Ejemplos de reducción de matrices a la forma Jordan.

1°. . Raíces Ecuación característica: l 1, 2, 3 = 1. .

Vectores propios A por λ = 1, es decir centro A 1:

, que significa base norte(A 1): .

Imagen del operador A 1 METRO(A 1) encontramos de las relaciones:

; base METRO(A 1) F 3 (1, 2, –1), etc. F 3 = 2F 1 – F 2, entonces F 3 Оℒ( F 1 , F 2).

Entonces: base será un vector; vector que complementa la base delante de la base estará cualquiera de los vectores, por ejemplo el vector; y la base No hay nada que añadir a la base, porque .

Prototipo A 1 en= (1, 2, –1) Þ en 1 – en 2 – en 3 = 1, por ejemplo (1, 0, 0).

Por cierto: el sistema A 1 en= (1, 0, 0) no tiene soluciones, es decir no hay imagen inversa de la segunda capa para el vector (1, 2, –1).

Por lo tanto, la base jordana del operador A: .

Y, finalmente, tenemos la forma Jordan de la matriz de operadores. A: .

2°. Encuentre la forma normal de Jordan de la matriz. operador lineal A = y una base en la que la matriz del operador tiene forma de Jordan.

Δ. Para una matriz de operadores lineales A = Compongamos y resolvamos la ecuación característica: det( A-l mi) = 0 .

= .

Entonces: = 0 y por lo tanto l 1, 2 = –1; l 3, 4 = 1.

a) Considere el operador A -1 = A-l mi= A+mi= A para l = - 1, es decir, el núcleo del operador A-1. Para ello, resolvemos un sistema de cuatro lineales. ecuaciones homogéneas con matriz A-1. De tercero y cuartas ecuaciones sistema está claro que. Entonces se puede establecer fácilmente que. Vector F 1 (1, 1, 0, 0) es el único vector propio del operador A, correspondiente al valor propio l = -1 y forma la base del núcleo del operador A-1. A continuación, buscamos la base de la imagen del operador. A –1:

.

Observando que para los vectores F 2 , F 3 , F 4 hay una relación: F 3 + F 4 – F 2 = (0, 0, 0, 1), encuentra la base de la imagen del operador A –1:

(j 1 (1, 1, 0, 0), j 2 (0, –1, 1, 1), j 3 (0, 0, 0, 1).

Observando que los vectores F 1 y coinciden, concluimos que este vector forma la base para la intersección de la imagen y el núcleo del operador. A -1 .

La multiplicidad de la raíz λ = -1 es dos y el vector propio correspondiente a este valor propio es solo uno. Por lo tanto, creemos gramo 1 igual al vector, y estamos buscando otro vector base de Jordan como imagen inversa de la primera capa para . Vamos a decidir sistema heterogéneo ecuaciones lineales y encontrar el segundo vector. gramo 2 (1, 3/4, 0, 0) Base de Jordan correspondiente al valor propio l = -1 de múltiplo de dos. En este caso, que es típico, el vector no tiene imagen inversa de la segunda capa, porque un sistema con matriz extendida

no tiene soluciones. Esto no es accidental, porque el valor propio l= -1 de la multiplicidad 2 debe corresponder a dos vectores de la base de Jordan del operador A:

gramo 1 (1, 1, 0, 0); gramo 2 (1, 3/4, 0, 0).

Al mismo tiempo, observamos que:

b) Consideremos ahora el valor propio l = 1 y, en consecuencia, el operador A 1 =A+mi:

.

Encontremos el núcleo de este operador, es decir vectores propios operador A en λ = 1.

.

Vector F 1 (1, 1, 1, 1) forma la base del kernel del operador A 1 y es el único vector propio del operador A, correspondiente al valor propio l = 1.

Buscamos la base de la imagen. METRO(A 1) operador A 1 .

.

Señalando que F 1 = F 2 + F 3 + F 4, concluimos: la base de la intersección del núcleo y la imagen del operador A 1 es un vector F 1 .

Dado que solo hay un vector propio y el valor propio tiene una multiplicidad de 2, necesitamos encontrar otro vector de la base de Jordan. Por eso creemos gramo 3 igual al vector y 1 (1, 1, 1, 1), y buscamos otro vector base de Jordan como imagen inversa de la primera capa para y 1 (1, 1, 1, 1). Para ello, resolvemos un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales. A 1 gramo 4 = j 1 y encuentra el vector gramo 4 (0, 1/2, 0, 1/2) Base de Jordan correspondiente al valor propio l = 1 de múltiplo de dos. En este caso, el vector y 1 (1, 1, 1, 1) no tiene imagen inversa de la segunda capa, porque el sistema A 1 y = gramo 4 con matriz extendida no tiene soluciones. Y nuevamente, esto no es accidental, porque el valor propio l= 1 de multiplicidad 2 debe corresponder a dos vectores de la base de Jordan, y ya han sido encontrados:

gramo 3 (1, 1, 1, 1); gramo 4 (0, 1/2, 0, 1/2).

Al mismo tiempo, observamos que: Ag 3 = gramo 1 , Ag 4 = gramo 3 + gramo 4 . Para el operador A Se encuentra una base jordana: . Donde A GRAMO= . ▲

3°. ; det( A-l mi) = 0 l 1, 2 = 1; l 3, 4 = 2.

Δ a) Considere el operador A 1: A 1 -mi= . Buscamos los vectores propios del operador. A para l = 1, es decir núcleo del operador A 1 .

. Vectores ( F 1 ,F 2) formar una base norte(A 1).

Desde vectores F 1 , F 2 , F 3 , F 4 – linealmente independiente, entonces , y los vectores que complementan la base. a la base – vectores.

Se sabe que la matriz de un operador lineal en base a vectores propios se puede reducir a forma diagonal. Sin embargo, en un conjunto de números reales, un operador lineal puede no tener valores propios y, por lo tanto, no tener vectores propios. sobre la multitud números complejos cualquier operador lineal tiene vectores propios, pero pueden no ser suficientes para una base. Existe otra forma canónica de matriz de operadores lineales, a la que se puede reducir cualquier matriz sobre el conjunto de números complejos.

Teorema 10.1. Cualquier matriz con elementos complejos se puede reducir en el conjunto de números complejos C a la forma normal de Jordan 14.

