ÁNGULOS INCLUIDOS EN UN CÍRCULO

Un ángulo divide un plano en dos partes. Cada una de las partes se llama ángulo plano. En la Figura 13, uno de los ángulos planos con lados ayb está sombreado. Ángulos planos con lados comunes se llaman adicionales.

Si un ángulo plano es parte de un semiplano, entonces su medida en grados se llama medida en grados de un ángulo ordinario con los mismos lados. Si un ángulo plano contiene un semiplano, entonces su medida en grados se toma igual a 360° - b, donde b es la medida en grados de un ángulo plano adicional (Fig. 14).

Arroz. 13

Un ángulo central en una circunferencia es un ángulo plano que tiene un vértice en su centro. La parte del círculo ubicada dentro del ángulo plano se llama arco del círculo correspondiente a este ángulo central (Fig. 15). La medida en grados de un arco de círculo es la medida en grados del ángulo central correspondiente.

Arroz. 15

Un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados cortan este círculo se llama inscrito en un círculo. El ángulo BAC en la Figura 16 está inscrito en un círculo. Su vértice A se encuentra en el círculo y sus lados intersecan al círculo en los puntos B y C. También se dice que el ángulo A descansa sobre la cuerda BC. La recta BC divide el círculo en dos arcos. ángulo central, correspondiente al de estos arcos que no contiene el punto A, se llama ángulo central correspondiente al ángulo inscrito dado.

Teorema 5. Ángulo inscrito en una circunferencia igual a la mitad el ángulo central correspondiente.

Prueba. Consideremos primero caso especial, cuando uno de los lados del ángulo pasa por el centro del círculo (Fig. 17, a). El triángulo AOB es isósceles porque sus lados OA y OB tienen iguales radios. Por tanto, los ángulos A y B del triángulo son iguales. Y como su suma es igual esquina exterior triángulo en el vértice O, entonces el ángulo B del triángulo es igual a la mitad del ángulo AOC, que es lo que había que demostrar.

El caso general se reduce al caso especial considerado dibujando el diámetro auxiliar BD (Fig. 17, b, c). En el caso presentado en la Figura 17, b, ABC = CBD + ABD = S COD + S AOD = S AOC.

En el caso presentado en la Figura 17, c,

CBD - ABD = DQO - AOD = AOC.

El teorema está completamente demostrado.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS DE ACUERDOS Y SECANTES DE CÍRCULO

Si las cuerdas AB y CD de un círculo se cortan en el punto S

Entonces AS?BS=CS?DS.

Primero demostremos que los triángulos ASD y CSB son similares (Fig. 19). Los ángulos inscritos DCB y DAB son iguales según el corolario del teorema 5. Los ángulos ASD y BSC son iguales que los ángulos verticales. De la igualdad de los ángulos indicados se deduce que los triángulos ASZ y CSB son semejantes.

De la similitud de los triángulos se sigue la proporción.

AS?BS = CS?DS, que es lo que faltaba demostrar

Fig.19

Si se trazan dos secantes desde el punto P a un círculo, cortando el círculo en los puntos A, B y C, D, respectivamente, entonces

Sean los puntos A y C los puntos de intersección de las secantes con el círculo más cercano al punto P (Fig. 20). Los triángulos PAD y PCB son similares. Tienen un ángulo común en el vértice P, y los ángulos en los vértices B y D son iguales según la propiedad de los ángulos inscritos en un círculo. De la similitud de los triángulos se sigue la proporción.

Por lo tanto PA?PB=PC?PD, que es lo que había que demostrar.

Lección de geometría en octavo grado sobre el tema.

“Proporcionalidad de segmentos de cuerdas, tangentes y secantes”

Objetivos de la lección:

identificar patrones entre segmentos de cuerdas, tangentes y secantes; determinar la medida del ángulo (que no es central ni inscrito) entre la tangente y la cuerda trazada hasta el punto de tangencia;

asegurar la percepción de material nuevo a través de ilustraciones geométricas y fórmulas de escritura;

guiar a los estudiantes a descubrir de forma independiente la demostración de teoremas a través de preguntas orientadoras sobre material cubierto previamente; formación de habilidades de evidencia;

aprender a algoritmizar una tarea determinada y utilizar el conocimiento acumulado para resolverla;

fomentar la alfabetización en el diseño de pruebas geométricas;

formación de juicios y conclusiones mediante métodos de análisis, síntesis, inducción;

desarrollar en los estudiantes rasgos como precisión, claridad y lógica en la formación y ejecución de pensamientos;

desarrollo pensamiento abstracto, activación procesos de pensamiento, desarrollo de la visión y memoria auditiva, habilidades del habla de los estudiantes.

