Uno de los métodos más convenientes para resolver desigualdades cuadráticas es el método gráfico. En este artículo veremos cómo resolver desigualdades cuadráticas. gráficamente. Primero, analicemos cuál es la esencia de este método. A continuación, presentaremos el algoritmo y consideraremos ejemplos de cómo resolver gráficamente desigualdades cuadráticas.

Navegación de páginas.

La esencia del método gráfico.

En absoluto método gráfico para resolver desigualdades con una variable se utiliza no solo para resolver desigualdades cuadráticas, sino también otros tipos de desigualdades. La esencia del método gráfico para resolver desigualdades. siguiente: considere las funciones y=f(x) e y=g(x) que corresponden a la izquierda y lado derecho desigualdades, construye sus gráficas en una sistema rectangular coordenadas y averigüe en qué intervalos la gráfica de uno de ellos se ubica debajo o encima del otro. Aquellos intervalos donde

la gráfica de la función f encima de la gráfica de la función g son soluciones a la desigualdad f(x)>g(x);
la gráfica de la función f no menor que la gráfica de la función g son soluciones a la desigualdad f(x)≥g(x) ;
la gráfica de f debajo de la gráfica de g son soluciones a la desigualdad f(x)
la gráfica de una función f no mayor que la gráfica de una función g son soluciones a la desigualdad f(x)≤g(x) .

También diremos que las abscisas de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones f y g son soluciones de la ecuación f(x)=g(x).

Transferamos estos resultados a nuestro caso: resolver la desigualdad cuadrática a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Introducimos dos funciones: la primera y=a x 2 +b x+c (con f(x)=a x 2 +b x+c) correspondiente al lado izquierdo de la desigualdad cuadrática, la segunda y=0 (con g ( x)=0 ) corresponde al lado derecho de la desigualdad. Cronograma función cuadrática f es una parábola y la gráfica función constante g – recta que coincide con el eje de abscisas Ox.

A continuación, de acuerdo con el método gráfico de resolución de desigualdades, es necesario analizar en qué intervalos se ubica la gráfica de una función encima o debajo de otra, lo que nos permitirá anotar la solución deseada a la desigualdad cuadrática. En nuestro caso, necesitamos analizar la posición de la parábola con respecto al eje Ox.

Dependiendo de los valores de los coeficientes a, b y c, son posibles las siguientes seis opciones (para nuestras necesidades, una representación esquemática es suficiente y no necesitamos representar el eje Oy, ya que su posición no afecta la soluciones a la desigualdad):

En este dibujo vemos una parábola cuyas ramas están dirigidas hacia arriba y que corta el eje Ox en dos puntos cuyas abscisas son x 1 y x 2. Este dibujo corresponde a la opción cuando el coeficiente a es positivo (es responsable de la dirección ascendente de las ramas de la parábola), y cuando el valor es positivo. discriminante de un trinomio cuadrático a x 2 +b x+c (en este caso, el trinomio tiene dos raíces, que denotamos como x 1 y x 2, y asumimos que x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 = −2 , x 2 =3 .

Para mayor claridad, representemos en rojo las partes de la parábola ubicadas sobre el eje x, y en azul, aquellas ubicadas debajo del eje x.

Ahora averigüemos qué intervalos corresponden a estas partes. El siguiente dibujo te ayudará a identificarlos (en el futuro haremos selecciones similares en forma de rectángulos mentalmente):

Entonces en el eje de abscisas se resaltaron en rojo dos intervalos (−∞, x 1) y (x 2 , +∞), en ellos la parábola está por encima del eje Ox, constituyen una solución a la desigualdad cuadrática a x 2 +b x +c>0 , y el intervalo (x 1 , x 2) está resaltado en azul, hay una parábola debajo del eje Ox, representa la solución a la desigualdad a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Y ahora brevemente: para a>0 y D=b 2 −4 a c>0 (o D"=D/4>0 para un coeficiente par b)

la solución a la desigualdad cuadrática a x 2 +b x+c>0 es (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) o en otra notación x x2;
la solución a la desigualdad cuadrática a x 2 +b x+c≥0 es (−∞, x 1 ]∪ o en otra notación x 1 ≤x≤x 2 ,

donde x 1 y x 2 son las raíces del trinomio cuadrático a x 2 +b x+c, y x 1

Aquí vemos una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba y que toca el eje de abscisas, es decir, tiene un punto común con él, denotamos la abscisa de este punto como x 0; El caso presentado corresponde a a>0 (ramas dirigidas hacia arriba) y D=0 ( trinomio cuadrático tiene una raíz x 0 ). Por ejemplo, puedes tomar la función cuadrática y=x 2 −4·x+4, aquí a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 y x 0 =2.

El dibujo muestra claramente que la parábola está ubicada sobre el eje Ox en todas partes excepto en el punto de contacto, es decir, en los intervalos (−∞, x 0), (x 0, ∞). Para mayor claridad, resaltemos áreas en el dibujo por analogía con el párrafo anterior.

Sacamos conclusiones: para a>0 y D=0

la solución a la desigualdad cuadrática a·x 2 +b·x+c>0 es (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) o en otra notación x≠x 0;
la solución a la desigualdad cuadrática a·x 2 +b·x+c≥0 es (−∞, +∞) o en otra notación x∈R ;
desigualdad cuadrática a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
la desigualdad cuadrática a x 2 +b x+c≤0 tiene una solución única x=x 0 (está dada por el punto de tangencia),

donde x 0 es la raíz del trinomio cuadrado a x 2 + b x + c.

