Departamento de Educación, Deportes y Turismo del Comité Ejecutivo del Distrito de Borisov

agencia gubernamental educación

« Escuela secundaria núm. 16 Borísov"

el triangulo de pascal

estudiante de 7mo grado "A"

Aboyán Elizabeth Alexandrovna,

domicilio: Borisov,

Calle Smolevichiskaya, 8, 76-51-80

Supervisor:

Ishchuk Olga Eduardovna, profesora de matemáticas

Borísov, 2016

Tabla de contenido

Introducción

en esto año académico empezamos a estudiar nuevo artículo"geometría".

Uno de los capítulos del curso de geometría se llama “Triángulos”. estaba muy interesado este tema. Siempre quise aprender muchas cosas nuevas sobre los triángulos, su origen y significado en nuestras vidas. Después de todo, el mundo de los triángulos es muy misterioso e interesante.

El triángulo es la primera figura geométrica que se encuentra en adornos antiguos. Mientras estudiaba literatura, aprendí que en Egipto simbolizaba la tríada de voluntad espiritual, amor, intuición y inteligencia superior una persona, es decir, su personalidad o alma.

Los aztecas utilizaban la imagen de un triángulo con el vértice en la parte superior conectado a un triángulo invertido como símbolo del ciclo del tiempo. El triángulo combinado con la cruz forma el signo alquímico del Azufre.

Triángulo equilátero, que simboliza, según la tradición hebrea, la perfección, entre los cristianos significa la Trinidad: Padre, Hijo y Espíritu Santo.

Hay muchos tipos de triángulos, pero el que más me interesó fue el triángulo de Pascal.

Problema de investigación:

El problema de mi investigación es que traté de identificar y mostrar cuán ampliamente se utilizan los triángulos en la vida práctica.

Importancia práctica del estudio:

Este trabajo de investigacion se puede utilizar como material adicional para lecciones de geometría, para actividades extracurriculares en matemáticas.

Propósito del estudio:

Familiarízate con el triángulo de Pascal y su aplicación como tipo de triángulo;

Hipótesis:

Si los números del triángulo de Pascal tienen propiedades especiales, entonces puede considerarse único para la solución. varias tareas

Tareas:

Determinar la aplicación de las propiedades de los números del triángulo de Pascal;

Estudie la literatura sobre el tema "El triángulo de Pascal";

Identificar las propiedades de los números que forman el triángulo de Pascal;

Formular la conclusión y los resultados del estudio;

Objeto de estudio: el triángulo como figura geométrica.

Tema de investigación: propiedades del triángulo de Pascal.

Métodos de investigación:

Trabajo analítico y estadístico con literatura de referencia, científica, educativa y especial;

Búsqueda de información en recursos de Internet.

Áreas de trabajo:

Seleccionar un problema, fuentes bibliográficas, elaborar un plan;

Trabajar con literatura y otras fuentes;

Procesamiento de datos recibidos;

Análisis de resultados, formulación de conclusiones;

Formación multimedia.

Principales etapas del estudio: preparatoria; activo;

Avance del estudio: reflexivo; analítico; presentacional.

parte teorica trabajar

Introducción al triángulo de Pascal

Mi primer contacto con el triángulo de Pascal ocurrió mientras estudiaba el tema "Elevar un binomio a una potencia" en una lección de álgebra.Ya conozco las fórmulas del cuadrado de la suma y del cuadrado de la diferencia, del cubo de la suma y del cubo de la diferencia. Noté que puedes obtener fórmulas para elevar un binomio al cuarto, quinto, etc. El grado es posible, dado un cierto patrón en los coeficientes y grados de cada término.

Los coeficientes de todas las rectas se pueden ordenar en forma de triángulo:

Así conocí el triángulo de Pascal y decidí seguir estudiando el triángulo aritmético.

Blaise Pascal - matemático francés

B Les Pascal (19 de junio de 1623, Clermont-Ferrand, - 19 de agosto de 1662, París) - matemático francés, físico, escritor y filósofo.

Pascal era un matemático de primera. Ayudó a crear dos nuevas direcciones importantes. investigación matemática. A los dieciséis años escribió un notable tratado sobre el tema de la geometría proyectiva y en 1654 mantuvo correspondencia con Pierre de Fermat sobre la teoría de la probabilidad, que posteriormente tuvo una influencia fundamental en el desarrollo de la economía moderna.

El triángulo de Pascal como tipo de triángulo.

Mientras estudiaba los tipos de triángulos, descubrí que el triángulo de Pascal es un triángulo aritmético formado por coeficientes binomiales. Nombrado en honor a Blaise Pascal. De hecho, el triángulo de Pascal se conocía mucho antes de 1653, fecha de publicación del Tratado sobre triangulo aritmetico". Entonces, este triángulo se reproduce en pagina de titulo libro de texto de aritmética escrito en principios del XVI Peter Apian, astrónomo de la Universidad de Ingoltstadt. Un triángulo también se representa en una ilustración de un libro de un matemático chino publicado en 1303. Omar Khayyam, que no sólo era filósofo y poeta, sino también matemático, conocía la existencia del triángulo ya alrededor del año 1100, tomándolo a su vez de fuentes anteriores chinas o indias.