Tipo de lección: aprendiendo nuevo material.

Plan de lección.

Preparándose para aprender cosas nuevas material teórico encuestando a los estudiantes sobre los principales principios teóricos sobre la circunferencia y los elementos asociados a ella (tangentes, secantes, cuerdas, ángulos).

Presentación de material teórico.

1. Proporcionalidad de diámetro y segmentos de cuerda; proporcionalidad de segmentos de cuerda.

   El ángulo entre la tangente y la cuerda trazada hasta el punto de tangencia.

   Proporcionalidad de segmentos secantes y tangentes, proporcionalidad de segmentos secantes.

Resumiendo la lección: encuesta a los estudiantes sobre las formulaciones de teoremas, ideas para demostrar teoremas, grabación de tareas con comentarios del profesor.

Preparándose para estudiar material nuevo.

Recordatorio de las principales disposiciones de los temas " Posición mutua circunferencias y rectas”, “Tangente a una circunferencia”, “Propiedades de los segmentos tangentes”, “Ángulo central”, “Ángulo inscrito. Medir un ángulo inscrito a través de un ángulo central." Se deben cubrir las siguientes preguntas:

Triángulos semejantes; signos de semejanza de triángulos.

La posición relativa de una línea recta y un círculo: definición de secante, una cuerda como segmento de una secante que se encuentra dentro de un círculo; tangente.

Determinación del ángulo central; determinación del ángulo inscrito; medida en grados del ángulo central; medir el ángulo inscrito a través del central; Corolarios del teorema del ángulo inscrito.

Estudiar y tomar notas de nuevo material teórico.

2.1. Proporcionalidad de segmentos de cuerda.

Este parte teórica incluye un teorema sobre la proporcionalidad de segmentos de una cuerda y un diámetro que tienen un punto común, un corolario para el caso de dos cuerdas y una generalización para el caso de cualquier número de cuerdas que pasan por un punto común.

Teorema 1: Si por un punto (M) tomado dentro de una circunferencia, una cuerda (AB) y un diámetro (CD), entonces el producto de los segmentos de cuerda () es igual al producto de los segmentos de diámetro (
)(Figura 1.).

D año: ok( ACERCA DE; OA),
− diámetro, AB− acorde,
.

Probar:= .

Prueba: Para demostrar la igualdad, basta comparar las razones.
Y
. Los segmentos proporcionales son lados semejantes en triángulos semejantes. Considere los triángulos
Y
. Estos triángulos serán semejantes según el primer signo de semejanza de triángulos: como vertical; como está inscrito, descansando sobre el mismo arco Y. De la semejanza de los triángulos se sigue la proporcionalidad de los lados semejantes, es decir

, o
, o = .

Corolario 2: Si dos cuerdas de un círculo se cruzan, entonces el producto de los segmentos de una cuerda es igual al producto de los segmentos de otra cuerda (Fig. 2).

Dado: ok( ACERCA DE; OA), AB,E.F.− acordes,
.

Probar:=
.

Prueba: Dibujemos el diámetro. CD a través del punto METRO. Luego, por el Teorema 1, para la cuerda AB: = ;

para acorde E.F.:
= .

Como los lados derechos de las igualdades son iguales, los lados izquierdos también son iguales, es decir

Corolario 3 (generalización del Corolario 1): Si por un punto (M) tomado dentro de una circunferencia, cualquier número de cuerdas (AB, E.F., kl,...), entonces el producto de los segmentos de cada cuerda es un número constante para todas las cuerdas (ya que para cada cuerda este producto es igual al producto de los segmentos del diámetro que pasa por el punto dado).

El ángulo entre la tangente y la cuerda trazada hasta el punto de tangencia.

Este ítem permite determinar la medida del ángulo entre la tangente y la cuerda trazada hasta el punto de tangencia (que no es un ángulo central ni un ángulo inscrito en una circunferencia). También permite demostrar el teorema de la proporcionalidad de segmentos tangentes y secantes.

Teorema 4: El ángulo entre la tangente y la cuerda trazada hasta el punto de contacto se mide por la mitad del arco que subtiende esta cuerda (Fig. 3).

D año: ok( oh oa), C.A.– tangente, A– punto de contacto,

AB– acorde.

Probar:
.

Prueba: Denotamos lo requerido.
a través de . Porque C.A.– tangente, entonces
. consideremos
- isósceles ( JSC, VO– radios), entonces

encontremos

allende
, por eso,
, o
.

