Conferencia: “Métodos para la resolución de ecuaciones exponenciales”.

1 . Ecuaciones exponenciales.

Las ecuaciones que contienen incógnitas en exponentes se llaman ecuaciones exponenciales. La más simple de ellas es la ecuación ax = b, donde a > 0, a ≠ 1.

1) en segundo< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 funcion exponencial, no tiene solución.

2) Para b > 0, usando la monotonicidad de la función y el teorema de la raíz, la ecuación tiene una raíz única. Para encontrarlo, b debe representarse en la forma b = aс, аx = bс ó x = c o x = logab.

Ecuaciones exponenciales por transformaciones algebraicas Conducir a ecuación estándar los cuales se resuelven mediante los siguientes métodos:

1) método de reducción a una base;

2) método de evaluación;

3) método gráfico;

4) método de introducción de nuevas variables;

5) método de factorización;

6) indicativo – ecuaciones de potencia;

7) demostrativo con un parámetro.

2 . Método de reducción a una base.

El método se basa en siguiente propiedad grados: si dos grados son iguales y sus bases son iguales, entonces sus exponentes son iguales, es decir, debemos intentar reducir la ecuación a la forma

Ejemplos. Resuelve la ecuación:

1 . 3x = 81;

Representemos el lado derecho de la ecuación en la forma 81 = 34 y escribamos la ecuación equivalente a la original 3 x = 34; x = 4. Respuesta: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">y pasemos a la ecuación para exponentes 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Respuesta: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" ancho="105" alto="47">

Observa que los números 0.2, 0.04, √5 y 25 representan potencias de 5. Aprovechemos esto y transformemos la ecuación original de la siguiente manera:

, de donde 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, de donde encontramos la solución x = -1. Respuesta 1.

5. 3x = 5. Por definición de logaritmo x = log35. Respuesta: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Reescribamos la ecuación en la forma 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, es decir,png" width="181" height="49 src="> Por lo tanto x – 4 =0, x = 4. Respuesta: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Usando las propiedades de las potencias, escribimos la ecuación en la forma 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 luego 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, es decir, x+1 = 2, x =1. Respuesta 1.

Banco problemático número 1.

Resuelve la ecuación:

Prueba número 1.

Prueba número 2

3 Método de evaluación.

Teorema de la raíz: si la función f(x) aumenta (disminuye) en el intervalo I, el número a es cualquier valor tomado por f en este intervalo, entonces la ecuación f(x) = a tiene una raíz única en el intervalo I.

Al resolver ecuaciones utilizando el método de estimación, se utilizan este teorema y las propiedades de monotonicidad de la función.

Ejemplos. Resolver ecuaciones: 1. 4x = 5-x.

Solución. Reescribamos la ecuación como 4x +x = 5.

1. Si x = 1, entonces 41+1 = 5, 5 = 5 es verdadero, lo que significa que 1 es la raíz de la ecuación.

Función f(x) = 4x – aumenta en R, y g(x) = x – aumenta en R => h(x)= f(x)+g(x) aumenta en R, como suma de funciones crecientes, entonces x = 1 es la única raíz de la ecuación 4x = 5 – x. Respuesta 1.

2.

Solución. Reescribamos la ecuación en la forma .

1. si x = -1, entonces , 3 = 3 es verdadero, lo que significa que x = -1 es la raíz de la ecuación.

2. demostrar que es el único.

3. Función f(x) = - disminuye en R, y g(x) = - x – disminuye en R=> h(x) = f(x)+g(x) – disminuye en R, como la suma de funciones decrecientes. Esto significa que, según el teorema de la raíz, x = -1 es la única raíz de la ecuación. Respuesta 1.

Banco problemático número 2. Resuelve la ecuación

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Método de introducción de nuevas variables.

El método se describe en el párrafo 2.1. La introducción de una nueva variable (sustitución) suele realizarse tras transformaciones (simplificación) de los términos de la ecuación. Veamos ejemplos.

Ejemplos. R Resuelve la ecuación: 1. .

Reescribamos la ecuación de otra manera: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Solución. Reescribamos la ecuación de manera diferente:

Designemos https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - no adecuado.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" ancho="268" alto="51"> - ecuación irracional. Notamos eso

La solución de la ecuación es x = 2,5 ≤ 4, lo que significa que 2,5 es la raíz de la ecuación. Respuesta: 2.5.

Solución. Reescribamos la ecuación en la forma y dividamos ambos lados por 56x+6 ≠ 0. Obtenemos la ecuación

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" ancho="118" alto="56">

Las raíces de la ecuación cuadrática son t1 = 1 y t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Solución . Reescribamos la ecuación en la forma

y nótese que es una ecuación homogénea de segundo grado.

Dividimos la ecuación por 42x y obtenemos

Reemplacemos https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Respuesta: 0; 0,5.

Banco problemático número 3. Resuelve la ecuación

b)

GRAMO)

Prueba número 3 con una selección de respuestas. Nivel mínimo.

Prueba número 4 con una selección de respuestas. Nivel general.

5. Método de factorización.

1. Resuelve la ecuación: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solución..png" width="169" height="69"> , desde donde

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Solución. Pongamos 6x entre paréntesis en el lado izquierdo de la ecuación y 2x en el lado derecho. Obtenemos la ecuación 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Como 2x >0 para todo x, podemos dividir ambos lados de esta ecuación por 2x sin temor a perder soluciones. Obtenemos 3x = 1ó x = 0.

3.

Solución. Resolvamos la ecuación usando el método de factorización.

Seleccionemos el cuadrado del binomio.

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" ancho="500" alto="181">

x = -2 es la raíz de la ecuación.

Ecuación x + 1 = 0 " estilo="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Prueba número 6 Nivel general.

6. Exponencial – ecuaciones de potencia.

Adyacentes a las ecuaciones exponenciales están las llamadas ecuaciones de potencia exponencial, es decir, ecuaciones de la forma (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Si se sabe que f(x)>0 y f(x) ≠ 1, entonces la ecuación, al igual que la exponencial, se resuelve igualando los exponentes g(x) = f(x).

Si la condición no excluye la posibilidad de que f(x)=0 y f(x)=1, entonces debemos considerar estos casos al resolver una ecuación exponencial.

1..png" ancho="182" alto="116 src=">

2.

Solución. x2 +2x-8 – tiene sentido para cualquier x, ya que es un polinomio, lo que significa que la ecuación es equivalente a la totalidad

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" ancho="137" alto="35">

b)

7. Ecuaciones exponenciales con parámetros.

1. ¿Para qué valores del parámetro p tiene la ecuación 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) única decisión?

Solución. Introduzcamos el reemplazo 2x = t, t > 0, entonces la ecuación (1) tomará la forma t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminante de la ecuación (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

La ecuación (1) tiene una solución única si la ecuación (2) tiene una raíz positiva. Esto es posible en los siguientes casos.

1. Si D = 0, es decir, p = 1, entonces la ecuación (2) tomará la forma t2 – 2t + 1 = 0, por lo tanto t = 1, por lo tanto, la ecuación (1) tiene una solución única x = 0.