En este caso, las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba y no tiene puntos comunes con el eje de abscisas. Aquí tenemos las condiciones a>0 (las ramas se dirigen hacia arriba) y D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Evidentemente, la parábola se sitúa por encima del eje Ox en toda su longitud (no hay intervalos en los que esté por debajo del eje Ox, no hay punto de tangencia).

Así, para a>0 y D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 y a x 2 +b x+c≥0 es el conjunto de todos números reales, y las desigualdades a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Y quedan tres opciones para la ubicación de la parábola con ramas dirigidas hacia abajo, no hacia arriba, en relación con el eje Ox. En principio, no es necesario considerarlos, ya que multiplicar ambos lados de la desigualdad por −1 nos permite llegar a una desigualdad equivalente con un coeficiente positivo para x 2. Pero aún así no está de más hacerse una idea sobre estos casos. El razonamiento aquí es similar, por lo que anotaremos sólo los resultados principales.

Algoritmo de solución

El resultado de todos los cálculos anteriores es algoritmo para resolver desigualdades cuadráticas gráficamente:

Se realiza un dibujo esquemático en el plano de coordenadas, que representa el eje Ox (no es necesario representar el eje Oy) y un boceto de una parábola correspondiente a la función cuadrática y=a·x 2 +b·x+c. Para dibujar un boceto de una parábola, basta con aclarar dos puntos:

En primer lugar, por el valor del coeficiente a se determina hacia dónde se dirigen sus ramas (para a>0 - hacia arriba, para a<0 – вниз).
Y en segundo lugar, a partir del valor del discriminante del trinomio cuadrado a x 2 + b x + c, se determina si la parábola cruza el eje de abscisas en dos puntos (para D>0), lo toca en un punto (para D= 0), o no tiene puntos comunes con el eje Ox (en D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении desigualdades estrictas, o habitual al resolver desigualdades no estrictas.

Cuando el dibujo esté listo, úsalo en el segundo paso del algoritmo.
- al resolver la desigualdad cuadrática a·x 2 +b·x+c>0, se determinan los intervalos en los que la parábola se ubica por encima de la abscisa;
- al resolver la desigualdad a·x 2 +b·x+c≥0, se determinan los intervalos en los que la parábola se ubica sobre el eje de abscisas y se suman las abscisas de los puntos de intersección (o la abscisa del punto tangente) a a ellos;
- al resolver la desigualdad a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- finalmente, al resolver una desigualdad cuadrática de la forma a·x 2 +b·x+c≤0, se encuentran intervalos en los que la parábola está debajo del eje Ox y la abscisa de los puntos de intersección (o la abscisa del punto tangente ) se les añade;
constituyen la solución deseada a la desigualdad cuadrática, y si no existen tales intervalos ni puntos de tangencia, entonces la desigualdad cuadrática original no tiene soluciones.

Todo lo que queda es resolver algunas desigualdades cuadráticas usando este algoritmo.

Ejemplos con soluciones

Ejemplo.

Resuelve la desigualdad .

Solución.

Necesitamos resolver una desigualdad cuadrática, usemos el algoritmo del párrafo anterior. En el primer paso necesitamos dibujar la gráfica de la función cuadrática. . El coeficiente de x 2 es igual a 2, es positivo, por lo tanto, las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba. Averigüemos también si la parábola tiene puntos comunes con el eje x, para ello calcularemos el discriminante del trinomio cuadrático; . Tenemos . El discriminante resultó ser mayor que cero Por tanto, el trinomio tiene dos raíces reales: Y , es decir, x 1 = −3 y x 2 = 1/3.

De esto se desprende claramente que la parábola corta al eje Ox en dos puntos con abscisas −3 y 1/3. Representaremos estos puntos en el dibujo como puntos ordinarios, ya que estamos resolviendo una desigualdad no estricta. A partir de los datos aclarados, obtenemos el siguiente dibujo (se ajusta al primer modelo del primer párrafo del artículo):

Pasemos al segundo paso del algoritmo. Dado que estamos resolviendo una desigualdad cuadrática no estricta con el signo ≤, debemos determinar los intervalos en los que la parábola se encuentra debajo del eje de abscisas y agregarles las abscisas de los puntos de intersección.

Del dibujo se desprende claramente que la parábola está debajo del eje x en el intervalo (−3, 1/3) y le sumamos las abscisas de los puntos de intersección, es decir, los números −3 y 1/3. Como resultado, llegamos al intervalo numérico [−3, 1/3]. Esta es la solución que estamos buscando. Se puede escribir como una doble desigualdad −3≤x≤1/3.

Respuesta:

[−3, 1/3] o −3≤x≤1/3.

Ejemplo.

Encuentra la solución a la desigualdad cuadrática −x 2 +16 x−63<0 .

Solución.

Como siempre, comenzamos con un dibujo. El coeficiente numérico del cuadrado de la variable es negativo, −1, por lo tanto, las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo. Calculemos el discriminante, o mejor aún, su cuarta parte: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Su valor es positivo, calculemos las raíces del trinomio cuadrado: Y , x 1 = 7 y x 2 = 9. Entonces la parábola interseca el eje Ox en dos puntos con las abscisas 7 y 9 (la desigualdad original es estricta, por lo que representaremos estos puntos con un centro vacío). Ahora podemos hacer un dibujo esquemático:

Ya que estamos resolviendo una desigualdad cuadrática estricta con un signo<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

El dibujo muestra que las soluciones a la desigualdad cuadrática original son dos intervalos (−∞, 7), (9, +∞).

Respuesta:

(−∞, 7)∪(9, +∞) o en otra notación x<7 , x>9 .