También aprendí del libro “Novelas matemáticas” (M., Mir, 1974) de Martin Gardner que “el triángulo de Pascal es tan simple que incluso un niño de diez años puede escribirlo. Al mismo tiempo, esconde algo inagotable. atesora y conecta juntos varios aspectos matemáticos que a primera vista no tienen nada en común entre sí. Propiedades tan inusuales hacen del triángulo de Pascal uno de los diagramas más elegantes de todas las matemáticas."

Miré el esquema para construir un triángulo propuesto por Hugo Steinhaus en su clásico “ Caleidoscopio matemático": supongamos que ingresas a la ciudad como se muestra en el diagrama con la flecha azul, y solo puedes avanzar, o mejor dicho, eligiendo constantemente, avanzar hacia la izquierda o avanzar hacia la derecha. Los nodos a los que solo se puede llegar de una manera están marcados con emoticonos verdes, un punto al que se puede llegar de dos maneras se muestra con un emoticón rojo y tres, respectivamente, con emoticonos rosas. Esta es una de las opciones para construir un triángulo.

(Figura 1)

Estudiando literatura especial, aprendí que las palabras explican la estructura del triángulo de Pascal de manera aún más simple: cada número es igual a la suma de los dos números encima de él .

Todo es elemental, pero en él se esconden tantos milagros. Si delineas el triángulo de Pascal, obtienes un triángulo isósceles. En este triángulo, hay unos en la parte superior y en los lados. Cada número es igual a la suma de los dos números que están encima de él. El triángulo puede continuar indefinidamente. Es simétrico con respecto a eje vertical, pasando por su cima. A lo largo de las diagonales (en la medida en que un triángulo puede tener diagonales, pero no discutamos, esa terminología se encuentra en las publicaciones), paralelo a los lados Triángulo (marcado con líneas verdes en la figura) Se construyen números triangulares y sus generalizaciones al caso de espacios de todas las dimensiones. Los números triangulares en la forma más común y familiar muestran cuántos círculos que se tocan se pueden organizar en forma de triángulo; ejemplo clásico Disposición inicial de las bolas de billar. Puedes adjuntar dos más a una moneda, para un total de tres, a dos puedes adjuntar tres más, para un total de seis.

Obtuvimos los números triangulares en la figura: 3; 6; 10; 15.

Siguiendo aumentando las filas manteniendo la forma del triángulo, obtenemos la fila 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., que es lo que muestra la segunda. linea verde. Esta maravillosa serie, cada miembro de la cual igual a la suma serie natural de números (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), también contiene muchos conocidos bien conocidos por los amantes de las matemáticas: 6 y 28 son números perfectos, 36 - número cuadrado, 8 y 21 son números de Fibonacci.

La siguiente línea verde nos mostrará números tetraédricos: podemos poner una bola en tres, un total de cuatro, podemos poner seis debajo de tres, un total de diez, y así sucesivamente.

Para encontrar la suma de números en cualquier diagonal desde el principio hasta el lugar que nos interesa, basta con mirar el número ubicado debajo y a la izquierda del último término (a la izquierda para la diagonal derecha, a la derecha para la izquierda diagonal y, en general, más cerca de la mitad del triángulo). Digamos, por ejemplo, que queremos calcular la suma de los números de la serie natural del 1 al 9. Habiendo “descendido” en diagonal al número 9, veremos el número 45 en la parte inferior izquierda del mismo. Esto es lo que da. la suma requerida. ¿Cuál es la suma de los primeros ocho números triangulares? Encontramos el octavo número en la segunda diagonal y lo movemos hacia abajo y hacia la izquierda. Respuesta: 120.

(Figura 2)

El triángulo de Pascal tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad y tiene propiedades notables.

Propiedades del triángulo de Pascal y su aplicación en la resolución de problemas.

Pascal exploró en detalle las propiedades y aplicaciones de su "triángulo". Daré como ejemplo sólo 3 propiedades del “triángulo”, encontradas por el propio Pascal; En este caso, partiré de la ubicación del “triángulo” en el plano, indicada por Pascal, y hablaré de filas horizontales y verticales.

Propiedad 1: Cada número A en la tabla es igual a la suma de los números de la fila horizontal anterior, comenzando desde el más a la izquierda hasta el inmediatamente arriba del número A (en el que las celdas que contienen términos que suman A son sombreado).(Figura 4)

(Figura 4)(Figura 5)(Figura 6)

Propiedad 2: Cada número A de la tabla es igual a la suma de los números del anterior fila vertical, comenzando desde arriba hasta el número A inmediatamente a la izquierda.(Figura 5)

Propiedad 3:Cada número de la tabla, reducido en uno, es igual a la suma de todos los números que llenan el rectángulo delimitado por las filas verticales y horizontales en cuya intersección se encuentra el número A (estas filas en sí no están incluidas en el rectángulo en pregunta).(Figura 6)

El triángulo de Pascal y la teoría de la probabilidad.

