Los valores más grandes y más pequeños sin derivada. ¿En qué punto la derivada es mayor? Estudiar una función de convexidad y punto de inflexión.

Deja que la función y =F(X) es continua en el intervalo [ a, b]. Como se sabe, dicha función alcanza sus valores máximo y mínimo en este segmento. La función puede tomar estos valores ya sea punto interno segmento [ a, b], o en el límite del segmento.

Para encontrar los valores mayor y menor de una función en el segmento [ a, b] necesario:

1) encontrar puntos críticos funciones en el intervalo ( a, b);

2) calcular los valores de la función en los puntos críticos encontrados;

3) calcular los valores de la función en los extremos del segmento, es decir, cuando X=A y x = b;

4) de todos los valores calculados de la función, seleccione el mayor y el menor.

Ejemplo. Encuentra los valores mayor y menor de una función.

en el segmento.

Encontrar puntos críticos:

Estos puntos se encuentran dentro del segmento; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

en el punto X= 3 y en el punto X= 0.

Estudio de una función de convexidad y punto de inflexión.

Función y = F (X) llamado convexo entre (a, b) , si su gráfica se encuentra debajo de la tangente trazada en cualquier punto de este intervalo, y se llama convexo hacia abajo (cóncavo), si su gráfica está por encima de la tangente.

El punto a través del cual la convexidad se reemplaza por la concavidad o viceversa se llama punto de inflexión.

Algoritmo para examinar la convexidad y el punto de inflexión:

1. Encuentre puntos críticos del segundo tipo, es decir, puntos en los que la segunda derivada es igual a cero o no existe.

2. Traza puntos críticos en la recta numérica, dividiéndola en intervalos. Encuentre el signo de la segunda derivada en cada intervalo; si , entonces la función es convexa hacia arriba, si, entonces la función es convexa hacia abajo.

3. Si al pasar por un punto crítico de segundo tipo el signo cambia y en este punto la segunda derivada es igual a cero, entonces este punto es la abscisa del punto de inflexión. Encuentra su ordenada.

Asíntotas de la gráfica de una función. Estudio de una función para asíntotas.

Definición. La asíntota de la gráfica de una función se llama derecho, que tiene la propiedad de que la distancia desde cualquier punto de la gráfica hasta esta recta tiende a cero cuando el punto de la gráfica se mueve indefinidamente desde el origen.

Hay tres tipos de asíntotas: vertical, horizontal e inclinada.

Definición. La recta se llama asíntota vertical gráficos de funciones y = f(x), si al menos uno de los límites unilaterales de la función en este punto es igual al infinito, es decir

donde está el punto de discontinuidad de la función, es decir, no pertenece al dominio de definición.

Ejemplo.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – punto de quiebre.

Definición. Derecho y =A llamado asíntota horizontal gráficos de funciones y = f(x) en , si

Ejemplo.

Definición. Derecho y =kx +b (k≠ 0) se llama asíntota oblicua gráficos de funciones y = f(x) en donde

Esquema general para estudiar funciones y construir gráficas.

Algoritmo de investigación de funcionesy = f(x) :

1. Encuentra el dominio de la función. D (y).

2. Encuentre (si es posible) los puntos de intersección de la gráfica con los ejes de coordenadas (si X= 0 y en y = 0).

3. Examine la uniformidad y la imparidad de la función ( y (‒ X) = y (X) ‒ paridad; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ extraño).

4. Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función.

5. Encuentra los intervalos de monotonicidad de la función.

6. Encuentra los extremos de la función.

7. Encuentre los intervalos de convexidad (concavidad) y los puntos de inflexión de la gráfica de funciones.

8. Con base en la investigación realizada, construye una gráfica de la función.

Ejemplo. Explora la función y construye su gráfica.

1) D (y) =

X= 4 – punto de quiebre.

2) cuando X = 0,

(0; - 5) – punto de intersección con Vaya.

En y = 0,

3) y(‒ X)= función vista general(ni par ni impar).

4) Examinamos las asíntotas.

a) verticales

segundo) horizontal

c) encontrar las asíntotas oblicuas donde

‒ecuación asíntota oblicua

5) En esta ecuación no es necesario encontrar intervalos de monotonicidad de la función.

6)

Estos puntos críticos dividen todo el dominio de definición de la función en el intervalo (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) y (10; +∞). Es conveniente presentar los resultados obtenidos en la forma de la siguiente tabla.

En la práctica, es bastante común utilizar la derivada para calcular el valor mayor y menor de una función. Realizamos esta acción cuando descubrimos cómo minimizar costos, aumentar las ganancias, calcular la carga óptima de producción, etc., es decir, en los casos en que necesitamos determinar valor optimo cualquier parámetro. Para resolver estos problemas correctamente, es necesario comprender bien cuáles son los mayores y valor más pequeño funciones.

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Normalmente definimos estos valores dentro de un determinado intervalo x, que a su vez puede corresponder a todo el dominio de la función o parte de él. Puede ser como un segmento [a; b ] , e intervalo abierto (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), intervalo infinito (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) o intervalo infinito - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

En este artículo te diremos cómo calcular el valor más grande y más pequeño de forma explícita. función dada con una variable y=f(x) y = f (x) .