Al resolver desigualdades cuadráticas, cuando el discriminante de un trinomio cuadrático en su lado izquierdo es cero, debes tener cuidado al incluir o excluir la abscisa del punto tangente de la respuesta. Esto depende del signo de la desigualdad: si la desigualdad es estricta, entonces no es una solución a la desigualdad, pero si no es estricta, entonces lo es.

Ejemplo.

¿La desigualdad cuadrática 10 x 2 −14 x+4.9≤0 tiene al menos una solución?

Solución.

Tracemos la función y=10 x 2 −14 x+4.9. Sus ramas se dirigen hacia arriba, ya que el coeficiente de x 2 es positivo y toca el eje de abscisas en el punto con la abscisa 0,7, ya que D"=(−7) 2 −10 4,9=0, de donde o 0,7 en la forma de una fracción decimal. Esquemáticamente se ve así:

Como estamos resolviendo una desigualdad cuadrática con el signo ≤, su solución serán los intervalos en los que la parábola está debajo del eje Ox, así como la abscisa del punto tangente. Del dibujo se desprende claramente que no existe un solo espacio donde la parábola estaría por debajo del eje Ox, por lo que su solución será solo la abscisa del punto tangente, es decir, 0,7.

Respuesta:

esta desigualdad tiene solución única 0,7.

Ejemplo.

Resuelve la desigualdad cuadrática –x 2 +8 x−16<0 .

Solución.

Seguimos el algoritmo para resolver desigualdades cuadráticas y comenzamos construyendo una gráfica. Las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo, ya que el coeficiente de x 2 es negativo, −1. Encontremos el discriminante del trinomio cuadrado –x 2 +8 x−16, tenemos D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 y luego x 0 = −4/(−1) , x 0 =4 . Entonces, la parábola toca el eje Ox en el punto 4 de la abscisa. Hagamos el dibujo:

Miramos el signo de la desigualdad original, está ahí.<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

En nuestro caso, estos son rayos abiertos (−∞, 4) , (4, +∞) . Por separado, observamos que 4, la abscisa del punto de contacto, no es una solución, ya que en el punto de contacto la parábola no es más baja que el eje Ox.

Respuesta:

(−∞, 4)∪(4, +∞) o en otra notación x≠4 .

Preste especial atención a los casos en los que el discriminante del trinomio cuadrático en el lado izquierdo de la desigualdad cuadrática menos de cero. No hay necesidad de apresurarse y decir que la desigualdad no tiene soluciones (estamos acostumbrados a sacar esa conclusión para ecuaciones cuadráticas con un discriminante negativo). El punto es que la desigualdad cuadrática para D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Ejemplo.

Encuentra la solución a la desigualdad cuadrática 3 x 2 +1>0.

Solución.

Como siempre, comenzamos con un dibujo. El coeficiente a es 3, es positivo, por lo tanto, las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba. Calculamos el discriminante: D=0 2 −4·3·1=−12 . Como el discriminante es negativo, la parábola no tiene puntos comunes con el eje Ox. La información obtenida es suficiente para un gráfico esquemático:

Resolvemos una desigualdad cuadrática estricta con un signo >. Su solución serán todos los intervalos en los que la parábola esté por encima del eje Ox. En nuestro caso, la parábola está por encima del eje x en toda su longitud, por lo que la solución deseada será el conjunto de todos los números reales.

Buey , y también a ellos hay que agregarles la abscisa de los puntos de intersección o la abscisa del punto de tangencia. Pero en el dibujo se ve claramente que no existen tales intervalos (ya que la parábola está en todas partes por debajo del eje de abscisas), así como no hay puntos de intersección, así como no hay puntos de tangencia. Por tanto, la desigualdad cuadrática original no tiene soluciones.

Respuesta:

sin soluciones o en otra entrada ∅.

Referencias.

Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Álgebra: 9no grado: educativo. para educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2009. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A.G.Álgebra. 8vo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A.G.Álgebra. 9no grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A.G.Álgebra y los inicios del análisis matemático. 11º grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general (nivel de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01027-2.

nivel intermedio

Desigualdades cuadráticas. La guía definitiva (2019)

Para descubrir cómo resolver ecuaciones cuadráticas, debemos entender qué es una función cuadrática y qué propiedades tiene.

Probablemente te hayas preguntado por qué se necesita una función cuadrática. ¿Dónde es aplicable su gráfica (parábola)? Sí, sólo tienes que mirar a tu alrededor y notarás que te lo encuentras todos los días en la vida cotidiana. ¿Has notado cómo vuela una pelota lanzada en educación física? ¿"A lo largo del arco"? ¡La respuesta más correcta sería “parábola”! ¿Y a lo largo de qué trayectoria se mueve el chorro en la fuente? ¡Sí, también en parábola! ¿Cómo vuela una bala o un proyectil? Así es, ¡también en parábola! Así, conociendo las propiedades de una función cuadrática, será posible resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo, ¿en qué ángulo se debe lanzar una pelota para asegurar la mayor distancia? ¿O dónde acabará el proyectil si lo lanzas desde cierto ángulo? etc.

función cuadrática

Entonces, averigüémoslo.

Por ejemplo, . ¿Cuáles son los iguales aquí y? Bueno, ¡por supuesto!

¿Qué pasa si, es decir? menos que cero? Bueno, por supuesto, estamos "tristes", lo que significa que las ramas se dirigirán hacia abajo. Miremos el gráfico.

Esta figura muestra la gráfica de una función. Desde, es decir menor que cero, las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo. Además, probablemente ya hayas notado que las ramas de esta parábola se cruzan con el eje, lo que significa que la ecuación tiene 2 raíces y la función toma valores tanto positivos como negativos.