Proporcionalidad de segmentos tangentes y secantes.

Esta parte le permite determinar segmentos proporcionales para una tangente y una secante trazadas desde un punto, para dos o más secantes trazadas desde un punto hasta una circunferencia determinada.

Teorema 5: Si desde un punto (M) tomado fuera del círculo, se traza hacia él una secante (MA) y una tangente (MS), entonces el producto de la secante (MA) por su parte externa (MB) es igual a la cuadrado de la tangente (MC) ( Fig. 4.).

D año: ok( oh oa), EM– tangente, MAMÁ- secante

VM– parte exterior de la secante MAMÁ.

Probar:
.

Prueba: Para demostrar la igualdad, basta comparar las razones.
Y
, es decir, considerar
Y
. Demostremos que son similares. De hecho,
- general,
como está escrito en, y
por el Teorema 4 (como el ángulo entre la tangente y la cuerda trazada hasta el punto de tangencia), es decir .

Entonces, es similar (según el primer criterio de similitud de triángulos) y, por lo tanto, = , o .

Corolario 6: Si desde un punto tomado fuera de un círculo se traza hacia él cualquier número de secantes, entonces el producto de cada secante por su parte externa es un número constante para todas estas secantes (ya que para cada secante este producto es igual al cuadrado de la tangente trazada por el punto tomado).

Resumiendo.

Consolidación primaria del material teórico mediante la formulación de formulaciones de teoremas y corolarios, ideas para su demostración.

Se sugirió lo siguiente como tarea:

problema teórico: diámetro AB de un círculo dado extendido más allá de un punto EN. A través de algún punto CON de esta continuación se traza una línea recta
. Si punto arbitrario METRO conecta esta perpendicular al punto A, entonces (denotado por el segundo punto de intersección con el círculo de esta línea) el producto
es un valor constante para cualquier punto M.

problemas No. 666 y No. 671 (libro de texto de L. S. Atanasyan) sobre la aplicación de fórmulas para segmentos proporcionales cuerdas, tangentes y secantes;

tarea No. 660 para revisar el tema “Ángulo inscrito”;

aprender material teórico bien leído (ya que próxima lección se supone que debe comenzar con trabajo de prueba según esta teoría).

Productividad. Durante la lección, los estudiantes identificaron patrones entre segmentos de cuerdas, tangentes y secantes; se determina la medida del ángulo entre la tangente y la cuerda trazada hasta el punto de tangencia; se aseguró la percepción de los estudiantes sobre el nuevo material a través de ilustraciones geométricas y fórmulas escritas; Se capacitó a los estudiantes para que fueran competentes en el diseño de pruebas geométricas.

Para demostrar los teoremas, conviene consultar el material tratado en el tema “Círculo. La posición relativa de una línea recta y un círculo. Ángulos centrales e inscritos. Recuerde el concepto de proporcionalidad de segmentos como lados. triangulos semejantes.

Es necesario destacar por separado la proporcionalidad de los segmentos de dos acordes. La prueba se puede realizar tanto por escrito como de forma oral, dependiendo de la clase específica y del ritmo de la lección.

Es mejor que el profesor escriba material teórico (formulaciones para escribir) en la pizarra para ahorrar tiempo, calidad del diseño e involucrar al máximo a los estudiantes en el descubrimiento de la demostración de los teoremas.

A un ritmo de trabajo alto, puedes considerar problema teórico, propuesto en tarea, plantea la idea de prueba y deja el diseño a la casa.

Para controlar el material estudiado en la siguiente lección, debe realizar estudio frontal teoría en la forma trabajo escrito, que puede incluir tarea sencilla en fórmulas básicas proporcionalidad en un círculo.

Literatura.

proporcionalidad segmentos? Obviamente, por la similitud... por ejemplo, leccióngeometría en VI clase en tema"Construcción de un triángulo Por dos ángulos... formados acorde Y tangentes al arco en los puntos que sirven como extremos acordes, son iguales"...

Proporcionalidad de segmentos de cuerdas y secantes.

Propiedad de segmentos tangentes.

Teorema sobre el lugar geométrico de los puntos.

Bisectriz perpendicular.

Círculo circunscrito. Un triángulo inscrito en un círculo.

Un círculo inscrito en un triángulo.

Se proponen problemas para todos los conceptos y enunciados.

La presentación está diseñada para una serie de lecciones. Se puede utilizar para el aprendizaje a distancia.

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Títulos de diapositivas:

TEMA: “CÍRCULO”.