Definiciones basicas

Empecemos, como siempre, por la formulación de definiciones básicas.

Definición 1

El valor más grande de la función y = f (x) en un cierto intervalo x es el valor m a x y = f (x 0) x ∈ X, que para cualquier valor x x ∈ X, x ≠ x 0 hace que la desigualdad f (x) ≤ f (x) válido 0).

Definición 2

El valor más pequeño de la función y = f (x) en un cierto intervalo x es el valor m i n x ∈ X y = f (x 0), que para cualquier valor x ∈ X, x ≠ x 0 hace que la desigualdad f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Estas definiciones son bastante obvias. Aún más simple, podemos decir esto: el mayor valor de una función es su valor más gran importancia en un intervalo conocido en la abscisa x 0, y el más pequeño es el valor más pequeño aceptado en el mismo intervalo en x 0.

Definición 3

Los puntos estacionarios son aquellos valores del argumento de una función en los que su derivada se vuelve 0.

¿Por qué necesitamos saber qué son los puntos estacionarios? Para responder a esta pregunta debemos recordar el teorema de Fermat. De ello se deduce que un punto estacionario es un punto en el que se ubica el extremo de la función diferenciable (es decir, su mínimo local o máximo). En consecuencia, la función tomará el valor más pequeño o más grande en un intervalo determinado precisamente en uno de los puntos estacionarios.

Una función también puede tomar el valor mayor o menor en aquellos puntos en los que la función misma está definida y su primera derivada no existe.

La primera pregunta que surge al estudiar este tema es: en todos los casos, ¿podemos determinar el valor mayor o menor de una función para este segmento? No, no podemos hacer esto cuando los límites de un intervalo dado coinciden con los límites del área de definición, o si estamos tratando con un intervalo infinito. También sucede que una función en un segmento dado o en el infinito tomará valores infinitamente pequeños o infinitamente grandes. En estos casos no es posible determinar el valor mayor y/o menor.

Estos puntos quedarán más claros después de ser representados en los gráficos:

La primera figura nos muestra una función que toma los valores mayor y menor (m a x y y m i n y) en puntos estacionarios ubicados en el segmento [- 6 ; 6].

Examinemos en detalle el caso indicado en el segundo gráfico. Cambiemos el valor del segmento a [ 1 ; 6 ] y encontramos que el valor más grande de la función se alcanzará en el punto con la abscisa en el límite derecho del intervalo, y el más pequeño en punto estacionario.

En la tercera figura, las abscisas de los puntos representan los puntos límite del segmento [- 3 ; 2]. Corresponden al valor mayor y menor de una función determinada.

Ahora veamos la cuarta imagen. En él, la función toma m a x y (el valor más grande) y m i n y (el valor más pequeño) en puntos estacionarios en el intervalo abierto (- 6; 6).

Si tomamos el intervalo [ 1 ; 6), entonces podemos decir que el valor más pequeño de la función se alcanzará en un punto estacionario. El mayor valor nos será desconocido. La función podría tomar su valor máximo en x igual a 6 si x = 6 perteneciera al intervalo. Este es exactamente el caso que se muestra en el gráfico 5.

En el gráfico 6 el valor más bajo esta función adquiere en el límite derecho del intervalo (- 3; 2 ], y no podemos sacar conclusiones definitivas sobre el valor más grande.

En la Figura 7 vemos que la función tendrá m a x y en un punto estacionario que tiene una abscisa igual a 1. La función alcanzará su valor mínimo en el límite del intervalo c lado derecho. En menos infinito, los valores de la función se aproximarán asintóticamente a y = 3.

Si tomamos el intervalo x ∈ 2 ; + ∞ , entonces veremos que la función dada no tomará ni el valor más pequeño ni el más grande. Si x tiende a 2, entonces los valores de la función tenderán a menos infinito, ya que la recta x = 2 es asíntota vertical. Si la abscisa tiende a más infinito, entonces los valores de la función se acercarán asintóticamente a y = 3. Este es exactamente el caso que se muestra en la Figura 8.

En este párrafo presentaremos la secuencia de acciones que se deben realizar para encontrar el valor más grande o más pequeño de una función en un segmento determinado.

1. Primero, encontremos el dominio de definición de la función. Comprobemos si el segmento especificado en la condición está incluido en ella.
2. Ahora calculemos los puntos contenidos en este segmento en los que no existe la primera derivada. La mayoría de las veces se pueden encontrar en funciones cuyo argumento está escrito bajo el signo del módulo, o en funciones de potencia, cuyo exponente es un número fraccionariamente racional.
3. A continuación, descubriremos qué puntos estacionarios caerán en el segmento dado. Para hacer esto, necesitas calcular la derivada de la función, luego igualarla a 0 y resolver la ecuación resultante, y luego seleccionar las raíces apropiadas. Si no obtenemos un solo punto estacionario o no caen en el segmento dado, pasamos al siguiente paso.
4. Determinamos qué valores tomará la función en puntos estacionarios dados (si los hay), o en aquellos puntos en los que la primera derivada no existe (si los hay), o calculamos los valores para x = a y x = segundo.
5. 5. Tenemos varios valores de función, de los cuales ahora debemos seleccionar el mayor y el menor. Estos serán los valores mayor y menor de la función que necesitamos encontrar.