Al principio, cuando dimos la definición de función cuadrática, dijimos que y son algunos números. ¿Pueden ser iguales a cero? Bueno, ¡por supuesto que pueden! Incluso revelaré un secreto aún mayor (que no es un secreto en absoluto, pero vale la pena mencionarlo): ¡no se imponen restricciones a estos números (y) en absoluto!

Bueno, veamos qué pasa con las gráficas si y son iguales a cero.

Como puede ver, las gráficas de las funciones (y) consideradas se han desplazado de modo que sus vértices ahora están en el punto con coordenadas, es decir, en la intersección de los ejes y esto no tiene ningún efecto sobre la dirección de las ramas. . Por tanto, podemos concluir que son responsables del "movimiento" del gráfico de parábola a lo largo del sistema de coordenadas.

La gráfica de una función toca el eje en un punto. Esto significa que la ecuación tiene una raíz. Así, la función toma valores mayores o iguales a cero.

Seguimos la misma lógica con la gráfica de la función. Toca el eje x en un punto. Esto significa que la ecuación tiene una raíz. Así, la función toma valores menores o iguales a cero, es decir.

Por lo tanto, para determinar el signo de una expresión, lo primero que debes hacer es encontrar las raíces de la ecuación. Esto nos será muy útil.

Desigualdad cuadrática

Al resolver este tipo de desigualdades, necesitaremos la capacidad de determinar dónde una función cuadrática es mayor, menor o igual a cero. Eso es:

si tenemos una desigualdad de la forma, entonces, de hecho, la tarea se reduce a determinar intervalo numérico valores en los que la parábola se encuentra por encima del eje.
Si tenemos una desigualdad de la forma, entonces, de hecho, la tarea se reduce a determinar el intervalo numérico de valores de x para los cuales la parábola se encuentra debajo del eje.

Si las desigualdades no son estrictas, entonces las raíces (las coordenadas de la intersección de la parábola con el eje) se incluyen en el intervalo numérico deseado; en el caso de desigualdades estrictas, se excluyen.

Todo esto está bastante formalizado, ¡pero no te desesperes ni te asustes! Ahora veamos los ejemplos y todo encajará.

Al resolver desigualdades cuadráticas, nos adheriremos al algoritmo dado y ¡nos espera un éxito inevitable!

Algoritmo	Ejemplo:
1) Escribamos la ecuación cuadrática correspondiente a la desigualdad (simplemente cambie el signo de desigualdad por el signo igual “=").
2) Encontremos las raíces de esta ecuación.
3) Marque las raíces en el eje y muestre esquemáticamente la orientación de las ramas de la parábola (“arriba” o “abajo”)
4) Coloquemos signos en el eje correspondiente al signo de la función cuadrática: donde la parábola está arriba del eje, ponemos " ", y donde debajo - " ".
5) Escriba el intervalo correspondiente a “ ” o “ ”, dependiendo del signo de desigualdad. Si la desigualdad no es estricta, las raíces se incluyen en el intervalo; si es estricta, no lo son.

¿Entiendo? ¡Entonces adelante y fíjalo!

Ejemplo:

Bueno, ¿funcionó? Si tienes alguna dificultad, busca soluciones.

Solución:

Anotemos los intervalos correspondientes al signo " ", ya que el signo de desigualdad es " ". La desigualdad no es estricta, por lo que las raíces se incluyen en los intervalos:

Escribamos la ecuación cuadrática correspondiente:

Encontremos las raíces de esto. ecuación cuadrática:

Marquemos esquemáticamente las raíces obtenidas en el eje y organicemos los signos:

Anotemos los intervalos correspondientes al signo " ", ya que el signo de desigualdad es " ". La desigualdad es estricta, por lo que las raíces no se incluyen en los intervalos:

Escribamos la ecuación cuadrática correspondiente:

Encontremos las raíces de esta ecuación cuadrática:

esta ecuación tiene una raíz

Marquemos esquemáticamente las raíces obtenidas en el eje y organicemos los signos:

Anotemos los intervalos correspondientes al signo " ", ya que el signo de desigualdad es " ". Para cualquiera, la función toma valores no negativos. Como la desigualdad no es estricta, la respuesta será.

Escribamos la ecuación cuadrática correspondiente:

Encontremos las raíces de esta ecuación cuadrática:

Dibujemos esquemáticamente la gráfica de una parábola y organicemos los signos:

Anotemos los intervalos correspondientes al signo " ", ya que el signo de desigualdad es " ". Para cualquiera, la función toma valores positivos, por tanto, la solución a la desigualdad será el intervalo:

DESIGUALDADES CUADRADAS. NIVEL MEDIO

Función cuadrática.

Antes de hablar del tema “desigualdades cuadráticas”, recordemos qué es una función cuadrática y cuál es su gráfica.

Una función cuadrática es una función de la forma,

En otras palabras, este polinomio de segundo grado.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola (¿recuerdas qué es eso?). Sus ramas se dirigen hacia arriba si "a) la función toma solo valores positivos para todos, y en la segunda (), solo negativos:

En el caso de que la ecuación () tenga exactamente una raíz (por ejemplo, si el discriminante es cero), esto significa que la gráfica toca el eje:

Luego, similar al caso anterior, para " .

Entonces, recientemente aprendimos cómo determinar dónde una función cuadrática es mayor que cero y dónde es menor:

Si la desigualdad cuadrática no es estricta, entonces las raíces se incluyen en el intervalo numérico; si es estricta, no lo son.