2. Si p1, entonces 9(p – 1)2 > 0, entonces la ecuación (2) tiene dos raíces diferentes t1 = p, t2 = 4p – 3. Las condiciones del problema se satisfacen mediante un conjunto de sistemas

Sustituyendo t1 y t2 en los sistemas, tenemos

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Solución. Dejar entonces la ecuación (3) tomará la forma t2 – 6t – a = 0. (4)

Encontremos los valores del parámetro a para los cuales al menos una raíz de la ecuación (4) satisface la condición t > 0.

Introduzcamos la función f(t) = t2 – 6t – a. Son posibles los siguientes casos.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} trinomio cuadrático pie);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Caso 2. La ecuación (4) tiene una solución positiva única si

D = 0, si a = – 9, entonces la ecuación (4) tomará la forma (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Caso 3. La ecuación (4) tiene dos raíces, pero una de ellas no satisface la desigualdad t > 0. Esto es posible si

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Por lo tanto, para a 0, la ecuación (4) tiene una única raíz positiva . Entonces la ecuación (3) tiene una solución única

Cuando un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

si un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
si a = – 9, entonces x = – 1;

si a  0, entonces

Comparemos los métodos para resolver las ecuaciones (1) y (3). Tenga en cuenta que al resolver la ecuación (1) se redujo a una ecuación cuadrática, cuyo discriminante es un cuadrado perfecto; Por lo tanto, las raíces de la ecuación (2) se calcularon inmediatamente utilizando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática y luego se sacaron conclusiones con respecto a estas raíces. La ecuación (3) se ha reducido a una ecuación cuadrática (4), cuyo discriminante no es un cuadrado perfecto, por lo tanto, al resolver la ecuación (3), es recomendable utilizar teoremas sobre la ubicación de las raíces de un trinomio cuadrático. y un modelo gráfico. Tenga en cuenta que la ecuación (4) se puede resolver utilizando el teorema de Vieta.

Resolvamos ecuaciones más complejas.

Problema 3: Resuelve la ecuación

Solución. ODZ: x1, x2.

Introduzcamos un reemplazo. Sea 2x = t, t > 0, entonces como resultado de las transformaciones la ecuación tomará la forma t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Encontremos los valores de a para los cuales al menos una raíz de la ecuación (*) satisface la condición t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Respuesta: si a > – 13, a  11, a  5, entonces si a – 13,

a = 11, a = 5, entonces no hay raíces.

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25. Yakimanskaya – aprendizaje orientado En la escuela.

26. Los límites trabajan en clase. M. Conocimiento, 1975

Equipo:

• computadora,
• proyector multimedia,
• pantalla,
• Anexo 1(Presentación de diapositivas de PowerPoint) “Métodos para resolver ecuaciones exponenciales”
• Apéndice 2(Resolver una ecuación como “Tres diferentes bases grados” en Word)
• Apéndice 3(folleto en Word para trabajo practico).
• Apéndice 4(folleto en Word para la tarea).

durante las clases

• mensaje del tema de la lección (escrito en la pizarra),
• la necesidad de una lección general en los grados 10-11:

La etapa de preparación de los estudiantes para el aprendizaje activo.

Repetición

Definición.

Una ecuación exponencial es una ecuación que contiene una variable con un exponente (respuestas del estudiante).

Nota del profesor. Las ecuaciones exponenciales pertenecen a la clase de ecuaciones trascendentales. Este nombre impronunciable sugiere que tales ecuaciones, en general, no pueden resolverse en forma de fórmulas.

Sólo pueden resolverse aproximadamente mediante métodos numéricos en computadoras. Pero ¿qué pasa con las tareas de examen? El truco consiste en que el examinador encuadre el problema de tal manera que permita una solución analítica. En otras palabras, puedes (¡y debes!) hacer lo siguiente transformaciones de identidad, que reducen esta ecuación exponencial a la ecuación exponencial más simple. Esta ecuación más simple se llama: la ecuación exponencial más simple. esta siendo resuelto por logaritmo.

La situación de resolver una ecuación exponencial recuerda a viajar a través de un laberinto, que fue inventado especialmente por el autor del problema. De estos argumentos tan generales se derivan recomendaciones muy específicas.

1. No solo conozca activamente todas las identidades exponenciales, sino que también encuentre los conjuntos de valores de variables sobre los cuales se definen estas identidades, de modo que al utilizar estas identidades no adquiera raíces innecesarias y, más aún, no pierda soluciones. a la ecuación.

2. Conocer activamente todas las identidades exponenciales.

3. Realizar de forma clara, detallada y sin errores transformaciones matemáticas de ecuaciones (transferir términos de una parte de la ecuación a otra, sin olvidar cambiar de signo, llevar fracciones a un denominador común, etc.). A esto se le llama cultura matemática. Al mismo tiempo, los cálculos en sí deben realizarse automáticamente a mano y el cabezal debe pensar en el hilo conductor general de la solución. Las transformaciones deben realizarse con el mayor cuidado y detalle posible. Sólo así se garantizará una decisión correcta y sin errores. Y recuerde: un pequeño error aritmético puede simplemente crear una ecuación trascendental que, en principio, no puede resolverse analíticamente. Resulta que te has perdido y has chocado contra la pared del laberinto.

4. Conocer métodos para resolver problemas (es decir, conocer todos los caminos a través del laberinto de soluciones). Para navegar correctamente en cada etapa, tendrás que (¡consciente o intuitivamente!):

• definir tipo de ecuación;
• recuerda el tipo correspondiente método de solución tareas.

La etapa de generalización y sistematización del material estudiado.

El profesor, junto con los estudiantes utilizando una computadora, realiza una revisión de todo tipo de ecuaciones exponenciales y métodos para resolverlas, compila esquema general. (Entrenamiento usado programa de computadora L.Ya. Borevsky "Curso de Matemáticas - 2000", el autor de la presentación de PowerPoint es T.N. Kuptsova.)

Arroz. 1. La figura muestra un diagrama general de todos los tipos de ecuaciones exponenciales.

Como se puede ver en este diagrama, la estrategia para resolver ecuaciones exponenciales es reducir la ecuación exponencial dada a la ecuación, en primer lugar, con las mismas bases de grados , y luego – y con los mismos indicadores de grado.

Habiendo recibido una ecuación con las mismas bases y exponentes, reemplaza este exponente con una nueva variable y obtiene una ecuación algebraica simple (generalmente fraccionaria-racional o cuadrática) con respecto a esta nueva variable.

Después de resolver esta ecuación y realizar la sustitución inversa, se obtiene un conjunto de ecuaciones exponenciales simples que se pueden resolver en vista general usando logaritmo.

Destacan las ecuaciones en las que sólo se encuentran productos de potencias (parciales). Usando identidades exponenciales, es posible reducir estas ecuaciones inmediatamente a una base, en particular, a la ecuación exponencial más simple.

Veamos cómo resolver una ecuación exponencial con tres bases diferentes.

(Si el profesor tiene el programa informático educativo de L.Ya. Borevsky "Curso de Matemáticas - 2000", entonces, naturalmente, trabajamos con el disco; si no, se puede imprimir este tipo de ecuación para cada escritorio, mostrado abajo.)

Arroz. 2. Plan para resolver la ecuación.

Arroz. 3. Empieza a resolver la ecuación.

Arroz. 4. Termina de resolver la ecuación.

haciendo trabajo practico

Determina el tipo de ecuación y resuélvela.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Resumiendo la lección

Calificación de la lección.