Blaise Pascal y otros gran francés, Pierre Fermat, se convirtieron en los fundadores de la teoría de la probabilidad cuando Pascal y Fermat dieron de forma independiente explicación correcta la llamada paradoja de la división de tasas. Dos jugadores juegan un juego "inofensivo" (es decir, ambos tienen las mismas posibilidades de ganar), acordando que el primero en ganar seis juegos recibirá el premio completo. Supongamos que el juego se detuvo antes de que uno de ellos ganara un premio (por ejemplo, el primer jugador ganó cinco juegos y el segundo ganó tres). ¿Cómo repartir el premio de forma justa? Así, según una decisión, el premio debería haberse dividido en una proporción de 5: 3, es decir en proporción a los juegos ganados, según otro, en la proporción 2: 1 (aquí el razonamiento aparentemente se llevó a cabo de la siguiente manera: dado que el primer jugador ganó dos juegos más, que es un tercio de los seis juegos necesarios para ganar, él deberá recibir un tercio del premio y el resto deberá dividirse por la mitad).

Mientras tanto, debes dividir en una proporción de 7:1. Tanto Pascal como Fermat trataron la paradoja de la división de apuestas como un problema de probabilidad, estableciendo que una división justa era proporcional a las posibilidades del primer jugador de ganar el premio. Supongamos que al primer jugador solo le queda un juego por ganar, y al segundo necesita ganar tres juegos más para ganar, y los jugadores continúan el juego y juegan los tres juegos, incluso si algunos de ellos resultan innecesarios para determinar el ganador. . Para tal continuación, los 2 3 = 8 resultados posibles serán igualmente probables. Dado que el segundo jugador recibe un premio sólo en un resultado (si gana los tres juegos), y el primer jugador gana en los demás casos, la proporción es 7:1.

En la ciencia y en la práctica, a menudo hay problemas cuya solución es necesaria para crear varias combinaciones de numero finito elementos y contar el número de combinaciones. Estos problemas se denominan problemas combinatorios..

consideremos fórmulas básicas combinatoria:

Este es cualquier subconjunto ordenado.metrode los elementos del conjuntonorte.

.

En el triángulo de Pascalun número que indica cuántas formas puedes elegirkelementos de un conjunto que contienenorte varios elementos, se encuentra en la intersecciónk-ésima diagonal ynorte-ésima línea. Para calcular la combinación , norteVoy a la séptima diagonal desde arriba y cuento tres números horizontalmente. Me sale el número 35.

También puedes utilizar el triángulo de Pascal para calcular las ubicaciones.

.Si necesitamos contar, entonces sabiendo que , y 3!=6, obtenemos el valor de esta ubicación 210.

Llegué a la conclusión de que las propiedades consideradas del triángulo de Pascal confirman las palabras de Martin Gardner de que el triángulo de Pascal es uno de los esquemas más elegantes de todas las matemáticas.

La relevancia del estudio se debe a la complicación anual de las tareas de CT, que requieren conocimientos profundos no solo de álgebra, sino también de geometría.

Parte practica trabajar

en su trabajo practico He seleccionado una serie de problemas sobre el tema "El triángulo de Pascal".

Problema 1. La tienda de Filatelia vende 8 juegos diferentes de sellos dedicados a temas deportivos. ¿De cuántas maneras puedes elegir 3 conjuntos de ellos?

Solución:

En el triángulo de Pascal, un número que muestra de cuántas maneras se pueden seleccionar k elementos de un conjunto que contiene n elementos diferentes se encuentra en la intersección de la k-ésima diagonal y la n-ésima fila.

Encontraré la octava diagonal desde arriba y contaré tres números horizontalmente. Me sale el número 56.(Figura 8)

Tarea 2. De los seis médicos de la clínica, dos deben ser enviados a cursos de formación avanzada. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Solución:

Encontraré la sexta diagonal desde arriba y contaré dos números horizontalmente. Me sale el número 15.

(P(Figura 9)

Tarea 3. El pack contiene 7 cuadernos rayados y 5 cuadriculados del mismo tamaño. Toma 3 cuadernos al azar del paquete. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres cuadernos terminen en un cuadrado?

Solución. primero busquemos número total posibles resultados, es decir ¿De cuántas maneras podemos elegir 3 cuadernos de 12 cuadernos?

Tarea 4. Hay 10 rectas en un plano, y entre ellas no hay rectas paralelas y exactamente dos rectas pasan por cada punto de su intersección. ¿Cuántos puntos de intersección tienen?

Solución: ¡La respuesta está en la intersección de -45 puntos!

Tarea 5.Hay 10 bolas en la bolsa, numeradas del 1 al 10. Se extraen 2 bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean bolas numeradas 7 y 3?