Círculo. Radio. Acorde. Diámetro. Esquina central. Esquina central. Ángulo inscrito. Tarea. Propiedad del ángulo inscrito. Tarea. Teorema de la semisuma de arcos. Tarea. Teorema de la semidiferencia de arcos. Tarea. Producto de segmentos de cuerdas que se cruzan. Proporcionalidad de segmentos de cuerdas y secantes. Propiedad de segmentos tangentes. Tarea. Lugar geométrico de puntos. Teorema sobre el lugar geométrico de los puntos. Bisectriz perpendicular. Círculo circunscrito. Un triángulo inscrito en un círculo. Tarea. Tarea. Tangente a una circunferencia. Un círculo inscrito en un triángulo. Tarea. Un círculo circunscrito alrededor de un cuadrilátero. Tarea. Un círculo inscrito en un cuadrilátero. Tarea.

Un círculo es una figura que consta de todos los puntos del plano equidistantes de un punto dado: el centro del círculo. La distancia desde el centro O del círculo hasta el punto A que se encuentra sobre él es de 5 cm. Demuestre que la distancia desde el punto O al punto B de este círculo es de 5 cm, y la distancia desde O hasta los puntos C y D que no se encuentran sobre él. no es igual a 5 cm de circunferencia. O C D A B atrás

RADIO. El radio es el segmento que conecta el centro con cualquier punto del círculo. Puntos X,Y,Z se encuentra en un círculo con centro M. Es el radio de este círculo Segmento MX; ¿Segmento YZ? Y X Z atrás

ACORDE. ¿Qué es una cuerda de círculo? Una cuerda es un segmento que conecta dos puntos de una circunferencia. volver O A B

DIÁMETRO. ¿Cuál es el diámetro de un círculo? El diámetro es la cuerda que pasa por el centro. volver O A B

ÁNGULO CENTRAL Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo. La medida en grados del ángulo central corresponde a medida de grado el arco sobre el que descansa (si el arco es más pequeño que un semicírculo). Nombra todos los ángulos centrales de la imagen. O C A B m atrás

Si los ángulos centrales de un círculo dado son iguales, entonces los arcos correspondientes son iguales por pares. Formule la afirmación contraria. A O C B D atrás

ÁNGULO INCLUSIVO. Un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados cortan este círculo se llama inscrito en un círculo. ¿Qué ángulos están inscritos en un círculo? volver A B C

El ángulo ABC está inscrito en una circunferencia. CA – diámetro. Demuestre que el ángulo ABC es un ángulo recto. Tarea. atrás O A C B

PROPIEDAD DEL ÁNGULO DE INCLUSIÓN. Demuestre que todos los ángulos inscritos en un círculo, cuyos lados pasan por dos puntos dados del círculo, y los vértices se encuentran en el mismo lado de la línea recta que conecta estos puntos, son iguales. atrás

TAREA. Los puntos A, B y C se encuentran en un círculo con centro O,  ABC = 50 ,  AB:  CB = 5: 8. Encuentra estos arcos y  AOC. atrás

DEMUESTRA EL TEOREMA A PARTIR DE LA FIGURA. Un ángulo ( ABC), cuyo vértice se encuentra dentro del círculo, se mide por la mitad de la suma de dos arcos (AC y D E), uno de los cuales está contenido entre sus lados y el otro entre las extensiones de los lados. .  ABC = 0,5 ( DE +  AC). D E A C volver

TAREA. Las cuerdas MK y PT se cruzan en el punto A. Encuentre la longitud AM si AR = 2 dm, AT = 24 dm, AM: KA = 3: 4. volver

DEMUESTRA EL TEOREMA A PARTIR DE LA FIGURA. Un ángulo ( ABC), cuyo vértice se encuentra fuera del círculo y cuyos lados se cruzan con el círculo, se mide por la media diferencia de dos arcos (AC y D E) encerrados entre sus lados.  ABC = 0,5 ( DE +  AC). B D E A C volver

TAREA. La distancia desde el punto A al centro de un círculo de 5 cm de radio es 10 cm. Se traza una secante a través del punto A y corta el círculo en los puntos B y C. Encuentre AC si el punto B divide el segmento AC por la mitad. atrás

PRODUCTO DE SEGMENTOS DE ACORDES QUE SE INTERSECTAN. El producto de las longitudes de los segmentos de cuerdas que se cruzan son iguales. Enuncie este teorema con las palabras "si" y "entonces". Ponte a prueba: “Si las cuerdas AB y C D se cruzan en el punto M, entonces AM  BM = CM  D M C B m A D atrás