Fin de la lección

para el maestro

Practica el esquema de respuestas.

Ejercicio: de la lista de ecuaciones, seleccione ecuaciones del tipo especificado (ingrese el número de respuesta en la tabla):

1. Tres bases de grado diferentes
2. Dos bases diferentes - exponentes diferentes
3. Bases de potencias - potencias de un número.
4. Mismas bases – diferentes exponentes
5. Las mismas bases de títulos - los mismos indicadores de títulos
6. Producto de poderes
7. Dos bases de grado diferentes: los mismos indicadores
8. Protozoos ecuaciones exponenciales

1. (producto de potencias)

2. (mismas bases – diferentes exponentes)

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Primero, recordemos fórmulas básicas grados y sus propiedades.

producto de un numero a ocurre sobre sí mismo n veces, podemos escribir esta expresión como a a … a=a n

1. un 0 = 1 (un ≠ 0)

3. una norte una metro = una norte + metro

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. un norte / un metro = un norte - metro

Ecuaciones de potencia o exponenciales– son ecuaciones en las que las variables están en potencias (o exponentes) y la base es un número.

Ejemplos de ecuaciones exponenciales:

En este ejemplo, el número 6 es la base, siempre está abajo y la variable; X grado o indicador.

Demos más ejemplos de ecuaciones exponenciales.
2×5=10
16x - 4x - 6=0

Ahora veamos cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales.

Tomemos una ecuación simple:

2 x = 2 3

Este ejemplo se puede resolver incluso en tu cabeza. Se puede ver que x=3. Después de todo, para que la izquierda y parte derecha eran iguales, necesitas reemplazar x con el número 3.
Ahora veamos cómo formalizar esta decisión:

2 x = 2 3
x = 3

Para resolver dicha ecuación, eliminamos motivos idénticos(es decir, dos) y anotó lo que quedaba, estos son grados. Obtuvimos la respuesta que estábamos buscando.

Ahora resumamos nuestra decisión.

Algoritmo para resolver la ecuación exponencial:
1. Necesidad de comprobar lo mismo si la ecuación tiene bases a la derecha y a la izquierda. Si los motivos no son los mismos buscamos soluciones este ejemplo.
2. Después de que las bases sean iguales, equiparar grados y resuelve la nueva ecuación resultante.

Ahora veamos algunos ejemplos:

Comencemos con algo simple.

Las bases de los lados izquierdo y derecho son iguales al número 2, lo que significa que podemos descartar la base e igualar sus grados.

x+2=4 Se obtiene la ecuación más simple.
x=4 – 2
x=2
Respuesta:x=2

EN siguiente ejemplo Se puede observar que las bases son diferentes: 3 y 9.

3 3x - 9x+8 = 0

Primero, movemos el nueve hacia el lado derecho y obtenemos:

Ahora necesitas hacer las mismas bases. Sabemos que 9=3 2. Usemos la fórmula de potencia (an) m = a nm.

3 3x = (3 2)x+8

Obtenemos 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 ahora puedes ver eso en la izquierda y lado derecho las bases son iguales e iguales a tres, lo que significa que podemos descartarlas e igualar los grados.

3x=2x+16 obtenemos la ecuación más simple
3x - 2x=16
x=16
Respuesta:x=16.

Veamos el siguiente ejemplo:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

En primer lugar, nos fijamos en las bases, bases dos y cuatro. Y necesitamos que sean iguales. Transformamos los cuatro usando la fórmula (an) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2 x

Y también usamos una fórmula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Suma a la ecuación:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dimos un ejemplo por las mismas razones. Pero nos molestan otros números 10 y 24. ¿Qué hacer con ellos? Si miras de cerca puedes ver que en el lado izquierdo tenemos 2 2x repetido, aquí está la respuesta: podemos poner 2 2x entre paréntesis:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calculemos la expresión entre paréntesis:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividimos toda la ecuación por 6:

Imaginemos 4=2 2:

2 2x = 2 2 bases son iguales, las descartamos e igualamos los grados.
2x = 2 es la ecuación más simple. lo dividimos por 2 y obtenemos
x = 1
Respuesta: x = 1.

Resolvamos la ecuación:

9x – 12*3x +27= 0

Convirtamos:
9x = (3 2)x = 3 2x

Obtenemos la ecuación:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Nuestras bases son iguales, iguales a tres. En este ejemplo, puedes ver que las tres primeras tienen un grado dos veces (2x) que la segunda (solo x). En este caso puedes resolver método de reemplazo. Reemplazamos el número con el grado más pequeño:

Entonces 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Reemplazamos todas las potencias x en la ecuación con t:

t 2 - 12t+27 = 0
Obtenemos ecuación cuadrática. Resolviendo por el discriminante obtenemos:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Volviendo a la variable X.

Tome t 1:
t 1 = 9 = 3x

Eso es,

3 x = 9
3 x = 3 2
x1 = 2

Se encontró una raíz. Buscamos el segundo del t 2:
t 2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x2 = 1
Respuesta: x 1 = 2; x2 = 1.

En la web podrás consultar cualquier duda que tengas en el apartado AYUDA A DECIDIR, seguro que te responderemos.

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Resolver ecuaciones exponenciales. Ejemplos.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Qué ha pasado ecuación exponencial? Esta es una ecuación en la que las incógnitas (x) y las expresiones con ellas están en indicadores algunos grados. ¡Y sólo allí! Es importante.

Ahí tienes ejemplos de ecuaciones exponenciales:

3x2x = 8x+3

¡Nota! En las bases de grados (abajo) - sólo números. EN indicadores grados (arriba): una amplia variedad de expresiones con una X. Si, de repente, aparece una X en la ecuación en algún lugar que no sea un indicador, por ejemplo:

esta será una ecuación tipo mixto. Estas ecuaciones no tienen reglas claras para resolverlas. No los consideraremos por ahora. Aquí nos ocuparemos resolver ecuaciones exponenciales en su forma más pura.

De hecho, incluso las ecuaciones exponenciales puras no siempre se resuelven con claridad. Pero hay ciertos tipos de ecuaciones exponenciales que pueden y deben resolverse. Estos son los tipos que consideraremos.

Resolver ecuaciones exponenciales simples.

Primero, resolvamos algo muy básico. Por ejemplo:

Incluso sin ninguna teoría, por simple selección queda claro que x = 2. Nada más, ¿verdad? Ningún otro valor de X funciona. Ahora veamos la solución a esta complicada ecuación exponencial:

¿Qué hemos hecho? De hecho, simplemente tiramos las mismas bases (triples). Completamente descartado. ¡Y la buena noticia es que hemos dado en el clavo!

De hecho, si en una ecuación exponencial hay izquierda y derecha lo mismo números en cualquier potencia, estos números se pueden eliminar y los exponentes se pueden igualar. Las matemáticas lo permiten. Queda por resolver una ecuación mucho más simple. Genial, ¿verdad?)

Sin embargo, recordemos firmemente: Puede eliminar bases sólo cuando los números de base de la izquierda y la derecha estén en espléndido aislamiento! Sin vecinos ni coeficientes. Digamos en las ecuaciones:

2 x +2 x +1 = 2 3, o

¡Los dos no se pueden eliminar!

Bueno, hemos dominado lo más importante. Cómo salir del mal expresiones demostrativas a ecuaciones más simples.