Veamos cómo aplicar correctamente este algoritmo a la hora de resolver problemas.

Ejemplo 1

Condición: se da la función y = x 3 + 4 x 2. Determine sus valores mayor y menor en los segmentos [ 1 ; 4 ] y [ - 4 ; - 1 ] .

Solución:

Comencemos por encontrar el dominio de definición de una función dada. En este caso, ella tendrá mucho de todos. numeros reales, excepto 0 . En otras palabras, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Ambos segmentos especificados en la condición estarán dentro del área de definición.

Ahora calculamos la derivada de la función según la regla de diferenciación de fracciones:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x3

Aprendimos que la derivada de una función existirá en todos los puntos de los segmentos [ 1 ; 4 ] y [ - 4 ; - 1 ] .

Ahora necesitamos determinar los puntos estacionarios de la función. Hagamos esto usando la ecuación x 3 - 8 x 3 = 0. Tiene una sola raíz real, que es 2. Será un punto estacionario de la función y caerá en el primer segmento [1; 4 ] .

Calculemos los valores de la función en los extremos del primer segmento y en este punto, es decir para x = 1, x = 2 y x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Encontramos que el valor más grande de la función m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 se logrará en x = 1, y el más pequeño m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – en x = 2.

El segundo segmento no incluye un solo punto estacionario, por lo que necesitamos calcular los valores de la función solo en los extremos del segmento dado:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Esto significa m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m yo norte y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Respuesta: Para el segmento [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , metro yo norte y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , para el segmento [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m yo norte y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Ver imagen:

antes de estudiar este método, te aconsejamos repasar cómo calcular correctamente el límite unilateral y el límite en el infinito, así como aprender los métodos básicos para encontrarlos. Para encontrar el valor más grande y/o más pequeño de una función en un intervalo abierto o infinito, realice los siguientes pasos secuencialmente.

1. Primero debes verificar si el intervalo dado es un subconjunto del dominio de definición de esta función.
2. Determinemos todos los puntos que están contenidos en el intervalo requerido y en los que no existe la primera derivada. Generalmente ocurren en funciones donde el argumento está encerrado en el signo del módulo y en funciones de potencia con fracciones. indicador racional. Si faltan estos puntos, puede continuar con el siguiente paso.
3. Ahora determinemos qué puntos estacionarios estarán dentro del intervalo dado. Primero, igualamos la derivada a 0, resolvemos la ecuación y seleccionamos las raíces adecuadas. Si no tenemos un solo punto estacionario o no caen dentro del intervalo dado, inmediatamente pasamos a otras acciones. Están determinados por el tipo de intervalo.

• Si el intervalo es de la forma [a; b) , entonces necesitamos calcular el valor de la función en el punto x = a y unilateral limite limite x → segundo - 0 f (x) .
• Si el intervalo tiene la forma (a; b ], entonces necesitamos calcular el valor de la función en el punto x = b y el límite unilateral lim x → a + 0 f (x).
• Si el intervalo tiene la forma (a; b), entonces necesitamos calcular los límites unilaterales lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Si el intervalo es de la forma [a; + ∞), entonces necesitamos calcular el valor en el punto x = a y el límite en más infinito lim x → + ∞ f (x) .
• Si el intervalo se ve como (- ∞ ; b ] , calculamos el valor en el punto x = b y el límite en menos infinito lim x → - ∞ f (x) .
• Si - ∞ ; b , entonces consideramos el límite unilateral lim x → b - 0 f (x) y el límite en menos infinito lim x → - ∞ f (x)
• Si - ∞; + ∞ , entonces consideramos los límites en menos y más infinito lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Al final, debe sacar una conclusión basada en los valores y límites de la función obtenidos. Hay muchas opciones disponibles aquí. Entonces, si el límite unilateral es igual a menos infinito o más infinito, inmediatamente queda claro que no se puede decir nada sobre los valores más pequeño y más grande de la función. A continuación veremos uno ejemplo típico. Descripciones detalladas te ayudará a entender qué es qué. Si es necesario, puede volver a las Figuras 4 a 8 en la primera parte del material.

Condición: función dada y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calcula su valor mayor y menor en los intervalos -∞; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Solución

En primer lugar, encontramos el dominio de definición de la función. El denominador de la fracción contiene trinomio cuadrático, que no debería llegar a 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Hemos obtenido el dominio de definición de la función al que pertenecen todos los intervalos especificados en la condición.

Ahora diferenciamos la función y obtenemos:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

En consecuencia, las derivadas de una función existen en todo su dominio de definición.

Pasemos a encontrar puntos estacionarios. La derivada de la función se vuelve 0 en x = - 1 2 . Este es un punto estacionario que se encuentra en los intervalos (- 3 ; 1 ] y (- 3 ; 2).