Puedes eliminar 2 bolas de 10 disponibles de 45 formas. La probabilidad de nuestro evento es 2 sobre 45.(Figura 11)

Durante la investigación práctica, llegué a las siguientes conclusiones: al resolver problemas combinatorios y problemas de teoría de probabilidad, no solo se pueden utilizar fórmulas combinatorias, sino también las propiedades del triángulo de Pascal.

Conclusión

El trabajo sobre el tema elegido se realizó en total conformidad con el plan de investigación, a saber: se fijó el objeto y tema del estudio, se fijaron metas y objetivos y se determinaron los resultados esperados. Se indicaron los métodos de investigación utilizados y se definió el problema.

En este trabajo se dio caracteristicas generales como un triangulo figura geométrica, se examinaron en detalle el triángulo de Pascal y sus propiedades.

He llegado a la conclusión de que uno de los esquemas numéricos más famosos y elegantes de todas las matemáticas es el triángulo de Pascal. El triángulo de Pascal es un concepto mucho más amplio de lo que imaginaba. Él no sólo tiene propiedades sorprendentes, pero también fue utilizado en la arquitectura de la Edad Media para construir esquemas de proporcionalidad y para construir ángulos rectos por agrimensores y arquitectos. Usando el triángulo de Pascal, puedes resolver problemas de teoría de probabilidad y combinatoria.CON problemas combinatorios Me conocí en lecciones de matemáticas en sexto grado y cuando resolvía problemas de la Olimpiada.

El significado práctico de este trabajo es el siguiente: yo, habiendo estudiado mucha literatura sobre este problema, adquirí conocimientos adicionales en el campo de las matemáticas, fortaleció mi interés en esta ciencia.

Aprendí que se usa el triángulo de Pascal:

consciente del álgebra

Al resolver problemas combinatorios.

Resolver diversos problemas en el campo de la física.

con el advenimiento computadoras La construcción del triángulo de Pascal se ha convertido en el problema favorito de los principiantes cuando aprenden los conceptos básicos de programación.

El trabajo sobre este tema resultó interesante y útil.

Lista de fuentes y literatura utilizada.

1. Abachiev S.K., Fractalidad arcoíris del triángulo de Pascal / S.K. Abachiev, - Minsk, 1999.-168p.

2. Galkin E.V. Tareas no estándar en matemáticas. Tareas lógicas. Libro para estudiantes de los grados 5-11 Moscú, “Ilustración”, 1996. – 194p.

3. Martín Gardner. Capítulo 17. El encanto inagotable del triángulo de Pascal / Novelas matemáticas. - Minsk: Mir, 1974.- 456 p.

4. Triángulo de Pascal. V. A. Uspensky. - 2ª ed. – Moscú: Nauka, 1979. – 48 p.

5. Fuchs D., Fuchs M., Aritmética de coeficientes binomiales / Quantum. - 1970. - No. 6. - P.17-25.

6. Enciclopedia para niños. T 11. Matemáticas / Cap. ed. M. Aksenova; método. y resp. ed. V. Volodin. – M.: Avanta+, 2004. – 688s.

7.

8. http:// davaiknam. ru/ texto/ volshebnij- treugolenik.

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Libros

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Triángulo de Sierpinski- El fractal del triángulo de Sierpinski, uno de los análogos bidimensionales del conjunto de Cantor, propuesto por el matemático polaco Sierpinski ... Wikipedia

triangulo de reuleaux- Construcción del triángulo de Reuleaux El triángulo de Reuleaux [* 1] está representado por ... Wikipedia

el triangulo de pascal- tabla numérica triangular para compilar coeficientes binomiales (ver binomio de Newton). P. t fue propuesto por B. Pascal (Ver Pascal). Ver Triángulo aritmético...

Triángulo aritmético- El triángulo de Pascal, una tabla numérica triangular para compilar coeficientes binomiales (ver Binomio de Newton). A los lados del A. t hay unidades, dentro de la suma de los dos números superiores. En la (n + 1)ésima fila de los coeficientes binomiales A.T. Gran enciclopedia soviética

TRIÁNGULO ARITMÉTICO- lo mismo que el triángulo de Pascal... Enciclopedia Matemática

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Coeficientes binomiales- coeficientes en el desarrollo de (1 + x)n en potencias de x (el llamado binomial de Newton): En otras palabras, (1 + x)n es la función generadora de coeficientes binomiales. El valor del coeficiente binomial se define para todos los números enteros n y k. Fórmulas explícitas... Wikipedia

Libros

• El triángulo de Pascal. Libro 102, V. A. Uspensky. Esta conferencia analiza una tabla numérica importante (que se llama triángulo de Pascal), útil para resolver una serie de problemas computacionales. Además de resolver estos problemas... Cómprelo por 211 UAH (sólo en Ucrania)
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Todo el mundo aprende sobre el triángulo de Pascal en su juventud. Pero, al parecer, no se reconocen todos los milagros que encierra el triángulo. De hecho, ¡todavía estamos descubriendo cosas nuevas!

