una matriz tiene forma reducida si cada una de sus filas distintas de cero tiene forma reducida. Por ejemplo, matriz

tiene la siguiente forma.

Proposición 1.3 Para cualquier matriz existe una matriz equivalente de forma reducida.

De hecho, si la matriz tiene la forma (1.1) y, luego de realizar transformaciones elementales en ella

obtenemos la matriz

en el que la cadena tiene la siguiente forma.

En segundo lugar, si se redujo la fila de la matriz, luego de realizar transformaciones elementales (1.20) se reducirá la fila de la matriz. De hecho, desde dado, hay una columna tal que

pero luego y, en consecuencia, después de realizar las transformaciones (1.20) la columna no cambia, es decir . Por tanto, la línea tiene la siguiente forma.

Ahora está claro que al transformar cada fila distinta de cero de la matriz por turno de la manera anterior, después de un número finito de pasos obtendremos una matriz de forma reducida. Dado que solo se utilizaron transformaciones elementales de filas para obtener la matriz, ésta es equivalente a una matriz. >

Ejemplo 7. Construir una matriz de forma reducida, l_equivalente a la matriz