Si solo hay una raíz, está bien, el mismo signo estará en todas partes. Si no hay raíces, todo depende sólo del coeficiente: si "25((x)^(2))-30x+9

Respuestas:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

No hay raíces, por lo que toda la expresión del lado izquierdo toma el signo del coeficiente anterior:

Si desea encontrar un intervalo numérico en el que el trinomio cuadrático sea mayor que cero, entonces este es el intervalo numérico donde la parábola se encuentra sobre el eje.
Si desea encontrar un intervalo numérico en el que el trinomio cuadrático sea menor que cero, entonces este es el intervalo numérico donde la parábola se encuentra debajo del eje.

DESIGUALDADES CUADRADAS. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

función cuadrática es una función de la forma: ,

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Sus ramas se dirigen hacia arriba si y hacia abajo si:

Tipos de desigualdades cuadráticas:

Todas las desigualdades cuadráticas se reducen a los siguientes cuatro tipos:

Algoritmo de solución:

Algoritmo	Ejemplo:
1) Escribamos la ecuación cuadrática correspondiente a la desigualdad (simplemente cambie el signo de desigualdad por el signo igual " ").
2) Encontremos las raíces de esta ecuación.
3) Marque las raíces en el eje y muestre esquemáticamente la orientación de las ramas de la parábola (“arriba” o “abajo”)
4) Coloquemos signos en el eje correspondiente al signo de la función cuadrática: donde la parábola está arriba del eje, ponemos " ", y donde debajo - " ".
5) Escriba el intervalo correspondiente a “ ” o “ ”, dependiendo del signo de desigualdad. Si la desigualdad no es estricta, las raíces se incluyen en el intervalo; si es estricta, no lo son.

Este artículo contiene material que cubre el tema “ resolver desigualdades cuadráticas" Primero, mostramos qué son las desigualdades cuadráticas con una variable y les damos vista general. Y luego veremos en detalle cómo resolver desigualdades cuadráticas. Se muestran los principales enfoques para la solución: método gráfico, método de intervalo y aislando el cuadrado del binomio en el lado izquierdo de la desigualdad. Se dan soluciones de ejemplos típicos.

Navegación de páginas.

¿Qué es una desigualdad cuadrática?

Naturalmente, antes de hablar de resolver desigualdades cuadráticas, debemos entender claramente qué es una desigualdad cuadrática. En otras palabras, es necesario poder distinguir las desigualdades cuadráticas de otros tipos de desigualdades por el tipo de registro.

Definición.

Desigualdad cuadrática es una desigualdad de la forma a x 2 +b x+c<0 (вместо знака >puede haber cualquier otro signo de desigualdad ≤, >, ≥), donde a, byc son algunos números, y a≠0, y x es una variable (la variable puede denotarse con cualquier otra letra).

Inmediatamente demos otro nombre a las desigualdades cuadráticas: desigualdades de segundo grado. Este nombre se explica por el hecho de que en el lado izquierdo de las desigualdades a x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

A veces también se puede escuchar que las desigualdades cuadráticas se llaman desigualdades cuadráticas. Esto no es del todo correcto: la definición de “cuadrática” se refiere a funciones definidas por ecuaciones de la forma y=a·x 2 +b·x+c. Entonces, hay desigualdades cuadráticas y funciones cuadráticas, pero no desigualdades cuadráticas.

Mostremos algunos ejemplos de desigualdades cuadráticas: 5 x 2 −3 x+1>0, aquí a=5, b=−3 y c=1; −2.2·z 2 −0.5·z−11≤0, los coeficientes de esta desigualdad cuadrática son a=−2.2, b=−0.5 yc=−11; , en este caso .

Tenga en cuenta que en la definición de desigualdad cuadrática, el coeficiente a de x 2 se considera distinto de cero. Esto es comprensible; la igualdad del coeficiente a a cero en realidad “eliminará” el cuadrado, y estaremos tratando con una desigualdad lineal de la forma b x+c>0 sin el cuadrado de la variable. Pero los coeficientes b y c pueden ser igual a cero, tanto por separado como simultáneamente. A continuación se muestran ejemplos de desigualdades cuadráticas: x 2 −5≥0, aquí el coeficiente b para la variable x es igual a cero; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 tanto b como c son cero.

¿Cómo resolver desigualdades cuadráticas?

Ahora puede resultarle desconcertante la cuestión de cómo resolver desigualdades cuadráticas. Básicamente, se utilizan tres métodos principales para resolver:

método gráfico (o, como en A.G. Mordkovich, gráfico funcional),
método de intervalo,
y resolver desigualdades cuadráticas aislando el cuadrado del binomio en el lado izquierdo.

Gráficamente

Inmediatamente hagamos una reserva de que el método para resolver desigualdades cuadráticas, que ahora estamos considerando, libros de texto escolares El álgebra no se llama gráfica. Sin embargo, en esencia esto es lo que él es. Además, el primer contacto con método gráfico para resolver desigualdades Suele comenzar cuando surge la pregunta de cómo resolver desigualdades cuadráticas.

Método gráfico para resolver desigualdades cuadráticas a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) consiste en analizar la gráfica de la función cuadrática y=a x 2 +b x+c para encontrar los intervalos en los que función especificada toma valores negativos, positivos, no positivos o no negativos. Estos intervalos constituyen las soluciones de las desigualdades cuadráticas a x 2 +b x+c<0 , a·x 2 +b·x+c>0, a x 2 +b x+c≤0 y a x 2 +b x+c≥0, respectivamente.

método de intervalo

Resolver desigualdades cuadráticas con una variable además de método gráfico el método del intervalo es bastante conveniente, que en sí mismo es muy universal y adecuado para resolver varias desigualdades, y no sólo los cuadrados. Su lado teórico queda fuera del alcance del curso de álgebra de octavo y noveno grado, cuando aprenden a resolver desigualdades cuadráticas. Por lo tanto, no entraremos aquí base teórica método de intervalos, pero centrémonos en cómo resuelve desigualdades cuadráticas.