"¡Esos son los tiempos!" - tu dices. “¿¡Quién daría una lección tan primitiva sobre pruebas y exámenes!?”

Tengo que estar de acuerdo. Nadie lo hará. Pero ahora sabes hacia dónde apuntar al resolver ejemplos complicados. Debe llevarse al formulario donde esté el mismo número base a la izquierda y a la derecha. Entonces todo será más fácil. En realidad, este es un clásico de las matemáticas. Tomamos el ejemplo original y lo transformamos al deseado. a nosotros mente. Por supuesto, según las reglas de las matemáticas.

Veamos ejemplos que requieren un esfuerzo adicional para reducirlos a lo más simple. llamémoslos ecuaciones exponenciales simples.

Resolver ecuaciones exponenciales simples. Ejemplos.

Al resolver ecuaciones exponenciales, las reglas principales son acciones con grados. Sin conocimiento de estas acciones nada funcionará.

A las acciones con grados hay que añadir la observación personal y el ingenio. Necesitamos mismos números-¿jardines? Por eso los buscamos en el ejemplo de forma explícita o cifrada.

Veamos cómo se hace esto en la práctica.

Pongamos un ejemplo:

2 2x - 8x+1 = 0

La primera mirada atenta es hacia jardines. Ellos... ¡Son diferentes! Dos y ocho. Pero es demasiado pronto para desanimarse. Es hora de recordar eso

Dos y ocho son parientes de grado.) Es muy posible escribir:

8x+1 = (2 3)x+1

Si recordamos la fórmula de operaciones con grados:

(un norte) m = un norte m,

esto funciona genial:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Ejemplo original empezó a verse así:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

transferimos 2 3 (x+1) a la derecha (¡nadie ha cancelado las operaciones elementales de matemáticas!), obtenemos:

2 2x = 2 3(x+1)

Eso es prácticamente todo. Quitando las bases:

Resolvemos este monstruo y obtenemos

Esta es la respuesta correcta.

En este ejemplo, conocer las potencias de dos nos ayudó. Nosotros identificado en ocho hay un dos cifrado. Esta técnica (cifrado de puntos comunes bajo diferentes numeros) es una técnica muy popular en ecuaciones exponenciales. Sí, y también en logaritmos. Debes poder reconocer potencias de otros números en los números. Esto es extremadamente importante para resolver ecuaciones exponenciales.

El hecho es que elevar cualquier número a cualquier potencia no es un problema. Multiplica, incluso en papel, y listo. Por ejemplo, cualquiera puede elevar 3 a la quinta potencia. 243 funcionará si conoces la tabla de multiplicar.) Pero en ecuaciones exponenciales, mucho más a menudo no es necesario elevar a una potencia, sino viceversa... Descúbrelo qué número en qué grado está escondido detrás del número 243, o, digamos, 343... Ninguna calculadora te ayudará aquí.

Necesitas conocer las potencias de algunos números de vista, ¿no? ¿Vamos a practicar?

Determina qué potencias y qué números son los números:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Respuestas (¡en un lío, por supuesto!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Si miras de cerca puedes ver hecho extraño. ¡Hay muchas más respuestas que tareas! Bueno, sucede... Por ejemplo, 2 6, 4 3, 8 2, eso es todo 64.

Supongamos que ha tomado nota de la información sobre la familiaridad con los números). Permítame recordarle también que para resolver ecuaciones exponenciales usamos todo existencias conocimiento matemático. Incluidos los de clases junior y media. No fuiste directamente a la escuela secundaria, ¿verdad?)

Por ejemplo, al resolver ecuaciones exponenciales, suele ser útil poner el factor común entre paréntesis (¡hola al séptimo grado!). Veamos un ejemplo:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Y de nuevo, ¡el primer vistazo está en los cimientos! Las bases de los grados son diferentes... Tres y nueve. Pero queremos que sean iguales. Pues en este caso el deseo se cumple por completo!) Porque:

9x = (3 2)x = 3 2x

Utilizando las mismas reglas para tratar los títulos:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Eso es genial, puedes escribirlo:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Dimos un ejemplo por las mismas razones. Entonces, ¿qué sigue? No se pueden tirar tres... ¿Callejón sin salida?

De nada. Recuerde la regla de decisión más universal y poderosa todos tareas de matematicas:

Si no sabes lo que necesitas, ¡haz lo que puedas!

Mira, todo saldrá bien).

¿Qué hay en esta ecuación exponencial? Poder¿hacer? Sí, en el lado izquierdo ¡solo pide que lo saquen de paréntesis! El multiplicador general de 3 2x así lo indica claramente. Probemos y luego veremos:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

¡El ejemplo es cada vez mejor!

Recordemos que para eliminar motivos necesitamos un grado puro, sin ningún coeficiente. El número 70 nos molesta. Entonces dividimos ambos lados de la ecuación entre 70 y obtenemos:

¡Ups! ¡Todo mejoró!

Esta es la respuesta final.

Sucede, sin embargo, que se consigue rodar sobre las mismas bases, pero su eliminación no es posible. Esto sucede en otros tipos de ecuaciones exponenciales. Dominemos este tipo.

Reemplazo de una variable al resolver ecuaciones exponenciales. Ejemplos.

Resolvamos la ecuación:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Primero, como siempre. Pasemos a una base. A un dos.

4 x = (2 2) x = 2 2 x

Obtenemos la ecuación:

2 2x - 3 2x +2 = 0

Y aquí es donde nos quedamos. Las técnicas anteriores no funcionarán, se mire como se mire. Tendremos que conseguir otro poderoso y método universal. Se llama reemplazo de variables.

La esencia del método es sorprendentemente sencilla. En lugar de un icono complejo (en nuestro caso, 2 x), escribimos otro más simple (por ejemplo, t). ¡Un reemplazo aparentemente sin sentido conduce a resultados sorprendentes!) ¡Todo se vuelve claro y comprensible!

Entonces deja

Entonces 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

En nuestra ecuación reemplazamos todas las potencias con x por t:

Bueno, ¿te das cuenta?) ¿Ya olvidaste las ecuaciones cuadráticas? Resolviendo por el discriminante obtenemos:

Lo principal aquí es no parar, como sucede... Esta aún no es la respuesta, necesitamos x, no t. Volvamos a las X, es decir. hacemos un reemplazo inverso. Primero para t 1:

Eso es,

Se encontró una raíz. Buscamos el segundo del t 2:

Hm... 2 x a la izquierda, 1 a la derecha... ¿Problema? ¡De nada! Basta recordar (de operaciones con poderes, sí...) que una unidad es cualquier número elevado a la potencia cero. Cualquier. Lo que sea necesario, lo instalaremos. Necesitamos un dos. Medio:

Eso es todo ahora. Tenemos 2 raíces:

Esta es la respuesta.

En resolver ecuaciones exponenciales Al final a veces terminas con algún tipo de expresión incómoda. Tipo:

De siete a dos hasta grado simple No funciona. No son parientes... ¿Cómo podemos serlo nosotros? Alguien puede estar confundido... Pero la persona que leyó en este sitio el tema “¿Qué es un logaritmo?” , simplemente sonríe moderadamente y escribe con mano firme la respuesta absolutamente correcta:

No puede haber tal respuesta en las tareas "B" del Examen Estatal Unificado. Allí se requiere un número específico. Pero en las tareas "C" es fácil.