Demos las definiciones necesarias:

Definición 10.1. Matriz de orden cuadrado norte, cuyos elementos son polinomios de grado arbitrario en la variable λ con coeficientes del conjunto de números complejos C, se llama λ- matriz(o matriz polinomial, o matriz polinomial).

Un ejemplo de matriz polinomial es la matriz característica A – λ mi arbitrario matriz cuadrada A. En la diagonal principal hay polinomios de primer grado, fuera de ella hay polinomios de grado cero o ceros. Denotemos una matriz como A(λ).

Ejemplo 10.1. Sea dada la matriz. A= , entonces A– λ mi = =
= A(λ).

Definición 10.2. Transformaciones elementales Las matrices λ se denominan las siguientes transformaciones:

multiplicación de cualquier fila (columna) de una matriz A(λ) a cualquier número distinto de cero;

además de cualquier i-esa linea ( iésima columna) de la matriz A(λ) cualquier otro j-ésima línea ( jésima columna) multiplicado por un polinomio arbitrario (  ).

Propiedades de la matriz λ

1) Usando estas transformaciones en la matriz A(λ) Se pueden reorganizar dos filas o dos columnas cualesquiera.

2) Usando estas transformaciones en la matriz diagonal A(λ) los elementos diagonales se pueden intercambiar.

Ejemplo 10.2. 1) 

  .

2)


.

Definición 10.3. matrices A(λ) y B(λ) se llaman equivalente, si de A(λ) podemos ir a B(λ) usando Número finito transformaciones elementales.

El objetivo es simplificar la matriz tanto como sea posible. A(λ).

Definición 10.4. Canónico λ- matriz se llama matriz λ y tiene las siguientes propiedades:

matriz A(λ) diagonal;

cada polinomio mi i (), i = 1, 2, …, norte es completamente divisible por mi i –1 ();

coeficiente principal de cada polinomio mi i (), i = 1, 2, …, norte es igual a 1, o este polinomio es igual a cero.

A(λ) =
.

Comentario. Si entre los polinomios mi i() aparecen ceros, ocupan la diagonal principal últimos lugares(según la propiedad 2), si hay polinomios de grado cero, entonces son iguales a 1 y ocupan los primeros lugares en la diagonal principal.

Las matrices cero e identidad son matrices λ canónicas.

Teorema10.2. Cada matriz λ es equivalente a alguna matriz λ canónica (es decir, puede reducirse mediante transformaciones elementales a forma canónica)

Ejemplo 10.3. Reducir matriz A(λ) =
a la forma canónica.

Solución. El curso de las transformaciones es similar a las transformaciones en el método de Gauss, mientras que el elemento superior izquierdo de la matriz, cuando se reduce a su forma canónica, es distinto de cero y tiene el grado más pequeño.

A(λ) =
 (intercambia la primera y segunda columna) 
 (a la segunda columna le sumamos la primera columna multiplicada por ( – 2)) 
 (a la segunda línea le sumamos la primera línea multiplicada por ( – 2)) 
 (intercambia la segunda y tercera columnas) 
 (a la tercera columna le sumamos la segunda columna multiplicada por ( – 2) 3) 
 (a la tercera línea le sumamos la segunda línea multiplicada por ( – 2)) 
.

1. Sea algún polinomio con coeficientes del campo.

Considere una matriz cuadrada de orden ésimo.

. (36)

Es fácil comprobar que el polinomio es un polinomio característico de la matriz:

.

Por otro lado, el menor del elemento en el determinante característico es igual a . Es por eso , .

Por tanto, la matriz tiene un polinomio invariante no unitario único igual a .

Llamaremos a la matriz la matriz que acompaña al polinomio.

Sea una matriz con polinomios invariantes.

Aquí están todos los polinomios. tienen un grado superior a la viñeta, y cada uno de estos polinomios, a partir del segundo, es divisor del anterior. Denotamos las matrices que acompañan a estos polinomios por .

Entonces la matriz cuasi-diagonal de orden ésimo

(38)

tiene como polinomios invariantes los polinomios (37) (ver Teorema 4 en la página 145). Dado que las matrices y tienen los mismos polinomios invariantes, son similares, es decir, siempre existe una matriz no singular tal que

La matriz se denomina primera forma normal natural de una matriz. Esta forma normal se caracteriza por: 1) una apariencia casi diagonal (38), 2) una estructura especial de celdas diagonales (36) y 3) Condición adicional: en una serie de polinomios característicos de celdas diagonales, cada polinomio, a partir del segundo, es divisor del anterior.

2. Denotemos ahora por

(39)

divisores de matrices elementales en un campo numérico. Denotamos las matrices adjuntas correspondientes por

.

Dado que es el único divisor elemental de la matriz, entonces, según el teorema 5, la matriz cuasi-diagonal

(40)

tiene polinomios (39) como divisores elementales.

Matrices y tienen los mismos divisores elementales en el campo. Por lo tanto, estas matrices son similares, es decir, siempre existe una matriz no singular tal que

La matriz se denomina segunda forma normal natural de una matriz. Esta forma normal se caracteriza por: 1) una forma cuasi-diagonal (40), 2) una estructura especial de celdas diagonales (36) y 3) una condición adicional: el polinomio característico de cada celda diagonal es el grado de un polinomio irreducible en el campo.

Comentario. Los divisores de matrices elementales, a diferencia de los polinomios invariantes, están esencialmente relacionados con un campo numérico determinado. Si en lugar del campo numérico original tomamos otro campo numérico (que también contiene los elementos de esta matriz), entonces los divisores elementales pueden cambiar. Junto con los divisores elementales, también cambiará la segunda forma normal natural de la matriz.

Entonces, por ejemplo, nos dan una matriz con elementos reales. El polinomio característico de esta matriz tendrá coeficientes reales. Al mismo tiempo, este polinomio puede tener raíces complejas. Si es un cuerpo de números reales, entonces entre los divisores elementales también puede haber potencias de irreducibles. trinomios cuadrados con coeficientes reales. Si es el cuerpo de números complejos, entonces cada divisor elemental tiene la forma.