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS DE ACUERDOS Y SEGUNDOS. El producto de las longitudes de los segmentos secantes es igual al cuadrado de la longitud del segmento tangente. Si se traza una secante a la circunferencia y una tangente por el punto M, y los puntos A y B son los puntos de intersección de la circunferencia con la secante, y C es el punto de tangencia, entonces AM  BM = CM. M S V A volver

PROPIEDADES DE LOS SEGMENTOS TANGENTES. Los segmentos de dos tangentes trazadas a una circunferencia desde un punto exterior a ella son iguales y forman ángulos iguales con una línea recta que conecta este punto con el centro. Demuestra el teorema tú mismo. A O C B atrás

TAREA. Del punto M a una circunferencia de centro O y radio de 8 cm se trazan las tangentes AM y BM (A y B son puntos de tangencia). Encuentra el perímetro del triángulo ABM si el ángulo AOB mide 120 . atrás

UBICACIÓN GEOMÉTRICA DE PUNTOS. El lugar geométrico de puntos es una figura que consta de todos los puntos del plano que tienen una determinada propiedad. Explique por qué una circunferencia es el lugar geométrico de puntos equidistantes de un punto dado. volver O A B

TEOREMA SOBRE LOS PUNTOS GEOMÉTRICOS. El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos puntos dados es una línea recta perpendicular al segmento que conecta estos puntos y pasa por su punto medio. Dado: a; ABa; AO = OB. Demostrar: a - lugar puntos equidistantes de A y B. ¿Se demostrará el teorema si establecemos que cualquier punto de la recta a es equidistante de A y B? volver A B O M a

PERPENDICULAR MEDIA. La mediatriz de un segmento AB es una recta que pasa por el centro de un segmento AB perpendicular a él. Demuestre que el centro del círculo está en bisectriz perpendicular a cualquier cuerda de este círculo. atrás

CÍRCULO CIRCULAR. TRIÁNGULO INSCRITO EN UN CÍRCULO. Una circunferencia se dice circunscrita a un triángulo si pasa por todos sus vértices. En este caso se dice que el triángulo está inscrito en una circunferencia. Demuestre que los lados de un triángulo inscrito son cuerdas del círculo circunscrito a su alrededor. ¿Dónde está el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo? atrás

¿Dónde está el centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo rectángulo? Tarea. atrás O A C B

TAREA. Calcula el radio de un círculo circunscrito por un triángulo de lados 10, 12 y 10 cm hacia atrás.

TANGENTE AL CÍRCULO Una recta que tiene un solo punto común con el círculo se llama tangente al círculo. Punto común círculo y tangente se llama punto de tangencia. ¿Qué se puede decir sobre los lados del triángulo C D E en relación con el círculo? atrás

CÍRCULO INSCRITO EN UN TRIÁNGULO. Se dice que un círculo está inscrito en un triángulo si toca todos sus lados. En este caso, el triángulo se llama circunscrito a una circunferencia. ¿Dónde está el centro del círculo inscrito en el triángulo? El triángulo ABC está circunscrito a una circunferencia. ¿Cuáles de los triángulos AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA son iguales? atrás

TAREA. EN triangulo rectángulo uno de los ángulos mide 30 . Encuentra el lado más pequeño del triángulo si el radio del círculo inscrito mide 4 cm hacia atrás.

CÍRCULO DESCRITO ALREDEDOR DE UN CUADÁGONO. si sobre cuadrilátero convexo puede describir un círculo, entonces la suma del mismo esquinas opuestas igual a dos ángulos rectos. Demuestre:  A +  C = 180  . Formule la afirmación contraria. ¿Alrededor de qué cuadriláteros se puede dibujar un círculo? ¿Por qué? B C D A atrás

TAREA. La diagonal de un trapezoide es c. base grande el ángulo es 30  y el centro del círculo descrito cerca del trapezoide pertenece a esta base. Encuentra el área del trapezoide si lado igual a 2 cm de espalda

CÍRCULO INSCRITO EN UN CUADRILÁTERO Si un círculo se puede inscribir en un cuadrilátero, entonces la suma de sus longitudes lados opuestos son iguales. Demuestre: AB+C D = BC+A D. Formule la afirmación contraria. ¿En qué cuadriláteros se puede inscribir un círculo? B C D A N P K M atrás

TAREA. Encuentra el área trapezoide isósceles circunscrita a un círculo si sus bases miden 2 cm y 8 cm hacia atrás

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¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si estas interesado este trabajo, descargue la versión completa.

Objetivo: aumentar la motivación para aprender; Desarrollar habilidades informáticas, inteligencia y capacidad de trabajo en equipo.