Construir un triángulo es bastante fácil: necesitas colocar unidades a lo largo de los bordes exteriores, y cada número del interior es igual a la suma de los dos números que están encima. Entonces, el tercer número en la sexta línea es igual a , porque es la suma de los números y .

¡Atención! De hecho, diremos cuál es el segundo número de la quinta línea. Por razones que pronto quedarán claras, comenzamos a numerar las filas y columnas del triángulo desde cero. Por ejemplo, el segundo número de la cuarta línea es.

Conociendo la regla de la suma, puedes continuar hasta el infinito: puedes escribir tantas líneas como te permita tu paciencia.

Primeras 10 líneas del triángulo de Pascal

Pascal introdujo su triángulo en 1653 en el Traité du Triangle Arithmétique como parte de un problema en el estudio de la probabilidad y para el cálculo. Las preguntas eran algo así como: "Si quiero elegir dos personas de cuatro datos dados, ¿cuántos emparejamientos posibles hay o "¿Cuál es la probabilidad de obtener un full?" nota en el póquer, tres cartas de un valor y dos de otro) cuando se reparten cinco cartas de una baraja bien barajada? Pascal y Fermat discutieron principalmente sobre probabilidad en las cartas que intercambiaron en ese momento. Puedes ver el triángulo original de Pascal.

¿Cómo se relaciona el triángulo con la probabilidad? Bueno, si quieres seleccionar objetos de los datos, entonces el número opciones posibles La elección es igual al número número en la fila del triángulo. ¡Recuerde que los números de línea y los números en las líneas de un triángulo comienzan desde cero! Usando esta regla, vemos que hay exactamente dos maneras de seleccionar dos personas entre cuatro valores dados. Y así, el tercer número en la novena línea del triángulo, entonces hay una manera de seleccionar tres personas de nueve datos. Una vez que aprenda a calcular esto, dará un pequeño paso hacia el cálculo de todas las probabilidades posibles.

A primera vista, no parece claro por qué un triángulo da la respuesta correcta a esta pregunta. También puede parecer extraño que siempre tengamos que empezar desde cero para que funcione. Para comprobar que todo esto es absolutamente correcto, haremos dos observaciones.

Primero, si tienes un grupo de objetos, ¿de cuántas maneras puedes seleccionar cero objetos entre ellos? Hay exactamente una manera de seleccionar cero objetos, y es simplemente declarando que no tomas ninguno de ellos. Además, sólo tienes una forma de seleccionar todos los objetos. Y esto corresponde exactamente a los que están en los dos extremos de cada línea.

Blaise Pascal

En segundo lugar, si queremos seleccionar elementos de los datos, notamos que hay dos escenarios mutuamente excluyentes: o nuestro elemento favorito es uno de los seleccionados o no lo es. Si lo seleccionamos, entonces también debemos seleccionar un elemento de los elementos restantes para poder seleccionar exactamente elementos. Si no seleccionamos un elemento determinado, entonces debemos seleccionar todos los elementos de los datos del elemento que quedan después de eliminar nuestro elemento favorito. Dado que estas son posibilidades mutuamente excluyentes para obtener cantidad total opciones, debemos sumar el número de opciones en cada escenario.

En resumen, para obtener la cantidad de formas de seleccionar objetos a partir de los datos, debemos sumar la cantidad de formas de seleccionar un objeto y la cantidad de formas de seleccionar objetos. ¡Pero ésta es precisamente la regla de la suma para el triángulo de Pascal!

Ya sabemos que un triángulo está completamente determinado por la disposición de las unidades en sus lados y la regla de la suma. Dado que estas propiedades también se aplican a la respuesta a la pregunta sobre el número de opciones para elegir objetos, el triángulo también debería dar la respuesta correcta en este caso.

La capacidad de realizar dichos cálculos es invaluable en muchos casos. Por tanto, no sorprende que Pascal no fuera el primero. Estos números fueron examinados por matemáticos indios, chinos e iraníes en diferentes tiempos, comenzando hace más de mil años. Y, por supuesto, todos reconocerán el triángulo de Yang Hui, 1303:

Es curioso, incluso sin poder distinguir los números, ¡puedes encontrar un error tipográfico en este triángulo que tiene más de 700 años! Sugerencia: La regla de la suma hace que el triángulo de Pascal sea simétrico con respecto a la línea vertical que pasa por su vértice. Si miras de cerca, en el triángulo de Yang Hui esta simetría se rompe en un lugar.

Hay muchas cosas maravillosas en el triángulo. ¿Dónde están los milagros? Algunos de ellos son fáciles de detectar. Si sumas los números en la fila enésima de un triángulo, siempre obtendrás una potencia (por ejemplo, ). Es bastante aburrido para nosotros.

Algo más interesante es el hecho de que si sumas los números en las diagonales de un triángulo, obtienes la secuencia de números de Fibonacci. Y la secuencia de Fibonacci en sí misma contiene muchas sorpresas.