3. Supongamos ahora que el campo numérico contiene no solo los elementos de la matriz, sino también todos los números característicos de esta matriz. Entonces los divisores elementales de la matriz tienen la forma

. (41)

Consideremos uno de estos divisores elementales.

y asociarlo con la siguiente matriz de orden:

. (42)

Es fácil comprobar que esta matriz tiene un solo divisor elemental. Llamaremos matriz (42) a la celda de Jordan correspondiente al divisor elemental.

Las celdas de Jordan correspondientes a los divisores elementales (41) se denotan por

Entonces la matriz cuasi-diagonal

tiene como divisores de potencia elementales (41).

La matriz también se puede escribir así:

Dado que las matrices y tienen los mismos divisores elementales, son similares entre sí, es decir, existe una matriz no singular tal que

Una matriz se llama forma normal de Jordan o simplemente forma de matriz de Jordan. La forma de Jordan se caracteriza por una apariencia casi diagonal y una estructura especial (42) de celdas diagonales de décimo orden.

Tenga en cuenta también que si , entonces cada una de las matrices

,

tiene un solo divisor elemental: . Por lo tanto, para una matriz no singular que tiene divisores elementales (41), junto con (III) y (IV), se cumplen las siguientes representaciones:

Enviar su buen trabajo en la base de conocimientos es sencillo. Utilice el siguiente formulario

Los estudiantes, estudiantes de posgrado y jóvenes científicos que utilicen la base de conocimientos en sus estudios y trabajos le estarán muy agradecidos.

Prueba: Porque La reducibilidad de una matriz a forma diagonal es equivalente a la reducibilidad a una forma de Jordan en la que todas las celdas de Jordan son de orden 1. Todos los divisores elementales de la matriz A deben ser polinomios de primer grado. Porque todos los factores invariantes de la matriz A - lE son divisores del polinomio e n (l), entonces esta última condición equivale a que todos los divisores elementales de e n (l) tienen grado 1, que es lo que faltaba demostrar.

1.6 Polinomio mínimo

Considere una matriz cuadrada A de orden norte con elementos del campo PAG. Si

F (l) = segundo 0 l k + segundo 1 l k -1 + ... + segundo k -1 l + segundo k

Un polinomio arbitrario del anillo P[l], entonces la matriz

F(A) = b 0 A k + b 1 A k-1 + … + b k-1 A + b k E

se llamará valor del polinomio F (l) con l = A; Prestemos atención al hecho de que miembro gratuito polinomio F (k) se multiplica por el grado cero de la matriz A, es decir a la matriz identidad E.

Definamos una raíz matricial.

Si un polinomio F (k) se cancela mediante la matriz A, es decir F (A) = 0, entonces la matriz A se llamará raíz de matriz o, cuando esto no cause confusión, simplemente la raíz del polinomio F (l).

La matriz A también es una raíz para polinomios cuyos coeficientes principales son iguales a uno; tome cualquier polinomio distinto de cero que sea cancelado por la matriz A y divida este polinomio por su coeficiente principal.

Definición: El polinomio de menor grado con coeficiente principal 1 que es cancelado por la matriz A se llama polinomio mínimo de la matriz A y se denota m A .

Teorema: Cada matriz A tiene sólo un polinomio mínimo.

Prueba: Supongamos que habría dos polinomios mínimos, por ejemplo metro 1 (tierra metro 2 (k), entonces su diferencia sería un polinomio distinto de cero de menor grado, cuya raíz era nuevamente la matriz A. Dividiendo esta diferencia por su coeficiente principal, obtendríamos un polinomio con un coeficiente principal de 1, la raíz de los cuales sería la matriz A y cuáles tendrían un grado menor que los polinomios mínimos metro 1 (tierra metro 2 (l), lo que contradice la definición de polinomios mínimos.

Teorema: Cualquier polinomio F(l), cuya raíz es la matriz A, es divisible sin resto por el polinomio mínimo metro(k) de esta matriz.

Prueba: Dejar F(k) no divisible por metro(l). Denotemos por q(k) privado, a través de r(k) resto de la división F(l) en metro(l), tendremos

F(l) = metro(l) q(l) + r(l).

Sustituyendo l = A aquí y usando el hecho de que

metro(l) = F(l) = 0,

r(l) = 0.

Pero el grado de resto r(k) menor que la potencia del divisor metro(l). Es por eso r(k) es un polinomio distinto de cero cuya raíz es la matriz A y cuyo grado es menor que el grado del polinomio mínimo metro(l), lo cual es contradictorio. La afirmación ha sido probada.

Se sabe que matrices similares tendrán el mismo polinomio característico. El polinomio mínimo también tiene esta propiedad: matrices similares tienen los mismos polinomios mínimos. Pero la igualdad de polinomios mínimos no es condición suficiente similitud matricial.

Para demostrar el siguiente teorema damos definición matriz asociada.

deja que a yo(1) - complementos algebraicos de la matriz A. Definimos la matriz adjunta a A, en la notación A v , como transpuesta a la matriz sumas algebraicas para A. Así

A v = .

Teorema:Último divisor elemental mi norte(l) matriz característica A -yomi es el polinomio mínimo m A.

Prueba: Escribamos la igualdad.

(-1)norte | A-le | = d norte -1 (l) mi norte (l).

De ello se deduce que d n -1 (l) y e n (l) no serán cero. Sea B(l) la matriz adjunta a la matriz A - lE.

B(l) = (A - lE) (1)

La igualdad es justa

(A - lE) B(l) = | A-le | E. (2)

Por otro lado, porque los elementos de la matriz B(l) son los menores del orden (n - 1) de la matriz A - lE tomados con signos más o menos y solo ellos, y los polinomios d n -1 (l) son los generales máximo divisor todos estos menores, entonces

B(l) = re norte -1 (l) C(l), (3)

y el mas grande común divisor elementos de la matriz C(n) es igual a 1.

Las igualdades (3), (2) y (1) implican la igualdad

(A - lE) d n -1 (l) C(l) = (-1) n d n -1 (l) e n (l) E.

Reducimos esta igualdad por un factor distinto de cero d n -1 (l). Tenga en cuenta que si μ(n) es un polinomio distinto de cero,

D(l) = (dij(l))

¿Matriz l distinta de cero y sea d st (l)? 0, entonces en la matriz c(l) D(l) en el lugar (s, t) habrá un elemento distinto de cero c(l) d st (l). Eso.