Esta lección proporciona ejemplos de cómo resolver las ecuaciones exponenciales más comunes. Destaquemos los puntos principales.

Consejo practico:

1. En primer lugar, analizamos jardines grados. Nos preguntamos si es posible hacerlos. idéntico. Intentemos hacer esto usando activamente acciones con grados.¡No olvides que los números sin x también se pueden convertir a potencias!

2. Intentamos llevar la ecuación exponencial a la forma cuando a la izquierda y a la derecha hay lo mismo números en cualquier potencia. Usamos acciones con grados Y factorización. Lo que se puede contar en números, lo contamos.

3. Si el segundo consejo no funcionó, intente utilizar el reemplazo de variables. El resultado puede ser una ecuación que se pueda resolver fácilmente. Más a menudo - cuadrado. O fraccionario, que también se reduce al cuadrado.

4. Para resolver con éxito ecuaciones exponenciales, necesitas conocer de vista las potencias de algunos números.

Como de costumbre, al final de la lección se te invita a decidir un poco). Por tu cuenta. De lo simple a lo complejo.

Resolver ecuaciones exponenciales:

Más difícil:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

Encuentra el producto de raíces:

2 3 + 2 x = 9

¿Sucedió?

Bien entonces el ejemplo más complicado(decidido, sin embargo, en la mente...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

¿Qué es más interesante? Entonces aquí tienes un mal ejemplo. Bastante atraído por mayor dificultad. Déjame insinuar que en este ejemplo, lo que te salva es el ingenio y la regla más universal para resolver todos los problemas matemáticos).

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Un ejemplo más sencillo, para relajarse):

9 2 x - 4 3 x = 0

Y de postre. Encuentra la suma de las raíces de la ecuación:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

¡Sí Sí! ¡Esta es una ecuación de tipo mixto! Lo cual no consideramos en esta lección. ¡Por qué considerarlos, es necesario resolverlos!) Esta lección es suficiente para resolver la ecuación. Bueno, necesitas ingenio... Y que séptimo grado te ayude (¡esto es una pista!).

Respuestas (en desorden, separadas por punto y coma):

1; 2; 3; 4; no hay soluciones; 2; -2; -5; 4; 0.

¿Está todo bien? Excelente.

¿Hay un problema? ¡Ningún problema! En la Sección Especial 555, todas estas ecuaciones exponenciales se resuelven con explicaciones detalladas. Qué, por qué y por qué. Y, por supuesto, hay información adicional valiosa sobre cómo trabajar con todo tipo de ecuaciones exponenciales. No sólo estos.)

Una última pregunta divertida a considerar. En esta lección trabajamos con ecuaciones exponenciales. ¿Por qué no dije ni una palabra sobre ODZ aquí? En ecuaciones, esto es algo muy importante, por cierto...

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Primer nivel

Ecuaciones exponenciales. Guía completa (2019)

¡Hola! Hoy discutiremos contigo cómo resolver ecuaciones que pueden ser tanto elementales (y espero que después de leer este artículo, casi todas lo sean para ti), como las que se suelen dar “para completar”. Al parecer para finalmente quedarse dormido. Pero intentaré hacer todo lo posible para que ahora no te metas en problemas ante este tipo de ecuaciones. Ya no me andaré con rodeos, pero lo abriré enseguida. pequeño secreto: hoy estudiaremos ecuaciones exponenciales.

Antes de pasar a analizar las formas de resolverlas, les describiré inmediatamente una serie de preguntas (bastante pequeñas) que deberían repetir antes de lanzarse a atacar este tema. Entonces, para conseguir mejor resultado, Por favor, repetir:

1. Propiedades y
2. Solución y ecuaciones

¿Repetido? ¡Asombroso! Entonces no te resultará difícil darte cuenta de que la raíz de la ecuación es un número. ¿Entiendes exactamente cómo lo hice? ¿Es verdad? Entonces continuemos. Ahora responde mi pregunta, ¿qué es igual a la tercera potencia? Estás absolutamente en lo correcto: . ¿Qué potencia de dos es ocho? Así es, ¡el tercero! Porque. Bueno, ahora intentemos resolver el siguiente problema: déjame multiplicar el número por sí mismo una vez y obtener el resultado. La pregunta es ¿cuántas veces me multipliqué? Por supuesto, puedes comprobar esto directamente:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( alinear)

Entonces puedes concluir que me multipliqué por mí mismo veces. ¿De qué otra manera puedes comprobar esto? He aquí cómo: directamente por definición de título: . Pero debes admitir que si te preguntara cuántas veces hay que multiplicar dos por sí mismo para obtener, digamos, me dirías: no me engañaré multiplicando por sí mismo hasta que me ponga azul. Y tendría toda la razón. Porque ¿cómo puedes anota todos los pasos brevemente(y la brevedad es hermana del talento)

donde - estos son los mismos "veces", cuando se multiplica por sí mismo.

Creo que sabes (y si no lo sabes, ¡urgentemente, muy urgentemente repite los grados!) que entonces mi problema quedará escrito en la forma:

¿Cómo se puede concluir razonablemente que:

Entonces, sin que nadie me diera cuenta, escribí lo más simple. ecuación exponencial:

Y hasta lo encontré raíz. ¿No crees que todo es completamente trivial? Pienso exactamente lo mismo. Aquí tienes otro ejemplo:

¿Pero qué hacer? Después de todo, no se puede escribir como una potencia de un número (razonable). No nos desesperemos y tengamos en cuenta que ambos números se expresan perfectamente mediante la potencia del mismo número. ¿Cuál? Bien: . Luego la ecuación original se transforma a la forma:

Donde, como ya entendiste, . No nos demoremos más y anótelo. definición:

En nuestro caso: .

Estas ecuaciones se resuelven reduciéndolas a la forma:

seguido de resolver la ecuación

De hecho, hicimos esto en el ejemplo anterior: obtuvimos lo siguiente: Y resolvimos la ecuación más simple.

Parece nada complicado, ¿verdad? Practiquemos primero con los más simples. ejemplos:

Nuevamente vemos que los lados derecho e izquierdo de la ecuación deben representarse como potencias de un número. Es cierto que a la izquierda esto ya se ha hecho, pero a la derecha hay un número. Pero está bien, porque mi ecuación es milagrosamente se transformará en esto:

¿Qué tuve que usar aquí? ¿Qué regla? Regla de "grados dentro de grados" que dice:

Y si:

Antes de responder a esta pregunta, completemos la siguiente tabla:

Es fácil para nosotros notar que cuanto menos, más menos valor, pero sin embargo, todos estos valores Por encima de cero. ¡¡¡Y SIEMPRE SERÁ ASÍ!!! ¡¡La misma propiedad es válida PARA CUALQUIER BASE CON CUALQUIER INDICADOR!! (para cualquiera y). Entonces, ¿qué podemos concluir sobre la ecuación? Esto es lo que es: no tiene raíces! Como cualquier ecuación no tiene raíces. Ahora practiquemos y Resolvamos ejemplos simples:

Vamos a revisar:

1. Aquí no se le exigirá nada más que el conocimiento de las propiedades de los grados (que, por cierto, ¡le pedí que repitiera!). Como regla general, todo conduce a la base más pequeña: , . Entonces la ecuación original será equivalente a la siguiente: Todo lo que necesito es usar las propiedades de las potencias: Al multiplicar números con las mismas bases se suman las potencias y al dividir se restan. Entonces obtendré: Bueno, ahora con conciencia limpia Pasaré de una ecuación exponencial a una lineal: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(alinear)

2. En el segundo ejemplo, debemos tener más cuidado: el problema es que en el lado izquierdo no podemos representar el mismo número como una potencia. En este caso a veces es útil representar números como producto de potencias con diferentes bases, pero los mismos exponentes:

El lado izquierdo de la ecuación se verá así: ¿Qué nos dio esto? Esto es lo que: Se pueden multiplicar números con diferentes bases pero con los mismos exponentes.En este caso, las bases se multiplican, pero el indicador no cambia:

En mi situación esto dará:

\begin(alinear)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(alinear)

No está mal, ¿verdad?