La esencia del método de intervalo en relación con la resolución de desigualdades cuadráticas a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥), consiste en determinar los signos que tienen los valores del trinomio cuadrático a x 2 +b x+c en los intervalos en que se divide eje de coordenadas ceros de este trinomio (si los hay). Los intervalos con signos menos constituyen soluciones a la desigualdad cuadrática a x 2 +b x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0, y al resolver desigualdades no estrictas, se suman los puntos correspondientes a los ceros del trinomio a los intervalos indicados.

Familiarícese con todos los detalles de este método, su algoritmo, las reglas para colocar letreros en espacios y considere soluciones listas para usar ejemplos típicos Con las ilustraciones anteriores, puede consultar el material del artículo sobre cómo resolver desigualdades cuadráticas utilizando el método de intervalo.

Al elevar al cuadrado el binomio

Además del método gráfico y el método de intervalos, existen otros enfoques que permiten resolver desigualdades cuadráticas. Y llegamos a uno de ellos, que se basa en binomio al cuadrado en el lado izquierdo de la desigualdad cuadrática.

El principio de este método para resolver desigualdades cuadráticas es realizar transformaciones equivalentes de la desigualdad, lo que permite proceder a resolver una desigualdad equivalente de la forma (x−p) 2 , ≥), donde p y q son algunos números.

¿Y cómo se produce la transición a la desigualdad (x−p) 2? , ≥) y cómo resolverlo, el artículo explica la solución de desigualdades cuadráticas aislando el cuadrado del binomio. También hay ejemplos de resolución de desigualdades cuadráticas utilizando este método y las ilustraciones gráficas necesarias.

Desigualdades que se reducen a cuadráticas.

En la práctica, uno muy a menudo encuentra desigualdades dadas usando transformaciones equivalentes a desigualdades cuadráticas de la forma a x 2 +b x+c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Comencemos con ejemplos de las desigualdades más simples que se reducen a desigualdades cuadráticas. A veces, para pasar a una desigualdad cuadrática, basta con reordenar los términos de esta desigualdad o moverlos de una parte a otra. Por ejemplo, si trasladamos todos los términos del lado derecho de la desigualdad 5≤2·x−3·x 2 hacia la izquierda, obtenemos una desigualdad cuadrática en la forma especificada anteriormente 3·x 2 −2·x+5≤ 0. Otro ejemplo: reorganizar el lado izquierdo de la desigualdad 5+0.6 x 2 −x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

En la escuela, durante las lecciones de álgebra, cuando aprenden a resolver desigualdades cuadráticas, también se ocupan de resolver desigualdades racionales, reduciéndose a cuadrados. Su solución implica transferir todos los términos al lado izquierdo y luego transformar la expresión formada allí a la forma a·x 2 +b·x+c ejecutando . Veamos un ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra muchas soluciones a la desigualdad. 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .desigualdad irracional es equivalente a la desigualdad cuadrática x 2 −6 x−9<0 , а desigualdad logarítmica – desigualdad x 2 +x−2≥0.

Referencias.

Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Álgebra: 9no grado: educativo. para educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2009. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A.G.Álgebra. 8vo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A.G.Álgebra. 9no grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A.G.Álgebra y los inicios del análisis matemático. 11º grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general (nivel de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01027-2.

Ha sido necesario comparar cantidades y cantidades al resolver problemas prácticos desde la antigüedad. Al mismo tiempo, aparecieron palabras como más y menos, más alto y más bajo, más ligero y más pesado, más silencioso y más ruidoso, más barato y más caro, etc., que denotan los resultados de comparar cantidades homogéneas.

Los conceptos de más y menos surgieron en relación con contar objetos, medir y comparar cantidades. Por ejemplo, los matemáticos de la antigua Grecia sabían que el lado de cualquier triángulo es menor que la suma de los otros dos lados y que el lado mayor de un triángulo se encuentra opuesto al ángulo mayor. Arquímedes, al calcular la circunferencia, estableció que el perímetro de cualquier círculo es igual a tres veces el diámetro con un exceso menor que una séptima parte del diámetro, pero más de diez setenta veces el diámetro.

Escribe simbólicamente relaciones entre números y cantidades usando los signos > y b. Registros en los que dos números están conectados por uno de los signos: > (mayor que), También encontró desigualdades numéricas en los grados inferiores. Sabes que las desigualdades pueden ser verdaderas o falsas. Por ejemplo, $\frac(1)(2) > \frac(1)(3)$ es correcto desigualdad numérica, 0,23 > 0,235 es una desigualdad numérica incorrecta.

Las desigualdades que involucran incógnitas pueden ser verdaderas para algunos valores de las incógnitas y falsas para otros. Por ejemplo, la desigualdad 2x+1>5 es verdadera para x = 3, pero falsa para x = -3. Para una desigualdad con una incógnita, puedes plantear la tarea: resolver la desigualdad. En la práctica, los problemas de resolución de desigualdades se plantean y resuelven con tanta frecuencia como los problemas de resolución de ecuaciones. Por ejemplo, muchos problemas económicos se reducen al estudio y solución de sistemas desigualdades lineales. En muchas ramas de las matemáticas, las desigualdades son más comunes que las ecuaciones.

Algunas desigualdades sirven como única ayuda, permitiéndole probar o refutar la existencia de un determinado objeto, por ejemplo, la raíz de una ecuación.