(A - lE) C(l) = (-1) norte mi norte (l) E,

e n (l) E = (lE - A) [(-1) n+1 C(l)]. (4)

De esta igualdad se desprende claramente que el resto de la división izquierda de la matriz l de la izquierda por el binomio lE - A es igual a cero. Del lema demostrado en la sección 3, se deduce que este resto es igual a la matriz

mi norte (A) mi = mi norte (A).

De hecho, la matriz e n (n) E se puede escribir como una matriz n-polinomio cuyos coeficientes son matrices escalares, es decir conmutar con la matriz A.

aquellos. el polinomio e n (n) de hecho es cancelado por la matriz A. Esto significa que el polinomio e n (n) es completamente divisible por el polinomio mínimo metro (l) matriz A,

mi (l) = metro (l) q (l). (5)

está claro que el coeficiente principal del polinomio q(-1) n +1 (n) es igual a uno.

Porque metro (A) = 0, luego nuevamente, en vista del mismo lema del párrafo 3, el resto de la división izquierda de la n-matriz metro (l) mi en el binomio lE - A es igual a cero, es decir

metro (l) mi = (lE - A) Q(l). (6)

Las igualdades (5), (4) y (6) se reducen a la igualdad.

(lE - A) [(-1) n+1 C(l)] = (lE - A) .

Ambos lados de esta igualdad se pueden reducir por multiplicador común(lE - A), porque el coeficiente principal E de este matriz l-polinomio es una matriz no singular. Eso.,

C(l) = (-1) n +1 Q(l) q(l).

El máximo común divisor de los elementos de la matriz C(n) es igual a 1. Por lo tanto, el polinomio q(n) debe tener grado cero, y como su coeficiente principal es 1, entonces

Así, en vista de (5),

mi norte (l) = metro (l),

Q.E.D.

Capítulo 2. Resolución de problemas

Ejemplo 1. Reducir la matriz l a forma canónica

Solución: Reduzcamos esta matriz A(n) a forma canónica realizando transformaciones elementales.

1) Suma la segunda línea a la primera, luego multiplica la primera línea por (-l) y (-l 2 -1) y suma con la segunda y tercera líneas, respectivamente. Suma la primera y la segunda columna, multiplicando la primera columna por (-l 2 -l). En la matriz resultante, intercambie la segunda y tercera columnas. Multipliquemos la segunda línea por (-l) y sumémosla a la tercera. Luego, suma la segunda columna multiplicada por (-l 2 -l + 1). Multiplica la segunda y tercera líneas por (-1).

A(l) = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = A(l).

La matriz resultante es canónica, porque tiene forma diagonal y cada polinomio subsiguiente en la diagonal principal se divide por el anterior.

Respuesta:

Ejemplo 2. Demostrar la equivalencia de l-matrices

Solución: Reduzcamos la matriz A(n) a forma canónica.

1) En la matriz A(l), intercambie la primera y tercera columnas:

2) Resta el segundo de la primera línea:

3) Multiplica la primera línea por (l+1) y réstale la tercera:

4) Multiplica la primera columna por () y por () y resta la segunda y tercera columnas, respectivamente:

5) Intercambia la segunda y tercera línea:

6) Multiplica la tercera línea por () y réstale la segunda línea:

7) Multiplica la tercera línea por (-1):

A(l) ~ = B(l).

Respuesta: A(l) ~ B(l).

Tenga en cuenta que la matriz B(n) es canónica.

Ejemplo 3. Pruebalo matriz dada A(l) es unimodular. Reducir a vista diagonal.

El determinante de una matriz unimodular no es igual a cero y no depende de l. ¿Calculemos?R:

Multiplica la primera columna por (- l 2) y lo sumamos con el segundo, obtenemos:

A(l) ~~ ~ ~ ~ ~ ~

Respuesta: la matriz A(n) es unimodular.

Ejemplo 4. Usando factores invariantes, encuentre la matriz de Jordan.

a) matriz A:

b) matriz B:

c) matriz C:

Solución: Para la matriz A compilamos una tabla de divisores elementales. En la primera columna de la tabla escribimos los divisores elementales del último factor invariante: .

Utilizando la tabla de divisores elementales, confeccionamos una matriz de Jordan. Para cada divisor elemental escribimos la celda de Jordan correspondiente: j 1 (1), j 1 (2), j 1 (3), j 1 (4). Al colocar estas celdas en la diagonal principal de la matriz, obtenemos la matriz de Jordan deseada:

Para la matriz B, compilamos una tabla de divisores elementales. En la primera columna de la tabla escribimos el único divisor elemental del último factor invariante, en la segunda columna, el penúltimo factor invariante:

factores invariantes

Para la matriz C compilamos una tabla de divisores elementales. En la primera columna de la tabla escribimos el único divisor elemental del último factor invariante, la segunda columna - del penúltimo factor, en la tercera columna -

Utilizando la tabla de divisores elementales, confeccionamos una matriz de Jordan. Para cada divisor elemental escribimos la celda de Jordan correspondiente j 2 (1), j 1 (1), j 1 (1). Al colocar estas celdas en la diagonal principal de la matriz, obtenemos la matriz de Jordan deseada:

Respuesta:

Ejemplo 5. Reduzca las siguientes matrices a la forma normal de Jordan:

Solución: 1. Para la matriz A, encontramos una matriz de Jordan normal, llevándola a su forma canónica. Compilando una matriz característica.

matriz de forma jordana

2. Reduzcamos la matriz A - lE a su forma canónica.

1) Intercambia la primera y la segunda columna.

2) Multiplica la primera línea por (l - 4) y por (-1) y suma con la segunda y tercera línea, respectivamente

3) Agregue la tercera y segunda columnas.

4) Suma la primera columna a la segunda, multiplicando la primera columna por (l).

5) Multiplica la segunda y tercera filas por (-1), luego intercambia la segunda y tercera columnas y la segunda y tercera filas.

Factores matriciales invariantes

mi 1 (l) = 1, mi 2 (l) = l - 2

mi 3 (l) = = = .

3. Utilizando los factores invariantes obtenidos e 1 (l) y e 2 (l), elaboramos una tabla de divisores elementales, y los divisores elementales iguales a uno no están incluidos en la tabla.