Calculemos el valor de la función en x = - 4 para el intervalo (- ∞ ; - 4 ], así como el límite en menos infinito:

y (- 4) = 3 mi 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 mi 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 = 3 mi 0 - 4 = - 1

Dado que 3 e 1 6 - 4 > - 1, significa que m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Esto no nos permite determinar de forma única el valor más pequeño de función Sólo podemos concluir que hay una restricción por debajo de - 1, ya que es a este valor al que la función se acerca asintóticamente en menos infinito.

La peculiaridad del segundo intervalo es que no hay un solo punto estacionario ni un solo límite estricto en él. En consecuencia, no podremos calcular ni el valor mayor ni el menor de la función. Habiendo definido el límite en menos infinito y con el argumento tendiendo a -3 en el lado izquierdo, obtenemos sólo un intervalo de valores:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 y 0 - 4 = - 1

Esto significa que los valores de la función estarán ubicados en el intervalo - 1; +∞

Para encontrar el mayor valor de la función en el tercer intervalo, determinamos su valor en el punto estacionario x = - 1 2 si x = 1. También necesitaremos conocer el límite unilateral para el caso en el que el argumento tiende a -3 en el lado derecho:

y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 mi 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (- 0) - 4 = 3 mi - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Resultó que la función tomará el valor más grande en un punto estacionario m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. En cuanto al valor más pequeño, no podemos determinarlo. Todo lo que sabemos , es la presencia de un límite inferior a -4.

Para el intervalo (- 3 ; 2), tome los resultados del cálculo anterior y una vez más calcule a qué es igual el límite unilateral cuando tiende a 2 en el lado izquierdo:

y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lím x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lím x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lím x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Esto significa que m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, y no se puede determinar el valor más pequeño, y los valores de la función están limitados desde abajo por el número - 4 .

Con base en lo que obtuvimos en los dos cálculos anteriores, podemos decir que en el intervalo [ 1 ; 2) la función tomará el valor más grande en x = 1, pero es imposible encontrar el más pequeño.

En el intervalo (2 ; + ∞) la función no alcanzará ni el valor más grande ni el más pequeño, es decir tomará valores del intervalo -1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (+ 0) - 4 = 3 mi + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 mi 0 - 4 = - 1

Habiendo calculado a qué será igual el valor de la función en x = 4, descubrimos que m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , y la función dada en más infinito se aproximará asintóticamente a la línea recta y = - 1 .

Comparemos lo que obtuvimos en cada cálculo con la gráfica de la función dada. En la figura, las asíntotas se muestran mediante líneas de puntos.

Eso es todo lo que queríamos contarte sobre cómo encontrar los valores mayor y menor de una función. Las secuencias de acciones que le hemos dado le ayudarán a realizar los cálculos necesarios de la forma más rápida y sencilla posible. Pero recuerde que a menudo es útil averiguar primero en qué intervalos la función disminuirá y en cuáles aumentará, después de lo cual podrá sacar más conclusiones. De esta forma podrás determinar con mayor precisión los valores mayor y menor de la función y justificar los resultados obtenidos.

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¡Queridos amigos! El grupo de tareas relacionadas con la derivada incluye tareas: la condición da una gráfica de una función, varios puntos en esta gráfica y la pregunta es:

¿En qué punto la derivada es mayor (menor)?

Repitamos brevemente:

La derivada en un punto es igual a pendiente tangente que pasa poreste punto del gráfico.

Ud.el coeficiente global de la tangente a su vez igual a tangente el ángulo de inclinación de esta tangente.

*Esto se refiere al ángulo entre la tangente y el eje x.

1. En intervalos de función creciente, la derivada tiene valor positivo.

2. En los intervalos de su disminución, la derivada tiene significado negativo.

Considere el siguiente boceto:

En los puntos 1,2,4, la derivada de la función tiene un valor negativo, ya que estos puntos pertenecen a intervalos decrecientes.

En los puntos 3,5,6, la derivada de la función tiene un valor positivo, ya que estos puntos pertenecen a intervalos crecientes.

Como ves, todo está claro con el significado de la derivada, es decir, no es nada complicado determinar qué signo tiene (positivo o negativo) en un determinado punto de la gráfica.

Además, si construimos mentalmente tangentes en estos puntos, veremos que las rectas que pasan por los puntos 3, 5 y 6 forman ángulos con el eje oX que van de 0 a 90 o, y las rectas que pasan por los puntos 1, 2 y 4 forman con el eje oX los ángulos van de 90o a 180o.

*La relación es clara: las tangentes que pasan por puntos pertenecientes a intervalos de funciones crecientes se forman con el eje oX. Esquinas filosas, las tangentes que pasan por puntos que pertenecen a intervalos de funciones decrecientes forman ángulos obtusos con el eje oX.

¡Ahora la pregunta importante!

¿Cómo cambia el valor de la derivada? Después de todo, la tangente en diferentes puntos Artes graficas función continua formas diferentes ángulos, dependiendo del punto del gráfico por el que pase.