Desigualdades numéricas

¿Puedes comparar números enteros? decimales. ¿Conoces las reglas de comparación? fracciones ordinarias con los mismos denominadores pero diferentes numeradores; con los mismos numeradores, pero diferentes denominadores. Aquí aprenderá a comparar dos números cualesquiera encontrando el signo de su diferencia.

La comparación de números se utiliza ampliamente en la práctica. Por ejemplo, un economista compara los indicadores planificados con los reales, un médico compara la temperatura de un paciente con la normal, un tornero compara las dimensiones de una pieza mecanizada con una estándar. En todos estos casos, se comparan algunas cifras. Como resultado de comparar números, surgen desigualdades numéricas.

Definición. Número a mas numero b, si diferencia ab positivo. Número a menos numero b, si la diferencia a-b es negativa.

Si a es mayor que b, entonces escriben: a > b; si a es menor que b, entonces escriben: a Por lo tanto, la desigualdad a > b significa que la diferencia a - b es positiva, es decir a - b > 0. Desigualdad a Para dos números cualesquiera a y b de los tres siguientes relaciones a > b, a = b, a Comparar los números a y b significa descubrir cuál de los signos >, = o Teorema. Si a > b y b > c, entonces a > c.

Teorema. Si sumas el mismo número a ambos lados de la desigualdad, el signo de la desigualdad no cambiará.
Consecuencia. Cualquier término se puede mover de una parte de la desigualdad a otra cambiando el signo de este término al opuesto.

Teorema. Si ambos lados de la desigualdad se multiplican por el mismo número positivo, entonces el signo de la desigualdad no cambiará. Si ambos lados de la desigualdad se multiplican por el mismo número negativo, entonces el signo de la desigualdad cambiará al opuesto.
Consecuencia. Si ambos lados de la desigualdad se dividen por el mismo número positivo, entonces el signo de la desigualdad no cambiará. Si ambos lados de la desigualdad se dividen por el mismo número negativo, entonces el signo de la desigualdad cambiará al opuesto.

Sabes que las igualdades numéricas se pueden sumar y multiplicar término por término. A continuación, aprenderá a realizar acciones similares con desigualdades. En la práctica se utiliza a menudo la capacidad de sumar y multiplicar desigualdades término por término. Estas acciones ayudan a resolver problemas de evaluación y comparación de significados de expresiones.

Al decidir varias tareas A menudo hay que sumar o multiplicar los lados izquierdo y derecho de las desigualdades término por término. Al mismo tiempo, a veces se dice que las desigualdades se suman o se multiplican. Por ejemplo, si un turista caminó más de 20 km el primer día y más de 25 km el segundo, entonces podemos decir que en dos días caminó más de 45 km. De manera similar, si el largo de un rectángulo es menor de 13 cm y el ancho es menor de 5 cm, entonces podemos decir que el área de este rectángulo es menor de 65 cm2.

Al considerar estos ejemplos, se utilizó lo siguiente: Teoremas sobre suma y multiplicación de desigualdades:

Teorema. Al sumar desigualdades del mismo signo se obtiene una desigualdad del mismo signo: si a > b y c > d, entonces a + c > b + d.

Teorema. Al multiplicar desigualdades del mismo signo, cuyos lados izquierdo y derecho son positivos, se obtiene una desigualdad del mismo signo: si a > b, c > d y a, b, c, d - numeros positivos, luego ac > bd.

Desigualdades con el signo > (mayor que) y 1/2, 3/4 b, c Junto con los signos de desigualdades estrictas > y De la misma manera, la desigualdad $a \geq b $ significa que el número a es mayor o igual a b, es decir, y no menor que b.

Las desigualdades que contienen el signo $\geq $ o el signo $\leq $ se denominan no estrictas. Por ejemplo, $18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 $ no son desigualdades estrictas.

Todas las propiedades de las desigualdades estrictas también son válidas para las desigualdades no estrictas. Además, si para desigualdades estrictas los signos > se consideraran opuestos y sabes que para resolver la serie problemas aplicados tienes que crear un modelo matemático en forma de ecuación o sistema de ecuaciones. A continuación descubrirás que modelos matemáticos Para resolver muchos problemas existen desigualdades con incógnitas. Introduciremos el concepto de resolver una desigualdad y mostraremos cómo comprobar si numero dado resolver una desigualdad específica.

Desigualdades de la forma
\(ax > b, \quad ax en el que a y b son números dados, y x es desconocida, se llama desigualdades lineales con una incógnita.

Definición. La solución a una desigualdad con una incógnita es el valor de la incógnita en el que esta desigualdad se convierte en una verdadera desigualdad numérica. Resolver una desigualdad significa encontrar todas sus soluciones o establecer que no las hay.

Resolviste las ecuaciones reduciéndolas a las ecuaciones más simples. De manera similar, al resolver desigualdades, se intenta reducirlas, utilizando propiedades, a la forma de desigualdades simples.

Resolver desigualdades de segundo grado con una variable

Desigualdades de la forma
$ax^2+bx+c >0 $ y $ax^2+bx+c donde x es una variable, a, byc son algunos números y \(a \neq 0 $, llamado desigualdades de segundo grado con una variable.

Solución a la desigualdad
$ax^2+bx+c >0 $ o $ax^2+bx+c pueden considerarse como intervalos de búsqueda en los que la función \(y= ax^2+bx+c $ toma positivo o negativo valores Para hacer esto, basta con analizar cómo se ubica la gráfica de la función $y= ax^2+bx+c$ en el plano de coordenadas: hacia dónde se dirigen las ramas de la parábola, hacia arriba o hacia abajo, si la parábola corta al eje x y si lo hace, en qué puntos.