Para cada divisor elemental escribimos la celda de Jordan correspondiente j 1 (2), j 2 (2). Al colocar estas celdas en la diagonal principal de la matriz, obtenemos la matriz de Jordan deseada:

j A = .

Reduzcamos la matriz B a la forma normal de Jordan a través de menores.

1. Componer la matriz de características.

2. Encontremos factores invariantes. Los menores de primer orden tienen el máximo divisor.

Encontremos todos los menores de segundo orden:

El máximo común divisor de estos polinomios.

El menor de tercer orden coincide con el determinante de la matriz.

det (B - lE) = =.

Tomemos el máximo común divisor con el coeficiente principal igual a 1.

Encontremos los factores invariantes:

mi 1 (l) = d 1 (l) =1, mi 2 (l) = =

3. Utilizando los factores invariantes obtenidos e 2 (l) y e 3 (l), elaboramos una tabla de divisores elementales.

4. Para cada divisor elemental anotamos la celda de Jordan correspondiente j 1 (-1), j 2 (-1). Al colocar estas celdas en la diagonal principal de la matriz, obtenemos la matriz de Jordan deseada:

j B = .

Respuesta:

j A =

j B = .

Ejemplo 6. Demuestre que el polinomio característico de la matriz

es nulo y sin efecto para ella.

Solución. Encontrar el determinante polinomio característico matrices a.

Sustituyendo la matriz A en lugar de la variable l, obtenemos

Un = 3 Un 2 - Un 3 = 3= 3= 0,

que es lo que había que mostrar.

Ejemplo 7. Encuentra el polinomio mínimo de una matriz.

Solución. Primera manera. 1. Componer la matriz de características.

2. Reducimos esta matriz l a su forma diagonal normal. Intercambiemos la primera y la tercera línea. Escojamos como elemento protagonista la unidad que está a la izquierda. esquina superior matrices. Usando el elemento principal que hacemos. igual a cero los elementos restantes de la primera fila y la primera columna:

Tomamos el elemento principal (-l) y hacemos que todos los demás elementos de la segunda fila y la segunda columna sean iguales a cero. Luego multiplicamos la segunda y tercera filas por (-1) para que los coeficientes principales de los elementos diagonales sean igual a uno. Obtenemos la vista diagonal normal:

Polinomio matricial mínimo

metro A (l) =e 3 (l) =.

Segunda vía. 1. Elaboramos una matriz de características;

2. encuentra el polinomio característico

A (l) = 3l 2 - l 3.

3. Encuentre los menores de segundo orden de la matriz característica (A - lE). Limitémonos a los menores ubicados en las dos primeras líneas:

M 12 12 = =, M 13 12 = = -l, M 23 12 = = l.

La expresión para el resto de menores coincide con las encontradas. El máximo común divisor de polinomios, (-l), l es igual a l, es decir

4. Según la fórmula

obtenemos:

Para comprobarlo, calculemos.

metro A (A) =A 2 -3A =

Tenga en cuenta que el polinomio mínimo m A (A) es aniquilador, es decir

Respuesta: .

Ejemplo 8. Población del país. Dividamos la población del país en cuatro grupos de edad:

(0,20], (20,40], (40,60], (60,) años. (1)

X(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 4 (t))

El número de personas en estos grupos en el momento t. Nos interesa el tamaño de la población en estos subgrupos (es decir, la estructura de edad de la población del país) en 20, 40, 60,... años (es decir, X(20), X(40), X(60)... ). Esto lo calcularemos a partir de las coordenadas del vector X(0) y de los valores de las tasas de natalidad y mortalidad, que tomaremos lo más cerca posible de la vida.

Creemos una ecuación para el futuro.

En 20 años, casi todas las personas del primer grupo pasarán al segundo. Algunos morirán por enfermedades, accidentes, etc. Supongamos que 0,95 personas del primer grupo pasen al segundo grupo en 20 años. Este es el coeficiente del 1er grupo al 2do:

x 2 (t + 20) = 0,95 x 1 (t). (2)

Además, una pequeña parte de los jóvenes de este grupo tendrán tiempo de casarse y tener hijos antes de los 20 años, lo que da la contribución del 1er grupo al 1er grupo (después de 20 años). Sea esta contribución el 0,01 de la población del 1er grupo. Y el 2º y 3º grupo también contribuirán al 1º grupo (en forma de niños). Sea la contribución del 2º grupo = 0,5 de su número (todos están casados ​​y en cada familia hay un hijo), y la contribución del 3er grupo = 0,02 de su número. Entonces

X 1 (t + 20) = 0,01 x 1 (t) + 0,5 x 2 (t) + 0,02 x 3 (t). (3)

Establezcamos la tasa de supervivencia en el segundo grupo en 0,8, es decir

X 3 (t + 20) = 0,8 x 2 (t). (4)

Y en los grupos 3 y 4, respectivamente, 0,7 y 0,4:

X 4 (t + 20) = 0,7 x 3 (t) + 0,5 x 4 (t). (5)

Reescribimos las relaciones que hemos dado (2, 3, 4, 5) en forma matricial:

X(t + 20) = AX(t). (6)

Donde la matriz A de coeficientes de influencia es:

Está compilado según el principio:

número de entrada = número de columna,

número de salida = número de línea.

Entonces, el coeficiente de influencia del primer grupo sobre el segundo debe escribirse en la primera columna, segunda fila.

Según la fórmula (6), si el operador A actúa sobre la composición de la población X(t) en el momento t, entonces la composición de la población X(t + 20) se obtendrá en 20 años. Por lo tanto, al operador A se le llama operador de turno (en este problema, un turno de 20 años).