*O, hablando en lenguaje sencillo, la tangente se sitúa como “horizontalmente” o “verticalmente”. Mirar:

Las líneas rectas forman ángulos con el eje oX que van de 0 a 90 o

Las líneas rectas forman ángulos con el eje oX que van desde 90° a 180°

Por tanto, si tienes alguna duda:

— ¿En cuál de los puntos dados del gráfico la derivada tiene el valor más pequeño?

- ¿En cuál de los puntos dados del gráfico la derivada tiene mayor valor?

entonces, para responder es necesario comprender cómo cambia el valor de la tangente del ángulo tangente en el rango de 0 a 180 o.

*Como ya se mencionó, el valor de la derivada de la función en un punto es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la tangente al eje oX.

El valor de la tangente cambia de la siguiente manera:

Cuando el ángulo de inclinación de la recta cambia de 0° a 90°, el valor de la tangente, y por tanto de la derivada, cambia en consecuencia de 0 a +∞;

Cuando el ángulo de inclinación de la línea recta cambia de 90° a 180°, el valor de la tangente y, por tanto, de la derivada, cambia en consecuencia –∞ a 0.

Esto se puede ver claramente en la gráfica de la función tangente:

En lenguaje sencillo:

Con un ángulo de inclinación tangente de 0° a 90°

Cuanto más cerca esté de 0 o, mayor será el valor de la derivada cercano a cero (en el lado positivo).

Cuanto más cerca esté el ángulo de 90°, más aumentará el valor de la derivada hacia +∞.

Con un ángulo de inclinación tangente de 90° a 180°

Cuanto más cerca esté de 90 o, más disminuirá el valor de la derivada hacia –∞.

Cuanto más cerca esté el ángulo de 180°, mayor será el valor de la derivada cercano a cero (en el lado negativo).

317543. La figura muestra una gráfica de la función y = F(X) y los puntos están marcados–2, –1, 1, 2. ¿En cuál de estos puntos la derivada es mayor? Indique este punto en su respuesta.

Tenemos cuatro puntos: dos de ellos pertenecen a los intervalos en los que la función disminuye (estos son los puntos –1 y 1) y dos a los intervalos en los que la función aumenta (estos son los puntos –2 y 2).

Podemos concluir inmediatamente que en los puntos –1 y 1 la derivada tiene un valor negativo, y en los puntos –2 y 2 tiene un valor positivo. Por lo tanto en en este caso es necesario analizar los puntos –2 y 2 y determinar cuál de ellos tendrá el mayor valor. Construyamos tangentes que pasen por los puntos indicados:

El valor de la tangente del ángulo entre la recta a y el eje de abscisas será mayor valor tangente del ángulo entre la línea b y este eje. Esto significa que el valor de la derivada en el punto –2 será mayor.

responderemos próxima pregunta: ¿En qué punto –2, –1, 1 o 2 la derivada es más negativa? Indique este punto en su respuesta.

La derivada tendrá un valor negativo en los puntos que pertenecen a los intervalos decrecientes, así que consideremos los puntos –2 y 1. Construyamos tangentes que pasen por ellos:

Vemos eso ángulo obtuso entre la recta b y el eje oX está “más cerca” de 180 oh , por tanto su tangente será mayor que la tangente del ángulo formado por la recta a y el eje oX.

Por tanto, en el punto x = 1, el valor de la derivada será mayor negativo.

317544. La figura muestra la gráfica de la función y = F(X) y los puntos están marcados–2, –1, 1, 4. ¿En cuál de estos puntos la derivada es más pequeña? Indique este punto en su respuesta.

Tenemos cuatro puntos: dos de ellos pertenecen a los intervalos en los que la función disminuye (estos son los puntos –1 y 4) y dos a los intervalos en los que la función aumenta (estos son los puntos –2 y 1).

Podemos concluir inmediatamente que en los puntos –1 y 4 la derivada tiene un valor negativo, y en los puntos –2 y 1 tiene un valor positivo. Por tanto, en este caso es necesario analizar los puntos –1 y 4 y determinar cuál de ellos tendrá el valor menor. Construyamos tangentes que pasen por los puntos indicados:

El valor de la tangente del ángulo formado por la recta a y el eje de abscisas será mayor que el valor de la tangente del ángulo formado por la recta b y este eje. Esto significa que el valor de la derivada en el punto x = 4 será el más pequeño.

Respuesta: 4

Espero no haberte “sobrecargado” con la cantidad de escritura. De hecho, todo es muy sencillo, sólo hay que entender las propiedades de la derivada, su significado geométrico y cómo cambia la tangente del ángulo de 0 a 180o.

1. Primero, determine los signos de la derivada en estos puntos (+ o -) y seleccione puntos necesarios(dependiendo de la pregunta formulada).

2. Construya tangentes en estos puntos.

3. Utilizando el gráfico de tangesoide, marque esquemáticamente los ángulos y muestreAlejandro.

P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.