Progreso de la lección

Actualización de conocimientos. Hoy seguiremos hablando de círculos. Permítanme recordarles la definición de círculo: ¿cómo se llama un círculo?

Círculo es una recta que consta de todos los puntos del plano que están a una distancia determinada de un punto del plano, llamado centro del círculo.

La diapositiva muestra un círculo, su centro está marcado: el punto O, se dibujan dos segmentos: OA y SV. El segmento OA conecta el centro del círculo con un punto del círculo. Se llama RADIO (en latín radio - "hablo en una rueda"). El segmento CB conecta dos puntos del círculo y pasa por su centro. Este es el diámetro de un círculo (traducido del griego como "diámetro").

También necesitaremos la definición de cuerda de círculo: este es un segmento que conecta dos puntos en un círculo (en la figura, cuerda DE).

Descubramos la pregunta. sobre la posición relativa de una línea recta y un círculo.

La siguiente pregunta y será la principal: Descubra las propiedades que tienen las cuerdas, secantes y tangentes que se cruzan.

Demostrarás estas propiedades en las lecciones de matemáticas, y nuestra tarea es aprender a aplicar estas propiedades al resolver problemas, ya que se usan ampliamente en los exámenes tanto en la forma del Examen Estatal Unificado como en la forma del Examen Estatal.

Asignación para equipos.

• Dibuja y escribe la propiedad de las cuerdas CM y NF que se cruzan en el punto P.
• Dibuja y escribe las propiedades de la tangente KM y la secante KF.
• Dibuja y escribe las propiedades de las secantes KM y MF.

Usando los datos de la figura, encuentre x. Diapositiva 5–6

Quien sea más rápido tiene más razón. Seguido de discusión y verificación de soluciones a todos los problemas. Quienes respondan ganan puntos de recompensa para su equipo.

Bueno, pasemos ahora a resolver problemas más serios. Presentamos a su atención tres bloques: cuerdas que se cruzan, una tangente y una secante, dos secantes. Analizaremos en detalle la solución a un problema de cada bloque.

(La solución se analiza con registro detallado №4, №7, №12)

2. Taller de resolución de problemas

a) Cuerdas que se cruzan

1. E – punto de intersección de las cuerdas AB y CD. AE=4, AB=10, CE:ED=1:6. Encuentra CD.

Solución:

2. E – punto de intersección de las cuerdas AB y CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Encuentra AE y BE.

Solución:

3. E – punto de intersección de las cuerdas AB y CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Encuentra CE.

Solución:

4. E es el punto de intersección de las cuerdas AB y CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Encuentra CD.

Solución:

b) Tangente y secante

5. Se trazan una tangente y una secante desde un punto a una circunferencia. La tangente es 6, la secante es 18. Determina el segmento interno de la secante.

Solución:

6. Se trazan una tangente y una secante desde un punto a una circunferencia. Encuentra la tangente si se sabe que es menor que el segmento interno de la secante en 4 y mayor que el segmento externo en 4.

Solución:

7. Se trazan una tangente y una secante desde un punto a una circunferencia. Encuentre una secante si se sabe que su segmento interno está relacionado con el segmento externo como 3:1 y la longitud de la tangente es 12.

Solución:

8. Se trazan una tangente y una secante desde un punto a una circunferencia. Encuentra el segmento exterior de la secante si se sabe que su segmento interior es 12 y la longitud de la tangente es 8.

Solución:

9. Una tangente y una secante que salen del mismo punto son iguales a 12 y 24, respectivamente. Determina el radio del círculo si la secante está a 12 del centro.

Solución:

c) Dos secantes

10. Desde un punto, se dibujan dos secantes en un círculo, cuyos segmentos internos son respectivamente iguales a 8 y 16. El segmento externo de la segunda secante es 1 menor que el segmento externo de la primera. Encuentra la longitud de cada secante.

Solución:

11. Se trazan dos secantes desde un punto a una circunferencia. El segmento externo de la primera secante está relacionado con su interno como 1:3. El segmento exterior de la segunda secante es 1 menor que el segmento exterior de la primera y está relacionado con su segmento interior como 1:8. Encuentra la longitud de cada secante.

Solución:

12. A través del punto A, que se encuentra fuera del círculo a una distancia de 7 de su centro, se traza una línea recta que corta el círculo en los puntos B y C. Encuentre la longitud del radio del círculo si AB = 3, BC = 5.

Solución:

13. Desde el punto A, se traza hasta la circunferencia una secante de 12 cm de longitud y una tangente, componente del segmento interno de la secante. Encuentra la longitud de la tangente.