De la fórmula (6) se deduce que

X(t + 40) = AX(t + 20) = AAX(t) = A 2 X(t)

X(t + 60) = AX(t + 40) = AA 2 X(t) = A 3 X(t)

X(t + 20n) = A n X(t) (8)

Entonces, queremos calcular la población después de 20, 40, 60,... (suponiendo que ni la tasa de natalidad ni la tasa de mortalidad cambian), es decir, calcular AX(0), A 2 X(0), A 3 X(0),… Producto

A n X(0) = AAAA…AX(0)

Se puede calcular en diferentes secuencias. Puedes hacerlo:

A(A…(AX(0))). (9)

O puedes hacer esto: primero A n luego

En este problema, si necesita calcular la población futura solo para unos momentos en el tiempo (por ejemplo, con 200 años de anticipación), para reducir el número de operaciones usaremos la fórmula (9). Pero si queremos elegir elementos numéricos matriz A (por ejemplo, encuentre la tasa de natalidad en la que la población del país se estabiliza en el mismo nivel), entonces el método (10) es más conveniente. Entonces, sea la población actual:

X 1 (0) = 30, x 2 (0) = 40, x 3 (0) = 30, x 4 (0) = 25 (millones de personas).

Ahora hagamos cálculos para norte= 2, 3…10 según (9) en cualquiera de los programas informáticos matemáticos (por ejemplo, Mathematics, MathCAD, Maple V). yo uso algunos programa de computadora, obtenemos los resultados, que ingresamos en la tabla.

Vemos que dentro de 200 años un país con una población similar a Rusia moderna, reducido a la población Región de Leningrado. Prestemos atención a cómo envejece la población (la proporción de personas mayores es cada vez mayor). Este es un concomitante obligatorio de la disminución de la población. En realidad, todo es mucho peor: una disminución de la población dentro de un mismo territorio dificulta que los jóvenes se conozcan y se casen, reduce la riqueza del país y, como resultado, se deteriora. servicio médico etc. etcétera. etc. En otras palabras, una disminución de la población también conduciría a una disminución de las cifras del cuadro A.

A modo de comparación, fijemos la tasa de natalidad en el grupo 2 de forma diferente, en el nivel de 4 hijos por familia.

Entonces los mismos cálculos nos dan:

En 140 años, la Rusia actual habría alcanzado a los mil millones de habitantes de China y la mitad estaría formada por jóvenes.

Naturalmente, si sólo estuviéramos interesados ​​en un pronóstico tan simple, podríamos limitarnos a cálculo sencillo por (9) y la teoría de la forma de Jordan no sería necesaria. Pero nos interesa la capacidad de gestionar el proceso sin permitir la muerte del país o un aumento catastrófico de la población. Por tanto, nos interesan tres preguntas:

· ¿Es posible estabilizar la población eligiendo la tasa de natalidad (es más fácil aumentarla que reducir la mortalidad);

· cuál debería ser la tasa de natalidad para que la población del país se estabilice;

· cómo se establecerá la estructura de la población (la relación entre jóvenes y ancianos) con un tamaño de población estable (esta relación determina a cuántos pensionistas debe alimentar cada trabajador y, por tanto, junto con la productividad laboral, determina el nivel de vida ).

Experimento numérico, es decir, el cálculo de dichas tablas en varios tamaños La tasa de natalidad según (9), tal vez, le permitirá seleccionar el valor de la tasa de natalidad. Pero obtendremos el resultado con un error que desconocemos debido a la imposibilidad de realizar cálculos de forma indefinida y a las dificultades para comprender el comportamiento de los números. grupos separados. De hecho: valores x 3 (t) y x 4 (t) en última mesa dudar. Si cambia un poco el parámetro de fertilidad, las fluctuaciones cambiarán un poco.

Según (8), la población de nuestro país en 20n años es igual a

X(20n)=A n X(0), (12)

Donde la matriz A está dada en (7). Lo sabemos

Un norte = S J norte S -1 (13)

Donde S es la matriz de transición a una nueva base, que consta de números constantes y J es la forma normal de Jordan de la matriz A.

Para calcular J, necesitamos los valores propios de la matriz A. Usamos una computadora para los cálculos. Maple V para nuestra matriz A da cuatro valores propios:

l 1 = 0,7095891332

l 2 = - 0,667497875

l 4 = - 0,0320912582

Dado que el número de valores propios distintos = 4, esto significa que todas las celdas de Jordan en la matriz J tienen orden 1, es decir la matriz J es puramente diagonal y su enésima potencia tiene la forma:

Así, obtenemos para (12):

X(20n) = l 1 n V + l 2 n V + l 3 n V + l 4 n V, (14)

donde las letras V denotan algunos vectores de columna numéricos (constantes).

La estructura de la fórmula (14) muestra el comportamiento de X al aumentar norte. Todos los términos disminuyen debido al hecho de que los valores propios son menores que 1 en valor absoluto, es decir X tiende al vector 0. Los últimos tres términos están disminuyendo. más rápido que el primero. Para suficientemente grande norte el primer término será el término principal de esta suma. El segundo término disminuye más rápido que el primero, pero debido a la negatividad del segundo valor propio, se suma al primero (para incluso norte), o se resta de él (para impares norte), es decir, crea oscilaciones amortiguadas en el comportamiento de X. Estas fluctuaciones corresponden a la realidad, porque el ciclo de estas fluctuaciones está determinado por un intervalo elegido arbitrariamente (20 años). Al dividir la población en numero mayor grupos de edad valores propios negativos producirían oscilaciones con un período más corto.

Si hay una tasa de natalidad alta, entonces la fórmula para X(20n) todavía tiene la forma (14), pero contendrá otros valores propios más grandes. Con una tasa de natalidad alta, el primer valor propio resulta ser mayor que uno y, por lo tanto, observamos crecimiento exponencial población.

De lo escrito anteriormente, podemos concluir: si queremos estabilizar la población del país, debemos seleccionar la tasa de natalidad de modo que el primer valor propio sea igual a 1, y todos los demás valores propios sean menores que 1 en absoluto. valor Esto asegurará que los últimos tres términos de la ecuación tiendan a 0 fórmula (14), y luego V 1 será el estado estable deseado de la población.

A continuación seleccionaremos la tasa de natalidad. Volvamos a la matriz A dada en (7). La tasa de natalidad de los niños del grupo 2 (primera fila, segunda columna) se sustituirá por la letra g. Como se sabe, el valor propio de la matriz A debe ser la raíz de su ecuación característica. Como necesitamos l = 1, calculamos el determinante det(A - E).

Obtenemos

det = 0,584880 - 0,57006 g

y de la igualdad det = 0 encontramos g = 1,026. Sustituimos este valor de la tasa de natalidad en la matriz A (1.ª fila, 2.ª columna) y calculamos nuevamente la población del país en un intervalo de 200 años utilizando (9).