A veces, en los problemas B15 hay funciones "malas" para las que es difícil encontrar una derivada. Anteriormente, esto solo sucedía durante las pruebas de muestra, pero ahora estas tareas son tan comunes que ya no se pueden ignorar al prepararse para el Examen Estatal Unificado real.

En este caso, otras técnicas funcionan, una de las cuales es monótono.

Se dice que una función f (x) es monótonamente creciente en el segmento si para cualquier punto x 1 y x 2 de este segmento se cumple lo siguiente:

x1< x 2 ⇒ f (x1) < f (x2).

Se dice que una función f (x) es monótonamente decreciente en el segmento si para cualquier punto x 1 y x 2 de este segmento se cumple lo siguiente:

x1< x 2 ⇒ f (x1) > f ( x2).

En otras palabras, para una función creciente, cuanto mayor x, mayor f(x). Para una función decreciente ocurre lo contrario: cuanto mayor sea x, mayor menos f(x).

Por ejemplo, el logaritmo aumenta monótonamente si la base a > 1, y disminuye monótonamente si 0< a < 1. Не забывайте про область valores aceptables logaritmo: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

La raíz aritmética cuadrada (y no solo cuadrada) aumenta monótonamente en todo el dominio de definición:

Funcion exponencial Se comporta de manera similar a un logaritmo: aumenta para a > 1 y disminuye para 0.< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Finalmente, títulos con indicador negativo. Puedes escribirlos como una fracción. Tienen un punto de quiebre donde se rompe la monotonía.

Todas estas funciones nunca se encuentran en su forma pura. Suman polinomios, fracciones y otras tonterías, lo que dificulta el cálculo de la derivada. Veamos qué sucede en este caso.

Coordenadas del vértice de la parábola

La mayoría de las veces, el argumento de la función se reemplaza con trinomio cuadrático de la forma y = ax 2 + bx + c. Su gráfica es una parábola estándar en la que nos interesa:

1. Las ramas de una parábola pueden subir (para a > 0) o bajar (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. El vértice de una parábola es el punto extremo de una función cuadrática en el cual esta función toma su mínimo (para a > 0) o máximo (a< 0) значение.

De mayor interés es vértice de una parábola, cuya abscisa se calcula mediante la fórmula:

Entonces, hemos encontrado el punto extremo de la función cuadrática. Pero si la función original es monótona, para ella el punto x 0 también será un punto extremo. Por tanto, formulemos la regla clave:

Puntos extremos de un trinomio cuadrático y función compleja, en el que está incluido, coinciden. Por lo tanto, puedes buscar x 0 para un trinomio cuadrático y olvidarte de la función.

Del razonamiento anterior no queda claro qué punto obtenemos: máximo o mínimo. Sin embargo, las tareas están diseñadas específicamente para que esto no importe. Juzgue usted mismo:

1. No hay ningún segmento en el planteamiento del problema. Por lo tanto, no es necesario calcular f(a) y f(b). Queda por considerar sólo los puntos extremos;
2. Pero solo existe uno de esos puntos: este es el vértice de la parábola x 0, cuyas coordenadas se calculan literalmente de forma oral y sin derivadas.

Así, la solución del problema se simplifica enormemente y se reduce a sólo dos pasos:

1. Escribe la ecuación de la parábola y = ax 2 + bx + c y encuentra su vértice usando la fórmula: x 0 = −b /2a ;
2. Encuentre el valor de la función original en este punto: f (x 0). Si no condiciones adicionales no, esa será la respuesta.

A primera vista, este algoritmo y su fundamento pueden parecer complejos. Deliberadamente no publico un diagrama de solución "simple", ya que la aplicación irreflexiva de tales reglas está plagada de errores.

Veamos problemas reales desde examen de prueba del estado unificado en matemáticas: aquí es donde esta técnica se encuentra con mayor frecuencia. Al mismo tiempo, nos aseguraremos de que de esta manera muchos problemas de B15 se vuelvan casi orales.

Se encuentra debajo de la raíz función cuadrática y = x 2 + 6x + 13. La gráfica de esta función es una parábola con ramas hacia arriba, ya que el coeficiente a = 1 > 0.

Vértice de la parábola:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Como las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba, en el punto x 0 = −3 la función y = x 2 + 6x + 13 toma su valor mínimo.

La raíz aumenta monótonamente, lo que significa que x 0 es el punto mínimo de toda la función. Tenemos:

Tarea. Encuentra el valor más pequeño de la función:

y = iniciar sesión 2 (x 2 + 2x + 9)

Debajo del logaritmo hay nuevamente una función cuadrática: y = x 2 + 2x + 9. La gráfica es una parábola con ramas hacia arriba, porque a = 1 > 0.

Vértice de la parábola:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Entonces, en el punto x 0 = −1 la función cuadrática toma su valor mínimo. Pero la función y = log 2 x es monótona, entonces:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

El exponente contiene la función cuadrática y = 1 − 4x − x 2 . Reescribámoslo en forma normal: y = −x 2 − 4x + 1.