3. No me gusta cuando, innecesariamente, tengo dos términos en un lado de la ecuación y ninguno en el otro (a veces, por supuesto, esto está justificado, pero ahora no es el caso). Moveré el término negativo hacia la derecha:

Ahora, como antes, escribiré todo en términos de potencias de tres:

Sumo los grados de la izquierda y obtengo una ecuación equivalente.

Puedes encontrar fácilmente su raíz:

4. Como en el ejemplo tres, ¡el término negativo tiene un lugar en el lado derecho!

A mi izquierda casi todo está bien, ¿excepto qué? Sí, me molesta el “grado equivocado” de los dos. Pero puedo solucionar este problema fácilmente escribiendo: . Eureka: a la izquierda todas las bases son diferentes, ¡pero todos los grados son iguales! ¡Multipliquemos inmediatamente!

Aquí nuevamente todo está claro: (si no entiendes cómo por arte de magia Saqué la última igualdad, me tomé un descanso de un minuto, tomé aire y volví a leer con mucha atención las propiedades del grado. ¿Quién dijo que puedes saltarte una carrera con indicador negativo? Bueno, eso digo yo, nadie). Ahora obtendré:

\begin(alinear)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(alinear)

Aquí tienes algunos problemas para que practiques, a los que sólo daré las respuestas (pero de forma “mixta”). ¡Resuélvelos, compruébalos y tú y yo continuaremos nuestra investigación!

¿Listo? Respuestas como estos:

1. cualquier número

Vale, vale, ¡estaba bromeando! A continuación se muestran algunos bocetos de soluciones (¡algunas muy breves!)

¿No crees que no es casualidad que una fracción de la izquierda sea la otra "invertida"? Sería pecado no aprovechar esto:

Esta regla se usa muy a menudo al resolver ecuaciones exponenciales, ¡recuérdala bien!

Entonces la ecuación original quedará así:

Al resolver esta ecuación cuadrática, obtendrás las siguientes raíces:

2. Otra solución: dividir ambos lados de la ecuación por la expresión de la izquierda (o derecha). Divido por lo que está a la derecha y obtengo:

¡¿Donde porque?!)

3. No quiero ni repetirme, ya está todo muy “masticado”.

4. equivalente a una ecuación cuadrática, raíces

5. Debes usar la fórmula dada en el primer problema y luego obtendrás lo siguiente:

La ecuación se ha convertido en una identidad trivial que es cierta para cualquiera. Entonces la respuesta es cualquier número real.

Bueno, ahora has practicado resolviendo ecuaciones exponenciales simples. Ahora quiero darte algunos ejemplos de vida, lo que le ayudará a comprender por qué son necesarios en principio. Aquí daré dos ejemplos. Uno de ellos es bastante cotidiano, pero es más probable que el otro tenga un interés científico más que práctico.

Ejemplo 1 (mercantil) Deja que tengas rublos, pero quieres convertirlos en rublos. El banco le ofrece retirarle este dinero a una tasa anual con capitalización mensual de intereses (devengo mensual). La pregunta es, ¿durante cuántos meses necesitas abrir un depósito para alcanzar el monto final requerido? Una tarea bastante mundana, ¿no? Sin embargo, su solución está asociada a la construcción de la ecuación exponencial correspondiente: Sea la suma inicial, - Cantidad final, - tipo de interés del período, - número de períodos. Entonces:

En nuestro caso (si la tasa es anual, entonces se calcula por mes). ¿Por qué se divide entre? Si no sabes la respuesta a esta pregunta, ¡recuerda el tema “”! Entonces obtenemos esta ecuación:

Esta ecuación exponencial sólo se puede resolver usando una calculadora (su apariencia( no muy rápido, ¿verdad?).

Ejemplo 2 (bastante científico). A pesar de su cierto “aislamiento”, les recomiendo que le presten atención: regularmente “¡¡se presenta al Examen Estatal Unificado!! (problema tomado de la versión “real”) Durante la decadencia isótopo radiactivo su masa disminuye según la ley, donde (mg) es la masa inicial del isótopo, (min.) es el tiempo transcurrido desde el momento inicial, (min.) es la vida media. EN momento inicial tiempo isótopo masa mg. Su vida media es min. ¿Después de cuántos minutos la masa del isótopo será igual a mg? Está bien: simplemente tomamos y sustituimos todos los datos en la fórmula que nos proponen:

Dividamos ambas partes entre "con la esperanza" de que a la izquierda obtengamos algo digerible:

Bueno, ¡tenemos mucha suerte! Está a la izquierda, entonces pasemos a la ecuación equivalente:

¿Dónde está mín.

Como puedes ver, las ecuaciones exponenciales tienen aplicaciones muy reales en la práctica. Ahora quiero mostrarte otra forma (sencilla) de resolver ecuaciones exponenciales, que se basa en sacar el factor común de entre paréntesis y luego agrupar los términos. No te asustes por mis palabras, ya te topaste con este método en séptimo grado cuando estudiabas polinomios. Por ejemplo, si necesitaras factorizar la expresión:

Agrupemos: el primer y tercer término, así como el segundo y cuarto. Está claro que el primero y el tercero son la diferencia de cuadrados:

y el segundo y el cuarto tienen multiplicador común tres:

Entonces la expresión original es equivalente a esta:

Dónde derivar el factor común ya no es difícil:

Por eso,

Esto es aproximadamente lo que haremos al resolver ecuaciones exponenciales: buscar "común" entre los términos y sacarlo de los paréntesis, y luego, pase lo que pase, creo que tendremos suerte =)) Por ejemplo:

A la derecha está lejos de ser una potencia de siete (¡lo comprobé!) Y a la izquierda, es un poco mejor, por supuesto, puedes "cortar" el factor a del segundo del primer término y luego repartir con lo que tienes, pero seamos más prudentes contigo. No quiero lidiar con las fracciones que inevitablemente se forman al "seleccionar", así que ¿no debería eliminarlas? Entonces no tendré fracciones: como dicen, los lobos están alimentados y las ovejas están a salvo:

Calcula la expresión entre paréntesis. Mágicamente, mágicamente, resulta que (sorprendentemente, aunque ¿qué más deberíamos esperar?).

Luego reducimos ambos lados de la ecuación por este factor. Obtenemos: , de.