Ajustaron la tasa de natalidad durante 200 años de tal manera que aseguraron la estabilidad de la población del país. Ronda los 130 millones. Las fluctuaciones en el número de grupos individuales son bastante significativas. La razón de estas fluctuaciones es que la matriz A ahora tiene dos valores propios, módulo cercano a uno, y uno de ellos es negativo. Es decir, tenemos un resultado similar a este.

X(20n) = V 1 + (-1) n V 2 + l 3 n V 3 + l 4 n V 4 , (15)

Los dos últimos términos decaen al aumentar n debido al hecho de que los valores absolutos del tercer y cuarto valor propio son menores que 1. Y el segundo término asegura que X oscile del valor V 1 - V 2 al valor V 1 + V 2 y viceversa.

Dado el valor aproximado de g, la matriz A no tiene un valor propio exactamente igual a 1. Por lo tanto, el tamaño de los grupos cambia lentamente en el contexto de estas grandes fluctuaciones. Por supuesto, puede intentar ajustar la fertilidad para lograr un valor propio que sea incluso más precisamente igual a 1, y luego descubrir qué tan cerca está el segundo valor propio de (-1). Pero, por supuesto, aclarar los valores propios en este problema no tiene sentido, ya que valores iniciales y la propia matriz A se da con un gran error (y la medición exacta de la fertilidad y la mortalidad, en principio, no nos da la base para cálculos precisos, ya que es imposible fijarlos). El perfeccionamiento de este modelo debería seguir el camino de tener en cuenta otras dependencias de la sociedad. Pero desde un punto de vista puramente teórico, hemos resuelto la cuestión de la existencia del límite (14): si uno de los valores propios es igual a 1 y el resto son menores en valor absoluto, entonces el límite existe.

Conclusión

Las matrices fueron mencionadas por primera vez en China antigua, entonces llamado el “cuadrado mágico”. La principal aplicación de las matrices fue la resolución de ecuaciones lineales. Además, los cuadrados mágicos fueron conocidos un poco más tarde por los matemáticos árabes, por entonces apareció el principio de la suma de matrices. Después de desarrollar la teoría determinante a finales del siglo XVII, Gabriel Cramer (1704 - 1752) comenzó a desarrollar su teoría en el siglo XVIII y publicó la regla de Cramer en 1751. Por la misma época apareció el “método Gauss”. La teoría de las matrices comenzó a mediados del siglo XIX con el trabajo de William Hamilton y Arthur Cayley. Los resultados fundamentales de la teoría de matrices pertenecen a Karl Weierstrass (1815 - 1897), Jordan, Frobenius (1849 - 1917). El término matriz fue acuñado por James Sylvester en 1850.

Las matrices se encuentran en todas partes. Por ejemplo, una tabla de multiplicar es un producto de matrices. En física u otros Ciencias Aplicadas Las matrices son un medio para registrar datos y transformarlos. En programación, en escritura de programas. También se les llama matrices. Ampliamente utilizado en tecnología. Por ejemplo, cualquier imagen en la pantalla es una matriz bidimensional, cuyos elementos son los colores de los puntos. En psicología, la comprensión del término es similar a este término en matemáticas, pero en cambio objetos matemáticos cierto " objetos psicológicos" - por ejemplo, pruebas. Además, las matrices se utilizan mucho en economía, biología, química e incluso marketing. También existe un modelo abstracto: la teoría del matrimonio en sociedad primitiva, donde con la ayuda de matrices se mostraron las opciones de matrimonio permitidas para los representantes e incluso los descendientes de una tribu en particular.

En matemáticas, las matrices se utilizan ampliamente para escribir SLAE o sistemas de forma compacta. ecuaciones diferenciales. El aparato matricial permite reducir la solución de SLAE a operaciones sobre matrices.

La forma normal de Jordania de la matriz se utiliza al calcular la población que habrá en un país, región o mundo después de un cierto período de tiempo. Tal matriz da una idea de los cambios en la población, dependiendo de condiciones específicas: tasa de natalidad y mortalidad, sin permitir ni la muerte del país ni un aumento catastrófico de la población.

La teoría de matrices no es necesaria currículum escolar estudiando matemáticas. En las escuelas que tienen clases de matemáticas avanzadas, los conceptos básicos de la teoría de matrices se enseñan de manera superficial. Las matrices se analizan con más detalle cuando se estudian matemáticas superiores.

El trabajo se puede recomendar a los estudiantes para ampliar sus conocimientos en el campo de la teoría de matrices, a los estudiantes de secundaria y profesores de matemáticas para que se familiaricen con conceptos generales teoría de matrices como parte de la ampliación de sus horizontes matemáticos.

Se han resuelto las tareas planteadas en el trabajo, se ha conseguido el objetivo.

Lista de literatura usada

1. Kvashko, L. P. Fundamentos de álgebra lineal: libro de texto. subsidio / L. P. Kvashko. - Jabárovsk: Editorial DVGUPS, 2012. - 78 p. : enfermo.

2. Escrito, D. T. Notas de conferencias sobre Matemáticas avanzadas: [a las 2 en punto]. Parte 1 / D. T. Escrito. - 6ª ed. - M.: Iris-press, 2006. - 288 p.: enfermo.

3. Mishina, A. P. Álgebra superior. / I. V. Proskuryakov. - M., Fizmatlit, 1962. - 300 p.

4. Romannikov, A.N. Álgebra lineal: libro de texto. manual // Moscú Universidad Estatal economía, estadística e informática. - M., 2003. - 124 p.

5. Okunev, L. Ya. Álgebra superior. / L. Ya. - M.: Educación, 1966. - 335 p.

6. Faddeev, D.K. Conferencias sobre álgebra: Proc. subsidio./ D.K. Faddeev.-4ª ed., borrada..- San Petersburgo: Lan, 2005.- 416 p. - (Libros de texto para universidades. Literatura especial. Los mejores libros de texto clásicos. Matemáticas).

7. Butuzov, V.F. Álgebra lineal en preguntas y problemas: libro de texto. ayuda para estudiantes universidades/ V.F. Butuzov - 3ª ed., revisada - San Petersburgo: Lan, 2008. - 256 p. - (Libros de texto para universidades. Literatura especial).