Obviamente, la gráfica de esta función es una parábola, se ramifica hacia abajo (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

La función original es exponencial, es monótona, por lo que el mayor valor estará en el punto encontrado x 0 = −2:

Un lector atento probablemente notará que no escribimos el rango de valores permitidos de raíz y logaritmo. Pero esto no era necesario: en su interior hay funciones cuyos valores son siempre positivos.

Corolarios del dominio de una función

A veces, simplemente encontrar el vértice de la parábola no es suficiente para resolver el problema B15. El valor que buscas puede mentir al final del segmento, y en absoluto en el punto extremo. Si el problema no especifica ningún segmento, mire rango de valores aceptables función original. A saber:

Tenga en cuenta nuevamente: el cero puede estar debajo de la raíz, pero nunca en el logaritmo o denominador de una fracción. Veamos cómo funciona esto con ejemplos específicos:

Tarea. Encuentra el valor más grande de la función:

Debajo de la raíz hay nuevamente una función cuadrática: y = 3 − 2x − x 2 . Su gráfica es una parábola, pero se ramifica hacia abajo porque a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Raíz cuadrada de un número negativo no existe.

Escribimos el rango de valores permitidos (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Ahora encontremos el vértice de la parábola:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

El punto x 0 = −1 pertenece al segmento ODZ, y esto es bueno. Ahora calculamos el valor de la función en el punto x 0, así como en los extremos de la ODZ:

y(-3) = y(1) = 0

Entonces, obtuvimos los números 2 y 0. Se nos pide que encontremos el más grande: este es el número 2.

Tarea. Encuentra el valor más pequeño de la función:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Dentro del logaritmo hay una función cuadrática y = 6x − x 2 − 5. Esta es una parábola con ramas hacia abajo, pero en un logaritmo no puede haber números negativos, entonces escribimos la ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Tenga en cuenta: la desigualdad es estricta, por lo que los extremos no pertenecen a la ODZ. Esto diferencia el logaritmo de la raíz, donde los extremos del segmento nos convienen bastante bien.

Buscamos el vértice de la parábola:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

El vértice de la parábola se ajusta según la ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Pero como no nos interesan los extremos del segmento, calculamos el valor de la función solo en el punto x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

A veces, en los problemas B14 hay funciones "malas" para las que es difícil encontrar una derivada. Anteriormente, esto solo sucedía durante las pruebas de muestra, pero ahora estas tareas son tan comunes que ya no se pueden ignorar al prepararse para el Examen Estatal Unificado real. En este caso funcionan otras técnicas, una de las cuales es la monotonía. Definición Se dice que una función f (x) es monótonamente creciente en el segmento si para cualquier punto x 1 y x 2 de este segmento se cumple lo siguiente: x 1

Definición. Se dice que una función f (x) es monótonamente decreciente en el segmento si para cualquier punto x 1 y x 2 de este segmento se cumple lo siguiente: x 1 f (x 2). En otras palabras, para una función creciente, cuanto mayor x, mayor f(x). Para una función decreciente ocurre lo contrario: cuanto mayor x, menor f(x).

Ejemplos. El logaritmo aumenta monótonamente si la base a > 1, y disminuye monótonamente si 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, y disminuye monótonamente si 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, y disminuye monótonamente si 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1, y disminuye monótonamente si 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Ejemplos . El logaritmo aumenta monótonamente si la base a > 1, y disminuye monótonamente si 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Ejemplos. El logaritmo aumenta monótonamente si la base a > 1, y disminuye monótonamente si 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Ejemplos. La función exponencial se comporta de manera similar al logaritmo: aumenta para a > 1 y disminuye para 0 0: 1 y disminuye en 0 0:"> 1 y disminuye en 0 0:"> 1 y disminuye en 0 0:" title="Ejemplos. La función exponencial se comporta de manera similar al logaritmo: aumenta para a > 1 y disminuye para 0 0:"> title="Ejemplos. La función exponencial se comporta de manera similar al logaritmo: aumenta para a > 1 y disminuye para 0 0:"> !}

0) o abajo (un 0) o abajo (un 9 Coordenadas del vértice de la parábola Muy a menudo, el argumento de la función se reemplaza por un trinomio cuadrado de la forma Su gráfica es una parábola estándar, en la que nos interesan las ramas: Las ramas de la parábola pueden subir (por a > 0) o hacia abajo (a 0) o hacia abajo (a 0) o hacia abajo (a 0) o hacia abajo (a 0) o hacia abajo (a 0) o hacia abajo (a 0) o hacia abajo (a title="(! LANG:Coordenadas del vértice de una parábola La mayoría de las veces, el argumento de la función se reemplaza por un trinomio cuadrático de la forma Su gráfica es una parábola estándar, en la que nos interesan las ramas: Las ramas de una parábola pueden subir (para a > 0) o hacia abajo (a

No hay ningún segmento en el planteamiento del problema. Por lo tanto, no es necesario calcular f(a) y f(b). Queda por considerar sólo los puntos extremos; Pero sólo existe uno de esos puntos: el vértice de la parábola x 0, cuyas coordenadas se calculan literalmente de forma oral y sin derivadas.