Aquí hay un ejemplo más complicado (bastante, en realidad):

¡Que problema! No tenemos uno aquí terreno común! No está del todo claro qué hacer ahora. Hagamos lo que podamos: primero, mueva los “cuatros” hacia un lado y los “cinco” hacia el otro:

Ahora eliminemos al "general" de izquierda y derecha:

¿Y ahora qué? ¿Cuál es el beneficio de un grupo tan estúpido? A primera vista no se ve nada, pero veamos más profundamente:

Bueno, ahora nos aseguraremos de que a la izquierda solo tengamos la expresión c, y a la derecha, todo lo demás. Cómo hacemos esto? He aquí cómo: divide ambos lados de la ecuación primero por (para eliminar el exponente de la derecha) y luego divide ambos lados por (para eliminar el factor numérico de la izquierda). Finalmente obtenemos:

¡Increíble! A la izquierda tenemos una expresión y a la derecha tenemos una expresión simple. Entonces inmediatamente concluimos que

Aquí te dejamos otro ejemplo para que lo refuerces:

lo traeré solución corta(sin molestarse mucho en dar explicaciones), intente comprender usted mismo todas las "sutilezas" de la solución.

Ahora vamos a la consolidación final del material cubierto. Intente resolver los siguientes problemas usted mismo. solo daré breves recomendaciones y consejos para solucionarlos:

1. Saquemos el factor común de paréntesis: Donde:
2. Presentemos la primera expresión en la forma: , divida ambos lados por y obtenga eso
3. , luego la ecuación original se transforma a la forma: Bueno, ahora una pista: ¡busca dónde tú y yo ya hemos resuelto esta ecuación!
4. Imagina cómo, cómo, ah, bueno, luego divide ambos lados entre, para obtener la ecuación exponencial más simple.
5. Sácalo de los soportes.
6. Sácalo de los soportes.

ECUACIONES EXPONENTARIAS. NIVEL PROMEDIO

Supongo que después de leer el primer artículo, que hablaba de ¿Qué son las ecuaciones exponenciales y cómo resolverlas?, lo has dominado el minimo necesario Conocimientos necesarios para resolver ejemplos sencillos.

Ahora veremos otro método para resolver ecuaciones exponenciales, este es

“método de introducir una nueva variable” (o reemplazo). Resuelve la mayoría de los problemas "difíciles" sobre el tema de ecuaciones exponenciales (y no sólo ecuaciones). Este método es uno de los más utilizados en la práctica. Primero, te recomiendo que te familiarices con el tema.

Como ya entendiste por el nombre, la esencia de este método es introducir tal cambio de variable que tu ecuación exponencial se transformará milagrosamente en una que puedas resolver fácilmente. Lo único que le queda después de resolver esta “ecuación simplificada” es hacer un “reemplazo inverso”: es decir, regresar de lo reemplazado a lo reemplazado. Ilustremos lo que acabamos de decir con un ejemplo muy sencillo:

Ejemplo 1:

Esta ecuación se resuelve mediante una “sustitución simple”, como la llaman despectivamente los matemáticos. De hecho, el reemplazo aquí es el más obvio. Sólo hay que ver que

Entonces la ecuación original se convertirá en esta:

Si además imaginamos cómo, queda absolutamente claro qué es lo que hay que sustituir: por supuesto, . ¿En qué se convierte entonces la ecuación original? Esto es lo que:

Puedes encontrar fácilmente sus raíces por tu cuenta: . ¿Qué debemos hacer ahora? Es hora de volver a la variable original. ¿Qué se me olvidó mencionar? A saber: al reemplazar un cierto grado con una nueva variable (es decir, al reemplazar un tipo), me interesará solo raíces positivas! Usted mismo puede responder fácilmente por qué. Por lo tanto, a usted y a mí no nos interesa, pero la segunda raíz nos conviene bastante:

Entonces de dónde.

Respuesta:

Como puedes ver, en el ejemplo anterior, un reemplazo solo pedía nuestras manos. Desafortunadamente, este no es siempre el caso. Sin embargo, no vayamos directamente a lo triste, sino que practiquemos con un ejemplo más con un reemplazo bastante simple.

Ejemplo 2.

Está claro que lo más probable es que tengamos que hacer un reemplazo (esta es la más pequeña de las potencias incluidas en nuestra ecuación), pero antes de introducir un reemplazo, nuestra ecuación debe estar "preparada" para ello, a saber: , . Luego puedes reemplazar, como resultado obtengo la siguiente expresión:

Oh Dios: ecuación cúbica con fórmulas absolutamente pésimas para su solución (bueno, hablando en términos generales). Pero no nos desesperemos de inmediato, sino pensemos en lo que debemos hacer. Sugeriré hacer trampa: sabemos que para obtener una respuesta “hermosa”, necesitamos obtenerla en forma de alguna potencia de tres (¿por qué sería eso, eh?). Intentemos adivinar al menos una raíz de nuestra ecuación (comenzaré a adivinar con potencias de tres).

Primera suposición. No es una raíz. Ay y ah...

.
El lado izquierdo es igual.
Parte derecha: !
¡Comer! Adiviné la primera raíz. ¡Ahora las cosas serán más fáciles!

¿Conoce el esquema de división en “esquinas”? Por supuesto que sí, lo usas cuando divides un número por otro. Pero pocas personas saben que se puede hacer lo mismo con los polinomios. Hay un teorema maravilloso:

Aplicando a mi situación, esto me dice que es divisible sin resto por. ¿Cómo se lleva a cabo la división? Así es como:

Miro por qué monomio debo multiplicar para obtener Claramente, entonces:

Resto la expresión resultante y obtengo:

Ahora bien, ¿por qué necesito multiplicar para obtener? Está claro que, entonces obtendré:

y nuevamente restamos la expresión resultante de la restante:

Bueno, el último paso es multiplicar y restar de la expresión restante:

¡Hurra, se acabó la división! ¿Qué hemos acumulado en privado? Por sí mismo: .

Luego obtuvimos la siguiente expansión del polinomio original:

Resolvamos la segunda ecuación:

Tiene raíces:

Entonces la ecuación original:

tiene tres raíces:

Por supuesto, descartaremos la última raíz, ya que menos que cero. Y los dos primeros después del reemplazo inverso nos darán dos raíces:

Respuesta: ..

No quería asustarlos en absoluto con este ejemplo, más bien mi objetivo era mostrar que, aunque tuvimos un reemplazo bastante simple, condujo a bastante; ecuación compleja, cuya solución requirió de nuestra parte algunas habilidades especiales. Bueno, nadie es inmune a esto. Pero el reemplazo en en este caso Fue bastante obvio.

Aquí hay un ejemplo con un reemplazo un poco menos obvio:

No está nada claro qué debemos hacer: el problema es que en nuestra ecuación hay dos bases diferentes y no se puede obtener una base de la otra elevándola a cualquier potencia (razonable, naturalmente). Sin embargo, ¿qué vemos? Ambas bases difieren sólo en signo, y su producto es la diferencia de cuadrados igual a uno:

Definición:

Por tanto, los números que son las bases en nuestro ejemplo son conjugados.

En este caso, el paso inteligente sería Multiplica ambos lados de la ecuación por el número conjugado.

Por ejemplo, en, entonces el lado izquierdo de la ecuación será igual a, y el derecho. Si hacemos una sustitución, entonces nuestra ecuación original quedará así:

sus raíces, entonces, y recordando eso, lo entendemos.