Solución:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Consolidación de conocimientos

Creo que tienes conocimientos suficientes para emprender un corto viaje por los laberintos de tu intelecto visitando las siguientes estaciones:

• ¡Piénsalo!
• ¡Decidir!
• ¡Contéstame!

Puede permanecer en la estación no más de 6 minutos. para cada decisión correcta tareas el equipo recibe puntos de incentivo.

Los equipos reciben hojas de ruta:

Hoja de ruta

Me gustaría decepcionarte resultados de nuestra lección:

Además de nuevos conocimientos, espero que se hayan conocido mejor y hayan adquirido experiencia trabajando en equipo. ¿Crees que los conocimientos adquiridos se aplican en algún lugar de la vida?

El poeta G. Longfellow también fue matemático. Probablemente esta sea la razón por la que las imágenes vívidas que adornan los conceptos matemáticos que utilizó en su novela "Kawang" permiten plasmar algunos teoremas y sus aplicaciones en la vida. Leemos el siguiente problema en la novela:

“El lirio, elevándose un palmo sobre la superficie del agua, bajo una ráfaga de viento fresco tocó la superficie del lago a dos codos de su lugar anterior; En base a esto, fue necesario determinar la profundidad del lago” (1 palmo equivale a 10 pulgadas, 2 codos son 21 pulgadas).

Y este problema se resuelve basándose en la propiedad de las cuerdas que se cruzan. Mire la imagen y quedará claro qué tan profundo es el lago.

Solución:

v.Resumen de la lección

U. Nombra todos los ángulos inscritos resultantes (Fig. 30).

D. CABINA; ABECEDARIO; Sol.

U. Nombra todos los ángulos entre la tangente y las cuerdas.

D.NAB; NBA; KBC; KCB; ACM; IMPERMEABLE.

U. ¿Cuáles de ellos serán iguales y por qué?

D. NAB = NBA; KBC= KCB; MCA = MAC. Cada par de estos ángulos entre la tangente y la cuerda contiene el mismo arco, por lo que son numéricamente iguales a la mitad, es decir, iguales entre sí.

U. ¿Qué ángulos del triángulo son iguales a cada uno de estos tres pares y por qué?

D. NAB = NBA = C; KBC = KCB = A; MCA = MAC = B. Dado que el ángulo entre la tangente y la cuerda es igual al ángulo inscrito subtendido por el arco contenido entre la tangente y la cuerda.

U. ¿Qué puedes decir sobre el tipo de triángulos ANB; BKC; ¿CMA?

D. son isósceles, ya que cada uno de estos triángulos tiene dos ángulos iguales.

VI. Tarea

No. 656, 663 según el libro de texto de Atanasyan.

Aprende la teoría (preparándote para el examen).

Lección 6 – 7

Sujeto. Proporcionalidad de segmentos de cuerdas y secantes.

Objetivos de la lección. Evalúe el conocimiento y la comprensión de los estudiantes sobre el tema: “Ángulo inscrito”; considerar material teórico (sobre cuerdas y secantes); Fortalecer las habilidades para la resolución de problemas.

I. Preguntas de tarea

II. Prueba de conocimientos

Probar la teoría y comprobar los conocimientos de los estudiantes sobre el tema "Ángulo inscrito" tiene el carácter de una prueba. La prueba comprueba no sólo el conocimiento real de las definiciones y propiedades, sino también la comprensión de las conexiones entre conceptos. Por lo tanto, algunas preguntas no se formulan estrictamente de acuerdo con el libro de texto. Se tarda entre 5 y 7 minutos en completarse. Es necesario evaluar el trabajo. Si el estudiante no aprueba, se recomienda evaluar su conocimiento del texto del libro de texto.

La prueba se realiza al final del tema, ya que es necesario resolver todas las conexiones entre el arco, los ángulos centrales e inscritos.

Los estudiantes deben escribir solo los números correspondientes al realizar el examen. Ahorramos tiempo y hacemos pensar a los estudiantes.

Después de la prueba, podrás responder a la pregunta que despertó el interés de la mayoría de los estudiantes.

Prueba (según el libro de texto de L. S. Atanasyan)

Combina el principio y el final de la frase para hacer declaración verdadera. En su respuesta, indique los números de las partes izquierda y derecha de la tarea, por ejemplo: 2-5.

Opción 1

Opción 2

Respuestas: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.

Combina el principio y el final de la frase para hacer una declaración verdadera. En su respuesta, indique los números de las partes izquierda y derecha de la tarea, por ejemplo: 2-5.

Opción 1

Respuestas: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.