Así, la resolución del problema se simplifica enormemente y se reduce a sólo dos pasos: Escribe la ecuación de la parábola y encuentra su vértice usando la fórmula: Encuentra el valor de la función original en este punto: f (x 0). Si no hay condiciones adicionales, esta será la respuesta.

0. Vértice de la parábola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Encuentra el valor más pequeño de la función: Solución: Debajo de la raíz está una función cuadrática Gráfica de esta función parábola con ramas hacia arriba, ya que coeficiente a = 1 > 0. Parte superior de la parábola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 !} Encuentra el valor más pequeño de la función: Solución: Debajo de la raíz hay una función cuadrática La gráfica de esta función es una parábola con ramas hacia arriba, ya que el coeficiente a = 1 > 0. Vértice de la parábola: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. Parte superior de la parábola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Parte superior de la parábola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vértice de la parábola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Encontrar el valor más pequeño de la función: Solución: Debajo de la raíz hay una función cuadrática La gráfica de esta función es una parábola con ramas hacia arriba, ya que el coeficiente a = 1 > 0. El vértice de la parábola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Encuentra el valor más pequeño de la función: Solución: Debajo de la raíz hay una función cuadrática La gráfica de esta función es una parábola con ramas hacia arriba, ya que el coeficiente a = 1 > 0. Vértice de la parábola: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

Encuentra el valor más pequeño de la función: Solución Bajo el logaritmo, la función cuadrática es nuevamente La gráfica de la parábola tiene ramas hacia arriba, porque. a = 1 > 0. Vértice de la parábola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Parte superior de la parábola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Parte superior de la parábola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vértice de la parábola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="Encontrar el valor más pequeño de la función: Solución Bajo el logaritmo nuevamente hay una función cuadrática. La gráfica de la parábola tiene ramas ascendentes, ya que a = 1 > 0. Vértice de la parábola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1). = 2/2 = 1"> title="Encuentra el valor más pequeño de la función: Solución Bajo el logaritmo, la función cuadrática es nuevamente La gráfica de la parábola tiene ramas hacia arriba, porque. a = 1 > 0. Vértice de la parábola: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Encuentre el valor más grande de la función: Solución: El exponente contiene una función cuadrática Reescribámoslo en forma normal: Obviamente, la gráfica de esta función es una parábola, se ramifica hacia abajo (a = 1

Corolarios del dominio de la función A veces para resolver el problema B14 no basta simplemente con encontrar el vértice de la parábola. El valor deseado puede encontrarse al final del segmento y no en el punto extremo. Si el problema no especifica ningún segmento, miramos el rango de valores permitidos de la función original. A saber:

0 2. La raíz cuadrada aritmética existe sólo desde números no negativos: 3. El denominador de la fracción no debe ser cero:" title="1. El argumento del logaritmo debe ser positivo: y = log a f (x) f (x) > 0 2. El cuadrado aritmético la raíz existe solo a partir de números no negativos: 3. El denominador de la fracción no debe ser cero:" class="link_thumb"> 26 !} 1. El argumento del logaritmo debe ser positivo: y = log a f (x) f (x) > 0 2. La raíz cuadrada aritmética existe sólo a partir de números no negativos: 3. El denominador de la fracción no debe ser cero: 0 2. La raíz cuadrada aritmética existe sólo a partir de números no negativos: 3. El denominador de una fracción no debe ser igual a cero: "> 0 2. La raíz cuadrada aritmética existe sólo a partir de números no negativos: 3. El denominador de una fracción no debe ser igual a cero: "> 0 2. Aritmética la raíz cuadrada existe sólo de números no negativos: 3. El denominador de la fracción no debe ser cero:" title="1. El El argumento del logaritmo debe ser positivo: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmética cuadrada la raíz existe sólo a partir de números no negativos: 3. El denominador de la fracción no debe ser igual a cero:"> title="1. El argumento del logaritmo debe ser positivo: y = log a f (x) f (x) > 0 2. La raíz cuadrada aritmética existe sólo a partir de números no negativos: 3. El denominador de la fracción no debe ser cero:"> !}

Solución Debajo de la raíz hay nuevamente una función cuadrática. Su gráfica es una parábola, pero las ramas se dirigen hacia abajo, ya que a = 1 Ahora encontramos el vértice de la parábola: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/( 2) = 1 El punto x 0 = 1 pertenece al segmento ODZ y esto es bueno. Ahora calculamos el valor de la función en el punto x 0, así como en los extremos de la ODZ: y(3) = y(1) = 0 Entonces, obtuvimos los números 2 y 0. Se nos pide encontrar el número más grande 2. Respuesta: 2

Tenga en cuenta: la desigualdad es estricta, por lo que los extremos no pertenecen a la ODZ. Esto diferencia el logaritmo de la raíz, donde los extremos del segmento nos convienen bastante bien. Buscamos el vértice de la parábola: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 El vértice de la parábola se ajusta a la ODZ: x 0 = 3 ( 15). Pero como no nos interesan los extremos del segmento, calculamos el valor de la función solo en el punto x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Respuesta: -2