Respuesta: , .

Como regla general, el método de reemplazo es suficiente para resolver la mayoría de las ecuaciones exponenciales "escolares". Las siguientes tareas se toman del Examen Estatal Unificado C1 ( nivel aumentado dificultades). Ya eres lo suficientemente alfabetizado como para resolver estos ejemplos por tu cuenta. Sólo daré el reemplazo requerido.

1. Resuelve la ecuación:
2. Encuentra las raíces de la ecuación:
3. Resuelve la ecuación: . Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento:

Y ahora algunas breves explicaciones y respuestas:

1. Aquí nos basta señalar que... Entonces la ecuación original será equivalente a esta: Esta ecuación resuelto mediante reemplazo. Haga más cálculos usted mismo. Al final, tu tarea se reducirá a resolver problemas trigonométricos sencillos (según seno o coseno). Solución ejemplos similares Lo veremos en otras secciones.
2. Aquí puedes incluso prescindir de la sustitución: simplemente mueve el sustraendo hacia la derecha y representa ambas bases mediante potencias de dos: y luego pasa directamente a la ecuación cuadrática.
3. La tercera ecuación también se resuelve de forma bastante estándar: imaginemos cómo. Luego, reemplazando, obtenemos una ecuación cuadrática: entonces,

   Ya sabes qué es un logaritmo, ¿verdad? ¿No? ¡Entonces lea el tema con urgencia!

   La primera raíz obviamente no pertenece al segmento, ¡pero la segunda no está clara! ¡Pero lo descubriremos muy pronto! Entonces (¡esta es una propiedad del logaritmo!) Comparemos:

   Restando de ambos lados obtenemos:

   Lado izquierdo se puede representar como:

   multiplica ambos lados por:

   se puede multiplicar por, entonces

   Entonces compare:

   Desde entonces:

   Entonces la segunda raíz pertenece al intervalo requerido.

   Respuesta:

Como ves, La selección de raíces de ecuaciones exponenciales requiere un conocimiento bastante profundo de las propiedades de los logaritmos., por lo que te aconsejo que tengas el mayor cuidado posible al resolver ecuaciones exponenciales. Como comprenderás, ¡en matemáticas todo está interconectado! Como decía mi profesor de matemáticas: “las matemáticas, como la historia, no se pueden leer de la noche a la mañana”.

Como regla general, todos La dificultad para resolver el problema C1 es precisamente la selección de las raíces de la ecuación. Practiquemos con un ejemplo más:

Está claro que la ecuación en sí se resuelve de forma bastante sencilla. Al hacer una sustitución, reducimos nuestra ecuación original a lo siguiente:

Primero veamos la primera raíz. Comparemos y: desde entonces. (propiedad función logarítmica, en). Entonces queda claro que la primera raíz no pertenece a nuestro intervalo. Ahora la segunda raíz: . Está claro que (ya que la función a es creciente). Queda por comparar y...

desde entonces, al mismo tiempo. De esta manera puedo “clavar una clavija” entre y. Esta clavija es un número. La primera expresión es menor y la segunda es mayor. Entonces la segunda expresión es mayor que la primera y la raíz pertenece al intervalo.

Respuesta: .

Finalmente, veamos otro ejemplo de una ecuación donde la sustitución no es estándar:

Comencemos de inmediato con lo que se puede hacer y lo que, en principio, se puede hacer, pero es mejor no hacerlo. Puedes imaginarlo todo a través de las potencias de tres, dos y seis. ¿A dónde lleva? No conducirá a nada: un revoltijo de títulos, algunos de los cuales serán bastante difíciles de eliminar. ¿Qué se necesita entonces? Notemos que un ¿Y esto qué nos aportará? ¡Y el hecho de que podemos reducir la solución de este ejemplo a la solución de una ecuación exponencial bastante simple! Primero, reescribamos nuestra ecuación como:

Ahora dividamos ambos lados de la ecuación resultante entre:

¡Eureka! Ahora podemos reemplazar, obtenemos:

Bueno, ahora te toca a ti resolver los problemas de demostración, y solo les daré breves comentarios para que no te confundas. el camino correcto! ¡Buena suerte!

1. ¡El más difícil! ¡Es tan difícil ver un reemplazo aquí! Sin embargo, este ejemplo se puede resolver completamente usando descargar cuadrado lleno . Para solucionarlo basta señalar que:

Entonces aquí está tu reemplazo:

(Tenga en cuenta que aquí en nuestro reemplazo no podemos descartar raíz negativa!!! ¿Por qué crees?)

Ahora para resolver el ejemplo solo tienes que resolver dos ecuaciones:

Ambos pueden resolverse mediante un “reemplazo estándar” (¡pero el segundo en un ejemplo!)

2. Observe eso y haga un reemplazo.

3. Descomponga el número en factores coprimos y simplifique la expresión resultante.

4. Divide el numerador y denominador de la fracción por (o, si lo prefieres) y haz la sustitución o.

5. Observa que los números y están conjugados.

ECUACIONES EXPONENTARIAS. NIVEL AVANZADO

Además, veamos de otra manera: resolver ecuaciones exponenciales usando el método de logaritmo. No puedo decir que resolver ecuaciones exponenciales usando este método sea muy popular, pero en algunos casos solo puede llevarnos a la decisión correcta nuestra ecuación. Se utiliza especialmente para resolver el llamado " ecuaciones mixtas ": es decir, aquellas donde se dan funciones de distinto tipo.

Por ejemplo, una ecuación de la forma:

V caso general sólo se puede resolver tomando el logaritmo de ambos lados (por ejemplo, a la base), lo que transformará la ecuación original en la siguiente:

Veamos el siguiente ejemplo:

Está claro que logarítmico ODZ funciones que sólo nos interesan. Sin embargo, esto se desprende no sólo de la ODZ del logaritmo, sino también por una razón más. Creo que no te resultará difícil adivinar cuál es.

Llevemos el logaritmo de ambos lados de nuestra ecuación a la base:

Como puedes ver, tomando el logaritmo de nuestro ecuación original rápidamente nos llevó a la respuesta correcta (¡y hermosa!). Practiquemos con un ejemplo más:

Aquí tampoco hay nada de malo: llevemos el logaritmo de ambos lados de la ecuación a la base, luego obtenemos:

Hagamos un reemplazo:

Sin embargo, ¡nos perdimos algo! ¿Notaste dónde cometí un error? Después de todo, entonces:

que no cumple con el requisito (¡piense de dónde viene!)

Respuesta:

Intenta escribir la solución de las ecuaciones exponenciales a continuación:

Ahora compara tu decisión con esto:

1. Logaritmemos ambos lados hasta la base, teniendo en cuenta que:

(la segunda raíz no nos conviene debido a un reemplazo)

2. Logaritmo a la base:

Transformemos la expresión resultante a la siguiente forma:

ECUACIONES EXPONENTARIAS. BREVE DESCRIPCIÓN Y FÓRMULAS BÁSICAS

Ecuación exponencial

Ecuación de la forma:

llamado la ecuación exponencial más simple.

Propiedades de los grados

Enfoques de solución

• Llevando a misma base
• Llevando a el mismo indicador grados
• Reemplazo de variables
• Simplificando la expresión y aplicando una de las anteriores.