Algoritmo para resolver desigualdades de segundo grado con una variable:
1) encontrar el discriminante del trinomio cuadrado $ax^2+bx+c$ y averiguar si el trinomio tiene raíces;
2) si el trinomio tiene raíces, márquelas en el eje x y a través de los puntos marcados dibuje una parábola esquemática, cuyas ramas se dirigen hacia arriba para a > 0 o hacia abajo para a 0 o hacia abajo para a 3) encuentre intervalos en el eje x para los cuales los puntos de las parábolas están ubicados sobre el eje x (si resuelven la desigualdad $ax^2+bx+c >0$) o debajo del eje x (si resuelven la desigualdad
\(ax^2+bx+c Resolver desigualdades usando el método de intervalo

Considere la función
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

El dominio de esta función es el conjunto de todos los números. Los ceros de la función son los números -2, 3, 5. Dividen el dominio de definición de la función en los intervalos $(-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) $ y $ (5; +\infty)$

Averigüemos cuáles son los signos de esta función en cada uno de los intervalos indicados.

La expresión (x + 2)(x - 3)(x - 5) es el producto de tres factores. El signo de cada uno de estos factores en los intervalos considerados se indica en la tabla:

En general, la función viene dada por la fórmula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
donde x es una variable y x 1, x 2, ..., x n son números que no son iguales entre sí. Los números x 1 , x 2 , ..., x n son los ceros de la función. En cada uno de los intervalos en los que se divide el dominio de definición por ceros de la función, se conserva el signo de la función, y al pasar por cero su signo cambia.

Esta propiedad se utiliza para resolver desigualdades de la forma
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) donde x 1, x 2, ..., x n son números que no son iguales entre sí

Método considerado Resolver desigualdades se llama método de intervalo.

Demos ejemplos de resolución de desigualdades utilizando el método de intervalo.

Resolver desigualdad:

$x(0.5-x)(x+4) Obviamente, los ceros de la función f(x) = x(0.5-x)(x+4) son los puntos \(x=0, \; x= \ frac(1)(2), \; x=-4 $

Referirse a eje numérico ceros de la función y calcular el signo en cada intervalo:

Seleccionamos aquellos intervalos en los que la función es menor o igual a cero y anotamos la respuesta.

Respuesta:
$x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) $

Lección y presentación sobre el tema: "Desigualdades cuadráticas, ejemplos de soluciones"

Materiales adicionales
Estimados usuarios, ¡no olviden dejar sus comentarios, reseñas, deseos! Todos los materiales han sido revisados por un programa antivirus.

Ayudas educativas y simuladores en la tienda online de Integral para 9º grado
Libro de texto electrónico "Geometría comprensible" para los grados 7-9
Complejo educativo 1C: "Geometría, grado 9"

Chicos, ya sabemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas. Ahora aprendamos a resolver desigualdades cuadráticas.
Desigualdad cuadrática Este tipo de desigualdad se llama:

$ax^2+bx+c>0$.

El signo de desigualdad puede ser cualquiera, los coeficientes a, b, c pueden ser cualquier número ($a≠0$).
Todas las reglas que definimos para desigualdades lineales también funcionan aquí. ¡Repita estas reglas usted mismo!

Introduzcamos otra regla importante:
Si el trinomio tiene $ax^2+bx+c$ discriminante negativo, entonces si sustituyes cualquier valor de x, el signo del trinomio será el mismo que el signo del coeficiente a.

Ejemplos de resolución de desigualdades cuadráticas.

se puede resolver trazando gráficas o trazando intervalos. Veamos ejemplos de soluciones a las desigualdades.

Ejemplos.
1. Resuelve la desigualdad: $x^2-2x-8
Solución:
Encontremos las raíces de la ecuación $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ y $x_2=-2$.

Tracemos una ecuación cuadrática. El eje x se cruza en los puntos 4 y -2.
Nuestro trinomio cuadrático toma valores menores que cero donde la gráfica de la función se ubica debajo del eje x.
Mirando la gráfica de la función, obtenemos la respuesta: $x^2-2x-8 Respuesta: $-2

2. Resuelve la desigualdad: $5x-6

Solución:
Transformemos la desigualdad: $-x^2+5x-6 Dividamos la desigualdad por menos uno. No olvidemos cambiar el signo: $x^2-5x+6>0$.
Encontremos las raíces del trinomio: $x_1=2$ y $x_2=3$.

Construyamos una gráfica de una ecuación cuadrática, el eje x se cruza en los puntos 2 y 3.

Nuestro trinomio cuadrático toma valores mayores que cero donde la gráfica de la función se ubica encima del eje x. Mirando la gráfica de la función, obtenemos la respuesta: $5x-6 Respuesta: $x 3$.

3. Resuelve la desigualdad: $2^2+2x+1≥0$.

Solución:
Encontremos las raíces de nuestro trinomio, para ello calculamos el discriminante: $D=2^2-4*2=-4 El discriminante es menor que cero. Usemos la regla que introdujimos al principio. El signo de la desigualdad será el mismo que el signo del coeficiente del cuadrado. En nuestro caso, el coeficiente es positivo, lo que significa que nuestra ecuación será positiva para cualquier valor de x.
Respuesta: Para todo x, la desigualdad es mayor que cero.

4. Resuelve la desigualdad: $x^2+x-2
Solución:
Encontremos las raíces del trinomio y colóquelas en la línea de coordenadas: $x_1=-2$ y $x_2=1$.

Si $x>1$ y $x Si $x>-2$ y $x Respuesta: $x>-2$ y $x