Opción 2

Respuestas. 1-4; 2-6; 3-8; 4-10; 5-7; 7-2; 8-3; 9-1; 10-5.

III. Explicación del nuevo material.

Ud. Anotemos el tema de la lección y analicemos el problema utilizando el dibujo terminado de forma oral (Fig.31)

Ud. Diámetro dibujado en un círculo. C.A., acordes BD, NE y AD y tangente CN, que forma un ángulo de 30° con la continuación de la cuerda AD.

Encontrar DBC.

Razonamiento del problema:

1) ¿Cómo se llama el ángulo? DBC, ¿Sobre qué arco descansa?

2) ¿Qué se puede decir del carbón? PODER?

3) propiedad tangente CN.

4) ¿Cómo se puede calcular el ángulo CAN y por qué?

Conclusión: DBC = 60°

Durante nuestro razonamiento, marcamos ángulos iguales en el dibujo, así como ACN = 90 °. A continuación, proponemos considerar triángulos. HSR y AMD. Estos triángulos son similares (puedes dar una pista si no la ves tú mismo).

Para demostrar la semejanza de los triángulos, debemos recordar los signos de semejanza.

Los ángulos iguales ya están marcados en el dibujo. C.B.M. = CANALLA(descanse en un arco). Sólo queda notar los ángulos verticales. :

DIU = AMD, VSM ~ ∆AMD(en dos esquinas).

¿Qué hay que decir sobre los lados correspondientes de triángulos semejantes? Forma una proporción:

BMAM = CMDM = BCAD.

Ud.. ¿Cuáles son los segmentos del círculo que están incluidos en la proporción?

D. Partes de cuerdas y diámetros.

Ud. Es decir, podemos suponer que existe una conexión entre las cuerdas que se cruzan en un círculo.

Formulemos el teorema: si dos cuerdas de un círculo se cruzan, entonces el producto de los segmentos de una cuerda es igual al producto de los segmentos de la otra cuerda.

La demostración se lleva a cabo según el libro de texto de Atanasyan, los estudiantes están preparados para comprender el teorema y escribirlo no debería llevar mucho tiempo.

Creemos que es necesario considerar el teorema de la secante.

Preparamos un dibujo para el teorema y averiguamos qué entendemos por secante de un círculo: una línea recta que corta al círculo en dos puntos.

vamos a escribirlo formulación del teorema: si desde un punto mentiroso

fuera del círculo se dibujan dos secantes, entonces los productos de la secante y sus partes externas son iguales. (O: si se trazan dos secantes desde el punto P al círculo, cortando el círculo en los puntos A, EN y C, D respectivamente,

Eso ArkansasB.P. = = CP- DP.)

Dado: B.P. Y DP- secantes (Fig.32).

Demuestre: BP AP = PD PC.

Prueba:

1. Realicemos una construcción adicional: SolnAD.

BCAD = PC/AP = BP/PD → PC PD = AP BP.

Sigamos considerando la posición relativa de las secantes y el círculo. Si cambiamos este dibujo de tal manera que la secante PB tome la posición de la tangente, entonces nuestro teorema quedará formulado de la siguiente manera: si se trazan una secante y una tangente a este círculo desde un punto fuera del círculo, entonces el cuadrado de la tangente igual al producto secante a su parte exterior.

PAG Entonces, necesitamos demostrar que B.P. 2 = PDPC.

Dibujemos acordes Sol Y B.D.

PMI = ½tuSol(como está inscrito);

RVS = ½tuSol(ángulo entre tangente y cuerda), por lo tanto

BDC = C.B.P..

∆TLP ~ ∆ CPBen dos esquinas.

Anotemos la proporción:

BD/BC = BP/PC =PD/BP, lo que significa B.P.2= ​​ordenador personalP.D.

Es posible, habiendo escrito la formulación del teorema, resolver el problema nº 670 (Atanasyan) y así realizar la demostración del teorema. Dado que el principio de demostración se repite, en los tres teoremas se basa en la similitud, puedes pedirle a uno de los estudiantes que realice la demostración en la pizarra.

Problema 1

KL y MN son secantes (Fig. No. 34). ¿Qué propiedad se puede formular? (Discutimos y preparamos un dibujo, resolvemos un problema basado en este dibujo).

Acordes MN y KL se cruzan en el punto C. Determinar la longitud del segmentoC.L., Sikc= 3 cm, MS = 3 cm; CC = 9 cm. tema " Central Y inscrito anglos". Resumir y... Hoy tenemos la final. lección Por tema: "Central Y inscrito anglos"Repetimos, generalizamos, presentamos...