Recientemente, se descubrió algo nuevo y sorprendente en el triángulo de Pascal. Como hemos visto, cuando sumas los números de una fila de un triángulo, sucede algo interesante. Este hecho sobre las sumas es tan antiguo como el propio triángulo. Sin embargo, hasta 2012, antes de Harlan Brothers, nadie intentaba descubrir qué pasaría si multiplicaras los números de cada línea.

Denotemos por el producto de los números en la enésima fila del triángulo. Así, y así sucesivamente. Los números que se producen no parecen tener propiedades milagrosas obvias. Los hermanos tuvieron la idea de ver qué pasaría si dividieran estos productos calculados en filas adyacentes. Más precisamente, porque encontró los números obtenidos mediante la siguiente fórmula:

Es decir, para cada línea consideró una fracción cuyo numerador igual al producto todos los números en la línea debajo y en la línea arriba, y el denominador es el producto al cuadrado de todos los números en esa línea.

Y aquí está lo sorprendente: a medida que crece, ¡esta proporción se acerca al número! Recuerde, esto es numero decimal Con numero infinito números aproximadamente iguales a . Aparece en la capitalización de intereses, los patrones de crecimiento de la población y otras situaciones con crecimiento exponencial. Es sorprendente que este número pueda ser tan bonito. de una manera sencilla encontrado en el triángulo de Pascal. Como sabes qué buscar, es fácil ver que la proporción en cuestión se acerca a medida que creces. Como puedes ver, los cálculos sólo requieren un poco de álgebra.

Esta simpática animación de Richard Greene muestra claramente el resultado de Harlan Brothers:

Hay otro milagro en el triángulo que todo el mundo debería conocer. Coloreemos cada número del triángulo en uno de dos colores, dependiendo de si es par o impar. Por ejemplo, podríamos pintar números pares blancos y los impares, azules. Si hacemos esto para las primeras 500 líneas del triángulo, obtenemos este patrón:

¡Este es un famoso fractal conocido como el triángulo de Sierpinski! Esto lleva a varios tipos preguntas. Un número es par o impar si al dividirlo da resto o, respectivamente. ¿Qué pasa cuando dividimos por? Los restos pueden ser iguales a o . ¿Qué pasa si usas ocho colores y coloreas cada número según su resto al dividirlo por ocho? Para las primeras 500 líneas del triángulo obtenemos una hermosa imagen:

Comentarios: 6

1. 1 muro:

   Errores graves: absurdos cometidos por nuestros antepasados ​​y por nosotros

   Mi investigación reveló los siguientes errores graves, absurdos cometidos por nuestros antepasados ​​y por nosotros:
   1. Creían que el hombre es mortal, pero resulta que es eterno e ideal. En el Universo, los cuerpos creados, de donde vinieron, nunca regresan allí. Entonces no hay muerte: todos los cuerpos creados en el Universo están vivos. todo hasta ahora nacido del hombre se restauran en una forma eterna e ideal, cada código de 30 bits (los números encuentran sus pares ideales y la suma de los códigos: números de pares es 30 nueves).
   2. Solo llegamos a 4 etapas de desarrollo mental, y hay 7 de ellas: el valor adicional no divisible 1butto = 1000 st.-7 = 10 st.-21 - el comienzo, el peso y el volumen de una célula viva - un alma viviente y el valor adicional no ampliable 1sap = 1000 st.7 = 10 st.21. Este es el tamaño de cada uno. sistema solar y habrá 3 sextillones de ellos.
   3. Todos los cuerpos creados en el Universo constan de las mismas células: cubos, peso y volumen 1butto = 10-21. mujer ideal Una persona de 25 años consta de 360 ​​sextillones de células y hombre ideal Una persona de 25 años tiene 366 sextillones = 366x10.21 células, siendo cada célula una persona. Esto significa que la parte es igual al todo: un "yo" para todos los "366x10st.21I" y "366x10st.21 I" para un "yo" - esto es para hombres.
   4. La parte es igual al todo y no hay números fraccionarios, pero pensaban lo contrario. Entonces no hay irracionales y números trascendentales. Tampoco hay logaritmo, funciones trigonométricas, límites, diferenciales e integrales, cálculo variacional, teoría de probabilidades y estadística. El universo y el conocimiento son finitos, pero pensaban lo contrario. No es necesario utilizar expresiones radicales.
   5. Consideramos la igualdad Zn = Xn +Yn gran teorema La ecuación de Fermat o Diofántica es una solución de la ecuación (Zn – Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. Entonces Zn = – (Xn +Yn) es una solución a la ecuación (Zn+Xn)Xn = (Zn + Yn)Yn. Confundieron la solución con la ecuación, pero no conocían la ecuación en sí. ¡Esto es absurdo, una vergüenza para los matemáticos!
   Soluciones problemas de optimización condujo a sistemas de linealidad, potencia y ecuaciones diferenciales. Resulta que confundimos la solución con la ecuación del sistema y no conocíamos la ecuación en sí: Zn = Xn + Yn es una solución de la ecuación (Zn- Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. La solución Zn = Xn +Yn es +103n = +(500 x 103(n-1) + 500 x103(n-1)) y -103n = – (500 x 103(n-1) + 500 x103(n- 1 )). Cada 103n = 10n x 102n es la base de un cubo y a la vez un Rubik del orden de 10n.
   Consideramos la igualdad c2 = a2+ b2: cuadrado de la hipotenusa = suma del cuadrado de los catetos como teorema de Pitágoras, pero resulta que es una solución de la ecuación (c2- a2) a2 = (c2- b2 ) b2. Entonces c2= – (a2+ b2) es una solución de la ecuación (c2+ a2) a2 = (c2+ b2) b2. Esto significa que de 2 iguales triangulos rectángulos, los catetos iguales pueden formar un cuadrado, la base de un cubo. A partir de 12 triángulos rectángulos iguales, los catetos iguales pueden formar un cubo. Dependiendo del largo de la pierna, puedes formar varios cubos y al mismo tiempo rubíes.
   6. No entendimos el significado de la suma y multiplicación de 1 (unidades). Si hay 9 hombres y 9 mujeres, entonces 9 + 9 = 18 personas. 10 hombres y 9 mujeres, luego 10 + 9 = 19 personas, 10 hombres y 10 mujeres, luego 10 +10 = 20 personas, 11 hombres y 10 mujeres, luego 11 +10 = 21 personas. Productos 1(unidades):
   111111111 x 111111111= 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321. 0111111111 x 1111111110 = 0123456789876543210; 01111111111 x 1111111110 = 01234567899876543210. Estas operaciones se realizan en enteros negativos y positivos de 1 bit.
   Si colocamos 2 cubos en los extremos de un segmento de 20 unidades de longitud. Le damos a uno una carga negativa, al segundo una ventaja, luego se encuentran simultáneamente en el medio del segmento, cada uno pasando 10 unidades del camino, si no hay obstáculos en el camino: 01234567899876543210. Luego les damos las mismas cargas, entonces ocuparán posiciones iniciales, y los números cambian: 98765432100123456789.
   Si colocamos 2 cubos en los extremos de un segmento de 200 unidades de longitud. Le damos a uno una carga negativa, al segundo una ventaja, luego se encuentran simultáneamente en el medio del segmento, cada uno recorriendo 100 unidades del camino, si no hay obstáculos en el camino: 00...9999...00. Luego les damos cargos del mismo nombre, tomarán las posiciones iniciales y los números cambian: 99...0000...99.
   Si colocamos 2 cubos en los extremos de un segmento de longitud 2000 unidades. Le damos a uno una carga negativa, al segundo una ventaja, luego se encuentran simultáneamente en el medio del segmento, cada uno recorriendo 1000 unidades del camino, si no hay obstáculos en el camino: 000...999999...000. Luego les damos cargos del mismo nombre, tomarán las posiciones iniciales y los números cambian: 999...000000...999.
   Continuando con este proceso, llegamos a 2 sextillones de unidades, luego, después de pasar cada cubo, 1 sextillón de caminos se encuentran en el medio. La ley de atracción de Newton se complementa con la repulsión. A cada ruta de 1 (unidad) se le debe asignar un número, comenzando con 21 ceros y terminando con 21 nueves.
   El código -los números asignados a cada par- de cuerpos creados en el Universo, es el producto de números enteros formados por los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Por ejemplo , a cada pareja humana se le asigna un código numérico de 30 bits, su suma es 30 nueves. Asignar un código: el número de cada persona comienza con 30 ceros y termina con 30 nueves.
   El uso de números enteros para las necesidades de la Humanidad es suficiente hasta 3er grado:
   -(0 + 1 + 2 +… + norte) + (0 + 1 + 2 +… + norte); -(02 + 12 + 22 +… + n2) + (02 + 12 + 22 +… + n2);
   -(03 + 13 + 23 +… + n3) + (03 + 13 + 23 +… + n3); -(04 + 14 + 24 +… + n4) + (04 + 14 + 24 +… + n4);
   7. Se creía que 1Kb = 1024b, 1Kb =1000b, 1Kg =1000g, 1m =1000mm. El tiempo tiene una base de 60. 1 hora = 60 minutos, 1 minuto. = 60 segundos, 1 segundo = 60 milisegundos, 1 milisegundo = 60 microsegundos, 1 microsegundo = 60 nanosegundos, 1 nanosegundo = 60 picsegundos, 1 picsegundo = 60 femtosegundo, 1 femsegundo = 60 ottosegundo , 1 otto seg = 60 butto seg.
   8. El mundo tiene un sistema de coordenadas cúbico (base cuadrada), no rectangular (no cartesiano). Esto se debe a que X = a, Y = a, X + Y =2a, XY= a x a es la base. X = a, Y = a, Z = a, X + Y+ Z =3a, XYZ= a x a x a.
   Un sistema de coordenadas rectangular (cartesiano) se obtiene a partir de la propiedad de los números enteros: la suma de 2 números X e Y no cambia al sumar y restar el número b, pero los productos sí cambian.
   X = a + b, Y = a – b, X + Y =2a, XY= (a + b) x (a – b) = a2- b2.
   X = a +√b, Y = a – √b, X + Y =2a, XY= (a + √b) x (a – √b) = a2- b.
   X = a + bi, Y = a – bi, X + Y =2a, XY= (a + bi) x (a – bi) = a2+ b2.
   X = a +√bi, Y = a – √bi, X + Y =2a, XY= (a + √bi) x (a – √bi) = a2 + b
   9. El modelo de la Tierra no es un globo terráqueo, sino un cubo y al mismo tiempo un Rubik del orden de 24: la superficie es un cuadrado grande, dividido en 576 cuadrados pequeños, mismo tamaño. longitud lateral plazoleta 1000 km = 10 st 6 m. m. de la superficie de la Tierra debería estar cubierta de vapor, pero vivimos en absurdos.
   10. El centro de la Tierra (el comienzo, el ombligo) y el comienzo de los tiempos está en el norte de Turkmenistán (Kunya-Urgench, lugar santo 360), y creían que el tiempo comenzó en Greenwich.
   11. Hay muchos calendarios en el mundo, pero debería haberlos calendario universal Saparova M;
   12. Año Nuevo para saludar el amanecer y la luna nueva por la tarde.
   13. Lleva un reloj que marca las 24 horas. Un día -24 horas comienza y termina con la salida del sol;
   14. Hay muchos alfabetos e idiomas en el mundo, pero debería haber un único lenguaje digital.
   15 Hay muchas ciencias en el mundo, pero debería haber una sola ciencia: la aritgrafía.
   16. Una persona nace después de 9 meses = ¾ de año y celebramos su cumpleaños cada dos años. La edad de una persona está determinada por la fórmula: (4n)/3, donde n es el número que se divide por 3; después de 3 años, suma 1 año = 9 meses.
   17.B Tabla periódica elementos químicos de D. I. Mendeleev cada uno elemento químico un organismo vivo, todo el dinero es papel, metal y también organismos vivos, lo que comemos, bebemos, respiramos y caminamos también son organismos vivos. De ello nos convenceremos obteniendo el valor 1butto=10st.-21.
   Puedes agregar absurdos y cómo corregirlos, nos beneficiaremos de esto, pronto seremos eternos e ideales.
   Solo hay una salida: una transición completa al sistema numérico del décimo. Si corregimos todos los absurdos, entonces nuestras cabezas, las computadoras, realizarán 1000 veces 1000 operaciones por segundo y todos nuestros problemas se resolverán.
   Sobre todo en teoremaferma.far.ru, publicado en blogs y comunidades en facebook.com y en grupos en yandex.ru.