8. Voevodin, V.V. Álgebra lineal: libro de texto. subsidio/ V.V. Voevodin.-4ª ed., borrada..- San Petersburgo: Lan, 2008.- 416 p. -(Libros de texto para universidades. Literatura especial)

9. Kurosh, A. G. Curso de álgebra superior: libro de texto. subsidio./ A.G. Kurosh. 17ª ed., - San Petersburgo: Editorial Lan, 2008. - 432 págs.: ill. - (Libros de texto para universidades. Literatura especial).

10. Gelfand, I.M. Conferencias sobre álgebra lineal./ A ELLOS. Gelfand. - 5ª ed., rev. - M.: Dobrosvet, Centro de Moscú para la Continuación educación matemática, 1998. - 320 p.

11. Maltsev, A.I. Fundamentos de álgebra lineal: libro de texto. subsidio./A.I. Maltsev. 5ª ed., borrada. - San Petersburgo: Editorial Lan, 2009. - 480 págs.: ill. - (Libros de texto para universidades. Literatura especial).

12. Gantmakher, F. R. Teoría de matrices. Libro de texto manual para universidades./ F.R. Gantmakher, - M. Ciencia. 1967. - 576 p.

13. Conferencias de álgebra. Semestre 2. Número II. Forma normal de Jordan de la matriz: Manual educativo y metodológico./ S.N. Tronin. -- Kazán: Kazánsky (Privolzhsky) universidad federal, 2012. - 78 p.

14. Van der Waerden B.L. Álgebra / B.L. van der Waerden; Por. con él. AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO. Belsky.-3ª ed., ster.- San Petersburgo: Lan, 2004.- 624 p.

15. Alferova, Z.V. Álgebra y teoría de números. Complejo de formación y metodología./ Z.V. Alferova, E.L. Balyukevich, A.N. Románnikov. - M.: Instituto Abierto Euroasiático, 2011. - 279 p.

16. Lancaster, P., Teoría de matrices / P. Lancaster - M.: “Ciencia” 1973, 280 p.

17. Schreyer O. Teoría de matrices / E. Sperner. - L.: ONTI, 1936. - 156 p.

18. Shneperman, L.B. Colección de problemas de álgebra y teoría de números: libro de texto. subsidio./ L.B. Shneperman.-3ª ed., borrada..- San Petersburgo: Lan, 2008.- 224 p. -(Libros de texto para universidades. Literatura especial).

19. Proskuryakov, I. V. Colección de problemas de álgebra lineal. Libro de texto subsidio / I.V. Proskuryakov. - 13ª ed., borrada. - San Petersburgo: Editorial "Lan", 2010. - 480 p. -- (Libros de texto para universidades. Literatura especial).

20. Colección de problemas de álgebra: libro de problemas / ed. AI. Kostrikina. - M.: MTsNMO, 2009. - 404 p.

21. Sushkova M. V. Matemáticas en la Universidad / Revista de Internet de la Universidad Politécnica Estatal de San Petersburgo. - 2002. - No. 2. - URL: https://www.spbstu.ru/publications/m_v/N_002/Sushkova/par_02.html.

Publicado en Allbest.ru

Documentos similares

Operaciones básicas sobre matrices y sus propiedades. Producto de matrices o multiplicación de matrices. matrices de bloques. El concepto de determinante. Barra de herramientas de matriz. Transposición. Multiplicación. Determinante de una matriz cuadrada. Módulo vectorial.

resumen, añadido el 06/04/2003


Aplicación de matrices y sus tipos (igual, cuadrada, diagonal, unitaria, cero, vector fila, vector columna). Ejemplos de operaciones sobre matrices (multiplicación por números, suma, resta, multiplicación y transposición de matrices) y propiedades de las matrices resultantes.

presentación, añadido el 21/09/2013


Forma de registro y métodos para resolver el sistema. ecuaciones algebraicas con n incógnitas. Multiplicación y normas de vectores y matrices. Propiedades de los determinantes matriciales. Valores propios y vectores propios. Ejemplos de uso características numéricas matrices

resumen, añadido el 12/08/2009


Concepto, tipos y álgebra de matrices. Determinantes de una matriz cuadrada y sus propiedades, teorema de Laplace y cancelación. Concepto matriz inversa y su unicidad, algoritmo de construcción y propiedades. Definición de la matriz identidad sólo para matrices cuadradas.

resumen, añadido el 12/06/2010


Interpretación de ortogonal y matriz unitaria. Principales determinantes de las matrices. Definición de cuadrado complejo no degenerado y matrices singulares. Métodos para encontrar el determinante. Método de condensación de Dodgson. Función de fila polilineal sesgada y simétrica.

trabajo del curso, añadido el 04/06/2015


Cálculo de los costos en efectivo de una empresa para la producción de productos, al expresar su valor mediante matrices. Comprobar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones y resolverlas mediante las fórmulas de Cramer y utilizando la matriz inversa. Resolver ecuaciones algebraicas mediante el método de Gauss.

prueba, añadido el 28/09/2014


Ejemplos de grupos de matrices algebraicas, grupos de matrices clásicas: generales, especiales, simplécticas y ortogonales. Componentes de un grupo algebraico. Rango matricial, retorno a ecuaciones, compatibilidad. Mapeos lineales, operaciones con matrices.

trabajo del curso, añadido el 22/09/2009


Matrices reversibles sobre el campo Zp. Fórmula para contar matrices invertibles de orden 2. Fórmula para contar matrices invertibles de orden 3. Formula general contando matrices invertibles sobre el campo Zp. Matrices reversibles sobre Zn.

tesis, agregada el 08/08/2007


Método de cálculo producto escalar dados vectores. Cálculo de determinantes y rangos de matrices, búsqueda de matrices inversas. Resolución de ecuaciones mediante el método de Cramer, matriz inversa y la función lsolve incorporada. Análisis de los resultados obtenidos.

trabajo de laboratorio, agregado 13/10/2014


Acciones básicas sobre matrices. Solución ecuaciones matriciales usando la matriz inversa y usando transformaciones elementales. Conceptos de matrices inversas y transpuestas. Resolver ecuaciones matriciales varios tipos: AX=B, HA=B, AXB=C, AX+XB=C, AX=HA.