Para recibir el triangulo de pascal, reescribimos la Tabla 1 de la sección “Fórmulas de multiplicación abreviadas: grado de suma y grado de diferencia” de la siguiente forma (Tabla P.):

Tabla P. – grados naturales binomio x + y

Ahora, utilizando la tercera columna de la Tabla P., componeremos la siguiente Tabla: el triangulo de pascal:

Ahora, escribiendo solo los coeficientes de expansiones de potencias binomiales en la suma de monomios, obtenemos la siguiente tabla: el triangulo de pascal:

Tabla - Triángulo de Pascal

Por si acaso, recordemos que Blaise Pascal es físico famoso y un matemático que vivió en Francia hace más de tres siglos.

En el triángulo de Pascal, cada fila corresponde a una línea con el mismo número en la Tabla P. Sin embargo, en cada línea del triángulo de Pascal, a diferencia de la Tabla P, solo coeficientes de expansión en la suma de monomios del grado correspondiente del binomio x + y.

Habiendo completado primero las líneas del triángulo de Pascal con los números 0 y 1, considere las líneas con los números 2 y siguientes.

La principal propiedad del triángulo de Pascal., permitiéndole completar secuencialmente sus líneas, comenzando con la línea número 2, es siguiente propiedad :

Cada una de las líneas , a partir de la línea número 2, en primer lugar, comienza y termina con un número 1, y, en segundo lugar, entre los números 1 hay números, cada de los cuales igual a la suma de los dos números encima de él en la línea anterior.

De hecho, el número 2 en la línea número dos es igual a la suma de los números 1 más 1 en la primera línea. De la misma forma, los números 3 y 3 en la línea número tres son iguales, respectivamente, a la suma de los números 1 más 2 y la suma de los números 2 más 1 en la segunda línea.

Lo mismo para otras líneas.

Así, la propiedad del triángulo de Pascal permite, habiendo llenado una de las rectas, llenar fácilmente la siguiente, es decir obtener los coeficientes de expansión necesarios en la suma de monomios del siguiente grado del binomio x + y.

Ejemplo. Escribe una descomposición de la forma:

(incógnita + y) 7 .

Solución . Usando la recta del triángulo de Pascal con el número 6 y aplicando la propiedad principal del triángulo de Pascal, obtenemos la recta con el número 7:

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